第一篇：十三章數(shù)學(xué)歸納法極限排列組合

重慶南開中學(xué) 吳劍qq13615357wuwujianjian_@163.com

（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：

求證：當(dāng)n?1時(shí)，我就不說了。

假設(shè)當(dāng)n?

k時(shí)成立，既xk?()

那么當(dāng)n?k?1時(shí)，121211xk?1?xk?xk?1?(xk?(xk?2)?(xk?(xkxk?xk?xk)

222212k?1成立，由歸納假設(shè)xk?

()1

2k?1，所以只需要證?11xk)?，22

既只需要證1?xk?3,①。因?yàn)閤k??12133xk?1?xk?1?1??(xk?1?1)2??

xk?3（A）2222

因?yàn)橛蓺w納假設(shè)，1xk?()k?1成立，所以有

111?()k?1?xk()k?1?xk?

又1?2(222

由（A），（B）兩式知①式成立。

由歸納法原理，成立。

（2）數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

k?1，所以1?xkB）

前兩個(gè)我就不求

(2)都是正數(shù)，直接兩邊除以兩個(gè)的積（呵呵，看到11與了這就是常用處理）an?1an

那就有了1a111a??2n?1，因?yàn)閍n?an?1?2a2n?1?an?an?1?0，所以n?1?1 nan?1annanan呵呵，則111??2 an?1ann

重慶南開中學(xué) 吳劍qq13615357wuwujianjian_@163.com

（3）直接數(shù)學(xué)歸納法證。開始不說了。

假設(shè)k?112?ak?k，則當(dāng)n?k?1時(shí)。ak?1?ak?ak，考慮二次函數(shù)2k?2(k?1)

y?k?112?x?k時(shí)，函數(shù)增，所以 的單調(diào)性可得當(dāng)x?xk?2(k?1)2

k?11(k?1)21??a?k?k2，呵呵，下面只需要證 k?1222k?2(k?1)(k?2)(k?1)

k?2k?111，??k?k2?k?1即可，很簡(jiǎn)單了，直接算。22k?3k?2(k?1)(k?1)

這題我感覺能用數(shù)學(xué)歸納法來做應(yīng)該是倒數(shù)第二道的檔次。還有，利用遞推關(guān)系證明不等式時(shí)，常?？梢杂脭?shù)學(xué)歸納法，k到k+1那步就可以利用函數(shù)單調(diào)性，如我的方法。3問另法放縮。

111111111??(?)???(?)?1?2?2???2a0ana0a1an?1an23n

?1?111????2?1?2(n?1)nn．又a0?1

2所以an?n又

121n2?n?1n2

an?an?1?2an?1?an?1?2(n?1)an?1?an?1所以an?1?2an故nnn2n?n?1

1121n2

anan?1.∴an?an?1?2an?1?an?1?2an?1?2an=an?1?2n?n?1nnn?n?1

n?1111111 ??2?2??.同理利用累加可得an?n?2an?1ann?n?1n?nnn?1

綜合以上知n?1?an?n.n?2

（3）數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)解不出的遞推關(guān)系的通項(xiàng)。

已知數(shù)列?an?中，a1?3，an?3n?1，求證，an?4m?3（m是非負(fù)整數(shù)）a

分析：這題是一個(gè)數(shù)列遞推關(guān)系問題，和以前我們能夠解出的遞推關(guān)系不一樣，是無法求解的。不過看題目并不是要求通項(xiàng)，只是證明通項(xiàng)是一個(gè)給出的形式，故可采用歸納法證明。

證明：當(dāng)n?1時(shí)，a1?3?4?0?3，成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak?4p?3，p是非負(fù)整數(shù)。

那么當(dāng)n =k+1時(shí)。

01224p?34P?3 ak?1?34p?3?(1?2)4p?3?C4?C*2?C*2?....?Cp?34p?34p?34p?32

24p?34P?124p?34P?1=1?8p?6?4(C4)=3?8p?4?4(C4)p?3?....?C4p?32p?3?....?C4p?32

24p?34P?124p?34P?1=3?4(2p?1?C4是非負(fù)整數(shù)，)顯然2p?1?C4p?3?....?C4p?32p?3?....?C4p?32

所以命題成立。

(4)換元思想求函數(shù)極限

（5）數(shù)學(xué)歸納法證明一數(shù)列不等式。有點(diǎn)難度

a1?2,an?1?2?n,求證:an?1?an

當(dāng)n?1時(shí)，成立，為了后面方便，多算個(gè)n=2吧

假設(shè)當(dāng)n?k，(k?

2)時(shí)都成立，既ak?1ak?1?1

當(dāng)n?k?1時(shí)，ak?1?2?kak?1kk1k(k?1)?2??2??2?[k?] ak2a?(k?1)22a(k?1)k?1k?12?ak?1

易知k(k?1)?0，又ak?1?1

2ak?1(k?

1)

1?2?[k?2 2

下只需要證

2??1??k?1?k2?2k?2(k?k?2?k2?2k1)?k?1

?1?0

所以成立。（這里用假設(shè)n?k，是因?yàn)橹苯佑眠B續(xù)兩項(xiàng)關(guān)系的話放縮方向始終不對(duì)）

還可以證明一個(gè)加強(qiáng)命題，1?an?1

（6）組合從集合｛1，2，3.....，15｝中取出4個(gè)不同的元素，是其中一個(gè)元素的三倍等于其他三個(gè)

元素之和（如1，6，7，10，就是一種取法），則這樣的取法種數(shù)有

A106B96C155D125

解：題目可變?yōu)槌槿齻€(gè)數(shù)字，和為3的倍數(shù)，且三數(shù)不是等差數(shù)列。

（分析：第四個(gè)數(shù)實(shí)際上抽好那三個(gè)，他就定了，只是第四個(gè)數(shù)不能是已經(jīng)選好的前3個(gè)數(shù)，所以，前三個(gè)數(shù)就不能是等差，否則前三數(shù)的中間一個(gè)就是第四個(gè)，就矛盾了）

