第一篇：高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的引入探索

高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的引入探索

摘要：對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的引入方法進(jìn)行探究。具體是在概述數(shù)學(xué)思維定義以及在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)中所發(fā)揮作用的基礎(chǔ)上，對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法進(jìn)行研究，并闡述了現(xiàn)階段學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)方面存在的問(wèn)題，引出幾點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的教學(xué)策略。希望與同行一起分享教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，共同提升高中不等式教學(xué)質(zhì)量。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；不等式教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；培養(yǎng)策略

高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)在高中數(shù)學(xué)體系中占據(jù)一定比例，故此不等式教學(xué)質(zhì)量關(guān)系著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的儲(chǔ)備量以及在學(xué)科考試中的能力。但是在應(yīng)試教育理念的長(zhǎng)期作用下，多數(shù)高中生被置身于不等式題海戰(zhàn)術(shù)中，沒(méi)有對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵進(jìn)行深度思考與解析，這也是高中不等式教學(xué)質(zhì)量長(zhǎng)期得不到有效提升的內(nèi)在原因之一。怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，將數(shù)學(xué)思維與不等式教學(xué)有機(jī)的整合在一起，是眾多數(shù)學(xué)教師探究的問(wèn)題，本文進(jìn)行詳細(xì)解析。1.數(shù)學(xué)思維 1.1定義

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段所謂的數(shù)學(xué)思維，可以被理解為一類總結(jié)性的思考方式，該種對(duì)問(wèn)題的思考方式實(shí)質(zhì)上就是指?jìng)€(gè)體在對(duì)以往經(jīng)驗(yàn)歸納的基礎(chǔ)上，繼而提出具備邏輯推理能力的方法和規(guī)則。數(shù)學(xué)思維通常是對(duì)不同事物間的數(shù)量關(guān)系與外界空間進(jìn)行抽象化的歸納。業(yè)內(nèi)專家按照思維的類別將其分為以下三種形式：一是直覺(jué)思維；二是形象思維；三是邏輯思維。其中直覺(jué)思維就是個(gè)體在對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)期間所產(chǎn)生的一類敏銳的判斷能力；形象思維通常是個(gè)體在對(duì)現(xiàn)實(shí)事物觀察與解析的基礎(chǔ)上而獲得的思維；邏輯思維是個(gè)體參照某一類事物邏輯層面上的規(guī)律而進(jìn)行的一種思維活動(dòng)，在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)期間的應(yīng)用，等同于對(duì)知識(shí)總結(jié)、解析與推理的過(guò)程。

1.2 數(shù)學(xué)思維在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)期間應(yīng)用的意義

和語(yǔ)文、英語(yǔ)等學(xué)科知識(shí)相比較，數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性顯著，這也是其邏輯性突出的內(nèi)在原因之一。在不等式課程知識(shí)教學(xué)期間，教師重視應(yīng)用數(shù)學(xué)思維，特別是邏輯思維，在提升不等式數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量方面體現(xiàn)巨大的應(yīng)用價(jià)值。在現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)課程教學(xué)期間，將數(shù)學(xué)思維與課程知識(shí)有效的整合在一起，能夠提高學(xué)生的整體能力，同時(shí)也加深了對(duì)不等式知識(shí)的理解程度，為創(chuàng)新能力培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。除此之外，數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活又服務(wù)與生活，故此在現(xiàn)實(shí)教學(xué)期間，教師合理的將不等式知識(shí)與實(shí)踐關(guān)聯(lián)在一起，教學(xué)質(zhì)量將會(huì)大幅度提升。

2.高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)思維方法具體是借助數(shù)學(xué)思維協(xié)助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的重心，協(xié)助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵有更為深刻的理解。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)程中，經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)思維方法有以下幾種類型，即數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、數(shù)學(xué)模型、化歸、遞推等。上述數(shù)學(xué)思維方法為高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的重要組成部分。從性質(zhì)上分析，數(shù)學(xué)思維方法與換元、代入法等數(shù)學(xué)基本方

[2]

[1]法存在顯著差異性，故此數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)應(yīng)從數(shù)學(xué)知識(shí)中進(jìn)行總結(jié)，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活實(shí)踐中。故此，教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中，教師應(yīng)積極將數(shù)學(xué)思維融合其中，進(jìn)而有效的提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

不等式知識(shí)為構(gòu)成高中數(shù)學(xué)體系主要內(nèi)容之一，可以被視為處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)性工具。在對(duì)不等式知識(shí)考查期間，可以被細(xì)化為間接考查與直接考查兩種類型。間接考查具體是指聯(lián)系函數(shù)、幾何、數(shù)列等知識(shí)對(duì)不等式知識(shí)的應(yīng)用情況進(jìn)行考查；直接考查具體是借助選擇題、填空題等方式對(duì)不等式知識(shí)進(jìn)行考查。故此，教師在對(duì)不等式知識(shí)教學(xué)期間，教師應(yīng)巧妙的將不等式課程知識(shí)與他類知識(shí)有效交融在一起，并重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)與提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維處理不等式問(wèn)題的能力，這在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面發(fā)揮的作用是極為顯著的。

3.現(xiàn)階段學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)所面對(duì)的困難 3.1 沒(méi)有認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的意義

當(dāng)下，學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)期間，經(jīng)常忽略對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)思考與解析，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的意義。這主要是在傳統(tǒng)應(yīng)試教育理念的長(zhǎng)期作用下，學(xué)生總會(huì)將更多的時(shí)間與精力投入到基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)學(xué)問(wèn)題解決程序等方面上，過(guò)度的看重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科考試分?jǐn)?shù)，為考試而學(xué)習(xí)與鞏固知識(shí)。若學(xué)生加大對(duì)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)與應(yīng)用這項(xiàng)內(nèi)容，將會(huì)耗用更多時(shí)間，但是在高中學(xué)習(xí)內(nèi)容繁重化、傳統(tǒng)理念等因素的影響下，多數(shù)高中生被沒(méi)有重視培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維能力。3.2不能扎實(shí)的掌握高中數(shù)學(xué)知識(shí)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性極為顯著，知識(shí)點(diǎn)繁雜且深?yuàn)W，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)期間遇到不同的困難。例如，在不等式課堂教學(xué)中，教師：哪位同學(xué)能正確解答丨x丨＜5這一習(xí)題？

學(xué)生：對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方的方法，有x＜5，經(jīng)因式分解得出(x+5)(x-5)＜0，最后得出的結(jié)果就是-5＜x＜5。

教師：該名同學(xué)的解答結(jié)果是完全正確的，下面我對(duì)關(guān)于丨x丨＜y這類不等式知識(shí)解題過(guò)程進(jìn)行總結(jié)，同學(xué)只要記住“先平方、再分解、后列式、相反數(shù)”幾個(gè)關(guān)鍵詞即可。

