第一篇：淺談中心極限定理及其應(yīng)用 論文

淺談中心極限定理及其應(yīng)用

李月20091103558

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)09信息一班

指導(dǎo)老師韓文忠

摘要：概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個(gè)因素所產(chǎn)生的影響都很微小時(shí)，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象。本文主要敘述中心極限定理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用。關(guān)鍵字：中心極限定理 隨機(jī)變量 正態(tài)分布

1.定理一（獨(dú)立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)

立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，E(Xk)??，n

D(Xk)=?

>0(k=1,2,3?),則隨機(jī)變量之和?Xk的標(biāo)準(zhǔn)化變量

k?1

n

n

n

X

k

?E(?Xk)

k?1n

?

=

k?1

X

K

?n?

Yn=?

k?1

D(?Xk)

k?1

n?的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意x滿足

n

?x

limFn(x)=limFn(x)=limP{

n??

k

?n?

?x

k?1

n?

}=?

x

12?

??

?t

dt= ?(x).這就是說(shuō)，均值為?，方差為?2?0 的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量

n

X1,X2,…,Xn之和?Xk的標(biāo)準(zhǔn)化變量，當(dāng)n充分大時(shí)，有

k?1

n

?

k?1

X

n

?n?

n?

～N(0,1)

1．1：一加法器同時(shí)接收20個(gè)噪聲電壓Vk（k=1,2,3?，20),設(shè)它們是相互獨(dú)

立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間（0,10）上服從均勻分布，記V?

P{V?105}的近似值。

?V，求

k

k?1

解：易知E(Vk)?5,D(Vk)?100/12（k=1,2,3?，20)，由定理一，隨機(jī)

變量Z?

?V

K?1

k

=

V?20?5?

近似服從正態(tài)分布N(0,1),于是

P{V?105}?P{?

V?20?520

105?20?520

V?20?520

?0.387}

?1?P{

V?20?520

?0.387}

?1?

?

0.387

12?

??

?t

dt?1??(0.387)?0.384.即有P{V?105}?0.34

2．（李雅譜諾夫（Lyapunov）定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差

?0,k?1,2?,E(Xk)??,D(XK)??K

nn

記??k?

k?1

??.k

k?1

若存在正數(shù)?，使得當(dāng)n??時(shí)，n

1B

2??n

n

?

k?1

E{Xk??k

2??

}?0,則隨機(jī)變量之和?Xk的標(biāo)準(zhǔn)化變量

k?1

nnnn

?

Zn?

k?1

X

k

?E(?Xk)

k?1n

?

?

k?1

X

k

?Bn

?

k?1

X

k

D(?Xk)

k?1

n

n

?的分布函數(shù)limFn(x)?limP{

n??

n??

k?1

X

k

?Bn

??

k?1

k

?x}

?

?

x

12?

?t

dt= ?(x).??

此定理表明，在定理的條件下，隨機(jī)變量

n

n

k

?X

Zn?

k?1

?Bn

?X

k?1

k

當(dāng)n很大時(shí)，近似的服從正態(tài)分布

n

n

N(0,1),由此，當(dāng)n很大，n

?

k?1

X

k

?BnZn?

??

k?1

k

近似的服從正態(tài)分布

N(??k,Bn)

k?1

.這就是說(shuō)，無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量

n

Xk(k?1,2?)

服從什么分布，只要滿足定理的條件，那么它們的和k?1

?

X

k

當(dāng)n很大時(shí)就近似地服從正態(tài)

分布，在很多問題中所考慮的隨機(jī)變量可以表示成很多個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和。請(qǐng)看下面的例子。

2.1：設(shè)有一條河流經(jīng)某城市，河上有一座橋，該橋的強(qiáng)度服從正態(tài)分布

N(300,40)(強(qiáng)度的單位是t（噸)）。有很多車要經(jīng)過(guò)此橋，如果各車的平

均重量是5t，方差是2t2。問：為保證此橋不出問題的概率（安全度）不小于0.99997.最多允許在橋上同時(shí)出現(xiàn)多少車輛？

解：用Y表示該橋的強(qiáng)度，若有M輛車在橋上，第i輛車的重量Xi

M

（i?1,2?M),則M輛車的總重量SM?

?

i?1

Xi，我們可以認(rèn)為

Y,X1,X2?XM是相互獨(dú)立的，E(Xi)?5,var(Xi)?2，該橋不出現(xiàn)問

題的概率為

R?P(M輛車的總重量不超過(guò)橋的強(qiáng)度）。

顯然R?P(SM?Y)?R?P(SM?Y?0),我們要找滿足不等式

R?0.99997的最大的M,不難想到，這個(gè)M,由于

SM)

E(SM

=，M?1,var(=

M?1

（這里

?1?E(Xi)?5

?1?var(Xi)?2,i?1,2?M),由定理可知SM近似的服從

N(M?1,M?1)

.又N

(300,40),可知SM?Y

近似服從

N(M?1?300,M?12?40),于是

R??[

0?(M?1?300)

M?

]

?40

由于?(4)=0.99997，故為了R?0.99997，必須且只需

令x?

0?(M?1?300)

M?

2M?40

?4

?40

(x?40)，上述不等式化為，則M?

x?4x?400?0

((11.87)?400))

由此知x?11.87，從而M?=50.就是說(shuō)，最多允許50輛車

同時(shí)在橋上。

下面介紹另一個(gè)中心極限定理，它是定理一的特殊情況。

3．(棣莫弗-拉普拉斯（De Moirve-Laplace）定理)設(shè)隨機(jī)變量（n?1,2,?)服從參數(shù)為n,p(0?p?1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意x，有l(wèi)imP{

n??

?npnp(1?p)

?x}=?

x

12?

?t

dt=?(x)。

??

