第一篇：辛欽大數(shù)定律的證明(在第15頁)

第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的理論結(jié)果。本章簡單地介紹兩類極限定理---“大數(shù)定律”和“中心極限定理”。

通常，把敘述在什么條件下一隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值（按某種意義）收斂于某數(shù)的定理稱為“大數(shù)定律”；把敘述在什么條件下大量的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布的定理稱為“中心極限定理”。本教材只介紹極限定理的經(jīng)典結(jié)果。分布函數(shù)、矩和特征函數(shù)是解決經(jīng)典極限定理的主要工具。

一、教學(xué)目的與要求

1． 掌握四個大數(shù)定律的條件、結(jié)論及數(shù)學(xué)意義；

2． 理解隨機(jī)變量序列的兩種收斂性的定義及其關(guān)系，了解特征函數(shù)的連續(xù)性定理；

3． 掌握獨(dú)立同分布中心極限定理的條件、結(jié)論，并會用來解決一些實(shí)際問題。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是講清大數(shù)定律的條件、結(jié)論和中心極限定理的條件、結(jié)論。教學(xué)難點(diǎn)是隨機(jī)變量序列的兩種收斂性及大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用。

§4.1 大數(shù)定律

一、大數(shù)定律的意義

在第一章中引入事件與概率的概念時曾經(jīng)指出，盡管隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量的試驗(yàn)中則呈現(xiàn)出明顯的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性——頻率的穩(wěn)定性。頻率是概率的反映，隨著觀測次數(shù)n的增加，頻率將會逐漸穩(wěn)定到概率。這里說的“頻率逐漸穩(wěn)定于概率”實(shí)質(zhì)上是頻率依某種收斂意義趨于概率，這個穩(wěn)定性就是“大數(shù)定律”研究的客觀背景。

詳細(xì)地說：設(shè)在一次觀測中事件A發(fā)生的概率P?A??p，如果觀測了n次（也就是一個n重貝努里試驗(yàn)），A發(fā)生了?n次，則A在n次觀測中發(fā)生的頻率為大時，頻率

?n，當(dāng)n充分n?n逐漸穩(wěn)定到概率p。若用隨機(jī)變量的語言表述，就是：設(shè)?i表示第i次觀n測中事件A發(fā)生次數(shù)，即

?i???1,?0,第i次試驗(yàn)中A發(fā)生第i次試驗(yàn)中A不發(fā)生

ni?1,2,?,n

則?1,?2,?,?n是n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，顯然?n???i。

i?11n從而有???i

nni?1?n因此“?n穩(wěn)定于p”，又可表述為n次觀測結(jié)果的平均值穩(wěn)定于p。n?n穩(wěn)定于p是否能寫成 n 現(xiàn)在的問題是：“穩(wěn)定”的確切含義是什么？ limn??亦即，是否對???0，?N,當(dāng)n?N時,有?nn?p（1）

?nn（2）?p?? 對n重貝努里試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)都成立？

實(shí)際上，我們發(fā)現(xiàn)事實(shí)并非如此，比如在n次觀測中事件A發(fā)生n次還是有可能的，此時?n?n,?nn?1，從而對0???1?p，不論N多么大，也不可能得到當(dāng)n?N時,有?nn?p??成立。也就是說，在個別場合下，事件（?nn?p??）還是有可能發(fā)生的，不過當(dāng)n很大時，事件（?nn?p??）發(fā)生的可能性很小。例如，對上面???的?n?n，有 P?n?1??pn。

?n?????顯然，當(dāng)n??時，P?n?1??pn?0，所以“n穩(wěn)定于p”是意味著對???0，n?n?有

limP(|n???nn?p??)?0（3）

（概率上“?n?穩(wěn)定于p”還有其他提法，如博雷爾建立了P(limn?p)?1，從而

n??nn開創(chuàng)了另一形式的極限定理---強(qiáng)大數(shù)定律的研究）

1n沿用前面的記號，（3）式可寫成limP(?i?p??)?0 ?n??ni?1一般地，設(shè)?1,?2,?,?n,?是隨機(jī)變量序列，a為常數(shù)，如果對???0，有

1nlimP(??i?a??)?0（4）n??ni?1即

1nlimP(?i?a??)?1 ?n??ni?11n則稱??i穩(wěn)定于a。

ni?1概率論中，一切關(guān)于大量隨機(jī)現(xiàn)象之平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理，統(tǒng)稱為大數(shù)定律。若將（4）式中的a換成常數(shù)列a1,a2,?,an,?，即得大數(shù)定律的一般定義。定義4.1：若?1,?2,?,?n,?是隨機(jī)變量序列，如果存在常數(shù)列a1,a2,?,an,?，使對???0，有

1nlimP(??i?an??)?1 n??ni?1成立，則稱隨機(jī)變量序列??n?服從大數(shù)定律。

若隨機(jī)變量?i具有數(shù)學(xué)期望E?i,i?1,2,?，則大數(shù)定律的經(jīng)典形式是： 對???0，有

1n1nlimP(E?i??)?1 ??i?n?n??ni?1i?11n這里常數(shù)列an??E?i,n?1,2,?

ni?

1二、四個大數(shù)定律

本段介紹一組大數(shù)定律，設(shè)?1,?2,?,?n,?是一隨機(jī)變量序列，我們總假定

E?i,i?1,2,?存在。

首先看一課后題P222的T4.23（馬爾可夫大數(shù)定律）

1?n?如果隨機(jī)變量序列{?n}，當(dāng)n??時，有2D???i??0（*）

n?i?1?證明：??n?服從大數(shù)定律。

證明 : 對???0，由契貝曉夫不等式，有

1n1n1n1n0?P(E?i??)?P(?i?E(??i)??)??i?n??ni?1nni?1i?1i?11?1n??n??2D???i??22D???i??0,n?? ??ni?1?n??i?1?1因此

1n1nlimP(E?i??)?0 ??i?n?n??ni?1i?1即

1n1nlimP(?i??E?i??)?1 ?n??ni?1ni?14 故??n?服從大數(shù)定律。＃ 此大數(shù)定律稱為馬爾可夫大數(shù)定律，（*）式稱為馬爾可夫條件。

定理4.2（契貝曉夫大數(shù)定律）設(shè)?1,?2,?,?n,?是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量，又設(shè)它們的方差有界，即存在常數(shù)C?0，使有

D?i?C,i?1,2,?

