第一篇：高中數(shù)學(xué)：關(guān)于三角形的“四心”與平面向量的結(jié)合教案 蘇教版必修5

關(guān)于三角形的“四心”與平面向量的結(jié)合

[關(guān)鍵字]高中|數(shù)學(xué)|平面向量|內(nèi)心|外心|重心|垂心

[內(nèi)容摘要]每年全國(guó)各地高考試卷中,都有不少習(xí)題與三角形的“四心”有關(guān)，學(xué)生在解決這些問(wèn)題時(shí)錯(cuò)誤率較高，甚至是無(wú)從下手.筆者搜集了部分資料，結(jié)合本人積累的一些高三知識(shí)，就高中新課標(biāo)向量的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行闡述，對(duì)有關(guān)三角形的“四心”的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí).特別體現(xiàn)出它們之間的結(jié)合,不當(dāng)疏漏之處,懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正.一、基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)

1.定義：我們把三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,即三角形內(nèi)切圓圓心;三角形三條邊上的中垂線的交點(diǎn)叫做三角形的外心,即三角形外接圓圓心;三角形三條邊上的中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心;三角形三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心.我們將三角形的“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”合稱(chēng)為三角形的“四心”.2.應(yīng)用:三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等;三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;三角形的重心到三角形的頂點(diǎn)的距離是相應(yīng)中線長(zhǎng)的三分之二;三角形的垂心與頂點(diǎn)的連線垂直于該頂點(diǎn)的對(duì)邊.3.注意點(diǎn):三角形的“四心”與平面向量知識(shí)的結(jié)合.二、典型例題分析 [例]已知點(diǎn)G是?ABC內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn) M是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn).試根據(jù)下列條件判斷G點(diǎn)可能通過(guò)?ABC的__________心.(填“內(nèi)心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出問(wèn)題]

?????????????AB(1)若存在常數(shù)?,滿(mǎn)足MG?MA??(?????AB?ABC????AC????)(??0)AC,則點(diǎn)G可能通過(guò)的__________.D是?ABC(2)若點(diǎn)的底邊

????????????????BC上的中點(diǎn),滿(mǎn)足GD?GB?GD?GC,則點(diǎn)

G可能通過(guò)?ABC的__________.?????????????????ABAC(3)若存在常數(shù)?,滿(mǎn)足MG?MA??(?????????)(??0)AB?sinBAC?sinC,則點(diǎn)

G可能通過(guò)?ABC的__________.?????????????????ABAC(4)若存在常數(shù)?,滿(mǎn)足MG?MA??(?????????)(??0),則點(diǎn)

AB?cosBAC?cosCG可能通過(guò)?ABC的__________.[思路分析]以上四個(gè)問(wèn)題的解決要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性質(zhì),同時(shí)更要熟悉平面向量的性質(zhì),對(duì)于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當(dāng)熟悉.[解答過(guò)程](1)記?????????????ABAC?????e1,?????e2ABAC?????????,則AG??(e1?e2).由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是角平分線上的點(diǎn),故應(yīng)填內(nèi)心.(2)簡(jiǎn)單的變形后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G是BC邊中垂線上的點(diǎn),故應(yīng)填外心.????????????????(3)?AB?sinB?AC?sinC,?記AB?sinB?AC?sinC?h?????????????'則AG??(AB?AC)(?'?)h，.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是BC邊的中線上的點(diǎn),故應(yīng)填重心.(4)分析后發(fā)現(xiàn),本題學(xué)生難以找到解決問(wèn)題的突破口,主要在于平面向量的數(shù)

量

積的, 充

分

利

用

.由?????????????????ABACMG?MA??(????????)(??0)?AB?cosBAC?cosC????????????ABAC得AG??(?????????)(??0), AB?cosBAC?cosC????????????????????ABAC(關(guān)鍵點(diǎn))AG?BC??(?????????)?BC(??0)

