第一篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

4.1 設(shè)D(x)為退化分布：

?1x?0 D(x)???0x?0討論下列分布函數(shù)列的極限是否仍是分布函數(shù)？

11(1){D(x?n)};(2){D(x?)};(3){D(x?0},其中n?1,2,?

nn解：（1）（2）不是；（3）是。4.2 設(shè)分布函數(shù)Fn(x)如下定義：

?0?x?nFn(x)???2n?1x??n?n?x?n

x?n問F(x)?limFn(x)是分布函數(shù)嗎？ n??解：不是。4.3設(shè)分布函數(shù)列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(x)，且

F(x)為連續(xù)函數(shù)，則{Fn(x)}在(??,?)上一致收斂于F(x)。

證：對任意的??0，取M充分大，使有

1?F(x)??,?x?M;F(x)??,?x??M對上述取定的M，因為F(x)在[?M,M]上一致連續(xù)，故可取它的k分點：

x1??M?x2???xk?1?xk?M，使有

F(xi?1)?F(xi)??,1?i?k，再令x0???,xk?1??，則有

?N時有 F(xi?1)?F(xi)??,0?i?k?1（1）

這時存在N，使得當(dāng)n|Fn(xi)?F(xi)|??,0?i?k?1（2）

成立，對任意的x?(??,?)，必存在某個i(0?i?k)，使得x?(xi,xi?1)，時有 由（2）知當(dāng)n?NFn(x)?Fn(xi?1)?F(xi?1)??（3）

Fn(x)?Fn(xi)?F(xi)??由（1），（3），（4）可得

（4）

Fn(x)?F(x)?F(xi?1)?F(x)???F(xi?1)?F(xi)???2?，F(xiàn)n(x)?F(x)?F(xi)?F(x)???F(xi)?F(xi?1)????2?即有Fn(x)?F(x)?2?成立，結(jié)論得證。

??n?同時依概率收斂于隨機變量?與?，證明這時必有P(???)?1。

?????0有???????????n?????，故

2????4.5 設(shè)隨機變量序列證：對任意的????????0?P????????P????n???P??n?????0,n?0

2?2???即對任意的??0有P????????0成立，于是有

???1????1?P??????P???????????P???????0

k??k?1?k??k?1?從而P(???)?1成立，結(jié)論得證。

4.6 設(shè)隨機變量序列??n?，??n?分別依概率收斂于隨機變量?與?，證明：

PP?????????。?????；（1）?n??n?（2）nn證：（1）因為??????n??????????n?????????n???????n???故

2??2??????????0?P(?????n??n??)?P????n???P????n???0,n??

2?2???P?????????成立。即nn2?????（2）先證明這時必有。對任給的??0,?2nP?0取

M，當(dāng)

足夠大

M?1??????1?，使有P???????成立，對取定的2??M??時有PM，存在N

n?N??n??????1??P??n??????成立.這時有

M??P??n???M??P??n???2??M?

??n???2??M????n???1???P??P{(|?n??|?|2?|?M)?(|?n??|?1)}

?P(|2?|?M?1)?P(|?n??|?1)?2?從而有

P(|?n2??2|??)?P(|?n??||?n??|??)?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}?P(|?n??|?由?,?的任意性知?2n?M)?P(|?n??|?M)?3?2n??P2，同理可證???2，由前述（1）有

2nPP2?n?n?(?n??n)?????(???)2????2?2??

故?nP??n??????，結(jié)論成立。

22n4.7 設(shè)隨機變量序列?nP???a，a?0是一個常數(shù)，且?n?0，證明

1?nP???1a。

證：不妨設(shè)a?0對任意的0???a，當(dāng)?n?a??時有?na?a2?a(?n?a)?a2?a?，??n?a???n?a?????2?????因而?。于是有 ??a??a?a???n???11?? 0?P????????na? ????????n?a???n?a???????n?a????????P?????P?????a????? n?????????????na????na? ???n?a??P????a2?a???P??n?a????0,n??。

??結(jié)論成立。

4.9 證明隨機變量序列??n?依概率收斂于隨機變量?的充要條件為：

E?n???0,n??

1??n??證：充分性，令f(x)?x1'，x?0，則f(x)??0,x?0，故f(x)是x(x?0)的21?x(1?x)單調(diào)上升函數(shù)，因而??n??n??????????????1?|???|1???，于是有

n????n????P??n??????P???1??n??1????? ??n???E?0,n??

?1??n??1??對任意的??0成立，充分性得證。

P?0，令A(yù)????:?n?????，因為?n????，故存在充分大的N必要性，對任給的?得當(dāng)n使?N時有P(A?)??，于是有

??n????n???n????)IA? E?E?IA???E(1????1??n??1????nn?? ?P(A?)???2?，由?的任意性知E?n???0,n??，結(jié)論為真。

1??n???a，bn?b，證明an?n?bn也按4.10 設(shè)隨機變量?n按分布收斂于隨機變量?，又?jǐn)?shù)列an分布收斂于a??b。

?0時為顯然，不妨設(shè)a?0（a?0時的修改為顯然），證：先證明a?n按分布收斂于a?。a若a?，?，a?n，?n的分布函數(shù)分別記作Fa??x????，F(xiàn)????，F(xiàn)a?n???與Fn???，則Fa??x?=F???，?a?當(dāng)x是Fa?x???的連續(xù)點時，是F????的連續(xù)點，于是有

a?x??x?limFa?n(x)?limFn???limF????Fa?(x)n??n???a?n???a?成立，結(jié)論為真。由4.12知?n(an及4.11知?nan?a)?0，再由4.6(1)知?n(an?a)?bn?b，于是由前述結(jié)論

