第一篇：《平面向量的分解定理》教案

8.3平面向量的分解定理

翁旭宇

一、教學(xué)目標(biāo)

1．理解和掌握平面向量的分解定理；

2．掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不平行向量來(lái)表示；掌握基的概念，并能夠用基表示平面內(nèi)的向量；

3．根據(jù)學(xué)生已有的物理知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在熟悉的問(wèn)題情景中，體會(huì)研究向量分解的必要性。4．經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過(guò)程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會(huì)化歸思想。

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) ：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程；分解唯一性的說(shuō)明。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）、設(shè)置情景，引入課題（1）觀察

前面我們學(xué)過(guò)向量的加法，知道兩個(gè)向量可以合成一個(gè)向量，反過(guò)來(lái)，一個(gè)向量是否可以分解成兩個(gè)向量呢？

下面讓我們來(lái)看一個(gè)實(shí)例：

實(shí)例：一盞電燈，可以由電線CO吊在天花板上，也可以由電線OA和繩BO拉住.CO所受的力F與電燈重力平衡，拉力F可以分解為AO與BO所受的拉力F1和 F2.CAF1FOF2B

思考：從這個(gè)實(shí)例我們看到了什么？

答：一個(gè)向量可以分成兩個(gè)不同方向的向量.（2）復(fù)習(xí)正交分解，并抽象為數(shù)學(xué)模型

PjOi

OP?xi?yj

（二）、探索探究，主動(dòng)建構(gòu)

概括討論，提出新問(wèn)題：

如果向量e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，a是該平面內(nèi)的一個(gè)非零向量，是否能用向量e1,e2表示向量a？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：

(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生探究：給定平面內(nèi)的兩個(gè)不平ae2e1行向量e1,e2，對(duì)于給定的非零向量a是否能分解成e1,e2方向上的兩個(gè)向量，且分解是否是唯一的？(2)實(shí)驗(yàn)步驟：

a.以四位同學(xué)為一組，給每一位同學(xué)一個(gè)圖，上面有兩個(gè)不平行向量e1,e2和a；

b.每個(gè)同學(xué)先獨(dú)立作圖；

c.小組對(duì)照，比較所分解的兩向量的長(zhǎng)度和方向是否相同.并得出結(jié)論.(3)實(shí)驗(yàn)報(bào)告：(由學(xué)生發(fā)言)可以分解，且分解的長(zhǎng)度和方向唯一的.師：既然可以分解并且是唯一的，能不能用數(shù)學(xué)式子把a(bǔ)和e1,e2的關(guān)系表示出來(lái)？ 生：e1,e2是不平行向量，a是平面內(nèi)給定的向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O（1）作OA?e1,OB?e2,OC?a；（2）過(guò)C作平行于直線OB的平行線與直線OA相交于點(diǎn)M；

（3）過(guò)C作平行于直線OA的平行線與直線OB相交于點(diǎn)N；

（4）四邊形ONCM為平行四邊形，由向量平行的充要條件可知存在實(shí)數(shù)

NaCBe2Oe1AM?1,?2，使得OM??1e1，ON??2e2，則OC?a?OM?ON??1e1??2e2.a=入1e1 +入2e2.對(duì)于給定的向量可以唯一分解成給定的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于任意的向量a是否也可以得到同樣的結(jié)論呢？下面讓我們來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：

(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)幾何畫板向量分解動(dòng)畫，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于任意向量都可以分解成給定的兩個(gè)不平行向量，且分解是唯一的.(2)實(shí)驗(yàn)步驟：

a.利用幾何畫板畫出兩個(gè)不平行向量e1,e2，畫出一個(gè)任意向量(該向量可以任意拖動(dòng)終點(diǎn)來(lái)改變)；

b.學(xué)生從拖動(dòng)中體會(huì)其向量的任意性.（一些特殊位置0，ae1，ae2）(3)實(shí)驗(yàn)報(bào)告： 3．探究結(jié)果

幾何角度：平面內(nèi)的任一向量a都可以表示為給定的兩個(gè)不平行向量e1,e2的線性組合，即a??1e1??2e2，且分解是唯一的.代數(shù)角度：說(shuō)明唯一性：

說(shuō)明：（1）當(dāng)a?0時(shí)，0?0?e1?0?e2

（2）當(dāng)a?0時(shí)，假設(shè)a??1e1??2e2，則有

?????1e1??2e2=?1e1??2e2

(?1??1?)?e1?(?2??2?)?e2?0.由于e1,e2(?1??1?)?0,(?2??2?)?0，即?1??1?,?2??2?.4．概括得出定理：

平面向量分解定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)?1,?2，使a??1e1??2e2.我們把不平行的向量e1,e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基.注意：

