高中數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題專題復(fù)習(xí)

【知識(shí)框架】

【考點(diǎn)分類】

考點(diǎn)一、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明；

兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)變量，直接構(gòu)造函數(shù)求最值；

【例1-1】（14順義一模理18）已知函數(shù)（）

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【練1-1】（14西城一模文18）已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）如果對(duì)于任意，都有，求的取值范圍．

【練1-2】已知函數(shù)是常數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的方程；

（Ⅱ）證明函數(shù)的圖象在直線的下方；

（Ⅲ）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

【練1-3】已知曲線.(Ⅰ)若曲線C在點(diǎn)處的切線為，求實(shí)數(shù)和的值；

(Ⅱ)對(duì)任意實(shí)數(shù)，曲線總在直線:的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【練1-4】已知函數(shù)，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方；

【練1-5】.已知函數(shù)；

（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖像恒在直線下方，求的取值范圍。

【練1-6】已知函數(shù)；

（1）求的極小值；

（2）如果直線與函數(shù)的圖像無交點(diǎn)，求的取值范圍；

答案：

考點(diǎn)二、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例2-1】若函數(shù)

在上可導(dǎo)且滿足不等式，恒成立，且常數(shù)，滿足，求證：。

【例2-2】設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，分別為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則當(dāng)時(shí)，有（）

A.B.C.D.【練2-1】設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，，求不等式的解集。

【練2-2】已知定義在的函數(shù)滿足，且，若，求關(guān)于的不等式的解集。

【練2-3】已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，若，則下列關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（）D

A.B.C.D.【練2-4】已知函數(shù)為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意恒成立，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）C

A.B.C.D.【練2-5】

設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，且，求的值。

【練2-6】函數(shù)為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為，且，下面的不等式在內(nèi)恒成立的是（）

A.B.C.D.【練2-7】已知函數(shù)為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，且，若存在，使，求的值。

（二）關(guān)系式為“減”型

（1），構(gòu)造；

（2），構(gòu)造；

（3），構(gòu)造；

（注意對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論）

考點(diǎn)三、變形構(gòu)造函數(shù)

【例3-1】證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立。

【例3-2】已知函數(shù)；

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

【練3-1】設(shè)為曲線在點(diǎn)處的切線。

（1）求的方程；

（2）證明：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方；

【練3-2】已知函數(shù)；

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：；

【練3-3】已知函數(shù)，其中；

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的值；

【練3-4】，（1）討論的單調(diào)情況；

（2）設(shè)，對(duì)．求證：．

【練3-5】已知函數(shù)；

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)斜率為的直線與函數(shù)相交于兩點(diǎn)，求證：

考點(diǎn)四、消參構(gòu)造函數(shù)

【例4-1】已知函數(shù)和的圖像有公共點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線相同；

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；

（2）已知，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。

【例4-2】（2009全國(guó)卷2理22）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且

（Ⅰ）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：