這個(gè)定理表明，二項(xiàng)分布的極限分布式正態(tài)分布

n

?Xk～N(np,npq)當(dāng)n充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概

k?1

率計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。

3.1 ：對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)

生無(wú)家長(zhǎng)，1名家長(zhǎng)，2名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為0.05,0.8,0.15，若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)人數(shù)相互獨(dú)立且服從同一分布。(1)求參加會(huì)議的家長(zhǎng)人數(shù)x超過(guò)450的概率：

(2)求有1名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率。

解（1）以Xk(k?1,2?,400)記第k個(gè)學(xué)生來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)人數(shù)，則Xk的分布率為

400

易知E(Xk)?1.1，D(Xk)?0.19，k?1,2?400.而X?隨機(jī)變量

400

?X。由定理一

k

k?1

?X

k?1

k

?400?1.1

0.19

?

X?400?1.1400

0.19

400

近似服從正態(tài)分布N(0,1),于是

P{X?450

}=P{

X?400?1.1400

0.19

?

450?400?1.1400

0.19

=1-P{

X?400?1.1400

0.19

?1.147}

?1??(1.147)?0.1251’

(3)以Y記有一名家長(zhǎng)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)，則Y～b(400,0.8)，由定理三

P{Y?340}

=P{

Y?400?0.8400?0.8?0.2Y?400?0.8400?0.8?0.2

?

340?400?0.8400?0.8?0.2

}

=P{?2.5}??(2.5)=0.9938

小結(jié) 中心極限定理表明，在相當(dāng)一般的條件下，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)不斷增加時(shí)，其和態(tài)分布趨于正態(tài)分布，這一事實(shí)闡明了正態(tài)分布的重要性，也揭示了為什么在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)經(jīng)常用到正態(tài)分布，也就揭示了產(chǎn)生正態(tài)分布變量的源泉，另一方面，它提供了獨(dú)立同分布變量隨機(jī)變量之和?Xk（其中Xk的方

k?1

n

差存在的近似分布，只要和式中加項(xiàng)的個(gè)數(shù)充分大，就可以不必考慮和式中的隨機(jī)變量服從什么分布。都可以用正態(tài)分布來(lái)近似，這在應(yīng)用上是有效和重要的。

參考文獻(xiàn)

[1] 盛驟概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社，2006 [2] 陳家鼎 鄭中國(guó)概率與統(tǒng)計(jì) 高等教育出版社 2004

第二篇：中心極限定理應(yīng)用

中心極限定理及其應(yīng)用

【摘要】中心極限定理的產(chǎn)生具有一定的客觀背景，最常見的是德莫佛-拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。它們表明了當(dāng)n充分大時(shí)，方差存在的n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和近似服從正態(tài)分布，在實(shí)際中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。本文討論了中心極限定理的內(nèi)容、應(yīng)用與意義。

【關(guān)鍵詞】：中心極限定理 正態(tài)分布 隨機(jī)變量

一、概述

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科。隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái)，而研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象常常采用極限的形式，由此導(dǎo)致了對(duì)極限定理的研究。極限定理的內(nèi)容很廣泛，中心極限定理就是其中非常重要的一部分內(nèi)容。中心極限定理主要描述了在一定條件下，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：當(dāng)n→∞時(shí)的極限符合正態(tài)分布。因此中心極限定理這個(gè)結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有很重要的地位，也使得中心極限定理有了廣泛的應(yīng)用。

二、定理及應(yīng)用

1、定理一（林德貝格—勒維定理）

若?

k1，=a,?2，…是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且E?D?

k=k??x2(?2>0),k=1,2,…則有l(wèi)imp(k?

1n????n?na?x)??n

n12???e?t22dt。

當(dāng)n充分大時(shí)，??k?1k?na

?n~N（0,1），k?1??nk~N（na,n?）

22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理）

在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為錯(cuò)誤！未找到引用源。, 錯(cuò)誤！未

?找到引用源。為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),則limp(n??n?npnpq?x)??2?1x??e?t22dt

其中q?1?p。這個(gè)定理可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成二項(xiàng)分布漸近正態(tài)分布，因此當(dāng)n充分大時(shí)，可

以利用該定理來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。

同分布下中心極限定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

獨(dú)立同分布的中心極限定理可應(yīng)用于求隨機(jī)變量之和Sn落在某區(qū)間的概率和已知隨機(jī)變量之和Sn取值的概率，求隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)。

例1：設(shè)各零件的重量都是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立且服從相同的分布，其數(shù)學(xué)期望為0.5kg，均方差為0.1kg，問5000只零件的總重量超過(guò)2510kg的概率是多少?

解：設(shè)Xi(i=1，2，…，5000)表示第i個(gè)零件的重量X1，X2，…，X5000獨(dú)立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。

由獨(dú)立同分布的中心極限定理可知

[3]

=I-φ（1.414）=1-0.921

5=0.0785

例2：一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的且同分布，設(shè)每箱平均重50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為5kg，若用最大載重為50噸的汽車承運(yùn)，每輛車最多可以裝多少箱才能保證不超載的概率大于0.977？

解：設(shè)Xi(i=1，2，…，n)是裝運(yùn)第i箱的重量，n為所求箱數(shù)。由條件可把X1，X2，…，Xn看作獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，而n箱的總重量為Tn=X1+X2+…+Xn，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和。

由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n

根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理：

[3]

即最多可以裝98箱。

例3：報(bào)名聽心理學(xué)課程的學(xué)生人數(shù)K是服從均值為100的泊松分布的隨機(jī)變量，負(fù)責(zé)這門課的教授決定，如果報(bào)名人數(shù)不少于120，就分成兩班，否則就一班講授。問該教授講授兩個(gè)班的概率是多少?

