第一篇：高等數(shù)學(xué)第六版(同濟版)第八章復(fù)習(xí)資料匯總

第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) §8.1向量及其線性運算

一、向量的相關(guān)概念 1.向量的定義：稱既有大小又有方向的量為向量(或矢量).2.向量的數(shù)學(xué)表示法：用一條有方向的線段表示,記為 或.3.向量的模：稱向量的大小為向量的模，記為.4.自由向量：稱與起點無關(guān)的向量為自由向量.(如位移)5.單位向量：稱模為1的向量為單位向量,記作.6.零向量：稱模為0的向量為零向量，記作 7.兩向量相等：若向量與同模同方向，則稱的與相等，記作.(即兩個向量平移后重合 8.兩向量的夾角：，9.兩向量平行：若非零向量與所成的角或，則稱的與平行，記作.規(guī)定: 零向量與任何向量平行 10.兩向量垂直：若非零向量與所成的角，則稱的與垂直，記作 注: 零向量可認(rèn)為與任何向量平行或垂直 11.向量共線：平行的向量可移動到同一條直線上，也稱之為向量共線 12.向量共面：將個向量的起點放到同一點時，若個終點與公共起點在一個平面上，則稱這個向量共面.二、向量的線性運算 1．向量的加減法(1).向量的加法 ①．運算法則：設(shè)有向量與，求與的和.I.三角形法則： II.平行四邊形法則：.②.運算規(guī)律： 1°.交換律： 2°.結(jié)合律： 注:，再以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點作一向量，這個向量即為所求向量的和，即.(2).向量的減法 ①．負(fù)向量：稱與向量同模反向的向量為它的負(fù)向量，記作 ②.兩向量的差：稱向量與向量的負(fù)向量的和為與的差向量，記作.注：特別地，當(dāng)時，.③．運算法則：設(shè)有向量與，求與的差.I.平行四邊形法則：.II.三角形法則：.(3).運算定理：.2．向量與數(shù)的乘法(1).定義：稱向量與實數(shù)的乘積為向量的數(shù)乘.注：1°.規(guī)定是一個向量 2°.3°.若，則與同向；若，則與反向；若，則.(2).運算規(guī)律： ①． 結(jié)合律：.②． 分配律：.(3).性質(zhì) ①．向量的同向單位向量：，.②．向量平行的充要條件(定理)：若向量，則向量平行于 唯一的實數(shù)，使 ③．?dāng)?shù)軸上的點的坐標(biāo)為的充要條件為：，其中向量為數(shù)軸的單位向量，實數(shù) 稱為有向線段的值.例1.如圖，用、表示、、以及，進而.又，故，進而

三、空間直角坐標(biāo)系 解：由于，故

1.空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)系或坐標(biāo)系 2.坐標(biāo)面：面；面；面.3.卦限：；； ；； ；； ； 4.空間點的坐標(biāo)：(向徑).(1).向量的坐標(biāo)分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐標(biāo)：.(4).點的坐標(biāo)： 注：1°.面上點的坐標(biāo)：； 2°.軸上點的坐標(biāo)：； 面上點的坐標(biāo)：； 軸上點的坐標(biāo)：； 面上點的坐標(biāo)：.z軸上點的坐標(biāo)：

四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算：設(shè)，.1.向量線性運算的坐標(biāo)表示：(1).加減法：.(2).數(shù)乘：(3).兩向量平行： 注：1°.若，則 2.若，則 例2.已知，求線性方程組的解向量 解：方程①乘2減去方程②乘3得：，方程①乘3減去方程②乘5得： 例3.已知兩點、在直線AB上求一點M，使.及實數(shù)，解：因為，因此有，整理得，代入坐標(biāo)得，從而得到點M的坐標(biāo) 注：線段AB中點坐標(biāo)公式

五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模與兩點間距離公式：(1).向量的模：，.(2).兩點間距離公式：點與之間的距離： 推導(dǎo)：因為，所以 例4.求證以三點、、為頂點的三角形是一個等腰三角形.解：由兩點間距離公式，有 ； ；，由于，故為等腰三角形.例5.在z軸上求與兩點、等距離的點.解：由題可設(shè)所求點為，有，即，整理得，故所求點為.例6.已知兩點、，求與同向的單位向量 解：因為，所以，于是 2.方向角與方向余弦(1).向量的方向角：稱非零向量與三條坐標(biāo)軸的夾角為向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.； 2°..例7.已知兩點、，計算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，從而有 于是，，由此可得 例8．設(shè)點A位于第I卦限，向徑與x軸、y軸的夾角依次為的坐標(biāo)、，且，求點A，解：由于，并且，有 由題可知，故，于是，故點A的坐 標(biāo)為.3.向量在軸上的投影(1).向量在軸上的投影：設(shè)向量與u軸正向的夾角為，稱數(shù)為向量在u軸上的投影，記作或 注：向量在三個坐標(biāo)軸上的投影即為對應(yīng)的坐標(biāo)，即，(2).投影的性質(zhì)： ①．.②． 例9.設(shè)立方體的一條對角線為OM，一條棱為OA，且|OA|= a，求在 解：記，有，于是.§8.2數(shù)量積、向量積

一、兩向量的數(shù)量積 1．常力沿直線所作的功： 2.兩向量的數(shù)量積(1).定義：稱向量與的模及其夾角余弦的乘積為與的數(shù)量積，內(nèi)積或點積，記作 注：1°.2°..3°..(2).運算規(guī)律 ①．交換律：.(由定義可知)②．分配律： ③．結(jié)合律：； 3.兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示式：若，則 4.兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)公式： 例1.試用向量證明三角形的余弦定理：.解：在中，記，，，有，從而，即

