第一篇：2011屆高考數(shù)學立體幾何證明題

空間直線、平面的平行與垂直問題

一、“線線平行”與“線面平行”的轉化問題，“線面平行”與“面面平行”的轉化問題

知識點：

一）位置關系：平行：沒有公共點．

相交：至少有一個公共點，必有一條公共直線，公共點都在公共直線上．

相交包括垂直相交和斜交．

二）平行的判定：

（１）定義：沒有公共點的兩個平面平行．（常用于反證）

（２）判定定理：若一個平面內的兩條相交直線平行于另一平面，則這兩個平面平行．（線面平行得面面平行）

（３）垂直于同一條直線的兩個平面平行．

（４）平行于同一個平面的兩個平面平行．

（５）過已知平面外一點作這個平面的平行平面有且只有一個．

三）平行的性質：

定義：兩個平行平面沒有公共點．（常用于反證）

性質定理一：若一個平面與兩個平行平面都相交，則兩交線平行．（面面平行得線線平行，用于判定兩直線平行）

性質定理二：兩個平行平面中的一個平面內的所有直線平行于另一個平面．（面面平行得線面平行，用于判定線面平行）

一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，必垂直于另一個平面．（用來判定直線與平面垂直）

一般地，一條直線與兩個平行平面所成的角相等，但反之不然．

夾在兩個平行平面間的平行線段相等．特別地，兩個平行平面間的距離處處相等．

二、“線線垂直”到“線面垂直”“線面垂直” 到“線線垂直”及三垂線定理

1、斜線長定理——從平面外一點所引的垂線段和斜線段中

①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；

②相等的兩條斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；

③垂線段比任何一條斜線段都短

2、直線與平面所成的角

一條直線若是平面的斜線，那么它和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線與平面所成的角。特別地，若這條直線是平面的垂線，那么這條直線與平面所成的角是直角;如果這條直線平行于這個平面,那么直線與平面所成的角是0。?0???90????

結論：斜線與平面所成的角，是這條直線和平面內經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。

3、三垂線定理及逆定理

在平面內的一條直線，如果和這個平面內的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

逆定理：在平面內的一條直線和這個平面內的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直。

其主要作用有：①證明問題：如線線、線面、面面垂直的證明；

例題

1、（將線面平行轉變?yōu)榫€線平行）：如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點E是PD的中點.（Ⅱ）求證：PB//平面AEC；

2、如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF//BC．

?

2（1）證明FO//平面CDE；（線面平行時用）（2）設BC?直時用）

3、（將線面平行轉變?yōu)槊婷嫫叫校┤鐖D,長方體

ABCD-A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點,M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1?a,AB=2a,（線面垂D，證明EO?平面CDF．

（Ⅰ）求證：MN//平面ADD1A1；

4、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB//DC,AC?BD,AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO

?2,PO?

PB?PD.（Ⅲ）設點M在棱PC上，且

PMMC

??,問?為何值時，PC?

平面BMD。

5、（將面面垂直轉變?yōu)榫€面垂直）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（可用空間向量做）

6、（線線垂直先證線面垂直）：如圖：三棱錐v?ABC中，AH?側面VBC且H是?VBC的重心，BE是VC邊上的高（1）求證：VC?AB7、如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，PA?1，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。

（Ⅰ）證明PA⊥BF；

8、（利用空間向量解決線面平行垂直問題）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點，AC?16，PA?PC?10．

（I）設G是OC的中點，證明：FG//平面BOE；

第二篇：立體幾何證明題[范文]

11.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中點

(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.2.如圖5所示，在四棱錐P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD，PD?AD，E是C A1 1D B

PB的中點，F(xiàn)是CD上的點且DF?

PH為△PAD中AD邊上的高.（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?

1，AD?1AB，2FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；

（3）證明：EF?平面PAB.3.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，ABE分11?AC11，D，別是棱BC，（點D 不同于點C），且ACC1上的點D?DEF，為B1C1的中點．

求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

4.如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．

（1）證明：EF∥面PAD；（2）證明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱錐P—ABCD的體積．

5.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA?平面ABCD，PD//MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD?PD?2MA.（I）求證：平面EFG?平面PDC；

（II）求三棱錐P?MAB與四棱錐P?ABCD的體積之比.6.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDF;

7.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H為BC的中點，(Ⅰ)求證：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面體B—DEF的體積；

8.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D?B1C

。求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD?平面BB1C1C.9.如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點,AD?AE,F

是BC的中點,AF與DE交于點G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐

A?BCF,其中BC?