則隨機(jī)變量序列??n?服從大數(shù)定律，即對???0，有

1n1nlimP(E?i??)?1 ??i?n?n??ni?1i?1證明： 因?yàn)閧?i}兩兩不相關(guān)，且由它們的方差有界即可得到

0?D(??i)??D?i?nc

i?1i?1nn從而有

1?n?D???i??0,n?? 2n?i?1?滿足馬爾可夫條件，因此由馬爾可夫大數(shù)定律，有

1n1n limP(??i??E?i??)?1 ＃

n??ni?1ni?1注：契貝曉夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例。

例4.1 設(shè)?1,?2,?為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，均服從參數(shù)為?的普哇松分布，則由獨(dú)立一定不相關(guān)，且E?i??,D?i??,i?1,2,?，因而滿足定理4.2的條件，因此有

1nlimP(?i????)?1 ?n??ni?1注：此例題也可直接驗(yàn)證滿足馬爾可夫條件。

定理4.1（貝努里定理或貝努里大數(shù)定律）:設(shè)?n是n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p,?0?p?1?，則對???0，有

limP(n???nn?p??)?1

?1,證明：令?i???0,第i次試驗(yàn)中A發(fā)生第i次試驗(yàn)中A不發(fā)生 i?1,2,?,n 顯然?n???i

i?1n由定理?xiàng)l件，?i?i?1,2,?,n?獨(dú)立同分布（均服從二點(diǎn)分布）。且E?i?p,D?i?p?1?p?都是常數(shù)，從而方差有界。由契貝曉夫大數(shù)定律，有

limP(n???n?1n???p??)?limP???p???1 ＃ ?i??n??n?ni?1?貝努里大數(shù)定律的數(shù)學(xué)意義：貝努里大數(shù)定律闡述了頻率穩(wěn)定性的含義，當(dāng)n充分大時可以以接近1的概率斷言，?n將落在以p為中心的?內(nèi)。貝努里大數(shù)定律為用頻率n估計(jì)概率（p??nn）提供了理論依據(jù)。

注1：此定理的證明也可直接驗(yàn)證滿足馬爾可夫條件。

注2：貝努里大數(shù)定律是契貝曉夫大數(shù)定律的特例。它是1713年由貝努里提出的概率極限定理中的第一個大數(shù)定律。

以上大數(shù)定律的證明是以契貝曉夫不等式為基礎(chǔ)的，所以要求隨機(jī)變量的方差存在，通過進(jìn)一步研究，我們發(fā)現(xiàn)方差存在這個條件并不是必要條件。

定理4.3（辛欽大數(shù)定律）設(shè)?1,?2,?是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且數(shù)學(xué)期望存在E?i?a,i?1,2,?,則對???0，有

1nlimP(?i?a??)?1 ?n??ni?1成立。

此定理的證明將在§4.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂性中給出。注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例。

辛欽大數(shù)定律的數(shù)學(xué)意義：辛欽大數(shù)定律為實(shí)際生活中經(jīng)常采用的算術(shù)平均值法提供了理論依據(jù)。它斷言：如果諸?i是具有數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，則當(dāng)n充分大時，算術(shù)平均值

?1??2????nn一定以接近1的概率落在真值a的任意小的鄰域內(nèi)。據(jù)此，如果要測量一個物體的某指標(biāo)值a，可以獨(dú)立重復(fù)地測量n次，得到一組數(shù)據(jù)：x1,x2,?,xn，當(dāng)n充分大時，可以確信a?x1?x2???xnx?x2???xn，且把1nn6

?1n?作為a的近似值比一次測量作為a的近似值要精確的多，因E?i?a，E???i??a；但

?ni?1?11n?1n??2，即??i關(guān)于a的偏差程度是一次測量的偏差程度的，D?i??，D???i??nni?1?ni?1?n2n越大，偏差越小。再比如要估計(jì)某地區(qū)小麥的平均畝產(chǎn)量，只要收割一部分有代表性

1n的地塊，計(jì)算它們的平均畝產(chǎn)量，這個平均畝產(chǎn)量就是??i，在n比較大的情形下它

ni?1可以作為全地區(qū)平均畝產(chǎn)量，即畝產(chǎn)量的期望a的一個近似。這種近似或“靠近”并不是我們數(shù)學(xué)分析中的極限關(guān)系，而是§4.2中的依概率收斂。

辛欽大數(shù)定律也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中參數(shù)估計(jì)理論的基礎(chǔ)，通過第六章的學(xué)習(xí)，我們對它會有更深入的認(rèn)識。作業(yè)：P222?223 T4.24,4.30,4.317

§4.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂性

一、依概率收斂

在上一節(jié)上，我們從頻率的穩(wěn)定性出發(fā)，得出下面的極限關(guān)系式：

1nlimP(?n?a??)=0，其中?n???i或等價于limP(?n?a??)?1 n??n??ni?1這與數(shù)學(xué)分析中通常的數(shù)列收斂的意義不同。在上式中以隨機(jī)變量? 代替常數(shù)a便得到新的收斂概念。

1、定義4.2（依概率收斂）設(shè)有一列隨機(jī)變量?,?1,?2,?，如果對???0，有

limP(?n????)?1

n??或

limP(?n????)?0

n??則稱隨機(jī)變量序列 ??n?依概率收斂于?，記作

lim?n??

n??P或

P?n????（n??）

從定義可見，依概率收斂就是實(shí)變函數(shù)中的依測度收斂。

PP由定義可知，?n??????n?????0(n??)

有了依概率收斂的概念，隨機(jī)變量序列??n? 服從大數(shù)定律的經(jīng)典結(jié)果就可以表示為

1n1nP?i????E?i?ni?1ni?1(n??)

特別地，貝努里大數(shù)定律可以描述為

?nnP???p（n??)

1nP辛欽大數(shù)定律描述為??i???a（n??)

ni?18 例

1、設(shè)??n? 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E?i?a,D?i??2，證明： 2nPn(n?1)?k?k???a（n??)k?1證：?E??2nnn?n(n?1)?k??2k?1?n(n?1)??a2k??kE?kk?1n(n?1)?k?a k?1????0，由契貝曉夫不等式

nnD(20?P(2k?n(n?1)?k?k)k?11nn(n?1)?k?a??)?k2D?kk?1?2?4?2n2(n?1)2?k?1

=41n(n?1)(2n?1)22?22n?1?2n2(n?1)26??3?2n(n?1)?0(n??)故

limn??P(2n(n?1)?nk?k?a??)?0 k?1 即

2nn(n?1)?k?Pk???a(n??)k?

12、性質(zhì)

1）、若?P?,?Pn???n????,則P(???)?1。

證明：??????n????n??

????0，由????? 則?n????2與?n????2中至少有一個成立，即???????????????2???????????nn???2??

