第一篇：數(shù)學思維與數(shù)學教學

數(shù)學思維與數(shù)學教學

摘要：思維的積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等是發(fā)散思維的特性，在數(shù)學教學中有意識地抓住這些特性進行訓練與培養(yǎng)，既可提高學生的發(fā)散思維能力，又是提高小學數(shù)學教學質量的重要一環(huán)。數(shù)學學習，從本質上來說是以思維為主的活動過程。開展豐富多彩的數(shù)學活動，讓學生經歷“數(shù)學化”與“再創(chuàng)造”的思維過程，形成自己對數(shù)學知識的理解，從而實現(xiàn)數(shù)學思維的升華。使數(shù)學教學從單純的知識記憶、復現(xiàn)、再認向通過引導學生開展主體性數(shù)學活動以促進學生思維發(fā)展。

關鍵詞：數(shù)學思維 數(shù)學教學 誘發(fā)思維

對于數(shù)學思維的突出強調是國際范圍內新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征，如由美國的《學校數(shù)學課程與評估的標準》和我國的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課程標準》）關于數(shù)學教育目標的論述中就可清楚地看出。然而，就小學數(shù)學教育的現(xiàn)實而言，上述的理念還不能說已經得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個重要原因就是以下的認識：小學數(shù)學的教學內容過于簡單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學思維的特點。以下將依據國際上的相關研究對這一觀點作出具體分析，希望能促進這一方向上的深入研究，從而能夠對于實際教學活動發(fā)揮積極的導向作用。

一、數(shù)學教育是數(shù)學教育的核心 數(shù)學教育的意義在于用科學自身的品質，陶冶人、啟迪人、充實人、促使人的素質全面發(fā)展。數(shù)學教育是一種文化，使人得到數(shù)學方面的修養(yǎng)，更好地理解、領略現(xiàn)代社會的文明；它是“思維的體操”，使人思維敏銳，表述清楚。一個人學習了數(shù)學可以得到自身品質的提高；廣大青少年學習了數(shù)學可以使整個民族的素質得到提高。

數(shù)學教育作為一種文化來提出，思維能力的發(fā)展是至關重要的。思維是一個健全人的需要，甚至可以說是人存在的標志?，F(xiàn)代社會使人對生活質量的要求更高了。而高質量生活的一個重要內涵，是人能更科學地、更健康思維，特別是人必須有很強的創(chuàng)造性。這種創(chuàng)造性不僅是為了發(fā)明或發(fā)現(xiàn)什么，還在于要使人更好地適應社會，更有創(chuàng)意地生活。創(chuàng)造力的培養(yǎng)是多方面的。數(shù)學給人一種正確的科學的創(chuàng)造思維的示范。人們?yōu)榱藢ふ覕?shù)學模型和運用數(shù)學模型，展開了有創(chuàng)造性的、辯證的思維。這些與數(shù)學的嚴格邏輯思維一起，成為基礎教育中一種必須而可能的訓練項目。也就是說，數(shù)學思維教育是培養(yǎng)健全的現(xiàn)代人的需要。

二、數(shù)學思維的定義及其特性

學生的學習，不僅要通過感知認識事物的個別屬性和外部聯(lián)系，獲得感性認識，更重要的還須在感性認識的基礎上，通過復雜的思維活動，認識事物的本質和規(guī)律，獲得理性認識。所謂的思維是人腦對客觀事物的本質和規(guī)律的概括的和間接的反映過程。概括性和間接性是思維的兩個基本特征。在數(shù)學學習中，學生的許多知識都是通過概括認識而獲得的。思維的另一個特征是間接性。思維當然要依靠感性認識，沒有它就不可能有思維。但是，思維遠遠超脫于感性認識的界限之外，去認識那些沒有直接感知過的，或根本無法感知到的事物，以及預見和推知事物發(fā)展的進程，我們說，舉一反三，聞一知十，由此及彼，由近及遠等，這些都是指間接性的認識。什么是數(shù)學思維？數(shù)學思維是人腦和數(shù)學對象交互作用并按一般的思維規(guī)律認識數(shù)學規(guī)律的過程。數(shù)學思維實質上就是數(shù)學活動中的思維。

初中學生的數(shù)學思維的發(fā)展具有兩個主要特點：第一，抽象邏輯思維日益發(fā)展，并逐漸占有相對優(yōu)勢，但具體形象思維仍然起著重要作用；第二，思維的獨立性和批判性有了顯著的發(fā)展，他們往往喜歡懷疑和爭論問題，不隨便輕信教師和書本的結論。當然，初中學生思維的獨立性和批判性還是很不成熟的，還很容易產生片面性和表面性，這些缺點是和他們的知識經驗的不足相聯(lián)系的。

