第一篇：高中數(shù)學 1.1.2 《余弦定理》導學案 新人教A版必修5

1.1.2《余弦定理》導學案

1.掌握余弦定理的兩種表示形式； 2.證明余弦定理的向量方法；

本的解三角形問題．

【重點難點】 1.重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用.2.難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用.【知識鏈接】

復習1：在一個三角形中，各和它所對角的的相等，即==．

復習2：在△ABC中，已知c?10，A=45?，C=30?，解此三角形．

思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？

【學習過程】 ※ 探究新知

問題：在?ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、b.???? ∵AC?，????∴AC?AC?

同理可得：a2?b2?c2?2bccosA，c2?a2?b2?2abcosC．

新知：余弦定理：三角形中任何一邊的等于其他兩邊的的和減去這兩邊與它們的夾角的的積的兩倍．

思考：這個式子中有幾個量？

從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a

2，． cosA?2bc

[理解定理]

（1）若C=90?，則cosC?，這時c2?

a2?b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角．

試試：

（1）△ABC

中，a?，c?2，B?150?，求b．

（2）△ABC中，a?

2，b?，c?1，求A．

※ 典型例題

例1.在△ABC

中，已知a

bB?45?，求A,C和c．

變式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cosC＝9

10，則BC＝________．

例2.在△ABC中，已知三邊長a?3，b?

4，c?，求三角形的最大內角．

變式：在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A．

【學習反思】

※ 學習小結

1.余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應用范圍：

① 已知三邊，求三角；

② 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊．

※ 知識拓展

在△ABC中，若a2?b2?c2，則角C是直角；

若a2?b2?c2，則角C是鈍角；

222）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：

1.已知a

c＝2，B＝150°，則邊b的長為（）.2.已知三角形的三邊長分別為3、5、7，則最大角為（）.A．60?B．75?C．120?D．150?

3.已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是（）.A

x?

＜x＜

5C． 2＜x

D

＜x＜5 ????????????????????????4.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB與AC的夾角為60°，則|AB－AC|＝________． 5.在△ABC中，已知三邊a、b、c滿足

b2?a2?c2?ab，則∠C等于．

1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝13

14，求最大角的余弦值．

2.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求???AB?????BC?的值.

第二篇：2014年高中數(shù)學 1.1.2余弦定理教案 新人教A版必修5

1.1.2余弦定理 教材分析

三維目標

知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學重點

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；

教學難點

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

教學建議

課本在引入余弦定理內容時，首先提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，使學生能夠形成良好的知識結構．設置這樣的問題，是為了更好地加強數(shù)學思想方法的教學．比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進行討論，方法不夠簡潔，通過向量知識給予證明,引起學生對向量知識的學習興趣,同時感受向量法證明余弦定理的簡便之處.教科書就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力．

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？”并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣”．還要啟發(fā)引導學生注意余弦定理的各種變形式,并總結余弦定理的適用題型的特點,在解題時正確選用余弦定理達到求解、求證目的 啟發(fā)學生在證明余弦定理時能與向量數(shù)量積的知識產(chǎn)生聯(lián)系,在應用向量知識的同時,注意使學生體會三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系.導入一

提問1：上節(jié)課，我們學習了正弦定理，解決了有關三角形的兩類問題：已知兩角和任意一邊；②已知兩邊和其中一邊的對角.三角形中還有怎樣的問題沒有解決？

已知兩邊和夾角；已知三邊.首先分析最特殊的三角形——直角.如圖1.已知兩邊a,b及夾角?C?90，能否求第三邊？

勾股定理c2?a2?b

2提問2：在斜三角形中邊和角有怎樣的關系？

在△ABC中，當?C?90時，有c2?a2?b2．

實驗：若a,b邊的長短不變，?C的大小變化,c2與a2?b2有怎樣的大小關系呢？

如圖2，若?C?90時，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變短，即c2?a2?b2.如圖3，若?C?90時，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變長，即c2?a2?b2.當?C?90時，c2?a2?b2，那么c2與a2?b2到底相差多少呢？與怎樣的角有關呢？顯然應與∠C的大小有關.圖1 圖2 圖