對(duì)不等式兩側(cè)內(nèi)容進(jìn)行平方是解答不等式的可用辦法。但是，但是部分學(xué)生在解決不等式習(xí)題的過(guò)程中，沒(méi)有深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵以及應(yīng)用的意義，在遇到類似題型過(guò)程中就無(wú)法舉一反三。還有一些學(xué)生在遇到所有不等式問(wèn)題時(shí)，不假思索的應(yīng)用上述方法，但是任何一個(gè)方法均不是萬(wàn)能的，在遇到極為繁瑣的數(shù)學(xué)題目時(shí)，學(xué)生在上述方法的協(xié)助下可能利用大量的時(shí)間也無(wú)法獲得正確答案，做題效率難以得到切實(shí)保障，久而久之學(xué)習(xí)積極性也被磨滅。

3.3學(xué)生統(tǒng)合各類知識(shí)點(diǎn)的能力相對(duì)薄弱化

在辦學(xué)規(guī)模較小以及師資力量相對(duì)薄弱化的現(xiàn)實(shí)情況下，剛剛步入高中數(shù)學(xué)課堂的學(xué)

2[3]生現(xiàn)實(shí)能力還不能有效應(yīng)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)期間的巨大壓力。一些學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中沒(méi)有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，沒(méi)有及時(shí)的糾正錯(cuò)誤學(xué)習(xí)方法，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)扎實(shí)有效掌握目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)就是天方夜譚了，此時(shí)他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)深度學(xué)習(xí)的興趣就會(huì)不斷下降，形成滿足自體發(fā)展的數(shù)學(xué)思維也就無(wú)從談起了。例如，在《一元二次二次不等式》課程教學(xué)期間，教師：同學(xué)們，這里有一道高考題“(2015浙江理)已知集合，2(CRP)?Q?()A.[0，1)B.(0，2]；C.(1，P?{x丨x2?2x?0｝，Q?{x丨1＜?2｝2)；D.[1，2] ”你能談?wù)劷忸}的思路嗎？

學(xué)生：應(yīng)結(jié)合不等式性質(zhì)、集合等知識(shí)點(diǎn)，并參照題意畫出相關(guān)的函數(shù)圖像就能正確解答了。

但是，在本次課堂教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生借助函數(shù)圖像不能了解一元二次不等式與二次函數(shù)以及一元二次方程方程之間的關(guān)聯(lián)性。在本次課程教學(xué)中，盡管學(xué)生能夠牢固的記憶一元二次不等式的定義，但是卻不能將其與數(shù)學(xué)問(wèn)題有效整合為一，這使數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的初始意義逐漸喪失。

4..數(shù)學(xué)思維在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)中的有效應(yīng)用

參照本文以上論述的內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)期間，將數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程與分類討論等數(shù)學(xué)思維應(yīng)用于課程教學(xué)期間，這在提升教學(xué)效果方面發(fā)揮的作用也是極為顯著的。本文進(jìn)行詳細(xì)解析，希望數(shù)學(xué)教師在實(shí)踐中重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并能夠有效應(yīng)用數(shù)學(xué)思維開(kāi)展教學(xué)工作。4.1數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)知識(shí)中將數(shù)字與圖形有效的關(guān)聯(lián)在一起的方法，被叫做數(shù)形結(jié)合，它作為一種數(shù)學(xué)思維以及數(shù)學(xué)指導(dǎo)思想在數(shù)學(xué)課程教學(xué)期間的應(yīng)用，在強(qiáng)化某些數(shù)學(xué)概念精確性以及明確不同數(shù)學(xué)變量之間關(guān)系等方面上發(fā)揮導(dǎo)向作用。在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)進(jìn)程中，標(biāo)根法在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程通常需要數(shù)形結(jié)合思維的有效引導(dǎo)的形式進(jìn)行有效指導(dǎo)。標(biāo)根法在不等式問(wèn)題處理過(guò)程中的應(yīng)用，通常會(huì)將不等式問(wèn)題處理細(xì)化為三個(gè)步驟，實(shí)質(zhì)上就是把不等式分解成數(shù)個(gè)一次因式乘積的形式，并設(shè)定每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)；把每一個(gè)一次因式的根標(biāo)記在數(shù)軸上，從最大根的右上方按照一定次序?qū)⒉煌狞c(diǎn)用曲線銜接在一起，并注意曲線的奇偶性與單調(diào)性；最后結(jié)合根據(jù)曲線呈現(xiàn)出來(lái)的符號(hào)變化規(guī)律，正確的寫出不等式的解集。在數(shù)形結(jié)合思維的引導(dǎo)下，學(xué)生在解答不等式區(qū)間解答問(wèn)題過(guò)程中能夠精確的掌握解決思路與程序，并獲得正確的答案。

例如，在《二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題》課程教學(xué)期間，教師為了使學(xué)生了解線性規(guī)劃的圖解法，并能夠正確的應(yīng)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值。

教師：這里有“（2017山東文）若直線[5]

[4]則2a?b的最小值為（）.”這一習(xí)題學(xué)生能夠談?wù)勛羁焖俚慕忸}方法嗎？

學(xué)生：采用作圖的方式

xy??1 過(guò)點(diǎn)（1，2），ab教師：那么請(qǐng)你口述作圖程度，老師在黑板上進(jìn)行操作，從而使全班同學(xué)都能夠清晰的看到作圖過(guò)程。

作圖方式在本次課堂教學(xué)中的應(yīng)用，化繁為簡(jiǎn)。數(shù)形結(jié)合思維的構(gòu)建，協(xié)助學(xué)生借助觀察、探究、辨析與動(dòng)手實(shí)踐等過(guò)程，利用多感官去感受數(shù)學(xué)建模的思想，在“數(shù)形結(jié)合”方法的引導(dǎo)下明確代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)性，使學(xué)生在鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中培養(yǎng)了是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)，不斷的提升對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，為數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成奠定優(yōu)良基礎(chǔ)，提升課堂教學(xué)效果也是毋庸置疑的事實(shí)。2.2函數(shù)方程思維

這一數(shù)學(xué)思維多數(shù)是在不等式恒成立證明的相關(guān)關(guān)系中被應(yīng)用。函數(shù)方程思維多數(shù)是應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)定義對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解析與處理，故此在高中數(shù)學(xué)不等式求解或者證明期間，數(shù)學(xué)教師同樣可以采用數(shù)學(xué)的函數(shù)思維進(jìn)行教學(xué)，并組織與引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行深度解析。在這樣的教學(xué)情景中，數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生明確該類數(shù)學(xué)思維與不等式結(jié)合的主要類型是基礎(chǔ)，繼而不斷對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行啟發(fā)，使他們探尋出處理不等式問(wèn)題的有效突破點(diǎn)，協(xié)助學(xué)生在對(duì)問(wèn)題內(nèi)涵解析的過(guò)程中探尋出處理不等式問(wèn)題的正確方法，在處理問(wèn)題以及知識(shí)點(diǎn)解讀過(guò)程中確保自體思維發(fā)展方向的精確性。解決的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)采用函數(shù)方程思想，進(jìn)而借助求得最值或極值的方法去明確有關(guān)參數(shù)的區(qū)間，借此方式去證明不等式的恒成立或者題目中所涵蓋各類條件的完整性。盡管在對(duì)恒成立問(wèn)題解析過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用也發(fā)揮一定的導(dǎo)向作用，但是函數(shù)方程思維的應(yīng)用在準(zhǔn)確計(jì)算以及規(guī)避作圖不精確問(wèn)題方面體現(xiàn)的優(yōu)越性是不可取代的。