三、數(shù)學教學中的誘發(fā)思維

問題是科學研究的起點，是一切思維活動的“源頭”?，F(xiàn)代教育理論認為：產生學習的根本原因是問題，沒有問題就難以誘發(fā)和激起求知欲。因此，在數(shù)學教學中，我們應把問題作為數(shù)學活動的動力、起點和貫穿學習過程的主線。特別是在新課的導入環(huán)節(jié)，更應精心創(chuàng)設問題情境，通過設疑來激發(fā)學生的學習興趣和思維的火花，通過組織生動、有趣、以學生為主體的活動來激發(fā)學生的思維，引導學生發(fā)現(xiàn)問題。

例如在學習《分數(shù)的基本性質》時，可以這樣設計這樣的活動：每人四張一樣長的紙條，編號為A、B、C、D。首先是學生動手操作：①把A紙條對折平均分成2份，給其中的一份涂上顏色并用分數(shù)表示；②把B紙條對折平均分成4份，給其中的2份涂上顏色并用分數(shù)表示；③把C紙條對折平均分成6份，給其中的3份涂上顏色并用分數(shù)表示；④把D紙條對折平均分成16份，給其中的8份涂上顏色并用分數(shù)表示。然后把4張紙條按順序排列，引導學生觀察，結果會發(fā)現(xiàn)雖然幾個分數(shù)不同，但用這些分數(shù)表示的紙條卻一樣長，并寫出等式。此時學生一定會產生疑問：“這幾個分數(shù)的分子分母都不相同，它們?yōu)槭裁磿嗟饶兀渴遣皇且粋€分數(shù)的分子分母隨便怎么變，它們的大小都不變呢？”這時學生對這種現(xiàn)象產生一種追根問底的欲望。然后教師引入課題：“今天我們來學習《分數(shù)的基本性質》，學了分數(shù)的性質以后，同學們就會理解為什么這幾個分數(shù)是相等的了。”這樣一改傳統(tǒng)的先復習舊知后講授新知的教學模式，而是通過學生的動手操作和觀察去發(fā)現(xiàn)問題，產生疑問。課堂教學一開始就讓學生積極主動地參與到數(shù)學教學活動中來，使學生帶著濃厚的興趣轉入新知識的探索階段。學生的注意力達到高度集中，思維空前活躍，從而誘發(fā)了學生的創(chuàng)造性思維。

四、轉換角度思考，訓練思維的求異性

發(fā)散思維活動的展開，其重要的一點是要能改變已習慣了的思維定向，而從多方位多角度——即從新的思維角度去思考問題，以求得問題的解決，這也就是思維的求異性。從認知心理學的角度來看，小學生在進行抽象的思維活動過程中由于年齡的特征，往往表現(xiàn)出難以擺脫已有的思維方向，也就是說學生個體（乃至于群體）的思維定勢往往影響了對新問題的解決，以至于產生錯覺。所以要培養(yǎng)與發(fā)展小學生的抽象思維能力，必須十分注意培養(yǎng)思維求異性，使學生在訓練中逐漸形成具有多角度、多方位的思維方法與能力。例如，四則運算之間是有其內在聯(lián)系的。減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，加與乘之間則是轉換的關系。當加數(shù)相同時，加法轉換成乘法，所有的乘法都可以轉換成加法。加減、乘除、加乘之間都有內在的聯(lián)系。如１８９－７可以連續(xù)減多少個７？應要求學生變換角度思考，從減與除的關系去考慮。這道題可以看作１８９里包含幾個７，問題就迎刃而解了。這樣的訓練，既防止了片面、孤立、靜止看問題，使所學知識有所升華，從中進一步理解與掌握了數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系，又進行了求異性思維訓練。在教學中，我們還經常發(fā)現(xiàn)一部分學生只習慣于順向思維，而不習慣于逆向思維。在應用題教學中，在引導學生分析題意時，一方面可以從問題入手，推導出解題的思路；另一方面也可以從條件入手，一步一步歸納出解題的方法。更重要的是，教師要十分注意在題目的設置上進行正逆向的變式訓練。如：進行語言敘述的變式訓練，即讓學生依據一句話改變敘述形式為幾句話。逆向思維的變式訓練則更為重要。教學的實踐告訴我們，從低年級開始就重視正逆向思維的對比訓練，將有利于學生不囿于已有的思維定勢。

五、數(shù)學思維能力的培養(yǎng)

