第一篇：聯(lián)想導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則合理構(gòu)造函數(shù)解題

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聯(lián)想導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 合理構(gòu)造函數(shù)解題

作者：朱賢良

來(lái)源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高一二版》2013年第08期

著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》一書中明確提出，聯(lián)想是解題計(jì)劃的重要一環(huán)，學(xué)會(huì)聯(lián)想是數(shù)學(xué)解題成功的一大關(guān)鍵.因此，在解題過(guò)程中，要善于觀察題設(shè)條件與所求結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，分析題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系，聯(lián)想題目與已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的相似性.本文結(jié)合聯(lián)想導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，舉例說(shuō)明之.一、聯(lián)想和、差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

第二篇：構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)

合理構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本方法，但是有時(shí)簡(jiǎn)單的構(gòu)造函數(shù)對(duì)問(wèn)題求解帶來(lái)很大麻煩甚至是解決不了問(wèn)題的，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問(wèn)題的關(guān)鍵。

例1：已知函數(shù)f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值； 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若a??1時(shí)，方程f?1?x???1?x??3b有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。x

變量分離直接構(gòu)造函數(shù) 抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)

1、已知f?x?是二次函數(shù)，不等式f?x??0的解集是?0,5?，且f?x?在區(qū)間??1,4?上的最大值12.（1）求f?x?的解析式；

（2）是否存在自然數(shù)m，使得方程f?x??37?0在區(qū)間?m,m?1?內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的x實(shí)數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

變式練習(xí)：設(shè)函數(shù)f?x??x?6x?5,x?R，求已知當(dāng)x??1,???時(shí)，f?x??k?x?1?恒

3成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問(wèn)題

例： 已知函數(shù)f?x??n?lnx的圖像在點(diǎn)P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設(shè)g?x??mx?n?2lnx.x（1）求證：當(dāng)x?1時(shí)，g?x??0恒成立；（2）試討論關(guān)于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個(gè)數(shù)。x第 1 頁(yè)

共 1 頁(yè) 一次函數(shù)，二次函數(shù)，指對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，簡(jiǎn)單的分式根式函數(shù)，絕對(duì)值函數(shù)的圖象力求清晰準(zhǔn)確，一些綜合性的問(wèn)題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問(wèn)題解決的突破口，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化明確化。

復(fù)合函數(shù)問(wèn)題一定要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則，抓住函數(shù)的復(fù)合過(guò)程能夠逐層分解。例：已知函數(shù)f?x???單調(diào)遞增。

（1）求實(shí)數(shù)a的值.（2）若關(guān)于x的方程f2x?m有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（3）若函數(shù)y?log2?f?x??p?的圖像與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。復(fù)合函數(shù)尤其是兩次復(fù)合，一定要好好掌握，構(gòu)造兩種函數(shù)逐層分解研究，化繁為簡(jiǎn)，導(dǎo)數(shù)仍然是主要工具。

1423x?x?ax2?2x?2在區(qū)間??1,1?上單調(diào)遞減，在區(qū)間?1,2?上43??

導(dǎo)數(shù)—構(gòu)造函數(shù)

一：常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)

例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?，則角?的取值范圍是（）(A)[0,?4]

(B)[??5?,?]

(C)[,]

4(D)[?3?4,2)

x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立，則下列正確的是（）

A.x?y?0

B.x?y?0

C.x?y?0

D.x?y?0

2變式.f?(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)x?R，2f(x)?xf?(x)?x恒成立，則下列命題可能錯(cuò)誤的是()A．f(0)?0 B．f(1)?4f(2)C．f(?1)?4f(?2)D．4f(?2)?f(1)

二：構(gòu)造一次函數(shù)

例

二、對(duì)于滿足|a|?2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁(yè)

共 2 頁(yè) 三：變形構(gòu)造函數(shù) 例三．已知函數(shù)f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：若a?5，則對(duì)任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

例

四、已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)a??2，證明：對(duì)任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四：消參構(gòu)造函數(shù)

例

五、設(shè)函數(shù)f?x??x?aln?1?x?有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1?x2．

2f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2（I）求a的取值范圍，并討論f?x?的單調(diào)性；（II）證明：f?x2??

五：消元構(gòu)造函數(shù)

例

六、已知函數(shù)f?x??lnx，g?x??ex．

（Ⅰ）若函數(shù)??x??f?x??1?2ln2． 4x?1，求函數(shù)??x?的單調(diào)區(qū)間； x?1（Ⅱ）設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)A?x0,f?x0??處的切線．證明：在區(qū)間?1,???上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y?g?x?相切．

第 3 頁(yè)

共 3 頁(yè) 六：二元合一構(gòu)造函數(shù)

12ax?bx(a?0)且導(dǎo)數(shù)f'(1)?0 2（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得點(diǎn)M處的切線l//AB，則稱AB存在“跟隨切線”。

x?x2特別地，當(dāng)x0?1時(shí)，又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問(wèn)：在函數(shù)f(x)上是否存在2兩點(diǎn)A、B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A、B的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。例

七、已知函數(shù)f(x)?lnx?