例如，在《基本不等式的應(yīng)用》課程教學(xué)中，教師：有這樣一道習(xí)題“（2017江蘇）某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是（）”

學(xué)生：解：設(shè)公司一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為y萬(wàn)元．買貨物600噸，每次都購(gòu)

[7][6]

600次，x600因?yàn)槊看蔚倪\(yùn)費(fèi)為3萬(wàn)元，則總運(yùn)費(fèi)為3?萬(wàn)元，x1800?2x?2（0＜x≤600）． 所以y?x1800?2x?120 則y?x1800當(dāng)且僅當(dāng)＝2x，即x?30時(shí)取得最小值．

x買x噸，則需要購(gòu)買的次數(shù)為教師：該名同學(xué)解題思路清晰，結(jié)果完全正確。4.3分類討論 所以，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則每次需購(gòu)買30噸．故答案為30．

這一數(shù)學(xué)思想在含絕對(duì)值不等式題目解決方面的應(yīng)用，在鍛煉與強(qiáng)化學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)整體應(yīng)用能力方面發(fā)揮的作用是極為顯著的。在對(duì)不等式知識(shí)教學(xué)期間，教師可以鼓勵(lì)

[8]學(xué)生采用分類討論的方式對(duì)含有絕對(duì)值的問(wèn)題進(jìn)行解答。例如“分段討論法”，借助對(duì)不同集合上的討論求出不同情況中不等式的答案，最后取解的并集。在該種數(shù)學(xué)思維的協(xié)助下，不等式問(wèn)題處理的過(guò)程被有效簡(jiǎn)化。分段討論法多數(shù)被應(yīng)用在不等式解集問(wèn)題處理方面上，在分段討論思維的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠順利的將一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題細(xì)化為數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)性問(wèn)題，借助對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題解答的方式，達(dá)到正確處理原問(wèn)題的目標(biāo)。其實(shí)分段討論法可以被理解為“化整為零、各個(gè)擊破、再積零為整”的數(shù)學(xué)解題方法。結(jié)束語(yǔ)：

綜合全文論述的內(nèi)容，對(duì)數(shù)學(xué)思維在高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)學(xué)習(xí)與教學(xué)期間的應(yīng)用意義與方式有更為全面的認(rèn)識(shí)。教師教學(xué)期間應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)生在解答習(xí)題期間也應(yīng)重視應(yīng)用各類數(shù)學(xué)思維，從而強(qiáng)化對(duì)不等式知識(shí)掌握與理解的深度，以飽滿的信心迎接各類考試。參考文獻(xiàn)：

[1]呂春葉.數(shù)學(xué)思維能力在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)方法探究[J].中華少年,2017,(32):100.[2]李葉庭.基于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的實(shí)踐探索[J].青少年日記(教育教學(xué)研究),2017,(02):132.[3]陳月.論如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[J].新課程(下),2016,(09):162.[4]吳傳廣.淺析高中數(shù)學(xué)思維障礙的成因和克服辦法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016,(11):55.[5]劉青.放飛思維,突破局限——高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的實(shí)踐探析[J].數(shù)學(xué)大世界(上旬),2016,(06):62.[6]劉銀霞.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的必要性[J].考試周刊,2015,(70):54.[7]張家利.數(shù)學(xué)思維能力在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)[J].吉林教育,2014,(34):65.[8]吳水龍.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的嘗試[J].學(xué)周刊,2014,(20):180.

第二篇：數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教學(xué)

學(xué)號(hào)：

091090142

09春數(shù)本班

汪煒

目

錄

一、幾種數(shù)學(xué)思維能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）選擇判斷能力

（四）數(shù)學(xué)探索能力

二、中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的特點(diǎn)

（一）思維的敏銳性

（二）思維的不成熟性

（三）思維的可訓(xùn)練性

三、如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

（一）找準(zhǔn)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的突破口

（二）教會(huì)學(xué)生思維的方法

（三）善于調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的思維力

<<數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教學(xué)>>

-----------提綱

一、幾種數(shù)學(xué)思維能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）選擇判斷能力

（四）數(shù)學(xué)探索能力

二、中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的特點(diǎn)

（一）思維的敏銳性

（二）思維的不成熟性

（三）思維的可訓(xùn)練性

三、如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

（一）找準(zhǔn)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的突破口

（二）教會(huì)學(xué)生思維的方法

（三）善于調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的思維力

第三篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)論文

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀分析

1．高中數(shù)學(xué)難度大

中國(guó)的教育難度大，其中以數(shù)學(xué)為甚．經(jīng)過(guò)小學(xué)和初中的積累，高中數(shù)學(xué)在難度上達(dá)到了一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，無(wú)論代數(shù)還是幾何，都提高了難度．例如，很多省、市在高二的時(shí)候?qū)嵭形睦矸挚?，進(jìn)一步提高了理科班的數(shù)學(xué)難度，立體幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容不僅提升了難度，而且要求高中生充分理解并要拿到高分．?dāng)?shù)學(xué)題難度太大，致使很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了抗拒、畏懼心理，從此失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．

2．高中數(shù)學(xué)成績(jī)差距大

數(shù)學(xué)反映在成績(jī)方面的問(wèn)題是分差特別大．以文科學(xué)生為例，很多學(xué)生就是因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)太差所以選擇了文科，但是數(shù)學(xué)依舊是高考的必修科目，而且分值為160分，是所有參加高考的學(xué)生都不能避免的，分差大這個(gè)問(wèn)題在文科學(xué)生中表現(xiàn)得非常明顯，有些學(xué)生能達(dá)到150分以上，但是有的高中生數(shù)學(xué)成績(jī)卻僅能拿到70分．這樣的成績(jī)差足以說(shuō)明目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀之一就是學(xué)生數(shù)學(xué)能力差別過(guò)大、成績(jī)分差過(guò)大．

二、在高中教學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的意義

1．有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力

數(shù)學(xué)是一種比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，需要認(rèn)真仔細(xì)地推理每一步運(yùn)算，才能得出最后的正確結(jié)果．因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也是提高其邏輯推理能力的過(guò)程．同時(shí)，邏輯推理能力也是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．只有學(xué)會(huì)推理，才能掌握整門科學(xué)的精髓，一知半解是無(wú)法學(xué)好數(shù)學(xué)的，要從整體入手，一步一步地認(rèn)真推理、嚴(yán)密運(yùn)算．由此可知，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維可以提高學(xué)生的邏輯推理能力．在日常生活中，人們也是離不開(kāi)邏輯推理的，每個(gè)人的一生都會(huì)發(fā)生一些始料未及的事情，然而推理能力強(qiáng)的人就會(huì)瞬間冷靜下來(lái)，將事情的來(lái)龍去脈分析清楚，并推理出接下來(lái)的事情發(fā)展態(tài)勢(shì)．