余0：3，6，9，12，15

余1：1，4，7，10，13

余2：2，5，8，11，14，（1）若三數(shù)來自于同一類，方法是3?C53?30，（2）若三數(shù)來自不同類，則只能一類取一個(gè)則總數(shù)5

則總共有30+125=155個(gè)。

但是這里面有很多是等差數(shù)列的，有多少個(gè)等差數(shù)列的情況呢？

注意到只要三數(shù)成等差數(shù)列，則三數(shù)和一定是3的倍數(shù)，所以我們?cè)谒阒澳?55個(gè)的時(shí)候里面包含了所有的等差數(shù)列，則在1—15這些數(shù)里選三數(shù)成等差數(shù)列共有C72?C82?49個(gè)，（只需要在7個(gè)偶數(shù)中選2個(gè)作為兩頭的數(shù)，等差中項(xiàng)就有了。8個(gè)奇數(shù)同樣，或者按公差分類數(shù)也行，13+11+9+。。+1=49）

所以滿足條件的為155-49=106

第二篇：高數(shù)極限習(xí)題

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

典型例題分析

客觀題

例 1 設(shè)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),a,b為常數(shù),則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?()

f?(x0)Aabf?(x0)

B(a?b)f?(x0)

C(a?b)f?(x0)

D

答案 C

解

f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x

f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim

?alim

?x?0?x?0b?xa?x

?(a?b)f?(x0)

例2（89303）設(shè)f(x)在x?a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,則f(x)在x?a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）1????f(a?2h)?f(a?h)(A)limh?f?a???f(a)?存在(B)lim存在h?0h???hh????(C)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(D)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 D

解題思路

(1)對(duì)于答案(A)，不妨設(shè)

1h??x，當(dāng)h???時(shí)，?x?0，則有

?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在，這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導(dǎo)數(shù)存在,它并不是可導(dǎo)的充分條件,故(A)不對(duì).?(2)對(duì)于答案(B)與(C),因所給極限式子中不含點(diǎn)a處的函數(shù)值f(a)，因此與導(dǎo)數(shù)概念不相符和.例如，若取

?1,x?af(x)??

0,x?a?則(B)與(C)兩個(gè)極限均存在，其值為零，但limf(x)?0?f(a)?1，從而f(x)在x?ax?a處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，這就說明(B)與(C)成立并不能保證f?(a)存在，從而(B)與(C)也不對(duì).(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價(jià)的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h

h?0?x所以條件D是f?(a)存在的一個(gè)充分必要條件.例3(00103)設(shè)f(0)?0,則f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo)的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(A)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(B)lim1h1hh?0f(1?e)存在

h(C)limh?02f(h?sinh)存在(D)limh?0?f(2h)?f(h)?存在

答案 B

解題思路

(1)當(dāng)h?0時(shí), 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有

?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當(dāng)h?0時(shí),u?0,所以

f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是

?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)

1h2這就是說由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當(dāng)h?0時(shí),恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?

(2)當(dāng)h?0時(shí), 1?e??h?o(h),于是

hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)

h?0 由于當(dāng)h?0時(shí), ?h?o(h)既能取正值,又能取負(fù)值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價(jià)的.因而

極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價(jià).(3)當(dāng)h?0時(shí), 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo)一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo).h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數(shù)f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解題思路 當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對(duì)值號(hào)時(shí),不可導(dǎo)的點(diǎn)就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)零點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn).因此需要分別考察函數(shù)在點(diǎn)x0?0,x1?1,x2??1考察導(dǎo)數(shù)的存在性.解 將f(x)寫成分段函數(shù):

23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫成分段函數(shù):

22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到

f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2

??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2

??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0

?limx(x?1)(x?x?2)?0

綜合上述分析,f(x)有兩個(gè)不可導(dǎo)的點(diǎn).例5(95103)設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),F(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是F(x)在x?0處可導(dǎo)的()

(A)必要但非充分條件

(B)充分但非必要條件

(C)充分且必要條件

(D)既非充分也非必要條件

答案 C

分析 從F(x)在x?0的導(dǎo)數(shù)定義著手.將F(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解

F(x)?F(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limF??(0)?lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f?(0)?f(0)

f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|F(x)?F(0)?lim?limF??(0)?lim

???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)

于是推知F??(0)?F??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設(shè)函數(shù)f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數(shù)n?().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解題思路 應(yīng)先去掉f(x)中的絕對(duì)值,將f(x)改寫為分段函數(shù)

?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0

?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32

?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0

?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0

f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0

所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12

x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24

x?0(n)(0)存在的最高階數(shù)是2.x?0?lim24x?0

例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點(diǎn)x?0的情況.例8(96203)設(shè)??0,f(x)在區(qū)間(??,?)內(nèi)有定義，若當(dāng)x?(??,?)時(shí)，恒有f(x)?x，則x?0必是f(x)的（）

(A)間斷點(diǎn)，(B)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)，(C)可導(dǎo)的點(diǎn)，且2f'(0)?0

(D)可導(dǎo)的點(diǎn)，且f'(0)?0

答案

C

解 由題目條件易知f(0)?0,因?yàn)?/p>

|所以由夾逼定理

f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|

2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0

于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0, 則f?(0)為（）

例9(87103)設(shè)f(x)??x?0,x?0.?

