第一篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 柯西不等式在解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用 新人教版

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柯西不等式在解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用

摘要：本文利用怎樣運(yùn)用柯西不等式解題的技巧，介紹了柯西不等式在解等式、不等式、極值、三角問題等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式、技巧、應(yīng)用

一、引言

人民教育出版社高中《代數(shù)》下冊(cè)“不等式”一章的習(xí)題中有這樣一道題（P、15練習(xí)第2題）： 求證：ac+bd?a2?b2*c?d22這題用比較法是很容易證明的，這里用比值的方法來證明。

證明：當(dāng)a=b=c(或c=d=0)時(shí)，顯然成立； 假設(shè)a+b?0 且c+dac?bda22222?0,則

ac?bda2?b2*acc2?d2?

2?b2*bdc?d2=a2?c2

cd2?ba22*?d222a2?b222*?d2=a2?b2*cc2?d?ba222?b*c2

?? ???d221?ac??2?2?22?a?bc?d222?1?bd????2??a2?b22c?d??2=1 故ac+bd?ac?bd?ac?bd?a2?b2*c2?d2

(1)式就是著名的柯西不等式的一個(gè)簡(jiǎn)單特例。

柯西不等式的一般形式為：

對(duì)任意的實(shí)數(shù)a1,a2,?,an及b1,b2,?,bn有

n?n??n2??2???aibi????ai???bi?,?i?1i??i?1??i?1?2

(2)nnn或?i?1aibi??i?1ai*2?bi?12i,(3)其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1b1?a2b2???anbn時(shí)成立（當(dāng)bk?0時(shí)，認(rèn)為ak?0,1?k?n).柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹。

一、柯西不等式在解題中的應(yīng)用

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1、利用柯西不等式證明恒等式 利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號(hào)的充分必要條件來達(dá)到目的，或者是利用柯西不等式進(jìn)行夾逼的方法獲證。

例、已知a1?b2?b1?a2?1,求證：a2?b2?1。

證明：由柯西不等式，得

a1?b2?b1?a2?a?2?1?a2?2???b2?1?b?2???1

當(dāng)且僅當(dāng)b1?a2?1?ba2時(shí)，上式取等號(hào)，?ab?ab221?a2?1?b，2?1?a2?2??1?b?，?1。于是 a?b22、利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運(yùn)用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號(hào)的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡(jiǎn)單的無理方程，進(jìn)而得到簡(jiǎn)單的整式方程，從而求得原方程的解。

例：解方程

x2?1x2??x1x1x22?1??21?x?1?22?2?1x?x?1?。

解：?x2???x?1??1?x?1?22

= x?2?1?x?1?2??x?1?

由柯西不等式知

x2?x1x2?1?x?1?2??x?1?2

?x?1x??x?1x即

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x2?1x2?1(x?1)2?(x?1)2?2?,x(x?1)

1?x2?1x12?(x?1)2?1(x?1)2

?2?x(x?1)1x(x?1)2當(dāng)上式取等號(hào)時(shí)有x(x?1)?成立，即

x2?x?1?0（無實(shí)根）或x?x?1?0，即

x??1?25，經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的根為

x??1?25

用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號(hào)的條件，從而求得方程組的解。

例：解方程組

x?y?z?9x?w?6x4

2?x(y2?z2?w)?w(y222?w)?4862解：原方程組可化為

x?y?z?9x?w?6(x2

?z)(x22?y2?w)?4862運(yùn)用柯西不等式得

(x2?y2?z)?2923?27, x?w?22622?18

兩式相乘，得

?x2?y2?z2???x2?w2??486

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w=3時(shí)取等號(hào)。故原方程組的解為x=y=z=w=3.3、柯西不等式證明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式導(dǎo)出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例：設(shè)a,b,c為正數(shù)且不相等到，求證：

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2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c

這兩個(gè)常數(shù)進(jìn)行巧拆，9=?1?1?1?2分析：我們利用9與2，2?a?b?c???a?b???b?c???c?a?

