第一篇：八年級數學上冊173勾股定理一個獨特的幾何證明素材冀教版

一個獨特的幾何證明

勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．這是平面幾何中的一個十分重要的定理，國外稱為畢達哥拉斯(約公元前580——500年)定理．可是，據我國古算書《周髀算經》記載，在公元前十一世紀的周朝初年，商高就講過“勾廣三，股修

四、徑隅五”．這是我國關于勾股定理的最早陳述，比畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)勾股定理早了五百多年，不過沒有給出證明．到了公元三世紀的三國時期，吳國數學家趙爽在注釋《周髀算經》時，寫了一篇《勾股園方圖注》，并附了一幅“弦圖”(如下圖)對勾股定理作出了嚴格而又簡捷的證明：

以勾股為邊的長方形可視為被對角線等分成兩個直角三角形之和，三角形涂上朱色，它的面積叫做“朱實”，四個這樣的長方形合成了一個正方形，其面積稱為“弦實”，中間突出的小正方形涂上黃色，其面積稱為“黃實”，顯然這個小正方的邊長等于勾、股之差，因為“弦實”等于四個“朱實”與中間“黃實”的和，于是

弦=4?212(勾?股）?（股?勾）?勾22?股

2這個證明不但是勾股定理的最早證明（比國外最先用類似方法來證明的印度數學家婆什迦羅要早900年)，而且也是有史以來勾股定理的四百多種證明中最獨特、最巧妙的一個． 應該指出，趙爽證明勾股定理的思想，是把平面幾何問題歸結為研究平面圖形的面積，通過對平面圖形面積的代數運算而完成對幾何問題的證明．這種幾何問題代數化的思想是我國古代數學的一大特點．與古希臘幾何學偏重于概念間的邏輯關系，把形與數割裂開來，是完全不同的風格．

還應提到的是，與趙爽大約同時的劉徽，對勾股定理也給出了一個證明，其基本思想是利用平面圖形的面積，巧妙地加以移、合、拼、補之后，甚至無須代數運算，而勾、股、弦之間的關系便可一目了然．劉徽把這種方法概括成一個基本原理，稱為“出入相補原理”．這個原理是說：一個平面圖形從一處移置到另一處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原圖形的面積，“出入相補原理”在我國古代幾何理論中占有很重要的地位．

第二篇：八年級數學-勾股定理的證明及拓展

八年級數學

勾股定理的證明及其延伸

1.說明

勾股定理是數學中一個重要知識。雖然在教材章節(jié)內容中所占篇幅不多，在考試中也往往不會作為一個獨立知識點進行命題，但其實其內容及方法常常包含在其他各類題目中，是問題解答過程中一個很重要的手段。所以學生對勾股定理要能夠十分熟練地進行使用。本文對勾股定理進行證明及拓展，以使學生對其進行深刻理解。

2.勾股定理的證明

命題：在直角三角形中，a、b為直角邊長，c為斜邊邊長，則有a?b?c。勾股定理一個最簡單的證明方法是使用圖形證明法。如下圖，我們使用4個同樣大小的紅色直角三角形（a、b為直角邊長，c為斜邊邊長）拼出2個圖形： 22

2圖1和圖2這兩個藍色正方形的面積是相等的（它們的邊長都是a+b），而4個紅色直角三角形的面積也是相等的，所以2個圖形中白色部分的面積也應該相等（都等于藍色正方

形面積減去4個紅色三角形的面積）。而左邊圖形中白色部分的面積是a?b，右邊圖形中白色部分的面積是c，所以a?b?c。

222222

3.圓與三角形

在討論勾股定理的延伸之前，我們先來看圓與三角形的關系。

如圖3，以BC為直徑做圓，圓心為BC的中點O。在圓上任取一點A，則三角形ABC為直角三角形，其中∠A=90°。

如圖4，同樣做圓。如果A點在圓外，則∠A為銳角?？梢赃@樣來證明：連接AO，和圓交與點D。容易得到∠BAC<∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A<90°。

如圖5，同樣做圓。如果A點在圓內，則∠A為鈍角?？梢赃@樣來證明：連接OA，并延長和圓交與點D。容易得到∠BAC>∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A>90°。

綜合起來，我們可以得到如下命題：

命題：在三角形ABC中，以BC為直徑、BC的中心點為圓心做圓，如果A在圓上，則∠A=90°；如果A在圓外，則∠A<90°；如果A在圓內，則∠A>90°。

注意，這個命題的逆命題也是成立的，即：

命題：在三角形ABC中，以BC為直徑、BC的中心點為圓心做圓，如果∠A=90°，則A在圓上；如果∠A<90°，則A在圓外；如果∠A>90°，則A在圓內。

這個逆命題可以利用上面幾副圖用反證法很容易證得。

4.勾股定理的延伸

現(xiàn)在，我們對勾股定理進行延伸，如下：

命題：在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），如果三角形為直角三角形，則a?b?c；如果三角形為銳角三角形，則a?b?c；如果三角形為鈍角三角形，則a?b?c。

