第一篇：大數(shù)定律在城市道路交通事故預防中的應用研究[推薦]

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大數(shù)定律在城市道路交通事故預防中的應用研究

作者：金有杰 劉啟鋼

來源：《沿海企業(yè)與科技》2005年第07期

[摘要]文章在分析了我國交通安全現(xiàn)狀及其特點的基礎(chǔ)上，討論了建立基于大數(shù)定律的交通事故預測模型的科學性和可行性。在此基礎(chǔ)上，探討了多屬性交通事故數(shù)據(jù)庫的建立方法，著重對交通事故日期推斷模型的核心算法進行了探討，建立了相應的推斷公式。最后，用北京市西二環(huán)交通事故多發(fā)點的歷史信息對該模型進行了檢驗，證明具有很好的預測精度。

[關(guān)鍵詞]大數(shù)定律；交通事故預防；多屬性交通事故數(shù)據(jù)庫；模型

[中圖分類號]O211

[文獻標識碼]A

第二篇：奔福德定律及其在審計中的應用研究

奔福德定律及其在審計中的應用研究

近年來國內(nèi)外出現(xiàn)了許多審計失敗丑聞，其原因固然很復雜，但現(xiàn)有審計技術(shù)和 方法 的局限性可能是其中最重要的因素之一。因此，在 經(jīng)濟 業(yè)務日益復雜多變，被審單位舞弊、欺詐手段日趨隱蔽的背景下，完善現(xiàn)有舞弊審計的 理論 水平和技術(shù)方法變得尤為重要。在過去20年里，國內(nèi)外學術(shù)界和實務界就如何提高和改進審計師揭露財務舞弊的能力已開展了大量的 研究，探索了一些統(tǒng)計與數(shù)值 分析 技術(shù)和方法。其中，奔福德定律(Benford's law)在偵查財務欺詐征兆方面具有一定的有效性。奔福德定律揭示了在滿足特定條件情況下大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中阿拉伯數(shù)字1～9在數(shù)據(jù)首位出現(xiàn)的概率分布 規(guī)律。筆者介紹了奔福德定律的理論內(nèi)涵及其在審計中 應用 的理論和實踐成果，并進一步探討了在審計實踐中應用奔福德定律的條件及應注意的 問題。

一、奔福德定律的內(nèi)涵

(一)奔福德定律經(jīng)典理論奔福德定律是由美國數(shù)學家、天文學家賽蒙·紐卡姆(Simon Newcomb)在1881年首次發(fā)現(xiàn)的。經(jīng)過對大量隨機數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，他發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)都很好地符合這樣的規(guī)律：以1為第一位數(shù)的隨機數(shù)要比以2為第一位數(shù)的隨機數(shù)出現(xiàn)的概率要大，而以2為第一位數(shù)的隨機數(shù)要比以3為第一位數(shù)的隨機數(shù)出現(xiàn)的概率要大，依此類推。大約50年之后，美國通用電器的物 理學 家弗瑞克·奔福德(Frank Benford)又獨立發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象并得出了和Newcomb一樣的結(jié)論。他收集了很多數(shù)據(jù)進行分析來驗證自己的假說，這些數(shù)據(jù)包含了盡可能多的種類和范圍，數(shù)據(jù)的收集和整理花費了他7年的時間。他驗證了總數(shù)為20229個的20組數(shù)字，其中包括籃球比賽的數(shù)字、河流的長度、湖泊的面積、各城市人口分布數(shù)字、在某一雜志里出現(xiàn)的所有數(shù)字等。弗瑞克·奔福德推導了奔福德定律的數(shù)學表達式，即數(shù)字的第一位上各個非0數(shù)字出現(xiàn)的概率，用公式(1)表達如下：

其中：D：1，2，3……9；P=probability代表概率。

根據(jù)公式(1)，數(shù)字第一位上出現(xiàn)“1”的概率大約為30％，而出現(xiàn)“9”的概率僅為4．6％。把1，2，3……9分別代入式(1)，所得結(jié)果如表1所示。

將這一分布規(guī)律用圖表示則更加清晰，如圖1所示。

1996年美國學者Hill從理論上對奔福德定律給出了滿意的解釋，并進行了嚴謹?shù)臄?shù)學證明(因其證明過程比較復雜，也不是本文探討的重點，故不贅述)。

(二)奔福德定律的擴展后人又對奔福德定律做了大量的擴展研究，這些擴展主要包括：

(1)其他位置上數(shù)字的分布規(guī)律。Hill指出，數(shù)字第二位上出現(xiàn)1～9的概率從“0”依次到“9”也是降序排列的，但其依次下降的幅度遠遠小于第一位數(shù)字。進而又有人繼續(xù)深入研究，從第二位拓展到第三位、第四位。Nigrini通過研究給出了從0～9每個數(shù)在數(shù)字的第一位至第四位上出現(xiàn)的概率的數(shù)表，通過該數(shù)表可以查出數(shù)字0～9在隨機數(shù)第一位至第四位上出現(xiàn)的概率。

(2)數(shù)字分布的條件概率。有人研究了將第一位和第二位上出現(xiàn)的數(shù)字聯(lián)系起來考慮的情況，即條件概率，因為人們發(fā)現(xiàn)各個位置上數(shù)字出現(xiàn)的概率不是相互獨立的。

(3)度量單位變化的情況。數(shù)學家Pinkham的研究證明了奔福德定律不受度量單位的 影響。他指出如果某一系列數(shù)字很好地吻合了奔福德定律，并且這些數(shù)字符合持續(xù)增長的規(guī)律，那么無論它們使用什么度量單位，都依然遵循奔福德定律。這一發(fā)現(xiàn)很好地解釋了為什么不同國家、不同貨幣的財務數(shù)據(jù)都遵循奔福德定律。另外一個有趣的現(xiàn)象是：一組符合奔福德定律分布的數(shù)字，它們的倒數(shù)依然符合奔福德定律分布。

(4)數(shù)字進制變化的情況。人們還發(fā)現(xiàn)奔福德定律在數(shù)字的進制改變的情況下依然有效。比如從人們最常用的10進制改為12進制、6進制、5進制……2進制，數(shù)字的首位數(shù)上依然是“1”出現(xiàn)的頻率最高，當然，進制不同時，所對應的各個數(shù)字在首位數(shù)出現(xiàn)的概率也有所變化。

二、奔福德定律在財務領(lǐng)域的適用性分析

并不是所有數(shù)據(jù)樣本都服從奔福德定律。研究表明，能夠用奔福德定律來進行數(shù)值分析的數(shù)據(jù)應該符合以下條件：(1)數(shù)值即不是完全隨機的，也不能過度集中；(2)數(shù)值不能有上下限，比如百分比、年齡、人的身高、田徑比賽成績、郵件的郵資等有限制的數(shù)據(jù)一般不符合奔福德定律；(3)數(shù)值在一個很寬的范圍里連續(xù)變動，不存在問斷點或間斷區(qū)間；(4)數(shù)字沒有被特別賦值，諸如電話號碼、證件號碼、股票代碼等按一定編碼規(guī)則形成的數(shù)字一般不符合奔福德定律分布；(5)數(shù)值的形成受多種因素的影響，是多種因素綜合作用的結(jié)果，如城鎮(zhèn)的人口數(shù)量。

(一)適用奔福德定律的財務數(shù)據(jù)種類Raimi和Boyle(1994)都曾指出，把來源不同的數(shù)字混合起來，或者進行加、減、乘、除的運算之后，就往往符合奔福德定律分布。這很好地解釋了為什么很多財務數(shù)據(jù)符合奔福德定律，因為財務數(shù)據(jù)具有該特點，如銷售收入、成本、費用類、往來款項類數(shù)據(jù)。舉例來說，應收賬款是銷售數(shù)量和價格的乘積，而銷售數(shù)量和價格分別具有不同來源，再如應付賬款、銷售成本等，也是同樣的道理。另外，賬戶中所記載的交易筆數(shù)也很重要。因為數(shù)據(jù)的樣本量越大，分析的結(jié)果就越精確。