這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。證明

：?a?11??1?b?c??????a?bb?cc?a????a11??1?b???b?c???c?a???????b?cc?a??a?ba?b???2????????2??1b?c?2????2?c?a??????????1??a?b??c?a?2?????11??b?c??22?????1??c?a??2??? ?a?b?2a?b?b?c?1b?c???c?a????1?1?1??9?2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c? a,b,c各不相等，? 等號(hào)不可能成立，從而原不等式成立。

但是我們只要改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)?有些問題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，構(gòu)，認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，就可以達(dá)到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。

例：設(shè)a1?a2???an?an?1,求證：

1a1?a2?1a2?a3???1an?an?1?1an?1?a1?0

分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：

?a1??111?an?1?????????1，a2?a3an?an?1??a1?a2證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a1?an?1寫成

a1?an?1??a1?a2???a2?a3?????an?an?1?于是

??a1?n2?111?a2???a2?a3?????an?an?1?????????a?aa2?a3an?an?12?1?1.??? ?用心 愛心 專心 4

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即?111?a1?an?1????????a?aa2?a3an?an?12?11a1?a21a1?a2????1??，??1a2?a31???1an?an?11??1a1?an?11故a2?a3???an?an?1an?1?a1?0.我們進(jìn)一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是：不等式左邊是兩個(gè)因式這和，其中每一個(gè)因式都是項(xiàng)平方和，右邊是左邊中對(duì)立的兩兩乘積之和的平方，證題時(shí)，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。

例：求證：x1?x2?證明：?22y1?y2?222?x12?y1???x2?y22?2.?x1?x2?22y1?y22?2?x1?x2?y1?y2?2?2??22??x21?x2?y1?y2

2??22?由柯西不等式得

?x21?x2?y1?y2??x1y1?x2y2222????2

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1?ky1，x2?ky2 時(shí)成立。

?????x21?x222??y221?y222??x1y1?x2y2

2?x1?x2??y12y1?y2?2??x21?x22???y?21?y22??2?x?2.1y1?x2y2? ?x1?22??x2?y22?22x1?x2?y1?y2??x1?y1?2?x2?y2其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1?ky1，x2?ky2 時(shí)成立。

4、用柯西不等式證明條件不等式

n2n2n柯西不等式中有三個(gè)因式?ai，?bi，?aibi而一般題目中只有一個(gè)或兩個(gè)

i?1i?1i?1因式，為了運(yùn)用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個(gè)因式（嵌入的因式之和往往是定值），bi 具有廣泛的選擇余地，這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量ai，任意兩個(gè)元素 ai，aj（或bi，bj）的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時(shí)根據(jù)需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會(huì)給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運(yùn)用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡(jiǎn)單舉例說明怎樣利用上述技巧運(yùn)用柯西不等式來證明條件不等式。

例：已知a,b?R，a+b=1,x1,x2?R, 求證：?ax1?bx2???bx1?ax2??x1x2

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分析：如果對(duì)不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結(jié)論。若把第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)的前后項(xiàng)對(duì)調(diào)一下，情況就不同了。

證明：?ax1?bx2???bx1?ax2? =?ax1?bx2???ax2?bx1? ?a?x1x2?b2x1x2?2

=?a?b?x1x2?x1x2。例、設(shè)x1,x2,?,xn?R,求證：

x12?x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn

（1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

證明：在不等式的左端嵌乘以因式?x2?x3???xn?x1?，也即嵌以因式

?x1??x2???xn?，由柯西不等式，得 x12x2?xx3???xxn?xn2x1??(x2?x3???xn?x1)

??x1?????x2???????x????2??x3??22222??x??x???????n?1???n???x????x?n?1??????x2???x3?2????xn???2x1?2???xn?xnx1??x1???

?x1????x2?x2?x2x32?x3???xn?1xn???x1?x2???xn?,于是x12x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn.5、利用柯西不等式求函數(shù)的極值

有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。這多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不等式來求解一些極值問題。

例 設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)?1,?2????n滿足?1??2??????n?1,求

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?11??2??????_?n?1??1`??23??????n?n21??1????的最小值。（198

2n?1年西德數(shù)學(xué)奧林匹克度題）

解：易驗(yàn)證

?11??2??????+1=

n1?(?1??2?????n)2??1?22??1

同理可得

?11??1??3??????+1=

n22??2,???,?1??2nn?1??????+1=

22??n

令y??11??2??????2_?n?1??1`??23??????n?n21??1????

