第一篇：概率統(tǒng)計第五章大數(shù)定律及中心極限定理

第五章大數(shù)定律及中心極限定理

第一節(jié) 大數(shù)定律（Laws of Large Numbers）

隨機(jī)現(xiàn)象總是在大量重復(fù)試驗中才能呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性，集中體現(xiàn)這個規(guī)律的是頻率的穩(wěn)定性。大數(shù)定律將為此提供理論依據(jù)。凡是用來說明隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。由于內(nèi)容非常豐富，我們只介紹其中兩個。

一 契比雪夫大數(shù)定律

[定理1（契比雪夫的特殊情況）]設(shè)相互獨立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?具有相同的數(shù)學(xué)

期望和方差：E(Xk)??，D(Xk)??(k?1,2,?)，則???0,?1limP?n??

?n

n

?X

k?1

k

?

??????1

?．

【注1】 契比雪夫大數(shù)定律告訴我們：隨機(jī)變量的算術(shù)平均有極大的可能性接近于它們的數(shù)學(xué)期望，這為在實際工作中廣泛使用的算術(shù)平均法則提供了理論依據(jù).例如，為測量某個零件的長度，我們進(jìn)行了多次測量，得到的測量值不盡相同，我們就應(yīng)該用所有測量值的算術(shù)平均作為零件長度的近似為最佳。

二 伯努利大數(shù)定律

[定理2（伯努利大數(shù)定律）]設(shè)nA是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在nA

每次試驗中發(fā)生的概率，則事件A發(fā)生的頻率n依概率收斂于事件A的概率p，即???0,limP{|

n??

nAn

?p|??}?1

或

limP{|

n??

nAn

?p|??}?0

【注2】伯努利大數(shù)定律中的nAn，實際上就是事件A發(fā)生的頻率，定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式

表述了頻率穩(wěn)定于概率的事實。這樣，頻率的穩(wěn)定性以及由此形成的概率的統(tǒng)計定義就有了理論上的依據(jù)。

第二節(jié)中心極限定理（Central Limit Theorems）

n

如果X1,X2,?,Xn是同時服從正態(tài)分布的n個相互獨立的隨機(jī)變量，則它們的和?

i?1

Xi

仍

然是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量?，F(xiàn)在的問題是：如果X1,X2,?,Xn是服從相同分布的n個相互獨立的隨機(jī)變量，并非服從正態(tài)分布，那么它們的和是否還會服從正態(tài)分布呢？中心極限定理對此給出了肯定的答復(fù)。所有涉及大量獨立隨機(jī)變量和的極限分布的定理統(tǒng)稱為中心極限定理。由于內(nèi)容非常豐富，我們只介紹其中兩個。

一 獨立同分布中心極限定理

[定理3（獨立同分布中心極限定理）]設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?相互獨立，服從同一

分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)???,D(Xk)???0(k?1,2,?)，則對于任意的x，n

?X

limPn??

k

?n?

?x}?

?

x?t

dt??(x)

．

n

【注3】 定理說明，均值為?，方差為?

n

?0的獨立同分布的隨機(jī)變量之和

?Xk的標(biāo)準(zhǔn)

k?1

化變量Yn

?X

?

k

?n?，當(dāng)n很大時近似服從N(0,1)；而?

k?1

n

Xk

近似服從N(n?,n?)．

【注4】若記

??2?

X~N??,?

n??

X?

n

?n

Xk，則Yn

?

k?1

近似服從正態(tài)分布N(0,1)；或X近似服從

．

二 棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理

[定理4（棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理）]

設(shè)隨機(jī)變量Yn?(n?1,2,?)服從參數(shù)為n,p?(0?p?1)的二項分布，則?x?R，有

limPn??

Y?np?x}?

?

x??

?

t22

dt??(x)

．

【注5】 這個定理的直觀意義是，當(dāng)n足夠大時，服從二項分布的隨機(jī)變量Yn可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布N(np,np(1?

p))~?N?0,1?