1(A)0

(B)

(C)1

(D)?1

2答案

(C)

解題思路

因f(x)為分段函數(shù),故它在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按導(dǎo)數(shù)的定義，又由于是未定式,可用洛必達(dá)法則求極限.200型解

1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x

2當(dāng)u?0時(shí),e ?1與u是等價(jià)無窮小,所以當(dāng)x?0時(shí),1?e與x是等價(jià)無窮小.因而

2lim1?ex?x2x?02?1

12,則?x?0時(shí),f(x)在x0處的微分dy與

例10(88103)設(shè)f(x)可導(dǎo)且f?(x0)??x比較是()的無窮小.(A)等價(jià)(B)同階(C)低階(D)高階

答案 B

解題思路

根據(jù)y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0

例11(87304)函數(shù)f(x)??在x?0處（）x?x?0?0,dy

(A)連續(xù),且可導(dǎo)

(B)連續(xù),不可導(dǎo)

(C)不連續(xù)

(D)不僅可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)也連續(xù)

答案 B

解題思路

一般來說,研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),應(yīng)當(dāng)分別考察函數(shù)的左右極限;在具備連續(xù)性的條件下,為了研究分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性,應(yīng)當(dāng)按照導(dǎo)數(shù)定義,或者分別考察左右導(dǎo)數(shù)來判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在.因此,本題應(yīng)分兩步:(1)討論連續(xù)性;(2)討論可導(dǎo)性.解(1)討論函數(shù)在點(diǎn)x?0處的連續(xù)性

1?0?f(0),可知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?0處是連續(xù)的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x

(2)討論函數(shù)在點(diǎn)x?0處的可導(dǎo)性

1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin

由于lim不存在,所以,函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導(dǎo).??x

例12 設(shè)f(x)????p必須滿足（）p1sin01x,x?0,x?0 在點(diǎn)x?0可導(dǎo),但是f?(x)導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x?0不連續(xù),則

A0?p?1

B1?p?2

C0?p?2

D1?p?答案 B

解題思路

(1)當(dāng)p?1時(shí),下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當(dāng)p?1時(shí), x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1

x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0

x?0xx這就是說,只有當(dāng)p?1時(shí), f?(0)才存在,所以選項(xiàng)A,C可以被排除.(2)當(dāng)p?1時(shí)

0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當(dāng)且僅當(dāng)p?2?0,即p?2時(shí),limf?(x)?0?f?(0),所以當(dāng)且僅當(dāng)1?p?2時(shí)，x?0f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo),但是f?(x)在點(diǎn)x?0不連續(xù).例13(95403)設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為（）(A)2,(B)?2,(C),(D)?1

答案 B

解 記?u??x,則有

f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2

例1

4設(shè)y?ln(1?2x),則y

(A)(10)?()

9!(1?2x)10

(B)?9!(1?2x)10

(C)10!?2910(1?2x)

(D)?9!?21010(1?2x)

答案 D

解題思路

求高階導(dǎo)數(shù)的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導(dǎo)數(shù);找出規(guī)律,即可寫出高階導(dǎo)數(shù).?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)

22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3

y(10)??9!?21010(1?2x).例17

(90103)設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù),且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解題思路 這是一個(gè)求高階導(dǎo)數(shù)的問題,涉及到求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

由f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f?(x)?f(x),可知

2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)

34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)

注意(1)當(dāng)n?1,n?2時(shí)雖然(B)也正確,但當(dāng)n?2就不正確了,所以將(B)排除之;

?222(2)在求導(dǎo)數(shù)f(x)時(shí),可將函數(shù)f(x)看成是由y?t與t?f(x)復(fù)合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學(xué)者可能會(huì)這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個(gè)因子f?(x).則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,故f(x)222

例18(91303)若曲線y?x?ax?b和2y??1?xy在點(diǎn)(1,?1)處相切，其中

23a,b是常數(shù),則（）(A)a?0,b??

2(B)a?1,b??3

(C)a??3,b?

1(D)a??1,b??1

答案 D

解題思路

兩曲線在某點(diǎn)相切就是指兩曲線在此公共點(diǎn)處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應(yīng)相等.解

曲線y?x?ax?b在點(diǎn)(1,?1)處的斜率是

2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a

另一條曲線是由隱函數(shù)2y??1?xy確定,該曲線在點(diǎn)(1,?1)處的斜率可以由隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到: 對(duì)于方程2y??1?xy兩邊求導(dǎo)得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線在點(diǎn)(1,?1)處的斜率為

k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1

x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設(shè)f(x),g(x)定義在(?1,1)，且都在x?0處連續(xù)，若?g(x)?x?0f(x)??x，則（）?x?0?2(A)limg(x)?0且g'(0)?0，(B)limg(x)?0且g'(0)?1

x?0x?0(C)limg(x)?1且g'(0)?0

(D)limg(x)?0且g'(0)?2

x?0x?0 答案 D

解題思路 分析函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并運(yùn)用f(x)在x?0處連續(xù)這一關(guān)鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續(xù),于是必有l(wèi)imf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有l(wèi)img(x)?0.于是又有g(shù)?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設(shè)f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g(shù)?(x)是有界函數(shù),則f(x)在x?0處()(A)極限不存在(B)極限存在,但不連續(xù)

(C)連續(xù),但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)

答案 D

解題思路

若能首先判定f(x)在x?0處可導(dǎo),則(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)

2x22?0

(x?0時(shí)1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù),因而 f(x)在x?0處可導(dǎo).x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0（g(x)是有界函數(shù)）

? 例21 設(shè)f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù),則()A.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為偶函數(shù)B.若f(x)為單調(diào)函數(shù)C.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為奇函數(shù)D.若f(x)為非負(fù)函數(shù) 答案 A