(二)不適用奔福德定律的財務數(shù)據(jù)種類 一些人為限制因素很多的 會計 數(shù)據(jù)往往不符合奔福德定律分布，如擔保賬戶、支票金額、商品和服務價格、ATM取款數(shù)額等，通常都不符合奔福德定律分布。

三、審計應用奔福德定律的理論分析

(一)奔福德定律與現(xiàn)有審計理論體系的關(guān)系現(xiàn)有的舞弊偵查的方法主要有分析性復核法、交易實質(zhì)分析法、期后事項分析法、稅項分析法、資產(chǎn)質(zhì)量分析法、奇異分析法等。分析性復核又稱為“分析性測試”或“分析審計”、“比較審計”，是審計師在審計實務中常用的技術(shù)方法。分析性復核法又可分為簡易比較法、比率分析法等，根據(jù)相關(guān)指標的 計算、比較、分析，可以給審計人員相應的啟示。分析性復核方法因其特有的優(yōu)點越來越受到審計界的重視。1980年頒布的《國際審計指南》將分析性復核確定為審計計劃階段和報告階段必用的測試方法。我國在2004年2月起施行的《審計機關(guān)分析性復核準則》中具體規(guī)范了分析性復核的使用。

分析性復核有很多優(yōu)點，概括地說就是降低審計成本，提高審計效率，保證審計的工作質(zhì)量。分析性復核利用 企業(yè) 信息問的內(nèi)在關(guān)系來判斷數(shù)據(jù)的合理性，利用審計人員的經(jīng)驗和以前所收集的合理標準，對照分析被審計單位提供的資料和信息，從中發(fā)現(xiàn)異常的變動、不合理的趨勢或比例，以此作為控制審計風險的要點，降低審計風險往往有事半功倍的效果，能節(jié)約時間，且能發(fā)現(xiàn)詳細抽樣技術(shù)所不能找出的異?，F(xiàn)象，這是其他的審計方法所難以達到的。同時，分析性復核可以充分發(fā)揮審計師已有的經(jīng)驗 和工作創(chuàng)造力，并充分利用現(xiàn)有的計算機技術(shù)。

奇異分析法則重在特別關(guān)注財務資料中奇異的數(shù)字、時間、地點、交易以及例外的和不合常理的情況。

對比來看，奔福德定律的應用和上述舞弊偵查方法中的分析性復核法與奇異分析法都有

異曲同工之處。從應用環(huán)節(jié)和特點來說，奔福德定律的應用應該歸入分析性復核方法當中。將奔福德定律應用于審計領(lǐng)域，雖然從具體方法上看是一種創(chuàng)新，但從理論體系來看，并沒有脫離分析性復核的方法體系，只不過它是利用了數(shù)學上的新的統(tǒng)計工具，發(fā)展 出了一種新的數(shù)值分析方法，分析的仍然是數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，當然，它的分析角度和以往的分析性復核方法不同，現(xiàn)有的分析性復核方法多是從財務數(shù)據(jù)的內(nèi)在勾稽關(guān)系和財務上的邏輯合理性的角度出發(fā)，而奔福德定律的數(shù)值分析方法是從統(tǒng)計學的角度檢測鮮為人知的數(shù)字分布的內(nèi)在數(shù)學規(guī)律。相對于傳統(tǒng)方法而言，這種全新的方法是一種很好的補充，這也給財務舞弊者造假增加了新的困難。所以說，奔福德定律是對現(xiàn)有的分析性復核方法的補充和完善。

(二)奔福德定律在我國審計領(lǐng)域應用的可行性和必要性分析我國《審計署2003至2007年審計工作發(fā)展規(guī)劃》提出，大力推廣先進審計技術(shù)方法，積極探索信息化環(huán)境下新的審計方法，促進提高審計工作效率和質(zhì)量?？梢姡粩嘭S富和發(fā)展 現(xiàn)代 審計理論及方法已成為審計界關(guān)注的焦點。

從可行性角度看，大部分財務數(shù)據(jù)符合奔福德定律所揭示的分布規(guī)律，這是奔福德定律在審計領(lǐng)域應用的理論基礎(chǔ)。國外許多研究成果和實踐應用也驗證了奔福德定律在審計領(lǐng)域應用的可行性。審計是一項技術(shù)性很強的工作，就技術(shù)層面看，我國的審計與國外的審計使用的技術(shù)方法沒有太大差別，所以在我國的審計實踐中，同樣可以應用奔福德定律。同時，計算機審計的普及為奔福德定律的應用創(chuàng)造了條件。從效率上看，應用奔福德定律耗時很短，只要熟悉計算機操作，審計人員一般只需要幾分鐘甚至幾秒鐘的時間就可以得出檢驗結(jié)果。這個檢驗結(jié)果同樣可以打印輸出到審計工作底稿上，附在相關(guān)科目分析性測試的工作底稿之后，作為分析性測試的一部分。

從必要性角度看，在審計領(lǐng)域引進奔福德定律，可以完善現(xiàn)有審計方法體系，豐富審計手段，使得審計的技術(shù)手段增添新的 內(nèi)容，給造假者進行財務舞弊增加更多困難，提高現(xiàn)有審計水平。將這一技術(shù)分析方法與審計師已有經(jīng)驗有機結(jié)合，憑借經(jīng)驗對敏感內(nèi)容和敏感數(shù)字進行分析，可為財務舞弊行為提供預警信號。結(jié)合我國的審計現(xiàn)狀來看，這種數(shù)值分析技術(shù)可以為審計實踐增添一種有效的審計方法。

第三篇：淺談信息預警在交通事故預防中的作用

淺談信息預警在交通事故預防中的作用

近年來，隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，道路上的人流、車流量急劇增加，交通安全形勢日益嚴峻，重特大交通事故時有發(fā)生，給人民群眾的生命財產(chǎn)安全帶來了巨大的危害，與當前構(gòu)建和諧社會相背離。我市各級公安交警部門認真貫徹上級有關(guān)部門的指示，積極開展“藍盾”、“平安”等專項行動預防重特大交通事故，并取得了顯著成效。然而，當前重特大交通事故仍然時有發(fā)生，預防事故工作依然十分艱巨，如何有效的預防和控制重特大交通事故的發(fā)生，已成為擺在每一位交通管理工作人員面前的一個首要問題?，F(xiàn)結(jié)合轄區(qū)實際情況，探索出一條以信息預警預防交通事故之路，并取得了顯著的成效，筆者現(xiàn)結(jié)合實際，淺談信息預警在交通事故預防中的作用。

“工欲善其事，必先利其器”。在當前構(gòu)建和諧交通環(huán)境的新形勢下，應對道路交通管理工作的新任務，必從做好基礎(chǔ)工作信息化入手，通過基礎(chǔ)工作信息化建設(shè)，打牢交警部門的基層基礎(chǔ)工作的信息化陣地，為道路交通管理提供信息科技上的最大支撐，向信息科技要警力，用信息科技保效能，提高路面秩序管理、車輛源頭整治、安全法宣傳教育、事故預防等各工作環(huán)節(jié)的信息科技含量，全面提升交警部門的信息化水平，推動道路交通管理工作再上新臺階，并根據(jù)及時掌握收集的信息發(fā)布預警，提醒廣大交通管理者和交通參與者及時掌握影響交通安全的各種信息情況，做好應對緊急情況的準備措施。信息預警是個動態(tài)過程，要求交通管理者首先進行信息的收集工作，然后對收集到的信息進行分析研判，有所取舍，為決策者提供決策依據(jù)，最后發(fā)布有價值的預警信息來預防交通事故，保障交通安全。

