第一篇：二重極限的計(jì)算方法(學(xué)年論文)

二重極限的計(jì)算方法小結(jié)

內(nèi) 容 摘 要

本文在二元函數(shù)定義基礎(chǔ)上通過求對(duì)數(shù)，變量代換等方式總結(jié)了解決二重極限問題的幾種方法，并給出相關(guān)例題及解題步驟。及二重極限不存在的幾種證明方法。

關(guān)鍵詞：二重極限 變量代換等 不存在的證明

目 錄

序言???????????????????????????

1一、利用特殊路徑猜得極限值再加以驗(yàn)證………??????1(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以確定???????? 1(二)由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證??????????2(三)采用對(duì)數(shù)法求極限?????????????????2(四)利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個(gè)重要極限???3(五)等價(jià)無窮小代換??????????????????3(六)利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量??????4(七)多元函數(shù)收斂判別方法???????????????4(八)變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限????5(九)極坐標(biāo)代換法???????????????????6(十)用多元函數(shù)收斂判別的方法?????????????7

二、證明二重極限不存在的幾種方法………………………………… 7 總結(jié)??????????????????????????10 參考文獻(xiàn)????????????????????????11 I

序言

二元函數(shù)的極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。對(duì)一元函數(shù)而言，自變量的變化只有左右兩種方式，而二元函數(shù)可以有無數(shù)種沿曲線趨于某店的方式，這是兩者最大的區(qū)別。雖然二元函數(shù)的極限較為復(fù)雜，但若能在理解好概念，掌握解題方法和技巧就不難解決。

對(duì)于二元函數(shù)的二重極限，重點(diǎn)是極限的存在性及其求解方法。二重極限實(shí)質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程，是一個(gè)較為復(fù)雜的極限，只要有兩個(gè)方向的極限不相等，就能確定二重極限不存在，但要確定二重極限存在則需要判定沿任意方向的極限都存在且相等。由于二重極限較為復(fù)雜，判定極限的存在及其求解，往往因題而異，依據(jù)變量(x,y)的不同變化趨勢(shì)和函數(shù)f(x,y)的不同類型，探索得出一些計(jì)算方法，采用恰當(dāng)?shù)那蠼夥椒ê?，?duì)復(fù)雜的二重極限計(jì)算，就能簡(jiǎn)便，快捷地獲得結(jié)果，本文將對(duì)二重極限的幾種計(jì)算方法做一下小結(jié)。一、二重極限的計(jì)算方法小結(jié)

(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以驗(yàn)證

利用二元函數(shù)極限定義求極限：根據(jù)定義解題時(shí)只需找出?來。

x3y例1 討論f(x,y)?2，在點(diǎn)的極限。

x?y2[1]解 令y?mx

x?0y?mxlimx3ymx4m2?lim?limx?0

x2?y2x?0y?mx(1?m2)x?01?m2x3y應(yīng)為此路徑為特殊路徑，故不能說明lim?0.可以猜測(cè)值為0。

x?0y?0x2?y2下面再利用定義法證明：???0，取??2?

當(dāng)0?(x?0)2?(y?0)2?? 有x2?x2?y2?2?

x3yx3y12x3y12由于2 即有?0??x?x?? 2222xy22x?yx?yx3y故lim?0.x?0y?0x2?y2注意（1）?的任意性

（2）?一般隨而變化

（3）若函數(shù)以A為極限，則對(duì)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有范圍（A+?，A-?）。

(二)由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證

先求出一個(gè)累次極限，該類此極限是否為二重極限在用定義驗(yàn)證 例2[2] 設(shè)f(x,y)?(x?y)sin221(x2?y2?0)。求limf(x,y)22x?0y?0x?y解 ?limlimf(x,y)?0可以猜測(cè)有極限值為0.事實(shí)上對(duì)任意的(x,y)?(0,0)

x?0y?0有f(x,y)?0?(x?y)sin2212222?x?y?x?y，22x?y???0 取???，當(dāng)x??，y??，(x,y)?(0,0)時(shí)，2就有(x2?y2)sin1?0??，即有l(wèi)imf(x,y)?0 22x?0y?0x?y(三)采用對(duì)數(shù)法求極限