n?1故y?n?2??1?22??2+????22??n

為了利用柯西不等式，注意到

(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)?2n?(a1?a2?????an)?2n?1，12??112??2?(2n?1)(?+????12??n)

=?(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)??(12??1?12??2+????12??n)

???2?a1????y?n??2n12?a12?2?a2?2n212?a2n2n?1.?????2?an?12?an????2?n22n?1,y?2n?1?n?1n等號(hào)當(dāng)且公當(dāng)a1?a2?????an?時(shí)成立，從而y有最小值

nn2n?1

例 設(shè)x1,x2,???,xn都是正數(shù)，n?2,且?xi?1,求證：

i?1nn ?i?1xi1?xi??i?1xi.（1989年全國(guó)數(shù)學(xué)冬令營(yíng)試題）

n?1證明：令yi?1?xi(i?1,2,???n),由柯西不等式，得

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nnn(?i?1xi)2?n??i?1xi?n, 即 ?i?1xi?n.nnn同理，得(?i?1nyi)2?n??i?1yi?n??i?1(1?xi)?n(n?1)，即 ?yi?i?1n(n?1).又由柯西不等式，得

nn?i?1nyi??i?11yi2n?(?i?14yi?14)2?n

2yi故?i?11yi?n?1n?yin2，?i?1n(n?1)從而

n?i?1xi1?xinn?n??i?11?yiyin??i?11yin??i?1yi ?n(n?1)n

n?1nn?1??i?1xi.?n?16，利用柯西不等式解三角問題。

三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對(duì)于一些三角問題，我們?yōu)榱私o運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進(jìn)一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號(hào)成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決。

例 在?ABC中，求證：

sinA?sinB?5sinC?198?2201(201?3)40

證明：?sinA?sinB?5sinC

?2sin?2cos?2cosA?B2C2C2(coscosA?B22C2?10sinC2)C2cosC2A?B?5sin).(1?5sin當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)等號(hào)成立。

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令y?cosx(1?5sinx)(0?x??)2，于是引進(jìn)參t?0,求

y2cos2x(1?5sinx)2的最值。

由柯西不等式，2y2?cos2x?1?5sinx?2?25cos2x??15?sinx???? =25?cosx??1t2?tsinx?? ?5?cos2?25?x????1?2??t2?2?t2?sinxt?2????5???

?25t2?1cos2x2xt2?t2?sin?.ab??a?b?2又由平均值不等式4,得

2222y2?25t?1?cosx?t?sin2x??t2???2? ?=?25t2?1??t2?1?24t2.（1）

當(dāng)且僅當(dāng)cos2x=t2?sin2x時(shí)等號(hào)成立。例、已知a,b為正常數(shù)，且0

3a2?3b2??3a2?3b2??sin2x?cos2x?

??3asinx?3bcosx?2等號(hào)成立的當(dāng)且僅當(dāng)sinxcosx3a?3b時(shí)；

即 x?arctg3ab 時(shí)，于是

3a2?3b2?3asinx?3bcosx

再由柯西不等式，得

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3a2?3b2b??a??? cosx??sinxb??a?bcosx?? sinxcosx?? ???3asinx?3?? 6a23sinx2asinx?6bcosxbcosx?2 ???a???b3??.??32等號(hào)成立也是當(dāng)且僅當(dāng)x?arctgab時(shí)。

3???a? 從而y??sinxcosx?ab232?b3?2?.??3?? 于是y?的最小值是?a?sinxcosx?ab232?b3?2?.?? 在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。

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第二篇：例說不等式在解幾何題中的應(yīng)用.doc

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例說不等式在解幾何題中的應(yīng)用 作者：徐 塌

來源：《發(fā)明與創(chuàng)新(學(xué)生版)》2006年第08期

第三篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 反證法在幾何問題中的應(yīng)用 新人教版

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反證法在幾何問題中的應(yīng)用

反證法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它在幾何的應(yīng)用極為廣泛，在平面幾何、立體幾何、解析幾何都有應(yīng)用，本文選擇幾個(gè)有代表性的應(yīng)用，舉例加以介紹。