.【注6】一般的結(jié)論是，不管每個服從什么分布，只要滿足條件：

1）構(gòu)成和式的X1,X2,?,Xn是服從相同分布的n個相互獨立的隨機(jī)變量

2）每個隨機(jī)變量對和的影響要均勻地小

3）構(gòu)成和式的隨機(jī)變量的個數(shù)要相當(dāng)多，至少在30個以上

n

那么，它們的和?

i?1

Xi

將近似服從正態(tài)分布。因此，中心極限定理揭示了正態(tài)分布的形成機(jī)

制。例如我們在對某經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行定量分析時，如果在許多種隨機(jī)影響因素中沒有一個是起主導(dǎo)作用的，那么就可以把它看成正態(tài)分布來進(jìn)行分析。

經(jīng)驗表明：應(yīng)用中大量的獨立隨機(jī)變量的和，都可以看成近似地服從正態(tài)分布。例

如測量誤差，炮彈落點離開目標(biāo)的偏差以及產(chǎn)品的強(qiáng)度，折斷力，壽命等質(zhì)量指標(biāo)均屬于此列。這樣，由于中心極限定理的出現(xiàn)和應(yīng)用，更加顯示出了正態(tài)分布的重要。

三 中心極限定理在近似計算中的應(yīng)用 1.同分布獨立和?Xk的概率的計算

k?1n

例1 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為 100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克．一箱內(nèi)裝200袋

味精，求一箱味精的凈重大于20200克的概率．

200

解：設(shè)每袋味精的凈重為Xk?k?1,2,?,200?，則一箱味精的凈重為?

k?1

200

Xk，又

E?Xk??100,??10

.由中心極限定理知?

k?1

Xk

近似地服從正態(tài)分布。所以

?200??200?P??Xk?20200??1?P??

Xk?20200? ?k?1??k?1?

?200?

??Xk?20000??1?P?????

?1???1???1.41??1?0.9207?0.0793.2.n很大時，二項分布中事件?a?Yn?b?的概率的計算

例2 設(shè)有一大批電子元件，次品率為1 %，現(xiàn)在任意取500個，問其中次品數(shù)在5～9個

之間的概率為多少？

解：設(shè)任意取500個其中次品數(shù)為Yn，則Yn可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布N(np,np(1?p))．

P?

5?Yn?9??P?

?

?4????????0????1.80??0.5?0.9641?0.5?0.4641.2.22??

例3.有200臺獨立工作(工作的概率為0.6)的機(jī)床，每臺機(jī)床工作時需3 kw電力．問共需多少電力, 才可有99.9 %的可靠性保證正常生產(chǎn)? 解：同時對200臺機(jī)床察看是開工還是停工？可看成n

?200,p?0.6的二項分布，設(shè)工作的機(jī)床數(shù)為Yn，假設(shè)至多有m臺機(jī)床在工作，則依照題意有P?0?Yn?m??0.999

P?

0?Yn?m??P???

?

?????????0??

141.5

所以??

??0.999?

?

3.1，即m?120?3.1，取整數(shù)解

m?142（臺），共需電力：142×3=426 kw.所以，至少需426 kw 電力, 才可有99.9 %的可靠性保證正常生產(chǎn)。

第二篇：中心極限定理和概率統(tǒng)計

若{Xn}的分布函數(shù)序列{Fn(x)}與X的分布函數(shù)F(x)有，在任意連續(xù)點x，limFn(x)?F(x)。n??

依概率收斂

n??若???0，有P(Xn?X??)????0。準(zhǔn)確的表述是，???0，???0，?N,n?N，有P(Xn?X??)??成立

（3）幾乎必然收斂

如果有P(limXn?X)?1。準(zhǔn)確的表述是，除掉一個0概率集A，對所有的???A，n??

有l(wèi)imXn(?)?X(?)成立。這是概率空間上的點收斂。n??

定理1。（切貝雪夫大數(shù)律）{Xn}相互獨立，且有相同的期望和方差，（不一定同分布）

1nPE(Xn)?uD(Xn)??，?n,記Yn??Xi，則Yn???u。ni?1

2統(tǒng)計發(fā)生——事物某方面的定量記錄事前是不確定的，發(fā)生后的數(shù)據(jù)由真值和誤差兩部分構(gòu)成，X????。X是數(shù)據(jù)，?是真值，?是誤差。導(dǎo)致誤差的原因有：

1． 系統(tǒng)性誤差：偏離真值的本質(zhì)性錯誤，有內(nèi)在原因所致；

2． 隨機(jī)性誤差：偏離真值的偶然性錯誤，沒有內(nèi)在原因，是純偶然因素所致。

總體就是一個特定的隨機(jī)變量

通過抽樣，獲得樣本，構(gòu)造樣本統(tǒng)計量，由此推斷總體中某些未知的信息

從總體中抽樣是自由的，且當(dāng)總體數(shù)量足夠大，有放回與無放回抽樣區(qū)別不大，有理由認(rèn)為，取得的抽樣觀察值是沒有關(guān)系的。所以，樣本在未抽取前它們是與總體X同分布的隨機(jī)變量，且是相互獨立的，稱此為隨機(jī)樣本。