利用初等變形，特別是指數(shù)形式常?？梢韵惹笃饘?duì)數(shù)的極限?；驑O限是等未定型，往往通過取對(duì)數(shù)的辦法求得結(jié)果。

例3 求 解

1sinxyx?0?y?0?lim(1?xy)(1?xy)

1sinxy1xyxysinxyx?0?y?0?lim1sinxy?x?0?y?0?limeln(1?xy)?x?0?y?0?limeln(1?xy)

1xy 因?yàn)?/p>

xyxyln(1?xy)?lne?1 ?1而且limx?0?y?0?sinxy1x?0?y?0?lim 所以

1sinxyx?0y?0lim(1?xy)???e

(四)利用一元函數(shù)中重要極限的推廣求兩個(gè)重要極限

1? lim?1??lim(1?x)x?e ??x??x?0?x?sinx?

1limx?0x類似于一元函數(shù)，我們可以充分利用所熟知的結(jié)論。通過構(gòu)造變形我們能夠化不熟悉為熟悉，進(jìn)而利用已有的結(jié)論而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1?x)x?0y?01x(x?y)（2）limsinxy

x?0y?ax解（1）因?yàn)?/p>

lim(1?x)?e，limx?01x11?

x?0y?2x?y2 所以

1x(x?y)1x?yx?0y?2lim(1?x)???lim?(1?x)?x?0y?2??1x?e（2）由于

又因?yàn)?/p>

sinxysinxy??y,y?0, xxysinxysint?lin?1(xy?t,x?0)

x?0y?at?0txylim 所以

sinxysint?linliny?a

x?0y?at?0yxt?alim(五)等價(jià)無窮小代換

利用一元函數(shù)中已有的結(jié)論對(duì)式子進(jìn)行必要的代換以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的，進(jìn)而求出所要求的極限

33例5 求limsin(x?y)

x?0y?0x?y33 解 因?yàn)閤?0,y?0,故有x?y?0

所以sin(x3?y3)等價(jià)于x3?y3

3333故原式為limsin(x?y)?limx?y?lim(x2?xy?y2)?0

x?0y?0x?0y?0x?0y?0x?yx?y注 無窮小替代求極限時(shí)要理解替換過程的本質(zhì)，不可隨意替換。利用等價(jià)無窮小替代求極限其實(shí)質(zhì)就是在極限運(yùn)算中同時(shí)乘一個(gè)或是除一個(gè)等價(jià)無窮小，也就是我們通常所說的“乘除時(shí)可以替換，加減時(shí)不可隨意替換”

(六)利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量

充分利用無窮小的性質(zhì)，與一元函數(shù)類似，在求極限過程中，以零為極限的量稱為無窮小量，有關(guān)無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到多元函數(shù)中。

例6[4]2?x?3??y?2? 求 lim

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2 解 因?yàn)?/p>

2?x?3??y?2?limx?3,y?2?x?3?2??y?2?2?lim?x?3??y?2??x?3?

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2而

?x?3??y?2??x?3?2??y?2?2又 limx?3,y?2?1為有界變量 2?x?3??0 故有 原式=0(七)多元函數(shù)收斂判別方法

當(dāng)一個(gè)二重極限不易直接求出時(shí)，可以考慮通過放縮法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，且兩端的極限值相等，則原函數(shù)的極限值存在且等于它們的公共值。

例7[5] 求 lim?xx?0y?0?y2

x?y2?解 因?yàn)?/p>

?x0?而

?y2x2y2x2y2?????x?y

x?yx?yx?yxy2?x?0y?0lim?x?y??0，故

x?0y?0lim?x?y2

x?y2?