請注意上面“c為最長邊（c≥a、c≥b）”的條件限定。如果c不是最長邊，那么必然是a?b?c，這就不存在任何討論的必要了。

下面我們來證明這一命題。對于直角三角形的情況，那就是勾股定理，前面我們已經證明了?，F(xiàn)在只要證明銳角和鈍角三角形的情況。

見下圖，仍然如上一節(jié)那樣，去最長邊c為直徑做圓（設這條邊為BC），那么直徑所對應的∠A也會是三角形ABC中最大的角（大角對大邊）。

222222222222從上節(jié)的討論中，如果是銳角三角形，A必然在圓外，如圖6所示。從A點做直徑BC的垂線，交圓于D點。顯然AB>BD、AC>DC，而BD?DC?BC，所以222AB2?AC2?BC2。

如果是鈍角三角形，A必然在圓內，如圖7所示。從A點做直徑BC的垂線，反向延長交圓于D點。顯然AB

命題：在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），如果222222a2?b2?c2，則三角形為直角三角形；如果a2?b2?c2，則三角形為銳角三角形；如果

a2?b2?c2，則三角形為鈍角三角形。

5.勾股定理的增強描述

綜合以上的討論，我們可以對勾股定理進行增強型的表述，如下：

在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），則三角形為直角三角形的充分必要條件是a?b?c；三角形為銳角三角形的充分必要條件是222

a2?b2?c2；三角形為鈍角三角形的充分必要條件是a2?b2?c2。

第三篇：八年級數學幾何證明初步1

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幾何證明初步復習學案

（一）單位：馬蘭初中主備：王慧敏審核：黃麗英

課本內容：P114—12

4課前準備：三角板鉛筆

復習目標：

1.識別定義、命題、公理、定理，會區(qū)分命題的條件和結論，理解原命題和逆命題的關系。

2.學會綜合法證明的格式，會使用反證法。

復習過程：

一、復習提綱

1、八條公理：

2、命題是由_______________和______________兩部分組成.。請你舉一個真命題的例子：； 一個假命題的例子：。

3、請寫出互為逆命題的兩個命題：___________________________________________________。

4、幾何證明的過程包括①②③

二、典型例題

例1 把下列命題寫成“如果A，那么B

同角的余角相等

例

2（1）

（2）

（3）c,那么a=c.例3 在學習中，小明發(fā)現(xiàn)：當n=1，2，3時，n?6n的值都是負數。于是小明猜想：當n為任意正整數時，n?6n的值都是負數。小明的猜想正確嗎？請簡要說明你的理由。

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例4 如圖，AD⊥BC于D,∠ADE+∠B=90,求證：AB∥DE.?A

E

BD

三、有效訓練

1、下列命題中，正確的是（）

A 任何數的平方都是整數 B C 內錯角都相等D2、下列命題：

①如果a?b，則②如果a=b，則a?b；③大于直角的角是鈍角；④一個角的補

A ①③ BD①③⑤

3F是DC上的一點，G是BC的延長線上一點。

(1)∵∠∥_________()222

2A

EDF

G

B(2)∵∠D=∠DCGC

∴_________∥_________()

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(3)∵∠D+∠DFE=180

∴_________∥_________()

四、課堂總結（總結本章前三節(jié)內容，你學到了什么）

五、達標檢測

（1）下列說法正確的是（）

A 真命題都可以作為定理B 公理不需要證明

C 定理不一定都要證明D 證明只能根據定義、公理進行

（2）下列定理中，沒有逆定理的是（）

A 內錯角相等，兩直線平行B 直角三角形中，兩銳角互余

C 相反數的絕對值相等D 同位角相等，兩直線平行

（3）如圖，B、A、E三點在同一直線上，請你添加一個條件，使AD∥件是____________________（不允許添加輔助線）?