PP?bn?a?n?(an?a)?n?bn按分布收斂于a??b，結(jié)論得證。

4.11設(shè)隨機變量序列{?n}按分布收斂于隨機變量?，隨機變量序列{?n}依概率收斂于常數(shù)a，證明?n??n按分布收斂于??a。

證：記?,?n的分布函數(shù)分別為F(x),Fn(x)，則?連續(xù)點，則對任給的??a的分布函數(shù)為F(x?a)，設(shè)x是F(x?a)的時有

?0，存在??0，使當(dāng)0?????（1）|F(x?a???)?F(x?a)|??由于F(x)在(x?a??,x?a??)只能有有限個間斷點，可取

0??1??2??，使得x?a??1,x?a??2都是F(?)的連續(xù)點，這時存在N1，當(dāng)n?N1時有

|F(x?a??1)?Fn(x?a??1)|??（2）|F(x?a??2)?Fn(x?a??2)|??（3）

對取定的?1，存在N2，當(dāng)n?N2時有

P(|?n?a|??1)??于是當(dāng)n?，（2），（4）式有 max(N1,N2)時，由（1）

（4）

P(?n??n?a)?x?a)?P{(?n??n?a?x?a)?(|?n?a|??1)}?P{(?n??n?a?x?a)?(|?n?a|??1)}?P(?n?x?a??1)?P(|?n?a|??1)?F(x?a)?3?又因為

(5)P(?n?x?a??2)?P{[?n??n?(?n?a)?x??2]?(|?n?a|??2)}?P{(?n?x?a??2)?(|?n?a|??2)}于是由（1），（3），（4）式有

P(?n??n?a?x?a)?P{[?n??n?(?n?a)?x??2]?(|?n?a|??2)}?P(?n?x?a??2)?P(|?n?a|??2?F(x?a)?3?|P(?n??n?a?x?a)?F(x?a)|?3?（6）

由（5），（6）兩式可得

由?的任意性即知?n??n按分布收斂于??a，結(jié)論得證。

?0。

P4.12設(shè)隨機變量序列{?n}按分布收斂于?，隨機變量序列{?n}依概率收斂于0，證明?n?n證：記?,?n的分布函數(shù)分別為F(x),Fn(x)，對任給的??0，取a?0,b?0足夠大，使?a,b是F(x)的連續(xù)點且

1?F(b)??,F(?a)??因為Fn(x)?F(x)，故存在N1，當(dāng)nW

?N1時有

1?Fn(b)?2?,Fn(?a)?2?令MP?max(a,b)，因為?n?0，故存在N2，當(dāng)n?N2時有

P(|?n|??M)??

而

P(|?n?n|??)?P{(|?n?n|??)?[(?a??n?b)?(|?n|??P{(|?n?n|??)?[(?a??n?b)?(|?n|?其中I1?M)]}

?M)]}?I1?I2?0，當(dāng)n?max(N1,N2)時有

P{(|?n?n|??)?(?a??n?b)}?P{(?a??n?b)}?P{(?n??a)?(?n?b)}?Fn(?a)?[1?Fn(b)]?4?因而P(|?n?nP

|??)?I2?5?，由?的任意性知?n?n?0，結(jié)論為真。

4.13 設(shè)隨機變量?n服從柯西分布，其密度函數(shù)為

pn(x)?證明?nn 22?(1?nx)?0,n??。P證：對任意的??0，有

n?n1P(|?n|??)??dx???n??(1?t2)dt?1,n?? ???(1?n2x2)?故?n?0,n??。P4.14 設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為

??1?p(x)????0其中?0?x??其它P

?0為常數(shù)，令?n?max(?1,?2,?,?n)，證明?n??。

證：對任意的n，0??n??為顯然，這時有

nnxP(?n?x)??P(?i?x)???i?1i?110?xdx?()n,0?x??

?P(?n?x)?0,x?0;P(?n?x)?1,x??

對任意的??0(???)，有

P(|?n??|??)?P(?n????)?(故?n???n)?0,n?? ???P成立，結(jié)論得證。

4.15 設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為

?e?(x?a)p(x)???0令?nx?a x?a?min(?1,?2,?,?n)，證明?n?a。

P證：設(shè)?i的分布函數(shù)為F(x)，有

?1?e?(x?a)F(x)???0這時有

nx?a x?aP(?n?x)??P(?i?)?[1?F(x)]n?e?n(x?a),x?a

i?1對任意的??0，有 P(|?n?a|??)?P(?n?a??)?e?n??0,n??

故?n?a成立，結(jié)論得證。P4.17設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，都服從(0,1)上的均勻分布，若?nP?(??k)k?1n1n，證明?n?c(c為常數(shù)），并求出c。

證：這時{ln?n}也是獨立同分布隨機變量序列，且

E?n??lnxdx??1

0P1nx由辛欽大數(shù)定律知{ln?n}服從大數(shù)定理，即有?ln?i??1，令f(x)?e，則f(x)是直線上

ni?11的連續(xù)函數(shù)，由4.8題知

(??i)?ei?1n1n1nln?ini?1??e?1?c

P結(jié)論成立。

4.18設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，每個隨機變量的期望為nP2?k?k?a。

n(n?1)k?1n2證：已知E?n?a，記D?n??，令?n??k?kn(n?1)k?1a，且方差存在，證明

2，則

n2E?n??ka?an(n?1)k?1D?n?對任給的?4n2(n?1)2?k2?2?k?1n4?n?12

?0，由契貝曉夫不等式有

14?2P(|?n?a|??)?2D?n?2?0,n??