(八)變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限

有時(shí)為了將所求的極限化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式子的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來較復(fù)雜的極限過程轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)化的極限過程。

1、討論當(dāng)x?0,y?0，二元函數(shù)f(x,y)的極限，利用變量代換把二重極限化為一元函數(shù)中已知的極限轉(zhuǎn)化，相應(yīng)有t?0從而求得結(jié)果。

ln(1?x2?y2)例8 求 lim 22x?0,y?0x?y解 令x2?y2??, 則當(dāng)x?0,y?0時(shí) ??0，22ln(1?x?y)ln(1??)于是lim?lim?1 22x?0,y?0??0?x?y2、討論當(dāng)x??,y?aa?0常數(shù)時(shí)，二元函數(shù)f(x,y)的極限，作變量代換，相應(yīng)有t??，利用已知一元函數(shù)的極限公式。

例9 求 lim?1???x??y?a??xy?解 因?yàn)?/p>

x2x?y???1?其中a?0

?1??1??xy????x2x?y?1???1??xy????xxy(x?y)y

當(dāng) x??,y?a時(shí)，令xy=t,相應(yīng)有t?? 則

?1??lim?1??x??y?a??xy?

所以

xy?1??lim?1???e t???t?t?1???lim1?x??y?a?xy???x2x?y?x??y?alimex1xyln(1?)(x?y)yxy?e1a

3、討論x??,y??時(shí)二元函數(shù)f(x,y)的極限

例10 求 解 因?yàn)?x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)

(x?y)e22?(x?y)(x2?y2)(x?y)2xy???2(x?y)(x?y)(x?y)eee當(dāng) x??,y??時(shí)，令x+y=t,相應(yīng)有t??

(x?y)2t2則 lim?limt?0

x??,y??e(x?y)t??ex??,y??lim2xyxy??2lim?lim?0 xyxyx??,y??x??,y??eeee所以

x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)?0

(九)極坐標(biāo)代換法

討論當(dāng)?x,y???0,0?時(shí)，二元函數(shù)f(x,y)的極限，必要時(shí)可以用極坐標(biāo)變換

?x?rcos?,y?rsin?，即將求f(x,y)當(dāng)極限問題變換為f(rcos?,rsin?)求r?0的極

?限問題。但必須要求在r?0的過程中與?的取值無關(guān)。注意這里不僅對(duì)任何固定的?在r?0?時(shí)的極限與?無關(guān)，而且要求在r?0?過程中?可以隨r的改變而取不同的值的情況下仍然無關(guān)，才能說明lim[6]x?0,y?0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)?(0,0)x2?y2解 令

?x?rcos?，當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)，有r?0? ??y?rsin?令

x2y2r4cos2?sin2???r2cos2?sin2? 222x?xr22因?yàn)?cos?sin??1

所以

x2y2222lim?limrcos?sin?0(x,y)?(0,0)x2?y2r?0?

(十)用多元函數(shù)收斂判別的方法

通過縮放法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，再利用兩邊夾定理來推出結(jié)果。

x2?y2例12 求 lim

x?0y?0x?y 解 因?yàn)?/p>

x2?y2?x?y?0???x?y x?yx?y2而 limx?0y?0?x?y??0

22x?y 所以 lim?0

x?0y?0x?y

二、證明二重極限不存在

若二元函數(shù)f(p)在區(qū)域D有定義，p0(x0,y0)是D的聚點(diǎn)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p(x,y)沿著兩條不同的曲線（或點(diǎn)列）誣陷趨近于點(diǎn)p0(x0,y0)，二元函數(shù)f(p)，有不同的“極限”，則二元函數(shù)f(p)在點(diǎn)p0(x0,y0)不存在極限。依此可以有下面幾種方法來證明f(p)在區(qū)域D上當(dāng)p?p0時(shí)極限不存在。