2．有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)最根本的目的還是要提高高考成績(jī)，而沒(méi)有數(shù)學(xué)思維的學(xué)生是無(wú)法真正取得高分的．以立體幾何的解析為例，如果高中生只是會(huì)記題型，就只能保證在已經(jīng)掌握的題型上面得到高分，但是數(shù)學(xué)題是千變?nèi)f化的，需要學(xué)生真正掌握解題思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是提高分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)．此外，心理學(xué)研究表明，高中階段是人的大腦高速運(yùn)轉(zhuǎn)的活躍階段．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，能夠促進(jìn)學(xué)生的大腦活動(dòng)．真正具有數(shù)學(xué)思維能力的學(xué)生不會(huì)生搬硬套數(shù)學(xué)公式，而是會(huì)尋找解題思路，主動(dòng)解題，將抽象的習(xí)題轉(zhuǎn)化成具體的解題模式，從而用推理的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，各種難題都能夠迎刃而解．

3．有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)思維要求學(xué)生在解題過(guò)程中充分利用已有知識(shí)解決數(shù)學(xué)難題，并形成自己的解題思路，其實(shí)這就是創(chuàng)新能力的培養(yǎng)過(guò)程，能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)揮主動(dòng)性．例如，在遇到數(shù)學(xué)難題時(shí)，一個(gè)重要步驟是大膽假設(shè)，然后反推已知信息，如果假設(shè)成立，這道難題就順利解開(kāi)．這種在解題技巧上的大膽假設(shè)，其實(shí)就是創(chuàng)新的過(guò)程．

4．為學(xué)生提供鍛煉意志品質(zhì)的機(jī)會(huì)

在高中數(shù)學(xué)難度如此大的環(huán)境中，解數(shù)學(xué)題絕非易事，需要長(zhǎng)時(shí)間的知識(shí)積累，才能換來(lái)高考時(shí)的卷面高分．因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)也是一種對(duì)學(xué)生意志品質(zhì)的磨練．例如，高三的數(shù)學(xué)題往往不是通過(guò)一次運(yùn)算就能夠得出結(jié)果的，多數(shù)習(xí)題是多個(gè)問(wèn)題組成的，而每一道小問(wèn)題也需要復(fù)雜的運(yùn)算．這并不是簡(jiǎn)單的數(shù)字運(yùn)算，而是在考驗(yàn)高中生的意志力．

三、培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)思維的方法

1．改善教學(xué)環(huán)境

如果數(shù)學(xué)教學(xué)單純以高分為目的，那么教師和學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)就都集中在分?jǐn)?shù)上，而不會(huì)注重培養(yǎng)思維能力．為了讓高中生都能夠具有獨(dú)立思考、推理分析、創(chuàng)新等能力，就應(yīng)該徹底改變教學(xué)環(huán)境．學(xué)校為高中生營(yíng)造一個(gè)有利的環(huán)境，讓學(xué)生樂(lè)于主動(dòng)挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)難度，能夠在解題過(guò)程中找到樂(lè)趣，而不是以提高成績(jī)?yōu)槟康膹?qiáng)迫學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．素質(zhì)教育環(huán)境下的數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)是對(duì)自己的一生都有積極意義的基礎(chǔ)科學(xué)．

2．開(kāi)展研究性教學(xué)

研究性教學(xué)主要應(yīng)該采取啟發(fā)式的教學(xué)方法，教師設(shè)置合理的教學(xué)情境，讓學(xué)生全身心投入到數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維的重要性．例如，在一堂難度比較高的數(shù)學(xué)課上，按照學(xué)生已有知識(shí)不能很快地得到最終結(jié)果，教師就應(yīng)該首先提出假設(shè)，讓學(xué)生分成小組討論，以研究形式為主，教師指點(diǎn)學(xué)生的討論結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生得出最終結(jié)論．

作者:趙蕾 單位:江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)

第四篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐與探索

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐與探索

葉秋平浙江省龍游中學(xué)324400E-mail：zjlyyqp@163.com

摘 要： 以提高學(xué)生的素質(zhì)，特別是提高民族素質(zhì)為最終目的的數(shù)學(xué)教育，從根本上說(shuō)應(yīng)該是數(shù)學(xué)文化教育。數(shù)學(xué)文化是人類文化寶庫(kù)中的奇葩，它的內(nèi)容、思想、方法與語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。對(duì)普通高中數(shù)學(xué)教育中如何滲透數(shù)學(xué)文化正逐步受到重視。本文從數(shù)學(xué)史的教學(xué)意義、形成正確數(shù)學(xué)觀、加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用、與其他學(xué)科交融等四個(gè)方面進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透作了有益的探索。

關(guān)鍵詞：文化；數(shù)學(xué)文化價(jià)值；數(shù)學(xué)觀

數(shù)學(xué)是一種文化，已逐步成為數(shù)學(xué)教育工作者的共識(shí)。研究表明，數(shù)學(xué)的文化價(jià)值主要體現(xiàn)在：⑴數(shù)學(xué)是打開(kāi)科學(xué)大門的鑰匙；⑵數(shù)學(xué)是科學(xué)的語(yǔ)言；⑶數(shù)學(xué)是思維的工具；⑷數(shù)學(xué)是一種思想方法；⑸數(shù)學(xué)充滿理性的精神。為提高人們對(duì)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)理念與教學(xué)要求上都對(duì)滲透數(shù)學(xué)文化作了明確的要求，作為一線教師，應(yīng)如何貫徹理念，在教學(xué)實(shí)踐中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值呢？筆者從以下幾個(gè)方面進(jìn)行了嘗試。結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識(shí)，介紹數(shù)學(xué)史上重要人物、事件、優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果，展示數(shù)學(xué)文化 自20世紀(jì)70年代以來(lái)，數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的意義已引起數(shù)學(xué)教育家的重視：利用它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，啟發(fā)學(xué)生的人格成長(zhǎng)，預(yù)見(jiàn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，指導(dǎo)并豐富教師的課堂教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，構(gòu)筑數(shù)學(xué)與人文之間的橋梁，等等。

例1 蝴蝶定理研究史

如圖，橢圓的長(zhǎng)軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（0，r）（b?r?0).（Ⅰ）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；（Ⅱ）直線y?k1x交橢圓于兩點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2)(y2?0);直線y?k2x交橢圓于兩點(diǎn)G(x3,y3),H(x4,y4)(y4?0).求證：k1x1x2k2x3x4；（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的C，D，G，H，設(shè)?x1?x2x3?x

4CH交x軸于點(diǎn)P，GD交x軸于點(diǎn)Q.求證：|OP|=|OQ|.（證

明過(guò)程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

評(píng)析：本題將平面幾何中著名的“蝴蝶定理”推廣到橢

圓中。教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)介紹問(wèn)題的背景知識(shí)：早在1815年，英國(guó)倫敦出版的數(shù)學(xué)科普刊物《先生日記》中就刊登了數(shù)學(xué)

家霍納和泰洛給出的蝴蝶定理的兩個(gè)證明。而后的100多年里，不同時(shí)代的數(shù)學(xué)家不斷公布新證法。1944年2月號(hào)《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》就以“蝴蝶定理”征解。1946年，該題成為美國(guó)普南特大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的試題。20世紀(jì)70年代末80年代初，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)界也興起研究蝴蝶定理的熱潮。近兩百年來(lái)，世界各地的數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)蝴蝶定理的證明方法已達(dá)數(shù)百種，而且對(duì)蝴蝶定理的研究也逐步深入，如：將蝴蝶定理推廣到一般的曲線中、推廣到三維甚至高維空間、用機(jī)器證明蝴蝶定理等等。這充分反映了他們?cè)诳茖W(xué)探究中勇于探索、鍥而不舍的鉆研精神和態(tài)度！