例2.已知三點、和，求 解：由題可得，于是，故 例3.設(shè)液體流過平面S上面積為A的一個區(qū)域，液體在這區(qū)域上各點處的流速均為(常向量)v.設(shè)為垂直于S的單位向量，計算單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向所指一側(cè)的液體的質(zhì)量m(液體的密度為 解：單位時間內(nèi)經(jīng)過該區(qū)域的液體的體積為，所求質(zhì)量為.二、兩向量的向量積 1.力對支點的力矩： 模：； 方向：與及的方向成右手規(guī)則.2.兩向量的向量積(1).定義：設(shè)有向量與，夾角為，稱為與的向量積(叉積、外積)，其中，方向與和的方向符合右手規(guī)則，記作.注：1°.2°.3°.的幾何意義：以與為鄰邊的平行四邊形的面積.(2).運算規(guī)律 ①．反交換律：.②．分配律：.③．結(jié)合律：(3).兩向量的向量積的坐標(biāo)表示式：設(shè)，則.例4..證明：在三角形中，記，，由于，即，整理得.例5.設(shè)，計算 解：.例6.已知三角形ABC的頂點分別是、和，求三角形ABC的面積 解：由于，有，于是.例7.設(shè)剛體一角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，計算剛體上一點M的線速度.解：在軸l上引進一個角速度向量，使，其方向與旋轉(zhuǎn)方向 符合右手法則，在l上任取一點O，作向徑，它與的夾角為，則點M離開轉(zhuǎn)軸的距離，由物理學(xué)中線速度和角速度的關(guān)系可知，且、、符合右手規(guī)則，于是.§8.3曲面及其方程

一、曲面方程的相關(guān)概念 1.曲面方程：若曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程，且不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程(*)，則稱方程(*)為曲面S的方程，而稱曲面S為稱方程(*)的圖形.2.關(guān)于曲面的兩個基本問題(1).已知一曲面作為空間點的幾何軌跡，建立該曲面的方程.(2).已知關(guān)于點的坐標(biāo)、、之間的一個方程，研究該方程所表示曲面的形狀 例1.建立球心在點、半徑為R的球面方程 解：設(shè)為所求球面上任一點，有，即，整理得 例2.設(shè)有點和，求線段AB的垂直平分面的方程.解：設(shè)為所求平面上任一點，由題意，有，即，整理得 例3.方程表示怎樣的曲面？ 解：原方程變形為，表示以為球心，以5為半徑的球面.二、旋轉(zhuǎn)曲面 1.定義：稱由一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面為旋轉(zhuǎn)曲面，稱旋轉(zhuǎn)曲線為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線為旋轉(zhuǎn)曲面的軸.2.旋轉(zhuǎn)曲面的方程： 曲線C：繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：.(繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：.)(巧記：繞誰誰不動，缺誰補上誰 推導(dǎo)：在曲線C上任取一點，有，且點到z軸的距離.當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時，點繞z軸旋轉(zhuǎn)到點，其中，點到z軸的距離，由于，有，即，代入曲線方程有 注：1°.曲線C：繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：； 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為： 2°.曲線C：繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：； 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為： 3.常見旋轉(zhuǎn)曲面及其方程(1).圓錐面及其方程 ①．圓錐面：稱由直線L繞與其相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面為圓錐面，稱兩直線的交點為圓錐面的頂點，稱兩直線的夾角為圓錐面的半頂角 ②．圓錐面的方程：以坐標(biāo)原點o為頂點，以為半頂角，以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐面的方程為：，其中 推導(dǎo)：在坐標(biāo)面上，過原點且與z軸夾角為的直線方程為，于是，直線L繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐面的方程為，整理得 注：1°.以坐標(biāo)原點O為頂點，以為半頂角，以x，其中 2°.以坐標(biāo)原點O為頂點，以為半頂角，以y，其中(2).旋轉(zhuǎn)雙曲面及其方程 ①．旋轉(zhuǎn)雙曲面：稱由雙曲線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面為旋轉(zhuǎn)雙曲面，分為單葉和雙 葉雙曲面 ②．旋轉(zhuǎn)雙曲面的方程：(雙曲線：.旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面的方程：(繞z軸旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面的方程：(繞x軸旋轉(zhuǎn))

三、柱面 1.柱面的定義： 稱由直線L沿定曲線C平行于定直線l移動所成的軌跡為柱面，稱定曲線C為柱面的準(zhǔn)線，動直線L為柱面的母線.2.幾種常見柱面及其方程(缺誰母線平行誰(1).圓柱面：.(準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的圓：，母線平行z軸.(準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的圓：，母線平行x軸.(準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的圓：，母線平行y軸(2).過坐標(biāo)軸的平面：，過z軸，準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的直線，過x軸，準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的直線.，過y軸，準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的直線 四、二次曲面 1.橢球面：.2.橢圓錐面： 3.單葉雙曲面：.4.雙葉雙曲面： 5.橢圓拋物面：.6.雙曲拋物面： 7.橢圓柱面：.8.雙曲柱面： 9.拋物柱面： §8.4空間曲線及其方程

一、空間曲線：稱空間兩曲面的交線為空間曲線，記為C.二、空間曲線的方程 1.一般式(面交式)方程： 例如：表示圓柱面與平面的交線.表示上半球面又如：與圓柱面的交 線 2.參數(shù)方程：，其中點隨著參數(shù)t的變化遍歷曲線C 例1.稱由點在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，又同時以線速度v沿平行z軸的正向上升所成的圖形為螺旋線，求其參數(shù)方程 解：取時間t為參數(shù)，對應(yīng)點，對應(yīng)點，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋線的參數(shù)方程為，令，則螺旋線的參數(shù)方程為

三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 1．投影柱面：稱以空間曲線C為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面為曲線C關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面 2.空間曲線的投影：稱空間曲線C關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面與坐標(biāo)面的交線為空間曲線C在坐標(biāo)面上的投影曲線，也稱為投影 3.空間曲線的投影方程：空間曲線C：在坐標(biāo)面上的投影方程，其中為方程組消去z所得的投影柱面方程.注：1.空間曲線曲線C：在坐標(biāo)面上的投影方程為 2°.空間曲線曲線C：在坐標(biāo)面上的投影方程為 例2.求曲線在坐標(biāo)面上的投影方程.解：現(xiàn)求曲線C在關(guān)于坐標(biāo)面上的投影方程，將方程組消去z得 投影柱面方程：，于是所求投影方程為 例3.求由上半球面和錐面 所圍成的立體在坐標(biāo)面上的投影 解：先求曲線關(guān)于坐標(biāo)面的投影方程，消去z 在坐標(biāo)面上的投影方程為，從而所求投，故曲線 影為圓域： §8.5平間及其方程

