第一篇：A 證明線線平行的方法

A 證明線線平行的方法：

①面面平行的判定：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

②線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。③平行線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線。

④基本性質(zhì)四：平行于同一直線的兩直線互相平行。

B 證明線面平行的方法：

①面面平行的性質(zhì)：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

②線面平行的性質(zhì)：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

③定義：直線a與平面ａ沒有公共點(diǎn)，則直線與平面平行。

C 證明面面平行的方法：

①定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面互相平行。②面面平行的判定：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

③面面平行的性質(zhì)：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行。

第二篇：110909用向量的方法來證明線線垂直

廣州藝術(shù)學(xué)校美術(shù)繪畫專業(yè)3708855611-09-09

用向量的方法來處理線線垂直

異面的線線垂直通常都要化成線線垂直，但是很多學(xué)生不清楚應(yīng)該找哪一個(gè)線面垂直，用向量的方法就避免了找的過程。

1、在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC

???????????????證明：（1）建立向量：設(shè)AB?a，AC?b，AV?c

1VA=VC：（2）翻譯條件：○?????????????VC?VA?AC??c?b，得

???|c|?|?c?b|化簡得：___________________________________

??????????????AB=BC：BC?BA?AC??b?a，得○

_____________，化簡得_______________________________________

???????????????（3）翻譯結(jié)論：VB⊥AC：VB?VA?AB??c?a，要證明：(?c?a)?b?0

計(jì)算過程：

2、（同上題）在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC

???????????????證明：設(shè)BA?a，BC?b，BV?c3、在三棱錐A—BCD中，AB⊥平面BCD，DC=DB，E為BC中點(diǎn)，求證：AC⊥DE；

???????????????證明：（1）建立向量：設(shè)BD?a，BC?b，BA?cAB⊥平面翻譯條件：○????????BCD：c?a,c?b，得c?a?0,c?b?0DC=DB：○?????????????????DC?DB?BC??a?b，得：|?a?b|?|a|

化簡得：_______________________________E○????????1????1?為BC中點(diǎn)：BE?EC?BC?b 2

2??????????????翻譯結(jié)論：AC⊥DE：AC?AB?BC??c?b

?????????????1?DE?DB?BE??a?b 2???1?要證明：(?c?b)?(?a?b)?0 2

計(jì)算過程：

4、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，?DAB?60?，AB?2AD，PD?底面ABCD．證明：PA?BD；

???????????????證明：設(shè)設(shè)DA?a，DC?b，DP?c

1底面翻譯條件：○?????????ABCD為平行四邊形：AB?DC?b

????????????????02?DAB?60?：AD?AB?|AD|?|AB|?cos60= ○

3○??AB?2AD：|b|?2|a|

4PD?底面ABCD：_________________________________________ ○

翻譯結(jié)論：

5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o

證明：AB⊥PC6、如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA；

7、如圖5.在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60?，PA?PD?E是BCC的中點(diǎn).證明：（1）AD⊥DE（2）AD⊥PB8、已知在三棱錐S--ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC于D，求證：AD⊥SB

???????????????證明：（1）建立向量：設(shè)CA?a，CB?b，CS?cBC⊥平面SAC：_______________________________ 翻譯條件：○

??????????????

2AD⊥SC：AD?AC?CD??a?kc（不知道D點(diǎn)位于SC什么位置）○

得：___________________________________

?????????????翻譯結(jié)論：AD⊥SB：SB?SC?CB??c?b

要證明： ______________________________________

第三篇：第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直

第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直

一、空間向量及其數(shù)量積

1、在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用AB或a表示，其中向量的大小稱為向量的長度或

或a。正如平面向量可用坐標(biāo)(x,y.)表示，空間向量也可用坐標(biāo)(x,y,z)表示。若已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1，z1）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2，z2）則向量AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)。222在空間，知道向量=（x，y，z

x?y?z ?

2、空間向量數(shù)量積

① 已知兩個(gè)非零向量a、b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則角∠AOB叫向量a與b的夾角，記作＜a，b＞規(guī)定，若0≤＜a，b＞≤?，若＜a，b＞=

⊥。

② 已知空間兩個(gè)向量a、b

COS＜a，b＞叫向量a、b的數(shù)量積，記作a?b

COS＜，＞若⊥?a?＝０

③ 若已知空間向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）則a?b＝x1x2+y1y2+z1z2，COS＜a，?，稱a與b垂直，記作a2?

??x1x2?y1y2?z1z

2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222

例１ 如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分別為A1B1、A1C1中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，求向BD1與AE1所成角的余弦值。

B

D1 1Ｃ

6練習(xí)：已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

F

C1B

1C

DB

二、利用向量證線線垂直與線面垂直

A1B

1，求向量BE1與DF1所成角的余弦值。

4例2 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證A1C⊥平面AB1D1

CC

練習(xí)：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P為DD1的中點(diǎn)，求證：B1O⊥平面PAC。

A

例3 如圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，M, N分別是AB ,PC中點(diǎn)（1）求證：MN⊥CD

（2）若∠PDA=45，求證：MN⊥平面PCD

6N M

B

C

練習(xí)：正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是棱D1D中點(diǎn)，N是AD中點(diǎn)，P為棱A1B1上任一點(diǎn)。求證：NP⊥AM

作業(yè)：

A1

C1

M C 1.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1中點(diǎn)，O是底面ABCD中心，求證：OE⊥平面D1AC.2.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，O ,M分別是BD1, AA1中點(diǎn)，求證：OM是異面直線AA1和BD1的公垂線.DA13、如圖，直三棱柱ABC-—A1B1C1中，∠ACB=90，AC=1，CB=2，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩

條對角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M。求證：CD⊥平面BDM

6AB B1

4在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB和BC的中點(diǎn)，M為棱B1B

上任一點(diǎn)，當(dāng)

B1M

值為多少時(shí)能使D1M⊥平面EFB1 MB

A

E5、如圖，?ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，求證：AF⊥BD

C

A6、如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1=A1C1，A1B⊥AC1。求證：A1B⊥B1C

Ａ

Ａ111

第四篇：線面 線線面面平行垂直方法總結(jié)

所有權(quán)歸張志濤所有

線線平行

1.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。（一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.）

2.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。3.【定義】同一平面內(nèi)，兩直線無公共點(diǎn)，稱兩直線平行

3.【公理】平行于同一直線的兩條直線互相平行.（空間平行線傳遞性）4.【定理】同位角相等，或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.5.平行線分線段成比例定理的逆定理

線面平行

1.面外一條線與面內(nèi)一條線平行，或兩面有交線強(qiáng)調(diào)面外與面內(nèi)（如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。）

2.面外一直線上不同兩點(diǎn)到面的距離相等，強(qiáng)調(diào)面外

3.如果連條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 4.證明線面無交點(diǎn)

5.反證法（線與面相交，再推翻）

6.空間向量法，證明線一平行向量與面內(nèi)一向量（x1x2-y1y2=0）7.【定義】直線與平面無公共點(diǎn)，稱直線與平面平行

8.X7【定理】如果兩個(gè)平面平行，那么其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.面面平行

1.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

2.若兩個(gè)平面所夾的平行線段相等，則這兩個(gè)平面平行.3.【定理】一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行.4.【定義】兩平面無公共點(diǎn)，稱兩平面平行.5.【公理】平行于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.（空間平行面?zhèn)鬟f性）

6.【定理】一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.線線垂直

1如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則這個(gè)平面上的任意一條直線都與這條直線垂直。2.三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則這

所有權(quán)歸張志濤所有

條直線垂直于斜線。

線面垂直

1.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

2.如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

面面垂直

1.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

2.【性質(zhì)】X2逆定理、X4、X6及垂直關(guān)系性質(zhì)

主要性質(zhì)

1.X1【定理】空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).（等角定理）

1.X2【定理】三條平行線截兩條直線，所得對應(yīng)線段成比例.（平行線分線段成比例定理）

直線在平面內(nèi)判定方法

1.【定義】直線與平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，稱直線在平面內(nèi).2.【公理】如果一條直線上兩點(diǎn)在一平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).3.【公理】任意兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；兩相交直線、兩平行直線確定一平面.4.【性質(zhì)】X3及垂直關(guān)系性質(zhì)

5.X3【定理】過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線平行于此平面的一條平行線，則此直線在這個(gè)平面內(nèi).直線在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則該直線與此平面平行.2.【性質(zhì)】X5、X7及垂直關(guān)系性質(zhì)

主要性質(zhì)

3.X4【定理】一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.4.X5【定理】平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，則另一條也平行于這個(gè)平面.所有權(quán)歸張志濤所有

【性質(zhì)】

1.【性質(zhì)】X8逆定理、X9及垂直關(guān)系性質(zhì)

2.X8【定理】夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.3.X9【結(jié)論】經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.（存在性與唯一性）

第五篇：線線平行的證明

線與線平行的證明

一。定義：同在一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線平行。

二。利用幾何圖形：三角形中中位線、邊成比例，平行四邊形等

三。公理四，平行于同一條直線的兩條直線。

四。線面平行的性質(zhì)

五。面面平行的性質(zhì)。

一例1.設(shè)平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b.求證：a∥b∥c.二例2.如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，BD上的點(diǎn)且PE∶EA?BF∶FD，求證：EF//平面PBC．

答案：證明：連結(jié)AF并延長交

于．連結(jié)，BFMFPEBFPEMF???，又由已知，∴． FDFAEAFDEAFA

由平面幾何知識可得EF//PM，又EF?PBC，PM?平面PBC，∴EF//平面PBC

． ∵AD//BC，∴

E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求二。例3.如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，證：EF//平面BB1D1D．

答案：證明：如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB，11∵OF平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，2

2∴OF平行且等于BE，則OFEB為平行四邊形，∴EF//BO．

∵EF?平面BB1D1D，BO?平面BB1D1D，∴EF//平面BB1D1D．

三、四第1題.已知????a，????m，????b，且m//?，求證：a//b． 答案：證明：

????m??

??

m//???m//a??a//b．

?????a??同理?m//b?

第9題.如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，試作出過AC且與直線D1B平行的截面，并說明理由．

答案：解：如圖，連接DB交AC于點(diǎn)O，取D1D的中點(diǎn)M，連接MA，MC，則截面MAC即為所求作的截面．

∵M(jìn)O為△D1DB的中位線，∴D1B//MO．

∵D1B?平面MAC，MO?平面MAC，∴D1B//平面MAC，則截面MAC為過AC且與直線D1B平行的截面．

第20題.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

求證：MN//平面PAD．

答案：證明：如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接NE，ME ∵M(jìn)，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，∴NE//PD，ME//AD，可證明NE//平面PAD，ME//平面PAD． 又NE?ME?E，∴平面MNE//平面PAD，又MN?平面MNE，∴MN//平面PAD．

第7題.如圖，已知P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，求證：PD//平面MAC．

答案：證明：連接AC、BD交點(diǎn)為O，連接MO，則MO為△BDP的中位線，∴PD//MO．

∵PD?平面MAC，MO?平面MAC，∴PD//

平面MAC．