3導入新課二

師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應用,在體會向量應用的同時,解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對角這兩類解三角形問題.當時對于已知兩邊夾角求第三邊問題未能解決,下面我們來看如圖(1)，在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對于任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題

在△ABC中,設BC=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)B、C、A來表示

A

師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構成直角三角形，在直角三角形內通過邊角關系作進一步的轉化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用邊角關系表示,DB可利用AB-AD轉化為AD,進而在Rt△ADC內求解

解：過C作CD⊥AB,垂足為D,則在Rt△CDB中,根據(jù)勾股定理可得

A2=CD2+BD

∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD

又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD

∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·COs

A

∴a2=b2+c2-2abcosA

.類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcos

C

另外,當A為鈍角時也可證得上述結論,當A為直角時，a2+b2=c2也符合上述結論,這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內容.

第三篇：2014年高中數(shù)學 1.1.2余弦定理教案(二)新人教A版必修5

1.1.2余弦定理

教學過程

推進新課

1.余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

在幻燈片1.1.2B中我們可以看到它的兩種表示形式 形式一

a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+

b2-2abcosC形式二b2?c2?a2

cosA?2bcc2?a2?b2cosB?2caa2?

b2?c2cosC?2ab

師 在余弦定理中,令C =90°時,這時cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.另外,對于余弦定理的證明,我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進一步體會向量知識的工具性作用

.[合作

探究

2.向量法證明余弦定理

(1)

證明思路分析

師

聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn),從而可以考慮用向量來研究這個問題．由于涉及邊長問題，那么可以與哪些向量知識產(chǎn)生聯(lián)系呢

生 向量數(shù)量積的定義式a·b=|a||b|cosθ,其中θ為A、B的夾角

師 在這一點聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,但又有所區(qū)別.首先因為無須進行正、余弦形式的轉換,也就少去添加輔助向量的麻煩.當然,在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過向量加法的三角形法則,而在數(shù)量積的構造上則以兩向量夾角為引導,比如證明形式中含有角C,則構造CBCA這一數(shù)量積以使出現(xiàn)cosC.同樣在證明過程中應注意兩向量夾角是以同起點為前提

(2)

向量法證明余弦定理過程

如圖，在△ABC中,設AB、BC、CA的長分別是c、a、b

由向量加法的三角形法則，可得??

∴ACAC=(AB+BC)(AB+BC)=AB2+2ABBC+BC2 =AB+2ABBCcos(180?B)+BC

=

c2-2accosB+a2，即b

2=a2+c2-2ac

cosB

由向量減法的三角形法則，可得BC=AC-AB

1∴BC

BC=(AC-AB)(AC-AB)=AC2-2ACAB+AB

2=AC-2ACABcosA+AB=b2-2bccosA+c2，即a=b+c-

2bccosA

由向量加法的三角形法則,可得AB=AC+CB=AC-BC

∴ABAB=(AC-BC)(AC-BC)=AC2-2ACBC+BC2

=AC2-

2ACBCcosC+BC=b2-2bacosC+a2，即c=a+b-2abcosC

[方法引導

(1)上述證明過程中應注意正確運用向量加法(減法)的三角形法則

(2)在證明過程中應強調學生注意的是兩向量夾角的確定,AC與AB屬于同起點向量,則夾角為A；AB與BC是首尾相接,則夾角為角B的補角180

?

B；AC與

BC是

同終點,則夾角

仍是角C[合作探究

師 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

生（留點時間讓學生自己動手推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a2a2?c2?b2

b2?a2?c2

cosA?,cosB?,cosC?