（1）激發(fā)學習興趣，調動學生內在的思維能力

學生對數(shù)學的迷戀往往是從興趣開始的，由興趣產生動機，由動機到探索，由探索到成功，在成功的快感中產生的新的興趣和動機，推動學習的不斷成功。

（2）要教會學生思維的方法

孔子說：“學而不思則罔，思而不學則殆”。恰當?shù)厥久鲗W思關系，才能取得良好的效果。在數(shù)學學習中要使學生思維活躍，就要教會學生分析問題的基本方法，這樣有利于培養(yǎng)學生的正確思維方式。要學生善于思維，必須重視基礎知識和基本技能的學習，沒有扎實的雙基，思維能力是得不到提高的。數(shù)學概念、定理是推理論證和運算的基礎，準確地理解概念、定理是學好數(shù)學的前提。在教學過程中要提高學生觀察分析、由表及里、由此及彼的認識能力。

（3）要培養(yǎng)學生良好的思維品質

數(shù)學教學重要的是培養(yǎng)學生的思維能力，而創(chuàng)造性思維又是數(shù)學思維的品質，是未來的高科技信息社會中，具有開拓、創(chuàng)新意識的開創(chuàng)性人才所必須具有的思維品質。①在數(shù)學教學中，要精心設計，創(chuàng)設一定的思維情境，巧設懸念，使學生對所要解決的問題產生濃厚的興趣，誘發(fā)學生的創(chuàng)造欲。學生的創(chuàng)造性思維往往是由遇到要解決的問題而引起的，因此，教師在傳授知識的過程中，要精心設計思維過程，創(chuàng)設思維情境，使學生在數(shù)學問題情境中，新的需要與原有的數(shù)學水平發(fā)生認知沖突，從而激發(fā)學生數(shù)學思維的積極性、啟迪直覺思維，培養(yǎng)創(chuàng)造機智。②任何創(chuàng)造過程，都要經歷由直覺思維得出猜想，假設，再由邏輯思維進行推理、實驗，證明猜想、假設是正確的。許多科學發(fā)現(xiàn)，都是由科學家們一時的直覺得出猜想、假設，然后再由科學家們自己或幾代人，經過幾年，幾十年甚至上百年不懈的努力研究而得以證明。如有名的“哥德巴赫猜想”“黎曼猜想”等等。因此，要培養(yǎng)學生創(chuàng)造思維，就必須培養(yǎng)好學生的直覺思維和邏輯思維的能力，而直覺對培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力有著極其重要的意義，在教學中應予以重視。教師在課堂教學中，對學生的直覺猜想不要隨便扼殺，而應正確引導，鼓勵學生大膽說出由直覺得出的結論。而直覺思維以已有的知識和經驗為基礎的，因此，在教學中要抓好“三基”教學，同時要保護學生在教學過程中反映出來的直覺思維，鼓勵學生大膽猜想發(fā)現(xiàn)結論，為杜絕可能出現(xiàn)的錯誤，應“還原”直覺思維的過程，從理論上給予證明，使學生的邏輯思維能力得以訓練，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)造機智。③ 加強對學生發(fā)散思維的培養(yǎng)，對造就一代開拓型人才具有十分重要的意義。在數(shù)學教學中可通過典型例題的解題教學及解題訓練，尤其是一題多解、一題多變、一題多用及多題歸一等變式訓練，達到使學生鞏固與深化所學知識，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，增強思維的靈活性、變通性和獨創(chuàng)性的目的。

培養(yǎng)學生思維能力的方法是多種多樣的，要使學生思維活躍，最根本的一條，就是要調動學生學習數(shù)學的積極性，教師要善于啟發(fā)、引導、點撥、解疑，使學生變學為思。當然，良好的思維品質不是一朝一夕就能形成的，而是要根據學生實際情況，通過各種手段，堅持不懈，持之以恒。

第二篇：數(shù)學思維與數(shù)學教學

數(shù)學思維與數(shù)學教學

學號：

091090142

09春數(shù)本班

汪煒

目

錄

一、幾種數(shù)學思維能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）選擇判斷能力

（四）數(shù)學探索能力

二、中學生數(shù)學思維能力的特點

（一）思維的敏銳性

（二）思維的不成熟性

（三）思維的可訓練性

三、如何培養(yǎng)中學生的數(shù)學思維能力

（一）找準數(shù)學思維能力培養(yǎng)的突破口

（二）教會學生思維的方法

（三）善于調動學生內在的思維力

<<數(shù)學思維與數(shù)學教學>>

-----------提綱

一、幾種數(shù)學思維能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）選擇判斷能力

（四）數(shù)學探索能力

二、中學生數(shù)學思維能力的特點

（一）思維的敏銳性

（二）思維的不成熟性

（三）思維的可訓練性

三、如何培養(yǎng)中學生的數(shù)學思維能力

（一）找準數(shù)學思維能力培養(yǎng)的突破口

（二）教會學生思維的方法

（三）善于調動學生內在的思維力

第三篇：數(shù)學思維與小學數(shù)學教學

數(shù)學思維與小學數(shù)學教學

鄭毓信

（南京大學哲學系，江蘇南京210093）

摘要：“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”是新一輪數(shù)學課程改革所設定的一個基本目標。以國際上的相關研究為背景，對小學數(shù)學教學中如何突出數(shù)學思維進行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學內容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特