AB?cosBAC?cosC????????????????????????AB?BCAC?BCAG?BC??(????????)(??0)?AB?cosBAC?cosC于是.??????????????????（BC?cos(?-B)?BC?cosB）=?(?BC?BC)?0????????從而AG?BC,點(diǎn)G是高線上的點(diǎn),故應(yīng)填垂心.[教師點(diǎn)評(píng)]以上四個(gè)問(wèn)題處理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性質(zhì)在解答問(wèn)題時(shí)的作用.特別注意第四問(wèn)兩邊同乘以某個(gè)表達(dá)式的技巧.三、綜合運(yùn)用

[提出問(wèn)題]若O點(diǎn)是?ABC的外心, H點(diǎn)是?ABC的垂心, ????????????????且OH?m(OA?OB?OC),求實(shí)數(shù)

m的值.[思路分析]許多學(xué)生在解答此類(lèi)題時(shí)，只能用特殊值的方法解決.要求學(xué)生能夠充分利用本節(jié)提到的一些基礎(chǔ)知識(shí)及相關(guān)性質(zhì)解題.????????????????????????????????????????[解答過(guò)程]由OH?m(OA?OB?OC),得OH?OA?m(OA?OB?OC)?OA????????????????于是HA?(m?1)?OA?m(OB?OC), ,(關(guān)鍵點(diǎn))HA?BC?????????????????????????????(m?1)OA?BC?m(OB?OC)?BC

????????????????????????????????即HA?BC?(m?1)OA?BC?m(OB?OC)?(OC?OB), ????????????????????????????????由題意,知HA?BC?0,及(OB?OC)?(OC?OB)?0,從而(m?1)OA?BC?0, ????????其中OA?BC?0,因此m?1?0,即m?1.[教師點(diǎn)評(píng)]請(qǐng)讀者特別注意解題中的關(guān)鍵點(diǎn),解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)的技巧也應(yīng)熟練掌握.[舉一反三]通過(guò)上述例題及解答,我們可以總結(jié)出關(guān)于三角形“四心”的向量表達(dá)式.若P點(diǎn)為?ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，若P點(diǎn)滿(mǎn)足: ?????????????ABACAP??(?????????),??0?ABAC???P為?ABC的內(nèi)心1．?????????????BABC?BP?t(?????????)，t?0?BABC??;2.D、E兩點(diǎn)分別是?ABC的邊BC、CA上的中點(diǎn),且

??????????????????DP?PB?DP?PC??????????????P為?ABC的外心??????EP?PC?EP?PA;?1????????????AP?(AB?AC),??33.?????P為?ABC的重心?1?????????BP?(BA?BC)，?3???????????AP?BC?0?P為?ABC的垂心4.???????????BP?AC?0;.

第二篇：講義---平面向量與三角形四心的交匯

講義---平面向量與三角形四心的交匯 一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合

（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3?? ?OOA?OB?OC?0??y?y?y23?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0?y?1?3?是?ABC的重心.證法2：如圖

A?OA?OB?OC ?OA?2OD?0

?AO?2OD

?A、O、D三點(diǎn)共線，且O分AD

為2：1

OE?O是?ABC的重心

（2）OA?OB?OB?OC證明：如圖所示O是三角形

BDC?OC?OA?O為?ABC的垂心.ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0

A?OB?AC

E同理OA?BC，OC?AB

BO?O為?ABC的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是?ABC的內(nèi)心

aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.ABAC、分別為AB、AC方向上的單位向量，cbABAC?平分?BAC, ?cbABACbc?)，令?? ?AO??(a?b?ccb證明：?DC?AO?ABACbc?（）a?b?ccb化簡(jiǎn)得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

?aOA?bOB?cOC?0

（4）OA?OB?OC?O為?ABC的外心。

三、典型例題：

例1：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP?OA??(AB?AC)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

例2：（03全國(guó)理4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P滿(mǎn)足OP?OA??(ABAB?ACAC)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

例3：1)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P滿(mǎn)足OP?OA??(ABABcoBs?ACACcoCs)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

2)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足????????????????ABAC??OP?OA??(???????),??[0,??), 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()|AB|sinB|AC|sinCA.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

3)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足????????????????????OB?OCABAC??OP???(???????), ??[0,??), 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()2|AB|cosB|AC|cosCA.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