解題思路 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,利用函數(shù)的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以 ,則f?(x)為單調(diào)函數(shù) ,則f?(x)為非負(fù)函數(shù)

f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x

?x?0??x因此f?(x)為偶函數(shù).?x?0?f?(?x)例23 設(shè)y?esinsin22x,則dy?()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解題思路 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法

例 24 設(shè)f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e

可以知道當(dāng)x?0時(shí),有

lim(參閱第一章1.5的例2)

x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當(dāng)x?0時(shí),sinx與x是等價(jià)無窮小,1?cosf(x)與

(x)2是等價(jià)無窮小.于是

f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因?yàn)閒?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設(shè)f(x)?? 在點(diǎn)x?0可導(dǎo),則()x?ax?b,x?0?A.a?1,b??2 B.a?1,b?0 C.a??1,b???2 D.a??1,b??2

答案D

解題思路 先考察函數(shù)在點(diǎn)x?0左右極限,確定連續(xù)性,再考察左右導(dǎo)數(shù).由可微性最終確定a,b.解

1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2

xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?

arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1

?1??1

例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內(nèi)f?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內(nèi)必有

(A)f?(x)?0,f??(x)?0(B)f?(x)?0,f??(x)?0

(C)f?(x)?0,f??(x)?0(D)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 C

解體思路 所給函數(shù)顯然是奇函數(shù),因此f?(x)是偶函數(shù),f??(x)是奇函數(shù).解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).

第三篇：文化概論十三章

第十三章 古典文學(xué)

一、填空

1．最早的詩歌應(yīng)當(dāng)是民歌?！对娊?jīng)》是我國第一部詩歌總集，共305篇，收集了我國公元前11世紀(jì)到公元前6世紀(jì)的詩歌作品，代表了從西周初年到春秋中葉大約五百年間的詩歌創(chuàng)作，其作品本來都是合樂的歌詞，因此按樂調(diào)分為風(fēng)、雅、頌三部分。風(fēng)指地方樂調(diào)，即各地的民樂；雅指周王朝直接統(tǒng)治地區(qū)的樂調(diào)；頌則是用于宗廟祭祀的音樂，其藝術(shù)表現(xiàn)手法一般分為比、興、賦三種。比是指以客觀事務(wù)來比喻詩人的思想感情；興是用聲音、意義等類比關(guān)系引發(fā)詩歌內(nèi)容；賦則是直接鋪陳和描寫客觀事物。其形式采用四言詩，重章迭句，一唱三嘆，對(duì)后世的詩歌創(chuàng)作產(chǎn)生了深刻的影響，為中國詩歌的發(fā)展奠定了穩(wěn)固的基礎(chǔ)，屬于現(xiàn)實(shí)主義手法。

2．楚辭又稱騷體，浪漫主義手法。著名詩人有屈原，寫出《離騷》、《九歌》、《九章》、《天問》等；后有宋玉，代表作為《九辯》；漢代有劉向、王逸等人整理的《楚辭》?！峨x騷》是我國最早的一首長(zhǎng)篇抒情詩，屈原也由此成為中國歷史上第一個(gè)抒發(fā)個(gè)人激情的偉大詩人。

3．《詩經(jīng)》與《楚辭》并稱“風(fēng)騷”，構(gòu)成中國詩歌發(fā)展史上的兩大源頭。

4．宋代郭茂倩編輯的《樂府詩集》收錄了從漢代到隋唐的全部樂府作品。漢魏樂府“感于哀樂，緣事而發(fā)”，具有強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)主義精神，詩體自由多樣，句式以五言為主，三、四、六、七言不等，奠定了五言詩和七言詩的基礎(chǔ)，著名篇章有《十五從軍征》、《戰(zhàn)城南》、《東門行》、《婦病行》、《陌上?！贰ⅰ犊兹笘|南飛》（是我國古代長(zhǎng)篇敘述詩之最）、《木蘭辭》、《敕勒歌》等。到東漢末年出現(xiàn)了文人創(chuàng)作的五言詩，有班固的《詠史詩》、張衡的《同聲歌》、無名氏的《古詩十九首》，借景抒情，語言精練，交替使用賦比興手法。

5．建安七子：孔融、王粲、劉楨、陳琳、阮瑀、應(yīng)瑒、徐干。--建安文學(xué)，其中尤以曹植的成就最高。

6．蔡琰有《悲憤詩》、《胡笳十八拍》，阮籍《詠懷詩》，嵇康《幽憤詩》，左思《詠史詩》。

7．陶淵明是我國詩歌史上“田園詩派”的奠基者，代表作《歸去來兮辭》、《歸園田居》、《飲酒》、《詠荊軻》、《桃花源詩》等。南朝劉宋詩人謝靈運(yùn)開辟了我國詩歌史上的“山水詩派”，其代表作《登池上樓》、《石門巖上宿》等。鮑照擅長(zhǎng)七言歌行，有《擬行路難》18首。

8．南北朝出現(xiàn)了音律，代表人物是沈約、謝眺等。他們依據(jù)四聲的規(guī)律，在詩歌創(chuàng)作中注意聲、韻、調(diào)的相互配合和詞語對(duì)偶形式的運(yùn)用，創(chuàng)造了一種講究聲律和對(duì)仗的新詩體，因其活躍在南齊永明年間，故稱為永明體。從此中國詩歌開始從比較自由的形式向講求格律的方向發(fā)展。