2bc2ac2ba

師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？ 生（學生思考片刻后會總結出）若△ABC

中，C =90°，則cosC=0，這時c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．

師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾何中關于三角形的定性結果都變

成可定量計算的公式了．

師 在證明了余弦定理之后,我們來進一步學習余弦定理的應用(給出幻燈片1.1.2B

通過幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到,利用余弦定理,可以解決以下兩類有

關三角形的問題

(1)已知三邊,求三個角

這類問題由于三邊確定,故三角也確定,解唯一,課本P8例4屬這類情況(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角

這類問題第三邊確定,因而其他兩個角唯一,故解唯一,不會產(chǎn)生類似利用正弦定理解三角形

所產(chǎn)生的判斷取舍等問題

接下來,我們通過例題來進一步體會一下 ［例題剖析］

【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）

解：

根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-所以A≈41 c 由正弦定理得sinC=

csinA34?sin41?3

4?0.656

?≈a4141

因為C不是三角形中最大的邊，所以C是銳角.利用計數(shù)器可得

C

B=180°-A-C=180°-41°-

【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形解：由余弦定理的推論,得

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?cosA=≈0.554 3,A

2bc2?87.8?161.7c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

?cosB=≈0.839 8,B

2ca2?134.6?161.7

C =180°-(A+B)=180°-

[

知識拓展 補充例題：

【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.（精確到

分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問題,可以利用余弦定理,意在使學生熟悉余弦定理的形式二

b

2?c2?a2102?62?7

2??0.725 解：∵cosA?

2bc2?10?6

∴

A

a2?b

2?c272?102?62113??∵cosC=

2ab2?7?10140

∴

C

∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.[

教師精講

(1)為保證求解結果符合三角形內角和定理,即三角形內角和為180°,可用余弦定理求出兩角,第三角用三角形內角和定理求出

(2)對于較復雜運算,可以利用計算器運算

【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解這個三角形(邊長保留四個有效數(shù)字,角度精確到

1′)

分析:此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類型,可通過余弦定理形式一先求出第三邊,在第三邊求出后其余角求解有兩種思路:一是利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角,二是利用兩邊和一邊對角利用正弦定理求解,但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經(jīng)驗,若用正弦定理需對兩

種結果進行判斷取舍,而在0°～180°之間,余弦有唯一解,故用余弦定理較好解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′, 得c

b2?c

2?a23.6962?4.2972?2.7302

?∵cosA=

2bc2?3.696?4.297

∴

A

∴B=180°-(A+C)=180°-[教師

精講

通過例2,我們可以體會在解斜三角形時,如果正弦定理與余弦定理都可選用,那么求邊用兩個定理均可,求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩 【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△

ABC

分析:根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A,再結合三角形內角和定理求出角C,再利用正弦定理求出邊C,而三角形面積由公式S△ABC=

acsinB

可以求出 2

若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關于C的方程,亦能達到求C的目的下面給出兩種解法 解法一:由正弦定理得∴A1=81.8°,A

2∴C1=38.2°,C

2由

87?

sinAsin60?

7c

?,得c1=3,c2

sin60?sinC

1∴S△ABC=ac1sinB?6或S△ABC=ac2sinB

?1022

解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacos

B

∴72=c+82-2×8×

cco 整理得c2-8c 解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=

ac1sinB?6或S△ABC= ac2sinB

?10322

[教師精講]

在解法一的思路里,應注意由正弦定理應有兩種結果,避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處,體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應用的另外用處,即可以用之建立方程,從而運用方程的觀點去解決,故解法二應引起學生的注意

綜合上述例題,要求學生總結余弦定理在求解三角形時的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形,同時注意余弦定理在求角時的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊、一角解三角形可用余弦定理解之 課堂練習1.在△ABC

中

(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A(2)已知a=20,bB=29,c=21，求

B(3)已知a=33,c=2,b=150°,求

B(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A

解：(1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A

c2?a2?b2202?212?29

2?0.∴

(2)由cosB?,得cosB?B

2ca2?20?2

1(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b

b2?c2?a2(2)2?(3?1)2?222

(4)由cosA?,得cosA?.∴

A?

