第一篇：淺談極限對(duì)數(shù)學(xué)的意義

淺談極限對(duì)數(shù)學(xué)的意義

極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級(jí)數(shù))為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。

所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。

極限的思想由來(lái)已久.公元前三世紀(jì),古代偉大的科學(xué)家阿基米德，利用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線、橢圓面積，而公元前五世紀(jì)，我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書(shū)的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。這其中就用到了極限思想。這些早期的極限思想還很原始與樸素，但為其后極限的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

說(shuō)到極限的作用，就不得不提到微積分?？梢哉f(shuō)極限就是微積分的基礎(chǔ)，而微積分的發(fā)展是建立在極限理論發(fā)展之上的。而微積分對(duì)現(xiàn)代文明的貢獻(xiàn)之大毋庸置疑。由此極限的重要性可見(jiàn)一斑?，F(xiàn)在任何一所大學(xué)的數(shù)學(xué)系的學(xué)生都會(huì)先學(xué)極限，之后再學(xué)微積分。但歷史上微積分卻比極限產(chǎn)生的早，可以說(shuō)微積分是一個(gè)早產(chǎn)兒。這個(gè)早產(chǎn)兒在實(shí)際中應(yīng)用的非常好，但是在理論上卻是模糊不清。由此還引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。拯救危機(jī)的方法就是清晰的定義極限。

十七世紀(jì)，微積分出現(xiàn)了。領(lǐng)軍人物是兩個(gè)偉大的智者。一個(gè)家伙叫牛頓，而另一個(gè)叫萊布尼茨。牛頓通過(guò)對(duì)力的研究發(fā)明了微積分，雖然現(xiàn)在看來(lái)這樣的微積分還很原始，僅僅涉及一重，只有一個(gè)變量。但是它的意義是無(wú)可估量的。而萊布尼茨則通過(guò)對(duì)切線的研究，得到了微積分。他不僅發(fā)明了微積分，而且現(xiàn)代微積分很多符號(hào)都是他定義的，他在理論方面的研究?jī)r(jià)值巨大?？墒菬o(wú)論是牛頓，還是萊布尼茨，都有一些基本的理論問(wèn)題無(wú)法解決。而這些問(wèn)題也困擾了他們一生。

到底是什么樣的問(wèn)題呢？首先我們要來(lái)了解微積分是什么。微積分分為微分和積分。微分的定義為：設(shè)函數(shù)y = f(x)在x0的鄰域內(nèi)有定義，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx)? f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴(lài)于Δx的常數(shù)），而o(Δx0)是比Δx高階的無(wú)窮小，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是可微的，且AΔx稱(chēng)作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。其中的A就是我們高中時(shí)所學(xué)的導(dǎo)數(shù)。我們的確這樣定義了微分，可是問(wèn)題來(lái)了，什么事無(wú)窮小量，這是一個(gè)毫無(wú)概念東西，既無(wú)數(shù)學(xué)公式，又無(wú)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。至于高階無(wú)窮小量，它本身就是一個(gè)基于無(wú)窮小量的概念，沒(méi)有無(wú)窮小量，高階更無(wú)從談起。積分的定義：首先有一個(gè)連續(xù)函數(shù)......，其中分為間隔成 子區(qū)間（細(xì)分）。讓

在區(qū)間

上。讓

是任意（隨機(jī)選擇）的間隔分區(qū)

......采樣（采樣點(diǎn)）的子區(qū)間選擇。也就是說(shuō)，......，和

在

在，在，在

。定義分區(qū)網(wǎng)格最大的子區(qū)間的長(zhǎng)度。也就是說(shuō)，讓 定積分 在區(qū)間，為

是最普遍的定義為

并定義

。定積分這里同樣有問(wèn)題，mesh趨近與0到底是一個(gè)什么樣的概念呢。與0距離是多少算趨近，1,1/2，還是1/n。

后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，微積分的問(wèn)題不在本身，而在于它的理論基礎(chǔ)。十九世紀(jì)，一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)大師解決了這個(gè)問(wèn)題：柯西。法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西通過(guò)對(duì)極限的嚴(yán)格定義，來(lái)澄清微積分上的基礎(chǔ)問(wèn)題的混亂。他是這樣定義函數(shù)極限的：設(shè)f:(a,+∞)→R是一個(gè)一元實(shí)值函數(shù)，a∈R.如果對(duì)于任意給定的ε>0，存在正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式x>X的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式.│f(x)-A│<ε