例1[7] 證明x?0y?0limln(x?ey)x2?y2不存在

y22證明 函數(shù)的定義域?yàn)镈?(x,y)x??e,x?y?0，當(dāng)點(diǎn)p(x,y)沿著y

??軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有x=0，而

x?0y?0limln(x?ey)x2?y2?limy?0y不存在，y所以

x?0y?0limln(x?ey)x?y22

當(dāng)P沿著D中某一連續(xù)曲線趨近于點(diǎn)p0(x0,y0)時(shí)，二元函數(shù)f(p)的極限不存在，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 證明x?0y?0limx4?y4不存在

x?y證明 函數(shù)的定義域?yàn)镈?(x,y)x?y?0，當(dāng)點(diǎn)p(x,y)沿著x軸趨于點(diǎn)（0，x4?y40）時(shí)，lim=0，當(dāng)點(diǎn)p(x,y)沿著y?x(x3?1)趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)x?0y?0x?yx4?y4x4?x4(x3?1)lim?lim?2 4x?0x?0x?yx所以

x?0y?0??limx4?y4不存在

x?y當(dāng)P沿著D中兩條不同的連續(xù)曲線趨近于p0(x0,y0)時(shí)，二元函數(shù)f(p)的極限都存在，但不相等，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33x?y例3 證明

x?0y?0lim證明 設(shè)x?rcos?,y?rsin?函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

D?(r,?)r?0,cos??sin??0,?0,2??

??

x?0y?0limx2y2?x3?y3xlim(r,?)?D?0?rcos2?sin2? cos3??sin3?rcos2?sin2?當(dāng)??0時(shí)，sin??0得lim?0 33x?0?cos??sin?(r,?)?D當(dāng)??(33??1)時(shí)cos3??sin3??0?,cos2?sin2??443令cos??sin??r有

x?0?cos3??sin3??rlimrcos2?sin2?1??0

cos3??sin3?4所以

x?0y?0limx2y2 不存在

x3?y3對(duì)于一些難以找到的路線，可以利用極坐標(biāo)來證明 例4[8] 證明 limx?0y?0x2?y2不存在 22x?2yx2?y2x3證明 limlimf(x,y)?limlim2?lim2?limx?0

x?0y?0x?0y?0xx?0xx?0?2y2x2?y2y211 limlimf(x,y)?limlim2?lim?lim?x?0y?0x?0y?0x?2y2y?02y2y?022

即得

x?0y?0limx2?y2x2?y2 ?limlim2222x?0y?0x?2yx?2yx?0y?0因?yàn)閮蓚€(gè)累次極限不想等，所以

limx2?y2 不存在 22x?2y總結(jié)

函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，也是比較難理解和掌握的部分，特別是二元函數(shù)的極限，但二元函數(shù)在多元函數(shù)微積分學(xué)中有著舉足輕重的作用，探討其存在性與求法是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分有關(guān)概念和方法的基礎(chǔ)。文中列出了利用特殊路徑猜得極限值再加以確定、由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證、采用對(duì)數(shù)法求極限、利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小代換、利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量、多元函數(shù)收斂判別方法、變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限、極坐標(biāo)代換法、用多元函數(shù)收斂判別的方法等始終二重極限的計(jì)算方法及四種二重極限不存在的證明方法。在實(shí)際解決二重極限問題時(shí)要根據(jù)題型不同選擇最優(yōu)的解題方式，不但能提高正確率也可以節(jié)省時(shí)間和工作量，達(dá)到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)

［1］孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析[M].北京:高等教育出版社,2004.［2］張貴文,汪明凡.關(guān)于多元函數(shù)的極限[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1983.［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè)(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.［4］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))(五版)[M].北京:高等教育出版社，2002.［5］閻家灝.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一種審斂[J].蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2004.［6］閻家灝.用極坐標(biāo)變換確定二重極限的技巧及實(shí)例[J].蘭州工業(yè)高等專科學(xué)校學(xué) 報(bào),2006.［7］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1992.［8］張雅平.二重極限的幾種求法[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，（2）..10