于是

0?P(?????)?P(???n???2)?P(?n???2)?0(n??)即對???0,有

P(|???|??)?1

從而有

＃ P(???)?1 ＃

這表明，若將兩個以概率為1相等的隨機(jī)變量看作相等時，依概率收斂的極限是唯一的。

PP2）、設(shè)?若?n??n?,??n? 是兩個隨機(jī)變量序列，a,b為常數(shù)，??a,?n???b且g(x,y)在P點(diǎn)(a,b)連續(xù)，則g(?n,?n)???g(a,b)(n??)。

PPP3）、若?n????,?n????,則?n??n??????(n??)；

P?n?n?????(n??)；

P?n???a,a?0是常數(shù)，且?n?0，則

1P。????na12）、3）的證明方法類似于1）。

二、按分布收斂

P我們知道，分布函數(shù)全面地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，那么當(dāng)?n????時，其相應(yīng)的分布函數(shù)Fn(x)與F(x)之間會有什么樣的關(guān)系呢？是不是對所有的x，有Fn(x)→F(x)（n→?）成立呢？答案是否定的。

例4．2 設(shè)?n(n?1)及?都是服從退化分布的隨機(jī)變量，且

1P{?n??}?1,n?1,2,? nP{??0}?1于是對???0，當(dāng)n?

1?時，有

P{?n????}?P{|?n|??}?0

所以

P?n????(n??)

又?n的分布函數(shù)為

1?0,x???n Fn(x)??1?1,x??n??的分布函數(shù)為

?0,x?0 F(x)???1,x?0顯然，當(dāng)x?0時，有

limFn(x)?F(x)

n??但當(dāng)x?0時，limFn(0)?lim1?1?0?F(0)

n??n?? 上例表明，一個隨機(jī)變量序列依概論收斂到某隨機(jī)變量，相應(yīng)的分布函數(shù)列不是在每一點(diǎn)都收斂于這個隨機(jī)變量的分布函數(shù)的。但如果仔細(xì)觀察一下這個例子，發(fā)現(xiàn)不收斂的點(diǎn)正是F(x)的不連續(xù)點(diǎn)。要求Fn(x)在每一點(diǎn)都收斂到F(x)是太苛刻了，可以去掉F(x)的不連續(xù)點(diǎn)來考慮。

1、定義4.3 設(shè)F(x),F1(x),F2(x),?是一列分布函數(shù)，如果對F(x)的每個連續(xù)點(diǎn)x，都有

limFn(x)?F(x)

n??成立，則稱分布函數(shù)列?Fn(x)?弱收斂于分布函數(shù)F(x)，并記作

WFn(x)???F(x)(n??)

若隨機(jī)變量序列?n(n?1,2,?)的分布函數(shù)Fn(x)弱收斂于隨機(jī)變量?的分布函數(shù)F(x),也稱?n按分布收斂于?，并記作

L?n????(n??)

2、依概率收斂與按分布收斂（弱收斂）之間的關(guān)系

P定理4.4 若隨機(jī)變量序列?1,?2,?依概率收斂于隨機(jī)變量?，即?n????(n??)

則相對應(yīng)的分布函數(shù)列F1(x),F2(x),?弱收斂于分布函數(shù)F(x)，即

WFn(x)???F(x)(n??)

定理4.4也可表示成如下形式：

PL?n????(n??)??n????(n??)

證明 ：對任意的x?,x?R有(??x?)?(?n?x,??x?)?(?n?x,??x?)?(?n?x)?(?n?x,??x?)從而有

P(??x?)?P(?n?x)?P(?n?x,??x?)

即

F(x?)?Fn(x)?P(?n???x?x?)

P如果x??x，由 ?n????就有

P(?n?x,??x?)?P(?n???x?x?)?0,n??

所以有

F(x?)?limFn(x)

n??同理可證，當(dāng)x???x時，有

F(x??)?limFn(x)

n??于是對x??x?x??有

F(x?)?limFn(x)?limFn?F(x??)

n??n??令x??x,x???x，即得

F(x?0)?limFn(x)?limFn?F(x?0)

n??n??顯然，如果x是F(x)的連續(xù)點(diǎn)，就有

limFn(x)?F(x)＃

n??注意：這個定理的逆命題不一定成立，即不能從分布函數(shù)列的弱收斂肯定相 應(yīng)的隨機(jī)變量序列依概率收斂。

例4.3 拋擲一枚均勻的硬幣，有兩個可能的結(jié)果：?1=“出現(xiàn)正面”，?2=“出現(xiàn)反面”，則

P(?1)?P(?2)?1 2令

?1,???1 ?(?)??

????1,?2因?(?)是一個隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為

?1,?1F(x)??,?2?0,x?1?1?x?1

x??1這時，若?(?)???(?)，則顯然?(?)與?(?)有相同的分布函數(shù)F(x)。再令?n??，?n的分布函數(shù)記作Fn(x)，故Fn(x)=F(x)，于是對任意的x?R，有

limFn(x)?limF(x)?F(x)

n??n??W所以Fn(x)???F(x)成立，而對任意的0???2，恒有

P(|?n??|??)?P(2|?|??)?1

P即不可能有?n????成立。

但在特殊情況下，它卻是成立的。

P定理4.5 隨機(jī)變量序列?n?????c(c為常數(shù)）的充要條件是

WFn(x)???F(x)(n??)

這里F(x)是??c的分布函數(shù)，也就是退化分布:

?1,x?c F(x)??0,x?c?定理4.5也可表示成如下形式：

PL?n???c(n??)??n???c(n??)

證明：必要性已由定理4.4給出，下面只要驗(yàn)證充分性。對任意的??0，有

P{?n?c??}?P(?n?c??)?P(?n?c??)?1?Fn(c??)?Fn(c???0)?1?1?0?0,n??

定理4.5得證。＃

本章將要向大家介紹的大數(shù)定律實(shí)際上就是隨機(jī)變量列依概率收斂于常數(shù)的問題，由定理4.5知，它可歸結(jié)為相應(yīng)的分布函數(shù)列弱收斂于一退化分布，而中心極限定理就是隨機(jī)變量的分布函數(shù)列弱收斂問題，可見分布函數(shù)列的弱收斂在本章討論中占重要地位。然而，要直接判斷一個分布函數(shù)列是否弱收斂是很困難的,上一章我們就知道，分布函數(shù)與特征函數(shù)一一對應(yīng)，而特征函數(shù)較之分布函數(shù)性質(zhì)優(yōu)良很多，故判斷特征函數(shù)的收斂一般較容易，那么是否有

Fn?x????F(x)?相應(yīng)的?n(t)??(t)

W?答案是肯定的。即下述的特征函數(shù)的連續(xù)性定理。

三、特征函數(shù)的連續(xù)性定理

定理4.6 分布函數(shù)列?Fn(x)?弱收斂于分布函數(shù)F(x)的充要條件是相應(yīng)的特殊函數(shù)列??n(t)?收斂于F(x)的特征函數(shù)?(t)。

證明 ：整個證明比較冗長（略）。

例4.4 若??是服從參數(shù)為?的普哇松分布的隨機(jī)變量，證明：

???1limP(??x)?????2?證明：已知??的特征函數(shù)為??(t)?e?(eit?e??x?t22dt

?1)，故???????的特征函數(shù)為 ?itg?(t)???(對任意的t，有

t?)e?i?t?e?(e??1)?i?t

e于是

it?t21?1???o(),???