?????????????????????????????????????例

4、已知向量OP12P31,OP2,OP3滿(mǎn)足條件OP1?OP2?OP3?0，|OP1|?|OP2|?|OP3|?1，求證：△PP是正三角形．

?????????????????ABC例

5、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = OH?m(OA?OB?OC)，．

例

6、點(diǎn)）． O是三角形ABC

????????????????????????所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點(diǎn)

O是?ABC的（A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn)

B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)

例7

在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使

AP2?BP2?CP2最?。?/p>

????2????2????2????2????2????2例8已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足|OA|?|BC|?|OB|?|CA|?|OC|?|AB|，則O為△ABC的 心．

????????????????????????例9．.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若OA?OB?OB?OC?OC?OA，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????2????2????2????2????2????2例10 已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足|OA|?|BC|?|OB|?|CA|=|OC|?|AB|，則O點(diǎn)是△ABC的()A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心

????????????????????????????????????例11已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(OA?OB)?AB=(OB?OC)?BC=(OC?OA)?CA= 0，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????例12：已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若aOA?bOB?cOC= 0，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????????aPA?bPB?cPC例13：已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若PO?(其中P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn))，a?b?c則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

四、配套練習(xí)：

1．已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)

P，滿(mǎn)足

PA?PB?PC?0，若實(shí)數(shù)?滿(mǎn)足：AB?AC??AP，則?的值為（）

A．2 B．32 C．3 D．6 3

2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，OA?OB?OCA．

?0，則OA?OB?()12 B．0 C．1 D．?1 23．點(diǎn)O在?ABC內(nèi)部且滿(mǎn)足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形A．0 B．

ABOC面積之比是（）

C．

D．

是?ABC的（）4．?ABC的外接圓的圓心為O，若OH?OA?OB?OC，則HA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若OA?BC?OB222

?CA?OC?AB222，則O是?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 6．?ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OH則實(shí)數(shù)m =

17．（06陜西）已知非零向量與滿(mǎn)足(+)〃=0且〃= , 則△ABC為()

2A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形 8．已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)

?m(OA?OB?OC)，A、B、C，若AB?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則?ABC為（）

2A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形

????????????????9.已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP?OA??(AB?AC), ??[0,??).則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????10.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若OA?OB?OC= 0, 則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????1????????????11.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若PO?(PA?PB?PC)(其中P為平面上任意一點(diǎn)), 則O點(diǎn)是△ABC

3的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修4人教A教案第二章平面向量復(fù)習(xí)

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點(diǎn)）和三角形法則（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問(wèn)：取等號(hào)的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實(shí)數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6.向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法

7.向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加.減.實(shí)數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）

8.數(shù)量積（點(diǎn)乘或內(nèi)積）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區(qū)別“實(shí)數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識(shí)與方法

向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長(zhǎng)；②求夾角；③判垂直

三、教學(xué)過(guò)程

（一）重點(diǎn)知識(shí)：

1.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

?????????(1)?(?a)?(??)a(2)(???)a? ?a??a(3)?(a?b)??a??b

2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:

?????????????????(1)a?b?b?a

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

(3)(a?b)?c? a?c?b?c

3.向量運(yùn)算及平行與垂直的判定: 設(shè)a?(x1,y1),b?(x2,y2),(b?0).則a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?x1x2?y1y2

a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.兩點(diǎn)間的距離:

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

5.夾角公式: cos??a?b a ?b?x1x2?y1y2 x1?y1?x2?y22222

6.求模：

a?a?a

a?x2?ya?(x1?x2)2?(y1?y2)2

（二）習(xí)題講解：第二章 復(fù)習(xí)參考題

（三）典型例題

例1． 已知O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c

解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基礎(chǔ)練習(xí)：

（五）、小結(jié)：掌握向量的相關(guān)知識(shí)。

（六）、作業(yè)：

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（二）一、教學(xué)過(guò)程

（一）習(xí)題講解：

（二）典型例題

例1．已知圓C：(x?3)?(y?3)?4及點(diǎn)A（1，1），M是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線