第二篇：證明二重極限不存在

證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在,是二元函數(shù)這一節(jié)的難點(diǎn),在這里筆者對(duì)這一問題不打算做詳細(xì)的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時(shí),一個(gè)值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找?guī)讞l通過(或趨于)定點(diǎn)(x0,y0)的特殊曲線,如果動(dòng)點(diǎn)(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時(shí),f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時(shí),是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經(jīng)過(x0,y0),并且定點(diǎn)是這條曲線的非孤立點(diǎn),這一點(diǎn)很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對(duì)于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時(shí),不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯(cuò)。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時(shí),所得的結(jié)論就不同(這時(shí)f(x,y)→1)。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢?仔細(xì)分析一下就不難得到答案

若用沿曲線，(，y)一g(，y)=0趨近于(，y0)來討論，一0g，Y?？赡軙?huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，只有證明了(，)不是孤立點(diǎn)后才不會(huì)出錯(cuò)。o13A1673-3878(2008)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在。是二元函數(shù)這一節(jié)的難點(diǎn)，在這里筆者對(duì)這一問題不打算做詳細(xì)的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時(shí)。一個(gè)值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找?guī)讞l通過(或趨于)定點(diǎn)(xo，Yo)的特殊曲線，如果動(dòng)點(diǎn)(x，Y)沿這些曲線趨于(xo，Y。)時(shí)，f(x，Y)趨于不同的值，則可判定二重極限limf(x，Y)不存在，這一方I—’10r’Y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時(shí)，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經(jīng)過(xo，Y。)，并且定點(diǎn)是這條曲線的非孤立點(diǎn)，這一點(diǎn)很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對(duì)于型如2的極限，在判卜’Iogx，Yy—·y0斷其不存在時(shí)，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯(cuò)。

當(dāng)沿曲線y=-x+x^2趨于(00)時(shí)，極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

當(dāng)沿直線y=x趨于(00)時(shí)，極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

當(dāng)沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時(shí)，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。

第三篇：2018考研數(shù)學(xué)：二重極限

東莞中公教育

2018考研數(shù)學(xué)：二重極限

以下是中公考研數(shù)學(xué)研究院的老師為大家整理了2018考研數(shù)學(xué):二重極限的題型講解，供大家復(fù)習(xí)參考。

高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是函數(shù)，而極限則是研究函數(shù)的最重要的工具，對(duì)于一元函數(shù)如此，對(duì)于多元函數(shù)亦是如此。那么在學(xué)習(xí)多元微分學(xué)之前，首先來認(rèn)識(shí)多重極限的概念，在此以二重極限為例進(jìn)行說明。東莞中公教育

2.考試要求會(huì)計(jì)算二重極限，最直接的想法就是一元函數(shù)求極限的方法中哪些還可以繼續(xù)使用，其中四則運(yùn)算法則，等價(jià)無窮小替換和夾逼定理及其推論(無窮小量乘以有界量等于無窮小量)可以使用。

【注記】1.取路徑的方法只是用來驗(yàn)證函數(shù)的極限不存在，不能用于求極限。并且路徑一般取為直線，便于計(jì)算。

2.考試不會(huì)直接考查二重極限的計(jì)算，而是在研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可微性的時(shí)候需要計(jì)算二重極限。

最后，中公考研祝全體考生考研成功!