定義2。設(shè)x1,?,xn是取自總體X的一組樣本值，g(x1,?,xn)是Borel 可測函數(shù)，則稱隨機(jī)變量g(X1,?,Xn)是一個樣本統(tǒng)計量。

如果總體X中分布函數(shù)有某些參數(shù)信息是未知的，我們用統(tǒng)計量g(X1,?,Xn)去推斷這些信息，稱此問題為統(tǒng)計推斷問題。

給樣本值x?(x1,?,xN)?,y?(y1,?,yN)?，定義：（1）樣本均值

??(xi/n)

i?

1n

（2）樣本方差

1n

?x)????var((xi?)2 ?n?1i?1

??樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s.e.e??)

x)i(y)

1n

（3）樣本協(xié)方差c?ov(x,y)???(1x

n?1i?1

樣本相關(guān)系數(shù)

?xy?

?(x,y)cov

1/2

?(x)var?(y)][var

1nk

（4）樣本k階矩 Ak??xi k?1,2,?

ni?11n

（5）樣本k階中心矩 Bk??(xi?)k

ni?1

?

k?1,2,?

X的左側(cè)分位點F?，P(X?F?)??dF(x)??。左?分位點的概率含義是，隨機(jī)變量

F?

不超過該點的概率等于?

設(shè)總體X分布已知，但其中有一個或多個參數(shù)未知，抽樣X1,?,Xn，希望通過樣本來估計總體中的未知參數(shù)，稱此為參數(shù)估計問題，它是統(tǒng)計推斷理論中最重要的基礎(chǔ)部分。

用樣本矩作為總體矩的估計量，以及用樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計量，這種方法稱為矩估計法，這是一種最自然的估計方法。

?(x,?,x))??對任意???成立。當(dāng)樣本是稱??是參數(shù)?的一個無偏估計，如果E(?1n

有限的時候，我們首先要考慮的是無偏性。

n1n22

??S??(Xi?)2才是方差?的無偏估計。故我們在樣本統(tǒng)計量中定義?n?1n?1i?1

S2為樣本方差。

??是參數(shù)?的一個一致估計，如果依概率有l(wèi)im??(x1,?,xn)??對任意???成立。

n??

有效性

在所有關(guān)于參數(shù)?的無偏估計類中?0，或所有的一致估計類?1中，如果存在?*是參數(shù)?的一個無偏有效估計或一?*)?D(??)對任意????或任意????成立，稱?D(?01

?具有最小方差性。致漸近有效估計。即?

*

。無論總體X分布是什么，任意樣本Xi和都是X的無偏估計，但?比單獨的樣本估計Xi更有效。

DXi，所以n

設(shè)總體X關(guān)于分布F(x,?)存在兩類問題，一類是分布的形式未知，一類是分布的形式已知但參數(shù)未知，提出的問題是，需要對分布的形式作出推斷，此稱為非參數(shù)檢驗的問題； 或需要對參數(shù)作出推斷，此稱為參數(shù)檢驗問題。

奈克—皮爾遜定理告訴我們，當(dāng)樣本容量n固定，若要減少犯第一類錯誤的概率則犯第二類錯誤的概率會增加，要使兩類錯誤都減少當(dāng)且僅當(dāng)增加樣本容量。

超過了我們設(shè)定的F?，（如，體溫超過37度。）此意味一個小概率事件發(fā)生了。于是，我們有理由拒絕命題H0是真的。

X~N(u1,?12)，Y~N(u2,?2)，且相互獨立，取樣有(x1?xn1),(y1?yn2)。

欲檢驗H0:u1?u2，或更一般，H0:u1?u2?u（u已知）。如何檢驗？

2（1）若?12、?2已知

因為~N(u1,?1

2n

1)，~N(u2,2?2

n2)，且相互獨立，所以?~N(u1?u2,?12?2

n1

?

n2)，~N(0,1)，所以可找到檢驗統(tǒng)計量U?。

（2）若?12??2??2，但?未知，欲檢驗H0:u1?u2?0，因為V?

?

222

[(n?1)S?(n?1)S]~?(n1?n2?2)，11222

且與

U?

~N(0,1)獨立，n1?1n2?12

~t(n1?n2?2)，令S2?，S12?S2

n1?n2?2n1?n2?2可得

V?2S2，所以可找到統(tǒng)計量

n1?n2?2?