一、證明幾何量之間的關(guān)系

例1：已知：四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF?12(AB?CD)。

求證：AB//CD。

證明：假設(shè)AB不平行于CD。如圖，連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG?！逧、F、G分別是AD、BC、AC的中點(diǎn)，∴GE//CD，GE?12CD；GF//AB，GF?12AB。

∵AB不平行于CD，∴GE和GF不共線，GE、GF、EF組成一個(gè)三角形?！郍E?GF?EF ① 但GE?GF?12(AB?CD)?EF ②

DEGCF①與②矛盾。AB∴AB//CD

例2：直線PO與平面?相交于O，過點(diǎn)O在平面?內(nèi)引直線OA、OB、OC，?POA??POB??POC。

求證：PO??。

證明：假設(shè)PO不垂直平面?。

作PH??并與平面?相交于H，此時(shí)H、O不重合，連結(jié)OH。由P作PE?OA于E，PF?OB于F，P根據(jù)三垂線定理可知，HE?OA，HF?OB。∵?POA??POB，PO是公共邊，∴Rt?POE?Rt?POF ∴OE?OF

A又OH?OH

E∴Rt?OFH?Rt?OEH

O∴?FOH??EOH HF因此，OH是?AOB的平分線。CBa同理可證，OH是?AOC的平分線。

但是，OB和OC是兩條不重合的直線，OH不可能同時(shí)是?AOB和?AOC的平分線，產(chǎn)生矛盾?！郟O??。

例3：已知A、B、C、D是空間的四個(gè)點(diǎn)，AB、CD是異面直線。求證：AC和BD是異面直線。

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證明：假設(shè)AC和BD不是異面直線，那么AC和BD在同一平面內(nèi)。

因此，A、C、B、D四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，這樣，AB、CD就分別有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，則AB、CD在這個(gè)平面內(nèi)，即AB和CD不是異面直線。這與已知條件產(chǎn)生矛盾。

所以，AC和BD是異面直線

上面所舉的例子，用直接證法證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。

二、證明“唯一性”問題

在幾何中需要證明符合某種條件的點(diǎn)、線、面只有一個(gè)時(shí)，稱為“唯一性”問題。例3：過平面?上的點(diǎn)A的直線a??，求證：a是唯一的。證明：假設(shè)a不是唯一的，則過A至少還有一條直線b，b?? ∵a、b是相交直線，∴a、b可以確定一個(gè)平面?。設(shè)?和?相交于過點(diǎn)A的直線c?！遖??，b??，∴a?c，b?c。

這樣在平面?內(nèi)，過點(diǎn)A就有兩條直線垂直于c，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，a是唯一的。

例4：試證明：在平面上所有通過點(diǎn)(2,0)的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指坐標(biāo)x、y均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線有一條且只有一條。

證明：先證存在性。

因?yàn)橹本€y?0，顯然通過點(diǎn)(2,0)，且直線y?0至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)，例如它通過(0,0)和(1,0)。這說明滿足條件的直線有一條。

再證唯一性。

假設(shè)除了直線y?0外還存在一條直線y?kx?b（k?0或b?0）通過點(diǎn)(2,0)，且該直線通過有理點(diǎn)A(x1,y1)與B(x2,y2)，其中x1、y1、x2、y2均為有理數(shù)。

因?yàn)橹本€y?kx?b通過點(diǎn)(2,0)，所以b??2k，于是y?k(x?通過A(x1,y1)與B(x2,y2)兩點(diǎn)，所以y1?k(x1?y?k(x?2)，①

2)，且k?0。又直線2)②

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①－②，得y1?y2?k(x1?x2)。③

因?yàn)锳、B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，且k?0，所以x1?x2，y1?y2，由③，得k?y1?y2x1?x2，且k是不等于零的有理數(shù)。

由①，得2?x1?y1k。

此式的左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，出現(xiàn)了矛盾。

所以，平面上通過點(diǎn)(2,0)的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)的直線只有一條。

綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。

關(guān)于唯一性的問題，在幾何中有，在代數(shù)、三角等學(xué)科中也有。這類題目用直接證法證明相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時(shí)比同一法更方便。

三、證明不可能問題

幾何中有一類問題，要證明某個(gè)圖形不可能有某種性質(zhì)或證明具有某種性質(zhì)的圖形不存在。它們的結(jié)論命題都是以否定形式出現(xiàn)的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個(gè)圖形具有某種性質(zhì)或具有某種性質(zhì)的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。

