第一篇：2018考研概率知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：大數(shù)定律和中心極限定理

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研概率知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：大數(shù)定律和

中心極限定理

考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)最后兩月多的時(shí)間，大家除了瘋狂做題之外，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的整合聯(lián)系也要做好，統(tǒng)籌全局才能穩(wěn)操勝券，下面是概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)點(diǎn)整合，大家可以抽時(shí)間捋一捋。

2018考研概率知識(shí)點(diǎn)整合：大數(shù)定律和中心極限定理

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

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第二篇：概率統(tǒng)計(jì)第五章大數(shù)定律及中心極限定理

第五章大數(shù)定律及中心極限定理

第一節(jié) 大數(shù)定律（Laws of Large Numbers）

隨機(jī)現(xiàn)象總是在大量重復(fù)試驗(yàn)中才能呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性，集中體現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的是頻率的穩(wěn)定性。大數(shù)定律將為此提供理論依據(jù)。凡是用來說明隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。由于內(nèi)容非常豐富，我們只介紹其中兩個(gè)。

一 契比雪夫大數(shù)定律

[定理1（契比雪夫的特殊情況）]設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?具有相同的數(shù)學(xué)

期望和方差：E(Xk)??，D(Xk)??(k?1,2,?)，則???0,?1limP?n??

?n

n

?X

k?1

k

?

??????1

?．

【注1】 契比雪夫大數(shù)定律告訴我們：隨機(jī)變量的算術(shù)平均有極大的可能性接近于它們的數(shù)學(xué)期望，這為在實(shí)際工作中廣泛使用的算術(shù)平均法則提供了理論依據(jù).例如，為測量某個(gè)零件的長度，我們進(jìn)行了多次測量，得到的測量值不盡相同，我們就應(yīng)該用所有測量值的算術(shù)平均作為零件長度的近似為最佳。

二 伯努利大數(shù)定律

[定理2（伯努利大數(shù)定律）]設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在nA

每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則事件A發(fā)生的頻率n依概率收斂于事件A的概率p，即???0,limP{|

n??

nAn

?p|??}?1

或

limP{|

n??

nAn

?p|??}?0

【注2】伯努利大數(shù)定律中的nAn，實(shí)際上就是事件A發(fā)生的頻率，定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式

表述了頻率穩(wěn)定于概率的事實(shí)。這樣，頻率的穩(wěn)定性以及由此形成的概率的統(tǒng)計(jì)定義就有了理論上的依據(jù)。

第二節(jié)中心極限定理（Central Limit Theorems）

n

如果X1,X2,?,Xn是同時(shí)服從正態(tài)分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則它們的和?

i?1

Xi

仍

然是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。現(xiàn)在的問題是：如果X1,X2,?,Xn是服從相同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并非服從正態(tài)分布，那么它們的和是否還會(huì)服從正態(tài)分布呢？中心極限定理對(duì)此給出了肯定的答復(fù)。所有涉及大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布的定理統(tǒng)稱為中心極限定理。由于內(nèi)容非常豐富，我們只介紹其中兩個(gè)。

一 獨(dú)立同分布中心極限定理

[定理3（獨(dú)立同分布中心極限定理）]設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?相互獨(dú)立，服從同一

分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)???,D(Xk)???0(k?1,2,?)，則對(duì)于任意的x，n

?X

limPn??

k

?n?

?x}?

?

x?t

dt??(x)

．

n

【注3】 定理說明，均值為?，方差為?

n

?0的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和

?Xk的標(biāo)準(zhǔn)

k?1

化變量Yn

?X

?

k

?n?，當(dāng)n很大時(shí)近似服從N(0,1)；而?

k?1

n

Xk

近似服從N(n?,n?)．

【注4】若記

??2?

X~N??,?

n??

X?

n

?n

Xk，則Yn

?

k?1

近似服從正態(tài)分布N(0,1)；或X近似服從

．

二 棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理

[定理4（棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理）]

設(shè)隨機(jī)變量Yn?(n?1,2,?)服從參數(shù)為n,p?(0?p?1)的二項(xiàng)分布，則?x?R，有

limPn??