一、平面的點法式方程 1.平面的法向量：稱垂直于一平面的非零向量為該平面的法線向量 2.平面的點法式方程：過點，以向量為一法向量的平面 推導(dǎo)：在平面上任取一點，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的點的坐標(biāo)都滿足方程(1).反之，若點不在平面上，則向量不垂直法向量，從而，即不在平面上的點的坐標(biāo)都不滿足方程(1).于是得到平面的點法式方程.例1.求過點且以為法向量的平面的方程 解：由平面的點法式方程得，整理得.例2.求過三點、和的平面的方程 解：先求所求平面的一個法向量，由題可得向量，可取，于是所求平面的方程為，整理得.二、平面的一般方程 1.平面的一般方程：(*)推導(dǎo)：若點滿足方程(*)，則有，(**)兩方程相減得，(*** 方程(***)為過點，以向量為一法向量的平面的點法式方程.由于方程(*)與(***)同解，可知任何一個三元一次方程(*)為平面的一般方程，其一法線向量為 2.幾種特殊平面的一般方程：(缺誰平行誰(1).過原點的平面方程：，法向量為.(2).平行x軸的平面方程：，法向量為(3).垂直于x軸(平行坐標(biāo)面)的平面方程：，法向量為.例3．求通過x軸和點的平面的方程 解：由題意，可設(shè)所求平面的方程為：，(*)又點在該平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.設(shè)一平面與x、y、z軸的交點依次為、，求該平面的方程 解：設(shè)所求平面的方程為，(*)將PQR三點坐標(biāo)代入得，，代入方程(*)，從而有所求平面方程為，稱之為平面的截距式方程

三、兩平面的夾角及點到平面的距離 得 1.兩平面的夾角：稱兩平面的法線向量的夾角(銳角)為兩平面的夾角 2.兩平面夾角的余弦：設(shè)平面1的法線向量為，平面，兩平面的夾角

為，則注：1°..2°.3.點到平面的距離：平面外一點到平面的距離為 推導(dǎo)：在平面上任取一點，過點作平面的一法向量，有，由于，，由于 于是，又點在平面 上，故有，從而 例5.求兩平面和的夾角.解：由兩平面夾角余弦公式，故所求夾角為 例6.一平面通過兩點和且垂直于平面，求它的方程.解：設(shè)所求平面的一個法線向量為，由題可知向量在平面上，已知平面的一個法線向量為，由題意有，有；，有； 由以上兩方程可得，故所求平面的法線向量為，于是所求平面的方程為，整理得 另解：由題可知所求平面上一向量，又已知平面的一個法線向量為，易知不平行于，故可取所求平面的一個法線向量為，于是所求平面方程為：，整理得 第六節(jié) 空間直線及其方程

一、空間直線：稱空間兩平面

1、的交線為空間直線.二、空間直線的方程 1.一般(面交式)方程： 2.對稱式(點向式)方程(1).直線的方向向量：稱平行于已知直線的非零向量為該直線的方向向量(2).直線的點向式方程：過點以向量為方向向量的直線L.推導(dǎo)：在直線L上任取一點，有向量，由于，故有，(*)即直線L上點的坐標(biāo)都滿足方程(*)反之，若點不在直線L上，則由于不平行，所以這兩向量的對應(yīng)坐標(biāo)就不成比例，因此方程(*)就是直線L的方程，稱為直線的對稱式或點向式方程.注：1°.mnp不同時為零 2°.若，則直線L的方程為，即平面上的直線 3°.若，則直線L的方程為，即平面與 交線，過點且平行z軸 3.參數(shù)方程： 注：一般式對稱式參數(shù)式 例1.用對稱式方程以及參數(shù)方程表示直線

解：先找出該直線上一點：不妨取，代入原方程組得，解得，即為該直線上一點 再找該直線的方向向量：由題可知交成該直線的兩平面的法線向量分別為，故可取.，得到所給直線的參數(shù)方程：令.三、兩直線的夾角 1.兩直線的夾角：稱兩直線的方向向量的夾角(銳角)為兩直線的夾角 2.兩直線夾角的余弦：直線的方向向量為，直線的方向向量 ,兩直線的夾角為，則注：1°.2°.例2.求直線.和的夾角.解：由題可知直線的方向向量為，直線的方向向量為，設(shè) 的夾角為，則由兩直線夾角余弦公式得故

四、直線與平面的夾角 , 1.直線與平面的夾角：稱直線與不垂直該直線的平面上的投影 直線的夾角為直線與平面的夾角..2.直線與平面夾角的正弦：若直線的方向向量為，平面 為.與的夾角為，則.注：1°.2°..例3.求過點且與平面垂直的直線的方程 解：由題意，可取為所求直線的一個方向向量，故所求直線的方程為.五、平面束及其方程 1.平面束：稱通過定直線的所有平面的全體為平面束 2.平面束的方程：設(shè)有直線，其中與不成比例 則通過直線的平面束的方程為：.注：該平面束不包含平面 例4.求直線在平面上的投影直線的方程 解：過直線的平面束的方程為，即，其中為待定常數(shù).由題可知，該平面與已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所給直線關(guān)于所給平面 的投影平面的方程為，整理得,故所求投影直線的方程為.六、點到直線的距離：直線 外一點到直線的距離為： 為直線上的一點 推導(dǎo)：在直線上任取一點，有向量，設(shè)點到直線的距離為，由于，故例5.求點 的距離.解：由題可知，所給直線的方向向量為，點，由平面外一點到直線的距離公式得：.七、雜例： 例6.求與兩平面和的交線平行且過點的直線的方程.解法一(點向式 由題可知兩已知平面的法向量分別為和，故可取 線的一個方向向量，即，于是所求直線方程為.解法二(一般式 過點且與平面平行的平面方程為，過點平行的平面方程為 以所求直線方程為 例7.與平面的交點.解：易知所給直線的參數(shù)方程為，，解得，代入直線的參數(shù)方程得所求交點的坐標(biāo) 例8.求過點 垂直相交的直線方程.