加強科技建設(shè)，推進交警基礎(chǔ)工作信息化建設(shè)，對我們當前的道路交通管理工作具有舉足輕重的作用。

一、信息收集有利于從全局上把握交通管理工作。交通管理基礎(chǔ)工作，包羅萬象，各種工作紛繁復雜，通過這些基礎(chǔ)工作，從全局上把握我們的交警工作，對我們交通管理工作從整體上有所了解，這對于交通安全管理工作具有不同尋常的意義，通過交警基礎(chǔ)工作信息化建設(shè)，將基礎(chǔ)工作建立電子臺帳，便于查詢，需要那一類信息，便可以從中調(diào)取。我大隊XX中隊，制作轄區(qū)電子地圖，對轄區(qū)內(nèi)的機動車和駕駛員情況進行逐一登記，做到底數(shù)清，情況明；對轄區(qū)內(nèi)的重點單位在電子地圖上進行標注，了解各單位的車輛及駕駛員情況，并登記造冊，建立定期聯(lián)系制度，加強對駕駛員的教育，提高他們的安全駕駛意識；作為管理X個街道（鄉(xiāng)鎮(zhèn)），下轄X萬余人的基層中隊，XX中隊對轄區(qū)內(nèi)X所學校逐一進行排查摸底，并對學校的位置、負責人的聯(lián)系方式、車輛和駕駛員情況，逐一登記，對有校車的X所學校，重點標出，采集校車圖片，校車駕駛?cè)俗C件照片，定期對校車駕駛員進行教育，提高他們安全駕駛意識，保護乘坐校車學生的安全；對每一所學校開展五進宣傳情況進行記錄，鼠標輕輕一點，問題一目了然。在一副電子地圖上就能將大部分問題反映清楚，在對信息進行梳理的過程中實現(xiàn)整體上把握交通管理的目標。

二、信息收集有利于及時了解道路、天氣等有關(guān)情況 交通事故的發(fā)生，在一般情況下都會有目擊者，肇事車輛發(fā)生事故時，在道路上行駛的其他車輛會目擊交通事故的發(fā)生，如果沒有現(xiàn)場目擊者，很難對事故的發(fā)生過程進行還原，如果利用電子監(jiān)控和電子警察等監(jiān)控設(shè)備，對重要路段（口）進行24小時不間斷監(jiān)控，能有效還原事故發(fā)生的整個過程，并掌握事故車輛的顏色、型號、車牌及行駛方向、路線等情況，為逃逸事故的偵破提供重要的線索。我市近期就利用電子監(jiān)控設(shè)備破獲幾起死亡逃逸事故，有力地打擊了交通肇事逃逸駕駛員的囂張氣焰，為維護社會穩(wěn)定起到積極的作用。

交通管理部門通過與氣象部門的聯(lián)系溝通，了解掌握近期轄區(qū)內(nèi)的天氣變化情況，通過近期可能出現(xiàn)雨、雪、霧等影響交通安全出行的惡劣天氣情況，及時發(fā)布預警信息，提醒交通管理者和廣大交通參與者注意惡劣天氣下的交通安全，提高自身安全意識，減少和預防交通事故的發(fā)生。

事故預防部門應當不定期對轄區(qū)事故進行分析研判，對交通事故發(fā)生的時段、地段、天氣、車輛情況、駕駛?cè)耍挲g、學歷、駕齡、性別、）、造成交通事故的原因等情況實現(xiàn)電子化，通過數(shù)學統(tǒng)計實現(xiàn)對一段時間內(nèi)事故發(fā)生以及處理情況的掌握，通過對這些數(shù)據(jù)的分析與統(tǒng)計，對發(fā)生事故較多的時段，采取有效措施，預防交通事故的發(fā)生；對發(fā)生事故較多的地段，對事故容易多發(fā)區(qū)域和路段，以整改意見形式，向上級部門提出；對發(fā)生事故較多的年齡和駕齡的區(qū)間段進行分析統(tǒng)計，為加強交通安全宣傳教育提供方向上的指導，對這些人群加大安全駕駛方面的宣傳，提高他們的安全駕駛意識。

三、交通信息有利于領(lǐng)導決策

基礎(chǔ)工作信息化，實現(xiàn)基礎(chǔ)工作電子臺帳化，有利于及時掌握相關(guān)基礎(chǔ)工作的情況，并對基礎(chǔ)工作及時研判，上報領(lǐng)導，為領(lǐng)導的決策提供參考，領(lǐng)導從公安信息網(wǎng)上就能獲得所需要的相關(guān)信息，這樣的信息來的真實準確，便于及時制定對策，解決相關(guān)問題。從管理學角度來講，信息從下到上的層級數(shù)越少，信息就會越真實越及時，對實戰(zhàn)的指導意義也就越大，同時這樣也節(jié)約了大量的管理成本，在警力欠缺的地區(qū)，這一舉措無疑將提高警力的利用率，將有限的警力用在最需要的地方，實現(xiàn)了以最小的成本換取最大的收益，在一定程度上也緩解了警力不足給交通管理帶來的制約，為實現(xiàn)交通安全管理的現(xiàn)代化與科學化，提供了支持。

四、有利于制定針對性措施，發(fā)布預警

交通管理基礎(chǔ)工作是關(guān)乎交通管理全局的根本性工作，任何的方針政策的制定都是圍繞基礎(chǔ)工作的開展情況進行調(diào)研以后得來的，最好了交通管理基礎(chǔ)工作，也就做好了交通安全管理的大部分工作，通過基礎(chǔ)工作信息化，及時了解基層交警的基礎(chǔ)性工作的開展情況，收集基層工作中反饋回來的意見，并對具有共性的問題進行總結(jié)分析，及時根據(jù)實際情況，積極采取對策，制定相關(guān)措施，對存在的問題加以解決，促進基礎(chǔ)工作的順利開展。

交警基礎(chǔ)工作信息建設(shè)地位重要，然而當前面臨的問題也仍然較多，主要有以下幾點：

一、沒有樹立信息化觀念

在我們交通安全管理工作中，當前的實際情況是，很大一部分民警在觀念上沒有及時的轉(zhuǎn)變，對學習有畏難情緒，認為自己只是一名普通的交通警察，不需要學高科技，沒有樹立信息化的觀念，滿足于干好今天的事情，明天的事情明天再說，有“干一天交警站一天崗”的思想，沒有積極地動腦筋去思考，怎么樣把工作做好，怎樣才能把工作做實做細，切實做好為人民群眾服務的工作。

二、基礎(chǔ)工作信息化步伐落后

在交警部門，基礎(chǔ)工作信息化的步伐比較緩慢，由于資金、技術(shù)、人才等因素的制約，導致我們基礎(chǔ)工作信息化的進程比較緩慢，基礎(chǔ)工作的信息化相對之后于其他的工作，這就導致了基礎(chǔ)工作的前進速度比較落后，影響了交通管理的整個工作進程，制約了交通管理工作的進一步發(fā)展。

三、科技投入相對較少

近年來，各地都加大了對交警工作的硬件投入，為民警配發(fā)數(shù)碼相機，錄音筆，為各個執(zhí)勤中隊配發(fā)電腦，安裝違章自動監(jiān)測設(shè)備等硬件設(shè)備，但是用在基礎(chǔ)工作信息化上的投入相對較少，不論是資金還是技術(shù)和人才，與其他方面相比，少之又少，特別是科技的投入，對基礎(chǔ)工作的影響極大，造成了基礎(chǔ)工作信息化的相對滯后。

四、信息工作與實戰(zhàn)聯(lián)系不緊密

信息指導警務，警情跟著警務走，這說明信息對我們的交通管理工作具有指導性的左右，有良好的信息做為指導，我們的警務將會更加貼近實戰(zhàn)，縱觀現(xiàn)在一些研判信息，很多都是通過已經(jīng)發(fā)生的事情來總結(jié)經(jīng)驗，事后為主，這就延誤了戰(zhàn)機，為什么不能在做好基礎(chǔ)工作上發(fā)現(xiàn)問題，解決能夠提前解決的問題呢？信息指導警務，信息瞬息萬變，我們需要的是貼近實戰(zhàn)的信息，做好基礎(chǔ)工作，解決基礎(chǔ)工作信息化問題，及時有效的為工作提供信息支持，切實解決問題，避免問題的發(fā)生，以最小的投入獲得最大的產(chǎn)出。