例5：求證：拋物線沒有漸近線。

證明：設(shè)拋物線的方程是y?2px(p?0)。

假設(shè)拋物有漸近線，漸近線的方程是y?ax?b，易知a、b都不為0。因?yàn)闈u近線與拋物線相切于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是方程組

(1)?y2?2px

?(2)?y?ax?b2的兩組解的倒數(shù)都是0。

將（2）代入（1），得

ax22?2(ab?p)x?b2?0（3）

設(shè)x1、x2是（3）的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，可知

2(ab?p)a2x1?x2??，x1?x2?ba22

用心 愛心 專心 3

知識(shí)改變命運(yùn)

百度提升自我

則1x1?1x2?x1?x2x1x2ab22??2(ab?p)b2?0，（4）

1x1?1x2?1x1x2??0，（5）

由（4）、（5），可推得p?0，這于假設(shè)p?0矛盾。

所以，拋物線沒有漸近線。

關(guān)于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。由于它的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。

四、證明“至少存在”或“不多于”問題

在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個(gè)或不多于幾個(gè)。由于這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。

例6：已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=BD=1。

求證：四邊形中至少有一條邊不小于

22。

證明：假設(shè)四邊形的邊都小于

22，由于四邊形中至少有一個(gè)角不是鈍角（這一結(jié)論也可用反證法證明），不妨設(shè)?A?90，根據(jù)余弦定理，得BD∴BD220?AD2?AB2?2AD?AB?cosA，?AD2?AB2，2222即BD?AD2?AB2?()?(2)2?1。

這與已知四邊形BD=1矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于

22。

用心 愛心 專心 4

第四篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

知識(shí)改變命運(yùn)百度提升自我本文為自本人珍藏版權(quán)所有僅供參考

構(gòu)造函數(shù)證明不等式

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是聯(lián)系各個(gè)數(shù)學(xué)分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中，我們可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立起適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性、凸性等性質(zhì)，靈活、巧妙地證明不等式.一、二次函數(shù)型：

1.作差構(gòu)造法.例1.(新教材第二冊(cè)（上）（以下同）P16習(xí)題1（2）)求證:a?b?c?ab?bc?ca.分析:將a視為變量,考察函數(shù)f?a??a??b?c?a?b?bc?c.由于該二次函數(shù)的圖象開口向上,且???3?b?c??0,故f?a??0.結(jié)論獲證.22

2例2.(教材P31.復(fù)習(xí)參考題6)設(shè)a,b,c為?ABC的三條邊,求證:a?b?c＜2?ab?bc?ca?.2222

222

分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??x?2?b?c?x??b?c?.∵f?x?圖象開口向上,對(duì)稱軸x?b?c.∴f?x?在???,b?c?上單調(diào)遞減.∵a,b,c為?ABC的三條邊,∴b?c＜a＜b?c(不妨設(shè)b?c)∴

f

?a??f?b?c?.2

∵f?b?c???b?c??2?b?c??b?c???b?c???4c?b?c??0.∴f?a??0.即結(jié)論成立.2.判別式構(gòu)造法.2222

例3.(教材P27.例1)已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù),且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.分析：所證結(jié)論即是??2?ac?bd????4?a?b

??c

?d

??0.故可構(gòu)造函數(shù)

f

?x???a

?b

?x

?2?ac?bd?x?c?d.2

由于f?x???ax?2acx?c

2???bx?2bdx?d

?

??ax?c???bx?d

?

?0.當(dāng)且僅當(dāng)x?

ca

?

db

時(shí)取“=”號(hào).又因?yàn)閒?x?的圖象開口向上,故必有??0.結(jié)論成立.2

練習(xí)1.(教材P16.練習(xí)2)求證:?ac?bd???a?b??c

n

?d

?.n

n

點(diǎn)撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:

??

ab??ii???i?1?

n

n

2i

n

?a??

i?

1i?1

?2?2

bi.可構(gòu)造函數(shù)f?x????ai?x?2?aibi?x?

i?1?i?1?

?b

i?1

2i

證之.練習(xí)2.(教材P17.習(xí)題6)已知a,b是不相等的兩個(gè)正數(shù),求證:

?a?b??a?b

3???a?b

?