第四篇：定義證明二重極限

定義證明二重極限

就是說當(dāng)點(diǎn)(x,y)落在以(x0,y0)點(diǎn)附近的一個(gè)小圈圈內(nèi)的時(shí)候，f(x,y)與A的差的絕對(duì)值會(huì)灰?；页５慕咏?。那么就說f(x,y)在(x0,y0)點(diǎn)的極限為A

關(guān)于二重極限的定義，各類數(shù)學(xué)教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義(點(diǎn)可以除外)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)，使得對(duì)于所論鄰域內(nèi)適合不等式的一切點(diǎn)p(X，y)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末，常數(shù)A就稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.定義2設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧矫嫔弦稽c(diǎn)，函數(shù)在點(diǎn)兒的任一鄰域中除見外，總有異于凡的屬于D的點(diǎn)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)a，使得對(duì)D內(nèi)適合不等式0<戶幾卜8的一切點(diǎn)p，有不等式V(p)一周<。成立，則稱A為函數(shù)人p)當(dāng)p～p。時(shí)的極限.定義3設(shè)函數(shù)X一人工，”的定義域?yàn)镈，點(diǎn)產(chǎn)人工。，人)是D的聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)8，使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)p(X，…ED，都有成立，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.以上三種定義的差異主要在于對(duì)函數(shù)的前提假設(shè)不盡相同.定義1要求人X，…在點(diǎn)p入x。，汕)的某去心鄰域內(nèi)有定義，而定義2允許人工，y)在點(diǎn)p。(X。，入)的任一去心鄰域內(nèi)都有使人X，y)無定義的點(diǎn)，相應(yīng)地，定義I要求見的去心鄰域內(nèi)的點(diǎn)p都適合/(p)一A卜

利用極限存在準(zhǔn)則證明：

(1)當(dāng)x趨近于正無窮時(shí)，(Inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數(shù)列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準(zhǔn)則:

x大于1時(shí),lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(Inx/x^2)的極限為0

2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:

分三種情況,x0=√a時(shí),顯然極限為√a

x0>√a時(shí),Xn-X(n-1)=/2<0,單調(diào)遞減

且Xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.對(duì)原始兩邊求極限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a時(shí),極限亦為√a

綜上,數(shù)列極限存在,且為√

(一)時(shí)函數(shù)的極限：

以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……

(二)時(shí)函數(shù)的極限：

由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個(gè)極限：

(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4

例5例6例7

第五篇：極限計(jì)算方法總結(jié)(簡(jiǎn)潔版)

極限計(jì)算方法總結(jié)（簡(jiǎn)潔版）

一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果

1．定義：（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：lim?0，當(dāng)|q|?1時(shí)b?0(a,b為常數(shù)且a?0)；lim(3x?1)?5；limqn??；

x?2n??ann??不存在，當(dāng)|q|?1時(shí)?等等

（2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡(jiǎn)單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。

2．極限運(yùn)算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B

（3）limf(x)A?,(此時(shí)需B?0成立)g(x)B

說明：極限號(hào)下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。3．兩個(gè)重要極限（1）limsinx?

1x?0x1x（2）

(1?1)x?e

lim(1?x)?e ； limxx??x?0說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，作者簡(jiǎn)介：靳一東，男，（1964—），副教授。

1?2x例如：limsin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x3?e，lim(1?)?e；等等。

x??xx

34．等價(jià)無窮小

定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。定理3 當(dāng)x?0時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)（g(x)?0），仍有上面的等價(jià)

關(guān)系成立，例如：當(dāng)x?0時(shí)，定理4 如果函數(shù)

e3x?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時(shí)的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～ 1 g1(x)，則當(dāng)limx?x0f1(x)f1(x)f(x)存在時(shí)，lim也存在且等于f(x)lim，即

x?xx?x00g(x)g1(x)g1(x)x?x0limf1(x)f(x)lim=。

g(x)x?x0g1(x)5．洛比達(dá)法則

定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；

（3）limf?(x)存在（或是無窮大）； ?g(x)f(x)f?(x)f(x)f?(x)

則極限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。

g(x)g?(x)g(x)g?(x)說明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“

0?”型或“”型；條件0?（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。

6．連續(xù)性

定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)imx?x0f(x)?f(x0)。

7．極限存在準(zhǔn)則

定理7（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理8（準(zhǔn)則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個(gè)數(shù)列，且滿足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

n??