??2!?it?(eit?t21t2?1)?i?t?????o()??,???

2?2從而對任意的點(diǎn)列?n??，有

limg?n(t)?e?t22?n???t22

又e是N(0,1)分布的特征函數(shù)，由定理4.6即知有

???1limP(??x)?????2?n?e??x?t22dt

因?n是可以任意選取的，所以

???1 limP(??x)?????2??e??x?t22dt ＃

注：此例說明普哇松分布（當(dāng)參數(shù)???時）收斂于正態(tài)分布。

下面我們利用定理4.6來證明上一節(jié)的定理4.3（辛欽大數(shù)定律）。證明：因?1,?2,??同分布，故有相同的特征函數(shù)?(t)，又E??a?在t?0處展開，有

??(0)i，將?(t)?(t)??(0)???(0)t?o(t)?1?iat?o(t)

1n由?1,?2,?相互獨(dú)立，得?n???k的特征函數(shù)為

nk?1tttgn(t)?[?()]n?[1?ia?o()]n

nnn對于任意取定的t，有

limgn(t)?lim[1?ian??n??tt?o()]n?eiat nn由例題3.26已知eiat是退化分布的特征函數(shù)，相應(yīng)的分布函數(shù)為

?1,x?a F(x)???0,x?a1n由定理4.6知??i的分布函數(shù)弱收斂于F(x)，再由定理4.5得

ni?11nP?i???a ?ni?1故辛欽大數(shù)定律成立。＃

我們曾經(jīng)指出特征函數(shù)在求獨(dú)立和的分布時所具有的特殊威力，而本節(jié)所敘述的特征函數(shù)連續(xù)性定理（定理4.6）“如虎添翼”，更增加了特征函數(shù)在解決獨(dú)立和的分布的極限問題時的效能，使之成為無與倫比的銳利工具。在下一節(jié)中將利用這一工具專門討論獨(dú)立和的分布的極限問題。

最后了解如下的斯魯茨基定理：

定理4.7 設(shè){?1n},{?2n},?,{?kn}是k個隨機(jī)變量序列，并且

?in?ai,n??(i?1,2,?,k)

又R(x1,x2,?,xk)是k元變量的有理函數(shù)，并且R(a1,a2,?,ak)???，則有

R(?1n,?2n,?,?kn)?R(a1,a2,?,ak),n??

PP成立。

掌握斯魯茨基定理的如下幾個特例：

如果{?n},{?n}是兩個隨機(jī)變量序列，并且當(dāng)n??時有

?n?a,?n?b

其中a,b是兩個常數(shù)，這時有

PP??P（1）?n??n?a?b,n??；

??（2）?n??n?a?b,n??（若b?0）成立。

作業(yè)：P220?222 T4.7, 4.9,4.13,4.14,4.19P

§4.3 中心極限定理

前一章介紹正態(tài)分布時，我們一再強(qiáng)調(diào)正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)中的重要地位和作用，為什么實(shí)際上有許多隨機(jī)現(xiàn)象會遵循正態(tài)分布？這僅僅是一些人的經(jīng)驗(yàn)猜測還是確有理論依據(jù)，“中心極限定理”正是討論這一問題的。在長達(dá)兩個世紀(jì)的時間內(nèi)成為概率論討論的中心課題，因此得到了中心極限定理的名稱。

一、中心極限定理的概念

設(shè)??n?為一獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且E?n,D?n，n?1,2,?均存在，稱

?n?????E?kk?1k?1nnk?D?k?1n

k為??n?的規(guī)范和。

概率論中，一切關(guān)于隨機(jī)變量序列規(guī)范和的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定理統(tǒng)稱為中心極限定理，即設(shè)??n?的規(guī)范和?n，有

limP??n?x??n??e?2???1x?t22dt

則稱??n?服從中心極限定理。

?n???E????kk?k?1?k?1?近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布??。中心極限定理實(shí)質(zhì)上為N0,1n??D???k??k?1?n

二、獨(dú)立同分布中心極限定理

大數(shù)定律僅僅從定性的角度解決了頻率

?n?P穩(wěn)定于概率p，即n???p，為了定量nn地估計(jì)用頻率?n估計(jì)概率p的誤差，歷史上De Moivre—Laplace給出了概率論上第一n個中心極限定理，這個定理證明了?n的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量漸近于N(0,1)分布。定理4.8（德莫佛—拉普拉斯）極限定理 在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0?p?1)，?n為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則

??n?nplimP??n????npq?x????12??x??e?t22dt

注：定理4.8說明?n?npnpq近似服從N(0,1)，從而?n近似服從N(np,npq)，又?n服從二項(xiàng)分布b(n,p)，所以定理4.8也稱為二項(xiàng)分布的正態(tài)近似或二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布。在第二章，普哇松定理也被說成是“二項(xiàng)分布收斂于普哇松分布”。同樣一列二項(xiàng)分布，一個定理說是收斂于普哇松分布，另一個定理又說是收斂于正態(tài)分布，兩者不是說有矛盾嗎？請仔細(xì)比較兩個定理的條件和結(jié)論，就可以知道其中并無矛盾之處。這里應(yīng)該指出的是在定理4.8中np??，而普哇松定理中則要求npn??(???)。所以在實(shí)際問題中作近似計(jì)算時，如果n很大，np不大或nq不大（即p很小或q?1?p很?。?，則應(yīng)該利用普哇松定理；反之，若n,np,nq都較大，則應(yīng)該利用定理4.8。定理4.9（林德貝爾格-勒維）極限定理

設(shè)?1，?2,……是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且

E?k??，D?k??2?2?0 k?1,2,?

則有

???n????k?n??limP?k?1?x???n????n????證明：設(shè)?k?a的特征函數(shù)為?(t)，則

?2?1x??e?t22dt

注：德莫佛—拉普拉斯極限定理是林德貝爾格-勒維極限定理的特例。

??k?1nk?na?n的特征函數(shù)為

???k?a

k?1?nn??t?????????

???n??n又因?yàn)?/p>

E(?k?a)?0,D(?k?a)??2 所以

??(0)?0,???(0)???2

于是特征函數(shù)為?(t)有展開式

t21?(t)??(0)???(0)t????(0)?o(t2)?1??2t2?o(t2)

22從而對任意固定的t，有

??t???tt???1??o()??e ???????22n?n?????n??22n?t22n,n??