分析：該教授講授兩個(gè)班的情況出現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)報(bào)名人數(shù)x不少于120，精確解為P（x≥120）=e-100 100i/i！很難求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值為100的泊松分布隨機(jī)變量等于100個(gè)均值為1的獨(dú)立泊松分布隨機(jī)變量之和，即X= Xi，其中每個(gè)Xi具有參數(shù)1的泊松分布，則我們可利用中心極限定理求近似解。[2]

解：可知E(X)=100，D(X)=100

教授講授兩個(gè)班的概率是0.023。

例4：火炮向目標(biāo)不斷地射擊，若每次射中目標(biāo)的概率是0、1。

(1)求在400次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)在區(qū)間［30，50］內(nèi)的概率。

(2)問最少要射擊多少次才能使擊中目標(biāo)的次數(shù)超過(guò)10次的概率不小于0.9？

分析：顯然火炮射擊可看作是伯努利實(shí)驗(yàn)。[1]即

我們知道，正態(tài)分布可近似于二項(xiàng)分布，而且泊松分布可近似于二項(xiàng)分布，當(dāng)二項(xiàng)分布b(n，p)，n較大、p較小時(shí)可用泊松分布估計(jì)近似值。如果p接近1，有q=l-p很小，這時(shí)也可用泊松分布計(jì)算；但是當(dāng)n較大，p不接近0或1時(shí)，再用泊松分布估計(jì)二項(xiàng)分布的概率就不夠精確了，這時(shí)應(yīng)采用拉普拉斯定理來(lái)計(jì)算。

解：(1)設(shè)在射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為Yn，所求概率(30≤Yn<50)等于：

最小正整數(shù)n=147就是所要求的最小射擊數(shù)。

以上例子都是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，可以用中心極限定理近似估算，但是如果不同分布，中心極限定理是否也成立呢?

李雅普諾夫定理

當(dāng)隨機(jī)變量Xi獨(dú)立，但不一定同分布時(shí)，中心極限定理也成立。定理3[2](李雅普諾夫定理)：

設(shè)X1，X2，…，Xn，…為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且E(Xn)=an，D(Xn)=σn2存在，Bn2= σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：

也就是說(shuō)，無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量Xi服

從什么分布，只要滿足李雅普諾夫條件，當(dāng)n很大時(shí)，它們的和近似服從正態(tài)分布。由于在大學(xué)本科階段接觸的不同分布的樣本較少，本文對(duì)它的應(yīng)用將不舉例說(shuō)明。

中心極限定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本均值總是近似地服從正態(tài)分布。正是這個(gè)結(jié)論使得正態(tài)分布在生活中有著廣泛的應(yīng)用。

四、中心極限定理的意義

首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要n足夠大，便可以把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化當(dāng)作正態(tài)變量，所以可以利用它解決很多實(shí)際問題，同時(shí)這還有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí)，從而正態(tài)分布成為概率論中最重要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績(jī)。其次，中心極限定理對(duì)于其他學(xué)科都有著重要作用。例如數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)（區(qū)間）估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、抽樣調(diào)查等；進(jìn)一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計(jì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征

值的抽樣分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的全部處理問題的方法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)，這從另一個(gè)方面也間接地開辟了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法領(lǐng)域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)方法論中居于主導(dǎo)地位。參考文獻(xiàn)

[1]鄧永錄 著 應(yīng)用概率及其理論基礎(chǔ).清華大學(xué)出版社。

[2]魏振軍 著 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三十三講.中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社。

[3]程依明 等 著 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題與解答.高等數(shù)學(xué)出版社。

第三篇：中心極限定理證明

中心極限定理證明

一、例子

高爾頓釘板試驗(yàn).圖中每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個(gè)釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過(guò)程中碰到釘子后以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.如果定義:當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨(dú)立的,且

那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當(dāng)越來(lái)越大時(shí)接近程度越好.由于時(shí),.因此,顯然應(yīng)考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個(gè)證明了二項(xiàng)分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.二、中心極限定理

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,假設(shè)存在,若對(duì)于任意的,成立

稱服從中心極限定理.設(shè)服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.解:服從中心極限定理,則表明

其中.由于,因此

故服從中心極限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則

用頻率估計(jì)概率時(shí)的誤差估計(jì).由德莫佛—拉普拉斯極限定理,由此即得

第一類問題是已知,求,這只需查表即可.第二類問題是已知,要使不小于某定值,應(yīng)至少做多少次試驗(yàn)?這時(shí)利用求出最小的.第三類問題是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計(jì):.拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點(diǎn)的概率與之差不超過(guò)0.01,問需要拋擲多少次?

解:由例4中的第二類問題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得.由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準(zhǔn)確得多.已知在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項(xiàng)分布:的隨機(jī)變量.求.解:

因?yàn)楹艽?于是

所以

利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,就可以求出的值.某單位內(nèi)部有260架電話分機(jī),每個(gè)分機(jī)有0.04的時(shí)間要用外線通話,可以認(rèn)為各個(gè)電話分機(jī)用不用外線是是相互獨(dú)立的,問總機(jī)要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.解:以表示第個(gè)分機(jī)用不用外線,若使用,則令;否則令.則.如果260架電話分機(jī)同時(shí)要求使用外線的分機(jī)數(shù)為,顯然有.由題意得,查表得，故取.于是

取最接近的整數(shù),所以總機(jī)至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.根據(jù)孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.解:將觀察一株雜交種的果實(shí)顏色看作是一次試驗(yàn),并假定各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有

其中,即有

四、林德貝格-勒維中心極限定理

若是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,假設(shè),則有

證明:設(shè)的特征函數(shù)為,則的特征函數(shù)為

又因?yàn)?所以

于是特征函數(shù)的展開式

從而對(duì)任意固定的,有

而是分布的特征函數(shù).因此,成立.在數(shù)值計(jì)算時(shí),數(shù)用一定位的小數(shù)來(lái)近似,誤差.設(shè)是用四舍五入法得到的小數(shù)點(diǎn)后五位的數(shù),這時(shí)相應(yīng)的誤差可以看作是上的均勻分布.設(shè)有個(gè)數(shù),它們的近似數(shù)分別是,.,.令

用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有

設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,其中,證明:的分布函數(shù)弱收斂于.證明:為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,所以仍是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,易知有

由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分布函數(shù)弱收斂于,結(jié)論得證.作業(yè):

p222EX32,33,34,3

5五、林德貝爾格條件

設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又

令,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化了的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布

當(dāng)時(shí),是否會(huì)收斂于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.這時(shí)就是的分布函數(shù).如果不是正態(tài)分布,那么取極限后,分布的極限也就不會(huì)是正態(tài)分布了.因而,為了使得成立,還應(yīng)該對(duì)隨機(jī)變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一項(xiàng)是起突出作用.由此認(rèn)為,在一般情形下,要使得收斂于分布,在的所有加項(xiàng)中不應(yīng)該有這種起突出作用的加項(xiàng).因?yàn)榭紤]加項(xiàng)個(gè)數(shù)的情況,也就意味著它們都要“均勻地斜.設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又，這時(shí)

