第一篇：線線平行的證明

線與線平行的證明

一。定義：同在一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線平行。

二。利用幾何圖形：三角形中中位線、邊成比例，平行四邊形等

三。公理四，平行于同一條直線的兩條直線。

四。線面平行的性質(zhì)

五。面面平行的性質(zhì)。

一例1.設(shè)平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b.求證：a∥b∥c.二例2.如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是PA，BD上的點且PE∶EA?BF∶FD，求證：EF//平面PBC．

答案：證明：連結(jié)AF并延長交

于．連結(jié)，BFMFPEBFPEMF???，又由已知，∴． FDFAEAFDEAFA

由平面幾何知識可得EF//PM，又EF?PBC，PM?平面PBC，∴EF//平面PBC

． ∵AD//BC，∴

E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點，求二。例3.如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，證：EF//平面BB1D1D．

答案：證明：如圖，取D1B1的中點O，連接OF，OB，11∵OF平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，2

2∴OF平行且等于BE，則OFEB為平行四邊形，∴EF//BO．

∵EF?平面BB1D1D，BO?平面BB1D1D，∴EF//平面BB1D1D．

三、四第1題.已知????a，????m，????b，且m//?，求證：a//b． 答案：證明：

????m??

??

m//???m//a??a//b．

?????a??同理?m//b?

第9題.如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，試作出過AC且與直線D1B平行的截面，并說明理由．

答案：解：如圖，連接DB交AC于點O，取D1D的中點M，連接MA，MC，則截面MAC即為所求作的截面．

∵M(jìn)O為△D1DB的中位線，∴D1B//MO．

∵D1B?平面MAC，MO?平面MAC，∴D1B//平面MAC，則截面MAC為過AC且與直線D1B平行的截面．

第20題.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點．

求證：MN//平面PAD．

答案：證明：如圖，取CD的中點E，連接NE，ME ∵M(jìn)，N分別是AB，PC的中點，∴NE//PD，ME//AD，可證明NE//平面PAD，ME//平面PAD． 又NE?ME?E，∴平面MNE//平面PAD，又MN?平面MNE，∴MN//平面PAD．

第7題.如圖，已知P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M為PB的中點，求證：PD//平面MAC．

答案：證明：連接AC、BD交點為O，連接MO，則MO為△BDP的中位線，∴PD//MO．

∵PD?平面MAC，MO?平面MAC，∴PD//

平面MAC．

第二篇：線線、線面平行垂直的證明

空間線面、面面平行垂直的證明

12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點，（Ⅰ）求證：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如圖，在正方形ABCD?A'B'C'D'，A'（1）求證：A'B//平面ACD'；

（2）求證：平面ACD'?平面DD'B。

A

4.如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點，求證：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC和BD的交點.求證：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1?平面AB1D1．

DA

C1

C

(5題圖)

6.如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，點P為

DD1的中點。

（1）求三棱錐D?PAC的體積；（2）求證：直線BD1∥平面PAC；（3）求證：直線PB1?平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如圖，在四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，側(cè)棱

PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點，作EF?PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：DE?BC

（3）證明：PB?平面EFD。

8.ABCD?A1B1C1D1是長方體，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱

A

AA1?2，E是側(cè)棱BB1的中點.（Ⅰ）求證：AE?平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱錐A?C1D1E的體積.

第三篇：線面平行的證明中的找線技巧

線面平行的證明中的找線技巧

1.已知直線a∥平面?，直線a∥平面?，平面??平面?=b，求證a//b．

分析： 利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達(dá)到a∥b的目的．可借用已知條件中的a∥α及a∥β來實現(xiàn)．

證明：經(jīng)過a作兩個平面?和?，與平面?和?分別相交于直線c和d，∵a∥平面?，a∥平面?，∴a∥c，a∥d，∴c∥d，又∵d?平面?，c?平面?，∴c∥平面?，又c?平面?，平面?∩平面?=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．

2．已知：空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,AD的中點，求證：EF//A平面BCD． 證明：連結(jié)BD，在?ABD中，∵E,F分別是AB,AD的中點，∴EF//BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF//平面BCD．

3、已知：空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中點.求證:EF∥平面BCD。

B

證明：連結(jié)BD，在△ABD中，∵E、F分別是AB、AD的中點 ∴ EF∥BD

B正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且AP=DQ.求證：PQ∥面BCE.又 EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD（直線和平面平行判定定理）

A

F

D

C

證法一：如圖9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,連接MN,因為面ABCD∩面ABEF=AB,則AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN, ∴

PMAB

?PEAE,QNDC

?

BQBD

.∴

PMAB

?

QNDC

.∴即四邊形PMNQ為平行四邊形.∴PQ∥MN.又∵M(jìn)N?面BCE，PQ?面BCE，∴PQ∥面BCE.證法二：如圖9-3-4(2)，連結(jié)AQ并延長交BC或BC的延長線于點K，連結(jié)EK.∵AD∥BC,∴

DQQB

?