第二篇：高等數(shù)學(xué)第六版(同濟版)第九章復(fù)習(xí)資料[模版]

第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 引入：在上冊書中，我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)微積分學(xué)，所討論的對象都只有一個自變量的函數(shù)，而在實際應(yīng)用中，研究的問題往往要涉及多方面的因素，反映在數(shù)量上就是一個變量要依賴幾個自變量，即數(shù)學(xué)上的多元函數(shù)，從這節(jié)課開始，我們進入多元函數(shù)微積分學(xué)的學(xué)習(xí)階段.先來學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué) 由于從一元函數(shù)到二元函數(shù)，單與多的差異已能充分體現(xiàn)，我們由二元函數(shù)入手來研究多元函數(shù)微分學(xué)，然后把相關(guān)概念及性質(zhì)推廣到三元、四元直至元函數(shù)上去 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

一、平面點集的相關(guān)概念 1.平面點集：具有性質(zhì)P} 例如：，其中點表示點 2.鄰域：(1).鄰域：(2).去心鄰域： 3.坐標(biāo)面上的點與平面點集的關(guān)系：(1).內(nèi)點：若，使，則稱為的內(nèi)點.(2).外點：若，使，則稱為的外點(3).邊界點：若，且，則稱為的邊界點 邊界：的邊界點的全體稱為它的邊界，記作.(4).聚點：若，則稱為的聚點 導(dǎo)集：的聚點的全體稱為它的導(dǎo)集 注：1°.若為的聚點，則可以屬于，也可以不屬于 2°.內(nèi)點一定是聚點；外點一定不是聚點；邊界點也不總是聚點，如孤立的邊界點.例如：；.4.一些常用的平面點集：(1).開集：若點集的點都是其內(nèi)點，則稱為開集(2).閉集：若點集的邊界，則稱為閉集.(開集加邊界(3).連通集：若中任何兩點都可用屬于的折線連接，則稱為連通集.(4).開區(qū)域：連通的開集稱為開區(qū)域，也稱為區(qū)域.(5).閉區(qū)域：開區(qū)域加上其邊界稱為閉區(qū)域 例如：為區(qū)域.為閉區(qū)域.(6).有界集：若，使，則稱為有界集.(7).無界集：若，使，則稱為無界集

二、維空間：對取定的自然數(shù)，稱元數(shù)組的全體為維空間，記為.注：前述的鄰域、區(qū)域等相關(guān)概念可推廣到維空間.三、多元函數(shù)的概念 1.，或，其中 因 映 自 變 變 量 射 量 定義域：D 值 域： 注：可推廣：元函數(shù)：，.例: 1.，2.，2.幾何表示：函數(shù)對應(yīng)空間直角坐標(biāo)系中的一張曲面:.四、二元函數(shù)的極限 1.定義：設(shè)函數(shù)的定義域為，點若，，為，滿足，則稱為當(dāng)，稱之為的二重極限 例1.設(shè)證明：，要使不等式，求證 成立，只須取，于是，，總有，即 例2.不存在，其中 證明：當(dāng)沿直線趨于時，總有，隨著的不同而趨于不同的值，故極限不存在 例3.求極限 五、二元函數(shù)的連續(xù)性 1.二元函數(shù)的連續(xù)性:設(shè)函數(shù)的定義域為D，點為D的聚點，且，則稱在點連續(xù) 2.二元函數(shù)的間斷點: 設(shè)函數(shù)的定義域為D，點為D的聚點，若在點不連續(xù)，則稱為的間斷點.注：間斷點可能是函數(shù)有定義的孤立點或無定義的點.3.性質(zhì)：設(shè)D為有界閉區(qū)域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)(1).和、差、積仍連續(xù)；(2).商(分母不為零)連續(xù)；(3).復(fù)合函數(shù)連續(xù).5.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性(1).二元初等函數(shù)：由二元多項式和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合所構(gòu)成的、并用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).(2)..例4.，則 解：令 例5...(分子有理化)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 引入：在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們研究了一元函數(shù)的變化率—導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的性態(tài).對于多元函數(shù)，我們也要討論它的變化率，但由于多元函數(shù)的自變量不止一個，所以多元函數(shù)的變化率要比一元函數(shù)的變化率復(fù)雜得多.我們還是以二元函數(shù)為例來研究多元函數(shù)的變化率，先把二元函數(shù)中某一自變量暫時固定，再討論二元函數(shù)關(guān)于另一個自變量的變化率，這就是數(shù)學(xué)上的偏導(dǎo)數(shù).一、偏導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念 1.偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，把暫時固定在，而 處有增量時，相應(yīng)地有增量.若極 存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處對的 ； 或 注: 1°..2°..2.偏導(dǎo)函數(shù)：若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處對或偏導(dǎo)數(shù)存在，則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 或；或.注：可推廣：三元函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為 例1.求在處的偏導(dǎo)數(shù).，.例2.求的偏導(dǎo)數(shù).，.例3.求的偏導(dǎo)數(shù).，..3.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1).偏導(dǎo)數(shù)是曲線在點處的切線關(guān)于軸的斜率(2).偏導(dǎo)數(shù)是曲線在點處的切線關(guān)于軸的斜率.4.函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)之間無必然的蘊含關(guān)系.(1).函數(shù)在點處偏導(dǎo)數(shù)存在，但它在點卻未必連續(xù) 例如：函

數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，即，.不存在，故在點不連續(xù)(2).函數(shù)在點連續(xù)，但它在點處卻未必存在偏導(dǎo)數(shù) 例如：函數(shù)在點連續(xù)，但它在點對及的偏導(dǎo)數(shù)都不存在，這是因為：，即在點對及的偏導(dǎo)數(shù)都不存在.二、高階導(dǎo)數(shù) 1.二階偏導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)對及的偏導(dǎo)數(shù)及對及的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 記作：； ；(二階純偏導(dǎo)數(shù))；.(二階混合偏導(dǎo)數(shù))(二階純偏導(dǎo)數(shù) 注：1°.一般地，二元函數(shù)的階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為它的階偏導(dǎo)數(shù) 2°.二階以及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).3°.二元函數(shù)的階偏導(dǎo)數(shù)至多有個.例4.設(shè)，求它的二階偏導(dǎo)數(shù).；； ；； ；.總結(jié)：從這一例題，我們看到：，即兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，與求導(dǎo)順序無 關(guān).那是不是每個二元函數(shù)都有這樣的相等的二階混合偏導(dǎo)數(shù)呢？我們說不是的，例如：，在點，有，事實