(1)若是連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為,如果對(duì)任意的,有

(2)若是離散型隨機(jī)變量,的分布列為

如果對(duì)于任意的,有

則稱滿足林德貝爾格條件.以連續(xù)型情形為例,驗(yàn)證:林德貝爾格條件保證每個(gè)加項(xiàng)是“均勻地斜.證明:令,則

于是

從而對(duì)任意的,若林德貝爾格條件成立,就有

這個(gè)關(guān)系式表明,的每一個(gè)加項(xiàng)中最大的項(xiàng)大于的概率要小于零,這就意味著所有加項(xiàng)是“均勻地斜.六、費(fèi)勒條件

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又，稱條件為費(fèi)勒條件.林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費(fèi)勒指出若費(fèi)勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.七、林德貝爾格-費(fèi)勒中心極限定理

引理1對(duì)及任意的,證明:記,設(shè),由于

因此，其次,對(duì),用歸納法即得.由于,因此,對(duì)也成立.引理2對(duì)于任意滿足及的復(fù)數(shù),有

證明:顯然

因此,由歸納法可證結(jié)論成立.引理3若是特征函數(shù),則也是特征函數(shù),特別地

證明定義隨機(jī)變量

其中相互獨(dú)立,均有特征函數(shù),服從參數(shù)的普哇松分布,且與諸獨(dú)立,不難驗(yàn)證的特征函數(shù)為,由特征函數(shù)的性質(zhì)即知成立.林德貝爾格-費(fèi)勒定理

定理設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又.令,則

(1)

與費(fèi)勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.證明:(1)準(zhǔn)備部分

記

(2)

顯然(3)

(4)

以及分別表示的特征函數(shù)與分布函數(shù),表示的分布函數(shù),那么(5)

這時(shí)

因此林德貝爾格條件化為:對(duì)任意,(6)

現(xiàn)在開始證明定理.設(shè)是任意固定的實(shí)數(shù).為證(1)式必須證明

(7)

先證明,在費(fèi)勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價(jià)的:

(8)

事實(shí)上,由(3)知,又因?yàn)?/p>

故對(duì)一切,把在原點(diǎn)附近展開,得到

因若費(fèi)勒條件成立,則對(duì)任意的,只要充分大,均有

(9)

這時(shí)

(10)

對(duì)任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因?yàn)榭梢匀我庑?故左邊趨于0,因此,證得(7)與(8)的等價(jià)性.(2)充分性

先證由林德貝爾格條件可以推出費(fèi)勒條件.事實(shí)上,(13)

右邊與無(wú)關(guān),而且可選得任意小;對(duì)選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當(dāng)足夠大時(shí),也可以任意地小,這樣,費(fèi)勒條件成立.其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因此

(14)

對(duì)任給的,由于的任意性,可選得使,對(duì)選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由于已證過(guò)費(fèi)勒條件成立,這時(shí)(8)與(7)是等價(jià)的,因而(7)也成立.(3)必要性

由于(1)成立,因此相應(yīng)的特征函數(shù)應(yīng)滿足(7).但在費(fèi)勒條件成立時(shí),這又推出了(8),因此,(15)

上述被積函數(shù)的實(shí)部非負(fù),故

而且

(16)

因?yàn)閷?duì)任意的,可找到,使,這時(shí)由(15),(16)可得

故林德貝爾格條件成立.八、李雅普諾夫定理

設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又.令,若存在,使有

則對(duì)于任意的,有

第四篇：大數(shù)定律與中心極限定理的若干應(yīng)用

大數(shù)定律與中心極限定理的若干應(yīng)用

摘要：在概率論中，大數(shù)定律是比較重要的內(nèi)容，他主要就是以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式來(lái)表達(dá)概率中隨機(jī)現(xiàn)象的性質(zhì)，也是一定穩(wěn)定性的表現(xiàn)。大數(shù)定律在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中比較重要，一般都是利用大數(shù)定律和中心極限定理一起來(lái)應(yīng)用。本文根據(jù)在不同的條件下存在的大數(shù)定律和中心極限定理做了具體的分析，對(duì)幾種比較常見的大數(shù)定律進(jìn)行了介紹，結(jié)合他們條件的不同，分析了不同數(shù)學(xué)模型的特定，并在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)列舉它們的應(yīng)用。這也是將理論具體化的一種表現(xiàn)形式，使得大數(shù)定律與中心極限定理在實(shí)際的生活中應(yīng)用更加廣泛，應(yīng)用價(jià)值更深一層。關(guān)鍵詞：大數(shù)定律；中心極限定理；應(yīng)用；范圍 1前言

大數(shù)定律是概率歷史上第一個(gè)極限定理。由于隨機(jī)變量序列向常數(shù)的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依概率收斂，以概率 1 收斂或均方收斂，分別有弱大數(shù)定律、強(qiáng)大數(shù)定律和均方大數(shù)定律。常見的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定理、辛欽大數(shù)定律、重對(duì)數(shù)定理等等。中心極限定理是是概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。

