第一篇：2018考研數(shù)學(xué)：二重極限

東莞中公教育

2018考研數(shù)學(xué)：二重極限

以下是中公考研數(shù)學(xué)研究院的老師為大家整理了2018考研數(shù)學(xué):二重極限的題型講解，供大家復(fù)習(xí)參考。

高等數(shù)學(xué)的研究對象是函數(shù)，而極限則是研究函數(shù)的最重要的工具，對于一元函數(shù)如此，對于多元函數(shù)亦是如此。那么在學(xué)習(xí)多元微分學(xué)之前，首先來認識多重極限的概念，在此以二重極限為例進行說明。東莞中公教育

2.考試要求會計算二重極限，最直接的想法就是一元函數(shù)求極限的方法中哪些還可以繼續(xù)使用，其中四則運算法則，等價無窮小替換和夾逼定理及其推論(無窮小量乘以有界量等于無窮小量)可以使用。

【注記】1.取路徑的方法只是用來驗證函數(shù)的極限不存在，不能用于求極限。并且路徑一般取為直線，便于計算。

2.考試不會直接考查二重極限的計算，而是在研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可微性的時候需要計算二重極限。

最后，中公考研祝全體考生考研成功!

第二篇：證明二重極限不存在

證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在,是二元函數(shù)這一節(jié)的難點,在這里筆者對這一問題不打算做詳細的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找?guī)讞l通過(或趨于)定點(x0,y0)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時,f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經(jīng)過(x0,y0),并且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結(jié)論就不同(這時f(x,y)→1)。為什么會出現(xiàn)這種情況呢?仔細分析一下就不難得到答案

若用沿曲線，(，y)一g(，y)=0趨近于(，y0)來討論，一0g，Y。可能會出現(xiàn)錯誤，只有證明了(，)不是孤立點后才不會出錯。o13A1673-3878(2008)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在。是二元函數(shù)這一節(jié)的難點，在這里筆者對這一問題不打算做詳細的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找?guī)讞l通過(或趨于)定點(xo，Yo)的特殊曲線，如果動點(x，Y)沿這些曲線趨于(xo，Y。)時，f(x，Y)趨于不同的值，則可判定二重極限limf(x，Y)不存在，這一方I—’10r’Y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經(jīng)過(xo，Y。)，并且定點是這條曲線的非孤立點，這一點很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對于型如2的極限，在判卜’Iogx，Yy—·y0斷其不存在時，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯。

當沿曲線y=-x+x^2趨于(00)時，極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

當沿直線y=x趨于(00)時，極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

當沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。

第三篇：定義證明二重極限

定義證明二重極限

就是說當點(x,y)落在以(x0,y0)點附近的一個小圈圈內(nèi)的時候，f(x,y)與A的差的絕對值會灰?；页５慕咏?。那么就說f(x,y)在(x0,y0)點的極限為A

關(guān)于二重極限的定義，各類數(shù)學(xué)教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義(點可以除外)，如果對于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)，使得對于所論鄰域內(nèi)適合不等式的一切點p(X，y)所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末，常數(shù)A就稱為函數(shù)當時的極限.定義2設(shè)函數(shù)的定義域為是平面上一點，函數(shù)在點兒的任一鄰域中除見外，總有異于凡的屬于D的點，若對于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)a，使得對D內(nèi)適合不等式0<戶幾卜8的一切點p，有不等式V(p)一周<。成立，則稱A為函數(shù)人p)當p～p。時的極限.定義3設(shè)函數(shù)X一人工，”的定義域為D，點產(chǎn)人工。，人)是D的聚點，如果對于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)8，使得對于適合不等式的一切點p(X，…ED，都有成立，則稱A為函數(shù)當時的極限.以上三種定義的差異主要在于對函數(shù)的前提假設(shè)不盡相同.定義1要求人X，…在點p入x。，汕)的某去心鄰域內(nèi)有定義，而定義2允許人工，y)在點p。(X。，入)的任一去心鄰域內(nèi)都有使人X，y)無定義的點，相應(yīng)地，定義I要求見的去心鄰域內(nèi)的點p都適合/(p)一A卜