??n?11故?n?a，結(jié)論得證。

2P1n2P24.19設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，且D?n??存在，數(shù)學(xué)期望為零，證明??k??。

nk?1證：這時{?n}仍獨立同分布，且E?n22?D?n??2??，由辛欽大數(shù)定律知結(jié)論成立。4.21 設(shè)隨機變量序列{?n}按分布收斂于隨機變量?，又隨機變量序列{?n}依概率收斂于常數(shù)?a(a?0),?n?0，則{n?}按分布收斂于?na。

證：由4.7題知1?n??n111PP于是由4.12題有?n(而???0，?)???0，a?naa?11??n?n??n???????n??na?a按分布收斂于（見?a4.10題的證明），因而由4.11題知

按分布收斂于?，結(jié)論成立。a4.22設(shè){?分布。2n}為獨立同N(0,1)分布的隨機變量序列，證明n?n?1??k?1n2k的分布函數(shù)弱收斂于N(0,1)1n2P證：這時{?}也為獨立同分布隨機變量序列，且E??1，由辛欽大數(shù)定律知??i?又?n?1??1，ni?12n2n服從N(0,1)分布，當(dāng)然弱收斂于N(0,1)分布，由4.21題即知?n按分布收斂于N(0,1)分布，結(jié)論得證。

1?n?4.23 如果隨機變量序列{?n}，當(dāng)n??時有2D???k??0，證明{?n}服從大數(shù)定律（馬爾

n?k?1?柯夫大數(shù)定律）

證：由契貝曉夫不等式即得。4.26 在貝努里試驗中，事件

A出現(xiàn)的概率為p，令

?n??證明{?n}服從大數(shù)定律。

?1,若在第n次及第n?1次實驗中A出現(xiàn)

?0，其它證：{?n}為同分布隨機變量序列，且E?n?E?n2?p2，因而D?n?p2(1?p2)?1，又當(dāng)|i?j|?2時，?i與?j獨立，由4.24知{?n}服從大數(shù)定律，結(jié)論得證。

4.28設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，方差存在，又

?an?1?n為絕對收斂級數(shù)，令?n?n??ii?1，則{an?n}服從大數(shù)定律。證：不妨設(shè)E?n否則令???n?E?n，并討論{?}即可。記E????0。'n'n2n2，又c??|an|??。

n?1?因為?a???a(??iiii?1i?1k?1nnik)???k(?ai)，故有

k?1i?knnnnn11?22D(?ai?i)?2E{??k(?ai)]?2n2nni?1k?1i?kc2?2(?ai)??0,n?? ?nk?1i?knn2由4.23知{an?n}服從大數(shù)定律，結(jié)論得證。4.30設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，共同分布為

2k1P(?n?2)?k,k?1,2,?

k2試問{?n}是否服從大數(shù)定律？

答：因為E?n存在，由辛欽大數(shù)定律知{?n}服從大數(shù)定律。4.31設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，共同分布為

P(?n?k)??c,k?2,3,?

k2log2k其中c?(?1?1，問{?n}是否服從大數(shù)定律？)22k?2klogk答：因為E?n存在，由辛欽大數(shù)定律知{?n}服從大數(shù)定律。

4.32 如果要估計拋擲一枚圖釘時尖頭朝上的概率，為了有95%以上的把握保證所觀察到的頻率與概率差小于

p的p10，問至少應(yīng)該做多少次試驗？

解：令

?n??上?1第n次試驗時圖釘?shù)募忸^朝 其它?0據(jù)題意選取試驗次數(shù)n應(yīng)滿足P(|??i?1nin?p|?p)?0.95，因為n比較大，由中心極限定理有 10P(|????i?1nin?p|?12?e?p)?P(|10x22?(?i?1n?p)|?npq1np)10q

1np10q1np?10qdx?0.95故應(yīng)取

1q1np?2，即n?400，但圖釘?shù)撞恐?，尖頭輕，由直觀判斷有p?，因而

2p10qq?1，故可取n?400。p4.33 一本書共有一百萬個印刷符號，排版時每個符號被排錯的概率為0.0001，校對時每個排版錯誤被改正的概率為0.9，求在校對后錯誤不多于15個的概率。解：令

?i??對后仍錯誤?1第i個印刷符號被排錯且校 其它?0因為排版與校對是兩個獨立的工序，因而

p?P(?i?1)?0.0001?0.1?10?5,P(?i?0)?q?1?p

{?i}是獨立同分布隨機變量序列，E?i?p，令?n???ii?1n，其中n?106，由中心極限定理有

b?x22P(?n?15)?P(?n?npnpq?15?npnpq?b)?12????edx

其中b?510?1.58，查N(0,1)分布表即可得P(?n?15)?0.94，即在校對后錯誤不多于

15個的概率。

4.34 在一家保險公司里有10000個人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年里一個人死亡的概率為0。006，死亡時家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：（1）保險公司虧本的概率多大？