2bc222(?1)

評述:此練習目的在于讓學生熟悉余弦定理的基本形式,要求學生注意運算的準確性及解題

效率

2.根據(jù)下列條件解三角形（角度精確到(1)a=31,b=42,c(2)a=9,b=10,c

b2?c2?a2422?272?312解：(1)由cosA?,得cosA?≈0.675 5,∴

A

2bc2?42?27c2?a2?b2312?272?422?由cosB?≈-0.044 2,∴

B

2ca2?31?27

∴C=180°-(A+B)=180°-

b2?c2?a2102?152?92,得cosA?

(2)由

2bc2?10?1

5∴

A

c2?a2?b2152?92?102

?由cosB?≈0.763 0,2ca2?9?15

∴

B

∴C=180°-(A+B)=180°-

評述:此練習的目的除了讓學生進一步熟悉余弦定理之外,還要求學生能夠利用計算器進行較復雜的運算.同時,增強解斜三角形的能力 課堂小結

通過本節(jié)學習,我們一起研究了余弦定理的證明方法,同時又進一步了解了向量的工具性作用,并且明確了利用余弦定理所能解決的兩類有關三角形問題

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊、一角解三角形． 布置作業(yè)

課本第8頁練習第1（1）、2（1）題

教學反思

１．注重過程與方法，提升探究能力

數(shù)學教學是一個過程，在這個過程中要注意對學生邏輯思維、分析問題、解決問題等能力的培養(yǎng)，而不能把結論直接拋給學生，學習只有通過自身的體驗，才能得到“同化”和“順應”，數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生之間、學生之間相互交往、積極互動、共同發(fā)展的過程，是“溝通”與“合作”的過程．本節(jié)課從具體的實例出發(fā)，從特殊到一般，讓學生經(jīng)歷提出問題，解決問題，初步應用等過程，采用問題串的形式引導學生進行探究活動．余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明，先從學生最近發(fā)展區(qū)入手，根據(jù)初中的平面幾何知識，這是符合學生的認知結構，讓學生自己發(fā)現(xiàn)余弦定理，鼓勵學生獨立思考，積極發(fā)表自己的見解。從平面幾何法—解析法—向量法，層層遞進，環(huán)環(huán)相扣，讓學生從不同角度去認識余弦定理，對求邊長的方法也有個深入的了解，有利于學生思維的擴展，充分認識到數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程以及探究問題的方法．整節(jié)課氣氛活潑，教學目標得到較好的落實．

2．關注師生間互動，提高課堂效益

大部分學生對于定理教學通常都是依賴老師的講解,被動接受教材中的證明思路,覺得理所當然,缺乏主動性,積極性.教師如何引導學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題就非常重要.教學實驗表明，學生能否提出數(shù)學問題，不僅受其數(shù)學基礎、生活經(jīng)歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設適宜的數(shù)學情境，而且要真正轉變對學生提問的態(tài)度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。把“質疑提問”，培養(yǎng)學生的數(shù)學問題意識，提高學生提出數(shù)學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。

3．創(chuàng)造性使用教材，優(yōu)化教學結構

本節(jié)課緊緊圍繞余弦定理課題，對教學內容做了一些整合和補充．教材例題中的角都非特殊角，需要用到計算器，過于繁雜．而本節(jié)課的核心是發(fā)現(xiàn)定理、定理的證明方法探究和定理的應用，所以把例題作了一些改變，從而也減少學生對計算器的依賴，提高學生的計算能力．

第四篇：高中數(shù)學必修五1.1.2余弦定理

1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳

1.1.2余弦定理

蘄春三中劉芳

（一）教學目標

1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學重、難點

重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；

難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

（三）學法與教學用具

學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學用具：投影儀、計算器

（四）教學設想

[復習回顧]

1、正弦定理；abc???2RsinAsinBsinC2、可以解決兩類有關三角形的問題：

（1）已知兩角和任一邊。

（2）已知兩邊和一邊的對角。

[提出問題]

聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A ?????????????????如圖1．1-5，設CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc

???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2????