利用極限存在準則證明：

(1)當x趨近于正無窮時，(Inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數(shù)列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準則:

x大于1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(Inx/x^2)的極限為0

2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,Xn-X(n-1)=/2<0,單調(diào)遞減

且Xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.對原始兩邊求極限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a時,極限亦為√a

綜上,數(shù)列極限存在,且為√

(一)時函數(shù)的極限：

以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數(shù)的極限：

由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。

教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當時的極限.例4

例5例6例7

第四篇：二重極限的計算方法(學(xué)年論文)

二重極限的計算方法小結(jié)

內(nèi) 容 摘 要

本文在二元函數(shù)定義基礎(chǔ)上通過求對數(shù)，變量代換等方式總結(jié)了解決二重極限問題的幾種方法，并給出相關(guān)例題及解題步驟。及二重極限不存在的幾種證明方法。

關(guān)鍵詞：二重極限 變量代換等 不存在的證明

目 錄

序言???????????????????????????

1一、利用特殊路徑猜得極限值再加以驗證………??????1(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以確定???????? 1(二)由累次極限猜想極限值再加以驗證??????????2(三)采用對數(shù)法求極限?????????????????2(四)利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個重要極限???3(五)等價無窮小代換??????????????????3(六)利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量??????4(七)多元函數(shù)收斂判別方法???????????????4(八)變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限????5(九)極坐標代換法???????????????????6(十)用多元函數(shù)收斂判別的方法?????????????7

二、證明二重極限不存在的幾種方法………………………………… 7 總結(jié)??????????????????????????10 參考文獻????????????????????????11 I

序言

二元函數(shù)的極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。對一元函數(shù)而言，自變量的變化只有左右兩種方式，而二元函數(shù)可以有無數(shù)種沿曲線趨于某店的方式，這是兩者最大的區(qū)別。雖然二元函數(shù)的極限較為復(fù)雜，但若能在理解好概念，掌握解題方法和技巧就不難解決。

對于二元函數(shù)的二重極限，重點是極限的存在性及其求解方法。二重極限實質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程，是一個較為復(fù)雜的極限，只要有兩個方向的極限不相等，就能確定二重極限不存在，但要確定二重極限存在則需要判定沿任意方向的極限都存在且相等。由于二重極限較為復(fù)雜，判定極限的存在及其求解，往往因題而異，依據(jù)變量(x,y)的不同變化趨勢和函數(shù)f(x,y)的不同類型，探索得出一些計算方法，采用恰當?shù)那蠼夥椒ê螅瑢?fù)雜的二重極限計算，就能簡便，快捷地獲得結(jié)果，本文將對二重極限的幾種計算方法做一下小結(jié)。一、二重極限的計算方法小結(jié)

(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以驗證

利用二元函數(shù)極限定義求極限：根據(jù)定義解題時只需找出?來。

x3y例1 討論f(x,y)?2，在點的極限。

x?y2[1]解 令y?mx

x?0y?mxlimx3ymx4m2?lim?limx?0

x2?y2x?0y?mx(1?m2)x?01?m2x3y應(yīng)為此路徑為特殊路徑，故不能說明lim?0.可以猜測值為0。

x?0y?0x2?y2下面再利用定義法證明：???0，取??2?

當0?(x?0)2?(y?0)2?? 有x2?x2?y2?2?

x3yx3y12x3y12由于2 即有?0??x?x?? 2222xy22x?yx?yx3y故lim?0.x?0y?0x2?y2注意（1）?的任意性

（2）?一般隨而變化

（3）若函數(shù)以A為極限，則對函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有范圍（A+?，A-?）。

(二)由累次極限猜想極限值再加以驗證

先求出一個累次極限，該類此極限是否為二重極限在用定義驗證 例2[2] 設(shè)f(x,y)?(x?y)sin221(x2?y2?0)。求limf(x,y)22x?0y?0x?y解 ?limlimf(x,y)?0可以猜測有極限值為0.事實上對任意的(x,y)?(0,0)

x?0y?0有f(x,y)?0?(x?y)sin2212222?x?y?x?y，22x?y???0 取???，當x??，y??，(x,y)?(0,0)時，2就有(x2?y2)sin1?0??，即有l(wèi)imf(x,y)?0 22x?0y?0x?y(三)采用對數(shù)法求極限