T?

?

~t(n1?n2?2)。

注：如果u未知，問題就變困難了，可以證明此時統(tǒng)計量T就是一個非中心的t分布。

（3）又如何知道?12??2??2？

?12(n?1)(n?1)2可做假設(shè)檢驗H0:2?1。因為12S12~?2(n1?1)，22S2 ~?2(n2?1)且獨立。

?1?2?2

S12

所以，可找到統(tǒng)計量F?2~F(n1?1,n2?1)。

S2

（4）若?12??2，且未知。問題就變困難多了，我們找不到合適的統(tǒng)計量。如果樣本容量

足夠大，那么，可以用漸近檢驗的辦法處理。注意，U?

中，因為?12，?2未

知，但已知S12,S2是?12，?2的一致估計，故用它們代替，有：

n1,n2??

limU?

~N(0,1)。

從而當(dāng)n1,n2充分大時可用漸近正態(tài)檢驗。

又當(dāng)n1?n2?n較小時，可以證明，~t(n)，注意，此與T?

?

~t(n1?n2?2)

自由度不同。此意味當(dāng)期望、方差相同時，樣本可以合并，認(rèn)為X,Y屬于同一總體。當(dāng)期望相同，方差不同時，樣本不能簡單合并。

注：關(guān)于H0:u1?u2?u，或H0:u1?u2?u，統(tǒng)計量相同，并采用單側(cè)的右分位點或單側(cè)的左分位點檢驗。

?是無偏線性估計類中的有效估計。OLS?

? ?的極大似然估計在基本模型假定下就是OLS?

估計做出后，評價、判斷模型中的假定是否合理是對事前設(shè)定的模型做一個整體的把握。我們可以把這些假定、設(shè)定歸結(jié)為一些對未知參數(shù)的判斷，如果這些判斷基本正確或錯誤，那么從整體數(shù)據(jù)中就能夠反映出來。假設(shè)檢驗是估計完成后對模型的設(shè)定做進(jìn)一步的確認(rèn)。它以證否的形式完成。拒絕原假設(shè)，意味著命題真時犯錯誤的可能性可控制在一定的概率范圍內(nèi)。

第三篇：2018考研概率知識點總結(jié)：大數(shù)定律和中心極限定理

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研概率知識點總結(jié)：大數(shù)定律和

中心極限定理

考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)最后兩月多的時間，大家除了瘋狂做題之外，對于知識點的整合聯(lián)系也要做好，統(tǒng)籌全局才能穩(wěn)操勝券，下面是概率與數(shù)理統(tǒng)計部分知識點整合，大家可以抽時間捋一捋。

2018考研概率知識點整合：大數(shù)定律和中心極限定理

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

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第四篇：第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第五章

大數(shù)定律及中心極限定理

概率統(tǒng)計是研究隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律只有在對大量隨機(jī)現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來。研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機(jī)變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機(jī)變量的離差與方差之間的關(guān)系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對任意小正數(shù)ε>0，有:

或：

［例5-1］設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)，若給定ε=2,2.5，實際計算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當(dāng)ε=2時，當(dāng)ε=2.5時，可見，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設(shè)電站供電網(wǎng)有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關(guān)是彼此獨立的。試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6 800～7 200的概率。

解：設(shè)X表示在夜晚同時開著的電燈的數(shù)目，它服從參數(shù)n=10 000,p=0.7的二項分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應(yīng)7 000盞燈的電力就能夠以相當(dāng)大的概率保證夠用。

[例5-3補(bǔ)充] 用切比雪夫不等式估計

解： 的三倍的可能性極

可見，隨機(jī)變量X取值與期望EX的差的絕對值大于其均方差小。

5.2 大數(shù)定律

在第一章中曾經(jīng)提到過，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率將逐漸穩(wěn)定于一個確定的常數(shù)值附近。另外，人們在實踐中還認(rèn)識到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，即平均結(jié)果的穩(wěn)定性。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表示證明了在一定的條件下，大量重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性與平均結(jié)果的穩(wěn)定性。

5.2.1 貝努利大數(shù)定律

定理5-2 設(shè)m是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對任意正數(shù)ε，有

貝努利大數(shù)定律說明，在大量試驗同一事件A時，事件A的概率是A的頻率的穩(wěn)定值。

5.2.2 獨立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律

先介紹獨立同分布隨機(jī)變量序列的概念。

稱隨機(jī)變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨立的，若對任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨立的。此時，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機(jī)變量序列。