征性質。

關鍵詞：數(shù)學思維；小學數(shù)學教學 中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：C 收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28

作者簡介：鄭毓信，南京大學哲學系教授，博士生導師，國際數(shù)學教育大會（ICME10）國際程序委員會委員。

對于數(shù)學思維的突出強調是國際范圍內新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征，如由美國的《學校數(shù)學課程與評估的標準》和我國的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課程標準》）關于數(shù)學教育目標的論述中就可清楚地看出。然而，就小學數(shù)學教育的現(xiàn)實而言，上述的理念還不能說已經得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個重要原因就是以下的認識：小學數(shù)學的教學內容過于簡單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學思維的特點。以下將依據國際上的相關研究對這一觀點作出具體分析，希望能促進這一方向上的深入研究，從而能夠對于實際教學活動發(fā)揮積極的導向作用。

一、數(shù)學化：數(shù)學思維的基本形式

眾所周知，強調與現(xiàn)實生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征?！皵?shù)學課程的內容一定要充分考慮數(shù)學發(fā)展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現(xiàn)實生活，不斷溝通生活中的數(shù)學與教科書上數(shù)學的聯(lián)系，使生活和數(shù)學融為一體?！本团Ω淖儌鹘y(tǒng)數(shù)學教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應當如何去處理“日常數(shù)學”與“學校數(shù)學”之間的關系。

事實上，即使就最為初等的數(shù)學內容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學的抽象特點，而這就已包括了由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)

學”的重要過渡。

例如，在幾何題材的教學中，無論是教師或學生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現(xiàn)實原型向相應的“數(shù)學模式”的過渡。再例如，正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實原型，如加法所對應的既可能是兩個量的聚合，也可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應的既可能是兩個量的比較，也可能是同一個量的減少性變化；然而，在相應的數(shù)學表達式中所說的現(xiàn)實意義、包括不同現(xiàn)實原型之間的區(qū)別（例如，這究竟表現(xiàn)了“二元的靜態(tài)關系”還是“一元的動態(tài)變化”）則完全被忽視了：它們所對應的都是同一類型的表達式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實上就包括了由特殊到一般的重要過渡。

應當強調的是，以上所說的可說是一種“數(shù)學化”的過程，后者集中地體現(xiàn)了數(shù)學的本質特點：數(shù)學可被定義為“模式的科學”，也就是說，在數(shù)學中我們并非是就各個特殊的現(xiàn)實情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過渡到了更為普遍的“模

式”。

也正由于數(shù)學的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實情景，這就為相應的“純數(shù)學研究”提供了現(xiàn)實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”或者“兩個數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現(xiàn)實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學思維的一些重要特點，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實意義與純數(shù)學研究這兩者之間所存在的辯證關系。當然，從理論的角度看，我們在此又應考慮這樣的問題，即應當如何去認識所說的純數(shù)學研究的意義。特別是，我們是否應當明確肯定由“日常數(shù)學”過渡到“學校數(shù)學”的必要性，或是應當唯一地堅持立足

[1]

于現(xiàn)實生活。

由于后一問題的全面分析已經超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點：與現(xiàn)實意義在一定程度上的分離對于學生很好地把握相應的數(shù)量關系是十分重要的。這正是國際上的相關研究、特別是近年來所興起的“民俗數(shù)學”研究的一個重要結論：盡管“日常數(shù)學”具有密切聯(lián)系實際的優(yōu)點，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發(fā)的數(shù)學能力”，人們往往就不善于從反面去思考問題，與此相對照，通過學校中的學習，上述的情況就會有很大改變，這就是說，純數(shù)學的研究“在幫助學生學會使用逆運算來解決問題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現(xiàn)實情景，所學到的數(shù)學知識在“可遷移性”方面也會表現(xiàn)出

很大的局限性。

一般地說，學校中的數(shù)學學習就是對學生經由日常生活所形成的數(shù)學知識進行鞏固、適當重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學事實過渡到了系統(tǒng)的知識結構，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學教育家斯根普所指出的：“兒童來到學校雖然還未接受正式教導，但所具備的數(shù)學知識卻比預料的多??他們所需要的幫助是從（學校教學）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結合。”

當然，我們還應明確肯定數(shù)學知識向現(xiàn)實生活“復歸”的重要性。這正如著名數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進行計數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進行度量。??盡管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算──這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們容易忘記其所涉及的數(shù)以及他所面對的文字題中的算術問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實?！?/p>