.用心 愛心 專心

點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x???a?b?x?2?a?b

?x?a

?b?a?x?a??b?x?b?證之.22

練習(xí)3.(教材P17.習(xí)題7)已知a,b都是正數(shù),x,y?R,且a?b?1,求證:

ax?by

??ax?by?.點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?z???a?b?z?2?ax?by?z?ax?by?a?z?x??b?z?y?證之.練習(xí)4.(教材P31.復(fù)習(xí)參考題5)求證:3?1?a?a

???1?a?a?

.點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??3x?2?1?a?a

?x?1?a

?a??x?1???x?a???x?a?

證之.二、分式函數(shù)型:

例4.(教材P12.例2)已知a,b,m都是正數(shù),并且a?b,求證:

分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??

x?ax?b

a?mb?m

?ab.x??0,???.由于當(dāng)x??0,???時(shí)，f??x??

b?a

?x?b?

?0.故f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x

f

?0處右連續(xù)，∴f

?x?在?0,???上是增函數(shù).∵m

?0 ∴

?m??f?0? 即

a?mb?m

?

ab

.例5.(教材P22.例3)已知a?1,b?1,求證:

a?x1?ax

a?b1?ab

?1.分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??x???1,1?.由于當(dāng)x???1,1?時(shí)，f??x??

1?a

2?1?ax?

?0.故f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵f?x?在x??1處右連續(xù)，在x?1處左連續(xù).∴f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵?1?b?1 ∴f??1??f?b??f?1? ,即?1?

a?b1?ab

?1.ab

a?cb?d

cd

a?b1?ab

?1, 即

例6.(教材P14練習(xí)5)已知a,b,c,d都是正數(shù),且bc?ad,求證:

??.a

分析:聯(lián)想定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,a?cb?d

可寫成b

?1?

cd

db.故可構(gòu)造函數(shù)db

a

f

?x??

b

d1?x

?

c

?x,x??0,???.∵當(dāng)x??0,???時(shí)，用心 愛心 專心 2

c

f??x??

d

?

ab

?1?x?

?

bc?adbd?1?x?

?0.∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x

?0處右連續(xù)，∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).又∵

cd

db

?0.∴

?d?

f?0??f???limf

?b?x???

?x?.而

f?0??

a?c?d?,f???,limf

x???bbb?d??

a

?x??

.故原不等式成立.ac?a

bc?b

練習(xí)5.(教材P14.練習(xí)4)已知c?a?b?0,求證:

點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??

xc?x

x??0,c?

?.練習(xí)6.(教材P17.習(xí)題9)已知?ABC的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c.且m為正數(shù).求證:

aa?m

?

bb?m

?

cc?m

.xx?m?,x??0,???.易證fcc?m

.而

aa?m

?

bb?m

點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??

f

?x?為增函數(shù).由于

?

aa?b?m

?

ba?b?m

?

a?b?c,故

?a?b??

aa?m

?

f?c?.即b

?

a?ba?b?mc

.a?ba?b?m

.故

有

b?mc?m

練習(xí)7.(教材P23.習(xí)題4)求證:

分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??

三、冪函數(shù)型：

a?b1?a?b

?

a?b1?a?b

.x1?x,x??0,???證之.例7.如果a,b都是正數(shù)，且a?b,求證：a?b?ab?ab.分析：a?b?ab?ab??a?b

55322

3??a

?b

?.考察函數(shù)f?x??x,(n?N)在?0,???上的單調(diào)性，顯然f?x?在?0,???上為增函數(shù).n

*

若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b

??a??a

?b?b

??0； ??0。

若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b

2所以a?b?ab?ab.利用函數(shù)的單調(diào)性證法可以將上述結(jié)論推廣為: 若a、b是正數(shù)且a?b,求證：a四、一次函數(shù)型：

用心 愛心 專心

m?n

55322

3?b

m?n

?ab?ab.(m,n?N)

mnnm*

例8.設(shè)a,b,c??0,1?,求證:a?b?c?ab?bc?ca?1.分析:構(gòu)造函數(shù)f?a???1?b?c?a?b?c?bc?1,a??0,1?.∵f?0??b?c?bc?1??1?c??b?1??0,f?1??1?b?c?b?c?bc?1??bc?0.∴對(duì)任意a??0,1?,恒有f?a??0.故原不等式成立.五、三角函數(shù)型： 例9.(同例3)

分析:設(shè)a?cos?,b?sin?, c?cos?,d?sin?.則ac?bd?cos??cos??sin??sin?