又e?t22是N(0,1)分布的特征函數(shù)，由定理4.6有

?n????k?n??limP?k?1?x???n????n?????2?1x??e?t22dt

注：定理4.9表明：當(dāng)n充分大時，?n???k?1nk?na?n的分布近似于N(0,1)，從而?1??2????n?na??n?n具有近似分布N(na,n?2)。這意味大量相互獨(dú)立、同分布且存在方差的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布。該結(jié)論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的大樣本理論中有廣泛應(yīng)用，同時也提供了計(jì)算獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和的近似概率的簡便方法。

三、應(yīng)用

德莫佛—拉普拉斯中心極限定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理，它有許多重要的應(yīng)用。下面介紹它在數(shù)值計(jì)算方面的一些具體應(yīng)用。

1、二項(xiàng)概率的近似計(jì)算

設(shè)?n是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則?n～b?n;p?，對任意a?b有

P?a??n?b??a?k?b?Cknpk?1?p?n?k

當(dāng)n很大時，直接計(jì)算很困難。這時如果np不大（即p較小接近于0）或n?1?p?不大（即p接近于1）則用普阿松定理來近似計(jì)算（np大小適中）；

當(dāng)p不太接近于0或1時，可用正態(tài)分布來近似計(jì)算（np較大P219）：

a?np?n?npb?np?b?np?a?np? P?a??n?b??P????????????????npqnpqnpq??npq??npq???????例

1、（P223的T4.34）

在一家保險(xiǎn)公司里有10000個人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006，死亡時其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問：

（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率多大？

（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40000元的概率為多大？ 解：保險(xiǎn)公司一年的總收入為120000元，這時

（1）若一年中死亡人數(shù)?120，則保險(xiǎn)公司虧本；（2）若一年中死亡人數(shù)?80，則利潤?40000元。令

?i??n?1,第i個人在一年內(nèi)死亡

?0,第i個人在一年內(nèi)活著則P(?i?1)?0.006?p，記?n???i,n?10000已足夠大，于是由德莫佛—拉普拉斯中

i?1心極限定理可得欲求事件的概率為

（1）P(?n?120)?1?P(（其中b?60）7.723?n?npnpq?120?npnpq?b)?1?12??b??e?x22dx?0

同理可求得

（2）P(?n?80)?0.995（對應(yīng)的b?2.59。）例

2、某單位內(nèi)部有260架電話分機(jī)，每個分機(jī)有4%的時間要用外線通話?？梢哉J(rèn)為各個電話分機(jī)用不同外線是相互獨(dú)立的。問：總機(jī)需備多少條外線才能以95%的把握保證各個分機(jī)在使用外線時不必等候？

解：由題意，任意一個分機(jī)或使用外線或不使用外線只有兩種可能結(jié)果，且使用外線的概率p=0.04，260個分機(jī)中同時使用外線的分機(jī)數(shù)?260～b?260;0.04?

設(shè)總機(jī)確定的最少外線條數(shù)為x,則有 P??260?x??0.95 由于n?260較大，故由德莫佛—拉普拉斯定理，有

x?260p?P??260?x?????0.95

???260pq???查正態(tài)分布表可知

x?260p260pq解得

?1.65

x?16

所以總機(jī)至少備有16條外線，才能以95%的把握保證各個分機(jī)使用外線時不必等候。

2、用頻率估計(jì)概率的誤差估計(jì)

??n??由貝努里大數(shù)定律 limP??p????0 n???n????n??那么對給定的?和較大的n，limP??p???究竟有多大？ n???n??貝努里大數(shù)定律沒有給出回答，但利用德莫佛—拉普拉斯極限定理可以給出近似的解答。

對充分大的n

???np??n??n?P??p???P???n?????npq? ???????n????????pq????n???2????pq???n?? pq??n???1 pq??故

????n???n?n????P??n?p?????1?P??n?p?????2?1????pq?? ?????????? 由此可知，德莫佛—拉普拉斯極限定理比貝努里大數(shù)定律更強(qiáng)，也更有用。

例

3、重復(fù)擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，設(shè)在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的概率p未知。試問要擲多少次才能使出現(xiàn)正面的頻率與p相差不超過解：依題意，欲求n，使

1的概率達(dá)95%以上？ 10021

??n1??P??p??n??0.95100?????n1?n??0.01??1?0.95?P??p??2??n??100?pq?????n???0.975??0.01? pq???0.01n?1.96pqn2?1962pq11?pq??n?1962??960444所以要擲硬幣9604次以上就能保證出現(xiàn)正面的頻率與概率之差不超過作業(yè)：P224?225 T4.41,4.42,4.451。100

§4.4 中心極限定理（續(xù)）

獨(dú)立非同分布中心極限定理 自學(xué)討論

了解林德貝爾格條件和李雅普諾夫中心極限定理及其數(shù)學(xué)意義。

第二篇：第5章大數(shù)定律和中心極限定理

第五章大數(shù)定律和中心極限定理總述

第17 次教案

§5.1大數(shù)定律

人們在長期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，也就是說隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率將穩(wěn)定與一個確定的常數(shù)。對某個隨機(jī)變量X進(jìn)行大量的重復(fù)觀測，所得到的大批觀測數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，由于這類穩(wěn)定性都是在對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下呈現(xiàn)出來的，因而反映這方面規(guī)律的定理我們就統(tǒng)稱為大數(shù)定律。

一、契比雪夫不等式

Theorem 4.1設(shè)隨機(jī)變量X的均值E(X)及方差D(X)存在，則對于任意正數(shù)?，有不等式

P{|X?E(X)|??}?

D(X)

?

成立。

或P{|X?E(X)|??}?1?

D(X)

?

我們稱該不等式為契比雪夫（Chebyshev）不等式。Proof:（我們僅對連續(xù)性的隨機(jī)變量進(jìn)行證明）設(shè)f(x)為X的密度函數(shù)，記E(X)??，D(X)??

則P{|X?E(X)|??}?

?

1??

?

f(x)dx?

?

x????

(x??)

x????

?

f(x)dx

2?2

2?????

從定理中看出，如果D(X)越小，那么隨機(jī)變量X取值于開區(qū)間(E(X)??,E(X)??)中的(x??)f(x)dx?

??

?

D(X)

概率就越大，這就說明方差是一個反映隨機(jī)變量的概率分布對其分布中心(E(X))的集中程度的數(shù)量指標(biāo)。

利用契比雪夫不等式，我們可以在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下估算事件{|X?E(X)|??}的概率。

Example 5.1設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)?10，方差D(X)?0.04,估計(jì)P?9.2?X?11?的大小。

Solution

P?9.2?X?11??P??0.8?X?10?1??PX?10?0.8??1?

0.04(0.8)

?0.937

5因而 P?9.2?X?11?不會小于0.9375.二、契比雪夫大數(shù)定律

Theorem 5.2設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?分別具有均值

E(X1),E(X2),?,E(Xn),?及方差D(X1)D(X2),?,D(Xn),?，若存在常數(shù)C，使

D(Xk)?C,(k?1,2,?)，則對于任意正整數(shù)?，有

?1n?1n

limP??Xk??E(Xk)????1 n??nk?