AQQK

.又∵正方形ABCD與正方形ABEF有公共邊AB，且AP=DQ，∴

AQQK

?APPE

.則PQ∥EK.∴EK?面BCE，PQ?面BCE.∴PQ∥面BCE.點撥：證明直線和平面平行的方法有：①利用定義采用反證法；②判定定理；③利用面面平行，證線面平行.其中主要方法是②、③兩法，在使用判定定理時關(guān)鍵是確定出面內(nèi)的與面外直線平行的直線.5 已知：如圖9-3-6，面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α

2.求證：a∥b.證法一：過直線a作兩個平面β1和β2，使得平面β1∩平面β1=c，面β2∩面α2=d.∵a∥面α1，a∥面α2，∴a∥c，a∥d.∴c∥d.∵d?面α2,c?面α2.∴c∥面α2.又∵c?面α1，面α1∩面α2=b，∴c∥b.∴a∥b.證法二：經(jīng)過a作一平面π，使得平面π∩面α1=k，面π∩面α2=l.∵a∥面α1，a∥面α2, ∴a∥k，a∥l，則k∥l∥a.∵三個平面α

1、α

2、π兩兩相交，交線分別為k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，則a∥b.證法三：在b上任取一點A，過A和直線a作平面和平面α1相交于l1，和平面α2相交于直線l2.∵a∥面α1,a∥面α2, ∴a∥l1,a∥l2.∵過一點只能作一條直線與另一直線平行，∴l(xiāng)1與l2重合.又∵l1?面α1，l2?面α2，∴l(xiāng)1與l2重合于b.∴a∥b.點撥:證明直線與直線平行,有下列方法:(1)若a,b?面α，則a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,則a∥c；(4)若a∥α；a?β,α∩β=b,則a∥b.6.P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,Q是PA的中點.求證：PC∥面BDQ..證明：如答圖9-3-2，連結(jié)AC交BD于點O.∵ABCD是平行四邊形，∴AO=OC.連結(jié)OQ，則OQ在平面BDQ內(nèi)，且OQ是△APC的中位線，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.7.在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中點.求證：(1)E、F、B、D

四點共面；（2）面AMN∥面EFBD..證明:(1)分別連結(jié)B1D1、ED、FB，如答圖9-3-3，則由正方體性質(zhì)得 B1D1∥BD.∵E、F分別是D1C1和B1C1的中點，∴∴121

2B1D1.BD.∴E、F、B、D對共面.（2）連結(jié)A1C1交MN于P點，交EF于點Q，連結(jié)AC交BD于點O，分別連結(jié)PA、QO.∵M(jìn)、N為A1B1、A1D1的中點，∴MN∥EF，EF?面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵O,∴四邊形PAOQ為平行四邊形.∴PA∥OQ.而OQ?平面EFBD，∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN?面AMN，∴平面AMN∥平面EFBD.?//

?S?72S。

證明：

GD?GH?G?AC//BD?

???EAC??FBD

HE?HA?H?AE//BF?

?

ACBD

?GAGB

?9

21AE∥BF

?

BFAE

?HBHA

?1628

AC∥BD

S?AECS?BFD

?

212

AC?AE?sinA

?

BF?BD?sinB

373??74

4∴ SBFD?96正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如圖所示）M、N在對角線AC、FB上且AM= FN。求證：MN //平面BCE

證：過N作NP//AB交BE于P，過M作MQ//AB交BC于Q

CM

QM

BN

NPEF

AC

?

ABBF

??NP?MQ

又 ∵

NP//AB//MQMQPN

?

??MN//面BCE

PQ?面BCE?

PE

?CF

FA求證：EF//面PCD

CF

HFFB

MN//PQ

10.P為ABCD所在平面外一點，E?PB，F(xiàn)?AC，且EB

.證：連BF交CD于H，連PHAB//CD∴ ?ABF∽?CFH∴ FA

PE

?CFFA

?HFFB

?

在?BPH中EB

EF//PH

?

?

EF?面PCD?PH?PCD??∴ 11已知：平面α∩平面β＝a求證：a、b、c證明：∵α∩β＝a，β∩∴a、b?β

∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交時，不妨設(shè)a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、b?β，a?α

∴P∈β，P∈α，故P為α和β的公共點 又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都經(jīng)過點P，即a、b、c三線共點.(2)當(dāng)a∥b時

∵α∩γ＝c且a?α，a?γ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c

故a、b、c兩兩平行.12如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F(xiàn)在BD上，且B1E＝BF.求證：EF∥平面BB1C1C.證法一：連AF延長交BC于M，連結(jié)B1M.∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AFFM

?DFBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴

AFFM

?AEB1E

∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.證法二：作FH∥AD交AB于H，連結(jié)HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BC?BB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BFBD

?BHBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴

B1EAB1

?BHBA

∴EH∥B1B，B1B?平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C EF?平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行.證法二則是證線面平行，先證面面平行，然后說明直線在其中一個平面內(nèi).∴△END的面積為

nm

(m+p)2平方單位.13如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，并且CM=DN.求證:MN∥平面AA1B1B.分析一：本題是把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”，即在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，除上面的證法外，還可以連CN并延長交直線BA于點P，連B1P，就是所找直線，然后再設(shè)法證明MN∥B1P.分析二：要證“線面平行”也可轉(zhuǎn)化為證“面面平行”，因此，本題也可設(shè)法過MN作一個平面，使此平面與平面ABB1A1平行，從而證得MN∥平面ABB1A1.（本題證明請讀者自己完成，本題中對轉(zhuǎn)化思想的考查值得我們認(rèn)真思考.）