（1）基底不共線；

不平行，故

ee（2）將任一向量a在給出基底1、2的條件下進(jìn)行分解；

（3）基底給定時(shí)，分解形式唯一，?1,?2

（通過(guò)實(shí)驗(yàn)的制作，學(xué)生的動(dòng)手作圖能力得到提高，通過(guò)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的討論，學(xué)生的抽象概括能力，語(yǔ)言表達(dá)能力得到訓(xùn)練.）

（三）．例題分析

例1（教材P66．例2）如圖：平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且AB?a,AD?b，分別用a,b表示MA,MB,MC和MD.解： 在平行四邊形ABCD中，?aee是被，1，2唯一確定的數(shù)量

?AC?AB?AD?a?b,?DB?AB?AD?a?b, D1111?MA??AC??(a?b)??a?b, 2222?MB?1111DB?(a?b)?a?b, 2222，CMbMC?11AC?(a?b)22111DB??a?b 222AaBMD??MB??

注：（1）把a(bǔ),b作為一組基，用向量a,b表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量

（2）平行四邊形法則簡(jiǎn)化為三角形法則。練習(xí)：學(xué)生完成教材后面練習(xí)P67（2）

思考：由例1和練習(xí)（2）平行四邊形ABCD中還有哪些線段可以作為一組基？哪些線段不可以作為一組基？為什么？

思考題（教材P67．例 3）已知OA,OB是不平行的兩個(gè)向量，k是實(shí)數(shù)，且AP?kAB(k?R)，用OA,OB表示OP.解：?AP?kAB，?OP?OA?AP?OA?kAB?OA?k(OB?OA)

?OA?kOB?kOA?(1?k)OA?kOB.（四）、課堂小結(jié)：（1）平面向量的分解定理.對(duì)分解定理的理解：基底e1,e2為兩個(gè)不平行向量，向量a的任意性，實(shí)數(shù)對(duì)?1,?2的存在性和唯一性；

（2）從基的角度認(rèn)識(shí)幾何圖形。

（五）、作業(yè)布置

《練習(xí)冊(cè)》P37 A組3，4，5 B組2，3

第二篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法；（3）能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá).教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課 教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

??1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時(shí)λa與a方向相同；λ<0時(shí)λa與a方向相反；λ=0時(shí)λa=0

2．運(yùn)算定律

??結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零??實(shí)數(shù)λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問(wèn)題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？（2）對(duì)于平面上兩個(gè)不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來(lái)表示？

2．設(shè)e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)

??于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；

?(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3、兩個(gè)非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個(gè)非零向量a,b，在平面上任取一點(diǎn)O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說(shuō)明】（1）研究?jī)蓚€(gè)非零向量的夾角時(shí)，必須先將這兩個(gè)向量的起點(diǎn)移至同一個(gè)點(diǎn)；但是當(dāng)兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合時(shí)，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內(nèi)的角也等于這兩個(gè)向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說(shuō)向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見(jiàn)教材

四、課堂練習(xí)：

1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無(wú)法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結(jié)：平面向量基本定理，其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合．

六、課后作業(yè)：課本：101頁(yè)1,2 板書設(shè)計(jì)：略

第三篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示；能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來(lái)表示。

2.過(guò)程與方法：

讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與發(fā)現(xiàn)的形成過(guò)程,體會(huì)由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，初步掌握應(yīng)用平面向量基本定理分解向量的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

3.情感、態(tài)度和價(jià)值觀

通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性,增強(qiáng)學(xué)生向量的應(yīng)用意識(shí),并培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì).二、教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.三、教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.四、教學(xué)方法：探究發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學(xué)過(guò)程：

（一）情境引課，板書課題

由導(dǎo)彈的發(fā)射情境，引出物理中矢量的分解，進(jìn)而探究我們數(shù)學(xué)中的向量是不是也可以沿兩個(gè)不同方向的向量進(jìn)行分解呢？

（二）復(fù)習(xí)鋪路，漸進(jìn)新課

在共線向量定理的復(fù)習(xí)中，自然地、漸進(jìn)地融入到平面向量基本定理的師生互動(dòng)合作的探究與發(fā)現(xiàn)中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想碰撞的火花，體驗(yàn)著學(xué)習(xí)的快樂(lè)。

（三）歸納總結(jié)，形成定理

讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程中歸納總結(jié)出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點(diǎn)

反思平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實(shí)數(shù)對(duì)的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習(xí)，反饋測(cè)試