?cos????

?

?1.練習(xí)8.設(shè)x,y?R,且x?y?1,求證

:?x?2xy?y?點(diǎn)撥:設(shè)x?rcos?,y?rsin?.其中r?1.以下略.六、指數(shù)函數(shù)型:

2例10．已知等差數(shù)列?an?和等比數(shù)列?bn?，其中a1?b1，a2?b2，0＜a1＜a2，證明當(dāng)n?3時(shí)，an

da

1n?1

.所以，當(dāng)n?3時(shí)，bn?a1q

q?1?

?d?

??a1?1?

?a1???

n?1

?

???dd?11

??a1??n?1?d?an.a1?1?Cn?1???a1?1?Cn?1

???＞ a1a1?????

這兒,我們用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮,完成了證明.七、構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖象的凸性： 例11.(教材P15.例6)求證3+7<2

5分析:考察函數(shù)f(x)=x的圖象,特征是上凸函數(shù).對(duì)任意x1,x2??0,???, 且x1?x2,都有：所以,即

212

?f(x1)?f(x2)?

??f?3??f?7???

?f?5?.（3+7）<5.兩條結(jié)論:（1用心 愛心 專心

值之和越大.例:6?

7?22?

5?

?

3?

?

2及

a?

a?3?

a?1?

a?2

(2)下凸函數(shù),區(qū)間中點(diǎn)相同時(shí),兩端“距離”區(qū)間中點(diǎn)越近,兩端點(diǎn)函數(shù)值之和越小.練習(xí)9.已知:f?x??tanx,x??0,??

??2?

?, 若x1,x2??0,?

?

??2?

? 且x1?x2,試判斷

??f

?x1??

f

?x2???與

?x?x2?

f?1

?的大小，并加以證明（94年高考理科試題變式題）.2??

練習(xí)10.已知:f?x??lgx?x?1?,若0?x1?x2,試比較

年高考文科試題).練習(xí)11.(教材P23.習(xí)題5)求證:lg

A?B2

?

lgA?lgB

??f

?x1??

f

?x2???與

?x?x2?

f?1

?的大小(942??

?AB?0?.以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義，就會(huì)給證明提供思路.八、構(gòu)造連續(xù)函數(shù)，應(yīng)對(duì)含離散型變量的不等式問題： 例12．（2001年全國(guó)理）已知i,m,n是正整數(shù)，且1﹤i≤m＜n.（1）證明nAm＜mAn.（2）證明?1?m?＞?1?n?.n

m

iiii

i?1i?

1分析：（1）nAm＜mAn可化為：

i?1

iiii

Amm

i

i

＜

Ann

i

i

??m，即：

k?0

?k?

i

??n?k?

＜

k?0

mn

i

.構(gòu)造函數(shù)f?x??

??x?k?

k?0

x

i

.（x?i＞1）.i?1

兩邊取對(duì)數(shù)，得：lnf?x??

?

k?0

ln?x?k??ilnx.當(dāng)x??i,???時(shí),兩邊求導(dǎo)，得：

f??x?f?x?

i?1

?

?

k?0

1x?k

?

ix

i?1

＞?

k?0

1x

?

ix

?0.由于f?x?＞0，故f??x?＞0.這說明f?x?在?i,???上是增函數(shù).∵f?x?在x?i處右連續(xù).∴

f?x?在?i,???上是增函數(shù).∵i≤m＜n.∴f?m?＜f?n?.Amm

ii

即＜

Ann

i

i

.整理，得：nAm＜mAn.用心 愛心 專心

iiii

（2）不等式?1?m?＞?1?n?兩邊取對(duì)數(shù)，得：ln?1?m?＞ln?1?n?.n

m

n

m

整理，得：

ln?1?m

m

?

＞

ln?1?n?n

.構(gòu)造函數(shù)g?x??

ln?1?x?x

?x?2?.x

求導(dǎo)，得：g??x??