9.《全唐詩》共錄作者2300余位，詩作48900余首，以詩體而論，由永明體發(fā)展而來的近體詩為主，其中又分五律，七律，五絕，七絕。

9．初唐四杰：楊炯、盧照鄰、駱賓王、王勃?！吧蛩巍敝浮吧騺缙?、宋之問”，他們大力創(chuàng)作律詩、絕句，對(duì)創(chuàng)立近體詩作出了重要貢獻(xiàn)。以高適、岑參為代表的“邊塞詩派”，以王維、孟浩然為代表的“田園詩派”。李白被稱為“詩仙”，杜甫被稱為“詩圣”，合稱“李杜”。白居易與元稹倡導(dǎo)“新樂府運(yùn)動(dòng)”，前者寫有《秦中吟》、《新樂府十五首》、《長(zhǎng)恨歌》、《琵琶行》等，因其活躍在元和年間，被稱為“元和體”。晚唐的李商隱和杜牧，合稱“小李杜”。10．詞（唐朝出現(xiàn)）是由民間的曲子詞發(fā)展而來。晚唐詩人溫庭筠主要作詞，與李商隱并稱“溫李”，其詞與韋莊等人的共編入《花間集》，因而被稱為花間派。

11．北宋詞壇有以蘇軾為代表的豪放派和以秦觀為代表的婉約派。周邦彥言情體物，極盡工巧。集婉約之大成。辛棄疾，是中國最杰出的的愛國主義詩人。

宋初曾有些詩人模擬李商隱互相酬唱，編為《西昆酬唱集》，詞藻艷麗而內(nèi)容貧乏，稱為“西昆體”。隨即即有黃庭堅(jiān)主張作詩“無一字無來歷”，提倡“點(diǎn)鐵成金”、“奪胎換骨”，形成著名的“江西詩派”。南宋四大家有尤袤、楊萬里、范成大、陸游。12 ．明代曾流行雍容典雅的臺(tái)閣體，明中葉以后有以李夢(mèng)陽、何景明為首的“前七子”和李攀龍、王世貞為首的“后七子”，反對(duì)臺(tái)閣體，提倡復(fù)古，之后派別紛起，都難逾唐宋。清初的詩壇盟主為錢謙益，清末黃遵憲以詩歌的形式反映近代革命史上的重大事件，被稱為“詩史”。

13．先秦散文分為兩種，歷史散文和哲理散文。歷史散文主要集中于《尚書》、《國語》、《左傳》、《戰(zhàn)國策》。《尚書》的內(nèi)容主要是殷商和西周初年的王室文告、命令、王公大臣的談話等，是我國最早的一部歷史文獻(xiàn)，現(xiàn)存58篇，其中28篇《今文尚書》比較可信。

《國語》記載周、魯、齊、晉、鄭、楚、吳、越八國歷史事實(shí)，以晉國為最詳。有的事件已有情節(jié)描寫，語言也比《尚書》要淺近質(zhì)樸。

《左傳》是以具體的史實(shí)來豐富和補(bǔ)充文字過于簡(jiǎn)略的《春秋》，文字簡(jiǎn)練，句式靈活，能完整的敘述事件和通過細(xì)節(jié)刻畫人物。特別是諸侯國之間的戰(zhàn)爭(zhēng)，寫的很激動(dòng)人心。

《戰(zhàn)國策》主要記述戰(zhàn)國時(shí)代謀士們的言行，分東周、西周、秦、齊、楚、魏、趙、韓、燕、宋、衛(wèi)、中山等十二策。文章注重刻畫人物，善于鋪張描繪，許多故事寫得有聲有色；還有一些篇章著重刻畫人物性格，寫得神采照人。哲理散文則集中于諸子著作。《老子》語言凝練，哲理深邃，很像散韻夾雜的格言詩

；《論語》簡(jiǎn)約而意旨豐厚，說理論事富于哲理和抒情意味，許多句子成為后世格言和成語?！赌印仿勶L(fēng)質(zhì)樸，論證有力，既有演繹，又有歸納，實(shí)開論辯文之先河?！睹献印肥菑恼Z錄體過渡到長(zhǎng)篇論文的橋梁。

《莊子》已開始擺脫語錄體，部分篇章已是專題論文，其特點(diǎn)是以寓言說理，將思辨與形象融為一體，對(duì)后世的浪漫主義有著深遠(yuǎn)的影響。

《荀子》已是成熟的議論文，《韓非子》則邏輯周密，說理透辟。另外還有《晏子春秋》、《呂氏春秋》等。

14．西漢司馬遷《史記》、賈誼《過秦論》、晁錯(cuò)《論貴粟書》、東漢班固《漢書》。最偉大的散文作家當(dāng)數(shù)司馬遷—史記是一部歷史著作，也是傳記文學(xué)總集。

15．中唐以大散文家韓愈、柳宗元為首，掀起以復(fù)古為口號(hào)的“古文運(yùn)動(dòng)”，其根本性質(zhì)是恢復(fù)儒家傳統(tǒng)，改變文體、文風(fēng)。運(yùn)動(dòng)所提出的基本口號(hào)是“文以載道”，即文章必須有思想性，必須表達(dá)和宣揚(yáng)儒家的道統(tǒng)，反對(duì)空洞無物，反對(duì)因襲模仿，反對(duì)矯揉造作。韓愈的散文有《師說》、《與孟東野書》、《送李愿歸盤谷序》、《柳子厚墓志銘》、《祭十二郎文》等。柳宗元寫有《種樹郭橐駝傳》、《童區(qū)寄傳》等，山水游記《永州八記》等。蘇軾稱贊韓愈“文起八代之衰”。

16．宋代的歐陽修第二次舉起“古文運(yùn)動(dòng)”的旗幟，并以他的道德文章彪炳當(dāng)世，成為宋代文壇的領(lǐng)袖。

17．唐宋八大家指韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏、歐陽修。蘇軾有散文《石鐘山記》、《超然臺(tái)記》、《凌虛亭記》、《放鶴亭記》等。范仲淹《岳陽樓記》、周敦頤《愛蓮說》。