（2）limyn?a，limzn?a

n??n??

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxnn???a。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限 例1 limx?13x?1?2

x?1(3x?1)2?223x?33?lim?。解：原式=limx?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4注：本題也可以用洛比達(dá)法則。

例2 limn(n?2?n?1)

n??n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以?解：原式=limn??n?2?n?1(?1)n?3n例3 lim

n??2n?3n上下同除以3nnlimn??31?21?1?nn?3。2解：原式?1(?)n?1lim3?1。n??2n()?132． 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限 例4 limx2ex?21x

12x解：因?yàn)閤0?2是函數(shù)f(x)?xe的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以

原式=2e?4e。123． 利用兩個(gè)重要極限求極限 例5 lim1?cosx

x?03x2xx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例6 2xlim(1?3sinx)

x?01?6sinx??3sinxx1?3sinx?6sinxx解：原式=lim(1?3sinx)x?0?lim[(1?3sinx)x?0]?e?6。

例7 lim(n??n?2n)n?1解：原式=lim(1?n???3)n?1n?1?3n??3n?1?lim[(1?n???3)n?1n?1?3]?3nn?1?e?3。

4． 利用定理2求極限

2例8 limxsinx?01 x解：原式=0（定理2的結(jié)果）。

5． 利用等價(jià)無窮小代換（定理4）求極限

例9 limx?0xln(1?3x)2

arctan(x)2

2解：?x?0時(shí)，ln1(?3x)～3x，arctaxn)(～x，? 原式=limx?0x?3x?3。x2ex?esinx例10 lim

x?0x?sinxesinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)?lim?1。解：原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx注：下面的解法是錯(cuò)誤的：

(ex?1)?(esinx?1)x?sinx?lim?1。

原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx

正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣：

tanx?sinxx?xlim?lim?0。33x?0x?0xx例11 1tan(xsin)x limx?0sinx22xsin解：?當(dāng)x?0時(shí)，2111是無窮小，?tan(x2sin)與x2sin等價(jià)，xxx1xsin1x?limxsin?0。

所以，原式=lim（最后一步用到定理2）

x?0x?0xx6． 利用洛比達(dá)法則求極限

說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無窮小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。

例12 limx?01?cosx（例4）

3x2sinx1?。（最后一步用到了重要極限）

x?06x6解：原式=limcos例13 ?xlimx?12 x?14 ?解：原式=limx?1?2sin?x2???。12例14 limx?0x?sinx x31?cosxsinx1lim?。=（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）2x?0x?06x63x解：原式=lim例15 limsinx?xcosx 2x?0xsinx原式?lim解：sinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2 xsinx1?lim?x?033x2例18 11lim[?] x?0xln(1?x)11lim[?]?0。解：錯(cuò)誤解法：原式=x?0xx

正確解法：

原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01 ?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2x?2sinx

3x?cosx1?2cosx0”型，但用洛比達(dá)法則后得到：lim，此極限

x??3?sinx0應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。例19 limx??解：易見：該極限是“不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

2sinx1x原式=lim（分子、分母同時(shí)除以x）=（利用定理1和定理2）

x??cosx33?x1?7． 利用極限存在準(zhǔn)則求極限 例20 已知x1xn ?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??n??解：易證：數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，且有界（0

xn存在，設(shè) limxn?a。

n??對(duì)已知的遞推公式

xn?1?2?xn兩邊求極限，得：

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）。所以 limxn?2。

n??1n?1nn?n22n??例21 lim(?1n?2?12???11n?n2)

1n?n2解： 易見：n?12?n?22????nn?12

因?yàn)?limn??nn?n2?1，limn??nn?1?122?1

???1n?n2所以由準(zhǔn)則2得：lim(n??1n?12n?2)?1。

上面對(duì)求極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會(huì)。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。