第一篇：大數(shù)定律及中心極限定理基本性質(zhì)（寫寫幫推薦）

大數(shù)定律及中心極限定理基本性質(zhì)

大數(shù)定律及中心極限定理基本性質(zhì)

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大數(shù)定律及中心極限定理基本性質(zhì)

大數(shù)定律及中心極限定理基本性質(zhì)

第二篇：第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第五章

大數(shù)定律及中心極限定理

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律只有在對(duì)大量隨機(jī)現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來(lái)。研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個(gè)隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望就是它的方差，而方差又是用來(lái)描述隨機(jī)變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機(jī)變量的離差與方差之間的關(guān)系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對(duì)任意小正數(shù)ε>0，有:

或：

［例5-1］設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定ε=2,2.5，實(shí)際計(jì)算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗(yàn)證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當(dāng)ε=2時(shí)，當(dāng)ε=2.5時(shí)，可見，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設(shè)電站供電網(wǎng)有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關(guān)是彼此獨(dú)立的。試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6 800～7 200的概率。

解：設(shè)X表示在夜晚同時(shí)開著的電燈的數(shù)目，它服從參數(shù)n=10 000,p=0.7的二項(xiàng)分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應(yīng)7 000盞燈的電力就能夠以相當(dāng)大的概率保證夠用。

[例5-3補(bǔ)充] 用切比雪夫不等式估計(jì)

解： 的三倍的可能性極

可見，隨機(jī)變量X取值與期望EX的差的絕對(duì)值大于其均方差小。

5.2 大數(shù)定律

在第一章中曾經(jīng)提到過(guò)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率將逐漸穩(wěn)定于一個(gè)確定的常數(shù)值附近。另外，人們?cè)趯?shí)踐中還認(rèn)識(shí)到大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，即平均結(jié)果的穩(wěn)定性。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表示證明了在一定的條件下，大量重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性與平均結(jié)果的穩(wěn)定性。

5.2.1 貝努利大數(shù)定律

定理5-2 設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對(duì)任意正數(shù)ε，有

貝努利大數(shù)定律說(shuō)明，在大量試驗(yàn)同一事件A時(shí)，事件A的概率是A的頻率的穩(wěn)定值。

5.2.2 獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律

先介紹獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的概念。

稱隨機(jī)變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨(dú)立的，若對(duì)任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨(dú)立的。此時(shí)，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列。

定理5-3 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對(duì)于任意ε>0有

這一定理說(shuō)明：經(jīng)過(guò)算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性的深刻描述；同時(shí)，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要理論基礎(chǔ)。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨(dú)立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為Fn（x），則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有

（不證）

其中φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

由這一定理知道下列結(jié)論：

（1）當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布近似于正態(tài)分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個(gè)獨(dú)立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量之和服從正態(tài)分布。中心極限定理進(jìn)一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨(dú)立同服從什么分布，當(dāng)n充分大時(shí)，其和Zn近似服從正態(tài)分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為，即為上述Yn。因此的分布函數(shù)即是上述的F（，nx）因而有

由此可見，當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的平均值 的分布近似于正態(tài)分布

[例5-3]對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次射擊，每次射擊時(shí)命中目標(biāo)的炮彈數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率。解 設(shè)Xi為第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)的炮彈數(shù)（i=1,2,…,100），則中命中目標(biāo)的炮彈總數(shù)，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨(dú)立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時(shí)）的指數(shù)分布。現(xiàn)隨機(jī)抽出16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時(shí)的概率。

解 設(shè)第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個(gè)中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量Zn是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x

其中q=1-p,φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結(jié)論：

（1）在貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p。又設(shè)Zn為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)n充分大時(shí)，Zn近似服從正態(tài)分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗(yàn)中，若事件中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的頻率，則當(dāng)n充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設(shè)同時(shí)開著的燈數(shù)為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A

【例5-6】設(shè)某單位內(nèi)部有1000臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5%的時(shí)間使用外線通話，假定各個(gè)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺(tái)分機(jī)需要使用外線時(shí)不被占用？