22??段MA的延長(zhǎng)線上，且MA?2AN，求點(diǎn)N的軌跡方程。

練習(xí)：1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；

2.已知常數(shù)a>0，向量m?(0,a),n?(1,0)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，－a）以m??n為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（0，a）以n?2?m為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中??R.求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

例2.設(shè)平面內(nèi)的向量OA?(1,7), OB?(5,1), OM?(2,1)，點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)PA?PB取最小值時(shí)，OP的坐標(biāo)及?APB的余弦值．

解

設(shè)OP?(x,y)．∵

點(diǎn)P在直線OM上，∴ OP與OM共線，而OM?(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP?(2y,y)．∵ PA?OA?OP?(1?2y,7?y)，PB?OB?OP?(5?2y,1?y)，∴ PA?PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

從而，當(dāng)且僅當(dāng)y=2，x=4時(shí)，PA?PB取得最小值－8，此時(shí)OP?(4,2)，PA?(?3,5)，PB?(1,?1)．

于是|PA|?34，|PB|?2，PA?PB?(?3)?1?5?(?1)??8，∴ cos?APB?PA?PB|PA|?|PB|??834?2??417 17小結(jié)：利用平面向量求點(diǎn)的軌跡及最值。

作業(yè)：

第四篇：平面向量中的三角形四心問(wèn)題（定稿）

平面向量中的三角形四心問(wèn)題

向量是高中數(shù)學(xué)中引入的重要概念，是解決幾何問(wèn)題的重要工具。本文就平面向量與三角形四心的聯(lián)系做一個(gè)歸納總結(jié)。在給出結(jié)論及證明結(jié)論的過(guò)程中，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)性與推論的相互關(guān)系。

一、重心（barycenter)

三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。在重心確定上，有著名的帕普斯定理。

結(jié)論1：若G為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則GA?GB?GC?0?G是三角形的重心證明：設(shè)BC中點(diǎn)為D，則2GD?GB?GCGA?GB?GC?0??GA?GB?GC??GA?2GD,這表明，G在中線AD上同理可得G在中線BE,CF上故G為?ABC的重心

結(jié)論2：

1若P為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則PG?(PA?PB?PC)3?G是?ABC的重心1證明：PG?(PA?PB?PC)?(PG?PA)?(PG?PB)?(PG?PC)?03?GA?GB?GC?0?G是?ABC的重心

二、垂心(orthocenter)三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。

結(jié)論3：

若H為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則HA?HB?HB?HC?HC?HA?H是?ABC的垂心

證明：HA?HB?HB?HC?HB?(HA?HC)?0?HB?AC?0?HB?AC同理，有HA?CB,HC?AB故H為三角形垂心

結(jié)論4：

若H為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則HA?BC?HB?AC?HC?AB?H是?ABC的垂心證明：由HA?BC?HB?CA得，HA?(HB?HC)?HB?(HC?HA)2?HB?HC?HC?HA同理可證得，HA?HB?HB?HC?HC?HA由結(jié)論3可知命題成立2222222222222

三、外心(circumcenter)三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點(diǎn)。用這個(gè)點(diǎn)做圓心可以畫(huà)三角形的外接圓。

結(jié)論5：

若O是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則OA?OB?OC?O是?ABC的外心 證明：由外心定義可知命題成立

結(jié)論6：

若O是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC ?O是?ABC的外心 3

證明：?(OA?OB)?BA?(OA?OB)(OA?OB)?OA?OB?(OB?OC)?CB?OB?OC(OC?OA)?AC?OC?OA222222222故OA?OB?OB?OC?OC?OA?OA?OB?OC故O為?ABC的外心

222

四、內(nèi)心(incenter)

三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心。即內(nèi)切圓的圓心。

結(jié)論7：

若P為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則???????ABAC??BABC??CACB?OP?OA??1??????OB??2???OC??3??(??0)?ABAC??BABC??CACB????????P是?ABC的內(nèi)心