18．明代劉基散文集《郁離子》，宋濂的傳記性散文《秦士錄》、《送東陽馬生序》。明中葉以后，文壇上出現(xiàn)了以李夢(mèng)陽，何景明為代表的“前七子”和即李攀龍，王世貞為首的“后七子”，反對(duì)形式主義的“臺(tái)閣體”，主張“文必秦漢，詩必盛唐”。

導(dǎo)致以唐順之、茅坤和歸有光為代表推崇唐宋古文的唐宋派，尤以歸有光（項(xiàng)脊軒志）成就最高。明后期的公安派以袁宏道、袁中道、袁宗道兄弟三人為代表，主張散文“獨(dú)抒性靈”，不拘客套。袁宏道有《虎丘記》、《滿井游記》等。

還有竟陵派的鐘惺、譚元春等人，主張散文表現(xiàn)“幽情單緒”，使文章的題材更窄。明末散文家張岱有散文集《陶庵夢(mèng)憶》和《西湖夢(mèng)尋》。張溥的《五人墓碑記》。

19．清代散文：夏完淳《獄中上母書》、邵長(zhǎng)衡《閻典吏傳》；

清中葉以方苞、劉大櫆、姚鼐為代表的桐城派和以惲敬為代表的陽湖派，兩派都提倡唐宋古文，講究“義法”，但以前者的影響為大。方苞的《獄中雜記》、姚鼐《登泰山記》。龔自珍《病梅館記》、梁?jiǎn)⒊渡倌曛袊f》、康有為《強(qiáng)學(xué)會(huì)序》、章炳麟《鄒容傳》。

20．辭賦是兼具詩歌和散文特點(diǎn)的一種文體，作為一種文學(xué)形式，在先秦時(shí)代就已經(jīng)出現(xiàn)。最早以“賦”名篇的是荀子的《賦篇》和宋玉的《風(fēng)賦》等。兩人一南一北，代表了賦在初期的兩種不同風(fēng)格。前者以四言韻語為主，受到《詩經(jīng)》的影響；后者文采典雅華美，受到《楚辭》的影響。宋玉的賦還有《高唐賦》、《神女賦》、《登徒子好色賦》等。

21．漢賦有賈誼《吊屈原賦》、淮南小山《招隱士》、枚乘《七發(fā)》。

“漢賦四大家”指司馬相如、班固、揚(yáng)雄、張衡。司馬相如《子虛賦》和《上林賦》（奠定了散體大賦的體制），揚(yáng)雄《長(zhǎng)楊賦》和《羽獵賦》，班固《兩都賦》，張衡《二京賦》。

22．魏晉南北朝：曹植《洛神賦》、王粲《登樓賦》、蔡邕《述行賦》、禰衡《鸚鵡賦》、左思《三都賦》、孫綽《天臺(tái)山賦》、陶淵明《閑情賦》、潘岳《懷舊賦》、鮑照《蕪城賦》、江淹《恨賦》和《別賦》、庾信《哀江南賦》。

23．唐代：王勃《春思賦》、張九齡《荔枝賦》、李白《大鵬賦》、李商隱《虱賦》、陸龜蒙《蠶賦》、柳宗元《瓶賦》和《牛賦》、杜牧《阿房宮賦》（多用白描手法,語言情新，議論鮮明，體現(xiàn)了賦的藝術(shù)手法的新的變化）。

24．宋代：歐陽修《秋聲賦》、蘇軾《前赤壁賦》和《后赤壁賦》。金代：元好問《秋望賦》、郝經(jīng)《怒雨賦》。

25．元曲四大家：關(guān)漢卿（成就最大）、馬致遠(yuǎn)、鄭光祖、白樸。關(guān)漢卿代表作有《竇娥冤》、《救風(fēng)塵》、《拜月亭》、《望江亭》、《單刀會(huì)》、《調(diào)風(fēng)月》等。

26．王實(shí)甫的《西廂記》源自于唐代元稹的傳奇小說《鶯鶯傳》，被譽(yù)為天下奪魁。在金代有董解元的《西廂記諸宮調(diào)》。

27．元雜居前期的藝術(shù)活動(dòng)中心主要在北方，京城大都和地處山西的平陽都是戲曲藝術(shù)最活躍的地方。著名劇目有紀(jì)君祥《趙氏孤兒》、馬致遠(yuǎn)《漢宮秋》、白樸《梧桐雨》和《墻頭馬上》。尚仲賢《柳毅傳書》、李好古《張生煮?！贰Ｔs居后期的活動(dòng)則轉(zhuǎn)向南方，原南宋京城臨安成為藝術(shù)創(chuàng)作和表演中心，但興盛情況已與北方不可同日而語，主要?jiǎng)?chuàng)作成就有鄭光祖《倩女離魂》、喬吉《揚(yáng)州夢(mèng)》、宮天挺《范張雞黍》。28．明清流行的戲曲形式是傳奇，是在南方流行的南戲的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。元末明初的重要傳奇作品有高則誠的《琵琶記》和被稱為“四大南戲”的《荊釵記》（元柯丹丘）、《白兔記》、《拜月記》（元施惠）、《殺狗記》。

此后還有李開先《寶劍記》、王世貞《鳴鳳記》、梁辰魚《浣紗記》?！朵郊営洝肥组_傳奇劇用昆山腔演唱傳統(tǒng)，為后來昆曲的興起奠定了基礎(chǔ)。

29．明代戲曲的鼎盛時(shí)代是明代下半葉，這時(shí)出現(xiàn)了以沈璟為代表的吳江派和以湯顯祖為代表的臨川派。沈璟致力于戲曲聲律理論的研究，主張創(chuàng)作嚴(yán)守音律，寫過十七種劇本，主要有《義俠記》、《博笑記》、《埋劍記》等，現(xiàn)只存七種較為完整。與其同派的作家還有王驥德、卜世臣、葉憲祖、顧大典等人。湯顯祖居于“玉茗堂”，在創(chuàng)作上，他反對(duì)擬古和死守格律，主張寫情，作品只有五種傳世，即《紫簫記》、《紫釵記》、《還魂記》（即《牡丹亭》）、《南柯記》、《邯鄲記》。