解：把觀察每一臺(tái)分機(jī)是否使用外線作為一次試驗(yàn)，則各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，設(shè)X為1000臺(tái)分機(jī)中同時(shí)使用外線的分機(jī)數(shù)，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據(jù)題意，設(shè)N為滿足條件的最小正整數(shù)

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機(jī)至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺(tái)分機(jī)在使用外線時(shí)不被占用。

小結(jié) 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會(huì)用切比雪夫不等式估計(jì)事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數(shù)定律

其中n是試驗(yàn)次數(shù)，m是A發(fā)生次數(shù)，p是A的概率，它說(shuō)明試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律

取值穩(wěn)定在期望附近。

它說(shuō)明在大量試驗(yàn)中，隨機(jī)變量

（四）知道獨(dú)立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說(shuō)明當(dāng)n很大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)N（nμ,nσ2）所以，無(wú)論n個(gè)獨(dú)立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時(shí)，X1+X2+…Xn卻近似正態(tài)N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生次數(shù)，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態(tài)N（np,np（1-p）2）。并會(huì)用中心極限定理計(jì)算簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題。

第三篇：CH5 大數(shù)定律及中心極限定理--練習(xí)題

CH5 大數(shù)定律及中心極限定理

1.設(shè)Ф(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Xi=?

100?1,事件A發(fā)生；?0,事件A不發(fā)生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互獨(dú)立。令Y=?

i?1Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（）

y?80

4A.Ф(y)

2.從一大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨機(jī)抽取100粒,則這100粒種子的發(fā)芽率不低于88%的概率約為.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…獨(dú)立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn??

i?1??Xi,n?1，2，?.Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則limP?n???????1??（）np(1?p)??Yn?np

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.設(shè)

5.設(shè)X服從(-1,1)上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計(jì)

6.設(shè)

7.報(bào)童沿街向行人兜售報(bào)紙，設(shè)每位行人買報(bào)紙的概率為0.2，且他們買報(bào)紙與否是相互獨(dú)立的。試求報(bào)童在想100為行人兜售之后，賣掉報(bào)紙15到30份的概率

8.一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立的工作部件組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件在一定時(shí)間內(nèi)無(wú)故障的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使得整個(gè)系統(tǒng)工作。問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95

9.某人有100個(gè)燈泡，每個(gè)燈泡的壽命為指數(shù)分布，其平均壽命為5小時(shí)。他每次用一個(gè)燈泡，燈泡滅了之后立即換上一個(gè)新的燈泡。求525小時(shí)之后他仍有燈泡可用的概率近似值相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從參數(shù)為10的指數(shù)分布，求 的下界 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，設(shè), 求

第四篇：ch5大數(shù)定律和中心極限定理答案

一、選擇題

?0,事件A不發(fā)生

1.設(shè)Xi??(i?1,2?,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,?,X10000相互獨(dú)立,令

1,事件A發(fā)生?

10000

Y=

?X,則由中心極限定理知Y近似服從的分布是（D）

ii?

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．設(shè)X1，X2，……，Xn是來(lái)自總體N（μ,σ2）的樣本，對(duì)任意的ε>0，樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為（B）

?X?n????≥?

n?

C．P?X?????≤1-?

A．P

2n?

?X?????≥1-n?

n?

D．P?X?n????≤

?

B．P

?2

3.設(shè)隨機(jī)變量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X?E(X)|?3?)?（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布，用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空題

1．將一枚均勻硬幣連擲100次，則利用中心極限定理可知，正面出現(xiàn)的次數(shù)大于60的概率

近似為___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．設(shè)隨機(jī)變量序列X1，X2，…，Xn，…獨(dú)立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 則?n?

X?n???i

?i?1?

?x??_對(duì)任意實(shí)數(shù)x，limP?

n??n???

????

?

