第一篇：四大推理方法搞定高中證明題

四大推理方法搞定高中證明題

高中數(shù)學(xué)證明題能有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力，也是數(shù)學(xué)課堂里面比較重要的內(nèi)容，但是現(xiàn)實(shí)中很多學(xué)生的推理和證明能力比較低，這讓很多一線教師苦惱，到底如何提高高中證明題解題能力？小編給大家介紹四大推理方法搞定高中證明題。

一、合情推理

1．歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論；

2．類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)。在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)。

二、演繹推理

演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過程主要是通過演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性。

三、直接證明與間接證明

直接證明是相對(duì)于間接證明說的，綜合法和分析法是兩種常見的直接證明。綜合法一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法（或順推證法、由因?qū)Чǎ?。分析法一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法。

間接證明是相對(duì)于直接證明說的，反證法是間接證明常用的方法。假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

四、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。

第二篇：幾何證明題方法

(初中、高中)幾何證明題一些技巧

初中幾何證明技巧（分類）

證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對(duì)等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。

*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

證明兩個(gè)角相等

1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

2.同一三角形中等邊對(duì)等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。

*6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。

*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。

10.等于同一角的兩個(gè)角相等。

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙摇?/p>

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。

3.平行四邊形的對(duì)邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三 角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。

證明 角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。

*5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

證明四點(diǎn)共圓

*1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。

*2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。

*4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。

*5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓

知識(shí)歸納：

1.幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作 用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。

2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐 步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再 把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于 表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜 圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助 線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。一.證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。它問題最后都可化歸為此類問題來證。它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等 三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等 也經(jīng)常用到。也經(jīng)常用到。

第三篇：高中幾何證明題

高中幾何證明題

1、(本題14分)如圖5所示，AF、DE分別世?O、?O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD?8.BC是?O的直徑，AB?AC?6,OE//AD.D(I)求二面角B?AD?F的大小；

(II)求直線BD與EF所成的角.AF圖

5解：(Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直,∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD

—F的平面角，依題意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小為450；

(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，?2，0），B（32，0，0）,D（0，?32，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，32，0）所以，?(?2,?32,8),?(0,?2,8)

cos?BD,EF??BD與?0?18?64?EF? 10設(shè)異面直線所成角為?，則

cos??|cos?BD,EF?|? 10

10直線BD與EF所成的角為

2．（本題滿分13分）

如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長是2，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB1C1C所成的角為45?．

（Ⅰ）求此正三棱柱的側(cè)棱長；

（Ⅱ）求二面角A?BD?C的大??；

（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面ABD的距離．

A1B

1C

1解：（Ⅰ）設(shè)正三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱長為x．取BC中點(diǎn)E，連AE．

A1

??ABC是正三角形，?AE?BC． 又底面ABC?側(cè)面BB1C1C，且交線為BC

．1?AE?側(cè)面BB1C1C．

B

C1

連ED，則直線AD與側(cè)面BB1C1C所成的角為?ADE?45．……………2分 在Rt?AED中，tan45??

?

AE

?ED，解得x?…………3分

?此正三棱柱的側(cè)棱長為……………………4分

注：也可用向量法求側(cè)棱長．

（Ⅱ）解法1：過E作EF?BD于F，連AF，?AE?側(cè)面BB1C1C,?AF?BD．

??AFE為二面角A?BD?C的平面角．……………………………6分 在Rt?BEF中，EF?BEsin?EBF，又

BE?1,sin?EBF?

又AE

CD???EF?．

BD?在Rt?AEF中，tan?AFE?

AE

?3．…………………………8分 EF

故二面角A?BD?C的大小為arctan3．…………………………9分

解法2：（向量法，見后）

BD?平面AEF,?平面AEF?平面ABD，（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，且交線為AF，?過E作EG?AF于G，則EG?平面ABD．…………10分

在Rt?AEF中，EG?

AE?EF

?AF

?

．…………12分 ?E為BC中點(diǎn)，?點(diǎn)C到平面ABD的距離為2EG?AC?B解法2：（思路）取AB中點(diǎn)H，連CH和DH，由C

．…………13分 10

A?DB,D，易得平面ABD?