E

AD

B

（4）已知：如圖，∠1=∠2DE∥AC

DE

F

六、布置作業(yè)

BC(3)求證：兩直線平行，內錯角相等。

第四篇：八年級數學幾何題證明技巧

能達培訓學校內部資料

能達學校八年級數學講義

姓名：日期： 2006-1-2

4輔助線的添加技巧

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

一、角平分線專題

1．角分線，分兩邊，對稱全等要記全。（牢記，角平分線就是一個對稱軸，所以可以將其中的一個△翻轉180度，構造全等。也可以應用角分線定理作垂直）基本圖形

B

圖一

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗?；咀鲌D很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經常總結方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。

B圖二

C

B圖三

C

例題：

1．已知，CE、AD是△ABC的角平分線，∠B＝60°。求證：AC＝AE＋CD。

2．已知，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB。求證：DC⊥AC。

B

圖二

圖三

3．已知，四邊形ABCD中，ABCD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求證：BC＝AB＋CD。

4．已知，在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB＝2AC。求證：

（1）∠C＝90°；（2）AE=2CE。

B

圖五

5．已知，在RT△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分線。求證：BC＝AB＋AD。

6．已知，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠A。求證：AB－AC＝CD。

注意：只要看到平分線上的點，要想到向兩邊作垂線了（點分線，垂兩邊）

7．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2。求證：BC＝AB＋AD。

圖八

8．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC

9．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CE⊥AB，AE＝

2（AB＋AD）。

圖十

求證：∠D＋∠B＝180°。

10．已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC。

圖十一

2．角平分線＋垂線，角平分線＋平行線，等腰三角形要呈現(xiàn)，線段和差倍分都實現(xiàn)。

G

圖

1圖2-1

圖2-2

例題

1． 已知，∠1＝∠2，AB

＞AC，CD⊥AD于D，H是BC求證：DH＝12

（AB－AC）。

2． 已知，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BE。求證：BD＝2CE。

圖2

3． 已知，∠1＝∠2，CF⊥AE于E，BE⊥AE于E，G為BC中點，連接GE、GF。求證：GF＝GE。

圖3

第五篇：八年級數學下冊 幾何證明初步知識點

第十一章 幾何證明初步知識點整理

1.定義：用來說明一個名詞含義的語句叫做定義.2.命題：對事情進行判斷的語句叫做命題.每個命題都由條件和結論兩部分組成.條件是已知事項,結論是由已知事項推斷出的事項.一般地,命題可以寫成“如果??,那么??”的形式,其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結論.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.例如,下列句子都不是命題:(1)你喜歡數學嗎?(2)作線段AB=CD.⑶清新的空氣；⑷不許講話。3.正確的命題稱為真命題,不正確的的命題稱為假命題.4.反例：要指出一個命題是假命題，只要能舉出一個例子，使它具備命題的條件，而不符合命題的結論就可以了。這種例子稱為反例。

5.公理：人類經過長期實踐后公認為正確的命題,作為判斷其他命題的依據。這些公認為正確的命題叫做公理。

證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實.推理的過程稱為證明.定理:經過證明的真命題稱為定理.本套教材以下列基本事實作為公理： 1.兩點確定一條直線。

2.過直線外一點可以作且只能作一條直線與已知直線平行。3.兩直線平行,同位角相等。

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。5.判斷三角形全等的方法：SAS ASA SSS。6.全等三角形的對應角相等，對應邊相等。

7.在等式或不等式中,一個量可以用它的等量來代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,這一性質也看作公理,稱為“等量代換”.判斷：

所有的命題都是公理。所有的真命題都是定理。所有的定理是真命題。所有的公理是真命題。

6.在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題。把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。Eg:(1)兩條直線平行，內錯角相等．

(2)如果兩個實數相等，那么它們的平方相等．(3)如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等．(4)全等三角形的對應角相等．

注意: 一個命題是真命題,它的逆命題卻不一定是真命題.如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題就是原來定理的逆定理?。ü垂啥ɡ砗退哪娑ɡ恚?/p>

7.三角形內角和定理：三角形三個角的內角和等于180° 推論一：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。推論二：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角。8.直角三角形的兩個銳角互余。有兩角互余的三角形是直角三角形。三角形的外角和等于360°。

9.反證法：先提出與命題的結論相反的假設,推出矛盾,從而證明命題成立.這種證明的方法叫做反證法.反證法的步驟：否定結論—推出矛盾—肯定結論 Eg:

1、“a＜b”的反面應是（）（A）a≠＞b（B）a ＞b（C）a=b（D）a=b或a ＞b

2、用反證法證明命題“三角形中最多有一個是直角”時，應如何假設？ ___________________________________

3、寫出下列各結論的反面：

（1）a//b（2）a≥0（3）b是正數（4）a⊥b(5)至多有一個（6）至少有一個 常用的互為否定的表述方式：

都是——不都是；大于——不大于；至少有一個——一個也沒有；至少有三個——至多有兩個；至少有n個——至多有(n-1)個；至多有一個——至少有兩個