(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;(3)當AD?

圖4

時,求三棱錐F?DEG的體積VF?DEG.3

10.如圖,在四棱錐P?ABCD

中,AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面

ABCD,PA?AD,E和F分別是CD和PC的中點,求

證:

(1)PA?底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF?平面PCD

（2013年山東卷）如圖,四棱錐P?ABCD中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD,E,F,G,M,N分別為

PB,AB,BC,PD,PC的中點

(Ⅰ)求證:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求證:平面EFG?平面EMN

11.

第三篇：立體幾何證明題舉例

立體幾何證明題舉例

(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直線A1F∥平面ADE.證明(1)因為ABC ?A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以C C1⊥AD.又因為AD⊥DE，C C1，DE?平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因為A1 B1＝A1 C1，F(xiàn)為B1 C1的中點，所以A1F⊥B1 C1.因為C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F?平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因為C C1，B1 C1?平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點．

(1)求證：BD⊥平面CDE；

(2)求證：GH∥平面CDE；

(3)求三棱錐D－CEF的體積．

[審題導引](1)先證BD⊥ED，BD⊥CD，可證BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE；

(3)變換頂點，求VC－DEF.[規(guī)范解答](1)證明 ∵四邊形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)證明 ∵G是DF的中點，又易知H是FC的中點，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)設Rt△BCD中，BC邊上的高為h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如圖所示，已知在三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．

(1)求證：DM∥平面APC；

(2)求證：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－

BCM的體積．

[審題導引](1)只要證明MD∥AP即可，根據(jù)三角形中位線定理可證；

(2)證明AP⊥BC；

(3)根據(jù)錐體體積公式進行計算．

[規(guī)范解答](1)證明 由已知，得MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.(2)證明 因為△PMB為正三角形，D為PB的中點，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因為BC?平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由題意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱錐D－BCM的一條高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第四篇：XX屆高考數(shù)學立體幾何復習教案

XX屆高考數(shù)學立體幾何復習教案

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立體幾何總復習

一、基本符號表示..點A在線m上：Am；

2.點A在面上：A

；

3.直線m在面內：m

；

4.直線m與面交于點A：m

=A；

5.面與面相交于直線m：=m；

二、點A到面的距離.（第一步：作面的垂線）

①作法：過點A作Ao

于o，連結線段Ao,即所求。

②求法：

（一）直接法；

（二）等體法（等積法包括：等體積法和等面積法）；

（三）換點法。

如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（II）求點A到平面PBc的距離.（例2）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（III）求點B到平面PcD的距離。

（例3）如圖，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中點。（I）求點B到平面的距離.三、兩條異面直線m與n所成角.①作法：平移，讓它們相交.（若mn,則可證出mn所在的平面）

②求法：常用到余弦定理.③兩條異面直線所成角的范圍：

；任意兩

條異面直線所成角的范圍：

.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大小；

四、線m與面所成角.（第一步：作面的垂線）

①作法：在線m上任取一點P（異于A），作Po

于o,連結Ao，則Ao為斜線PA在面內的攝影，m與面所成的角。

②求法：一般根據(jù)直角三角形來解。

③線面角的范圍：

.已知正四棱柱中，AB＝2。（II）求直線與側面所成的角的正切值.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（III）求與平面所成角的最大值． 五、二面角（注：若所求的二面角為直二面角，一般轉化為求它的補角—銳角）.（一）定義法：

①作法：在棱c上取一“好”點P，在兩個半平面內分別作c的垂線（射線）m、n,則角即二面角—c—的平面角。

②求法：一般根據(jù)余弦定理。

（二）三垂線法：（第一步：作面的垂線）

①作法：在面或面內找一合適的點A,作Ao

于o，過A作ABc于B，則Bo為斜線AB在面內的射影，為二面角—c—的平面角。

三垂線法的步驟：

1、作面的垂線；

2、作棱的垂線，并連結另一邊（平面角的頂點在棱上）；

3、計算。

②求法：一般根據(jù)直角三角形來解。

③二面角的取值范圍：

.如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（III）求二面角的正切值。

（例2）已知正四棱柱中，AB＝2。（III）求二面角的正切值。

（例3）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（II）求二面角D—Pc—A的大?。?/p>

（例4）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（III）求二面角B—PA—c的余弦值.（例5）如圖，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中點。（II）求二面角的大小。