平面CHD，且交線為DH．過點(diǎn)C作CI?DH于I，則CI的長為點(diǎn)C到平面ABD的距離．

解法3：（思路）等體積變換:由VC?ABD?VA?BCD可求． 解法4：（向量法，見后）題（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系

則AB(0,?1,0),C(0,1,0),D(?

設(shè)n1?(x,y,z)為平面ABD的法向量．

???y???n1??0,由?? 得?y?0?n??02???

取n1?().…………6分

???

又平面BCD的一個(gè)法向量n2?(0,0,1).…………7分

??n1?n2??(?6,?3,1)?(0,0,1)?．…………8分 ?cos?n1,n2???

n1n21?(?6)2?(?)2?1210

．…………9分 ??????

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，n1?(),CA?(0,?1…………10分

結(jié)合圖形可知，二面角A?BD?C的大小為??點(diǎn)C到平面ABD的距離d?來源：（深圳家教）

(0,?1,)?(?6,?,1)(?6)2?(?3)2?12

＝

2．13分 10

第四篇：高中幾何證明題

高中幾何證明題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在棱CC1的延長線上，且CC1=C1E=BC=1/2AB=1.(1)求證，D1E//平面ACB1

(2)求證，平面D1B1E垂直平面DCB1

證明：

1)：連接AD1，AD12=AD2+DD12=B1C12+C1E2=B1E2

所以AD1=B1E

同理可證AB1=D1E

所以四邊形AB1ED1為平行四邊形，AB1//A1E

因?yàn)锳B1在平面ACB1上

所以D1E//平面ACB1

2)：連接A1D,A1B1//CD,面A1B1CD與面CDB1為同一個(gè)平面

由(1)可知面D1B1E與面AD1B1E為同一平面

正方形ADD1A1的對(duì)角線AD1⊥A1D

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥面ADD1A1,所以CD⊥AD1

AD1與A1D相交，所以AD1⊥AB1ED1

所以面A1B1CD⊥AD1B1E

即：面D1B1E⊥面DCB1

我現(xiàn)在高二，以前老師教幾何證明沒學(xué)好，現(xiàn)在想亡羊補(bǔ)牢.但不知道這類型題應(yīng)抓什么學(xué)，找什么記，哪些是基礎(chǔ)，證明的步驟....只有多練，真的，幾何證明題有很多固定的結(jié)題模式，但是參考書不會(huì)給你列出來，老師也不講，你隨便買一本幾何專題的練習(xí)書來做，或者，如果你定力不好的話，可以去報(bào)一個(gè)補(bǔ)習(xí)班，專門補(bǔ)習(xí)幾何專題的。

我從你想知道的這些知識(shí)覺得你有點(diǎn)急于求成，但是學(xué)好幾何不是一天兩天的事，其實(shí)高考的幾何也不會(huì)很難的。

做得多，有了感覺，考試的時(shí)候自然得心應(yīng)手，這是實(shí)話。

已知pA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形,M,N分別是AB,pC的中點(diǎn).(1)證MN⊥CD.(2)若∠pDA=45度,求證MN⊥平面pCD

第一問,我證出來了.麻煩能講下解這類題的思路

滿意答案好評(píng)率：100%

對(duì)于這種空間幾何題，用向量解決是一種通法，不知你學(xué)過沒。但對(duì)于這一題，立體幾何的知識(shí)足夠解決了，記住面線垂直判定的方法，本質(zhì)為證明線線垂直，找到平面內(nèi)的兩條相交直線與那條直線垂直，即可得證。此題(2)問，只要找pD和CD即可，注意∠pDA=45度這個(gè)條件即可證pD⊥MN。不懂追問。

繼續(xù)追問：

∠pDA=45度這個(gè)條件即可證pD⊥MN?