總的來說，這就應當被看成“數(shù)學化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實原型抽象出相應的數(shù)學概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關系的純數(shù)學研究，以及由數(shù)學知識向現(xiàn)實生活的“復歸”。另外，相對于具體知識內容的學習而言，我們應當更加注意如何幫助學生很好地去掌握“數(shù)學化”的思想，我們應當從這樣的角度去理解“情境設置”與“純數(shù)學研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學化??是一條保證實現(xiàn)數(shù)學整體結構的廣闊途徑??情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應該服從于總的方法?！?/p>

二、凝聚：算術思維的基本形式

由以下關于算術思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內容的教學而言并非某種外加的成分，而是有著重

要的指導意義。

具體地說，這正是現(xiàn)代關于數(shù)學思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉化構成了算術以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學特別是算術和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質，也可以此為直接對象去施行進一步的運算。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數(shù)學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質，如交換律、結合律等，從而，就其心理表征而言，就已經歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數(shù)學對象。再如，有很多教師認為，分數(shù)應當定義為“兩個整數(shù)相除的值”而不是“兩個整數(shù)的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向對象的轉變，這就是說，就分數(shù)的掌握而言我們不應停留于整數(shù)的除法這樣一種運算，而應將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

對于所說的“凝聚”可進一步分析如下：

第一，“凝聚”事實上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現(xiàn)了數(shù)學的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結構中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”。這正如著名哲學家、心理學家皮亞杰所指出的：“全部數(shù)學都可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的??當數(shù)學實體從一個水平轉移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變；對這類‘實體’進行的運演，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復下去，直到我們達到了一種結構為止，這種結構或者正在形成‘更強’的結構，或者在由‘更強的’結構來予以結構化?！崩?，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發(fā)展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構”。

第二，以色列著名數(shù)學教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個階段：（1）內化；（2）壓縮；（3）客體化。其中，“內化”和“壓縮”可視為必要的準備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關的運作，還可從更高的抽象

[6]

[5]

[4]

[3]

[2]

水平對整個過程的性質作出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現(xiàn)在變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進教學也具有重要的指導意義。例如，所說的“內化”就清楚地表明了這樣一點：我們既應積極提倡學生的動手實踐，但又不應停留于“實際操作”，而應十分重視“活動的內化”，因為，不然的話，就不可能形成任何真正的數(shù)學思維。另外，在不少學者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳

統(tǒng)做法的合理性。

第三，由“過程”向“對象”的過渡不應被看成一種單向的運動；恰恰相反，這兩者應被看成同一概念心理表征的不同側面，我們應善于依據不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉換，包括由“過程”轉向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

例如，在求解代數(shù)方程時，我們顯然應將相應的表達式，如（x+3）2=1,看成單一的對象，而非具體的計算過程，不然的話，就會出現(xiàn)（x+3）2=1=x2+6x+9=1=?這樣的錯誤；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗，我們又必須將其代入原來的表達式進行檢驗，而這時所采取的則就是一種“過程”的觀點。

正因為在“過程”和“對象”之間存在所說的相互依賴、互相轉化的辯證關系，因此，一些學者提出，我們應把相應的數(shù)學概念看成一種“過程—對象對偶體”procept,這是由“過程”（process）和（作為對象的）“概念”（concept）這兩個詞組合而成的。，即應當認為其同時具有“過程”與“對象”這樣兩個方面的性質。再者，我們又應很好地去把握相應的思維過程（可稱為“過程—對象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對偶性”，是指在“過程”與相應的“對象”之間所存在的相互依存、互相轉化的辯證關系；（2）“含糊性”，這集中地體現(xiàn)于相應的符號表達式：它既可以代表所說的運作過程，也可以代表經由凝聚所生成的特定數(shù)學對象；（3）靈活性，是指我們應根據情境的需要自由地將符號看成過程或概念。特殊地，數(shù)學中常常會用幾種不同的符號去表征同一個對象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過程”與“對象”之間的轉化，而且也是指不同的“過程—對象對偶體”之間的轉化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見，在算術的教學中我們應自覺地應用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。

三、互補與整合：數(shù)學思維的一個重要特征

以上關于“過程—對象性思維”的論述顯然已從一個側面表明了互補與整合這一思維形式對于數(shù)學的特殊重要性。以下再以有

理數(shù)的學習為例對此作出進一步的說明。

首先，我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。

具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理數(shù)的理解而言，關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的；而應對有理數(shù)的各種解釋（或者說，相應的心理建構）很好地加以整合，也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側面，并能根據情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉換。

例如，在教學中人們往往唯一地強調應從“部分與整體的關系”這一角度去理解有理數(shù)，特別是，分數(shù)常常被想象成“圓的一個部分”。然而，實踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。例如，如果局限于上述的解

釋，就很難對以下算法的合理性作出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=?