1?nk?1?

Proof：由于X1,X2,?,Xn,?相互獨(dú)立，那么對于任意的n?1，X1,X2,?,Xn相互

獨(dú)立。于是

D（1n

n

?

k?1

Xk)?

1n

n

?

k?1

D(Xk)?

Cn

令 yn?

1n

n

?X

k?1

k，則由契比雪夫不等式有 1?PYn?E(Yn)????1?

D(Yn)

?1?

Cn?

?

令n??，則有

limP?n?E(Yn)????1

n??

?1n?1n

即limP??Xk??E(Xk)????1.n??nk?1

?nk?1?

Corollary 5.1 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?有相同的分布，且 E(Xk)??，?1n?

D(Xk)??,(k?1,2,?)存在，則對于任意正整數(shù)?，有l(wèi)imP??Xk??????1.n??

?nk?1?

定理5.2我們稱之為契比雪夫大數(shù)定理，推論4.1是它的特殊情況，該推論表明，當(dāng)n很

?1n?

X????大時，事件??k?的概率接近于1。一般地，我們稱概率接近于1的事件為大概n?k?1?

率事件)，而稱概率接近于0的事件為小概率事件)，在一次試驗(yàn)中大概率事件幾乎肯定要發(fā)生，而小概率事件幾乎不可能發(fā)生，這一規(guī)律我們稱之為實(shí)際推斷原理。

三、貝努里大數(shù)定律

Theorem 5.3設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意正整數(shù)?，有l(wèi)imP?

n??

?m

?

?p????1.?n?

第k次試驗(yàn)A發(fā)生?

1(k?1,2,?)，X1,X2,?,Xk是n個相互Proof：令XK??

第k次試驗(yàn)A不發(fā)生?0

獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(Xi)?p,D(Xi)?pq.又 m?X1?X2???Xk，因而由推論4.1

有

?m?limP??p????1n??

?n??1

limP?n??

?n

n

?

k?1

?

Xk?p????1

?

定理5.3我們稱之為貝努利大數(shù)定律，它表明事件A發(fā)生的頻率mn依概率收斂于事件A的概率p，也就是說當(dāng)n很大時事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。根據(jù)實(shí)際推斷原理，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，就可以利用事件發(fā)生的頻率來近似地代替事件的概率。

第 18 次教案

§5.2中心極限定理

n

中心極限定理是研究在適當(dāng)?shù)臈l件下獨(dú)立隨機(jī)變量的部分和?Xk的分布收斂于正態(tài)分

k?1

布的問題。

Theorem 5.4設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?服從同一分布，且

n

E(Xk)??，D(Xk)??

?X

?0,(k?1,2,?)，則對于任意x，隨機(jī)變量Yn?

k?1

k

?n?的n?

分布函數(shù)Fn(x)趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即有

?n?

2X?n?t?k???x1??

limFn(x)?limP?k?1?x???e2dt

??n??n??

n?2???

????

定理的證明從略。

該定理我們通常稱之為林德貝格-勒維定理。

Corollary 5。2設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn服從同一分布，已知均值為?，方

n

差為?

?0.單分布函數(shù)未知，當(dāng)n充分大時，X?

n)).?X

k?1

k

近似服從正態(tài)分布

N(n?,(?

Corollary 5..3設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn服從同一分布，已知均值為?，方差為?

當(dāng)n充分大時,X??0.單分布函數(shù)未知，n

?n

Xk近似服從正態(tài)分布N(?,（?n)).k?1

由推論5.3知，無論X1,X2,?,Xn是什么樣的分布函數(shù)，他的平均數(shù)X當(dāng)n充分大時總是近似地服從正態(tài)分布。

Example 5.2某單位內(nèi)部有260部電話分機(jī)，每個分機(jī)有4%的時間要與外線通話，可以認(rèn)為每個電話分機(jī)用不同的外線是相互獨(dú)立的，問總機(jī)需備多少條外線才能95%滿足每個分機(jī)在用外線時不用等候? 第k個分機(jī)要用外線?1

(k?1,2,?,260)，X1,X2,?,X260 Solution令XK??

0第k個分機(jī)不要用外線?

是260個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(Xi)?0.04，m?X1?X2???X260表示同時使用外

線的分機(jī)數(shù)，根據(jù)題意應(yīng)確定最小的x使P{m?x}?95%成立。由上面定理，有

m?260px?260p??

???

260p(1?p)260p(1?p)??

查得?(1.65)?0.9505?0.95，故，取b?1.65，于是

??

P{m?x}?P?

??

?

b

12?

??

e

?

t

dt

x?b260p(1?p)?260p?1.65?260?0.04?0.96?260?0.04?15.61

也就是說，至少需要16條外線才能95%滿足每個分機(jī)在用外線時不用等候。

Example 5.3用機(jī)器包裝味精，每袋凈重為隨機(jī)變量，期望值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精凈重大于20500克的概率。

Solution設(shè)一箱味精凈重為X克，箱中第k袋味精的凈重為Xk克，k?1,2,?,200.X1,X2,?,X200是200個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(Xk)?100,D(Xk)?100，E(X)?E(X1?X2???X200)?20000,D(X)?20000,D(X)?100

2因而有P{X?20500}?1?P{X?20500}?1?P?

?

?X?20000

?

500100

?

??1??(3.54)?0.0002 2?

Theorem 5.5（德莫佛—拉普拉斯定理DeMovire-Laplace Theorem）設(shè)mA表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率。則對于任意區(qū)間

(a,b]，恒有

??limP?a?n??

??

mn?np

??

?b??

np(1?p)??

t

?

b

12?

a

e

?

dt

這兩個定理表明二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。一般來說，當(dāng)n較大時，二項(xiàng)分布的概

率計(jì)算起來非常復(fù)雜，這是我們就可以用正態(tài)分布來近似地計(jì)算二項(xiàng)分布。

n2

?Cnp(1?p)

k?n1

kkn?k

?P{n1?mn?n2}?P{??（n2?npnp(1?p))??（n1?npnp(1?p)n1?npnp(1?p)

?

mn?npnp(1?p)

?

n2?npnp(1?p))

Example 5.4 設(shè)隨機(jī)變量X服從B(100,0.8)，求P{80?X?100}.n?0.8?0.2

??(5)??(0)?1?0.5?0.5SolutionP{80?X?100}??（100?80)??（80?80n?0.8?0.2)

Example 5.5 設(shè)電路共電網(wǎng)中內(nèi)有10000盞燈，夜間每一盞燈開著的概率為0.7，假設(shè)各燈的開關(guān)彼此獨(dú)立，計(jì)算同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率。

Solution記同時開著的燈數(shù)為X，它服從二項(xiàng)分布B(10000,0.7)，于是

P{6800?X?7200}??（7200?7000

?0.7?0.3?0.7?0.3200

?2?()?1?2?(4.36)?1?0.99999?1

45.8

3)??（6800?7000)

第五章小結(jié)

本章介紹了大數(shù)定律和中心極限定理。要求了解契比雪夫不等式、契比雪夫定理和伯努利定理；了解獨(dú)立同分布的中心極限定理和德莫佛—拉普拉斯定理。

第三篇：第5章-大數(shù)定律與中心極限定理答案

n?n??n?X??X?n??i????i?i?1A)limP??x????x?;B)

limP?x????x?;

n??n?????