補(bǔ)充回答：∠pDA=45度，可知△pAD為等腰直角△，取pD中點(diǎn)E，連接AE和AN，可以知道四邊形AMNE為平行四邊形，可知MN∥AE，而AE⊥pD(△pAD為等腰直角△，E為中點(diǎn))，則pD⊥MN。

第五篇：證明題的方法

作業(yè)：

1．從上述案例中選擇一個(gè)進(jìn)行分析與評(píng)價(jià)。

《等腰三角形》的性質(zhì)這一案例，本身這是最傳統(tǒng)的一種幾何知識(shí)的教學(xué)，如何做到傳統(tǒng)的知識(shí)教學(xué)與新課程改革相聯(lián)系，這是我們要考慮的一個(gè)問題。這節(jié)課通過學(xué)生觀察圖形得出等腰三角形的概念，然后通過學(xué)生繪制等腰三角形，得到最實(shí)際的一手資料后，讓學(xué)生通過討論和動(dòng)手操作，得出一系列的性質(zhì)，并且通過證明加以規(guī)范。

從上述老師的過程來說，應(yīng)該是滿足新課程的要求的。通過學(xué)生的觀察，動(dòng)手操作，小組討論，加以證明等步驟，即將傳統(tǒng)的知識(shí)分析講解的十分透徹，又發(fā)展培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力等。

．舉例說明學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)過程中的主要困難。學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過程當(dāng)中主要有以下困難：（1）、幾何概念不清，概念混淆。

在三角形全等的證明中有一個(gè)方法是（兩條邊和夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等），在這個(gè)定理中，我們要強(qiáng)調(diào)的是夾角對(duì)應(yīng)相等，而不是兩角對(duì)應(yīng)相等。初學(xué)者經(jīng)常要犯這樣的錯(cuò)誤。

（2）、幾何概念多，不宜記憶。

與代數(shù)相比較而言，初中幾何概念應(yīng)該是比較多的，而且比較難記，這就是許多學(xué)生害怕數(shù)學(xué)的一個(gè)直接的原因。

（3）、幾何學(xué)習(xí)的邏輯性強(qiáng)。

幾何學(xué)習(xí)者都應(yīng)該知道，幾何學(xué)習(xí)肯定離不開幾何證明。在進(jìn)行幾何證明時(shí)，首先要看題，了解題目的意思，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ缓髸鴮懽C明過程，在這整個(gè)環(huán)節(jié)當(dāng)中，都體現(xiàn)出了學(xué)生的理解力，邏輯思維能力。

3，如何培養(yǎng)推理證明能力？

每一道數(shù)學(xué)證明題都是由已知的條件和求證的結(jié)論兩部分組成的。我們的任務(wù)就是根據(jù)題目中的已知條件，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、公理、定理，進(jìn)行邏輯推理，逐步地推出求證的結(jié)論來。由此可以看出，做數(shù)學(xué)證明題的基本功，一般為下列四個(gè)方面的問題：

1、看清題目意思分清什么是已知條件，什么是求證結(jié)論。

2、熟悉證明依據(jù)能熟練運(yùn)用與題意有關(guān)的概念、公理和定理。

3、掌握推理格式能正確地運(yùn)用合乎邏輯的推理、證明。

1、積累解題思路通過“學(xué)”、“練”結(jié)合，拓展解題思路。[一]、如 何 看 清 題 意

看清題意應(yīng)達(dá)到三會(huì)：“會(huì)審題”、“會(huì)變化”、“會(huì)稱呼”。會(huì)審題會(huì)不會(huì)審題是能否看清題意的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，首先，要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣；其次，要教給學(xué)生審題的一般步驟：

1、一題到手，首先弄清題目中出現(xiàn)了哪幾個(gè)主要的概念，并回憶出它們的定義來。

2、根據(jù)題意分清什么是已知條件，什么要求證的結(jié)論。

3、有的題目還需要根據(jù)題意作圖，或者運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)字術(shù)語，寫出已知與求證，即把普通語言“轉(zhuǎn)譯”成數(shù)學(xué)語言表達(dá)的題目，以使題目內(nèi)容更加明確，證明過程更加清楚。

會(huì)變化命題有四種：原命題、逆命題、否命題、逆否命題。四種命題的變化它是通過改變題目中已知條件與結(jié)論之間的地位和性質(zhì)而得到的。

原命題與逆命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，原命題與逆命題之間沒有必然的真假關(guān)系。