五、科技應用能力不強

從目前的交巡警整體情況來看，對現(xiàn)代化的科技設(shè)備應用能力還是具有很大的不足，大部分民警都能夠使用電腦，但是不能夠熟練掌握電腦的一些功能，不能熟練使用一些軟件，現(xiàn)在，辦公基本實現(xiàn)無紙化，開會、匯報、經(jīng)驗交流等基本上都采取課件的形式，但是基層交警能夠制作課件的占的比例是很小的。一些交通管理的設(shè)備和儀器并不是每個人都能熟練操作，科技應用能力不強，制約著基礎(chǔ)工作信息化進程。

做好交警工作信息化建設(shè)，進而更好地為預防交通事故服務，要做好以下幾點工作：

一要互相交流，互相學習，共同提高信息化工作水平?；A(chǔ)工作信息化工作的開展要加強相互之間的交流，互相學習，先進的經(jīng)驗、先進的做法要互相溝通，汲取別人之所長，補自己之短處，揚長避短，共同進步，提高信息化工作水平，實現(xiàn)基礎(chǔ)工作信息化，切實做好交通管理工作。

二要全面推廣信息化工作，培養(yǎng)全體民警信息應用意識?；A(chǔ)工作信息化在一個地方取得了實效，要及時進行推廣，進行宣傳，把先進的做法和經(jīng)驗推廣到其他部門，以先進的經(jīng)驗帶動整體的水平，著力提高全體民警的信息應用意識。

三要立足實戰(zhàn)，服務實戰(zhàn)，切實提高交巡警部門科技強警能力。

信息要為實際工作服務，用信息來指導實戰(zhàn)，服務實戰(zhàn)，提高我們的科技應用水平，通過基礎(chǔ)工作的信息化，調(diào)動民警的學習積極性，在工作中學習，從實戰(zhàn)的角度來思考問題，研究問題，解決問題，提高自身的信息應用水平，切實提高交巡警部門科技強警能力。

四要以用促建，邊建邊用，確保實用，取得實效?；A(chǔ)工作信息化，是一個過程，這個過程中沒有教科書，只有依靠我們民警自我探索，從實際出發(fā)，針對我們需要用的方面，進行建設(shè)，及時在實踐當中對其進行檢驗，在使用的過程當中，尋找更加適合實際工作的方式方法，及時加以改進，以用促建，邊建邊用，確保其實際功效，更加適應現(xiàn)代化警務要求。

實現(xiàn)基礎(chǔ)工作信息化不是一朝一夕能夠完成的，這是一個漫長的過程，是一個摸索的過程，沒有固定的標準，我們要抓住“三基”的機遇，苦練基本功，夯實基礎(chǔ)，做實基層，推動信息化應用的普及和提高，建立有效的機制，促進基礎(chǔ)工作信息化的長效發(fā)展，以此來達到降低警務成本、提高效率之目的。

總之，通過以信息預警并制定實施特色的道路交通管理模式，以科學的發(fā)展觀為指導，在改革完善對交通的管理上下功夫，與時俱進，使之適應社會政治經(jīng)濟形勢的發(fā)展變化，全面推動道路交通安全管理的科學協(xié)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，盡快扭轉(zhuǎn)交通事故高發(fā)的被動局面，為小康社會創(chuàng)造更加安全、有序、暢通的道路交通環(huán)境。通過我們?nèi)w交通管理者的共同努力，一定能夠?qū)崿F(xiàn)“壓事故、減傷亡”的工作目標，保護人民群眾的生命和財產(chǎn)安全，為經(jīng)濟建設(shè)保駕護航。

第四篇：辛欽大數(shù)定律的證明(在第15頁)

第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計學中最重要的理論結(jié)果。本章簡單地介紹兩類極限定理---“大數(shù)定律”和“中心極限定理”。

通常，把敘述在什么條件下一隨機變量序列的算術(shù)平均值（按某種意義）收斂于某數(shù)的定理稱為“大數(shù)定律”；把敘述在什么條件下大量的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布的定理稱為“中心極限定理”。本教材只介紹極限定理的經(jīng)典結(jié)果。分布函數(shù)、矩和特征函數(shù)是解決經(jīng)典極限定理的主要工具。

一、教學目的與要求

1． 掌握四個大數(shù)定律的條件、結(jié)論及數(shù)學意義；

2． 理解隨機變量序列的兩種收斂性的定義及其關(guān)系，了解特征函數(shù)的連續(xù)性定理；

3． 掌握獨立同分布中心極限定理的條件、結(jié)論，并會用來解決一些實際問題。

二、教學重點和難點

教學重點是講清大數(shù)定律的條件、結(jié)論和中心極限定理的條件、結(jié)論。教學難點是隨機變量序列的兩種收斂性及大數(shù)定律和中心極限定理的應用。

§4.1 大數(shù)定律

一、大數(shù)定律的意義

在第一章中引入事件與概率的概念時曾經(jīng)指出，盡管隨機事件A在一次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量的試驗中則呈現(xiàn)出明顯的統(tǒng)計規(guī)律性——頻率的穩(wěn)定性。頻率是概率的反映，隨著觀測次數(shù)n的增加，頻率將會逐漸穩(wěn)定到概率。這里說的“頻率逐漸穩(wěn)定于概率”實質(zhì)上是頻率依某種收斂意義趨于概率，這個穩(wěn)定性就是“大數(shù)定律”研究的客觀背景。

詳細地說：設(shè)在一次觀測中事件A發(fā)生的概率P?A??p，如果觀測了n次（也就是一個n重貝努里試驗），A發(fā)生了?n次，則A在n次觀測中發(fā)生的頻率為大時，頻率

?n，當n充分n?n逐漸穩(wěn)定到概率p。若用隨機變量的語言表述，就是：設(shè)?i表示第i次觀n測中事件A發(fā)生次數(shù)，即

?i???1,?0,第i次試驗中A發(fā)生第i次試驗中A不發(fā)生

ni?1,2,?,n

則?1,?2,?,?n是n個相互獨立的隨機變量，顯然?n???i。

i?11n從而有???i

nni?1?n因此“?n穩(wěn)定于p”，又可表述為n次觀測結(jié)果的平均值穩(wěn)定于p。n?n穩(wěn)定于p是否能寫成 n 現(xiàn)在的問題是：“穩(wěn)定”的確切含義是什么？ limn??亦即，是否對???0，?N,當n?N時,有?nn?p（1）

?nn（2）?p?? 對n重貝努里試驗的所有樣本點都成立？

實際上，我們發(fā)現(xiàn)事實并非如此，比如在n次觀測中事件A發(fā)生n次還是有可能的，此時?n?n,?nn?1，從而對0???1?p，不論N多么大，也不可能得到當n?N時,有?nn?p??成立。也就是說，在個別場合下，事件（?nn?p??）還是有可能發(fā)生的，不過當n很大時，事件（?nn?p??）發(fā)生的可能性很小。例如，對上面???的?n?n，有 P?n?1??pn。

?n?????顯然，當n??時，P?n?1??pn?0，所以“n穩(wěn)定于p”是意味著對???0，n?n?有

limP(|n???nn?p??)?0（3）

（概率上“?n?穩(wěn)定于p”還有其他提法，如博雷爾建立了P(limn?p)?1，從而

n??nn開創(chuàng)了另一形式的極限定理---強大數(shù)定律的研究）

1n沿用前面的記號，（3）式可寫成limP(?i?p??)?0 ?n??ni?1一般地，設(shè)?1,?2,?,?n,?是隨機變量序列，a為常數(shù)，如果對???0，有

1nlimP(??i?a??)?0（4）n??ni?1即

1nlimP(?i?a??)?1 ?n??ni?11n則稱??i穩(wěn)定于a。

ni?1概率論中，一切關(guān)于大量隨機現(xiàn)象之平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理，統(tǒng)稱為大數(shù)定律。若將（4）式中的a換成常數(shù)列a1,a2,?,an,?，即得大數(shù)定律的一般定義。定義4.1：若?1,?2,?,?n,?是隨機變量序列，如果存在常數(shù)列a1,a2,?,an,?，使對???0，有

1nlimP(??i?an??)?1 n??ni?1成立，則稱隨機變量序列??n?服從大數(shù)定律。

若隨機變量?i具有數(shù)學期望E?i,i?1,2,?，則大數(shù)定律的經(jīng)典形式是： 對???0，有

1n1nlimP(E?i??)?1 ??i?n?n??ni?1i?11n這里常數(shù)列an??E?i,n?1,2,?

ni?