Y?np?x}?

?

x??

?

t22

dt??(x)

．

【注5】 這個(gè)定理的直觀意義是，當(dāng)n足夠大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量Yn可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布N(np,np(1?

p))~?N?0,1?

.【注6】一般的結(jié)論是，不管每個(gè)服從什么分布，只要滿足條件：

1）構(gòu)成和式的X1,X2,?,Xn是服從相同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

2）每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)和的影響要均勻地小

3）構(gòu)成和式的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)要相當(dāng)多，至少在30個(gè)以上

n

那么，它們的和?

i?1

Xi

將近似服從正態(tài)分布。因此，中心極限定理揭示了正態(tài)分布的形成機(jī)

制。例如我們在對(duì)某經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行定量分析時(shí)，如果在許多種隨機(jī)影響因素中沒有一個(gè)是起主導(dǎo)作用的，那么就可以把它看成正態(tài)分布來進(jìn)行分析。

經(jīng)驗(yàn)表明：應(yīng)用中大量的獨(dú)立隨機(jī)變量的和，都可以看成近似地服從正態(tài)分布。例

如測量誤差，炮彈落點(diǎn)離開目標(biāo)的偏差以及產(chǎn)品的強(qiáng)度，折斷力，壽命等質(zhì)量指標(biāo)均屬于此列。這樣，由于中心極限定理的出現(xiàn)和應(yīng)用，更加顯示出了正態(tài)分布的重要。

三 中心極限定理在近似計(jì)算中的應(yīng)用 1.同分布獨(dú)立和?Xk的概率的計(jì)算

k?1n

例1 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為 100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克．一箱內(nèi)裝200袋

味精，求一箱味精的凈重大于20200克的概率．

200

解：設(shè)每袋味精的凈重為Xk?k?1,2,?,200?，則一箱味精的凈重為?

k?1

200

Xk，又

E?Xk??100,??10

.由中心極限定理知?

k?1

Xk

近似地服從正態(tài)分布。所以

?200??200?P??Xk?20200??1?P??

Xk?20200? ?k?1??k?1?

?200?

??Xk?20000??1?P?????

?1???1???1.41??1?0.9207?0.0793.2.n很大時(shí)，二項(xiàng)分布中事件?a?Yn?b?的概率的計(jì)算

例2 設(shè)有一大批電子元件，次品率為1 %，現(xiàn)在任意取500個(gè)，問其中次品數(shù)在5～9個(gè)

之間的概率為多少？

解：設(shè)任意取500個(gè)其中次品數(shù)為Yn，則Yn可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布N(np,np(1?p))．

P?

5?Yn?9??P?

?

?4????????0????1.80??0.5?0.9641?0.5?0.4641.2.22??

例3.有200臺(tái)獨(dú)立工作(工作的概率為0.6)的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)需3 kw電力．問共需多少電力, 才可有99.9 %的可靠性保證正常生產(chǎn)? 解：同時(shí)對(duì)200臺(tái)機(jī)床察看是開工還是停工？可看成n

?200,p?0.6的二項(xiàng)分布，設(shè)工作的機(jī)床數(shù)為Yn，假設(shè)至多有m臺(tái)機(jī)床在工作，則依照題意有P?0?Yn?m??0.999

P?

0?Yn?m??P???

?

?????????0??

141.5

所以??

??0.999?

?

3.1，即m?120?3.1，取整數(shù)解

m?142（臺(tái)），共需電力：142×3=426 kw.所以，至少需426 kw 電力, 才可有99.9 %的可靠性保證正常生產(chǎn)。

第三篇：第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第五章

大數(shù)定律及中心極限定理

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律只有在對(duì)大量隨機(jī)現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來。研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個(gè)隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機(jī)變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機(jī)變量的離差與方差之間的關(guān)系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對(duì)任意小正數(shù)ε>0，有:

或：

［例5-1］設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定ε=2,2.5，實(shí)際計(jì)算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗(yàn)證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當(dāng)ε=2時(shí)，當(dāng)ε=2.5時(shí)，可見，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設(shè)電站供電網(wǎng)有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關(guān)是彼此獨(dú)立的。試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6 800～7 200的概率。

解：設(shè)X表示在夜晚同時(shí)開著的電燈的數(shù)目，它服從參數(shù)n=10 000,p=0.7的二項(xiàng)分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應(yīng)7 000盞燈的電力就能夠以相當(dāng)大的概率保證夠用。

[例5-3補(bǔ)充] 用切比雪夫不等式估計(jì)

解： 的三倍的可能性極

可見，隨機(jī)變量X取值與期望EX的差的絕對(duì)值大于其均方差小。

5.2 大數(shù)定律

在第一章中曾經(jīng)提到過，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率將逐漸穩(wěn)定于一個(gè)確定的常數(shù)值附近。另外，人們在實(shí)踐中還認(rèn)識(shí)到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，即平均結(jié)果的穩(wěn)定性。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表示證明了在一定的條件下，大量重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性與平均結(jié)果的穩(wěn)定性。

5.2.1 貝努利大數(shù)定律

定理5-2 設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對(duì)任意正數(shù)ε，有

貝努利大數(shù)定律說明，在大量試驗(yàn)同一事件A時(shí)，事件A的概率是A的頻率的穩(wěn)定值。

5.2.2 獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律

先介紹獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的概念。

稱隨機(jī)變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨(dú)立的，若對(duì)任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨(dú)立的。此時(shí)，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列。

定理5-3 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對(duì)于任意ε>0有

這一定理說明：經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性的深刻描述；同時(shí)，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要理論基礎(chǔ)。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨(dú)立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為Fn（x），則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有

（不證）

其中φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

由這一定理知道下列結(jié)論：

（1）當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布近似于正態(tài)分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個(gè)獨(dú)立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量之和服從正態(tài)分布。中心極限定理進(jìn)一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨(dú)立同服從什么分布，當(dāng)n充分大時(shí)，其和Zn近似服從正態(tài)分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為，即為上述Yn。因此的分布函數(shù)即是上述的F（，nx）因而有

由此可見，當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的平均值 的分布近似于正態(tài)分布

[例5-3]對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次射擊，每次射擊時(shí)命中目標(biāo)的炮彈數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率。解 設(shè)Xi為第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)的炮彈數(shù)（i=1,2,…,100），則中命中目標(biāo)的炮彈總數(shù)，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨(dú)立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時(shí)）的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機(jī)抽出16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時(shí)的概率。

解 設(shè)第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個(gè)中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量Zn是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x

其中q=1-p,φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結(jié)論：

（1）在貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p。又設(shè)Zn為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)n充分大時(shí)，Zn近似服從正態(tài)分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗(yàn)中，若事件中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的頻率，則當(dāng)n充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設(shè)同時(shí)開著的燈數(shù)為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A

【例5-6】設(shè)某單位內(nèi)部有1000臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5%的時(shí)間使用外線通話，假定各個(gè)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺(tái)分機(jī)需要使用外線時(shí)不被占用？

解：把觀察每一臺(tái)分機(jī)是否使用外線作為一次試驗(yàn)，則各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，設(shè)X為1000臺(tái)分機(jī)中同時(shí)使用外線的分機(jī)數(shù)，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據(jù)題意，設(shè)N為滿足條件的最小正整數(shù)

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機(jī)至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺(tái)分機(jī)在使用外線時(shí)不被占用。

小結(jié) 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會(huì)用切比雪夫不等式估計(jì)事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數(shù)定律

其中n是試驗(yàn)次數(shù)，m是A發(fā)生次數(shù)，p是A的概率，它說明試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律

取值穩(wěn)定在期望附近。

它說明在大量試驗(yàn)中，隨機(jī)變量

（四）知道獨(dú)立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說明當(dāng)n很大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)N（nμ,nσ2）所以，無論n個(gè)獨(dú)立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時(shí)，X1+X2+…Xn卻近似正態(tài)N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生次數(shù)，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態(tài)N（np,np（1-p）2）。并會(huì)用中心極限定理計(jì)算簡單應(yīng)用問題。

第四篇：CH5 大數(shù)定律及中心極限定理--練習(xí)題

CH5 大數(shù)定律及中心極限定理

1.設(shè)Ф(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Xi=?