定理5-3 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機(jī)變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對于任意ε>0有

這一定理說明：經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量在統(tǒng)計上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計穩(wěn)定性的深刻描述；同時，也是數(shù)理統(tǒng)計的重要理論基礎(chǔ)。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為Fn（x），則對于任意實數(shù)x，有

（不證）

其中φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

由這一定理知道下列結(jié)論：

（1）當(dāng)n充分大時，獨立同分布的隨機(jī)變量之和的分布近似于正態(tài)分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個獨立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量之和服從正態(tài)分布。中心極限定理進(jìn)一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨立同服從什么分布，當(dāng)n充分大時，其和Zn近似服從正態(tài)分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為，即為上述Yn。因此的分布函數(shù)即是上述的F（，nx）因而有

由此可見，當(dāng)n充分大時，獨立同分布隨機(jī)變量的平均值 的分布近似于正態(tài)分布

[例5-3]對敵人的防御地段進(jìn)行100次射擊，每次射擊時命中目標(biāo)的炮彈數(shù)是一個隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率。解 設(shè)Xi為第i次射擊時命中目標(biāo)的炮彈數(shù)（i=1,2,…,100），則中命中目標(biāo)的炮彈總數(shù)，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時）的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機(jī)抽出16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時的概率。

解 設(shè)第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量Zn是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對于任意實數(shù)x

其中q=1-p,φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結(jié)論：

（1）在貝努利試驗中，若事件A發(fā)生的概率為p。又設(shè)Zn為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)n充分大時，Zn近似服從正態(tài)分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗中，若事件中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的頻率，則當(dāng)n充分大時，近似服從正態(tài)分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設(shè)同時開著的燈數(shù)為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨立重復(fù)試驗中事件A

【例5-6】設(shè)某單位內(nèi)部有1000臺電話分機(jī)，每臺分機(jī)有5%的時間使用外線通話，假定各個分機(jī)是否使用外線是相互獨立的，該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機(jī)需要使用外線時不被占用？

解：把觀察每一臺分機(jī)是否使用外線作為一次試驗，則各次試驗相互獨立，設(shè)X為1000臺分機(jī)中同時使用外線的分機(jī)數(shù)，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據(jù)題意，設(shè)N為滿足條件的最小正整數(shù)

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機(jī)至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機(jī)在使用外線時不被占用。

小結(jié) 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數(shù)定律

其中n是試驗次數(shù)，m是A發(fā)生次數(shù)，p是A的概率，它說明試驗次數(shù)很多時，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律

取值穩(wěn)定在期望附近。

它說明在大量試驗中，隨機(jī)變量

（四）知道獨立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說明當(dāng)n很大時，獨立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)N（nμ,nσ2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+…Xn卻近似正態(tài)N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨立重復(fù)事件發(fā)生次數(shù)，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態(tài)N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應(yīng)用問題。

第五篇：CH5 大數(shù)定律及中心極限定理--練習(xí)題

CH5 大數(shù)定律及中心極限定理

1.設(shè)Ф(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Xi=?

100?1,事件A發(fā)生；?0,事件A不發(fā)生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互獨立。令Y=?

i?1Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（）

y?80

4A.Ф(y)

2.從一大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨機(jī)抽取100粒,則這100粒種子的發(fā)芽率不低于88%的概率約為.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn??

i?1??Xi,n?1，2，?.Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則limP?n???????1??（）np(1?p)??Yn?np

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.設(shè)

5.設(shè)X服從(-1,1)上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計

6.設(shè)

7.報童沿街向行人兜售報紙，設(shè)每位行人買報紙的概率為0.2，且他們買報紙與否是相互獨立的。試求報童在想100為行人兜售之后，賣掉報紙15到30份的概率

8.一個復(fù)雜系統(tǒng)由n個相互獨立的工作部件組成，每個部件的可靠性（即部件在一定時間內(nèi)無故障的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使得整個系統(tǒng)工作。問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95

9.某人有100個燈泡，每個燈泡的壽命為指數(shù)分布，其平均壽命為5小時。他每次用一個燈泡，燈泡滅了之后立即換上一個新的燈泡。求525小時之后他仍有燈泡可用的概率近似值相互獨立的隨機(jī)變量，且都服從參數(shù)為10的指數(shù)分布，求 的下界 是獨立同分布的隨機(jī)變量，設(shè), 求