1二、四個大數(shù)定律

本段介紹一組大數(shù)定律，設(shè)?1,?2,?,?n,?是一隨機變量序列，我們總假定

E?i,i?1,2,?存在。

首先看一課后題P222的T4.23（馬爾可夫大數(shù)定律）

1?n?如果隨機變量序列{?n}，當n??時，有2D???i??0（*）

n?i?1?證明：??n?服從大數(shù)定律。

證明 : 對???0，由契貝曉夫不等式，有

1n1n1n1n0?P(E?i??)?P(?i?E(??i)??)??i?n??ni?1nni?1i?1i?11?1n??n??2D???i??22D???i??0,n?? ??ni?1?n??i?1?1因此

1n1nlimP(E?i??)?0 ??i?n?n??ni?1i?1即

1n1nlimP(?i??E?i??)?1 ?n??ni?1ni?14 故??n?服從大數(shù)定律。＃ 此大數(shù)定律稱為馬爾可夫大數(shù)定律，（*）式稱為馬爾可夫條件。

定理4.2（契貝曉夫大數(shù)定律）設(shè)?1,?2,?,?n,?是一列兩兩不相關(guān)的隨機變量，又設(shè)它們的方差有界，即存在常數(shù)C?0，使有

D?i?C,i?1,2,?

則隨機變量序列??n?服從大數(shù)定律，即對???0，有

1n1nlimP(E?i??)?1 ??i?n?n??ni?1i?1證明： 因為{?i}兩兩不相關(guān)，且由它們的方差有界即可得到

0?D(??i)??D?i?nc

i?1i?1nn從而有

1?n?D???i??0,n?? 2n?i?1?滿足馬爾可夫條件，因此由馬爾可夫大數(shù)定律，有

1n1n limP(??i??E?i??)?1 ＃

n??ni?1ni?1注：契貝曉夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例。

例4.1 設(shè)?1,?2,?為獨立同分布隨機變量序列，均服從參數(shù)為?的普哇松分布，則由獨立一定不相關(guān)，且E?i??,D?i??,i?1,2,?，因而滿足定理4.2的條件，因此有

1nlimP(?i????)?1 ?n??ni?1注：此例題也可直接驗證滿足馬爾可夫條件。

定理4.1（貝努里定理或貝努里大數(shù)定律）:設(shè)?n是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p,?0?p?1?，則對???0，有

limP(n???nn?p??)?1

?1,證明：令?i???0,第i次試驗中A發(fā)生第i次試驗中A不發(fā)生 i?1,2,?,n 顯然?n???i

i?1n由定理條件，?i?i?1,2,?,n?獨立同分布（均服從二點分布）。且E?i?p,D?i?p?1?p?都是常數(shù)，從而方差有界。由契貝曉夫大數(shù)定律，有

limP(n???n?1n???p??)?limP???p???1 ＃ ?i??n??n?ni?1?貝努里大數(shù)定律的數(shù)學意義：貝努里大數(shù)定律闡述了頻率穩(wěn)定性的含義，當n充分大時可以以接近1的概率斷言，?n將落在以p為中心的?內(nèi)。貝努里大數(shù)定律為用頻率n估計概率（p??nn）提供了理論依據(jù)。

注1：此定理的證明也可直接驗證滿足馬爾可夫條件。

注2：貝努里大數(shù)定律是契貝曉夫大數(shù)定律的特例。它是1713年由貝努里提出的概率極限定理中的第一個大數(shù)定律。

以上大數(shù)定律的證明是以契貝曉夫不等式為基礎(chǔ)的，所以要求隨機變量的方差存在，通過進一步研究，我們發(fā)現(xiàn)方差存在這個條件并不是必要條件。

定理4.3（辛欽大數(shù)定律）設(shè)?1,?2,?是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學期望存在E?i?a,i?1,2,?,則對???0，有

1nlimP(?i?a??)?1 ?n??ni?1成立。

此定理的證明將在§4.2隨機變量序列的兩種收斂性中給出。注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例。

辛欽大數(shù)定律的數(shù)學意義：辛欽大數(shù)定律為實際生活中經(jīng)常采用的算術(shù)平均值法提供了理論依據(jù)。它斷言：如果諸?i是具有數(shù)學期望、相互獨立、同分布的隨機變量，則當n充分大時，算術(shù)平均值

?1??2????nn一定以接近1的概率落在真值a的任意小的鄰域內(nèi)。據(jù)此，如果要測量一個物體的某指標值a，可以獨立重復地測量n次，得到一組數(shù)據(jù)：x1,x2,?,xn，當n充分大時，可以確信a?x1?x2???xnx?x2???xn，且把1nn6

?1n?作為a的近似值比一次測量作為a的近似值要精確的多，因E?i?a，E???i??a；但

?ni?1?11n?1n??2，即??i關(guān)于a的偏差程度是一次測量的偏差程度的，D?i??，D???i??nni?1?ni?1?n2n越大，偏差越小。再比如要估計某地區(qū)小麥的平均畝產(chǎn)量，只要收割一部分有代表性

1n的地塊，計算它們的平均畝產(chǎn)量，這個平均畝產(chǎn)量就是??i，在n比較大的情形下它

ni?1可以作為全地區(qū)平均畝產(chǎn)量，即畝產(chǎn)量的期望a的一個近似。這種近似或“靠近”并不是我們數(shù)學分析中的極限關(guān)系，而是§4.2中的依概率收斂。

辛欽大數(shù)定律也是數(shù)理統(tǒng)計學中參數(shù)估計理論的基礎(chǔ)，通過第六章的學習，我們對它會有更深入的認識。作業(yè)：P222?223 T4.24,4.30,4.317

§4.2隨機變量序列的兩種收斂性

一、依概率收斂

在上一節(jié)上，我們從頻率的穩(wěn)定性出發(fā)，得出下面的極限關(guān)系式：

1nlimP(?n?a??)=0，其中?n???i或等價于limP(?n?a??)?1 n??n??ni?1這與數(shù)學分析中通常的數(shù)列收斂的意義不同。在上式中以隨機變量? 代替常數(shù)a便得到新的收斂概念。

1、定義4.2（依概率收斂）設(shè)有一列隨機變量?,?1,?2,?，如果對???0，有

limP(?n????)?1

n??或

limP(?n????)?0

n??則稱隨機變量序列 ??n?依概率收斂于?，記作

lim?n??

n??P或

P?n????（n??）

從定義可見，依概率收斂就是實變函數(shù)中的依測度收斂。

PP由定義可知，?n??????n?????0(n??)

有了依概率收斂的概念，隨機變量序列??n? 服從大數(shù)定律的經(jīng)典結(jié)果就可以表示為

1n1nP?i????E?i?ni?1ni?1(n??)

特別地，貝努里大數(shù)定律可以描述為

?nnP???p（n??)