數(shù)學(xué)史能使學(xué)生深深體會(huì)到數(shù)學(xué)是人類精神文明的碩果，它不僅閃耀著人類智慧的光

芒，而且它的發(fā)展也充分體現(xiàn)了人類為真理而生生不息、孜孜以求的精神。需要指出的是：

在進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育時(shí)，不能僅停留在楊輝三角比帕斯卡三角早多少年之類上，而應(yīng)客觀公正

地介紹中外科學(xué)家的長(zhǎng)處與短處，以及中外科學(xué)家發(fā)展的歷史，不搞民族狹隘主義。

2充分利用數(shù)學(xué)素材，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀

學(xué)生的數(shù)學(xué)觀（即學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)是什么？”、“數(shù)學(xué)是如何習(xí)得的？”以及“數(shù)學(xué)應(yīng)怎樣

教授？”、“面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題如何思考？”、“喜歡上什么樣的數(shù)學(xué)課”這些問(wèn)題的認(rèn)識(shí)）將直接

影響他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)與興趣，進(jìn)而直接或間接影響著學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)表現(xiàn)。數(shù)學(xué)

觀念是數(shù)學(xué)文化的核心，包括數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方式。教師應(yīng)

有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生形成如下的數(shù)學(xué)觀：數(shù)學(xué)與客觀世界有著密切的聯(lián)系，數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)是一門通過(guò)對(duì)數(shù)與形的研究揭示客觀世界秩序、和諧與統(tǒng)一美的規(guī)律的學(xué)科，數(shù)學(xué)是在探索、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中不斷發(fā)展變化的，是一門在學(xué)習(xí)過(guò)程中包含著嘗試、錯(cuò)誤、改正與改進(jìn)的一門學(xué)科。

例2 秦九韶算法

nn?1已知n次多項(xiàng)式P?n(x)?a0x?a1x計(jì)算x0k（k?an?1x?an,如果在一種算法中，＝2，3，4，?，n）的值需要k－1次乘法，計(jì)算P3(x0)的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算Pn(x0)的值共需要（k＝0，1，2，?，n－1）。利用該算法，計(jì)算PP3(x0)的0(x)?a0,Pk?1(x)?xPk(x)?ak?

1值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算Pn(x0)的值共需要次運(yùn)算。

評(píng)析：在認(rèn)知沖突（原有算法與題目提供的算法）后實(shí)現(xiàn)同化與順應(yīng)，學(xué)習(xí)到一種簡(jiǎn)化

運(yùn)算的方法。作為教師還應(yīng)挖掘隱含在其后的文化價(jià)值：⑴該算法早在南宋時(shí)期，我國(guó)數(shù)學(xué)

家秦九韶（約1202—1261）就在他的代表作《數(shù)書九章》中提出，體現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)研

究的杰出成就；⑵采用“迭代法”代替了機(jī)械的運(yùn)算，極大的減少了乘法的運(yùn)算次數(shù)，故成為計(jì)算機(jī)處理運(yùn)算問(wèn)題的基本原理，有力地推動(dòng)了信息技術(shù)的應(yīng)用與發(fā)展。這充分體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的應(yīng)用價(jià)值及數(shù)學(xué)在推動(dòng)人類文明進(jìn)步中所起的偉大作用。因此，數(shù)學(xué)不僅僅是培養(yǎng)學(xué)生

思維能力的有效載體，更是科學(xué)的語(yǔ)言，是一種文化。用數(shù)學(xué)的眼光去觀察與解釋生活中的現(xiàn)象，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)“火熱的激情”而非

“冰冷的美麗”

如今，隨便翻開(kāi)報(bào)紙，“拓樸結(jié)構(gòu)”、“數(shù)字化地球”、“伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)是一場(chǎng)數(shù)字化戰(zhàn)爭(zhēng)”

等詞句赫然在目，“數(shù)碼相機(jī)”、“線性規(guī)劃”、“體彩6+1近20期號(hào)碼技術(shù)分析”等隨處可見(jiàn),數(shù)學(xué)就在我們身邊。

例3 小概率事件

概率論中，把事件發(fā)生的概略很小的事件稱為“小概率事件”，為加深對(duì)概念的理解，舉下例說(shuō)明：

⑴××市發(fā)行“體育彩票”，十萬(wàn)張中產(chǎn)生一個(gè)特等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10萬(wàn)元，則中特等獎(jiǎng)的概

率為十萬(wàn)分之一，中獎(jiǎng)能看作小概率事件嗎？⑵伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)中，美英聯(lián)軍共向伊拉克發(fā)射了

近千枚戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈，據(jù)美國(guó)軍事專家稱其精確度在0.999以上，但實(shí)際上確有許多導(dǎo)彈

因偏離目標(biāo)而造成大量無(wú)辜平民傷亡，請(qǐng)計(jì)算一千枚戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈中至少有一枚不能命中

目標(biāo)的概率。

評(píng)析：按獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算，一千枚戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈全部命中的概率為0.9991000

≈0.368，則至少有一枚不能命中目標(biāo)的概率竟達(dá)0.632。因此，在一場(chǎng)大規(guī)模的現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)

中，一枚戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈失誤的概率0.001不能作為小概率。美國(guó)軍事專家認(rèn)為戰(zhàn)斧式巡航

導(dǎo)彈產(chǎn)生偏差的概率很小，而伊拉克及周邊國(guó)家的人民卻擔(dān)心導(dǎo)彈產(chǎn)生偏差而恐懼，這說(shuō)明

小概率事件是相對(duì)而言的。我們平時(shí)應(yīng)辯證看待與正確處理小概率事件，不能認(rèn)為“萬(wàn)無(wú)一

失”產(chǎn)生麻痹大意而“因小失大?！?/p>

例4 植物也懂?dāng)?shù)學(xué)

在一次勞動(dòng)中，某學(xué)生偶然發(fā)現(xiàn)樹(shù)從底部到頂部的分枝分布較有規(guī)律，依次為1，2，3，5，8，13、?，似乎與斐波那契數(shù)列有關(guān)，怎么會(huì)這樣呢？還是算一算吧！

假設(shè)樹(shù)苗在第一年長(zhǎng)出一條新枝，新枝一年后變?yōu)槔现?，老枝每一年都長(zhǎng)出一條新枝，每一條樹(shù)枝都按照這個(gè)規(guī)律成長(zhǎng)。問(wèn)⑴第5、6、7年的枝條分別是多少？⑵假設(shè)各年的枝條

數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，你能給出數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式嗎？⑶你能求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式嗎？

⑷計(jì)算當(dāng)n取1、2、3、4、5、6時(shí)

選擇的結(jié)果嗎？ 通過(guò)計(jì)算學(xué)生發(fā)現(xiàn)：an的值，并解釋樹(shù)枝為何按此規(guī)律生長(zhǎng)，是長(zhǎng)期自然an?1liman??ann?1?0.618?？磥?lái)，樹(shù)木也懂黃金分割，也懂得用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)