概率理論是數(shù)理理論都是研究現(xiàn)實(shí)世界隨機(jī)現(xiàn)象的一種統(tǒng)計(jì)科學(xué)，大數(shù)定律與中心極限極限定理都是數(shù)學(xué)重要的組成部分，在自然學(xué)科與經(jīng)濟(jì)發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用，大數(shù)定律與中心極限定理都是重要定理，也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)樞紐中心，大數(shù)定律主要闡明的是平均結(jié)果具有穩(wěn)定性，證明了在樣本的條件下，樣本平均值與總體平均值是一樣的，這也是算術(shù)平均值法則的基本理論，在現(xiàn)實(shí)的生活中，經(jīng)常可以看到這樣的數(shù)據(jù)模型。取一個(gè)物體的平均值，一般都是反復(fù)測(cè)量的結(jié)果，當(dāng)時(shí)測(cè)量結(jié)果在不斷增大時(shí)，算術(shù)平均值的偏差就會(huì)越來(lái)越小，也是1nn?i?1的偏差也是越來(lái)越小。這種思想貫穿在整個(gè)的概率理論中，并且占有著重要的左右，在其他的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有著重要的地位，中心極限定理與大數(shù)定律相比就更加詳細(xì)，中心極限定理是在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形勢(shì)下闡明的條件，無(wú)論總體是怎樣分布，樣本的平均值都是呈正態(tài)的形式分布，中心極限定理也是以正態(tài)分布作為廣泛的理論基礎(chǔ)應(yīng)用。目前無(wú)論是在國(guó)內(nèi)還是在國(guó)外，大數(shù)定律與中心極限定理已經(jīng)被廣泛的研究，尤其是在實(shí)際生活中的應(yīng)用，銀行業(yè)就是根據(jù)中心極限定理來(lái)發(fā)展，而大數(shù)定律更是應(yīng)用在保險(xiǎn)行業(yè)，很多研究者在這個(gè)領(lǐng)域都研究了具有一定價(jià)值的成果。推廣大數(shù)定律與中心極限定理的應(yīng)用問題是一個(gè)非常有研究?jī)r(jià)值的方向，通過(guò)這些問題來(lái)不斷的推廣，這樣不僅僅能夠加深大叔定理與中心極限定律的理解，并且很多問題也能夠加以解決。2相關(guān)定義定理以及應(yīng)用 2.1相關(guān)定義

定義：設(shè)X1,X2,?,Xn,?是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)?，有l(wèi)imP?Xn?a????1，n??P則稱序列X1,X2,?,Xn,?依概率收斂于a.記為Xn???a.切比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量?具有有限的期望與方差，則對(duì)???0，有

P(??E(?)??)?D(?)?2或P(??E(?)??)?1?D(?)?2

證明：我們就連續(xù)性隨機(jī)變量的情況來(lái)證明。設(shè)?~p(x)，則有

(x?E(?))2P(??E(?)??)??x?E(?)??p(x)dx??x?E(?)???D(?)2p(x)dx

?1?2?????(x?E(?))p(x)dx?2?2

該不等式表明：當(dāng)D(?)很小時(shí)，P(??E(?)??)也很小，即?的取值偏離E(?)的可能性很小。這再次說(shuō)明方差是描述?取值分散程度的一個(gè)量。

切比雪夫不等式常用來(lái)求在隨機(jī)變量分布未知，只知其期望和方差的情況下，事件{??E???}概率的下限估計(jì)；同時(shí)，在理論上切比雪夫不等式常作為其它定理證明的工具。

定理1（切比雪夫大數(shù)定律）

設(shè){?n}是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，每一隨機(jī)變量都有有限的方差，且一致有界，即存在常數(shù)C，使D(?i)?ClimP{1nii?1,2,?，則對(duì)任意的??0，有n????ni?1?1niE(??ni?1)??}?0[即

??ni?11ni???E(p??ni?11ni)(n??)] 證明：由切比雪夫不等式知：???0,有：

n0?P{1nn??i?i?11n?nE(?i)??}?1i?1?2D(1nn?D?i?1i??i)?i?1n?22?nCn?22?Cn?2?0(n??)

該定理表明：當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量?1,?,?n的算術(shù)平均值ni1nn??i?1i接近于其數(shù)學(xué)期望E(??ni?11)，這種接近是在概率意義下的接近。通俗的說(shuō)，在定理的條件下，n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量算術(shù)平均值，在n無(wú)限增加時(shí)將幾乎變成一個(gè)常數(shù)。

推論：設(shè)?1,?,?n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，由相同的數(shù)學(xué)期望和方差E(?i)??,D(?i)??2i?1,2,?，則???0,有

limP{n??1nn??i?1i????}?0（即

1ni??ni?1以概率收斂于?）

這個(gè)結(jié)論有很實(shí)際的意義：人們?cè)谶M(jìn)行精密測(cè)量時(shí)，為了減少隨機(jī)誤差，往往重復(fù)測(cè)量多次，測(cè)得若干實(shí)測(cè)值?1,?,?n，然后用其平均值

1ni??ni?1來(lái)代替?。

定理2（De Moivre-Laplace極限定理）(定理1的特殊情形)設(shè)?n(n?1,2,?)是n重Bernoulli試驗(yàn)中成功的次數(shù)，已知每次試驗(yàn)成功的概率為p?0?p?1?，則對(duì)?x?R,有 limP{n???n?npnpq?x}?12??e??xt?22dt???x?。

該定理也可改寫為：?a?b，有l(wèi)imP{a?n???n?npnpq?b}???b????a?

?1證明： 令?i???0第i次試驗(yàn)出現(xiàn)成功第i次試驗(yàn)不出現(xiàn)成功 則

{?i}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且E?i?p,D?i?p(1?p)均存在

n顯然：?n???i，此時(shí)?n?i?1?n?npnpq

該定理為上定理的一個(gè)特殊情形，故由上定理該定理得證。2.2幾個(gè)大數(shù)定律的關(guān)系及適用場(chǎng)合

2.2.1伯努利定理是泊松定理的特例

泊松定理是指在一定的時(shí)間段內(nèi)，平均若干次發(fā)生的時(shí)間，有的時(shí)候會(huì)多，有的時(shí)候會(huì)少，發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)的時(shí)間，這也使泊松分配。P(k,T)?(?T)ke

若是Pk=p,則泊松大數(shù)定理也就是伯努利大數(shù)定理，伯努利大數(shù)定理也完全證明了時(shí)間在完全相同的條件下進(jìn)行重復(fù)的試機(jī)實(shí)驗(yàn)，并且頻率比較穩(wěn)定，隨著n的無(wú)限增大，n在試驗(yàn)中葉氏趨近于穩(wěn)定，與A出現(xiàn)的頻率的平均值比較接近。