證明：記AB，AC方向上的單位向量分別為e1,e2???ABAC?OP?OA??1????AP??1(e1?e2)?ABAC???由平行四邊形法則知，(e1?e2)在AB,AC邊夾角平分線上 即P在?A平分線上同理可得，P在?B,?C的平分線上故P為?ABC的內(nèi)心

結(jié)論8：

若P是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則aPA?bPB?cPC?0?P是?ABC的內(nèi)心證明：不妨設(shè)PD??PC

aPA?bPB?cPC?0?a(PD?DA)?b(PD?DB)?cPC?0?(?a??b?c)PC?(aDA?bDB)?0由于PC與DA,DB不共線，則?a??b?c?0,aDA?bDB?0b即?DBa由角平分線定理，CD是?ACB的平分線同理可得其他的兩條也是平分線故P是?ABC的內(nèi)心DA

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修4平面向量復(fù)習(xí)5正弦定理余弦定理

5．5正弦定理、余弦定理

要點(diǎn)透視：

1．正弦定理有以下幾種變形，解題時(shí)要靈活運(yùn)用其變形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用來(lái)判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，如常把a(bǔ)，b，c換成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C來(lái)解題．

2．判斷三角形的形狀特征，必須從研究三角形的邊與邊關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，由三角形的邊或角的代數(shù)運(yùn)算或三角運(yùn)算，找出邊與邊或角與角的關(guān)系，從而作出正確判斷．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本關(guān)系式

B?CAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，進(jìn)行三角變換的運(yùn)2

2用．

4．應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要分析和研究問(wèn)題中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，應(yīng)選用正弦定理還是余弦定理進(jìn)行求解．

5．應(yīng)用解三角形知識(shí)解實(shí)際問(wèn)題的解題步驟：

（1）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖．

（2）確定實(shí)際問(wèn)題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元和末知元．

（3）選用正、余弦定理進(jìn)行求解，并注意運(yùn)算的正確性．

（4）給出答案．

活題精析：

例1．(2001年全國(guó)卷)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四邊形ABCD的面積．

要點(diǎn)精析：本題主要考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及應(yīng)用三角形面積公式和余弦定理解三角形的方法，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

解：如圖所示，連BD，四邊形ABCD的面積

11S=S?ABD?S?CDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, ?cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)

邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要點(diǎn)精析：（1）∵ a，b，c成等差數(shù)列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2?c2?a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin60?32∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的長(zhǎng)度．

13要點(diǎn)精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，當(dāng)∠C=60°時(shí)，c2＝a2＋b2－ab，c

當(dāng)∠C=120°時(shí)，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.練習(xí)題

一、選擇題

tanAa

2?1．在△ABC中，若，則△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

A?Ba?b?2．在△ABC中，tan，則三角形中（）2a?b

A．a(chǎn)＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a(chǎn)=b或c2=a2+b2

3．為測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．設(shè)α，β是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，下列四個(gè)不等式中不正確的是（）

???1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，x，則x的取值范圍是（）C．a(chǎn)=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三邊分別為 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），則最大內(nèi)角的度數(shù)為（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空題：

a?b?c7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，則 sinA?sinB?sinC

113??8．△ABC的三邊滿(mǎn)足：，則∠B＝ a?bb?ca?b?c

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，則sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC邊上的中線長(zhǎng)是ma，用三邊a，b，c表示ma，其公式是.三、解答題

11．設(shè)a，b，c是△ABC中A，B，C的對(duì)邊，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有兩個(gè)相等實(shí)根，且sinCcosA－cosCsinA=0，試判斷△ABC的形狀。

12．已知⊙O的半徑為R，若它的內(nèi)接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大??；

（2）求△ABC的面積S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）試寫(xiě)出△ABC的面積S與邊長(zhǎng)a的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)a等于多少時(shí)，S有最大值并求出最大值；

（3）當(dāng)a等于多少時(shí)，周長(zhǎng)l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面積S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

??????CCCC?15．在△ABC中，m?(cos,sin)，n?(cos,?sin)，且m與n的夾角是． 22222

（1）求C；

73（2）已知c=，三角形面積 S＝3，求a+b。22