從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)

同理可證a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

7的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a

2cosA?2bca2?c2?b2

cosB?b2?a2?c2

cosC?[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時c2?a2?b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

[例題分析]

題型一 已知兩邊及夾角解三角形

例1．在?ABC

中，已知a

?cB?600，求b及A

⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB

=2?2?2?cos450

=12?2?1)

=8

∴b?

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2?c2?a22221⑵解法一：∵

cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵

sinA?sinB2.4?1.4?

3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評述：解法二應注意確定A的取值范圍。

題型二 已知三邊解三角形

例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形

（見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解）

解：由余弦定理的推論得： b2?c2?a2

cosA?

87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2

cosB?

134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398,B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

??90047.題型三 正、余弦定理的應用比較

例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和邊a。

思考：求某角時，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，兩種方法 有什么利弊呢？

[補充練習]

1、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）

2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大內角。（答案：A=1200）

[課堂小結]

（1）利用余弦定理解三角形

①．已知三邊求三角；

②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

（2）余弦定理與三角形的形狀

（五）作業(yè)設計

①課后閱讀：課本第9頁[探究與發(fā)現(xiàn)]

②課時作業(yè)：第10頁[習題1.1]A組第3，4題。

③《名師一號》相關題目。

第五篇：高中數(shù)學必修5新教學案：1.1.2余弦定理(第1課時)

【知識要點】

1.三角形的邊角關系；2.余弦定理；3.余弦定理與勾股定理之間的關系.2.余弦定理；3.余弦定理與勾股定理之間的關系.3.余弦定理與勾股定理之間的關系.【學習要求】

1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握余弦定理；

2.會運用余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.【預習提綱】

（根據(jù)以下提綱，預習教材第 5 頁～第6 頁）

1．如果已知一個三角形的兩邊及其所夾的角,那么這個三角形的大小、形狀是否完全確定?

2.如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊.3.教材中給出了用向量法證明余弦定理的方法,體現(xiàn)了向量在解決三角形度量問題中的作用.另外思考用坐標法和三角法如何證明余弦定理.4.討論余弦定理和勾股定理之間的聯(lián)系.5.應用余弦定理解三角形(閱讀例3).【基礎練習】

1．在?ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到0.10,邊長精確到0.1cm):

0（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.2;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.30.【典型例題】

例1 在?ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c邊的長.例2 在?ABC中,已知b=5, c

A=300求a、B、C及面積S.變式: 在?ABC中，已知a=8，c=

41），面積s，解此三角形.必修51.1.2余弦定理（學案）（第1課時）

11.在?ABC中，若C為鈍角,下列結論成立的是().(A)a2+b2> c2(B)a2+b2

2-2根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數(shù);(2)求AB的長.x+2=0的兩

1.已知a,b, c是?ABC中∠A, ∠B,∠C的對邊, S是?ABC的面積,若a=4,b=5,S

=5,求c的長度.必修51.1.2 余弦定理（教案）

【教學目標】

1．通過對三角形邊角關系的探索, 能證明余弦定理, 了解可以從向量、解析法和三角法等多種途徑證明余弦定理.2．了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系.3.能夠應用余弦定理解三角形.【重點】: 通過對三角形邊角關系的探索, 證明余弦定理, 并能應用它解三角形.【難點】: 余弦定理的證明.【預習提綱】

（根據(jù)以下提綱，預習教材第 5頁～第6頁）

1．如果已知一個三角形的兩邊及其所夾的角,那么這個三角形的大小、形狀是否完全確定?(完全確定)

2.如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊(a2=b2+c2-2bccosA,22222

2b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC．)