2????????1?n??n?X??X?n??i????i?i?1i?

1C)limP??x????x?;D)limP??x????x?;

n??n??n????

2?????????

其中??x?為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).解由李雅普諾夫中心極限定理:

E(Xi)?

?,D(Xi)?

?

2?i?1,2,?,n?,11??1

Sn??2?2??

?2??

?????

nn1?1?

??Xi?n??Xi???Xi?n

??i?1?i?1????N(0,1)

Snn

故選(B)

4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為?0.5,則根據(jù)切貝謝夫不等式估計(jì)PX?Y?6?（）.A)

??

1111

B)C)D)461216

解|E?X?Y???2?2?0

(Y,?)?XY D?X?Y??D?X??D?Y??2cov?X,Y?,covX

??1?4?2???0.5??1?2?3.由切貝謝夫不等式得 PX?Y?E?X?Y??6?故選(C)

5.若隨機(jī)變量X?B?1000,0.01?, 則P?4?X?16??（）.A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725 解|因?yàn)?E?X??1000?0.01?10,D?X??npq?10?0.99?9.9

??

D?X?Y?31

??.623612

由切貝謝夫不等式得

P?4?X?16??P?X?10?6?

?1?P?X?10?6??1?

故選(D)

D?X?9.9

?1??1?0.275?0.725.3662

二、填空題（每空2分，共10分）

1.已知離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為??3的泊松分布，則利用切貝謝夫不等式估計(jì)概率

P?X?3?5??解因?yàn)閄?P??m?

所以E?X??D?X??

3由切貝謝夫不等式PX?E?X??5?

??

D?X?3

?.522

52.已知隨機(jī)變量X存在數(shù)學(xué)期望E?X?和方差D?X?，且數(shù)學(xué)期望E?X??10，EX?109，利用

??

切貝謝夫不等式估計(jì)概率PX?10?6?解因?yàn)?E?X??10,D?X??EX

??

????E?X??

?109?100?9

由切貝謝夫不等式PX?10?6?

??

D?X?9

1??.2636

43.已知隨機(jī)變量X的方差為4，則由切貝謝夫不等式估計(jì)概率PX?E?X??3?解由切貝謝夫不等式PX?E?X??3?

??

??

4.9

4.若隨機(jī)變量X?B?n,p?,則當(dāng)n充分大時,X近似服從正態(tài)分布N 解因?yàn)?E?X??np,D?X??np?1?p?.三、計(jì)算或證明題題（每題10分，共80分）

1.如果隨機(jī)變量X存在數(shù)學(xué)期望E?X?和方差D?X?，則對于任意常數(shù)??0，都有切貝謝夫不等式：

P?X?EX????

DX

?2

（證明當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時的情況）

證明 設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為??x?,則

P?X?EX????

X?EX??

?

??x?dx?

X?EX??

?

X?EX

?2

??x?dx

D?X?

?

?2

?

??

??

X?EX??x?dx?

?2

.2.投擲一枚均勻硬幣1000次，試?yán)们胸愔x夫不等式估計(jì)出現(xiàn)正面次數(shù)在450次~550次之間的概率.解設(shè)隨機(jī)變量X表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù), 由于

X?B?1000,0.5?,所以E?X??500,D?X??250;

由切貝謝夫不等式

P?450?X?550??P?X?500?50??1?

D?X?250

?1??0.9.2

250050

3.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X服從區(qū)間??1,3?的均勻分布，試?yán)们胸愔x夫不等式估計(jì)事件X??4發(fā)生的概率.?1?3?3?(?1)??4;

?1,D?X??解由于X?U??1,3?, 所以E?X??2123

由切貝謝夫不等式

D(X)11

P?X?1?4??1?2?1???0.9167.41216

4.對敵人的防御工事進(jìn)行80次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)炸彈數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為2，方差為0.8，且各次轟炸相互獨(dú)立，求在80次轟炸中有150顆~170顆炸彈命中目標(biāo)的概率.解設(shè)隨機(jī)變量X表示80次轟炸中炸彈命中目標(biāo)的次數(shù), Xi表示第i次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù), 則E?Xi??2，D?Xi??0.8;由于X?

?X

i?1

i

所以E?X??160，D?X??80?0.8?64;由中心極限定理得

P?150?X?170?

?170?160??150?160?

????????

88????

???1.25?????1.25??2??1.25??1?2?0.8944?1?0.7888.5.袋裝食糖用機(jī)器裝袋，每袋食糖凈重的數(shù)學(xué)期望為100克，方差為4克，一盒內(nèi)裝100袋，求一盒食糖

凈重大于10,060克的概率.解 設(shè)每袋食糖的凈重為Xi?i?1,2,?,100?,則Xi?i?1,2,?,100?服從獨(dú)立同分布,且

E(Xi)?100,D(Xi)?4;設(shè)一盒食糖為X,則

X??Xi,E(X)?10000,D(X)?400,i?1100

由中心極限定理得

P?X?10060? ?1?P?X

?10060?

?1???1???3??1?0.99865?0.00135.6.某人壽保險(xiǎn)公司為某地區(qū)100,000人保險(xiǎn)，規(guī)定投保人在年初向人壽保險(xiǎn)公司交納保險(xiǎn)金30元，若投保人死亡，則人壽保險(xiǎn)公司向家屬一次性賠償6,000元，由歷史資料估計(jì)該地區(qū)投保人死亡率為0.0037，求人壽保險(xiǎn)公司一年從投保人得到凈收入不少于600,000元的概率.解設(shè)隨機(jī)變量X表示一年內(nèi)投保人中死亡人數(shù), 則X?B?n,p?,其中n?100000,p?0.0037;

E?X??np?370,D?X??npq?370?0.9963?368.31;由100000?30?6000X?600,000,得X?400

由拉普拉斯中心極限定理,所求概率為

??

P?X?400?

?P?

?30?

???????1.56??0.9406.?19.1940?

7.某車間有同型號機(jī)床200部，每部開動的概率為0.7，假定各機(jī)床開與關(guān)是獨(dú)立的，開動時每部機(jī)床要消耗電能15個單位.問電廠最少要供應(yīng)這個車間多少電能，才能以95%的概率，保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)？

解設(shè)隨機(jī)變量X表示200部機(jī)床中同時開動機(jī)床臺數(shù), 則

X?B?200,0.7?,E?X??np?140,D?X??42?6.482

用K表示最少開動的機(jī)床臺數(shù),則

P?X?K??P?X?K?

