第一篇：2016考研數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué)之極限的計(jì)算(二)[精選]

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在考研數(shù)學(xué)中，極限這一塊所占的分值大概在10分左右，題目難度值在，算是常規(guī)題型里最簡(jiǎn)單的題目。這10分里平均大概有9.5分考查的是極限的計(jì)算。所以，在學(xué)習(xí)極限時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)掌握求極限的方法。

求極限的基本思路是：將不能直接代入的極限通過某種方式轉(zhuǎn)換成可以直接代入的極限，考試的核心考點(diǎn)就在于轉(zhuǎn)換過程。接下來，中公考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)老師曹嚴(yán)梅將介紹幾種常用的求極限的方法。

3.洛必達(dá)法則

在使用洛必達(dá)法則之前，需要注意以下兩點(diǎn)：

(1)使用之前，要先檢驗(yàn)條件。

在基礎(chǔ)階段學(xué)習(xí)時(shí)，大家只需檢驗(yàn)第一個(gè)條件就可以了。

(2)使用之前，要先化簡(jiǎn)。

化簡(jiǎn)用到最多的方法就是等價(jià)無窮小替換。

除此之外，使用洛必達(dá)法則時(shí)，會(huì)常用到以下幾個(gè)求導(dǎo)公式:

中公考研

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小結(jié)：

(1)在使用洛必達(dá)法則之前，先檢驗(yàn)條件，并采用等價(jià)無窮小替換，化簡(jiǎn)函數(shù)。

(2)求極限時(shí)，涉及到多個(gè)無窮大相加時(shí)，采用“抓大頭”的方法?！白ゴ箢^”時(shí)，要先抓類型(x→+∞時(shí)，指數(shù)函數(shù) 冪函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù))，再抓高次。

4.兩個(gè)重要極限

要求掌握兩個(gè)重要的極限：

這個(gè)極限式適用于求解 型的極限，若題目中的極限與重要極限的形式有所不同，可以通過湊形式的方法求解。

中公考研

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在考試中，凡是遇到1∞ 型的極限，都要用這種方法來計(jì)算。

小結(jié)：冪指函數(shù)求極限的未定式有三種：第一種是 1∞型，這種類型的極限采用重要極限式來求解;另外兩種是 00和 ∞0型未定式，求極限的方法是先采用對(duì)數(shù)恒等式變形，再求極限。在考試中第一種出現(xiàn)的比較多，應(yīng)重點(diǎn)掌握。

中公考研

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第二篇：高等數(shù)學(xué)-極限

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉(zhuǎn)載▼ 標(biāo)簽： 分類： 數(shù)學(xué)問題解答

雜談 知識(shí)/探索

【摘 要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助。【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過這樣一個(gè)海口，我說，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么?？?，數(shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價(jià)無窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過，需要說明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開的每一項(xiàng)極限都存在。此外等價(jià)無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進(jìn)行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o窮大與無窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。

（本文著作權(quán)歸個(gè)人所有，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系本人。）

第三篇：考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)：前事不忘后事之師

考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)：前事不忘后事之師

一轉(zhuǎn)眼就要到11月份了，離全國(guó)研子們論劍之期也是越來越近了，相信到這時(shí)候大家的復(fù)習(xí)也都應(yīng)該已經(jīng)有了個(gè)整體的規(guī)模了，在此，數(shù)學(xué)教研室根據(jù)近兩年的考試情況來對(duì)高等數(shù)學(xué)這一塊進(jìn)行簡(jiǎn)要分析對(duì)比，希望能為大家?guī)硪稽c(diǎn)啟悟。

高等數(shù)學(xué)第一章求極限，極限的計(jì)算方法，這個(gè)地方可以說是每年必考，不管是大題小題。比方2011年考的大題，2010年考小題。

第二章重點(diǎn)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，以及微分中值定理的應(yīng)用。尤其是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用特別重要。2011年考了兩個(gè)大題，一個(gè)題是考利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，另一個(gè)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式。2010年也考查了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，考大家用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與極值。

第三章最重要的是積分的計(jì)算和應(yīng)用，今年數(shù)1數(shù)2的同學(xué)考了一個(gè)大題，考積分的應(yīng)用來求做功。重點(diǎn)說一下關(guān)于數(shù)2的同學(xué)，積分的物理應(yīng)用特別重要。數(shù)

1、數(shù)

2、數(shù)3共同掌握的是積分幾何應(yīng)用。

第五章多元微分學(xué)重點(diǎn)掌握多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)、多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)，多元函數(shù)求極值、條件極值與最值。今年考了一個(gè)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的大題，2010年考的是多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)的小題，2009年考了多元函數(shù)求極值。

第六章多元函數(shù)積分學(xué)重點(diǎn)說一下，數(shù)

2、數(shù)3的同學(xué)不考曲線積分，不考曲面積分，也不考什么格林公式，需要掌握二重積分的計(jì)算，這是重點(diǎn)，可以說每年必考。2011年考的是二重積分，數(shù)

1、數(shù)

2、數(shù)3都考了。數(shù)1的同學(xué)，除了二重積分掌握以后，三重積分、一類線積分、二類線積分、一類面積分、二類面積分，以及相應(yīng)的高斯公式、格林公式，斯托克斯公式，這些也是重點(diǎn)。比方2010年考了一個(gè)一類面積分的計(jì)算。

第七章非常重要的一個(gè)考點(diǎn)是冪級(jí)數(shù)收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域的判定，另一個(gè)考點(diǎn)就是冪級(jí)數(shù)展開與求和。2011年考了一個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂域的判定。2010年考了一個(gè)大題，考的是冪級(jí)數(shù)的求和。

第八章微分方程重點(diǎn)兩個(gè)內(nèi)容，一階微分方程，二階常系數(shù)微分方程。這地方可能考大題，可能考小題。今年考了一個(gè)小題一階微分方程求解，2010年考了一個(gè)大題，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

第四篇：高等數(shù)學(xué)極限復(fù)習(xí)題

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料二

川汽院專升本極限復(fù)習(xí)題

一 極限計(jì)算

二 兩個(gè)重要極限

三 用無窮小量和等價(jià)

第五篇：高等數(shù)學(xué)極限總結(jié)

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

【摘要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助。【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過這樣一個(gè)?？?，我說，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么?？?，數(shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!

我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價(jià)無窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過，需要說明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開的每一項(xiàng)極限都存在。此外等價(jià)無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進(jìn)行）。

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。（3）“ ”形式

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o窮大與無窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來說，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。