上，；

而，，于是，，即 那么滿足什么條件得二元函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)呢？有下面的定理： 2.二階混合偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì) 定理：若函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)與在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則它們在D內(nèi)必相等，即 注：1°.可推廣：高階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)順序無關(guān).2°.一般地，若二元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則的階偏導(dǎo)數(shù)只有個

第三節(jié) 全微分

一、全微分的相關(guān)概念 1.偏增量：稱為函數(shù)對的偏增量 稱為函數(shù)對的偏增量 2.偏微分：稱與為對及的偏微分.注：，但在實際應(yīng)用中，往往要知道函數(shù)的全面的變化情況，即當(dāng)自變量有微小增量、時，相應(yīng)的函數(shù)增量與自變量的增量、之間的依賴關(guān)系，這涉及到函數(shù)的全增量.3.全增量：稱為函數(shù)在點、的全增量 一般來講，計算全增量是比較困難的，我們總希望像一元函數(shù)那樣，利用、的線性函數(shù)來近似代替函數(shù)的全增量，為此，引入了全微分 4.全微分：若函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在的全增 不依賴于、，可表示為，其中 而僅與、有關(guān)，則稱在點可微分，而稱 為在點的全微分，記作，即 若在區(qū)域D內(nèi)每一點都可微分，則稱在D內(nèi)可微分.注： 我們知道，當(dāng)一元函數(shù)在點的微分存在時，那么，當(dāng)二元函數(shù)在點的全微分存在時，、又為何值呢？下面討論二元函數(shù)可微分與連續(xù)、可微分與偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系，從中得到、的值.二、二元函數(shù)可微分與偏導(dǎo)數(shù)存在、可微分與連續(xù)的關(guān)系 1．函數(shù)可微分的必要條件 定理1.若函數(shù)在點可微分，則它在點的兩個偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且在點的全微分 證明：由于在點可微分，則有，其，當(dāng)時，有，從而，即，同理可得，于是 特殊地，令，有，從而有，同理令，有，從而有.于是有，也稱之為二元函數(shù)微分學(xué)的疊加原理 注：定理說明：函數(shù)可微分，一定可偏導(dǎo)，且全微分可用偏導(dǎo)數(shù)表示.但反之未必，即偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)未必可微分 例如：在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，但在點卻不可微分 事實上，假設(shè)在點可微分，則，當(dāng)時.而，有

不存在，更談不上等于0，從而假設(shè) 不成立，即在點不可微分.2.函數(shù)可微分的必要條件 定理2若函數(shù)在點可微分，則它在點連續(xù) 證明：由于在點可微分，有，其中，于是有，.又的全增量為，從而，這說 在點連續(xù) 注：函數(shù)連續(xù)，未必可微分 例如：函數(shù)在點連續(xù)，但由于偏導(dǎo)數(shù)不存在，從而不可微分.3.函數(shù)可微分的充分條件 定理3若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與在點都連續(xù)，則 可微分 注：反之未必 例如：在點可微分，但

在點都不連續(xù)(1).先說明在點可微分.設(shè)，因為，令，由于，其中，于是，由全微分的定義知在 微分(2).再說明偏導(dǎo)數(shù)及在點不連續(xù).易知 , 從而在點 不連續(xù) 同理可知 在點也不連續(xù).例1.計算函數(shù)的全微分.解：.例2.計算函數(shù)在點處的全微分.，有，所以 例3.計算解： 的全微分..第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形 定理1.若函數(shù)及在點都可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點.(全導(dǎo)數(shù)公式)復(fù)合而成的函數(shù)注：可推廣：，，在點.二、多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形 定理2.若函數(shù)及在點具有對及的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù) 對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存 ；.注：可推廣：由，，復(fù)合而成的函 在點兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且 ；.三、其它情形 1.函數(shù)在點對及的偏導(dǎo)數(shù)都存在，函數(shù)及在點可導(dǎo) 在點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點 存在，且 ；.2.函數(shù)在點具有對及的偏導(dǎo)數(shù)，在點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且 ；.例1.設(shè)，而，求 及.；.例2.設(shè)，而 及.；.例3.設(shè)，而，求求導(dǎo)數(shù).四、全微分形式不變性:若函數(shù).若函數(shù)及也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微 有稱此性質(zhì)為全微分形式不變性.，.與，其中，.例4.解：由于，而，于是，即，比較兩端、dy，.第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

一、隱函數(shù)：稱對應(yīng)關(guān)系不明顯，而是隱含在方程(方程組)中的函數(shù)(函數(shù)組)為由方程(方程組)確定的隱函數(shù)(隱函數(shù)組 注：并不是每一個方程都能確定一個隱函數(shù)，例如：.二、隱函數(shù)存在定理 1.由一個方程確定的隱函數(shù) 定理1.若函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)可導(dǎo)的函 數(shù)，滿足.注：若的二階偏導(dǎo)數(shù)也連續(xù)，則有

定理2.若函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點

且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足 例1.設(shè)，求及，.解：令，則，..例2.設(shè)，求 解：設(shè)，則，.，從而 2.由方程組確定的隱函數(shù)組 定理3.若函數(shù)與在點的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且函數(shù)行列式 在點不等于零，則方程組在點 確定唯一一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組，且，；，例3.設(shè)，、、、和.解：設(shè)方程組，兩端對求導(dǎo)得： 或，在 的條件下，有，同理可得，.；

第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 1.一元向量值函數(shù)的定義：，(數(shù)集)，.注：1°.在R3中，2°.向量值函數(shù)稱為曲線的向量方程 2.一元向量值函數(shù)的極限：設(shè)向量值函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常向量，，：滿足，總有，則稱為當(dāng) 時的極限，記作 注：存在、、都存在.3.一元向量值函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)向量值函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，則稱向量值函數(shù)在點連續(xù) 注：在點連續(xù)、、點連續(xù) 4.一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)向量)：設(shè)向量值函數(shù)在點 存在，則稱此極限值為在點的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄?，記?注：1°.在點可導(dǎo)、、點都可導(dǎo) 2°.是向量值函數(shù) 曲線在點處的一個切向量,其指向與的增長方向一致 例1.設(shè)，求 解：.例2.設(shè)空間曲線的向量方程為，求曲線在點相應(yīng)的點處的單位切向量