則稱(chēng)數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限，記作f(x)→A(x→+∞).這樣對(duì)極限的完美定義，使得微積分一下變得清晰明了。而他對(duì)極限的定義方法，卻是用有限的數(shù)X來(lái)定義無(wú)限趨近這一概念。這樣的定義既簡(jiǎn)單，又容易讓人理解。同時(shí)也讓人們對(duì)微積分有了更深一步的認(rèn)識(shí)，為微積分的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。因?yàn)樵诙?，三重，甚至多重微積分中，直觀的感受已經(jīng)無(wú)法描述出微積分的概念。而通過(guò)極限卻可以讓人很好的理解，研究微積分。二重積分定義：設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)定義在有界閉區(qū)域D上,將區(qū)域D任意分成n個(gè)子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i個(gè)子域的面積.在Δδi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi),作和lim n→+∞(n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值λ趨于零時(shí), 此和式的極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即 ∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞（Σf(ξi,ηi)Δδi）

三重積分定義：如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)這和的極限總存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x y z)在閉區(qū)域上的三重積分。多重微積分的發(fā)展極大的推動(dòng)了科學(xué)的進(jìn)步，不光是物理學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展。工程力學(xué)，機(jī)械科學(xué)等實(shí)用性學(xué)科也發(fā)展了起來(lái)。

同時(shí)極限理論的發(fā)展導(dǎo)致了微積分的大發(fā)展。從而一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支出現(xiàn)了：數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)分析分支現(xiàn)在成為了數(shù)學(xué)系學(xué)生的必修課，而其他理工科類(lèi)也必須學(xué)習(xí)一定的數(shù)學(xué)分析知識(shí)，可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析分支是數(shù)學(xué)分支中應(yīng)用最廣的。我是數(shù)學(xué)系學(xué)生，學(xué)得一年，自我感受，數(shù)學(xué)分析整本書(shū)最重要的就是極限理論。極限的思想是無(wú)限靠近，通過(guò)有限來(lái)定義無(wú)限。這個(gè)思想貫穿了整本書(shū)。如果要問(wèn)：“數(shù)學(xué)分析是一門(mén)什么學(xué)科?”那么可以概括地說(shuō)：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科”。

總而言之，極限是數(shù)學(xué)中極其重要的一個(gè)概念，它是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物，是幾千年人類(lèi)思想的結(jié)晶。我還記得我第一次上數(shù)學(xué)分析課時(shí)老師說(shuō)過(guò)的話：“今天我們要講的內(nèi)容很重要，實(shí)際上學(xué)完這本書(shū)后你會(huì)發(fā)現(xiàn)這本書(shū)實(shí)際上就講了這么一個(gè)概念：極限?！?/p>

第二篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·數(shù)學(xué)歸納法·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力．

2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟． 3．抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析． 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引入

師：從今天開(kāi)始，我們來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法．什么是數(shù)學(xué)歸納法呢？應(yīng)該從認(rèn)識(shí)什么是歸納法開(kāi)始．

（板書(shū)課題：數(shù)學(xué)歸納法）

（二）什么是歸納法（板書(shū)）

師：請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)．

問(wèn)題1：這里有一袋球共十二個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問(wèn)怎么辦？（可準(zhǔn)備一袋白球、問(wèn)題用小黑板或投影幻燈片事先準(zhǔn)備好）生：把它倒出來(lái)看一看就可以了．

師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做？ 生：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)． 師：對(duì)．問(wèn)題的結(jié)果是什么呢？（演示操作過(guò)程）

第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，??，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白球．

特點(diǎn)嗎？

生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法． 特點(diǎn)是由特殊→一般（板書(shū)）．

師：很好！其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法我們?cè)缇徒佑|到了．例如，給出數(shù)列的前四項(xiàng)，求它的一個(gè)通項(xiàng)公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式用的也是歸納法，今后的學(xué)習(xí)還會(huì)看到歸納法的運(yùn)用．