七：構(gòu)造函數(shù)解不等式

例

八、設(shè)函數(shù)f(x)＝?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值與該切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立，則求M的最小值；（Ⅲ）若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1，試證明：

例

九、設(shè)函數(shù)f(x)?lnx?px?1

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)?lnx?px?1的極值點(diǎn)

（Ⅱ）當(dāng)p?0時(shí)，若對(duì)任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍。

abc9???

1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1（Ⅲ）證明：2?2?2?????2?(n?N,n?2)

234n2(n?1)

例

十、證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?

第 4 頁(yè)

共 4 頁(yè)

1n11?3都成立.2nn1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1?

2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)?23x的圖象的下方； 3111?1)?2?3 都成立.nnn

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

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第三篇：構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明不等式

構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明不等式

摘 要：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法證明不等式首先要構(gòu)建函數(shù)，以函數(shù)作為載體可以用移項(xiàng)作差，直接構(gòu)造；合理變形，等價(jià)構(gòu)造；分析（條件）結(jié)論，特征構(gòu)造；定主略從，減元構(gòu)造；挖掘隱含，聯(lián)想構(gòu)造等方法進(jìn)行證明.關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)；求導(dǎo)；證明；不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是四川高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)題型之一，此類問(wèn)題的特點(diǎn)是：?jiǎn)栴}以不等式形式呈現(xiàn)，“主角”是導(dǎo)數(shù)，而不等式的證明不僅技巧性強(qiáng)，而且方法靈活多變，因此構(gòu)造函數(shù)成為證明不等式的良好“載體”，如何有效合理地構(gòu)造函數(shù)是證明不等式的關(guān)鍵所在，下面以實(shí)例談?wù)勅绾螛?gòu)造函數(shù)的若干解題策略.注：此題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.解后感悟：函數(shù)隱藏越深，難度就越大，如何去尋找證明不等式的“母函數(shù)”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，通過(guò)合理變形，展開(kāi)思維聯(lián)想的翅膀，發(fā)現(xiàn)不等式背后的隱藏函數(shù)，便會(huì)柳暗花明.結(jié)束語(yǔ)：導(dǎo)數(shù)為證明不等式問(wèn)題開(kāi)辟了新方法，使過(guò)去不等式的證明方法，從特殊技巧變?yōu)橥ㄐ酝ǚ?，合理?gòu)造函數(shù)，能使解題更具備指向性，劍之所指，所向披靡.

第四篇：構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

湖北省天門中學(xué)薛德斌2010年10月

例

1、設(shè)當(dāng)x??a,b?時(shí)，f/(x)?g/(x)，求證：當(dāng)x??a,b?時(shí)，f(x)?f(a)?g(x)?g(a)．

例

2、設(shè)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)x?1時(shí)(x?1)f/(x)?0．

求證：（1）f(0)?f(2)?2f(1)；（2）f(2)?2f(1)．

例

3、已知m、n?N，且m?n，求證：(1?m)?(1?n)．

?nm

例

4、（2010年遼寧卷文科）已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1，其中a??2，證明：? x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.例

5、（2010年全國(guó)Ⅱ卷理科）設(shè)函數(shù)f?x??x?aIn?1?x?有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且

2x1?x2，證明：f?x2??

1?2In2.4a?0，b?0，例

6、已知函數(shù)f(x)?xlnx，求證：f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).x?ln(1?x)?x； 1?x

11112n?c??????ln（2）設(shè)c?0，求證：.2?cn?1?cn?2?c2n?cn?c例

7、（1）已知x?0，求證：

第五篇：高二數(shù)學(xué)2-2導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)

1．已知f(x)為定義在(??,??)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)?f(x)對(duì)于任意x?R恒成立，則（）A.f(2)?e2?f(0),B.f(2)?e2?f(0),C.f(2)?e2?f(0),D.f(2)?e2?f(0),1．A

【解析】解：因?yàn)閒(x)為定義在(??,??)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)?f(x)對(duì)于任意x?R恒成立可以特殊函數(shù)f(x)=e,然后可知選A

x也可以構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)/e,2．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(?1)?2，對(duì)任意x?R,f?(x)?2,則f(x)?2x?4的解集為

A．（-1，1）B.（-1，+?）C.(-?,-1)D.(-?,??)

2．B

【解析】設(shè)g(x)?f(x)?2x?4,則g?(x)?f?(x)?2?0對(duì)任意x?R都成立；所以函數(shù)2x'f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)'g(x)是定義域R上的增函數(shù)，且g(?1)?0.所以不等式f(x)?2x?4，即

g(x)?0?g(?1)，所以x??1.故選B

3．已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)(x?R)滿足f?(x)?f(x)，則當(dāng)a?0時(shí)，f(a)和eaf(0)的大小關(guān)系為c

A．f(a)?eaf(0)B．f(a)?eaf(0)C．f(a)?eaf(0)D．f(a)?eaf(0)