六、三垂線定理.（第一步：作面的垂線）

.定理：PA為斜線，Po

于o，oA為射影，m，AomPAm.2.逆定理：PA為斜線，Po

于o，oA為射影，m，PAm

Aom.已知正四棱柱中，AB＝2。（I）求證：.七、線面平行（）..定義：

2.判定定理：

3.性質定理：

（例1）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（I）求證：Bc//平面PAD.八、線面垂直（）..定義：

2.判定定理：

3.性質定理：

（例1）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（I）求證：Bc⊥平面PAc；

（例2）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（II）若E、F分別為PB、AD的中點，求證：EF⊥平面PBc.九、面面平行（）..定義：

2.判定定理：

3.性質定理：

十、面面垂直（）..定義：

2.判定定理：

3.性質定理：

如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（I）求證：平面PcB⊥平面mAB.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（I）求證：平面平面；

十一、有關對角線..平行四邊形：

對角線平分.2.菱形：

對角線垂直且平分.3.矩形：

對角線相等且平分.4.正方形：

對角線相等且垂直且平分.十二、平移的方法..三角形（或梯形）的中位線：

且等于底邊（上下兩底之和）的一半.2.平行四邊形：對邊

且相等.3.等比例線段：

十三、重要輔助線的添加方法..見到中點，考慮：①中位線；②

；③

.2.見到平行四邊形（菱形、矩形、正方形同理），考慮：①連結對角線；②對邊平行且相等.十四、求三角形面積的通用方法.十五、三棱錐的任何一個面都可以作為底面，方便使用等體法.十六、立體幾何解題策略（附加：在做立體幾何大題時，后以文經(jīng)常用到前一問的結論，平時注意）..由已知想性質；

2.由結論想判定；

3.由需要做輔助線或輔助平面.十七、有關棱柱.棱柱——————————直棱柱—————————正棱柱..兩底面平行；

+1.側棱垂直于底面

+1.底面是正多邊形

2.側棱平行

十八、有關棱錐.棱錐——————————正棱錐..一面一點一連；

+1.底面是正多邊形；

2.頂點在底面的射影正好是底面正多邊形的中心.

第五篇：高三立體幾何證明題訓練

高三數(shù)學 立體幾何證明題訓練

班級姓名

1、如圖，在長方體

ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?a，AB?2a，E、F分別為C1D1、A1D1的中點．（Ⅰ）求證：DE?平面BCE；（Ⅱ）求證：AF//平面BDE．

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD

AD?AA1，F(xiàn)為棱AA1的中點，1的中點，M為線段BD

（1）求證：MF//面ABCD；（2）求證：MF?面BDD1B1；

2、如圖，已知棱柱，?DAB?60，?

DC

1B1

M

AF

C

A3、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中點，F(xiàn)為ED的中點。（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；（II）求證：CF//平面BAE。

4、如圖，ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱側棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點。

（2）求三棱錐D?

D1BC//平面C1DE；

（1）求證：BD15、如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA?ABCD，E為PC的中點。PA＝AD＝AB＝1。

AD，CD?AD,CD?2AB,PA? 底面

（1）證明：EB//平面PAD；（2）證明：BE?平面PDC；（3）求三棱錐B-PDC的體積V。

6、如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45?，底面ABCD為直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90?，PA = BC =AD．(Ⅰ)求證：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB ？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由．

PB

C

D7、已知ABCD是矩形，AD?4,AB?2，E、F分別是線段AB、BC的中點，PA?面ABCD.P

(1)證明：PF⊥FD；(2)在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD.A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB?,AF?1,M的中點。(Ⅰ)求三棱錐A?BDF的體積；(Ⅱ)求證:AM//平面BDE；

8、如圖，已知正方形

9、如圖，矩形

是線段EF

為CE上的點，且

ABCD

中，AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，F(xiàn)的體積.BF?平面ACE。Ⅰ）求證：AE?平面BCE；

（Ⅱ）求證；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱錐C?BGF

C

B10、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點．

(I)求證：平面PDC?平面PAD；(II)求證：BE//平面PAD．

11、如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）證明FO//平面CDE；（2）設BC=CD，證明EO⊥平面CDF．

P

E

D

C

A

B

A

D

C12、如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱錐C－BEP的體積．

13、如圖，在矩形ABCD中，沿對角線BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求證：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱錐C′—ABD的體積。

14、如圖,在四棱錐P?

ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側面PAD?底面ABCD，且

PA?PD?

(Ⅰ)

AD，若E、F分別為PC、BD的中點。2

EF //平面PAD；(Ⅱ)求證:平面PDC?平面PAD；