在已知條件或者求證結(jié)論比較復(fù)雜的命題中，應(yīng)保留其他各項(xiàng)，僅以一項(xiàng)已知條件與一項(xiàng)求證結(jié)論來“變化”。

關(guān)于四種命題的變化，在教學(xué)安排上，應(yīng)注意兩點(diǎn)：

1、要分兩個(gè)階段教給學(xué)生。第一階段：只要求會(huì)由原命題變化出逆命題。第二階段：會(huì)相互變化。

2、應(yīng)在平時(shí)學(xué)習(xí)中給學(xué)生以多變的啟發(fā)與機(jī)會(huì)。

會(huì)稱呼會(huì)稱呼就是指弄清“充分條件”與“必要條件”的含義，并會(huì)運(yùn)用它們。

由有“前面的條件”證得“一定有后面的結(jié)果”，則稱“前面的條件”是“后面的結(jié)果”的充分條件。

由“沒有前面的條件”證得“一定不會(huì)有后面的結(jié)果”，則“前面的條件”是“后面的結(jié)果”的必要條件。

將四種命題與兩種條件的稱呼聯(lián)系起來。

[二]、掌 握 推 理 格 式

數(shù)學(xué)證明的依據(jù)是概念、公理、定理，它們都是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)。我們不但要正確地理解它們，還要牢固地記憶它們與靈活地運(yùn)用它們。

為了正確地進(jìn)行推理、證明，我們僅僅會(huì)“看清題意”和熟悉依據(jù)還不夠。也就是說，我們雖然對(duì)于要證明的題目已知，會(huì)用已知條件和有關(guān)數(shù)學(xué)概念、公理、定理來逐步地推出求證結(jié)論來，還是不夠的。還需要掌握一些基本的證明方法與推理格式，善于用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)自己的思維過程。

常見的推理格式有以下五種：

1.綜合順證格式2.分析法逆推格式3.反證法三步格式 4.窮列法討論格式5.數(shù)學(xué)歸納法二步格式 在平面幾何里，還有重合法、同一法。綜合法順證格式

從已知條件出發(fā)，順著推證：由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求證的結(jié)論，這就是順推法的格式。

綜合法是最常見的推理證明方法。它的書面表達(dá)常用“∵∴”或“=>”等。

分析法逆推格式

分析法證明的思路與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知（已知條件、已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等等）。這種證明方法的關(guān)鍵在于要保證

分析過程的每一步都是可以逆推的。它的書寫表達(dá)常用的是“要證??只需??”

用分析法證明最后一定要指出“以上各步均可以逆推?！?/p>

在通常做數(shù)學(xué)證明題時(shí)，我們一般不用分析法逆推格式來書寫表達(dá)證明的過程，而是常常采用綜合法順證格式。用綜合法順著證明（即由已知到求證）有時(shí)思路不一定好想，因此，常在草稿紙上用分析法逆推來“想”，等找到證明的思路之后，再用綜合法順證格式來寫。通常稱為“逆推順證”的方法。

反證法格式

有時(shí)直接證明命題比較困難，則可以改證與原命題等價(jià)的逆否命題。這就是反證法的基本思想。

運(yùn)用反證法的一般步驟如下： 1．作出與求證結(jié)論相反的假定。

2．由這個(gè)假定出發(fā)，用正確的推理方法，推出某種結(jié)論。3．指出所得結(jié)論與原題意（或相關(guān)定義、定理、公式等）不合，這一矛盾就可以斷言與求證結(jié)論相反的假定是不正確的。因此，原題中求證的結(jié)論是正確的。最后由矛盾而作的斷定就是運(yùn)用了“排中律”來推理的結(jié)果。

窮舉法討論格式：對(duì)于已知條件或求證結(jié)論的情形比較復(fù)雜的證明題，往往可將原題分解成幾個(gè)特殊問題來分別討論。如果分別證明了這幾個(gè)特殊的問題，歸納起來也就是證明了原來的命題。