保護(hù)自我（按此規(guī)律生長(zhǎng)采光最好）。數(shù)學(xué)真是無(wú)處不在，魅力無(wú)窮！．．．．．．．．．．尋找數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)科間的交融與滲透，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性、文

化藝術(shù)性和哲理性

例5 最經(jīng)濟(jì)路線問(wèn)題

某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品用到a1、a2、a3、?、an等n種原料，A1、A2、A3、?An為工

廠的n個(gè)原料產(chǎn)地?，F(xiàn)要建立一個(gè)工廠，它所需n個(gè)產(chǎn)地的原料數(shù)量相同，為了節(jié)約，希望

各原料產(chǎn)地到工廠的直線距離之和最小，那么工廠的廠址應(yīng)選在何處？

評(píng)析：該題就數(shù)學(xué)角度求解則相當(dāng)復(fù)雜，但若注意到其背景是物理學(xué)中的能量最低原理，則有如下解法：在一塊水平光滑的木板上按實(shí)際距離的比例確定A1、A2、A3、?Ann個(gè)

點(diǎn)的位置，并在A1、A2、A3、?An點(diǎn)的位置各打一個(gè)洞，洞口光滑。將n根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)繩的一端結(jié)于一點(diǎn)，另一端分別穿過(guò)n個(gè)洞，并在繩端系上質(zhì)量相同的物體，那么，當(dāng)

系統(tǒng)平衡時(shí)，n根繩子的結(jié)點(diǎn)所在即為所求。

人們常說(shuō)：“語(yǔ)言是思維的外殼，數(shù)學(xué)是思維的體操”。此可見(jiàn)數(shù)學(xué)與語(yǔ)言在思維層面上

能夠統(tǒng)一起來(lái)?！拔镆灶惥?，人以群分”便是集合的劃分?！扒安灰?jiàn)古人，后不見(jiàn)來(lái)者，念天

地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下”抒發(fā)了生活在空曠時(shí)空里人類的萬(wàn)千感慨，不經(jīng)意間成了時(shí)間和

三維歐幾里得空間的描述。人們常常用“水滴石穿”、“只要功夫深，鐵棒磨成針”來(lái)形容有

志者事竟成，實(shí)際上從概率的角度看是非常有道理的。設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為

ξ>0，獨(dú)立重復(fù)n次，設(shè)事件B為n次試驗(yàn)中A至少有一次發(fā)生，則P（B）=1?(1??)，n

lim[1?(1??)n]?1，一件微不足道的事情，只要堅(jiān)持下去就會(huì)產(chǎn)生不可思議的結(jié)果，正是n??

“鍥而不舍，金石可鏤”。

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)，用專業(yè)知識(shí)教育人是不夠的，通過(guò)專業(yè)教育，可以使他成為一臺(tái)有用的機(jī)器，但不能成為一個(gè)和諧發(fā)展的人，他必須獲得對(duì)美和道德的辨別力，對(duì)價(jià)值有所理解且產(chǎn)生熱烈的感情，這才是最基本的。知識(shí)型的數(shù)學(xué)教育和文化型的數(shù)學(xué)教育在提高學(xué)生的素質(zhì)方面都是可以發(fā)揮作用的，只是側(cè)重點(diǎn)不同而已。因此為了充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在提高學(xué)生乃至提高全民族素質(zhì)方面的作用，我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)是綜合性的，應(yīng)兼有知識(shí)教育、能力教育、文化教育的成分。從這個(gè)意義上說(shuō)，作為數(shù)學(xué)教育工作者的我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn)！

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第五篇：數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

鄭毓信

（南京大學(xué)哲學(xué)系，江蘇南京210093）

摘要：“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革所設(shè)定的一個(gè)基本目標(biāo)。以國(guó)際上的相關(guān)研究為背景，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特

征性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C 收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28

作者簡(jiǎn)介：鄭毓信，南京大學(xué)哲學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME10）國(guó)際程序委員會(huì)委員。

對(duì)于數(shù)學(xué)思維的突出強(qiáng)調(diào)是國(guó)際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，如由美國(guó)的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)》和我國(guó)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）關(guān)于數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的論述中就可清楚地看出。然而，就小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)而言，上述的理念還不能說(shuō)已經(jīng)得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是以下的認(rèn)識(shí)：小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容過(guò)于簡(jiǎn)單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。以下將依據(jù)國(guó)際上的相關(guān)研究對(duì)這一觀點(diǎn)作出具體分析，希望能促進(jìn)這一方向上的深入研究，從而能夠?qū)τ趯?shí)際教學(xué)活動(dòng)發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用。

一、數(shù)學(xué)化：數(shù)學(xué)思維的基本形式

眾所周知，強(qiáng)調(diào)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征。“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中人類的活動(dòng)軌跡，貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，不斷溝通生活中的數(shù)學(xué)與教科書上數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使生活和數(shù)學(xué)融為一體。”就努力改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育嚴(yán)重脫離實(shí)際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們?cè)诖藙t又面臨著這樣一個(gè)問(wèn)題，即應(yīng)當(dāng)如何去處理“日常數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”之間的關(guān)系。

事實(shí)上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點(diǎn)，而這就已包括了由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)

學(xué)”的重要過(guò)渡。

例如，在幾何題材的教學(xué)中，無(wú)論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對(duì)象并非教師手中的那個(gè)木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個(gè)具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實(shí)上就已包括了由現(xiàn)實(shí)原型向相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模式”的過(guò)渡。再例如，正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實(shí)原型，如加法所對(duì)應(yīng)的既可能是兩個(gè)量的聚合，也可能是同一個(gè)量的增加性變化，同樣地，減法所對(duì)應(yīng)的既可能是兩個(gè)量的比較，也可能是同一個(gè)量的減少性變化；然而，在相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式中所說(shuō)的現(xiàn)實(shí)意義、包括不同現(xiàn)實(shí)原型之間的區(qū)別（例如，這究竟表現(xiàn)了“二元的靜態(tài)關(guān)系”還是“一元的動(dòng)態(tài)變化”）則完全被忽視了：它們所對(duì)應(yīng)的都是同一類型的表達(dá)式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實(shí)上就包括了由特殊到一般的重要過(guò)渡。

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，以上所說(shuō)的可說(shuō)是一種“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，后者集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)：數(shù)學(xué)可被定義為“模式的科學(xué)”，也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)中我們并非是就各個(gè)特殊的現(xiàn)實(shí)情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過(guò)渡到了更為普遍的“模

式”。

也正由于數(shù)學(xué)的直接研究對(duì)象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實(shí)情景，這就為相應(yīng)的“純數(shù)學(xué)研究”提供了現(xiàn)實(shí)的可能性。例如，就以上所提及的加減法運(yùn)算而言，由于其中涉及三個(gè)不同的量（兩個(gè)加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學(xué)的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問(wèn)題，即如何依據(jù)其中的任意兩個(gè)量去求取第三個(gè)量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個(gè)已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問(wèn)另一個(gè)數(shù)是幾？”或者“兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問(wèn)另一個(gè)數(shù)是幾？”我們?cè)诖耸聦?shí)上已由“具有明顯現(xiàn)實(shí)意義的量化模式”過(guò)渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見(jiàn)，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一些重要特點(diǎn)，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實(shí)意義與純數(shù)學(xué)研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當(dāng)然，從理論的角度看，我們?cè)诖擞謶?yīng)考慮這樣的問(wèn)題，即應(yīng)當(dāng)如何去認(rèn)識(shí)所說(shuō)的純數(shù)學(xué)研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)明確肯定由“日常數(shù)學(xué)”過(guò)渡到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的必要性，或是應(yīng)當(dāng)唯一地堅(jiān)持立足