在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法．

還應(yīng)該指出，問(wèn)題1和問(wèn)題2運(yùn)用的歸納法還是有區(qū)別的．問(wèn)題1中，一共12個(gè)球，全看了，由此而得到了結(jié)論．這種把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱(chēng)為完全歸納法．對(duì)于問(wèn)題2，由于自然數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項(xiàng)體現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行推測(cè)，得出結(jié)論的，這種歸納法稱(chēng)為不完全歸納法．

（三）歸納法的認(rèn)識(shí)（板書(shū)）

歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書(shū)）． 師：用不完全歸納法既然要推測(cè)，推測(cè)是要有點(diǎn)勇氣的，請(qǐng)大家鼓起勇氣研究問(wèn)題3．

資料1（事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀）

費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)． 但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n=0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．

18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)．

師：有的同學(xué)說(shuō)，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無(wú)法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上！再請(qǐng)看數(shù)學(xué)史上的另一個(gè)資料（仍由學(xué)生閱讀）：

師：算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說(shuō)世界級(jí)大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說(shuō)歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來(lái)． 師：歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)呢？ 生：完全歸納法不會(huì)出錯(cuò)．

師：對(duì)！但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會(huì)出錯(cuò)呢？ 生：由于用不完全歸納法時(shí)，一般結(jié)論的得出帶有猜測(cè)的成份． 師：完全同意．那么怎么辦呢？ 生：應(yīng)該予以證明．

師：大家同意吧？對(duì)于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)．對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明．

（四）歸納與證明（板書(shū)）

師：怎么證明呢？請(qǐng)結(jié)合以上問(wèn)題1思考．

生：?jiǎn)栴}1共12個(gè)球，都看了，它的正確性不用證明了．

師：也可以換個(gè)角度看，12個(gè)球，一一驗(yàn)看了，這一一驗(yàn)看就可以看作證明．?dāng)?shù)學(xué)上稱(chēng)這種證法為窮舉法．它體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想．

師：如果這里不是12個(gè)球，而是無(wú)數(shù)個(gè)球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那么怎么證明呢？

（稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來(lái)）

師：這類(lèi)問(wèn)題的證明確不是一個(gè)容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀．第一個(gè)正式研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科．他運(yùn)用遞推的思想予以證明． 結(jié)合問(wèn)題1來(lái)說(shuō)，他首先確定第一次拿出來(lái)的是白球． 然后再構(gòu)造一個(gè)命題予以證明．命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來(lái)的是白球”，結(jié)論是“下一次拿出來(lái)的也是白球”．

這個(gè)命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個(gè)條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性． 大家看，是否證明了上述兩條，就使問(wèn)題得到解決了呢？

生：是．第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第四次、??拿出的都是白球．

師：對(duì)．它使一個(gè)原來(lái)無(wú)法作出一一驗(yàn)證的命題，用一個(gè)推一個(gè)的遞推思想得到了證明． 生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來(lái)嗎？ 生：一排排放很近的自行車(chē)，只要碰倒一輛，就會(huì)倒下一排． 生：再例如多米諾骨牌游戲．（有條件可放一段此種游戲的錄相）

師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠?jī)蓷l：

（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒．

用這種思想設(shè)計(jì)出來(lái)的，用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法．

（五）數(shù)學(xué)歸納法（板書(shū)）

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問(wèn)題2推測(cè)而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？ 生：先證n=1時(shí)，公式成立（第一步）；

再證明：若對(duì)某個(gè)自然數(shù)（n=k）公式成立，則對(duì)下一個(gè)自然數(shù)（n=k+1）公式也成立（第二步）． 師：這兩步的證明自己會(huì)進(jìn)行嗎？請(qǐng)先證明第一步．

師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的基本要求． 師：請(qǐng)小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟． 生：共兩步（學(xué)生說(shuō)，教師板書(shū)）：（1）n=1時(shí)，命題成立；

（2）設(shè)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．

師：其實(shí)第一步一般來(lái)說(shuō)，是證明開(kāi)頭者命題成立．例如，對(duì)于問(wèn)題3推測(cè)得的命

（若有時(shí)間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無(wú)時(shí)間可布置學(xué)生課下思考）