??

?K?140??????0.95

?6.5?

查表??1.65??0.95, 故

K?140

?1.65 6.5

由此得K?151

這說明, 這個車間同時開動的機(jī)床數(shù)不大于151部的概率為0.95.所以電廠最少要供應(yīng)這個車間151?15?2265個單位電能,才能以95%的概率, 保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).8.設(shè)某婦產(chǎn)醫(yī)院生男嬰的概率為0.515,求新生的10000個嬰兒中,女嬰不少于男嬰的概率? 解設(shè)X表示10000個嬰兒中男嬰的個數(shù), 則X?B?n,p?其中n?10000,p?0.515.由拉普拉斯中心極限定理,所求概率為

??

P?X?5000?

?P?

??????3??1???3?

?1?0.99865?0.00135.附表：

?0?0.5??0.6913;?0?1??0.8413;?0?1.25??0.8944;??2.5??0.993790 ?0?1.5??0.9938;?0?1.56??0.9406;?0?1.65??0.95;?0?3??0.99865.

第四篇：大數(shù)定理及其證明

大數(shù)定理及其證明

大數(shù)定理是說，在n個相同（指數(shù)學(xué)抽象上的相同，即獨(dú)立和同分布）實(shí)驗(yàn)中，如果n足夠大，那么結(jié)論的均值趨近于理論上的均值。

這其實(shí)是說，如果我們從學(xué)校抽取n個學(xué)生算其平均成績，那么當(dāng)學(xué)生數(shù)n足夠大時，算出的平均成績就趨近于整個學(xué)校學(xué)生的平均成績。

當(dāng)n等于整個學(xué)校的學(xué)生數(shù)時，平均成績顯然等于整個學(xué)校的學(xué)生成績，因?yàn)樽约旱扔谧约菏秋@然的。

那么要證明這個定理，就只需要證明，在n趨近學(xué)校學(xué)生數(shù)這個過程中，平均成績趨近于學(xué)校所有學(xué)生的平均成績。這也是這個定義的意義所在，當(dāng)我們不能將總體中的樣本一一列出來時，可以用足夠多的樣本的統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)理論值。

用概率語言描述就是，當(dāng)實(shí)驗(yàn)樣本趨于總體時，均值的統(tǒng)計(jì)量趨于理論量。

當(dāng)然這里的總體（即學(xué)校的所有學(xué)生）是有限個的，即當(dāng)n→全校學(xué)生數(shù)，如果總體包含無限個，則可將n擴(kuò)展為趨近于無窮。

設(shè)總體包含樣本數(shù)為T，用數(shù)學(xué)語言描述大數(shù)定理就是

第五篇：第五章 大數(shù)定律 中心極限定律

第五章 大數(shù)定律 中心極限定律

例1 設(shè)一批產(chǎn)品的廢品率為P?0.014，若要使一箱中至少有100個合格品的概率不低于0.9，求一箱中至少應(yīng)裝入多少個產(chǎn)品？試分別用中心極限定律和泊松定理求其近似值。例2 某車間有200臺車床，由于各種原因每臺車床只有60％的時間在開動，每臺車床開動期間耗電量為E，問至少供應(yīng)此車間多少電量才能以99.9％的概率保證此車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？

例3 一保險(xiǎn)公司有10000人投保，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，已知一年內(nèi)人口死亡率為0.006，如死亡，則公司付其家屬1000元賠償費(fèi)，求1）保險(xiǎn)公司年利潤為零的概率

2）保險(xiǎn)公司年利潤不少于60000元的概率。

例4 設(shè)?XP?X11n?為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，n??2n??22n?1,P?Xn?0??1?22n，n?1,2,?, 證明 ?Xn?服從大數(shù)定律

例5 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)??，方差D?X???2，利用切比雪夫不等式估計(jì) P?X???3??

例6 試證當(dāng)n??時，e?n?nnk?1

k?0k!2

習(xí)

題

一 填空題 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX??，方差DX??2，則由切比雪夫不等式有： P?X???3???________

設(shè)隨機(jī)變量X1,?,X100相互獨(dú)立同分布，且P?Xi?k??1k!e?1?i?1,2,?,100?，則 P?100????Xi?120??________ i?1?3 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn相互獨(dú)立同分布，E?Xi???,D?Xi??8,?i?1,2,?,n?

對于X?1n?nXi，寫出所滿足的切比雪夫不等式______并估計(jì)P?X???4??_____

i?14 10萬粒種子有1萬粒不發(fā)芽，今從中任取100粒，問至少有80粒發(fā)芽的概率是_____ 二 解答題

1.某單位有200臺電話分機(jī)，每架分機(jī)有5%的時間要使用外線通話，假設(shè)每架分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)需要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機(jī)使用時不等候？

2.甲、乙兩個電影院在競爭1000名觀眾，假定每個觀眾任選一個影院且觀眾間的選擇是彼此獨(dú)立的，問每個影院至少要設(shè)多少座位，才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于1%？

3.某教授根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)知道，他的一個學(xué)生在期末考試中的成績是均值為75的隨機(jī)變量，a）假設(shè)這教授知道該學(xué)生成績的方差是25，試給出此學(xué)生的成績將超過85的概率上限； b）你對這個學(xué)生取得65分到85分之間的概率能說些什么？ c)* 不用中心極限定理，求出應(yīng)有多少如上的學(xué)生參加考試，才能保證他們的平均分?jǐn)?shù)在70到80分之間的概率至少是0.9。d）用中心極限定理理解

4.設(shè)某種工藝需要某種合格產(chǎn)品100個，該產(chǎn)品的合格率為96%，問要采購多少個產(chǎn)品，才能有95%以上的把握，保證合格品數(shù)夠用？

?5.設(shè)隨機(jī)變量?的概率密度為f(x)??12?x?x?0

?2xe?0x?0利用切比雪夫不等式估計(jì)概率P?0???6?

四 證明題 設(shè)隨機(jī)變量X,E?e?x?存在，這里??0為常數(shù)，證明：P??X?t2?lnE?e?x???e?t2

?2 設(shè)隨機(jī)變量X具有密度 f(x)??xm?x?m!ex?0, m為正整數(shù)。試證： ??0x?0P?0?X?2?m?1???mm?1 設(shè)?X11n?為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，P?Xn??n??2n,P?Xn?0??1?n。證明：?Xn?服 從大數(shù)定律

答

案

一

1.19

2.0.9772

3.P?X??????81n?2；1?2n

4.0.99956

二

1.14

2.537

3.a)0.02775；b)0.9545

c)n?10；d)n??1.64?2

4.107

5.?13