常用格式為“當(dāng)??時(shí)，如何如何；當(dāng)??時(shí)，如何如何；??綜上所述???！?/p>

用這種“窮舉法”來證明，關(guān)鍵是要“窮舉”，即對(duì)所有可能情形都要研究窮盡，不可以遺漏。

數(shù)學(xué)歸納法二步格式

數(shù)學(xué)歸納法（只適用于自然數(shù)集）的理論依據(jù)是數(shù)學(xué)歸納原理（可用反證法來證）。

原理：對(duì)于自然數(shù)集的命題，只要證明下列兩個(gè)命題成立，就能斷定原來的命題對(duì)于所有的自然數(shù)都成立。

1、當(dāng)n=1時(shí)（有時(shí)雖不為1，但為適合條件的第一個(gè)數(shù)。），原來的命題是正確的（歸納基礎(chǔ)）

2、假設(shè)n=k時(shí)，原命題是正確的，求證n=k+1時(shí)，（有時(shí)為n=k+2;n=k+3?）原來的命題也是正確的。（歸納的傳遞）

[三]、積 累 證 題 思 路所謂“解題思路”就是能夠溝通要被證明的命題中的已知條件與求證結(jié)論之間的邏輯“通道”。實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)證明的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確、迅速地探求出已知條件到達(dá)求證結(jié)論的一條邏輯“路徑”。

如何才能探求出一條邏輯“道路”呢？一般來說：

1、對(duì)于一些不太復(fù)雜的證明題掌握了前面的知識(shí)和能力，就能實(shí)現(xiàn)。也就是說當(dāng)你分清什么是已知條件、什么是求證結(jié)論之后，回憶與它有關(guān)的概念、公理、定理，就可以探求到它們之間的一些必然聯(lián)系，從而找到一條證題思路，并用某種推理格式嚴(yán)格地書寫表達(dá)出來。

2、對(duì)于難度大的證明題，往往需要采用專門的方法與技巧。事實(shí)上，有些數(shù)學(xué)命題直到今天，人們也無法證明或舉反例否定它。（這不在我們考慮之列）

3、對(duì)于難度比較大的一些證明題，需要學(xué)習(xí)一些其他分析方法，下面僅介紹幾種常用的方法。

兩頭擠法

1、分析綜合法：從求證的結(jié)論出發(fā)，反推分析、又從已知條件出發(fā)，綜合證明，從而在某個(gè)中間環(huán)節(jié)達(dá)到同一。

2、左右同一法：恒等式的證明一般都是由繁到簡，如果原式的左邊和右邊都比較繁，則可分別從左與右化簡，在中間環(huán)節(jié)達(dá)到同一。

3、不等式的證明中的兩頭擠分析法，特別要注意保持不等號(hào)方向的不變。

輔助元素法

有的證明題，用兩頭擠法分析之后，發(fā)現(xiàn)原有的已知條件與求證結(jié)論之間難以找到直接的邏輯通道，它們之間的聯(lián)系是間接的。這樣一來，問題的關(guān)鍵就在于：引進(jìn)某一個(gè)或某幾個(gè)起連接作用的輔助元素，怎樣尋找這種輔助元素，沒有一成不變的辦法，只有靠具體問題具體分析，與多多積累解題經(jīng)驗(yàn)。

1、添輔助線法這是平面幾何中常采用的方法，正確添加的輔助線，在題目中一般都起著某種“橋梁”作用，將已知條件與求證結(jié)論溝通起來，形成一條邏輯通道。

2、設(shè)輔助未知數(shù)法（換元法或變量替換法）在代數(shù)、三角分析中，使用輔助元素法，多稱為換元法。“換元”通?？梢允乖羞\(yùn)算關(guān)系大大簡化，邏輯層次脈絡(luò)分明，有利于問題的解決。

3、作輔助函數(shù)法在許多重要的數(shù)學(xué)定理的分析、證明過程中，往往要作一個(gè)輔助函數(shù)，這個(gè)輔助函數(shù)作好了定理就能順利證出，我們要研究這種輔助函數(shù)是怎樣想出來的。