（六）小結(jié)

師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：

（1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法．

（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種．（3）由于不完全歸納法中推測(cè)所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行．（4）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步．

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開(kāi)始學(xué)習(xí)．

（七）課外作業(yè)

（1）閱讀課本P112～P115的內(nèi)容．（2）書(shū)面作業(yè)P115練習(xí)：1，3． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．對(duì)方法作簡(jiǎn)單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說(shuō)明二步缺一不可．你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋?zhuān)蓪W(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來(lái)的問(wèn)題，等等．為此，我們?cè)O(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來(lái)．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開(kāi)始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．

數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過(guò)程分二個(gè)階段，第一階段從對(duì)歸納法的認(rèn)識(shí)開(kāi)始，到對(duì)不完全歸納法的認(rèn)識(shí)，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí)，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對(duì)策醞釀，從介紹遞推思想開(kāi)始，到認(rèn)識(shí)遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束． 把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對(duì)理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來(lái)指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過(guò)程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試． 2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過(guò)程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問(wèn)題開(kāi)始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動(dòng)中來(lái)，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，把課題的研究?jī)?nèi)容落于問(wèn)題中，在逐漸展開(kāi)中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究．

3．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件．

第三篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法專(zhuān)題

數(shù)

列

專(zhuān)

題

復(fù)

習(xí)

選題人：董越

【考點(diǎn)梳理】

一、考試內(nèi)容

1.數(shù)列，等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。2.等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。3.數(shù)列的極限及其四則運(yùn)算。4.數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用。

二、考試要求

1.理解數(shù)列的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前n項(xiàng)和。

2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能夠應(yīng)用這些知識(shí)解決一些問(wèn)題。

3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決一些問(wèn)題。

4.了解數(shù)列極限的定義，掌握極限的四則運(yùn)算法則，會(huì)求公比的絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限。

5.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析

1.數(shù)列及相關(guān)知識(shí)關(guān)系表

2.作用地位

（1）數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，是定義在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函數(shù)。對(duì)于等差數(shù)列而言，可以把它看作自然數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項(xiàng)和是自然數(shù)n的“二次函數(shù)”。等比數(shù)列可看作自然數(shù)n的“指數(shù)函數(shù)”。因此，學(xué)過(guò)數(shù)列后，一方面對(duì)函數(shù)概念加深了了解，拓寬了知識(shí)范圍；另一方面也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)級(jí)數(shù)的知識(shí)和解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)際問(wèn)題打下了基礎(chǔ)。

（2）數(shù)列的極限這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，教給了學(xué)生“求極限”這一數(shù)學(xué)思路，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)作好準(zhǔn)備。

（3）數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)論證方法，學(xué)習(xí)了這部分知識(shí)后，又掌握了一種新的數(shù)學(xué)論證方法，開(kāi)拓了知識(shí)領(lǐng)域，學(xué)會(huì)了新的技能；同時(shí)通過(guò)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)又學(xué)到一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜

合、抽象、概括等思維能力，都有很好的效果。

（4）數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法這部分知識(shí)，在高考中占有相當(dāng)?shù)谋戎?。這部分知識(shí)是必考的內(nèi)容，而且?guī)缀趺磕暧幸坏谰C合題。

3.等差數(shù)列

（1）定義：an+1－an=d(常數(shù)d為公差)

（2）通項(xiàng)公式：an=a1+(n－1)d（3）前n項(xiàng)和公式：Sn=

n(a1?an)n(n?1)=na1+d（4）通項(xiàng)公式推廣：an=am+(n－m)d

224.等差數(shù)列{an}的一些性質(zhì)

（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1－an=a2－a1（2）{an}的通項(xiàng)公式：an=（a2－a1）n+(2a1－a2)（3）對(duì)于任意正整數(shù)p,q,r,s,如果p+q=r+s，則有ap+aq=ar+as（4）對(duì)于任意正整數(shù)p,q,r,如果p+r=2q,則有ap+ar=2aq（5）對(duì)于任意正整數(shù)n>1，有2an=an－1+an+1

（6）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b，若數(shù)列{ban}是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}也是等差數(shù)列（7）已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則{an±bn}也是等差數(shù)列（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差數(shù)列

（9）S3m=3（S2m－Sm）

（10）若Sn=Sm(m≠n)，則Sm+n=0（11）若Sp=q,Sq=p，則Sp+q=－(p+q)(p≠q)

（12）Sn=an2+bn，反之亦成立 5.等比數(shù)列（1）定義：an?1－=q(常數(shù)q為公比)

（2）通項(xiàng)公式：an=a1qn1 anq?1q?