3.教材中給出了用向量法證明余弦定理的方法,體現(xiàn)了向量在解決三角形度量問題中的作用.另外思考用坐標法和三角法如何證明余弦定理.證法１（向量法）：見教材.證法２（解析法）：如圖,以A點為原點，以?ABC的邊AB,所在直線為x軸，以過A與AB垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(0,0),C(bcosA,bsinA)，B(c,0)，由連點間的距離公式得：BC2?(bcosA?c)2?(bsinA?0)2，即

a?bcosA?2bccosA?c?bsinA

所以 a?b?c?2bccosA,同理可證b2?a2?c2?2accosB ,c2?a2?b2?2abcosC

證法３（三角法）：提示：先分銳角，鈍角兩種情況。過C作CD?AB(或其延長線)于D，則CD=bsinA，然后求出BD,在Rt?ABC中，用勾股定理得

222

BC?CD?BD,化簡即可.4.討論余弦定理和勾股定理之間的聯(lián)系.余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例． 5.應用余弦定理解三角形(閱讀例3).【基礎練習】

1．在?ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到0.10,邊長精確到0.1cm):（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.20;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.3.解：（１）A≈43.50, B≈58.20，c≈4.2cm;(2)a≈10.5cm, B≈55.80, C≈0

81.9.【典型例題】

例1 在?ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c邊的長.【審題要津】 由條件知可直接用余弦定理求解.解：由余弦定理,得

22222)=28, c=a+b-2abcosC=2+4-2ⅹ2ⅹ4ⅹ(-12

∴c

=2【方法總結】已知三角形的兩邊及其夾角可直接用余弦定理求解

例2在?ABC中,已知b=5, c，A=30求a、B、C及面積s.【審題要津】根據(jù)已知條件,可用余弦定理求a,然后可用正弦定理求角B和C,面積用

S=

cbsinA求解.解：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25, ∴a=5.由正弦定理,得sinB?

bsinAa

?12,∴B=300, C=1800-A-B=1200

.S?abc?

absinC?【方法總結】(1)解三角形時往往同時用到正弦定理與余弦定理.(2)一般地,使用正弦定理求角時,有時要討論解的個數(shù)問題.變式: 在?ABC中，已知a=8，c=4

1），面積S

.解:由正弦定理,得S?

acsinB,即B=60,或B?120(舍),由余弦定理,得

00

b=a+c-2accosB

=8??4

?

?1??2?8?4

?

?

?1?

?

?96,∴b?,cosA?

b?c?a

2bc

222

?,?A?45.?C?180?A?B?180?45?60?75.0000

1.在?ABC中，若C為鈍角,下列結論成立的是(B).222222

(A)a+b> c(B)a+b

解: 由余弦定理,得c=a+b-2abcosC=1+1-2ⅹ1ⅹ1ⅹ(-1)=3, 2

∴c

=3.在?ABC中, a=3, b=4, c,求最大角.解: 顯然C最大,由c?a?b?2abcosC,得cosC

?

a?b?c

2ab

222

?

3?4?372?3?4

??1

2,∴C=1200.4.在?ABC中, BC=a,AC=b,且a,b是方程x-2

x+2=0的兩

根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數(shù);(2)求AB的長.由根與系數(shù)關系知a?b?ab?2, ,?C?120, 又2cos?a?b??1,?cosC??12

222

c=a+b-2abcosC=?a?b??2ab?2abcosC=12-4-4×??

?=10,?C

?

1.已知a,b, c是?ABC中∠A, ∠B,∠C的對邊, S是?ABC的面積,若a=4,b=5,S

=5求c的長度.12

解:由S?absinC,得

=

?4?5?sinC,所以sinC

?,∵C為三角形的內

角，∴C?60或C?120，當C?60時，c?a?b?2abcosC?4?5?2?4?5?cos60?

21，∴C?

00

當C?120時，222220

c?a?b?2abcosC?4?5?2?4?5?cos120?

61，∴C?