（2）保險公司一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元的概率各為多大？ 解：保險公司一年的總收入為120000元，這時（1）若一年中死亡人數(shù)?120，則公司虧本；（2）若一年中死亡人數(shù)?80，則利潤中死亡人數(shù)?40000元；

若一年中死亡人數(shù)?60，則利潤中死亡人數(shù)?60000元； 若一年中死亡人數(shù)?40，則利潤中死亡人數(shù)?80000元；

令

?i???1第i個人在一年內(nèi)死亡

?0第i個人在一年內(nèi)活著則P(?i?1)?0.006?p，記?n???i,n?10000i?1n已足夠大，于是由中心極限定理可得欲求事件的概率為（1）

P(?n?120)?1?P(同理可求得（2）?n?npnpq?120?npnpq?b)?1?12??b??e?x22dx?（其中0b?60)

7.723P(?n?80)?0.995(對應(yīng)的b?2.59)

P(?n?60)?0.5(對應(yīng)的b?0)P(?n?40)?0.005(對應(yīng)的b??2.59)

4.35 有一批種子，其中良種占多少？ 解：令

16，從中任取6000粒，問能以0.99的概率保證其中良種的比例與

16相差

第i粒為良種?1 ?i???0第i粒不是良種n11則P(?i?1)?，記p?,?n???i66i?1，其中n?6000，據(jù)題意即要求?使?jié)M足

P(|?nn?1n?|??)?0.99。令q?1?p,b?，因為n很大，由中心極限定理有 6npq??np1P(|?|??)?P(?b?n?b)?n6npq由N(0,1)分布表知當(dāng)b?n12??b?be?x22dx?0.99

?2.60時即能滿足上述不等式，于是知??bnpq?1.25?10?4，即能以n0.99的概率保證其中良種的比例與

16相差不超過1.25?10。

?44.36 若某產(chǎn)品的不合格率為0.005，任取10000件，問不合格品不多于70件的概率等于多少？ 解：令

?1第i件為不合格品?i??第i件為合格品?0則

p?P(?i?1)?0.005，記q?1?p,?n???ii?1n，其中n?10000，記b?70?npnpq，由中心極限定理有

P(?n?70)?P(?n?npnpq?b)?12??b??e?x22dx?0.998

即不合格品不多于70件的概率約等于0.998。

4.37 某螺絲釘廠的不合格品率為0.01，問一盒中應(yīng)裝多少只螺絲釘才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？ 解：令

?i??第i只是合格品?1?0第i只是不合格品

則p?P(?i?1)?0.99，記q?1?p,b?100?npnpq,?n???ii?1n，其中n尚待確定，它應(yīng)滿足P(?n?100)?0.05，由中心極限定理有

P(?n?100)?P(查N(0,1)分布表可取b?n?npnpq?b)?12??b??e?x22dx?0.05

103只螺絲釘才能使其中含有??1.65，由此求得n?103，即在一盒中應(yīng)裝100只合格品的概率不小于0.95。

4.39 用特征函數(shù)的方法證明“二項分布收斂于普哇松分布”的普哇松定理。證：設(shè){?in}1?i?n獨立同二項分布，即

P(?in?1)?pn,P(?in?0)?qn?1?pn,1?i?n

?ni的特征函數(shù)為(qn?pne)，記?n???in,?n的特征函數(shù)記作?n(t)，因為npn??iti?1n，故pn??1?1?o(),qn?1??o()，于是有 nnnn?n(t)?(qn?pneit)n?(1??nn??niteit?o(1))n

11?(eit?1)?(eit?[1??(e?1)?o()]nn?e?(e而e?(eit?1)it?1)?1),n??是參數(shù)為?的普哇松分布的特征函數(shù)，由特征函數(shù)的逆極限定理即知定理成立，證畢。

4.40 設(shè)隨機變量??服從?---分布，其分布密度為

?????1??x?xep?(x)???(?)??0證：當(dāng)?x?0x?0(??0,??0)

??時，??????的分布函數(shù)弱收斂于N(0,1)分布。

證：??的特征函數(shù)為??(t)?(1?it?)??，易知

??????)??的特征函數(shù)為

g?(t)?e而

?i?t(1?it??e?i?t??ln(1?it?)

1t21it2t3ln(1?)?????o()

??2?3????)itit因而有

t21it3t3t2?i?t??ln(1?)?????o()??,???

232????it故lim???g?(t)?e?t22，所以相應(yīng)的分布函數(shù)弱收斂于N(0,1)分布，命題得證。

4.41設(shè){?n}為一列獨立同分布隨機變量，且?n服從(?n,n)上的均勻分布，證明對{?n}成立中心極限定理。

x2n2dx?證：易知E?n?0,D?n?E????n2n32nn，于是

k21B??D?k???n(n?1)(2n?1)