1特別注意q=1時(shí)，Sn=na1這一特殊情況。

－m（3）前n項(xiàng)和公式

?na1?Sn=?a1(1?qn)?1?q?（4）通項(xiàng)公式推廣：an=am·qn6.等比數(shù)列{an}的一些性質(zhì)（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，均有

an?1a2= ana1（2）對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r、s，只要滿(mǎn)足p+q=r+s，則ap·aq=ar·as（3）對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r，如果p+r=2q，則ap·ar=aq2（4）對(duì)任意正整數(shù)n>1，有an2=an－1·an+1（5）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b,{ban}也是等比數(shù)列

（6）已知{an}、{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列（7）如果an>0，則{logaan}是等差數(shù)列

（8）數(shù)列{logaan}成等差數(shù)列，則an成等比數(shù)列

（9）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比數(shù)列 7.數(shù)列極限

（1）極限的定義“ε—N”

（2）極限的四則運(yùn)算

若liman=A，lim bn=B，則

n??n?? 2

lim(an±bn)= liman±limbn=A±B

lim（an·bn）=liman·limbn=A·B n??n??n??n??n??n??lim（an/bn）=liman/limbn=n??n??n??A(B≠0)B（3）兩個(gè)重要極限

c?0|r|?1?0?01??①limc=?c?0

②limrn=?1

r?1 n??nn???不存在?不存在c?0|r|?1或r??1??中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)列求極限最終都化成這兩類(lèi)的極限問(wèn)題。由①我們可以得到多項(xiàng)式除多項(xiàng)式的極限。

?a0?b p?q0a0np?a1np?1???ap??lim=?0 p?q

其中p,q∈N,a0≠0，b0≠0。n??bnq?bnq?1???a01q?不存在 p?q???（4）無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式

S=limSn=

n??a1（|q|<1）1?q應(yīng)用：化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)。8.遞歸數(shù)列

數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿(mǎn)足的等量關(guān)系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱(chēng)為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列{2?1}即為遞歸數(shù)列。

遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說(shuō)來(lái)有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）迭代法。

（3）代換法。包括代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代換，三角代換。

（4）作新數(shù)列法。最常見(jiàn)的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)解決問(wèn)題。9.數(shù)列求通項(xiàng)與和 n?sn?sn?1n?2（1）數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=?

sn?1?1（2）求通項(xiàng)常用方法

①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列。

②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1 ③歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項(xiàng)和 ①重要公式

1+2+…+n=13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=

11n(n+1)

12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)261

2n(n+1)2 4 3

②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd ③等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ④裂項(xiàng)求和

將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)，如：

1111=－

n·n！=(n+1)!－n!

=cotα－cot2α

sin2αn(n?1)nn?1Cn－1r1=Cnr－Cn－1r

－

1n1=－等。n!(n?1)!(n?1)!⑤錯(cuò)項(xiàng)相消法

對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相消法。⑥并項(xiàng)求和

把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn。

數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。10.數(shù)學(xué)歸納法

（1）數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°p(n0)成立（奠基）；

2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，若可以推出P（k+1）成立（歸納），則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立。

（2）數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法適用于有關(guān)自然數(shù)n的命題。具體來(lái)講，數(shù)學(xué)歸納法常用來(lái)證明恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾可中計(jì)數(shù)問(wèn)題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等。

四、思想方法

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法中，主要注意如下的基本思想方法：

1.分類(lèi)討論思想。如等比數(shù)列的求和分公比等于1和不等于1兩種情形；已知數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)分n=1和n≥2兩種情形；求極限時(shí)對(duì)兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行大小比較的討論等。

2.函數(shù)思想。將數(shù)列視為定義域?yàn)樽匀粩?shù)或其子集的函數(shù)。

3.數(shù)形結(jié)合思想。如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式分別視為直線、二次曲線的方程。