[1]

于現(xiàn)實(shí)生活。

由于后一問(wèn)題的全面分析已經(jīng)超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點(diǎn)：與現(xiàn)實(shí)意義在一定程度上的分離對(duì)于學(xué)生很好地把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是十分重要的。這正是國(guó)際上的相關(guān)研究、特別是近年來(lái)所興起的“民俗數(shù)學(xué)”研究的一個(gè)重要結(jié)論：盡管“日常數(shù)學(xué)”具有密切聯(lián)系實(shí)際的優(yōu)點(diǎn)，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發(fā)的數(shù)學(xué)能力”，人們往往就不善于從反面去思考問(wèn)題，與此相對(duì)照，通過(guò)學(xué)校中的學(xué)習(xí)，上述的情況就會(huì)有很大改變，這就是說(shuō)，純數(shù)學(xué)的研究“在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)使用逆運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現(xiàn)實(shí)情景，所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)在“可遷移性”方面也會(huì)表現(xiàn)出

很大的局限性。

一般地說(shuō)，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對(duì)學(xué)生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固、適當(dāng)重組、擴(kuò)展和組織化的過(guò)程，這就意味著由孤立的數(shù)學(xué)事實(shí)過(guò)渡到了系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及對(duì)于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學(xué)教育家斯根普所指出的：“兒童來(lái)到學(xué)校雖然還未接受正式教導(dǎo)，但所具備的數(shù)學(xué)知識(shí)卻比預(yù)料的多??他們所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動(dòng)中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識(shí)，同時(shí)需擴(kuò)展他們這種知識(shí)，使其與我們社會(huì)文化部分中的高度緊密的知識(shí)體系相結(jié)合。”

當(dāng)然，我們還應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活“復(fù)歸”的重要性。這正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對(duì)各種不同的集合進(jìn)行計(jì)數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對(duì)各種不同的量進(jìn)行度量。??盡管運(yùn)算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個(gè)運(yùn)算──這即是借助于算法所表明的事實(shí)。作為計(jì)算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對(duì)的文字題中的算術(shù)問(wèn)題的來(lái)源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡(jiǎn)單性，在計(jì)算的同時(shí)我們又必須能夠由算法的簡(jiǎn)單性回到多樣化的現(xiàn)實(shí)?！?/p>

總的來(lái)說(shuō)，這就應(yīng)當(dāng)被看成“數(shù)學(xué)化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實(shí)原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問(wèn)題，而且也包括了對(duì)于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的“復(fù)歸”。另外，相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加注意如何幫助學(xué)生很好地去掌握“數(shù)學(xué)化”的思想，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解“情境設(shè)置”與“純數(shù)學(xué)研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)化??是一條保證實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑??情境和模型，問(wèn)題與求解這些活動(dòng)作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法?！?/p>

二、凝聚：算術(shù)思維的基本形式

由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重

要的指導(dǎo)意義。

具體地說(shuō)，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過(guò)程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個(gè)過(guò)程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對(duì)象──對(duì)此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對(duì)象去施行進(jìn)一步的運(yùn)算。例如，加減法在最初都是作為一種過(guò)程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過(guò)程：由兩個(gè)加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運(yùn)算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個(gè)過(guò)程，而且也被認(rèn)為是一個(gè)特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個(gè)“凝聚”的過(guò)程，即由一個(gè)包含多個(gè)步驟的運(yùn)作過(guò)程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對(duì)象。再如，有很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)定義為“兩個(gè)整數(shù)相除的值”而不是“兩個(gè)整數(shù)的比”，這事實(shí)上也可被看成包括了由過(guò)程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說(shuō)，就分?jǐn)?shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運(yùn)算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對(duì)象去實(shí)施加減乘除等運(yùn)算。

對(duì)于所說(shuō)的“凝聚”可進(jìn)一步分析如下：

第一，“凝聚”事實(shí)上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說(shuō)集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來(lái)的東西射或反射到一個(gè)新的層面上，并對(duì)此進(jìn)行重新建構(gòu)”。這正如著名哲學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰所指出的：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來(lái)考慮，而這種建構(gòu)始終是完全開(kāi)放的??當(dāng)數(shù)學(xué)實(shí)體從一個(gè)水平轉(zhuǎn)移到另一個(gè)水平時(shí)，它們的功能會(huì)不斷地改變；對(duì)這類‘實(shí)體’進(jìn)行的運(yùn)演，反過(guò)來(lái)，又成為理論研究的對(duì)象，這個(gè)過(guò)程在一直重復(fù)下去，直到我們達(dá)到了一種結(jié)構(gòu)為止，這種結(jié)構(gòu)或者正在形成‘更強(qiáng)’的結(jié)構(gòu)，或者在由‘更強(qiáng)的’結(jié)構(gòu)來(lái)予以結(jié)構(gòu)化?！崩?，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發(fā)展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構(gòu)”。

第二，以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個(gè)階段：（1）內(nèi)化；（2）壓縮；（3）客體化。其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準(zhǔn)備。前者是指用思維去把握原先的視覺(jué)性程序，后者則是指將相應(yīng)的過(guò)程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對(duì)所說(shuō)的過(guò)程作出描述或進(jìn)行反思──我們?cè)诖瞬粌H不需要實(shí)際地去實(shí)施相關(guān)的運(yùn)作，還可從更高的抽象

[6]

[5]

[4]

[3]

[2]

水平對(duì)整個(gè)過(guò)程的性質(zhì)作出分析；另外，相對(duì)于前兩個(gè)階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過(guò)程現(xiàn)在變成了一個(gè)靜止的對(duì)象。容易看出，上述的分析對(duì)于我們改進(jìn)教學(xué)也具有重要的指導(dǎo)意義。例如，所說(shuō)的“內(nèi)化”就清楚地表明了這樣一點(diǎn)：我們既應(yīng)積極提倡學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，但又不應(yīng)停留于“實(shí)際操作”，而應(yīng)十分重視“活動(dòng)的內(nèi)化”，因?yàn)?，不然的話，就不可能形成任何真正的?shù)學(xué)思維。另外，在不少學(xué)者看來(lái)，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳

統(tǒng)做法的合理性。

第三，由“過(guò)程”向“對(duì)象”的過(guò)渡不應(yīng)被看成一種單向的運(yùn)動(dòng)；恰恰相反，這兩者應(yīng)被看成同一概念心理表征的不同側(cè)面，我們應(yīng)善于依據(jù)不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉(zhuǎn)換，包括由“過(guò)程”轉(zhuǎn)向“對(duì)象”，以及由“對(duì)象”重新回到“過(guò)程”。