其次，我們應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用。

這也正是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征，即突出強調學生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式??教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗。”[7]（2）由于實踐活動（包括感性經驗）構成了數(shù)學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補。這正如美國學者萊許（R.Lesh）等所指出的：“實物操作只是數(shù)學概念發(fā)展的一個方面，其他的表述方式──如圖像，書面語言、符號語言、現(xiàn)實情

景等──同樣也發(fā)揮了十分重要的作用。”

再次，我們應清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應當尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化?！?/p>

[7]（53）

當然，在大力提倡解題策略多樣化的同時，我們還應明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說，我們不應停留于對于不同方法在數(shù)量上的片面追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數(shù)學思維的一個重要特點。

最后，我們應清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補關系。特別是，就由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)學”的過渡而言，不應被看成對于學生原先所已發(fā)展起來的素樸直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學校的數(shù)學學習使之“精致化”，以及隨著認識的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數(shù)感”的論述，這就是，課程內容的學習應當努力“發(fā)展學生的數(shù)感”，而后者又并非僅僅是指各種相關的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對數(shù)的相對大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據需要作出迅速的估算。當然，作為問題的另一方面，我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數(shù)學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面作出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性作出適當?shù)恼f明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺”以外，著名數(shù)學教育家費施拜因曾突出地強調了“算法”的掌握對于數(shù)學的特殊重要性。事實上，即使就初等數(shù)學而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛??可是你要一引進代數(shù)方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠而且可以騰飛?！?/p>

[8]這正是數(shù)學歷史發(fā)展的一個基本事實，即一種重要算法的形成往往就標志著數(shù)學的重要進步。也正因為此，費施拜因將形式、直覺與算法統(tǒng)稱為“數(shù)學的三個基本成分”，并專門撰文對這三者之間的交互作用進行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數(shù)學思維的一個重要特點。

綜上可見，即使是小學數(shù)學的教學內容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質，因此，在教學中我們應作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”這一重要目標。

第四篇：數(shù)學教學與發(fā)散思維

發(fā)散思維數(shù)學課堂的運用

內丘四中 施梅霞

“創(chuàng)造性思維需要有豐富的想象?！币晃焕蠋熢谡n堂上給同學們出了一道有趣的題目“磚都有哪些用處？”，要求同學們盡可能想得多一些，想得遠一些。馬上有的同學想到了磚可以造房子、壘雞舍、修長城。有的同學想到古代人們把磚刻成建筑上的工藝品。有一位同學的回答很有意思，他說磚可以用來打壞人。從發(fā)散性思維的角度來看，這位同學的回答應該得高分，因為他把磚和武器聯(lián)系在一起了。同樣袁老師的課堂深深的吸引了我。看著黑板上的六組平行線，心中疑問，袁老師這節(jié)課的內容是什么？手里的繩子怎么用？繩子的兩端固定在黑板上，隨意以處為頂點，把這個點至于某處，為了讓學生輕松的記住幾個點的位置，老師用形象的比喻來表述。鳥嘴，豬嘴，曲項向天歌，回眸一笑，詼諧幽默，又非常的形象。以期中一個為例說明∠A, ∠B, ∠P之間的關系。然后讓學生討論，分析，演示寫出結論。有了前面的鋪墊，學生的興趣很高。取得了很好的效果。袁老師的教學也充分體現(xiàn)了

“一圖多問、一圖多變和一題多圖”的教學思路是發(fā)散思維的典型例子。

圖形發(fā)散習慣指圖形中某些元素的位置不斷變化，從而產生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過程，不僅可以舉一反三。觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，找出特殊與一般之間的關系。引導學生觀察同一事物時，要從不同的角度、不同的方面仔細地觀察，認識事物，理解知識，這樣既能提高學生思維的靈活性，又能培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。

通過適當變化幾何題目的已知或結論，可使學生的發(fā)散思維能力得到進一步加強。進行一次適當?shù)淖兪接柧?，不僅能鞏固知識，開闊學生視野,還能活躍學生思維，提高學生的應變能力。

