第一篇：數(shù)學(xué)證明題證明方法

數(shù)學(xué)證明題證明方法（轉(zhuǎn)）

2011-04-22 21:36:39|分類：|標(biāo)簽： |字號大中小 訂閱

2011/04/2

2從命題的題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，來判斷命題的結(jié)論是否正確的過程，叫做證明。

要證明一個命題是真命題，就是證明凡符合題設(shè)的所有情況，都能得出結(jié)論。要證明一個命題是假命題，只需舉出一個反例說明命題不能成立。證明一個命題，一般步驟如下：

（1）按照題意畫出圖形；

（2）分清命題的條件的結(jié)論，結(jié)合徒刑，在“已知”一項中寫出題設(shè)，在“求證”一項中寫出結(jié)論；

（3）在“證明”一項中，寫出全部推理過程。

一、直接證明

1、綜合法

（1）定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）綜合法的特點：綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā?它是從已知條件和某些學(xué)過的定義、公理、公式、定理等出發(fā)，通過推導(dǎo)得出結(jié)論.2、分析法

（1）定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法.（2）分析法的特點：分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是要證明結(jié)論成立，逐步尋求推證過程中，使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.二、間接證明

反證法

1、定義：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.2、反證法的特點：

反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設(shè)要證的命題不成立，即結(jié)論的反面成立，在已知條件和“假設(shè)”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設(shè)等相矛盾的結(jié)論，從而判定結(jié)論的反面不能成立，即證明了命題的結(jié)論一定是正確的.３、反證法的優(yōu)點：

對原結(jié)論否定的假定的提出，相當(dāng)于增加了一個已知條件.４反證法主要適用于以下兩種情形：

（1）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；

（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形

第二篇：數(shù)學(xué)證明題解題方法

數(shù)學(xué)證明題解題方法

第一步：結(jié)合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

第三篇：考研數(shù)學(xué)證明題三大解題方法

考研數(shù)學(xué)證明題三大解題方法

縱觀近十年考研數(shù)學(xué)真題，大家會發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會有一個證明題，而且基本上都是應(yīng)用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個別考研輔導(dǎo)書中有一些證明思路之外，大多數(shù)考研輔導(dǎo)書在這一方面沒有花太大力氣，本人自認(rèn)為在推理證明方面有不凡的效績，在此給大家簡單介紹一些解決數(shù)學(xué)證明題的入手點，希望對有此隱患的同學(xué)有所幫助。

一、結(jié)合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。

知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度（即就是對定理理解的深入程度）不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

二、借助幾何意義尋求證明思路

一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點（正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點）之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有三個零點，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題（1）是關(guān)于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

三、逆推

從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要證的不等式。

對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。

第四篇：考研數(shù)學(xué)證明題三大解題方法

考研數(shù)學(xué)證明題三大解題方法

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縱觀近十年考研數(shù)學(xué)真題，大家會發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會有一個證明題，而且基本上都是應(yīng)用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個望對有此隱患的同學(xué)有所幫助。

2006年數(shù)學(xué)一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明

2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系F（x）=f（x）-g（x）有三個零點，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題（1）是關(guān)于零點存在y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

三、逆推

從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要證的不等式。對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。

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第五篇：數(shù)學(xué)證明方法

數(shù)學(xué)證明方法 直接證明法

從正面證明命題真實性的證明方法叫做直接證法．凡是用演繹法證明命題真實性的都是直接證法．它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的證明方法．綜合法、分析法、分析綜合法、比較法。

（1）綜合法：從已知條件入手，運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的公理、定義、定理等進(jìn)行一步步的推理，一直推到結(jié)論為止．這種思維方法叫綜合法．這種方法是“由因?qū)Ч?，即從已知到可知，從可知到未知的思維過程．

（2）分析法：從問題的結(jié)論入手，運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的公理、定義、定理，一步步尋覓使結(jié)論成立的條件，一直“追”到這個結(jié)論成立的條件就是已知條件為止．可見分析法是“執(zhí)果求因”的思維過程，它與綜合法的思維過程相反．分析法屬于邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在分析過程步步可逆。

分析法的步驟為未知?需知?已知。在操作中“要證”、“只要證”、“即要證”這些詞語也是不可缺少的。分析法的書寫形式一般為“因為......，為了證明......，只需證明......，即......，因此，只需證明......，因為......成立，所以‘......（結(jié)論）’成立”。（3）分析綜合法：把分析法和綜合法“聯(lián)合”起來，從問題的兩頭向中間“靠攏”，從而發(fā)現(xiàn)問題的突破口．這種思維方法叫做分析綜合法．對于比較復(fù)雜的題目，往往采用這種思維方法．在證明的過程中，往往分析法、綜合法常常是不能分離的。分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進(jìn)一步分析的起點。

（4）比較法 間接證明法

不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題的不真實，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實性的證明方法，叫做間接證明法．反證法、同一法、歸納法（不完全歸納法、完全歸納法、數(shù)學(xué)歸納法）、類比法、換元法、放縮法、判別式法、函數(shù)法（1）反證法：反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。實施的具體步驟是：

第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)（即結(jié)論的否定成立）；

第二步，歸謬：從否定結(jié)論出發(fā)，逐層進(jìn)行推理，得出與公理或前述的定理、定義或題設(shè)條件，或與臨時假設(shè)等自相矛盾（即說明結(jié)論不能否定）；

第三步，結(jié)論：根據(jù)排中律，說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。（2）同一法：兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時，該命題與其逆命題才等效，這個原理叫做同一原理．對符合同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時可以改證與它的等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法．

1當(dāng)命題的條件與結(jié)論所含事項都唯一存在時，先作出符合命題結(jié)論的所有圖形；同一法的步驟：○2證明所作圖形符合已知條件；3根據(jù)唯一性，4最后肯定○○確定所作圖形或所作圖形與已知圖形重合；○原命題成立．

（3）不完全歸納法：從一個或幾個（但不是全部）特殊情況作出一般性結(jié)論的歸納推理。不完全歸納法又叫做普通歸納法。

（4）完全歸納法：是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法。

（5）數(shù)學(xué)歸納法