1?x

?ln?1?x?xx

.當(dāng)x?2時(shí),可得：0＜

1?x

＜1，ln?1?x??ln3＞1.故g??x?＜0.所以g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵g?x?在x?2處右連續(xù).∴g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵m＜n，∴ g?m?＞g?n?.即

ln?1?m

m

?

＞

ln?1?n?n

.整理，得：?1?m?＞?1?n?.n

m

注：不等式?1?m?＞?1?n?

n

m

也可化為：?1?m?

1m

＞?1?n?

1n

.這時(shí)，可研究函數(shù)

h?x???1?x?x?e

ln?1?x?x的單調(diào)性證之.n?1

練習(xí)12.已知n是正整數(shù)且n≥3.求證：n

n

＞?n?1?.n

點(diǎn)撥：不等式n

n?1

＞?n?1?兩邊取自然對(duì)數(shù)，整理得：

lnnn

＞

ln?n?1?n?1

.構(gòu)造函數(shù)f?x??

lnxx

可證之.lnf?x?

說明:根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),我們將函數(shù)轉(zhuǎn)化為lnf?x?型或e型,方便了對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算.不等式證明的數(shù)學(xué)模型，除本文介紹的函數(shù)模型外，還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等，請(qǐng)讀者自行研究、總結(jié).作者簡(jiǎn)介:陳兵,男,1976年10月26日出生,山東省滕州市人,中教二級(jí), 學(xué)士學(xué)位.用心 愛心 專心 6

第五篇：高中數(shù)學(xué)解題方法談：淺談分析法在解題中的應(yīng)用

88397854.doc

淺談分析法在解題中的應(yīng)用

分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明的方法，從推理的程序上來講，它是一種從未知到已知（從結(jié)論到題設(shè)）的邏輯推理方法，具體說，就是先假定問題的結(jié)論成立，再利用公理、定義、定理和公式，經(jīng)過正確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊徊讲降赝评?，最后得到一個(gè)顯然成立的關(guān)系，即已證的命題或題設(shè)的已知條件，從而判定問題的結(jié)論成立。分析法的應(yīng)用較廣，通常在幾何、三角、不等式的證明中經(jīng)常采用。舉例說明。

例1下面是真命題還是假命題，用分析法證明你的結(jié)論。命題：若a?b?c且a?b?c?0，則

解：此命題是真命題。

因?yàn)閍?b?c?0,a?b?c，?a?0,c?0。b?aca2?3。

要證b?ac

a

22?3成立，只要證b?ac?23a，22即證b?ac?3a，也就是證(a?c)?ac?3a，2即證(a?c)(2a?c)?0

因?yàn)閍?c?0,2a?c?(a?c)?a?b?a?0

所以(a?c)(2a?c)?0成立。

故原不等式成立。

評(píng)注：應(yīng)用分析法證題時(shí)，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A，則先證明B；若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。值得注意的是，在證明過程中從一個(gè)命題推到下一個(gè)命題時(shí)，必須注意它們之間的等效性。

例2求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大。

證明：設(shè)圓正方形的周長(zhǎng)為l，則圓的面積為?（因此，本題只須證明：?(l22)?()。2?4l22)，正方形的面積為()。2?4ll

為了證明上式成立，只須證明：

4l2??l4?22?l216，兩邊同乘以正數(shù)，得1??

14。

88397854.doc

因此，只須證明4??。因?yàn)樯鲜绞浅闪⒌?，所?(l22)?()。2?4l

這就證明了如果一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等，那么圓的面積比正方形的面積大。例3已知?、??k???

2(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin??cos??sin2?② 1?tan2?1?tan

2求證：1?tan2???

2(1?tan2?。)

證明：因?yàn)?sin??cos?)2?2sin?cos??1,所以將①、②兩式代入上式，得：4sin2??2sin2??1

1?tan2?2

另一方面，要證?

1?tan2??1?tan，2(1?tan2?)

sin2

1?sin2?1??

cos2?cos2

即證?

sin2，1?sin2??

cos2?2(1??

cos2?)

即證cos2??sin2??1

2(cos2??sin2?)，即證1?2sin2??1

2(1?2sin2?)，即證4sin2??2sin2??1，由于上式與③式相同，于是問題得證。

③