解：由于，有，進而，于 為指向與的增長方向一致的單位切向量 為指向與的增長方向相反的單位切向量

二、空間曲線的切線與法平面 1.參數(shù)式情形：設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為，假設(shè)、以及 在上可導(dǎo)，且三個導(dǎo)數(shù)不同時為零(1).切線：曲線上的一點處的切線方程為：應(yīng)點 推導(dǎo)：由于曲線的參數(shù)方程為，記向量值函數(shù)，參數(shù)對 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：向量即為曲線在其上的 處的一個切向量，從而曲線在其上的點處的切線方程為：.(2).法平面：通過曲線上的點而與曲線在點處的切線垂直的平面方程稱為曲線在點處的法平面，方程為.其中法向量為 2.特殊式情形：設(shè)空間曲線的方程為，且、在點 的方程可改寫為，為參數(shù)，從而曲線在點 程分別為：(1)..(2).法平面方程： 3.一般式(隱函數(shù))情形：設(shè)曲線的方程為，為曲線 又設(shè)、，這時方程組在點 某一鄰域內(nèi)確定了一組隱函數(shù)，從而曲線的參數(shù)方程為，于是切向量為(1)...(2).法平面方程： 例3.求曲線在點處的切線與法平面方程

解：在方程組兩端對求導(dǎo)，得，整理得，于是，，故切向量為 ；，或，從而所求切線方程為：.法平面方程為或

三、曲面的切平面與法線 1.定義(1).切平面：若曲面上通過點的一切曲線在點 面為曲面在點的切平面(2).法線：通過點且與切平面垂直的直線稱為曲面在點的法線.2.切平面與法線方程(1).一般式情形：設(shè)曲面的方程為，點 的偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù) 切平面方程：；.推導(dǎo)：在曲面上過點任意引一條曲線，設(shè)其參數(shù)方程為，且函數(shù) 以及在都可導(dǎo)，有方程，對應(yīng)點 兩端對求導(dǎo)，在處，有.記.又為曲線在 處的切向量，由上式可知，即曲面上通過點的任意一條曲線的切向量都垂直于同一個向量，從而這些切線都在同一平面上，即曲面 的且平面存在，該切平面以向量為一法線向量(2).特殊式(顯函數(shù))情形：曲面：，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù) 切平面方程： 法線方程：.推導(dǎo)：記，有，，故有法向量 例4.求球面在點處的且平面及法線方程 解：設(shè)，有，，故所求切平面的法向量為，于是所求切平面方程為：，即，法線方程為：，即 例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面即法線方程 解：設(shè)，有，于是所求切平面的法向量為 從而所求切平面方程為，即，法線方程為.第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 引入:由函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：偏導(dǎo)數(shù)、只是函數(shù)過點沿平行坐標(biāo)軸法線的變化率.但在實際應(yīng)用中，往往要求我們知道函數(shù)在點沿任意確定的方向的變化率，以及沿什么方向函數(shù)的變化率最大，這就涉及到函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度.一、方向?qū)?shù) 1.定義：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，為過點)上另一點，且.若極限的射線(存在，則稱此極限為函數(shù)在點沿 方向

注：若函數(shù)在點，則 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且

若函數(shù)在點，則 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 2.方向?qū)?shù)的存在性 定理：若函數(shù)在點可微分，則函數(shù)在點沿任意方向的方向，其中、的方向余弦 注：1°.可推廣：若函數(shù)在點可微分，則在點 的方向?qū)?shù)為 2°.方向?qū)?shù)存在，函數(shù)未必可微分 例如：在點沿方向的方向?qū)?shù)都存在，但 點不可微分 事實上：由于，從而 沿方向的方向?qū)?shù)都存在 但在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在，從而不可微分.例1.求函數(shù)在點處從點到方向的方向?qū)?shù) 解：由題可知方向就是向量的方向，有 又，.例2.求在點沿方向的方向?qū)?shù)，其中 解：由題可知與方向同向的單位向量為，又故所求方向?qū)?shù)為

二、梯度，，1.梯度的定義：設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對每一個，稱向量為函數(shù)在點，或，即.注：可推廣：.2.梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系(1).沿梯度方向，方向?qū)?shù)達到最大值；(2).梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值

推導(dǎo)：設(shè)，若函數(shù)在點則在點可微分，沿方向的

1.當(dāng) 這說明函數(shù)在一點的梯度是這樣一個向量，它的方向是在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值 2.當(dāng)時，有與的方向相反，函數(shù)減小最快，在這個方向上的方向?qū)?shù)達到最小值，3.當(dāng) 時，有與的方向正交，函數(shù)的變化率為零，即 例3.求 解：令，有，于是 例4.設(shè)，求(1).在處增加最快的方向以及沿這個方向的方向?qū)?shù)；(2).在處減少最快的方向以及沿這個方向的方向?qū)?shù)；(3).在處變化率為零的方向 解：(1).在點處沿的方向增加最快，由于，故所求方向可取為(2).在點處沿的方向減少最快，故所求方向可取(3).在點處沿垂直于的方向變化率為零，故所求方向為 或.第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 引入：在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們討論了一元函數(shù)的極值和最值問題，但在許多實際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的極值和最值問題，我們以二元函數(shù)為例來討論多元函數(shù)的極值與最值問題 一、二元函數(shù)的極值與最值 1.極值：二元函數(shù)的定義域為，為的內(nèi)點，若存在，且，都有(則稱在點稱為函數(shù)的極大值點(極小值點).有極大值(極小值).點統(tǒng)稱極大值、極小值為極值；使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點 2.最值：設(shè)函數(shù)的定義域為D，若存在，都(則稱為在D上的最大值(最小值).注：1°.極值是一個局部概念，最值是一個整體概念.2°.極值與最值的關(guān)系：極值可以是最值，但最值未必是極值.例1.函數(shù)在點取得極小值，也是最小值.例2.函數(shù)在點取得極大值，也是最大值.例3.函數(shù)在點既不取得極大值，也不取得極小值 由此可見，并不是每一個函數(shù)在其定義域上都有極值點，那么什么樣的點可能是函數(shù)的 點的必要條件和充分條件，從中得到這些問題的答案.二、極值點的條件 定理1.若函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點，注：1.稱使成立的點為的駐點或穩(wěn)定點 2°.可偏導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是其駐點，但反之未必 例如：函數(shù)，在點是其駐點，但在點卻不取得極值 那么什么樣的駐點才能是極值點呢？下面的極值點的充分條件回答這一問題，并給出求極值的方法 定理2.設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階以及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令，，則在處是否取得極值的條件如下：(1).時具有極值，且當(dāng)時有極大值，當(dāng)時有極小值.(2).時沒有極值(3).時是否取得極值不定，需另行討論.3.求極值的步驟 第一步：求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組，得的所有駐點 第二步：對每一駐點，求二階偏導(dǎo)數(shù)的值、、第三步：考察的符號，判斷是否為極值，若是極值，判斷出是極大值還是極小值 例4.求函數(shù)的極值 解：解方程組，得駐點，，.又，(1).在點處，且，故在(2).在點處，故不是極值.(3).在點處，故不是極值(4).在點處，且，故在 值 例5.求函數(shù)的極值