計(jì)算證明法

（一）利用代數(shù)或三角的知識(shí)，運(yùn)用計(jì)算的方法來證明幾何問題。通常是先以最少量的字母來表示未知的幾何量，從而將幾何圖形數(shù)量化，然后進(jìn)行計(jì)算型的證明推理。

在利用三角知識(shí)解決幾何問題時(shí)，通常用以下作法：

1、求證有關(guān)線段的比、線段的積的幾何問題，可以考慮用正弦定理來解決。

2、求證有關(guān)線段的平方的幾何問題可以考慮用余弦定理來解決。

（二）坐標(biāo)法在解析幾何中，運(yùn)用坐標(biāo)方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。用坐標(biāo)法證明時(shí)，首先要根據(jù)題意選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把與幾何圖形的性質(zhì)有關(guān)的問題，化為有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)量關(guān)系問題。

在選取坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)重視具體圖形的特點(diǎn)。如：中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、垂直、平行、頂點(diǎn)、端點(diǎn)等等。使得選取坐標(biāo)系的圖形中有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)盡量簡單，以利于下一步用代數(shù)方法證明。

一些恒等變形技巧

同一事物往往可以表示為不同的幾種形式，而每一種形式往往能夠比較準(zhǔn)確、比較明顯地反映該事物的某種特殊性質(zhì)。而在數(shù)學(xué)中研究同一事物的“恒等變形”的主要性就在于此。在學(xué)習(xí)中我們不僅要熟練地記憶一些重要的恒等變形公式，而且要善于運(yùn)用它們。在不同的問題中，根據(jù)具體問題的需要，恰到好處地選用合適的一種形式，從而比較順利地解決問題。

在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的“恒等變形”，內(nèi)容很多，下面列出六種是最重要的地做數(shù)學(xué)證明題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用這些恒等變形的技巧，在進(jìn)一步學(xué)習(xí)“微積分”內(nèi)容時(shí)，也是不可缺少的。

1、乘法公式與因式分解這種“恒等變形”在初中學(xué)習(xí)整式時(shí)開始遇到，從此以后，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就經(jīng)常在起作用，直到學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)歸納法”之后，又將幾個(gè)常用的公式推廣到更一般的情況。

2、配方法配方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很多，僅在中學(xué)階段就先后三次集中利用它來解決一些理論問題和實(shí)際問題。

利用它來推求一元二次方程的求根公式和解決有關(guān)一元二次方程的一些問題：

用它來推求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)公式和解決有關(guān)二次函數(shù)的極值問題；

用它來化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑。

3、分母有理化與分子有理化“分母有理化”是在初中學(xué)習(xí)根式運(yùn)算時(shí)引入的概念。它不僅在根式計(jì)算題中有用，在證明題中也時(shí)常用到，不過有時(shí)不是將分母有理化而是將分子有理化。不但要掌握根式化簡一定要把分母有理化的結(jié)論，更重要的是掌握有理數(shù)化的方法，并在解決問題中靈活地運(yùn)用它。

4．和差化積與積化和差“和差化積”這樣恒等變形之后，有利于應(yīng)用對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。（“積化和差”在積分運(yùn)算中經(jīng)常用到）

其實(shí)對(duì)于“和”與“積”或“加法”與“乘法”之間的恒等變形的思想，不僅在三角函數(shù)上研究過，在其它數(shù)學(xué)內(nèi)容里也學(xué)習(xí)過。

乘法公式與因式分解就是在整式范圍內(nèi)的和的形式與積的形式的恒等變形。（微積分中的有理分式化為部分分式的方法，就是在分式范圍內(nèi)研究“和的形式”與“積的形式”如何相互轉(zhuǎn)化。）

5．恒等式0 =+A-A=-A+A的應(yīng)用“加一個(gè)同時(shí)以減一個(gè)相同的數(shù)或式”的恒等變形的技巧，不僅在初等數(shù)學(xué)中、在簡單問題中經(jīng)常運(yùn)用，在學(xué)習(xí)比較復(fù)雜的證明中，也是經(jīng)常被運(yùn)用的。

6．恒等式1=A/A乘一個(gè)同時(shí)又除一個(gè)相同的不為0的數(shù)或式，這種恒等變形的技巧也是十分有效的。