2.2.2泊松大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例

在泊松的大數(shù)定理的條件中，D??piqn?1，也能夠滿足切比雪夫大數(shù)定律的條件。

2.2.3切比雪夫大數(shù)定律是馬爾科夫大數(shù)定律的特例

在切比雪夫大數(shù)定律中，D?i?C(i?1,2,3,4.....),根據(jù)隨機(jī)變量序列兩兩不相關(guān)的性質(zhì)可以了解到，1nnD(??i)?i?11n?ni?1D(?i)?cn????0，根據(jù)這樣的式子也能夠看出滿足馬爾可夫大數(shù)定

n??律的條件。由此可見，伯努利大數(shù)定律與泊松大數(shù)定律都是馬爾可夫大數(shù)定律的特例。伯努利大數(shù)定律也使辛欽大數(shù)定律的特別情況。在伯努利的大數(shù)定律中，由于隨機(jī)變量時(shí)可以變化的，則?n必然會(huì)是獨(dú)立分布的，并且都會(huì)服從伯努利分布的基本情況：p??i?1??p,p??i?0??q，并且E??i??p，所以這樣的公式必然會(huì)滿足辛欽大數(shù)定律的條件。但是辛欽大數(shù)定律并不是泊松大數(shù)定律與切比雪夫大數(shù)定律的推廣。2.2中心極限定理的基本關(guān)系

在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.中心極限定理，正是從理論上證明，對(duì)于大量的獨(dú)立隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有極其重要的地位。中心極限定理也可以分為幾種情況：由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和，本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量。

中心極限定理表明：在相當(dāng)一般的條件下，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí)，其和的分布趨于正態(tài)分布。因此，只要和式中加項(xiàng)的個(gè)數(shù)充分大，就可以不必考慮和式中的隨機(jī)變量服從什么分布，都可以用正態(tài)分布來(lái)近似，這在應(yīng)用上是有效的和重要的。

nn?Zn?k?1Xk?E(?Xk)k?1n的分布函數(shù)的極限.D(?Xk)k?1列維一林德伯格中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,服從同一分布,且有n,n,則隨機(jī)變量之和

n的標(biāo)準(zhǔn)?化變量Yn?i?1Xi?E(?Xi)i?1n?X?i?1i?n?的分布函數(shù)。

D(?Xi)i?1?n將n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)相加時(shí)，首先對(duì)小數(shù)部分按“四舍五入”舍去小數(shù)位后化為整數(shù)．試?yán)弥行臉O限定理估計(jì)

(1)當(dāng)n=1500時(shí)，舍入誤差之和的絕對(duì)值大于15的概率；

(2)n滿足何條件時(shí)，能以不小于0.90的概率使舍入誤差之和的絕對(duì)值小于10．這就可以根

n?據(jù)列維林德伯格中心極限定理來(lái)解決問題，當(dāng)n充分大的時(shí)候，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n應(yīng)滿足條件：?|Sn|P{|Sn|?10}?P??n/12????0.90 ,即 2Φ(n/12?10i?1Xi?n?近似地?n~N(0,1)，10n/12)?1?0.90 ,Φ(10n/12)?0.95 ,10n/12?1.645 ,n?443.5 ,當(dāng)n<443時(shí)，才能夠保證誤差之后的絕對(duì)值小于10，概率不小于0.9。3定理的應(yīng)用

3.1在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的,假設(shè)每箱的平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977.解答：設(shè)n為第i箱的重量(), Yn??Xi?1i由列維-林德伯格中心極限定理,有，近似地~?5000?50n?所以n必須滿足P{Yn?5000}?Φ???0.977?Φ(2)，N(50n,25n)，5n??1000?10nn也就是最多可以裝98箱.?2，? n?98.0199，(供電問題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換零件等常需停車.設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)? 解：某一時(shí)刻開動(dòng)的車床數(shù)，X~B(200, 0.6),要求最小的k,使P{0?X?k}?0.999.由D-L近似地定理

? P{0?X?k}?Φ(k?npnpq)?Φ(0?npnpq,)X~N(np,npq)，P{0?X?k}?Φ(k?npnpq)?Φ(0?npnpq)?Φ(k?12048)?Φ(?12048)?Φ(k?12048)?0.999

所以若供電141.5千瓦，那么由于供電不足而影響生產(chǎn)的可能性不到0.001，相當(dāng)于8小時(shí)內(nèi)約有半分鐘受影響，這一般是允許的。

某產(chǎn)品次品率p = 0.05,試估計(jì)在1000件產(chǎn)品中次品數(shù)的概率.次品數(shù)X~B(1000,0.05),E(X)?np?1000?0.05?50，D(X)?np(1?p)?50?0.95?47.5，由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,有：P{40?X?60}?Φ(60?5047.5)?Φ(40?5047.5)?2Φ(1.45)?1?0.853.次品數(shù)：X~B(1000,0.05),E(X)?np?1000?0.05?50,D(X)?np(1?p)?50?0.95?47.5，P{40?X?60}?Φ(60?5047.5)?Φ(40?5047.5)?2Φ(1.45)?1?0.853.若是使用切比雪夫的不等式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，P{40?X?60}?P{X?50?10}?1?47.5102?0.525.但是這樣的計(jì)算并不完整，有點(diǎn)過(guò)于保守。

3.2在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

在一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為0.4，應(yīng)至少進(jìn)行多少次試驗(yàn)，才能使事件A出現(xiàn)的頻率與概率之差在之間的概率不低于0.9 ？

解答：由中心極限定理知, Xn N(np, npq)，P(Xnn?p?0.1)?P(Xn?npnpq?0.1npq)

?2Φ(0.1npq)?1?0.9? Φ(0.1npq)?0.95? 0.1npq?1.65? n?66.設(shè)第i次射擊得分為,則的分布律為

100E(Xi)?9.15,D(Xi)?1.227.由中心極限定理，?Xi N(915, 122.7)

i?1100? P{900??i?1Xi?930}?P{?1511.08??Xi?100122.7?1511.08}?2Φ(1.354)?1?2?0.9115?1?0.823.高爾頓（Galton）釘板試驗(yàn)：

如下圖中每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間。從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩

顆釘子之間的距離的小圓玻璃球，當(dāng)小圓球向下降落過(guò)程中，碰到釘子后皆以1/2的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子。如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止。把許許多多同樣大小的小球不斷從入口處放下，只要球的數(shù)目相當(dāng)大，它們?cè)诘装鍖⒍殉山朴谡龖B(tài) 的密度函數(shù)圖形（即：中間高，兩頭低，呈左右對(duì)稱的古鐘型），其中 為釘子的層數(shù)。

令 量（表示某一個(gè)小球在第 次碰了釘子后向左或向右落下這一隨機(jī)現(xiàn)象相聯(lián)系的隨機(jī)變表示向右落下，表示向左落下），由題意，的分布列可設(shè)為下述形式：對(duì)

則有，對(duì)

令，其中 相互獨(dú)立。則 表示這個(gè)小球第 次碰釘后的位置。試驗(yàn)表明近似地服從正態(tài)分布。

上述例子表明，需要研究相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布的問題，這是本章要介紹的中心極限定理刻畫的主要內(nèi)容。這個(gè)問題的解決，對(duì)概率論在自然科學(xué)和技術(shù)應(yīng)用中一個(gè)最重要的手段奠定了理論基礎(chǔ)，這一手段是把一個(gè)現(xiàn)象或過(guò)程看作是許多因素的獨(dú)立影響下出現(xiàn)的，而每一因素對(duì)該現(xiàn)象或過(guò)程所發(fā)生的影響都很小。如果我們關(guān)心的是該現(xiàn)象或過(guò)程的研究，則只要考慮這些因素的總作用就行了。

3.3在信息論中的應(yīng)用

設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬(wàn)個(gè)人參加投保,每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi).在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬(wàn)元,問:(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于40,60,80萬(wàn)元的概率各是多少? 設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X,則X?B(10000, 0.006),由D-L中心極限定理,(1)P{10000X?1200000}?P{X?120}

?P{X?npnpq?120?npnpq}?1?Φ(120?6060?0.994)?1?Φ(7.77)?0,通過(guò)計(jì)算可得到即該保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為0.2)P{1200000?10000X?400000}?P{X?80}?Φ(80?6060?0.994)?Φ(2.589)?0.995，P{1200000?10000X?600000}?P{X?60}?Φ(60?6060?0.994)?Φ(0)?0.5, P{1200000?10000X?800000}?P{X?40}?P{X?40}

?Φ(40?6060?0.994)?1?Φ(2.589)?0.005.假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘.設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立.(1)試求組裝100件成品需要15到20小時(shí)的概率；(2)以95%的概率在16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品? 解答：設(shè)第i件組裝的時(shí)間為Xi分鐘,i=1,?,100.利用獨(dú)立同分布中心極限定理.100E(Xi)?10,D(Xi)?10,i?1,2,?,100,P{900?1002?i?1Xi?1200}

?P{900?100?10100?102??i?1Xi?100?10100?102?1200?100?10100?102}

100?P{900?100?10100?10n2??i?1Xi?100?10100?102?1200?100?10100?102}

?X0.95?P{i?1i?10n?960?10n100n100n}

?Φ(960?10n100n通過(guò)表可查的)，960?10n100n?1.645，n?81.18,故最多可組裝81件成品。

Vk(k?1,2,?,20)20一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨變量，且都

V?在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布。記

?Vk?1k，求P(V?105)的近似值。

解：E(Vk)?5,D(Vk)?10012(k?1,2,?,20)，由定理1，得 P(V?105?P(V?20?5(1012)20?105?20?5(1012)20)?P(V?100(1012)20V?100(10?0.387)

?1?P(12)20?0.387)

?1??(0.387)

?0.348

即有 P(V?105)?0.348

抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為10％，問至少應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9？

解 設(shè) 為至少應(yīng)抽取的產(chǎn)品數(shù)，為其中的次品數(shù)

則

拉斯定理，有，，由德莫佛-拉普

當(dāng) 充分大時(shí)，4結(jié)語(yǔ)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，這一事實(shí)顯示了可以用一個(gè)數(shù)來(lái)表征事件發(fā)生的可能性大小，這使人們認(rèn)識(shí)到概率是客觀存在的，進(jìn)而由頻率的三條性質(zhì)的啟發(fā)和抽象給出了概率的定義，而頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ)。在實(shí)踐中人們還認(rèn)識(shí)到大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，而這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景，而這些理論正是概率論的理論基礎(chǔ)。

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第五篇：第六章 第三節(jié)中心極限定理

第六章 大數(shù)定律和中心極限定理

第三節(jié) 中心極限定理

在對(duì)大量隨機(jī)現(xiàn)象的研究中發(fā)現(xiàn),如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素所造成,而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用較小,那么這種量通常都服從或近似服從正態(tài)分布.例如測(cè)量誤差、炮彈的彈著點(diǎn)、人體體重等都服從正態(tài)分布,這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景.設(shè)隨機(jī)變量X,X,???,X,???獨(dú)立

12n同分布,且Xi~N(?,?)，2(i?1,2,???)

記Y??X,(EY?n?,DY?n?)，2nni?1inn 1 Y?EYY?n?? Y?稱為Y的標(biāo)準(zhǔn)DYn?*nnnnnn化, 則有Y~N(0,1)

FY*(x)?P{Yn*?x}??(x)

n*n對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有

Y?n??x}

limP{n?nn???P{Yn ?limn?????(x)??x??*?x}?limF(x)

n???Yn*1edt.2?t2?2一般地，有下述結(jié)果。定理三(同分布的中心極限定理)設(shè)隨機(jī)變量X,X,???,X,???獨(dú)立同分布,且存在有限的數(shù)學(xué)期望和方差

EX??,DX???0，12n2ii(i?1,2,???)