利用初等變形，特別是指數(shù)形式常常可以先求起對數(shù)的極限。或極限是等未定型，往往通過取對數(shù)的辦法求得結(jié)果。

例3 求 解

1sinxyx?0?y?0?lim(1?xy)(1?xy)

1sinxy1xyxysinxyx?0?y?0?lim1sinxy?x?0?y?0?limeln(1?xy)?x?0?y?0?limeln(1?xy)

1xy 因為

xyxyln(1?xy)?lne?1 ?1而且limx?0?y?0?sinxy1x?0?y?0?lim 所以

1sinxyx?0y?0lim(1?xy)???e

(四)利用一元函數(shù)中重要極限的推廣求兩個重要極限

1? lim?1??lim(1?x)x?e ??x??x?0?x?sinx?

1limx?0x類似于一元函數(shù)，我們可以充分利用所熟知的結(jié)論。通過構(gòu)造變形我們能夠化不熟悉為熟悉，進而利用已有的結(jié)論而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1?x)x?0y?01x(x?y)（2）limsinxy

x?0y?ax解（1）因為

lim(1?x)?e，limx?01x11?

x?0y?2x?y2 所以

1x(x?y)1x?yx?0y?2lim(1?x)???lim?(1?x)?x?0y?2??1x?e（2）由于

又因為

sinxysinxy??y,y?0, xxysinxysint?lin?1(xy?t,x?0)

x?0y?at?0txylim 所以

sinxysint?linliny?a

x?0y?at?0yxt?alim(五)等價無窮小代換

利用一元函數(shù)中已有的結(jié)論對式子進行必要的代換以達到簡化的目的，進而求出所要求的極限

33例5 求limsin(x?y)

x?0y?0x?y33 解 因為x?0,y?0,故有x?y?0

所以sin(x3?y3)等價于x3?y3

3333故原式為limsin(x?y)?limx?y?lim(x2?xy?y2)?0

x?0y?0x?0y?0x?0y?0x?yx?y注 無窮小替代求極限時要理解替換過程的本質(zhì)，不可隨意替換。利用等價無窮小替代求極限其實質(zhì)就是在極限運算中同時乘一個或是除一個等價無窮小，也就是我們通常所說的“乘除時可以替換，加減時不可隨意替換”

(六)利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量

充分利用無窮小的性質(zhì)，與一元函數(shù)類似，在求極限過程中，以零為極限的量稱為無窮小量，有關(guān)無窮小量的運算性質(zhì)也可以推廣到多元函數(shù)中。

例6[4]2?x?3??y?2? 求 lim

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2 解 因為

2?x?3??y?2?limx?3,y?2?x?3?2??y?2?2?lim?x?3??y?2??x?3?

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2而

?x?3??y?2??x?3?2??y?2?2又 limx?3,y?2?1為有界變量 2?x?3??0 故有 原式=0(七)多元函數(shù)收斂判別方法

當一個二重極限不易直接求出時，可以考慮通過放縮法使二元函數(shù)夾在兩個已知極限的函數(shù)之間，且兩端的極限值相等，則原函數(shù)的極限值存在且等于它們的公共值。

例7[5] 求 lim?xx?0y?0?y2

x?y2?解 因為

?x0?而

?y2x2y2x2y2?????x?y

x?yx?yx?yxy2?x?0y?0lim?x?y??0，故

x?0y?0lim?x?y2

x?y2?