___________.3.設(shè)隨機(jī)變量X的E(X)=?,D(X)??2,用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X?E(X)|?3?2)? ___8/9________。

4．設(shè)隨機(jī)變量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估計(jì)P（|X－_____1/4___________．

5．設(shè)隨機(jī)變量X~B(100,0.8)，由中心極限定量可知，11

|≥）≤2

P?74?X?86??_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

?0,6.設(shè)Xi=??1,事件A不發(fā)生事件A發(fā)生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互獨(dú)立，令Y=?X

i?1100i，則由中心極限定理知Y近似服從于正態(tài)分布，其方差為___16________。

7．設(shè)隨機(jī)變量X ~ B（100，0.2），應(yīng)用中心極限定理計(jì)算P{16?X?24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.設(shè)?n為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任意的??0,limP{|n???n?p|??}=__1________.n

9．設(shè)隨機(jī)變量X～B(100，0.5)，應(yīng)用中心極限定理可算得P{40

10.設(shè)X1,X2,?,Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，則當(dāng)n充分大的時(shí)候，隨機(jī)變量Zn?

_N(0,1)_______(標(biāo)明參數(shù)).1X?i?1ni的概率分布近似服從

第五篇：第五章、大數(shù)定律與中心極限定理

第五章、大數(shù)定律與中心極限定理

一、選擇題：

1．若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為EX =1，DX = 0.1，根據(jù)切比雪夫不等式，一定有（）

A．P{?1?X?1}?0.9B．P{0?x?2}?0.9

C．P{?1?X?1}?0.9D．P{0?x?2}?0.9

2．設(shè)X1,X2,?X9相互獨(dú)立，EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9)，根據(jù)切比雪夫不等式，???1有（）

A．P{?xi?1??}?1??B．P{?xi?1??}?1???2 9i?1i?1?29

C．P{?2D． x?9??}?1??P{x?9??}?1?9??i?i?

2i?1i?199

3．若X1、X2、2?1000即都?X1000為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且Xi~B(1,p)i?

1、服從參數(shù)為p的0-1分布，則（）不正確

100011000

A．Xi?PB．?Xi~B(1000、P)?1000i?1i?

11000

C．P{a??X

i?1i?b}??(b)??(a)

1000

D

．P{a??Xi?b}??i?1?? 1，根據(jù)切比雪夫不等式，164．設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX = 1，且滿足P{X?1?2}?

X的方差必滿足（）

11B．DX? 16

41C．DX?D．DX?1 2A．DX?

5．設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX = 1，方差DX = 1，且滿足P{X?1??}?1，根據(jù)切16

比雪夫不等式，則?應(yīng)滿足（）

A．??4B．??4

C．??

11D．?? 44

二、填空題：

1.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為EX = 1，DX = 1，且 P{X?1??}?

切比雪夫不等式，?應(yīng)滿足。

2.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差均存在，且EX = 1，P{X?1?1}?

夫不等式，DX應(yīng)滿足。

3.設(shè)X1,X2,?,X9相互獨(dú)立，且EXi?1,DXi?1,i?1、2、?9，根據(jù)切比雪夫不等式，則???0有P{1，根據(jù)41，根據(jù)切比雪4?X

i?19i?9??}?。

4.設(shè)X1,X2,?,X9相互獨(dú)立，且EXi?1,DXi?1,i?1、2、?9，根據(jù)切比雪夫不等式，19

則???0有P?Xi?1??}? 9i?

1三、計(jì)算題：

1．計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來(lái)計(jì)算。設(shè)所有的取整誤差是

相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在[-0.5,0.5]上服從均勻分布，求：300個(gè)數(shù)相加時(shí)誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

2． 一顆螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量,期望值是1兩,標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩.求一盒

(100個(gè))同型號(hào)螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò)10.2斤的概率.（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

3．已知一本1000頁(yè)的書中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從泊松分布P（0.1），求這本書的印刷錯(cuò)

誤總數(shù)大于120的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

4．據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取25只，設(shè)他們的壽命是互相獨(dú)立的，求這25只元件的壽命總和大于3000小時(shí)的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）