18k?1k?132nnnn32故Bn?3，對任意的??0，存在N，使當(dāng)n?N時有

n因而Bn??n，從而當(dāng)n?N，??1，3?|x|?Bn?x2dFk(x)?0，若k?n，由此知

1lim2n??Bn??k?1n|x|?Bn?x2dFk(x)?0

即林德貝爾格條件滿足，所以對{?n}成立中心極限定理，結(jié)論得證。4.42 設(shè){?n},{?n}皆為獨立同分布隨機變量序列，且

{?n}與{?n}獨立，其中

11nE?n?0,D?n?1;P(?n??1)?,n?1,2,?，證明：sn??i?i的分布函數(shù)弱收斂于正?2ni?1態(tài)分布N(0,1)。

證：這時{?n?n}仍是獨立同分布隨機變量序列，易知有

E(?n?n)?0,D(?n?n)?E(?n?n)2?E?n2?1

由林德貝爾格---勒維中心極限定理知：sn得證。

4.45 利用中心極限定理證明：

?1??的分布函數(shù)弱收斂于正態(tài)分布N(0,1)，結(jié)論?niii?1n?nnk??n1??e?,n?? ???2?k?0k!?證：設(shè){?n}是獨立同分布隨機變量序列，共同分布為?n?1的Poisson分布，故

E?n?D?n?1,B??D?k?n，由林德貝爾格---勒維中心極限定理知 2nk?1?n?(??E?)???kkn1P(??k?n)?P?k?1?0????Bn2?k?1????由Poisson分布的可加性知

?0??e?t22dt?1,n?? 2??k?1nk服從參數(shù)為n的Poisson分布，因而

nn?nnk?nP(??k?n)??e，但e?0(n??)，所以

n!k?1k?0k!nn?1n?nnk??nnn?n1??e?P(??n)?e?,n?? ?k??k!?n!2k?1?k?0?成立，結(jié)論得證。

第二篇：概率與數(shù)理統(tǒng)計第5章大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)題及答案

第 5 章 大數(shù)定律與中心極限定理

一、填空題：

1.設(shè)隨機變量{ EMBED Equation.3 |E(?)??，方差，則由切比雪夫不等式有.2.設(shè)是n個相互獨立同分布的隨機變量，對于，寫出所滿足的切彼雪夫不等式，并估計.3.設(shè)隨機變量相互獨立且同分布, 而且有, , 令, 則對任意給定的, 由切比雪夫不等式直接可得.解：切比雪夫不等式指出：如果隨機變量滿足：與都存在, 則對任意給定的, 有 , 或者

由于隨機變量相互獨立且同分布, 而且有

所以

4.設(shè)隨機變量X滿足：, 則由切比雪夫不等式, 有

.解：切比雪夫不等式為：設(shè)隨機變量X滿足, 則對任意的, 有由此得

5、設(shè)隨機變量，則.6、設(shè)為相互獨立的隨機變量序列，且服從參數(shù)為的泊松分布，則.7、設(shè)表示n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，是事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，則.8.設(shè)隨機變量, 服從二項分布, 其中, 那么, 對于任

一實數(shù)x, 有 0.9.設(shè)為隨機變量序列,為常數(shù), 則依概率收斂于是指 1 ,或 0。

10.設(shè)供電站電網(wǎng)有100盞電燈, 夜晚每盞燈開燈的概率皆為0.8.假設(shè)每盞燈開關(guān)是相

互獨立的, 若隨機變量X為100盞燈中開著的燈數(shù), 則由切比雪夫不等式估計, X落

在75至85之間的概率不小于

.解：, 于是

二．計算題：

1、在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計，在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率.解：設(shè)表示1000次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則

2、一通信系統(tǒng)擁有50臺相互獨立起作用的交換機.在系統(tǒng)運行期間, 每臺交換機能清晰接受信號的概率為0.90.系統(tǒng)正常工作時, 要求能清晰接受信號的交換機至少45臺.求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：

設(shè)X表示系統(tǒng)運行期間能清晰接受信號的交換機臺數(shù), 則

由此 P(通信系統(tǒng)能正常工作)

3、某微機系統(tǒng)有120個終端, 每個終端有5%的時間在使用, 若各終端使用與否是相互獨立的, 試求有不少于10個終端在使用的概率.解：某時刻所使用的終端數(shù)7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

4、某校共有4900個學(xué)生, 已知每天晚上每個學(xué)生到閱覽室去學(xué)習(xí)的概率為0.1, 問閱覽室

要準(zhǔn)備多少個座位, 才能以99%的概率保證每個去閱覽室的學(xué)生都有座位.解：設(shè)去閱覽室學(xué)習(xí)的人數(shù)為, 要準(zhǔn)備k個座位.查分布表可得

要準(zhǔn)備539個座位,才能以99%的概率保證每個去閱覽室學(xué)習(xí)的學(xué)生都有座位.5．隨機地擲六顆骰子，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙嫞毫w骰子出現(xiàn)的點數(shù)總和不小于9且

不超過33點的概率。

解：設(shè) ?表 示 六 顆 骰 子 出 現(xiàn) 的 點 數(shù) 總 和。

?i，表 示 第 i 顆 骰 子 出 現(xiàn) 的 點 數(shù)，i = 1，2，?，6 ?1，?2，?，?6 相 互 獨 立，顯 然

6.設(shè)隨機變量 相互獨立，且均服從指數(shù)分布

為 使，問： 的最小值應(yīng)如何 ？

解:

由 切 比 雪 夫 不 等 式 得

即 , 從 而 n ? 2000，故 n 的 最 小 值 是 2000

7．抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設(shè)某批產(chǎn)品次品率為10%，問至少應(yīng)抽取多少個產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率達到0.9? 解： 設(shè)n為至少應(yīng)取的產(chǎn)品數(shù)，是其中的次品數(shù)，則，而 所以