30．玉茗堂四夢(mèng)：《紫釵記》、《牡丹亭》、《南柯記》、《邯鄲記》。

31．明末清初傳奇創(chuàng)作成就比較高的作家是李玉，其作品以“一人永占”為代表，即《一捧雪》、《人獸關(guān)》、《永團(tuán)圓》、《占花魁》。

此外還有朱素臣的《十五貫》、李玉與朱素臣合著的《清忠譜》。清代戲曲家李漁（笠翁）的《閑情偶寄》一書系統(tǒng)的論述了戲曲文學(xué)的特點(diǎn)及戲曲表演藝術(shù)，具有重要的文學(xué)價(jià)值。

32．清初杰出的戲劇家是洪昇和孔尚任，世稱“南洪北孔”。洪昇有《長(zhǎng)生殿》，孔尚任有《桃花扇》。

33．中國的古典小說是從先秦的神話傳說發(fā)端的，后來又吸引了史傳文學(xué)和寓言散文的一些東西，至漢代出現(xiàn)了將歷史故事與民間傳說結(jié)合在一起的作品，如西漢劉向的《說苑》、《新序》和無名氏的《燕丹子》等。魏晉以后出現(xiàn)了所謂“六朝小說”，一類“志人”，主要記載士族階層的遺聞逸事，其代表作為劉義慶的《世說新語》；一類志怪，主要記述神話故事和民間傳說，多神仙鬼怪，其代表作為干寶的《搜神記》。

34．唐人傳奇有牛僧孺的《玄怪錄》、李復(fù)言的《續(xù)玄怪錄》、薛用弱的《集異記》、裴鎩的《傳奇》等。許多名篇如《李娃傳》、《鶯鶯傳》、《霍小玉傳》、《柳毅傳》、《離魂記》、《枕中記》、《南柯太守傳》等。

35．宋元話本的內(nèi)容主要有小說和講史兩類。小說一類主要包括傳奇、公案、靈怪等，其中描寫婚姻愛情和獄斷公案的小說尤其生動(dòng)感人，給后來的短篇小說創(chuàng)作以深刻影響；講史一類則主要是將歷史演繹為小說形式，對(duì)中國古典小說影響巨大，是中國長(zhǎng)篇小說的開端。其代表作有《大宋宣和遺事》、《大唐三藏取經(jīng)詩話》、《全相平話五種》（即《武王伐紂平話》、《七國春秋平話》、《秦并六國平話》、《前漢書平話》、《三國志平話》）。

36．明代四大奇書：《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》、《金瓶梅》。馮夢(mèng)龍的“三言”：《喻世明言》、《警世通言》、《醒世恒言》。凌 濛初的“二拍”：《初刻拍案驚奇》、《二刻拍案驚奇》。

“三言”中的名篇有《杜十娘怒沉百寶箱》、《賣油郎獨(dú)占花魁》、《玉堂春落難尋夫》、《沈小霞相會(huì)出師表》等。

37．清代：蒲松齡《聊齋志異》、吳敬梓《儒林外史》、曹雪芹《紅樓夢(mèng)》（法國《通用百科全書》稱其為“18世紀(jì)中國社會(huì)的一面鏡子”“世界文壇上的一座豐碑”）、李汝珍《鏡花緣》、吳趼人《二十年目睹之怪現(xiàn)狀》、劉鶚《老殘游記》、曾樸《孽?；ā?。

第四篇：第十三章多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

第十三章 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

§

1、平面點(diǎn)集

一 鄰域、點(diǎn)列的極限

定義1 在平面上固定一點(diǎn)M0?x0,y0?，凡是與M0的距離小于?的那些點(diǎn)M組成的平面點(diǎn)集，叫做M0的?鄰域，記為O?M0,??。

定義2 設(shè)Mn??xn,yn?，M0??x0,y0?。如果對(duì)M0的任何一個(gè)?鄰域O?M0,??，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，有Mn?O?M0,??。就稱點(diǎn)列?Mn?收斂，并且收斂于

M0，記為limMn??n?M0或?xn,yn???x0,y0??n???。

性質(zhì)：（1）?xn,yn???x0,y0??xn?x0,yn?y0。（2）若?Mn?收斂，則它只有一個(gè)極限，即極限是唯一的。二 開集、閉集、區(qū)域

設(shè)E是一個(gè)平面點(diǎn)集。

1． 內(nèi)點(diǎn)：設(shè)M0?E，如果存在M0的一個(gè)?鄰域O?M0,??，使得O?M0,???E，就稱M0是E的內(nèi)點(diǎn)。2． 外點(diǎn)：設(shè)M1?E，如果存在M1的一個(gè)?鄰域O?M1,??，使得O?M1,???E??，就稱M1是E的外點(diǎn)。

3． 邊界點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對(duì)M*的任何?鄰域O?M*,??，其中既有E的點(diǎn)，又有非E中的點(diǎn)，就稱M*是E的邊界點(diǎn)。E的邊界點(diǎn)全體叫做E的邊界。4． 開集：如果E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，就稱E是開集。

5． 聚點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對(duì)M*的任何?鄰域O?M*,??，至少含有E中一個(gè)（不等于M*的）點(diǎn)，就稱M*是E的聚點(diǎn)。性質(zhì)：設(shè)M0是E的聚點(diǎn)，則在E中存在一個(gè)點(diǎn)列?Mn?以M0為極限。6． 閉集：設(shè)E的所有聚點(diǎn)都在E內(nèi)，就稱E是閉集。