長期以來，初中數(shù)學教學以集中思維為主要思維方式，課本上的題目和材料的呈現(xiàn)過程大都循著一個模式，學生習慣于按照書上寫的與教師教的方式去思考問題，用符合常規(guī)的思路和方法解決問題，這對于基礎知識、基本技能的掌握是必要的，但對于中學生學習數(shù)學興趣的激發(fā)、智力能力的發(fā)展，特別是創(chuàng)造性思維的發(fā)展，顯然是不夠的。而發(fā)散思維卻正好反映了創(chuàng)造性思維“盡快聯(lián)想，盡多作出假設和提出多種解決問題方案”的特點，因而成為創(chuàng)造性思維的一種主要形式。在中學數(shù)學教學的過程中，在培養(yǎng)學生初步的邏輯思維能力的同時，也要有意識地培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。贊可夫說過：“凡是沒有發(fā)自內心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”。贊可夫這句話說明了發(fā)散思維能力的形成，需要以樂于求異的心理傾向作為一種重要的內驅力。教師妥善于選擇具體題例，創(chuàng)設問題情境，精細地誘導學生的求異意識。對于學生在思維過程中時不時地出現(xiàn)的求異因素要及時予以肯定和熱情表揚，使學生真切體驗到自己求異成果的價值。對于學生欲尋異解而不能時，教師則要細心點撥，潛心誘導，幫助他們獲得成功，使學生漸漸生成自覺的求異意識，并日漸發(fā)展為穩(wěn)定的心理傾向，在面臨具體問題時，就會能動地作出“還有另解嗎？”“試試看，再從另一個角度分析一下！”的求異思考。事實證明，也只有在這種心理傾向驅使下，那些相關的基礎知識、解題經驗才會處于特別活躍的狀態(tài)，也才可能對題中數(shù)量作出各種不同形式的重組，逐步形成發(fā)散思維能力。訓練學生對同一條件，聯(lián)想到多種結論的發(fā)散思維習慣。這種思維習慣是指確定了已知條件后，沒有固定的結論，讓學生自己盡可能多地確定未知結論，并這個過程充分去求解這些未知結論。揭示思維的廣度和深度。不同層次的學生都能得到有益的嘗試，符合素質教育面向全體學生的要求。

1、在課堂教學中應該適當給學生提供獨立思考問題、自己提問題的條件與機會為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的內、外部的環(huán)境。

２、在課堂上善于創(chuàng)設思維情景，引導學生積極思維，運用已學過知識去解決新問題。其中組織課堂討論是一種使用較普遍的有效方法。這樣培養(yǎng)的學生敢于提問題、敢于批判、敢于質疑、思維敏捷。不受老師講解的束縛，可為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)良好的內、外部環(huán)境。

3、既然事物是相互聯(lián)系的，是多方面關系的總和。所以在教學中教育學生當一種方法，一個方面不能解決問題時，應主動地否定這一方法、方面，讓思維向另一方法、另一方面跨越。不要滿足已有的思維成果，力圖向新的方法、領域探索，并力圖在各種方法、方面中，尋找一種更好一點的方法、方面。

4、教學上運用相關的題目進行訓練，促使學生在思維上善于從同一對象中產生多種分化因素的能力，從不同的方向去思考，揭示同一本質表現(xiàn)出來的現(xiàn)象、形式之間的差異。

5、使思維富于聯(lián)想，思路寬闊，能對已知信息進行多方向、多角度的聯(lián)想，從而能夠發(fā)現(xiàn)新知識、提出新問題，得到多種解答或結論。

6、注意在學習過程中，對于學生提出的不同結論，如果講得有道理，教師就應該給予肯定，即便是與教材中的敘述有所出入，教師也不應該硬將教材中的結論強加給學生，因為任何知識的學習都要經歷由不完整到完整的過程。讓學生真實的坦陳自己的想法，尊重孩子的思維成果，不輕易否定孩子在認真思維基礎上的答案，這樣，學生才會“放下包袱、開動機器”，這樣，才會“百花齊放、百家爭鳴”。

2.17.3.10

第五篇：數(shù)學思維與小學數(shù)學教學

數(shù)學思維與小學數(shù)學教學

內容摘要：數(shù)學教學的最終目的是使學生學會一種學習方法。隨著社會的進步，人們逐漸認識到小學數(shù)學教學的首要目標是培養(yǎng)孩子的自主能力，培養(yǎng)孩子的智商。因此，小學數(shù)學教育的重點應該是培養(yǎng)學生的思維能力。這也是教學的重任和測試教學質量的關建。本文提到了數(shù)學思維的概念，講到了小學數(shù)學教育要具備的基本功和通過學習數(shù)學要養(yǎng)成的思想方法。

關健詞：數(shù)學思維 小學數(shù)學 基本功

思維即人腦對客觀現(xiàn)實的一種反應和概括，同時還夾雜著自己的主觀意識。從數(shù)學的角度對問題進行分析，并提出解決問題的方法稱作數(shù)學思維。而數(shù)學本身是對模式的一種研究，是一種抽象化的過程。數(shù)學將具體的問題普遍化、抽象化為一個純粹的數(shù)學問題，并通過抽象 的模式 解決實際問題。所以，對小學數(shù)學教學來講，以他們生活中熟悉的具體事物為依據，逐步開始以數(shù)學抽象的思維方式去進行分析。