由中心極限定理知，當(dāng)n充分大時，有，由

查表得

8．(1)一個復(fù)雜系統(tǒng)由100個相互獨立的元件組成，在系統(tǒng)運行期間每個元件損壞的概率為0.1，又知為使系統(tǒng)正常運行，至少必需要有85個元件工作，求系統(tǒng)的可靠程度(即正常運行的概率)；(2)上述系統(tǒng)假設(shè)有n個相互獨立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系統(tǒng)正常運行，問n至少為多大時才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95? 解：(1)設(shè)表示正常工作的元件數(shù)，則，由中心極限定理可知

(2)設(shè)表示正常工作的元件數(shù)，則

9．一部件包括10部分，每部分的長度是一隨機變量，相互獨立且具有同一分布，其數(shù)學(xué)期望為2 mm，均方差為0.05 mm，規(guī)定總長度為20 ? 0.1 mm 時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。已 知 ：(0.6)= 0.7257；(0.63)= 0.7357。

解：設(shè) 每 個 部 分 的 長 度 為 Xi(i = 1, 2, ?, 10)E(Xi)= 2 = ?, D(Xi)= ? =(0.05)

,依題意，得合格品的概率為

10．計算機在進行加法計算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計算，設(shè)所有取整誤差是相 互獨立的隨機變量，并且都在區(qū)間[0.5，0.5 ]上服從均勻分布，求1200個數(shù)相加時誤 差總和的絕對值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。

解：設(shè) ?1，?2，?n 表示取整誤差, 因它們在 [0.5，0.5 ] 上服從均勻分布，故 有

根 據(jù) 同 分 布 的 中 心 要 極 限 定 理，得

=(1)(1)= 2(1)1 = 2 ? 0.84131 = 0.6826

11．將一枚硬幣連擲100次，試用隸莫佛--拉普拉斯定理計算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于60的概 率。已知 ：(1)= 0.8413；(2)= 0.9772 ； 當(dāng) x > 4 ,(x)=1。

解：設(shè) ? 為 擲 100次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，它服從二項分布B(100，)

這 里

由 隸 莫 佛--拉 普 拉 斯 定 理，得

查 N(0，1)分 布 函 數(shù) 表，得 P{ 60 < ? ? 100 } = 10.977 = 0.023..有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯, 能將甲種酒全部

挑出來, 算是成功一次.(1)某人隨機地去猜, 問他成功一次的概率是多少？

(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗10次, 成功3次.試推斷他是猜對的, 還是他確有區(qū)分的能力(各次試驗是相互獨立的).解：(1)設(shè)A={試驗成功一次}, 則有

(2)設(shè)X：試驗10次成功的次數(shù), 則 由于

因此隨機事件是一個小概率事件, 根據(jù)“小概率事件在一次試驗中是不大可能發(fā)生的”的原理, 隨機事件是不大可能發(fā)生的, 但它卻發(fā)生了, 因此我們要以斷定此人確有區(qū)分酒的能力.13.保險公司新增一個保險品種：每被保險人年交納保費為100元, 每被保險人出事賠付金

額為2萬元.根據(jù)統(tǒng)計, 這類被保險人年出事概率為0.000 5.這個新保險品種預(yù)計需

投入100萬元的廣告宣傳費用.在忽略其他費用的情況下, 一年內(nèi)至少需要多少人參

保, 才能使保險公司在該獲利超過100萬元的概率大于95%？

解：設(shè)參保人數(shù)為N人, 則

由

14、證明題 :設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

求證： 證：

由切比雪夫不等式得

第三篇：第5章-大數(shù)定律與中心極限定理答案

n?n??n?X??X?n??i????i?i?1A)limP??x????x?;B)

limP?x????x?;

n??n?????

2????????1?n??n?X??X?n??i????i?i?1i?

1C)limP??x????x?;D)limP??x????x?;

n??n??n????

2?????????

其中??x?為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).解由李雅普諾夫中心極限定理:

E(Xi)?

?,D(Xi)?

?

2?i?1,2,?,n?,11??1

Sn??2?2??

?2??

?????

nn1?1?

??Xi?n??Xi???Xi?n

??i?1?i?1????N(0,1)

Snn

故選(B)

4.設(shè)隨機變量X與Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為?0.5,則根據(jù)切貝謝夫不等式估計PX?Y?6?（）.A)

??

1111

B)C)D)461216

解|E?X?Y???2?2?0

(Y,?)?XY D?X?Y??D?X??D?Y??2cov?X,Y?,covX

??1?4?2???0.5??1?2?3.由切貝謝夫不等式得 PX?Y?E?X?Y??6?故選(C)

5.若隨機變量X?B?1000,0.01?, 則P?4?X?16??（）.A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725 解|因為 E?X??1000?0.01?10,D?X??npq?10?0.99?9.9

??

D?X?Y?31

??.623612

由切貝謝夫不等式得

P?4?X?16??P?X?10?6?

?1?P?X?10?6??1?

故選(D)

D?X?9.9

?1??1?0.275?0.725.3662

二、填空題（每空2分，共10分）

1.已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為??3的泊松分布，則利用切貝謝夫不等式估計概率

P?X?3?5??解因為X?P??m?

所以E?X??D?X??

3由切貝謝夫不等式PX?E?X??5?

??