7． 區(qū)域：設(shè)E是一個(gè)開集，并且E中任何兩點(diǎn)M1和M2之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起來，而這條折線全部含在E中，就稱E是區(qū)域。一個(gè)區(qū)域加上它的邊界就是一個(gè)閉區(qū)域。三平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理

1．矩形套定理：設(shè)?an?x?bn,cn?y?dn?是矩形序列，其中每一個(gè)矩形都含在前一個(gè)矩形中，并且

13-1

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

bn?an?0，dn?cn?0，那么存在唯一的點(diǎn)屬于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列?Mn?xn,yn??有界，那么從其中必能選取收斂的子列。

3.有限覆蓋定理：若一開矩形集合???????x??,??y???覆蓋一有界閉區(qū)域。那么從???里，必可選出有限個(gè)開矩形，他們也能覆蓋這個(gè)區(qū)域。

N4．收斂原理：平面點(diǎn)列?Mn?有極限的充分必要條件是：對(duì)任何給定的??0，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n,m?時(shí)，有r?Mn,Mm???。

§2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

一 多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長(zhǎng)x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V??rh。這些都是多元函數(shù)的例子。

2一般地，有下面定義：

定義1 設(shè)E是R的一個(gè)子集，R是實(shí)數(shù)集，f是一個(gè)規(guī)律，如果對(duì)E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個(gè)u與此對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時(shí)，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?R22?x2?y2就是一個(gè)上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為R，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式x?y?R222222的x，y全體，即D?{(x,y)|x?y?R}。又如，Z?xy是馬鞍面。二 多元函數(shù)的極限

2定義2

設(shè)E是R的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?M,M0???時(shí)，有f(M)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價(jià)敘述1 設(shè)E是R的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0??x?x0???y?y0???時(shí)，有f(x,y)?A??，就稱A是13-2

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價(jià)敘述2 設(shè)E是R的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時(shí)，有

f0f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limM?M?M??A或f?M??A?M?M0 ?。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)?A，則當(dāng)M以任何點(diǎn)列及任何方式趨于M0時(shí)，f(M)M?M0的極限是A；反之，M以任何方式及任何點(diǎn)列趨于M0時(shí)，f(M)的極限是A。但若M在某一點(diǎn)列或沿某一曲線?M0時(shí)，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx2?y22，討論在點(diǎn)(0,0)的的二重極限。

例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2xyx2?y或2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例：f(x,y)????1,x?y其它y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢(shì)，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。例：limx??y??x?yx2?xy?ysinxyx2。

例：① limx?0y?0② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0coscos32?sin2?3??sin??0?（注意：cos3??sin?在??37?4時(shí)為０，此時(shí)無界）。

xyx22例：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)??y2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限．

證明二元極限不存在的方法．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)． 例：f(x,y)?xyx2?y2在(0,0)的二重極限不存在．

13-3

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)f?M?在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?M?在M0點(diǎn)連續(xù)．

M?M0“???語言”描述：???0,???0,當(dāng)0

????四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。

最大值最小值定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D內(nèi)任意兩點(diǎn)，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，零點(diǎn)存在定理

設(shè)D是R中的一個(gè)區(qū)域，如果f(P0)?0，????????f(P1)?0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點(diǎn)Ps，使f(Ps)?0。

五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此x?x0y?y0外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時(shí)f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對(duì)任一固定的y，當(dāng)x?x0時(shí)，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)在y?y0時(shí)的x?x0極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對(duì)x，再對(duì)y的二次極限，記為y?y0limlimf(x,y)?A．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）．設(shè)

11?xsin?ysin?yxf(x,y)???0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?0y?01y不存在知f(x,y)的累次極限不存在。

例：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)

13-4

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

f(x,y)?xyx2?y2，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x?0y?0y?0x?0x?0y?0例：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè)

f(x,y)xx22?y?y22，(x,y)?(0,0)

則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不可交換）

x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。

定理1 設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y)。則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。

y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1

設(shè)（1）limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)存在；（3）?x,x?x0，limf(x,y)x?x0y?y0x?x0y?y0存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限limf(x,y)。

y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0推論2 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限limf(x,y)必不存在（可x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0用于否定重極限的存在性）。例：求函數(shù)f?x,y??xy22222xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

13-5

第五篇：高數(shù)極限求法總結(jié)

首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？ 各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面

首先 對(duì) 極限的總結(jié) 如下

極限的保號(hào)性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負(fù)與極限一致 極限分為 一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。?！你還能有補(bǔ)充么？？？）1 等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮?。?/p>

2落筆他 法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示 要你使用這個(gè)方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提?。。?/p>

必須是 X趨近而不是N趨近?。。。。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點(diǎn) 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的 不可能是負(fù)無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死?。?/p>

必須是 0比0 無窮大比無窮大！?。。?！

當(dāng)然還要注意分母不能為0 落筆他 法則分為3中情況 0比0 無窮比無窮 時(shí)候 直接用 0乘以無窮 無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后 這樣就能變成1中的形式了 3 0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0 當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候 LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋 的加減的時(shí)候要 特變注意?。。?/p>

E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開 對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助

4面對(duì)無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項(xiàng)除分子分母！?。。。?！看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單！?。。?！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了?。?/p>

6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡(jiǎn)函數(shù)

9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要?。?！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無窮大 無窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式（地2個(gè)實(shí)際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）還有個(gè)方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對(duì)數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）！！！當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候 他們的比值的極限一眼就能看出來了 換元法 是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中

13假如要算的話 四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的

14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒有辦法 走投無路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用 證明單調(diào)性！?。?/p>

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！?。?/p>

（從網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)，謝謝總結(jié)者）