解：由方程組得兩個駐點，.又；；；(1).在點處，，，故在點取極小值(2).在點處，，有，而在的某個鄰域內(nèi)既有大于0的值，也有小于0，而.故在取不到極值 注：可偏導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是其駐點，但函數(shù)的極值點也可以在其不可偏導(dǎo)點處取得，例如：在取得極大值，但不是的駐點.三、函數(shù)最值的求法 在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們利用函數(shù)極值求函數(shù)的最值，這一方法仍然適用于多元函數(shù).設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D內(nèi)可微且有有限多個駐點，則在D上具有最大值和最小值，將在D內(nèi)的所有駐點的函數(shù)值與D邊界上的最大值和最小值相比較，其中最大的就是函數(shù)在上的最大值，最小值就是函數(shù)在上的最小值.在D的邊界上的最值往往很困難，如果考慮問題的實際意義，的最值一定在 內(nèi)部取得，且函數(shù)在D內(nèi)具有一個駐點，則必在該駐點處取得最值 例5.某廠要用鐵板做成一個體積為的有蓋長方體水箱，問長、寬、取怎樣的尺寸時，才能使用料最?。?解：設(shè)水箱的長為，寬為，水箱所用材料面積為，令，解得函數(shù)的唯一駐點 由問題的實際意義，水箱所用材料面積的最小值一定存在，且在區(qū) 內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點，則函數(shù) 取得最小值，即水箱長為，寬為，高為時，水箱用料最省.四、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 前面討論的函數(shù)的極值問題，除了把函數(shù)的自變量限制在函數(shù)的定義域內(nèi)沒有其他條件，但在實際問題中，有時會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題.例如：求表面積為而體積為最大的長方體的體積問題 我們可以設(shè)長方體的三個棱長分別為，則問題轉(zhuǎn)化為求在限制下，函數(shù)的最大值，即條件極值 1.條件極值：稱函數(shù)在滿足附加條下件的所有極值點的極值為條件極值.普通極值：稱函數(shù)在沒有附加條件下的極值為無條件極值或普通極值.2.求條件極值的方法(1).化條件極值為普通極值(2).拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在附加條件下的極值.①.作輔助函數(shù) ②.輔助函數(shù)兩端對及求偏導(dǎo)數(shù)，并令，與附加條件聯(lián)立得.③.解出，其中就是函數(shù)在附加條件 由問題的實際意義判定 說明：若在取得極值，則有，方程確定，有 在處對.又有.代入上式有.，有，也有 注：1°.可推廣：求函數(shù)在附加條件下的極值，輔助函數(shù)設(shè)為： 2°.也稱函數(shù)或為目標(biāo)函數(shù).例6.求表面積為而體積為最大的長方體的體積 解：設(shè)長方體的三棱長分別為，其體積為，而面積為.所求問題就是在附加條件下求目標(biāo)函數(shù)的最大值 設(shè)輔助函數(shù)為，令，與附加條件聯(lián)立，有，解得.由問題的實際意義，.

第三篇：《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》(經(jīng)管類)復(fù)習(xí)資料

廣東海洋大學(xué)寸金學(xué)院 2010—2011 學(xué)年第 二 學(xué)期

《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》復(fù)習(xí)資料

第五章定積分及其應(yīng)用

1、理解定積分的定義和性質(zhì)，會利用積分中值定理求平均值。

2、熟練掌握和應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式計算定積分，包括絕對值函數(shù)的積分計算。例如上冊P225例7，例8等。

3、熟練掌握和應(yīng)用微積分基本公式計算極限和導(dǎo)數(shù)。例如：上冊P223例

3、例4等

4、熟練掌握和應(yīng)用定積分的換元法和分部積分法。例如：上冊P230 例

1、例4，以及P232例

10、例11等；掌握一些積分技巧，例如：奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分計算。

5、會利用定積分計算直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。例如：上冊P242例1，例2等.第六章多元函數(shù)的微積分定積分及其應(yīng)用

1、理解二元函數(shù)極限和連續(xù)的概念，會求簡單的二元函數(shù)的極限。例如：下冊P13習(xí)題4(1)(2)等。

2、理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義，以及二元函數(shù)連續(xù)、可微和偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。會求簡單的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分。例如：下冊P15例2，P24習(xí)題6-4第1(2)，2題等.3、熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算。例如：下冊P27 例

1、例2，P30 例8，例9等。

4、掌握多元函數(shù)極值和條件極值的計算方法。例如：下冊PP35例6以及P43習(xí)題6-6 第5，7題等

5、熟練掌握直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下二重積分的計算，包括利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算。例如：下冊P51例