例如，在求解代數(shù)方程時(shí)，我們顯然應(yīng)將相應(yīng)的表達(dá)式，如（x+3）2=1,看成單一的對(duì)象，而非具體的計(jì)算過(guò)程，不然的話，就會(huì)出現(xiàn)（x+3）2=1=x2+6x+9=1=?這樣的錯(cuò)誤；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗(yàn)，我們又必須將其代入原來(lái)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，而這時(shí)所采取的則就是一種“過(guò)程”的觀點(diǎn)。

正因?yàn)樵凇斑^(guò)程”和“對(duì)象”之間存在所說(shuō)的相互依賴、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，因此，一些學(xué)者提出，我們應(yīng)把相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念看成一種“過(guò)程—對(duì)象對(duì)偶體”procept,這是由“過(guò)程”（process）和（作為對(duì)象的）“概念”（concept）這兩個(gè)詞組合而成的。，即應(yīng)當(dāng)認(rèn)為其同時(shí)具有“過(guò)程”與“對(duì)象”這樣兩個(gè)方面的性質(zhì)。再者，我們又應(yīng)很好地去把握相應(yīng)的思維過(guò)程（可稱為“過(guò)程—對(duì)象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對(duì)偶性”，是指在“過(guò)程”與相應(yīng)的“對(duì)象”之間所存在的相互依存、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系；（2）“含糊性”，這集中地體現(xiàn)于相應(yīng)的符號(hào)表達(dá)式：它既可以代表所說(shuō)的運(yùn)作過(guò)程，也可以代表經(jīng)由凝聚所生成的特定數(shù)學(xué)對(duì)象；（3）靈活性，是指我們應(yīng)根據(jù)情境的需要自由地將符號(hào)看成過(guò)程或概念。特殊地，數(shù)學(xué)中常常會(huì)用幾種不同的符號(hào)去表征同一個(gè)對(duì)象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過(guò)程”與“對(duì)象”之間的轉(zhuǎn)化，而且也是指不同的“過(guò)程—對(duì)象對(duì)偶體”之間的轉(zhuǎn)化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見(jiàn)，在算術(shù)的教學(xué)中我們應(yīng)自覺(jué)地應(yīng)用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。

三、互補(bǔ)與整合：數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特征

以上關(guān)于“過(guò)程—對(duì)象性思維”的論述顯然已從一個(gè)側(cè)面表明了互補(bǔ)與整合這一思維形式對(duì)于數(shù)學(xué)的特殊重要性。以下再以有

理數(shù)的學(xué)習(xí)為例對(duì)此作出進(jìn)一步的說(shuō)明。

首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補(bǔ)與整合。

具體地說(shuō)，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識(shí)到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；而應(yīng)對(duì)有理數(shù)的各種解釋（或者說(shuō)，相應(yīng)的心理建構(gòu)）很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。

例如，在教學(xué)中人們往往唯一地強(qiáng)調(diào)應(yīng)從“部分與整體的關(guān)系”這一角度去理解有理數(shù)，特別是，分?jǐn)?shù)常常被想象成“圓的一個(gè)部分”。然而，實(shí)踐表明，局限于這一心理圖像必然會(huì)造成一定的學(xué)習(xí)困難、甚至是嚴(yán)重的概念錯(cuò)誤。例如，如果局限于上述的解

釋，就很難對(duì)以下算法的合理性作出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=?

其次，我們應(yīng)注意不同表述形式之間的相互補(bǔ)充與相互作用。

這也正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，即突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、主動(dòng)探索與合作交流：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式??教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！盵7]（2）由于實(shí)踐活動(dòng)（包括感性經(jīng)驗(yàn)）構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的重要基礎(chǔ)，合作交流顯然應(yīng)被看成學(xué)習(xí)活動(dòng)社會(huì)性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強(qiáng)調(diào)的是，除去對(duì)于各種學(xué)習(xí)方式與表述形式的直接肯定以外，我們應(yīng)更加重視在不同學(xué)習(xí)方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補(bǔ)。這正如美國(guó)學(xué)者萊許（R.Lesh）等所指出的：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表述方式──如圖像，書面語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、現(xiàn)實(shí)情

景等──同樣也發(fā)揮了十分重要的作用?！?/p>

再次，我們應(yīng)清楚地看到解題方法的多樣性及其互補(bǔ)關(guān)系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化?！?/p>

[7]（53）

當(dāng)然，在大力提倡解題策略多樣化的同時(shí)，我們還應(yīng)明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說(shuō)，我們不應(yīng)停留于對(duì)于不同方法在數(shù)量上的片面追求，而應(yīng)通過(guò)多種方法的比較幫助學(xué)生學(xué)會(huì)鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應(yīng)用各種不同的方法。顯然，后者事實(shí)上也就從另一個(gè)角度更為清楚地表明了“互補(bǔ)與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。

最后，我們應(yīng)清楚地看到在形式和直覺(jué)之間所存在的重要的互補(bǔ)關(guān)系。特別是，就由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的過(guò)渡而言，不應(yīng)被看成對(duì)于學(xué)生原先所已發(fā)展起來(lái)的素樸直覺(jué)的徹底否定；毋寧說(shuō)，在此所需要的就是如何通過(guò)學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使之“精致化”，以及隨著認(rèn)識(shí)的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學(xué)直覺(jué)。在筆者看來(lái)，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“數(shù)感”的論述，這就是，課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)努力“發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”，而后者又并非僅僅是指各種相關(guān)的能力，如計(jì)算能力等，還包含“直覺(jué)”的含義，即對(duì)于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對(duì)數(shù)的相對(duì)大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據(jù)需要作出迅速的估算。當(dāng)然，作為問(wèn)題的另一方面，我們又應(yīng)明確地肯定幫助學(xué)生牢固地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與基本技能的重要性，特別是，在需要的時(shí)候能對(duì)客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面作出準(zhǔn)確的刻畫和計(jì)算，并能對(duì)運(yùn)算的合理性作出適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明──顯然，后者事實(shí)上已超出了“直覺(jué)”的范圍，即主要代表了一種自覺(jué)的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺(jué)”以外，著名數(shù)學(xué)教育家費(fèi)施拜因曾突出地強(qiáng)調(diào)了“算法”的掌握對(duì)于數(shù)學(xué)的特殊重要性。事實(shí)上，即使就初等數(shù)學(xué)而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠(yuǎn)、走不遠(yuǎn)，更不能騰飛??可是你要一引進(jìn)代數(shù)方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個(gè)人都可以做，用不著天才人物想出許多招來(lái)才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠(yuǎn)而且可以騰飛。”

[8]這正是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的一個(gè)基本事實(shí)，即一種重要算法的形成往往就標(biāo)志著數(shù)學(xué)的重要進(jìn)步。也正因?yàn)榇?，費(fèi)施拜因?qū)⑿问健⒅庇X(jué)與算法統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)的三個(gè)基本成分”，并專門撰文對(duì)這三者之間的交互作用進(jìn)行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補(bǔ)與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。

綜上可見(jiàn)，即使是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學(xué)中我們應(yīng)作出切實(shí)的努力以很好地落實(shí)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法”這一重要目標(biāo)。