1nP辛欽大數(shù)定律描述為??i???a（n??)

ni?18 例

1、設(shè)??n? 是獨立同分布的隨機變量序列，且E?i?a,D?i??2，證明： 2nPn(n?1)?k?k???a（n??)k?1證：?E??2nnn?n(n?1)?k??2k?1?n(n?1)??a2k??kE?kk?1n(n?1)?k?a k?1????0，由契貝曉夫不等式

nnD(20?P(2k?n(n?1)?k?k)k?11nn(n?1)?k?a??)?k2D?kk?1?2?4?2n2(n?1)2?k?1

=41n(n?1)(2n?1)22?22n?1?2n2(n?1)26??3?2n(n?1)?0(n??)故

limn??P(2n(n?1)?nk?k?a??)?0 k?1 即

2nn(n?1)?k?Pk???a(n??)k?

12、性質(zhì)

1）、若?P?,?Pn???n????,則P(???)?1。

證明：??????n????n??

????0，由????? 則?n????2與?n????2中至少有一個成立，即???????????????2???????????nn???2??

于是

0?P(?????)?P(???n???2)?P(?n???2)?0(n??)即對???0,有

P(|???|??)?1

從而有

＃ P(???)?1 ＃

這表明，若將兩個以概率為1相等的隨機變量看作相等時，依概率收斂的極限是唯一的。

PP2）、設(shè)?若?n??n?,??n? 是兩個隨機變量序列，a,b為常數(shù)，??a,?n???b且g(x,y)在P點(a,b)連續(xù)，則g(?n,?n)???g(a,b)(n??)。

PPP3）、若?n????,?n????,則?n??n??????(n??)；

P?n?n?????(n??)；

P?n???a,a?0是常數(shù)，且?n?0，則

1P。????na12）、3）的證明方法類似于1）。

二、按分布收斂

P我們知道，分布函數(shù)全面地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，那么當?n????時，其相應的分布函數(shù)Fn(x)與F(x)之間會有什么樣的關(guān)系呢？是不是對所有的x，有Fn(x)→F(x)（n→?）成立呢？答案是否定的。

例4．2 設(shè)?n(n?1)及?都是服從退化分布的隨機變量，且

1P{?n??}?1,n?1,2,? nP{??0}?1于是對???0，當n?

1?時，有

P{?n????}?P{|?n|??}?0

所以

P?n????(n??)

又?n的分布函數(shù)為

1?0,x???n Fn(x)??1?1,x??n??的分布函數(shù)為

?0,x?0 F(x)???1,x?0顯然，當x?0時，有

limFn(x)?F(x)

n??但當x?0時，limFn(0)?lim1?1?0?F(0)

n??n?? 上例表明，一個隨機變量序列依概論收斂到某隨機變量，相應的分布函數(shù)列不是在每一點都收斂于這個隨機變量的分布函數(shù)的。但如果仔細觀察一下這個例子，發(fā)現(xiàn)不收斂的點正是F(x)的不連續(xù)點。要求Fn(x)在每一點都收斂到F(x)是太苛刻了，可以去掉F(x)的不連續(xù)點來考慮。

1、定義4.3 設(shè)F(x),F1(x),F2(x),?是一列分布函數(shù)，如果對F(x)的每個連續(xù)點x，都有

limFn(x)?F(x)

n??成立，則稱分布函數(shù)列?Fn(x)?弱收斂于分布函數(shù)F(x)，并記作

WFn(x)???F(x)(n??)

若隨機變量序列?n(n?1,2,?)的分布函數(shù)Fn(x)弱收斂于隨機變量?的分布函數(shù)F(x),也稱?n按分布收斂于?，并記作

L?n????(n??)

2、依概率收斂與按分布收斂（弱收斂）之間的關(guān)系

P定理4.4 若隨機變量序列?1,?2,?依概率收斂于隨機變量?，即?n????(n??)

則相對應的分布函數(shù)列F1(x),F2(x),?弱收斂于分布函數(shù)F(x)，即

WFn(x)???F(x)(n??)

定理4.4也可表示成如下形式：

PL?n????(n??)??n????(n??)

證明 ：對任意的x?,x?R有(??x?)?(?n?x,??x?)?(?n?x,??x?)?(?n?x)?(?n?x,??x?)從而有

P(??x?)?P(?n?x)?P(?n?x,??x?)

即

F(x?)?Fn(x)?P(?n???x?x?)

P如果x??x，由 ?n????就有

P(?n?x,??x?)?P(?n???x?x?)?0,n??

所以有

F(x?)?limFn(x)

n??同理可證，當x???x時，有

F(x??)?limFn(x)

n??于是對x??x?x??有

F(x?)?limFn(x)?limFn?F(x??)

n??n??令x??x,x???x，即得

F(x?0)?limFn(x)?limFn?F(x?0)

n??n??顯然，如果x是F(x)的連續(xù)點，就有

limFn(x)?F(x)＃

n??注意：這個定理的逆命題不一定成立，即不能從分布函數(shù)列的弱收斂肯定相 應的隨機變量序列依概率收斂。

例4.3 拋擲一枚均勻的硬幣，有兩個可能的結(jié)果：?1=“出現(xiàn)正面”，?2=“出現(xiàn)反面”，則

P(?1)?P(?2)?1 2令

?1,???1 ?(?)??

????1,?2因?(?)是一個隨機變量，其分布函數(shù)為

?1,?1F(x)??,?2?0,x?1?1?x?1

x??1這時，若?(?)???(?)，則顯然?(?)與?(?)有相同的分布函數(shù)F(x)。再令?n??，?n的分布函數(shù)記作Fn(x)，故Fn(x)=F(x)，于是對任意的x?R，有

limFn(x)?limF(x)?F(x)

n??n??W所以Fn(x)???F(x)成立，而對任意的0???2，恒有

P(|?n??|??)?P(2|?|??)?1

P即不可能有?n????成立。

但在特殊情況下，它卻是成立的。

P定理4.5 隨機變量序列?n?????c(c為常數(shù)）的充要條件是

WFn(x)???F(x)(n??)

這里F(x)是??c的分布函數(shù)，也就是退化分布:

?1,x?c F(x)??0,x?c?定理4.5也可表示成如下形式：

PL?n???c(n??)??n???c(n??)

證明：必要性已由定理4.4給出，下面只要驗證充分性。對任意的??0，有

P{?n?c??}?P(?n?c??)?P(?n?c??)?1?Fn(c??)?Fn(c???0)?1?1?0?0,n??

定理4.5得證。＃

本章將要向大家介紹的大數(shù)定律實際上就是隨機變量列依概率收斂于常數(shù)的問題，由定理4.5知，它可歸結(jié)為相應的分布函數(shù)列弱收斂于一退化分布，而中心極限定理就是隨機變量的分布函數(shù)列弱收斂問題，可見分布函數(shù)列的弱收斂在本章討論中占重要地位。然而，要直接判斷一個分布函數(shù)列是否弱收斂是很困難的,上一章我們就知道，分布函數(shù)與特征函數(shù)一一對應，而特征函數(shù)較之分布函數(shù)性質(zhì)優(yōu)良很多，故判斷特征函數(shù)的收斂一般較容易，那么是否有

Fn?x????F(x)?相應的?n(t)??(t)

W?答案是肯定的。即下述的特征函數(shù)的連續(xù)性定理。

三、特征函數(shù)的連續(xù)性定理

定理4.6 分布函數(shù)列?Fn(x)?弱收斂于分布函數(shù)F(x)的充要條件是相應的特殊函數(shù)列??n(t)?收斂于F(x)的特征函數(shù)?(t)。

證明 ：整個證明比較冗長（略）。

例4.4 若??是服從參數(shù)為?的普哇松分布的隨機變量，證明：

???1limP(??x)?????2?證明：已知??的特征函數(shù)為??(t)?e?(eit?e??x?t22dt

?1)，故???????的特征函數(shù)為 ?itg?(t)???(對任意的t，有

t?)e?i?t?e?(e??1)?i?t

e于是

it?t21?1???o(),???