1、例2，P54例

6、例7，P55例9 以及P59例1等。

第八章微分方程

1、理解微分方程的一些基本概念。

2、熟練掌握可分離變量的微分方程的求解方法，會利用常數(shù)變易法求解一階線性微分方程。例如：下冊P112例

1、例2，P119例

1、P120例2等。

題型：

一、單項選擇題每小題2分，共20分

二、填空題每小題3分，共15分

三、計算題6個小題，共45分

四、應(yīng)用題2個小題，共20分

第四篇：高等數(shù)學(xué)第六版上冊(同濟)復(fù)習(xí)重點

高數(shù)重點

1、洛必達法則求未定式極限

2、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（隱函數(shù)存在的三個定理）

3、多元函數(shù)的極值及其求法（多元函數(shù)極值和最值的概念，二元函數(shù)極值存在的必要條件

和充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值）

4、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，全微分形式的不變性）

5、全微分（全微分的定義，課微分的必要條件和充分條件）

6、偏導(dǎo)數(shù)（概念，二階偏導(dǎo)數(shù)求解）

7、二重積分的計算法（利用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)求二重積分）

8、微分方程的基本概念（微分方程及其階，解，通解，初始條件，特解）

9、齊次方程

10、牛頓——萊布尼茨公式

一、1、夾逼定理

2、連續(xù)（定義證明函數(shù)連續(xù)，判斷間斷點類型）

二、1、導(dǎo)數(shù)（證明函數(shù)是否可導(dǎo)）連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定連續(xù)

2、求導(dǎo)法則

3、求導(dǎo)公式，微分公式

三、1、微分中值定理！

2、洛必達法則

3、泰勒公式，拉格朗日中值定理

4、曲線凹凸性，極值

5、曲率公式 曲率半徑

四、積分不定積分

1、兩類換元法

2、分部積分法（注意加C）

3、定積分定義、反常積分

五、定積分的應(yīng)用

極坐標(biāo)求做功求面積求體積求弧長

第五篇：高等數(shù)學(xué)(同濟第六版)課后習(xí)題答案1.3

習(xí)題1?

31? 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明?

(1)lim(3x?1)?8?x?3

分析 因為

|(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|?

所以要使|(3x?1)?8|?? ? 只須|x?3|?1??3

證明 因為???0? ???1?? 當(dāng)0?|x?3|??時? 有 3

|(3x?1)?8|?? ?

所以lim(3x?1)?8?x?3

(2)lim(5x?2)?12?x?

2分析 因為

|(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|?

所以要使|(5x?2)?12|?? ? 只須|x?2|?1??

5證明 因為?? ?0? ????? 當(dāng)0?|x?2|??時? 有|(5x?2)?12|?? ?

所以lim(5x?2)?12?x?215

2(3)limx?4??4?x??2x?2

分析 因為

22x?4x?4x?4?|x?2|?|x?(?2)|??(?4)?x?2x?2

2x?4?(?4)??? 只須|x?(?2)|???所以要使x?2

證明 因為?? ?0? ????? 當(dāng)0?|x?(?2)|??時? 有

2x?4?(?4)???x?2

2x?4??4?所以limx??2x?2

31?4x?2?(4)lim12x?1x??分析 因為

31?4x?2?|1?2x?2|?2|x?(?1|?2x?12

31?4x所以要使?2??? 只須|x?(?1)|?1??2x?122

證明 因為?? ?0? ???1?? 當(dāng)0?|x?(?1|??時? 有 22

31?4x?2???2x?

131?4x?2?所以lim

x??2x?12

2? 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明?

31?(1)lim1?x?x??2x2

分析 因為

31?1?x3?x3?1?1?x?2x322x32|x|3

31?x1??? 只須1??? 即|x|?1?所以要使?2x22|x|3證明 因為?? ?0? ?X?1? 當(dāng)|x|?X時? 有 31?x?1???322x

31?所以lim1?x?x??2x32

(2)limsinx?0?x???分析 因為

x|1x?0?|sinsin??xxx

所以要使sinx?0??? 只須1??? 即x?1

2??xx

證明 因為???0? ?X?1? 當(dāng)x?X時? 有 ?2

x?0???sin

x

所以limsinx?0?x???x

3? 當(dāng)x?2時?y?x2?4? 問?等于多少? 使當(dāng)|x?2|

要使

|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0?001?只要|x?2|?0.001?0.0002?5

取??0?0002? 則當(dāng)0?|x?2|??時? 就有|x2?4|?0? 001?

2x4? 當(dāng)x??時? y?2?1?1? 問X等于多少? 使當(dāng)|x|?X時? |y?1|?0?01? x?3

2x解 要使2?1?1?24?0.01? 只要|x|?4?3?? 故X??0.01x?3x?3

5? 證明函數(shù)f(x)?|x|當(dāng)x?0時極限為零?

證明 因為

|f(x)?0|?||x|?0|?|x|?|x?0|?

所以要使|f(x)?0|??? 只須|x|???

因為對???0? ????? 使當(dāng)0?|x?0|??? 時有

|f(x)?0|?||x|?0|???

所以lim|x|?0?x?0

|x|6? 求f(x)?x, ?(x)?當(dāng)x?0時的左﹑右極限? 并說明它們在x?0時的極xx

限是否存在?

證明 因為

lim?f(x)?lim?x?lim?1?1?x?0x?0xx?0

lim?f(x)?lim?x?lim?1?1?x?0x?0xx?0

lim?f(x)?lim?f(x)?x?0x?0

所以極限limf(x)存在?x?0

因為

|x|?lim??x??1?x?0x?0xx?0x

|x|x?1?lim?(x)?li?lix?0?x?0?xx?0?xlim??(x)?lim?

?(x)?lim?(x)?lim??x?0x?0

所以極限lim?(x)不存在?x?0

7? 證明? 若x???及x???時? 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A? 則x??limf(x)?A?

x???x???證明 因為limf(x)?A? limf(x)?A? 所以??>0?

?X1?0? 使當(dāng)x??X1時? 有|f(x)?A|?? ?

?X2?0? 使當(dāng)x?X2時? 有|f(x)?A|?? ?

取X?max{X1? X2}? 則當(dāng)|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ? 即limf(x)?A?x??

8? 根據(jù)極限的定義證明? 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等?

證明 先證明必要性? 設(shè)f(x)?A(x?x0)? 則??>0? ???0? 使當(dāng)0<|x?x0|

|f(x)?A|

因此當(dāng)x0??

|f(x)?A|

這說明f(x)當(dāng)x?x0時左右極限都存在并且都等于A ?

再證明充分性? 設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?A? 則??>0?

??1>0? 使當(dāng)x0??1

??2>0? 使當(dāng)x0

取??min{?1? ?2}? 則當(dāng)0<|x?x0|

即f(x)?A(x?x0)?

9? 試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 并加以證明?

解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M?

證明 設(shè)f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當(dāng)|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

這就是說存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?