4.轉(zhuǎn)化思想。如將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列。5.基本量思想。如把首項(xiàng)及公差、公比視為等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量。6.構(gòu)造思想。如由舊數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列。

7.特殊化思想。為研究一般問(wèn)題可先退化到特殊問(wèn)題的研究。在這部分內(nèi)容中，處處充滿(mǎn)了由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無(wú)限的辯證法，這就要求我們?cè)谒伎紗?wèn)題時(shí)要用辯證的觀點(diǎn)，由具體認(rèn)識(shí)抽象，由特殊窺見(jiàn)一般，由有限逼近無(wú)限。其中，我們常用的“歸納——猜想——證明”法就體現(xiàn)了這一點(diǎn)。

8.一般化思想。為研究一個(gè)特殊問(wèn)題，我們先研究一般的情形。我們采用的數(shù)學(xué)歸納法，就主要體現(xiàn)一般化思想，先證命題對(duì)一般值成立，然后再證對(duì)每一個(gè)特殊的n值也成立。

第四篇：2018考研數(shù)學(xué)：二重極限

東莞中公教育

2018考研數(shù)學(xué)：二重極限

以下是中公考研數(shù)學(xué)研究院的老師為大家整理了2018考研數(shù)學(xué):二重極限的題型講解，供大家復(fù)習(xí)參考。

高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是函數(shù)，而極限則是研究函數(shù)的最重要的工具，對(duì)于一元函數(shù)如此，對(duì)于多元函數(shù)亦是如此。那么在學(xué)習(xí)多元微分學(xué)之前，首先來(lái)認(rèn)識(shí)多重極限的概念，在此以二重極限為例進(jìn)行說(shuō)明。東莞中公教育

2.考試要求會(huì)計(jì)算二重極限，最直接的想法就是一元函數(shù)求極限的方法中哪些還可以繼續(xù)使用，其中四則運(yùn)算法則，等價(jià)無(wú)窮小替換和夾逼定理及其推論(無(wú)窮小量乘以有界量等于無(wú)窮小量)可以使用。

【注記】1.取路徑的方法只是用來(lái)驗(yàn)證函數(shù)的極限不存在，不能用于求極限。并且路徑一般取為直線，便于計(jì)算。

2.考試不會(huì)直接考查二重極限的計(jì)算，而是在研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可微性的時(shí)候需要計(jì)算二重極限。

最后，中公考研祝全體考生考研成功!

第五篇：數(shù)學(xué)中常用極限方法總結(jié)

【1】 忽略高階無(wú)窮小方法。

很多極限看起來(lái)很復(fù)雜，而且也不好使用洛必達(dá)法則，但是如果忽略掉次要部分，則會(huì)很容易計(jì)算。

比如

再比如斐波那契數(shù)列，忽略掉比x低的無(wú)窮小項(xiàng)后為√x / √2x = 1/√2

忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要項(xiàng)后，可以求得lim a(n+1)/a(n)=(1+√5)/2

再比如 lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))當(dāng)x->∞的時(shí)候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高階無(wú)窮小 所以lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)

= lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/ 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞)e^x / 2e^x =1

【2】 取對(duì)數(shù)與洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則是求極限的時(shí)候用的最多的方法，但是很多題目都會(huì)饒下彎子，需要先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行一些變形，否則計(jì)算起來(lái)會(huì)越來(lái)越煩，常見(jiàn)的的代換包括取對(duì)數(shù)，等價(jià)無(wú)窮小代換，省略高階無(wú)窮小部分，在用完這些方法后，再使用洛必達(dá)法則，可以有效的解決這類(lèi)問(wèn)題。

比如

這個(gè)直接用等價(jià)無(wú)窮小代換后會(huì)因?yàn)閾p失了高階無(wú)窮小導(dǎo)致結(jié)果不正確，取對(duì)數(shù)后就會(huì)化成容易計(jì)算的形式了 lim(x->∞)x^2*ln(1+1/x)1)/ 2t =-1/2 所以原式極限為e^(-1/2)