??2!?it?(eit?t21t2?1)?i?t?????o()??,???

2?2從而對任意的點列?n??，有

limg?n(t)?e?t22?n???t22

又e是N(0,1)分布的特征函數(shù)，由定理4.6即知有

???1limP(??x)?????2?n?e??x?t22dt

因?n是可以任意選取的，所以

???1 limP(??x)?????2??e??x?t22dt ＃

注：此例說明普哇松分布（當參數(shù)???時）收斂于正態(tài)分布。

下面我們利用定理4.6來證明上一節(jié)的定理4.3（辛欽大數(shù)定律）。證明：因?1,?2,??同分布，故有相同的特征函數(shù)?(t)，又E??a?在t?0處展開，有

??(0)i，將?(t)?(t)??(0)???(0)t?o(t)?1?iat?o(t)

1n由?1,?2,?相互獨立，得?n???k的特征函數(shù)為

nk?1tttgn(t)?[?()]n?[1?ia?o()]n

nnn對于任意取定的t，有

limgn(t)?lim[1?ian??n??tt?o()]n?eiat nn由例題3.26已知eiat是退化分布的特征函數(shù)，相應的分布函數(shù)為

?1,x?a F(x)???0,x?a1n由定理4.6知??i的分布函數(shù)弱收斂于F(x)，再由定理4.5得

ni?11nP?i???a ?ni?1故辛欽大數(shù)定律成立。＃

我們曾經(jīng)指出特征函數(shù)在求獨立和的分布時所具有的特殊威力，而本節(jié)所敘述的特征函數(shù)連續(xù)性定理（定理4.6）“如虎添翼”，更增加了特征函數(shù)在解決獨立和的分布的極限問題時的效能，使之成為無與倫比的銳利工具。在下一節(jié)中將利用這一工具專門討論獨立和的分布的極限問題。

最后了解如下的斯魯茨基定理：

定理4.7 設(shè){?1n},{?2n},?,{?kn}是k個隨機變量序列，并且

?in?ai,n??(i?1,2,?,k)

又R(x1,x2,?,xk)是k元變量的有理函數(shù)，并且R(a1,a2,?,ak)???，則有

R(?1n,?2n,?,?kn)?R(a1,a2,?,ak),n??

PP成立。

掌握斯魯茨基定理的如下幾個特例：

如果{?n},{?n}是兩個隨機變量序列，并且當n??時有

?n?a,?n?b

其中a,b是兩個常數(shù)，這時有

PP??P（1）?n??n?a?b,n??；

??（2）?n??n?a?b,n??（若b?0）成立。

作業(yè)：P220?222 T4.7, 4.9,4.13,4.14,4.19P

§4.3 中心極限定理

前一章介紹正態(tài)分布時，我們一再強調(diào)正態(tài)分布在概率統(tǒng)計中的重要地位和作用，為什么實際上有許多隨機現(xiàn)象會遵循正態(tài)分布？這僅僅是一些人的經(jīng)驗猜測還是確有理論依據(jù)，“中心極限定理”正是討論這一問題的。在長達兩個世紀的時間內(nèi)成為概率論討論的中心課題，因此得到了中心極限定理的名稱。

一、中心極限定理的概念

設(shè)??n?為一獨立隨機變量序列，且E?n,D?n，n?1,2,?均存在，稱

?n?????E?kk?1k?1nnk?D?k?1n

k為??n?的規(guī)范和。

概率論中，一切關(guān)于隨機變量序列規(guī)范和的極限分布是標準正態(tài)分布的定理統(tǒng)稱為中心極限定理，即設(shè)??n?的規(guī)范和?n，有

limP??n?x??n??e?2???1x?t22dt

則稱??n?服從中心極限定理。

?n???E????kk?k?1?k?1?近似服從標準正態(tài)分布??。中心極限定理實質(zhì)上為N0,1n??D???k??k?1?n

二、獨立同分布中心極限定理

大數(shù)定律僅僅從定性的角度解決了頻率

?n?P穩(wěn)定于概率p，即n???p，為了定量nn地估計用頻率?n估計概率p的誤差，歷史上De Moivre—Laplace給出了概率論上第一n個中心極限定理，這個定理證明了?n的標準化隨機變量漸近于N(0,1)分布。定理4.8（德莫佛—拉普拉斯）極限定理 在n重貝努里試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p(0?p?1)，?n為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則

??n?nplimP??n????npq?x????12??x??e?t22dt

注：定理4.8說明?n?npnpq近似服從N(0,1)，從而?n近似服從N(np,npq)，又?n服從二項分布b(n,p)，所以定理4.8也稱為二項分布的正態(tài)近似或二項分布收斂于正態(tài)分布。在第二章，普哇松定理也被說成是“二項分布收斂于普哇松分布”。同樣一列二項分布，一個定理說是收斂于普哇松分布，另一個定理又說是收斂于正態(tài)分布，兩者不是說有矛盾嗎？請仔細比較兩個定理的條件和結(jié)論，就可以知道其中并無矛盾之處。這里應該指出的是在定理4.8中np??，而普哇松定理中則要求npn??(???)。所以在實際問題中作近似計算時，如果n很大，np不大或nq不大（即p很小或q?1?p很小），則應該利用普哇松定理；反之，若n,np,nq都較大，則應該利用定理4.8。定理4.9（林德貝爾格-勒維）極限定理

設(shè)?1，?2,……是一列獨立同分布的隨機變量，且

E?k??，D?k??2?2?0 k?1,2,?

則有

???n????k?n??limP?k?1?x???n????n????證明：設(shè)?k?a的特征函數(shù)為?(t)，則

?2?1x??e?t22dt

注：德莫佛—拉普拉斯極限定理是林德貝爾格-勒維極限定理的特例。

??k?1nk?na?n的特征函數(shù)為

???k?a

k?1?nn??t?????????

???n??n又因為

E(?k?a)?0,D(?k?a)??2 所以

??(0)?0,???(0)???2

于是特征函數(shù)為?(t)有展開式

t21?(t)??(0)???(0)t????(0)?o(t2)?1??2t2?o(t2)

22從而對任意固定的t，有

??t???tt???1??o()??e ???????22n?n?????n??22n?t22n,n??

又e?t22是N(0,1)分布的特征函數(shù)，由定理4.6有

?n????k?n??limP?k?1?x???n????n?????2?1x??e?t22dt

注：定理4.9表明：當n充分大時，?n???k?1nk?na?n的分布近似于N(0,1)，從而?1??2????n?na??n?n具有近似分布N(na,n?2)。這意味大量相互獨立、同分布且存在方差的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布。該結(jié)論在數(shù)理統(tǒng)計的大樣本理論中有廣泛應用，同時也提供了計算獨立同分布隨機變量之和的近似概率的簡便方法。

三、應用

德莫佛—拉普拉斯中心極限定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理，它有許多重要的應用。下面介紹它在數(shù)值計算方面的一些具體應用。

1、二項概率的近似計算

設(shè)?n是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則?n～b?n;p?，對任意a?b有

P?a??n?b??a?k?b?Cknpk?1?p?n?k

當n很大時，直接計算很困難。這時如果np不大（即p較小接近于0）或n?1?p?不大（即p接近于1）則用普阿松定理來近似計算（np大小適中）；

當p不太接近于0或1時，可用正態(tài)分布來近似計算（np較大P219）：

a?np?n?npb?np?b?np?a?np? P?a??n?b??P????????????????npqnpqnpq??npq??npq???????例

1、（P223的T4.34）

在一家保險公司里有10000個人參加保險，每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：

（1）保險公司虧本的概率多大？

（2）保險公司一年的利潤不少于40000元的概率為多大？ 解：保險公司一年的總收入為120000元，這時

（1）若一年中死亡人數(shù)?120，則保險公司虧本；（2）若一年中死亡人數(shù)?80，則利潤?40000元。令

?i??n?1,第i個人在一年內(nèi)死亡

?0,第i個人在一年內(nèi)活著則P(?i?1)?0.006?p，記?n???i,n?10000已足夠大，于是由德莫佛—拉普拉斯中

i?1心極限定理可得欲求事件的概率為

（1）P(?n?120)?1?P(（其中b?60）7.723?n?npnpq?120?npnpq?b)?1?12??b??e?x22dx?0

同理可求得

（2）P(?n?80)?0.995（對應的b?2.59。）例

2、某單位內(nèi)部有260架電話分機，每個分機有4%的時間要用外線通話。可以認為各個電話分機用不同外線是相互獨立的。問：總機需備多少條外線才能以95%的把握保證各個分機在使用外線時不必等候？

解：由題意，任意一個分機或使用外線或不使用外線只有兩種可能結(jié)果，且使用外線的概率p=0.04，260個分機中同時使用外線的分機數(shù)?260～b?260;0.04?