(八)變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限

有時為了將所求的極限化簡，轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式子的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來較復(fù)雜的極限過程轉(zhuǎn)化為更簡化的極限過程。

1、討論當x?0,y?0，二元函數(shù)f(x,y)的極限，利用變量代換把二重極限化為一元函數(shù)中已知的極限轉(zhuǎn)化，相應(yīng)有t?0從而求得結(jié)果。

ln(1?x2?y2)例8 求 lim 22x?0,y?0x?y解 令x2?y2??, 則當x?0,y?0時 ??0，22ln(1?x?y)ln(1??)于是lim?lim?1 22x?0,y?0??0?x?y2、討論當x??,y?aa?0常數(shù)時，二元函數(shù)f(x,y)的極限，作變量代換，相應(yīng)有t??，利用已知一元函數(shù)的極限公式。

例9 求 lim?1???x??y?a??xy?解 因為

x2x?y???1?其中a?0

?1??1??xy????x2x?y?1???1??xy????xxy(x?y)y

當 x??,y?a時，令xy=t,相應(yīng)有t?? 則

?1??lim?1??x??y?a??xy?

所以

xy?1??lim?1???e t???t?t?1???lim1?x??y?a?xy???x2x?y?x??y?alimex1xyln(1?)(x?y)yxy?e1a

3、討論x??,y??時二元函數(shù)f(x,y)的極限

例10 求 解 因為 x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)

(x?y)e22?(x?y)(x2?y2)(x?y)2xy???2(x?y)(x?y)(x?y)eee當 x??,y??時，令x+y=t,相應(yīng)有t??

(x?y)2t2則 lim?limt?0

x??,y??e(x?y)t??ex??,y??lim2xyxy??2lim?lim?0 xyxyx??,y??x??,y??eeee所以

x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)?0

(九)極坐標代換法

討論當?x,y???0,0?時，二元函數(shù)f(x,y)的極限，必要時可以用極坐標變換

?x?rcos?,y?rsin?，即將求f(x,y)當極限問題變換為f(rcos?,rsin?)求r?0的極

?限問題。但必須要求在r?0的過程中與?的取值無關(guān)。注意這里不僅對任何固定的?在r?0?時的極限與?無關(guān)，而且要求在r?0?過程中?可以隨r的改變而取不同的值的情況下仍然無關(guān)，才能說明lim[6]x?0,y?0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)?(0,0)x2?y2解 令

?x?rcos?，當(x,y)?(0,0)時，有r?0? ??y?rsin?令

x2y2r4cos2?sin2???r2cos2?sin2? 222x?xr22因為 cos?sin??1

所以

x2y2222lim?limrcos?sin?0(x,y)?(0,0)x2?y2r?0?

(十)用多元函數(shù)收斂判別的方法

通過縮放法使二元函數(shù)夾在兩個已知極限的函數(shù)之間，再利用兩邊夾定理來推出結(jié)果。

x2?y2例12 求 lim

x?0y?0x?y 解 因為

x2?y2?x?y?0???x?y x?yx?y2而 limx?0y?0?x?y??0

22x?y 所以 lim?0

x?0y?0x?y

二、證明二重極限不存在

若二元函數(shù)f(p)在區(qū)域D有定義，p0(x0,y0)是D的聚點。當動點p(x,y)沿著兩條不同的曲線（或點列）誣陷趨近于點p0(x0,y0)，二元函數(shù)f(p)，有不同的“極限”，則二元函數(shù)f(p)在點p0(x0,y0)不存在極限。依此可以有下面幾種方法來證明f(p)在區(qū)域D上當p?p0時極限不存在。

例1[7] 證明x?0y?0limln(x?ey)x2?y2不存在

y22證明 函數(shù)的定義域為D?(x,y)x??e,x?y?0，當點p(x,y)沿著y

??軸趨于點(0,0)時，有x=0，而

x?0y?0limln(x?ey)x2?y2?limy?0y不存在，y所以

x?0y?0limln(x?ey)x?y22

當P沿著D中某一連續(xù)曲線趨近于點p0(x0,y0)時，二元函數(shù)f(p)的極限不存在，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 證明x?0y?0limx4?y4不存在

x?y證明 函數(shù)的定義域為D?(x,y)x?y?0，當點p(x,y)沿著x軸趨于點（0，x4?y40）時，lim=0，當點p(x,y)沿著y?x(x3?1)趨于點（0，0）時x?0y?0x?yx4?y4x4?x4(x3?1)lim?lim?2 4x?0x?0x?yx所以

x?0y?0??limx4?y4不存在

x?y當P沿著D中兩條不同的連續(xù)曲線趨近于p0(x0,y0)時，二元函數(shù)f(p)的極限都存在，但不相等，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33x?y例3 證明

x?0y?0lim證明 設(shè)x?rcos?,y?rsin?函數(shù)的定義域為

D?(r,?)r?0,cos??sin??0,?0,2??