D?X?3

?.522

52.已知隨機變量X存在數(shù)學(xué)期望E?X?和方差D?X?，且數(shù)學(xué)期望E?X??10，EX?109，利用

??

切貝謝夫不等式估計概率PX?10?6?解因為 E?X??10,D?X??EX

??

????E?X??

?109?100?9

由切貝謝夫不等式PX?10?6?

??

D?X?9

1??.2636

43.已知隨機變量X的方差為4，則由切貝謝夫不等式估計概率PX?E?X??3?解由切貝謝夫不等式PX?E?X??3?

??

??

4.9

4.若隨機變量X?B?n,p?,則當(dāng)n充分大時,X近似服從正態(tài)分布N 解因為 E?X??np,D?X??np?1?p?.三、計算或證明題題（每題10分，共80分）

1.如果隨機變量X存在數(shù)學(xué)期望E?X?和方差D?X?，則對于任意常數(shù)??0，都有切貝謝夫不等式：

P?X?EX????

DX

?2

（證明當(dāng)X為連續(xù)型隨機變量時的情況）

證明 設(shè)連續(xù)性隨機變量X的概率密度函數(shù)為??x?,則

P?X?EX????

X?EX??

?

??x?dx?

X?EX??

?

X?EX

?2

??x?dx

D?X?

?

?2

?

??

??

X?EX??x?dx?

?2

.2.投擲一枚均勻硬幣1000次，試?yán)们胸愔x夫不等式估計出現(xiàn)正面次數(shù)在450次~550次之間的概率.解設(shè)隨機變量X表示1000次試驗中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù), 由于

X?B?1000,0.5?,所以E?X??500,D?X??250;

由切貝謝夫不等式

P?450?X?550??P?X?500?50??1?

D?X?250

?1??0.9.2

250050

3.已知連續(xù)型隨機變量X服從區(qū)間??1,3?的均勻分布，試?yán)们胸愔x夫不等式估計事件X??4發(fā)生的概率.?1?3?3?(?1)??4;

?1,D?X??解由于X?U??1,3?, 所以E?X??2123

由切貝謝夫不等式

D(X)11

P?X?1?4??1?2?1???0.9167.41216

4.對敵人的防御工事進行80次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)炸彈數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為2，方差為0.8，且各次轟炸相互獨立，求在80次轟炸中有150顆~170顆炸彈命中目標(biāo)的概率.解設(shè)隨機變量X表示80次轟炸中炸彈命中目標(biāo)的次數(shù), Xi表示第i次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù), 則E?Xi??2，D?Xi??0.8;由于X?

?X

i?1

i

所以E?X??160，D?X??80?0.8?64;由中心極限定理得

P?150?X?170?

?170?160??150?160?

????????

88????

???1.25?????1.25??2??1.25??1?2?0.8944?1?0.7888.5.袋裝食糖用機器裝袋，每袋食糖凈重的數(shù)學(xué)期望為100克，方差為4克，一盒內(nèi)裝100袋，求一盒食糖

凈重大于10,060克的概率.解 設(shè)每袋食糖的凈重為Xi?i?1,2,?,100?,則Xi?i?1,2,?,100?服從獨立同分布,且

E(Xi)?100,D(Xi)?4;設(shè)一盒食糖為X,則

X??Xi,E(X)?10000,D(X)?400,i?1100

由中心極限定理得

P?X?10060? ?1?P?X

?10060?

?1???1???3??1?0.99865?0.00135.6.某人壽保險公司為某地區(qū)100,000人保險，規(guī)定投保人在年初向人壽保險公司交納保險金30元，若投保人死亡，則人壽保險公司向家屬一次性賠償6,000元，由歷史資料估計該地區(qū)投保人死亡率為0.0037，求人壽保險公司一年從投保人得到凈收入不少于600,000元的概率.解設(shè)隨機變量X表示一年內(nèi)投保人中死亡人數(shù), 則X?B?n,p?,其中n?100000,p?0.0037;

E?X??np?370,D?X??npq?370?0.9963?368.31;由100000?30?6000X?600,000,得X?400

由拉普拉斯中心極限定理,所求概率為

??

P?X?400?

?P?

?30?

???????1.56??0.9406.?19.1940?

7.某車間有同型號機床200部，每部開動的概率為0.7，假定各機床開與關(guān)是獨立的，開動時每部機床要消耗電能15個單位.問電廠最少要供應(yīng)這個車間多少電能，才能以95%的概率，保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)？

解設(shè)隨機變量X表示200部機床中同時開動機床臺數(shù), 則

X?B?200,0.7?,E?X??np?140,D?X??42?6.482

用K表示最少開動的機床臺數(shù),則

P?X?K??P?X?K?

??

?K?140??????0.95

?6.5?

查表??1.65??0.95, 故

K?140

?1.65 6.5

由此得K?151

這說明, 這個車間同時開動的機床數(shù)不大于151部的概率為0.95.所以電廠最少要供應(yīng)這個車間151?15?2265個單位電能,才能以95%的概率, 保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).8.設(shè)某婦產(chǎn)醫(yī)院生男嬰的概率為0.515,求新生的10000個嬰兒中,女嬰不少于男嬰的概率? 解設(shè)X表示10000個嬰兒中男嬰的個數(shù), 則X?B?n,p?其中n?10000,p?0.515.由拉普拉斯中心極限定理,所求概率為

??

P?X?5000?

?P?

??????3??1???3?