及時(shí)跟蹤練習(xí)，反饋測(cè)試定理的理解程度。

（六）講練結(jié)合，鞏固理解

即講即練定理的應(yīng)用，講練結(jié)合，進(jìn)一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢(shì)得出

不共線向量的不同方向的位置關(guān)系怎么表示，夾角概念順勢(shì)得出。然后數(shù)形結(jié)合，講清本質(zhì)：夾角共起點(diǎn)。再結(jié)合例題鞏固加深。

（八）課堂小結(jié)，畫龍點(diǎn)睛

回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過(guò)程，小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法，老師的“教 ”與學(xué)生的“學(xué)”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業(yè)布置，回味思考。

布置課后作業(yè)，檢驗(yàn)教學(xué)效果。回味思考，更加理解定理的實(shí)質(zhì)。

七、板書設(shè)計(jì)：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實(shí)數(shù)對(duì)

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實(shí)數(shù)對(duì)

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點(diǎn)；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結(jié)

5.作業(yè)

第四篇：83平面向量的分解定理教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

8.3平面向量的分解定理教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

立達(dá)中學(xué) 翁旭宇

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課內(nèi)容是對(duì)前面向量知識(shí)的綜合運(yùn)用，在本章知識(shí)結(jié)構(gòu)中起著承上啟下的作用，是平面向量線性運(yùn)算向坐標(biāo)運(yùn)算過(guò)渡的橋梁，是運(yùn)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的理論基礎(chǔ).二、教學(xué)目標(biāo)

1．理解和掌握平面向量的分解定理；

2．掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不平行向量來(lái)表示；掌握基的概念，并能夠用基表示平面內(nèi)的向量；

3．根據(jù)學(xué)生已有的物理知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在熟悉的問(wèn)題情景中，體會(huì)研究向量分解的必要性。4．經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過(guò)程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、交流合作能力、體會(huì)化歸思想。.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) ：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程；分解唯一性的說(shuō)明。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

本課主要是平面向量的分解定理及簡(jiǎn)單的應(yīng)用.??學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)為（1）物理知識(shí)力的分解（2）向量的正交分解及向量i,j的線性組合（3）向量平行的充要條件。在此基礎(chǔ)上自主建構(gòu)自己新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

引入課題上充分利用學(xué)生已有的物理知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)研究向量分解的必要性。

在課堂設(shè)計(jì)上把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)帶入課堂，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究定理的內(nèi)容.課堂組織形式上力求引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂的學(xué)習(xí).通過(guò)實(shí)驗(yàn)的制作，注重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手作圖能力；通過(guò)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的討論，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，語(yǔ)言表達(dá)能力； 通過(guò)幾何畫板向量分解動(dòng)畫，學(xué)生從中理解定理的本質(zhì)；通過(guò)分解定理表達(dá)式唯一性的代數(shù)說(shuō)明，體會(huì)數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯推理。

第五篇：2.3.1平面向量基本定理教案

2.3.1平面向量的基本定理

教學(xué)目的：

要求學(xué)生掌握平面向量的基本定理，能用兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量；或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量．

教學(xué)重點(diǎn)：

平面向量的基本定理及其應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)：

平面向量的基本定理．

教學(xué)過(guò)程：

一．復(fù)習(xí)引入：

1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時(shí)λa與a方向相同；λ<0時(shí)λa與a方向相反；λ=0時(shí)λ

?????????a=0

2．運(yùn)算定律

?????????結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，??使b=λa.二、新課：

1．提出問(wèn)題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？（2）對(duì)于平面上兩個(gè)不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來(lái)表示？ 2．新課

e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N

1e2

1O B 2OA=e1，OM=λe2，OC=a=OM+ON=λe1+λe2，e2． OB=e2，ON=λ

2得平面向量基本定理：

如果1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a＝λ

1ee1+λe2．

2注意幾個(gè)問(wèn)題：

（1）e1,e2必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；（2）這個(gè)定理也叫共面向量定理；

（3）λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量． 例1

已知向量e1,e2，求作向量?2.5e1+3e2． 作法：（1）取點(diǎn)O，作OA=?2.5e1，OB=3e2，（2）作平行四邊形OACB，OC即為所求．

已知兩個(gè)非零向量a、b，作OA?a，OB?b，則∠AOB＝θ（0°?θ?180°），叫做向量a與b的夾角．

當(dāng)θ＝0°，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向，如果a與b的夾角為90°，我們說(shuō)a與b垂直，記作：a⊥b．

三、小結(jié)：

平面向量基本定理，其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合．

e2 e1