??

x?0y?0limx2y2?x3?y3xlim(r,?)?D?0?rcos2?sin2? cos3??sin3?rcos2?sin2?當??0時，sin??0得lim?0 33x?0?cos??sin?(r,?)?D當??(33??1)時cos3??sin3??0?,cos2?sin2??443令cos??sin??r有

x?0?cos3??sin3??rlimrcos2?sin2?1??0

cos3??sin3?4所以

x?0y?0limx2y2 不存在

x3?y3對于一些難以找到的路線，可以利用極坐標來證明 例4[8] 證明 limx?0y?0x2?y2不存在 22x?2yx2?y2x3證明 limlimf(x,y)?limlim2?lim2?limx?0

x?0y?0x?0y?0xx?0xx?0?2y2x2?y2y211 limlimf(x,y)?limlim2?lim?lim?x?0y?0x?0y?0x?2y2y?02y2y?022

即得

x?0y?0limx2?y2x2?y2 ?limlim2222x?0y?0x?2yx?2yx?0y?0因為兩個累次極限不想等，所以

limx2?y2 不存在 22x?2y總結(jié)

函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，也是比較難理解和掌握的部分，特別是二元函數(shù)的極限，但二元函數(shù)在多元函數(shù)微積分學(xué)中有著舉足輕重的作用，探討其存在性與求法是進一步學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分有關(guān)概念和方法的基礎(chǔ)。文中列出了利用特殊路徑猜得極限值再加以確定、由累次極限猜想極限值再加以驗證、采用對數(shù)法求極限、利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個重要極限、等價無窮小代換、利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量、多元函數(shù)收斂判別方法、變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限、極坐標代換法、用多元函數(shù)收斂判別的方法等始終二重極限的計算方法及四種二重極限不存在的證明方法。在實際解決二重極限問題時要根據(jù)題型不同選擇最優(yōu)的解題方式，不但能提高正確率也可以節(jié)省時間和工作量，達到事半功倍的效果。

參考文獻

［1］孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析[M].北京:高等教育出版社,2004.［2］張貴文,汪明凡.關(guān)于多元函數(shù)的極限[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1983.［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.［4］同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊)(五版)[M].北京:高等教育出版社，2002.［5］閻家灝.正項級數(shù)斂散性的一種審斂[J].蘭州工業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報,2004.［6］閻家灝.用極坐標變換確定二重極限的技巧及實例[J].蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué) 報,2006.［7］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1992.［8］張雅平.二重極限的幾種求法[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，（2）..10

第五篇：2018考研數(shù)學(xué)：幾個基本極限的特殊情況

為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

2018考研數(shù)學(xué)：幾個基本極限的特殊情

況

高等數(shù)學(xué)中，求函數(shù)的極限是貫穿始終的，而有一類型的求極限的題目，需要從左極限和右極限入手，即無法直接求極限，只能先求完左極限，再求完右極限，才能最終判斷函數(shù)的極限是否存在。當然了，對于具體的求極限題目，左右極限一般是相等的，不然就沒有極限。那么在什么情況下需要求左右極限呢?

同學(xué)們仔細想想，為什么要分開求呢?一次求完，不是更好嗎?這是因為不能一次求完，因為左右函數(shù)的表達式不一樣。在這里，李老師幫大家歸結(jié)為三種情況：

為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

極限來求解。當然，分成兩個極限的嘗試也沒有錯，但是如果說這兩個極限都不存在，然后下結(jié)論原題的極限也不存在，就錯了。這是因為各自的極限不存在，但和的極限可能存在。建議大家在應(yīng)對這類型的極限時，千萬要注意以上三種特殊的左右極限。

頁 共 3 頁