?1?0.99865?0.00135.附表：

?0?0.5??0.6913;?0?1??0.8413;?0?1.25??0.8944;??2.5??0.993790 ?0?1.5??0.9938;?0?1.56??0.9406;?0?1.65??0.95;?0?3??0.99865.

第四篇：ch5大數(shù)定律和中心極限定理答案

一、選擇題

?0,事件A不發(fā)生

1.設(shè)Xi??(i?1,2?,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,?,X10000相互獨立,令

1,事件A發(fā)生?

10000

Y=

?X,則由中心極限定理知Y近似服從的分布是（D）

ii?

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．設(shè)X1，X2，……，Xn是來自總體N（μ,σ2）的樣本，對任意的ε>0，樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為（B）

?X?n????≥?

n?

C．P?X?????≤1-?

A．P

2n?

?X?????≥1-n?

n?

D．P?X?n????≤

?

B．P

?2

3.設(shè)隨機變量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估計P(|X?E(X)|?3?)?（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布，用切比雪夫不等式估計P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空題

1．將一枚均勻硬幣連擲100次，則利用中心極限定理可知，正面出現(xiàn)的次數(shù)大于60的概率

近似為___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．設(shè)隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 則?n?

X?n???i

?i?1?

?x??_對任意實數(shù)x，limP?

n??n???

????

?

___________.3.設(shè)隨機變量X的E(X)=?,D(X)??2,用切比雪夫不等式估計P(|X?E(X)|?3?2)? ___8/9________。

4．設(shè)隨機變量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估計P（|X－_____1/4___________．

5．設(shè)隨機變量X~B(100,0.8)，由中心極限定量可知，11

|≥）≤2

P?74?X?86??_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

?0,6.設(shè)Xi=??1,事件A不發(fā)生事件A發(fā)生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互獨立，令Y=?X

i?1100i，則由中心極限定理知Y近似服從于正態(tài)分布，其方差為___16________。

7．設(shè)隨機變量X ~ B（100，0.2），應(yīng)用中心極限定理計算P{16?X?24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.設(shè)?n為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任意的??0,limP{|n???n?p|??}=__1________.n

9．設(shè)隨機變量X～B(100，0.5)，應(yīng)用中心極限定理可算得P{40

10.設(shè)X1,X2,?,Xn是獨立同分布隨機變量序列，具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，則當(dāng)n充分大的時候，隨機變量Zn?

_N(0,1)_______(標(biāo)明參數(shù)).1X?i?1ni的概率分布近似服從

第五篇：第五章、大數(shù)定律與中心極限定理

第五章、大數(shù)定律與中心極限定理

一、選擇題：

1．若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為EX =1，DX = 0.1，根據(jù)切比雪夫不等式，一定有（）

A．P{?1?X?1}?0.9B．P{0?x?2}?0.9

C．P{?1?X?1}?0.9D．P{0?x?2}?0.9

2．設(shè)X1,X2,?X9相互獨立，EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9)，根據(jù)切比雪夫不等式，???1有（）

A．P{?xi?1??}?1??B．P{?xi?1??}?1???2 9i?1i?1?29

C．P{?2D． x?9??}?1??P{x?9??}?1?9??i?i?

2i?1i?199

3．若X1、X2、2?1000即都?X1000為獨立同分布的隨機變量，且Xi~B(1,p)i?

1、服從參數(shù)為p的0-1分布，則（）不正確

100011000

A．Xi?PB．?Xi~B(1000、P)?1000i?1i?

11000

C．P{a??X

i?1i?b}??(b)??(a)

1000

D

．P{a??Xi?b}??i?1?? 1，根據(jù)切比雪夫不等式，164．設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX = 1，且滿足P{X?1?2}?

X的方差必滿足（）

11B．DX? 16

41C．DX?D．DX?1 2A．DX?

5．設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX = 1，方差DX = 1，且滿足P{X?1??}?1，根據(jù)切16

比雪夫不等式，則?應(yīng)滿足（）

A．??4B．??4

C．??

11D．?? 44

二、填空題：

1.若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為EX = 1，DX = 1，且 P{X?1??}?

切比雪夫不等式，?應(yīng)滿足。

2.若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望與方差均存在，且EX = 1，P{X?1?1}?

夫不等式，DX應(yīng)滿足。

3.設(shè)X1,X2,?,X9相互獨立，且EXi?1,DXi?1,i?1、2、?9，根據(jù)切比雪夫不等式，則???0有P{1，根據(jù)41，根據(jù)切比雪4?X

i?19i?9??}?。

4.設(shè)X1,X2,?,X9相互獨立，且EXi?1,DXi?1,i?1、2、?9，根據(jù)切比雪夫不等式，19

則???0有P?Xi?1??}? 9i?

1三、計算題：

1．計算機進行加法計算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計算。設(shè)所有的取整誤差是

相互獨立的隨機變量，并且都在[-0.5,0.5]上服從均勻分布，求：300個數(shù)相加時誤差總和的絕對值小于10的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

2． 一顆螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量,期望值是1兩,標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩.求一盒

(100個)同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率.（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

3．已知一本1000頁的書中每頁印刷錯誤的個數(shù)服從泊松分布P（0.1），求這本書的印刷錯

誤總數(shù)大于120的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

4．據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機地取25只，設(shè)他們的壽命是互相獨立的，求這25只元件的壽命總和大于3000小時的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）