記Y??X,(EY?n?,DY?n?)，2nni?1innY?EYY?n?? Y?稱為Y的標(biāo)DYn?*nnnnnn 2 準(zhǔn)化, FYn*(x)?P{Y?x}

n*則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有

Y?n??x}

limP{n?nn???P{Yn ?limn?????(x)??x*?x}?limF(x)

n???Yn*??1edt.2?t2?2

定理表明,當(dāng)n充分大時(shí),隨機(jī)變量?X?n?i?1inn?近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正

ni?1i態(tài)分布N(0,1).因此,?X近似地服從正態(tài)分布N(n?,n?).由此可見,正態(tài)分布在概率論中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace定理)

2設(shè)?n是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次 試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則對(duì)任意區(qū)間[a,b],成立 limP{a?n?????npnnp(1?p)?b}

??ba1edt??(b)??(a)2??t22 證明 引人隨機(jī)變量

?1,第i次試驗(yàn)中A發(fā)生 X?? ，?0,第i次試驗(yàn)中A不發(fā)生i則n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)

?n?X?X?????X ，12n12n由于是獨(dú)立試驗(yàn),所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即

P{X?1}?p,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,nii于是

EXii?p, DX?p(1?p)

由定理三,即得

limP{n?????npnnp(1?p)ni?1i?x}

?limP{n????X?npnp(1?p)?x}

??x??1edt??(x), 2??t22于是對(duì)任意區(qū)間[a,b],有

limP{a?np(1?p)?b}

nn?????npt22??ba1edt??(b)??(a).2??

近似計(jì)算公式:

??npN?npM?np，N???M???np(1?p)np(1?p)np(1?p)nnP{N???M}nn

??npN?npM?np?P{??}np(1?p)np(1?p)np(1?p)M?npN?np??()??().np(1?p)np(1?p)例1 某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端,每個(gè)終端有5%的時(shí)間在使用,若各終端使用與否是相互獨(dú)立的,試求有10個(gè)以上的終端在使用的概率.解 以X表示使用終端的個(gè)數(shù), 引人隨機(jī)變量 ?1,第i個(gè)終端在使用 X?? ，?0,第i個(gè)終端不使用i i?1,2,???,120 , 則

X?X?X?????X ，121202120由于使用與否是獨(dú)立的,所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即 P{X?1}?p?0.05,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,120 1ii于是,所求概率為

P{X?10}?1?P{X?10}

X?np10?np?1?P{?}，np(1?p)np(1?p)由中心極限定理得

P{X?10}?1?P{X?10}

X?np10?np?1?P{?}

np(1?p)np(1?p)10?np)

?1??(np(1?p)10?120?0.05?1??()

120?0.05?0.95?1??(1.68)?1?0.9535?0.0465.例2 現(xiàn)有一大批種子,其中良種占1.現(xiàn)從中任選6000粒,試問在這些61種子中,良種所占的比例與之誤差

6小于1%的概率是多少？ 解 設(shè)X表示良種個(gè)數(shù), 則

1X~B(n,p),n?6000,p? , 所求概率為 X1P{|?|?0.01}?P{|X?np|?n?0.01}n6

X?npn?0.01?P{||?}

np(1?p)np(1?p)X?np6000?0.01?P{||?}

15np(1?p)6000??66??(2.078)??(?2.078)

?2?(2.078)?1?2?0.98?1?0.96.例3 設(shè)有30個(gè)電子器件D,D,???,D,它們的使用情況如下: 1230D損壞,D接著使用;D損壞,D接1223著使用等等.設(shè)器件D的使用壽命服從參數(shù)??0.1(單位:h)的指數(shù)分布.令T

為30個(gè)器件使用的總時(shí)數(shù),問T超過(guò)350h的概率是多少？

i?1 8 解 設(shè)Xi為 器件D的使用

i壽命,Xi 服從參數(shù)??0.1(單位:h)

?1的指數(shù)分布, X,X,???,X相互獨(dú)1230立, T?X1?X2?????Xnn?30, ??EX?11i??0.1?10 , ?2?DXi?1?2?10.12?100, 由中心極限定理得

P{T?350}?1?P{T?350}

?1?P{T?n?n??350?n?n?} ?1??(350?30030?10)?1??(530)?1??(0.91)?1?0.8186

?0.1814.，例4 某單位設(shè)置一電話總機(jī),共有200架電話分機(jī).設(shè)每個(gè)電話分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話,假定每個(gè)電話分機(jī)是否使用外線通話是相互獨(dú)立的,問總機(jī)需要安裝多少條外線才能以90%的概率保證每個(gè)分機(jī)都能即時(shí)使用.解 依題意

設(shè)X為同時(shí)使用的電話分機(jī)個(gè)數(shù), 則X~B(n,p),n?200,p?0.05, 設(shè)安裝了N條外線, 引人隨機(jī)變量

?1,第i個(gè)分機(jī)在使用 X?? ，?0,第i個(gè)分機(jī)不使用i i?1,2,???,200 , 則

X?X?X?????X ，122002200由于使用與否是獨(dú)立的,所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即 1 10 P{X?1}?p?0.05,iP{X?0}?1?p,i?1,2,???,200, i {X?N}?保證每個(gè)分機(jī)都能即時(shí)使用, P{X?N}?0.9 , 0.9?P{X?N}

X?npN?np?} ?P{np(1?p)np(1?p)N?np)

??(np(1?p)N?200?0.05??()

200?0.05?0.95N?10N?10??()??()，3.089.5查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

N?10?z?1.28, 3.080.9N?1.28?3.08?10?13.94, 取 N?14, 答: 需要安裝14條外線.例5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

?x?e,x?0 f(x)??m!，??0,x?0其中m為正整數(shù)，證明

m?xmP{0?X?2(m?1)}?.m?1 證明

xEX??xf(x)dx??x?edx

m!1xedx ??m!m?????x??0??m?2?1?x011 ??(m?2)?(m?1)!?m?1, m!m!

xEX??xf(x)dx??x?edxm!m2??2??2?x??0

1x ??m!??0m?3?1edx

?x

11??(m?3)?(m?2)!?(m?2)(m?1), m!m!

DX?EX?(EX)

222

?(m?2)(m?1)?(m?1)

?m?1 , 利用車貝謝不等式,得 P{0?X?2(m?1)}

?P{?(m?1)?X?(m?1)?(m?1)} ?P{|X?(m?1)|?(m?1)} ?P{|X?EX|?(m?1)}

DXm?1?1??1?

(m?1)(m?1)m ?.m?122 13