100?1,事件A發(fā)生；?0,事件A不發(fā)生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互獨(dú)立。令Y=?

i?1Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（）

y?80

4A.Ф(y)

2.從一大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨機(jī)抽取100粒,則這100粒種子的發(fā)芽率不低于88%的概率約為.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…獨(dú)立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn??

i?1??Xi,n?1，2，?.Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則limP?n???????1??（）np(1?p)??Yn?np

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.設(shè)

5.設(shè)X服從(-1,1)上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計(jì)

6.設(shè)

7.報(bào)童沿街向行人兜售報(bào)紙，設(shè)每位行人買報(bào)紙的概率為0.2，且他們買報(bào)紙與否是相互獨(dú)立的。試求報(bào)童在想100為行人兜售之后，賣掉報(bào)紙15到30份的概率

8.一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立的工作部件組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件在一定時(shí)間內(nèi)無故障的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使得整個(gè)系統(tǒng)工作。問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95

9.某人有100個(gè)燈泡，每個(gè)燈泡的壽命為指數(shù)分布，其平均壽命為5小時(shí)。他每次用一個(gè)燈泡，燈泡滅了之后立即換上一個(gè)新的燈泡。求525小時(shí)之后他仍有燈泡可用的概率近似值相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從參數(shù)為10的指數(shù)分布，求 的下界 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，設(shè), 求

第五篇：ch5大數(shù)定律和中心極限定理答案

一、選擇題

?0,事件A不發(fā)生

1.設(shè)Xi??(i?1,2?,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,?,X10000相互獨(dú)立,令

1,事件A發(fā)生?

10000

Y=

?X,則由中心極限定理知Y近似服從的分布是（D）

ii?

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．設(shè)X1，X2，……，Xn是來自總體N（μ,σ2）的樣本，對(duì)任意的ε>0，樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為（B）

?X?n????≥?

n?

C．P?X?????≤1-?

A．P

2n?

?X?????≥1-n?

n?

D．P?X?n????≤

?

B．P

?2

3.設(shè)隨機(jī)變量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X?E(X)|?3?)?（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布，用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空題

1．將一枚均勻硬幣連擲100次，則利用中心極限定理可知，正面出現(xiàn)的次數(shù)大于60的概率

近似為___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．設(shè)隨機(jī)變量序列X1，X2，…，Xn，…獨(dú)立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 則?n?

X?n???i

?i?1?

?x??_對(duì)任意實(shí)數(shù)x，limP?

n??n???

????

?

___________.3.設(shè)隨機(jī)變量X的E(X)=?,D(X)??2,用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X?E(X)|?3?2)? ___8/9________。

4．設(shè)隨機(jī)變量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估計(jì)P（|X－_____1/4___________．

5．設(shè)隨機(jī)變量X~B(100,0.8)，由中心極限定量可知，11

|≥）≤2

P?74?X?86??_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

?0,6.設(shè)Xi=??1,事件A不發(fā)生事件A發(fā)生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互獨(dú)立，令Y=?X

i?1100i，則由中心極限定理知Y近似服從于正態(tài)分布，其方差為___16________。

7．設(shè)隨機(jī)變量X ~ B（100，0.2），應(yīng)用中心極限定理計(jì)算P{16?X?24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.設(shè)?n為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任意的??0,limP{|n???n?p|??}=__1________.n

9．設(shè)隨機(jī)變量X～B(100，0.5)，應(yīng)用中心極限定理可算得P{40

10.設(shè)X1,X2,?,Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，則當(dāng)n充分大的時(shí)候，隨機(jī)變量Zn?

_N(0,1)_______(標(biāo)明參數(shù)).1X?i?1ni的概率分布近似服從