再比如 tanx ^(1/lnx)在x->0+的時(shí)候的極限 這個(gè)極限是0^∞的形式

直接取對(duì)數(shù)得 ln(tanx)/ lnx，現(xiàn)在是∞/∞的形式

用洛必達(dá)法則得 = x /(sinx cosx)= x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0+的時(shí)候的極限為e

【3】 常用等價(jià)無(wú)窮小

經(jīng)常用到的等價(jià)無(wú)窮小有

(1)tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x)~ acsinh(x)~ x(x->0)(2)1-cosx ~ x^2/2(x->0)(3)e^x1 ~ ax(x->0)(6)esinx)/ x^3在x->0處的極限，這個(gè)可以使用多次洛必達(dá)求得，或提取sinx后用兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小代換，也可以用tanx和sinx的級(jí)數(shù)代入求得 =(x+x^3/3 + O(x^4)(13 x^7)/210 + O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為x + x^3/3 + x^5/302)/ x^2在 x->0處的極限 用泰勒公式就比較簡(jiǎn)單

√(1+x)~ 1+x/2x/2x^2/4(e x)/2 +(11 e x^2)/24 + O(x^3)(1+1/x)^x在x=0處的級(jí)數(shù)展開(kāi)為1-x lnx +(1+(lnx)^2)x^2 + O(x^3)

【6】 中值定理

有些極限用常見(jiàn)的方法處理比較困難，但是可以很容易的看出這是某個(gè)函數(shù)在兩個(gè)很近的點(diǎn)處的割線的斜率或兩個(gè)點(diǎn)之間的面積，那么這個(gè)時(shí)候可以考慮使用微分中值定理或積分中值定理。

比如求sin(√(x+1)sin√x)/(√(x+1)-√x)所以lim(sin(√(x+1)arctan a/(x+1))在x->∞處的極限

令f(x)= arctan a/x那么存在x< ξ

由于x^2/(a^2+(x+1)^2)< x^2/(a^2+ξ^2)< x^2 /(a^2+x^2)，取極限得1 <= lim x^2/(1+ξ^2)<= 1 所以原式極限是a

再比如求(Pi/2arctanx = ∫ 1/(1+t^2)dt(積分限為[x,∞])所以存在x<ξ<∞使得 ξ/(1+ξ^2)= Pi/2(n-1)^(k+1)] =n^k / [ n^(k+1)C(k+1,2)n^(k-1)+....] =n^k / [C(k+1,1)n^kln(n!)+ n ln(n))/(n+1-n)=lim [ ln(n+1)ln(n+1)+ n ln(n)] =lim n * ln(n/(n+1))=-1

【8】 利用定積分的數(shù)值公式

有些求和的極限用夾擠定理只能得到級(jí)數(shù)收斂，但不能求出具體的極限值，而一些題剛好是利用定積分的數(shù)值公式（主要是矩形公式）分解而來(lái)，這個(gè)時(shí)候可以考慮湊定積分的方式來(lái)對(duì)級(jí)數(shù)求和。

比如求

可以寫(xiě)成1/n ∑1/(1+(k/n)^2)

所以這個(gè)剛好是1/(1+x^2)在[0,1]上的定積分 所以極限為Pi/4

再如上面出現(xiàn)過(guò)的(1^k+2^k+...+n^k)/ n^(k+1)這個(gè)可以寫(xiě)成1/n ∑(i/n)^k

所以可以看成是 x^k在[0,1]上的定積分 所以極限是1/(k+1)

【9】 利用級(jí)數(shù)展開(kāi)

某些涉及到求和的極限可能剛好是某個(gè)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)的特殊值 比如交錯(cuò)級(jí)數(shù) 1-1/2+1/3-1/4+...這個(gè)剛好是ln(1+x)= xx^4/4 +...在x=1處的值 所以極限是ln2 而對(duì)于其他一些級(jí)數(shù)也可能是函數(shù)展開(kāi)的特殊值 比如1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^ + 1/n^2 +...考慮正弦函數(shù)的無(wú)窮積展開(kāi)為 sinx = x ∏(1-x^2/k^2Pi^2)取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)數(shù)得

Cot[x] = 1/x1/4 + 1/7-1/11 +...(-1)^(3k+1)/(3k+1)+....也是可以計(jì)算出來(lái)的，結(jié)果留給你們算