第四篇：A 證明線線平行的方法

A 證明線線平行的方法：

①面面平行的判定：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

②線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。③平行線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線。

④基本性質(zhì)四：平行于同一直線的兩直線互相平行。

B 證明線面平行的方法：

①面面平行的性質(zhì)：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

②線面平行的性質(zhì)：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

③定義：直線a與平面ａ沒有公共點，則直線與平面平行。

C 證明面面平行的方法：

①定義：如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面互相平行。②面面平行的判定：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

③面面平行的性質(zhì)：如果一個平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另一個平面的兩條直線，則這兩個平面平行。

第五篇：關(guān)于線線、線面及面面平行的問題

關(guān)于線線、線面及面面平行的問題

典型例題：

例1.（2012年四川省文5分）下列命題正確的是【】

A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行

C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行

【答案】C。

【考點】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)。

【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確。故選C。

例2.（2012年浙江省文5分）設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面【】

A.若l∥α，l∥β，則a∥βB.若l∥α，l⊥β，則α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD.若α⊥β, l∥α，則l⊥β

【答案】B?！究键c】線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)。

【解析】利用面面垂直的判定定理可證明B是正確的，對于其它選項，可利用舉反例法證明其是錯誤命題：

A，若l∥α，l∥β，則滿足題意的兩平面可能相交，排除A；

B，若l∥α，l⊥β，則在平面α內(nèi)存在一條直線垂直于平面β，從而兩平面垂直，故B正確； C，若α⊥β，l⊥α，則l可能在平面β內(nèi)，排除C；

D，若α⊥β, l∥α，則l可能與β平行，相交，排除D。

故選 B。

例3.（2012年山東省文12分）如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB=CD，EC⊥BD.(Ⅰ)求證：BE=DE；

(Ⅱ)若∠BCD=1200，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面

BEC.【答案】解：(Ⅰ)證明：取BD中點為O，連接OC，OE，∵BC=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，CO∩EC=C，∴BD⊥平面OCE.。

又∵OE?平面OCE.，∴BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線。

∴BE=DE。

(Ⅱ)取AB中點N，連接MN，DN，∵M(jìn)是AE的中點，∴MN∥BE。

∵△ABD是等邊三角形，∴DN⊥AB，∠ABD＝60°。

∵∠BCD＝120°，BC=CD，∴∠CBD＝30°。

∴∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC⊥AB。

∴ND∥BC。

又∵M(jìn)N∩ND=N，BE∩BC=B，∴平面MND∥平面BEC。

又∵DM?平面MND，∴DM∥平面BEC。

【考點】線面垂直和平行的證明，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角

形的性質(zhì)。

【解析】(Ⅰ)要證BE=DE，只要證點E是BD垂直平分線上的點即可。故取BD中點為O，連接OC，OE，由已知證明BD⊥OE即可。

(Ⅱ)要證DM∥平面BEC只要證明DM在一個平行于平面BEC的另一個平面上，故取AB中點N，連接MN，DN，證明平面MND∥平面BEC即可。

例4.（2012年福建省理13分）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點．

（I）求證：B1E⊥AD1；

（II）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；（III）若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長．

→→→【答案】解：（I）如圖，以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。

a?設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E??2，1，0?，B1(a,0,1)。

aa→→→→－，1，－1?，AB1＝(a,0,1)，AE＝?，1，0?。∴AD1＝(0,1,1)，B1E＝??2??2?

a→→∵AD1·B1E0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1。2

→（II）假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時DP＝(0，－1，z0)。

又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

ax＋z＝0，??→→∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得?ax2y＝0.a1，－a?。取x＝1，得平面B1AE的一個法向量n＝?2??

a1→要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，即－az0＝0，解得z0＝。22

1又DP?平面B1AE，∴存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝。2

（III）連接A1D，B1C，由長方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D。

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C。又由（I）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1。

→→∴AD1是平面A1B1E的一個法向量，此時AD1＝(0,1,1)。

→n·AD→設(shè)AD1與n所成的角為θ，則cosθ＝＝→|n||AD1|

a??a ∵二面角A－B1E－A1的大小為30°，∴|cosθ|＝cos30°

3a＝3a＝2，即AB的長為2。2

【考點】用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定。

→→→【解析】（Ⅰ）由題意及所給的圖形，以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向

→→建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB＝a，給出圖形中各點的坐標(biāo)，可求出向量AD1和B1E 的坐標(biāo)，驗證其數(shù)量積

為0即可證出兩線段垂直。

（II）由題意，可先假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量內(nèi)積為0，由此方程解出z0的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的z0的值，說明不存在這樣的點

P滿足題意。

（III）由題設(shè)條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程，解出a的值即可得出AB的長。