一.數(shù)學思維的概念

數(shù)學思維是一種有條件的，按部就班的，循序漸進的思維方式，主要以判斷、推理等概念性的思維形式為主要依據，是小學生數(shù)學能力的核心體現(xiàn)。所以，在小學數(shù)學教學過程中，需要重點培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，兒童時期是邏輯思維和數(shù)學概念形成的初期。數(shù)學知識本身就具有高度的邏輯性和抽象性，所以孩子通過邏輯推理和數(shù)學思考可以鍛煉他們的分析問題，解決問題的能力，幫助孩子開發(fā)大腦潛能，提高孩子的創(chuàng)造力。

二.小學數(shù)學教學基本功的訓練與提高

小學數(shù)學教學基本功之一――數(shù)學語言運用準確。作為小學數(shù)學教師，首先要具備講數(shù)學語言的能力。數(shù)學教師在運用數(shù)學語言進行教學的時候，盡量要做到思路清晰、表述準確、語言簡潔。把復雜話變簡單，把簡單的話變成容易讓學生聽懂。保證每個學生都能準確把握教學內容。比如，一些數(shù)學老師經常會說這樣一句話：“15這個數(shù)字”，其實這是一個技術性的錯誤，數(shù)字只有0～9這十個，而15是個數(shù)，并非數(shù)字。如果老師在講課中不強調清楚，就會給學生留下一個錯誤的概念，不能準確的區(qū)分，數(shù)和數(shù)字的差別。

小學數(shù)學教學基本功之二――會寫，會畫。板書是指教師根據課堂教學的需要，在黑板上書寫的文字、符號、以及繪制的圖表。一個完整的板書可以反映教師的許多基本技能，因此教師應重視板書的設計，注重基本功的訓練。數(shù)學教學板書不是單一的，有很多內容往往要用圖形來表達。因此，作為小學數(shù)學教師還要具備繪畫的能力。

小學數(shù)學教學基本功之三――會制作教具。小學生的思維正處于從具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡階段。在小學，可以提供一些教具，但不能完全滿足教學的需要。當我們找不到合適的教具時，教師不得不自己動手，以達到教學效果。這就要求教師要具有，會制作教具的能力。

小學數(shù)學教學基本功之四――制作試卷。對于一些信息閉塞的山村學校來說，教師的這項基本功就變的更加重要。教師要根據課程標準、教學內容和學生的實際情況，制定相應的試卷，來測試學生的水平，改進教學方法，以便促進教學質量的提高，縮小與城市學校的差距。

三.小學數(shù)學教學要從不同的角度分析問題，看待問題

事實證明，人的智力是有差別的。有些學生確實學不好數(shù)學，可能怎么教都學不好！對于這樣的學生，我們也不必強求，可以換一種思維去對待。我們可以這樣看待，他數(shù)學學不好，不一定語文學不好，他只要有一門學的好，或者有一門其他方面突出的技能，“三百六十行，行行出狀元”，他就能在社會上生存，就能發(fā)揮出自己的聰明才智，為社會做貢獻。同樣會得到別人的認可?！斗钦\勿擾》的主持人孟非在主持的過程中，曾經說過一句話，他說他上學的時候，數(shù)學考20分，英語考20分，語文考150分，滿分150分。就這樣，孟非成為了中國最著名的主持人之一。其實從不同的角度去看待問題就會有不同的結果，事實也是這樣，其實以上講的，就是一種數(shù)學思維，從不同的角度去看待問題，從不同的角度去解答問題，就像解數(shù)學題的時候，一道題可能有好幾種解法，其實在這個過程中就是在培養(yǎng)學生用不同的方法解決同一個問題的能力，這個角度不行，你換一個角度，說不定就會有不同的答案。

有句話說，授之以魚不如授之以漁，數(shù)學教學不僅僅是教受學生數(shù)學課程，更多的是在傳授一種學習方法，在學習的過程中，提升學生的思維能力，解決問題的能力。其實在這個過程中鍛煉的，是人的思考方式。做為一名小?W數(shù)學老師，應該盡量開發(fā)學生的潛能，打開他們的思維能力，以達到教育的目的。

參考文獻

[1]張月紅.數(shù)學教學中如何激發(fā)學生學習興趣[J].學周刊.2016（07）

[2]岳永芳.淺談創(chuàng)新能力在數(shù)學教學中的運用[J].中國培訓.2016（06）

[3]肖必平.電子書包在小學數(shù)學教學中的應用[J].教育現(xiàn)代化.2016（26）

[4]武志紅.小學數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的學習興趣[J].生物技術世界.2014（12）

[5]王春蘭.小學數(shù)學教學與生活實踐相結合的策略[J].現(xiàn)代農村科技.2014（24）

（作者單位：重慶市墊江縣鳳山小學）