設(shè)總機確定的最少外線條數(shù)為x,則有 P??260?x??0.95 由于n?260較大，故由德莫佛—拉普拉斯定理，有

x?260p?P??260?x?????0.95

???260pq???查正態(tài)分布表可知

x?260p260pq解得

?1.65

x?16

所以總機至少備有16條外線，才能以95%的把握保證各個分機使用外線時不必等候。

2、用頻率估計概率的誤差估計

??n??由貝努里大數(shù)定律 limP??p????0 n???n????n??那么對給定的?和較大的n，limP??p???究竟有多大？ n???n??貝努里大數(shù)定律沒有給出回答，但利用德莫佛—拉普拉斯極限定理可以給出近似的解答。

對充分大的n

???np??n??n?P??p???P???n?????npq? ???????n????????pq????n???2????pq???n?? pq??n???1 pq??故

????n???n?n????P??n?p?????1?P??n?p?????2?1????pq?? ?????????? 由此可知，德莫佛—拉普拉斯極限定理比貝努里大數(shù)定律更強，也更有用。

例

3、重復擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，設(shè)在每次試驗中出現(xiàn)正面的概率p未知。試問要擲多少次才能使出現(xiàn)正面的頻率與p相差不超過解：依題意，欲求n，使

1的概率達95%以上？ 10021

??n1??P??p??n??0.95100?????n1?n??0.01??1?0.95?P??p??2??n??100?pq?????n???0.975??0.01? pq???0.01n?1.96pqn2?1962pq11?pq??n?1962??960444所以要擲硬幣9604次以上就能保證出現(xiàn)正面的頻率與概率之差不超過作業(yè)：P224?225 T4.41,4.42,4.451。100

§4.4 中心極限定理（續(xù)）

獨立非同分布中心極限定理 自學討論

了解林德貝爾格條件和李雅普諾夫中心極限定理及其數(shù)學意義。

第五篇：專家系統(tǒng)及其在教育中的應用研究

專家系統(tǒng)及其在教育中的應用研究

學院

專業(yè)

研 究 方 向

學 生 姓 名

學號

任課教師姓名

任課教師職稱

2013年 06 月 20 日

專家系統(tǒng)及其在教育中的應用研究

摘要：作為人工智能應用研究的一個重要分支，專家系統(tǒng)被廣泛應用于各個領(lǐng)域并取得了巨大的成功。本文在介紹專家系統(tǒng)的內(nèi)涵、基本結(jié)構(gòu)原理和發(fā)展趨勢的基礎(chǔ)上對專家系統(tǒng)在教育領(lǐng)域中的應用現(xiàn)狀作了探討，分析了專家系統(tǒng)與計算機輔助教學、網(wǎng)絡(luò)遠程教學的結(jié)合應用以及在輔助教育教學方面的其他應用。

關(guān)鍵字：人工智能；專家系統(tǒng)；ITES；ICAI；IDSS

一、引言

信息技術(shù)的飛速發(fā)展正以一種前所未有的深度和廣度滲透到社會的方方面面，改變著人們的生活。其中，對于人工智能領(lǐng)域的關(guān)注和研究一直領(lǐng)跑于信息技術(shù)的前沿，標志著社會發(fā)展的智能化趨勢。而人工智能中最接近實際應用、發(fā)展最快、效益最顯著的當屬專家系統(tǒng)。可以說“專家系統(tǒng)是人工智能從幻想到實踐，再由實踐到理論的主角川¨。從1965年世界上第一個專家系統(tǒng)誕生至今，隨著知識工程的深入研究，以及專家系統(tǒng)的理論和技術(shù)的不斷發(fā)展，使得專家系統(tǒng)的應用滲透到幾乎各個領(lǐng)域，并在實際應用中產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟效益。當今社會對教育現(xiàn)代化的呼吁和關(guān)注，使專家系統(tǒng)在教育中的應用也越來越得到人們的重視，且具有廣闊的發(fā)展前景。尤其是專家系統(tǒng)與傳統(tǒng)的計算機輔助教學、網(wǎng)絡(luò)遠程教學的結(jié)合，更能滿足學生的個性化學習需求，充分體現(xiàn)了教與學的靈活性、互動性和適應性，同時，專家系統(tǒng)在輔助教育教學中的其他應用也極大地促進了教育信息化的發(fā)展。

二、有關(guān)專家系統(tǒng)

專家系統(tǒng)(Expert System)是人工智能應用研究中最活躍、最成熟的一個領(lǐng)域。專家系統(tǒng)的實質(zhì)就是一種具有特定領(lǐng)域內(nèi)大量知識和經(jīng)驗的計算機智能程序系統(tǒng)。它包括兩個方面的含義。首先，專家系統(tǒng)是一種智能程序系統(tǒng)，因此，它不同于一般的程序系統(tǒng)，是一種能夠運用已有知識和經(jīng)驗進行推理、判斷與決策并對結(jié)論的推理過程作出解釋的啟發(fā)式程序系統(tǒng)。其次，專家系統(tǒng)的智能來源于領(lǐng)域?qū)＜业闹R和經(jīng)驗，它應用人工智能技術(shù)，模擬人類專家求解問題的思維過程求解領(lǐng)域內(nèi)的各種問題，其水平可以達到甚至超過人類專家的水平，而且能夠在運行過程中不斷積累和更新知識，和人類專家相比更具持久性、靈活性和一致性。專家系統(tǒng)又可稱為“基于知識的系統(tǒng)”。這種基于知識的系統(tǒng)以知識為中心，以邏輯推理為手段解決問題。因此，專家系統(tǒng)的核心內(nèi)容是知識庫和推理機制，其主要組成部分是：知識庫、推理機、綜合數(shù)據(jù)庫、解釋機構(gòu)、知識獲取機構(gòu)和用戶界面。其一般結(jié)構(gòu)如圖1所示：

領(lǐng)域?qū)＜?、知識工程師

用戶

用戶界面 知識獲取機構(gòu) 推理機 解釋機構(gòu)知識庫綜合數(shù)據(jù)庫

（圖一）

圖1專家系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)其中，領(lǐng)域?qū)＜业闹R和經(jīng)驗被事先存儲在知識庫中，用戶通過人機界面與系統(tǒng)交互，運用推理機和綜合數(shù)據(jù)庫的協(xié)調(diào)工作，完成推理過程，得出最終結(jié)論。在這里，專家系統(tǒng)還可以通過解釋機構(gòu)對結(jié)論、求解過程向用戶作出說明解釋，如：系統(tǒng)為什么要向用戶提出該問題(Why)，計算機是如何得出最終結(jié)論的(How)。領(lǐng)域?qū)＜一蛑R工程師通過專門的軟件工具或編程實現(xiàn)專家系統(tǒng)中知識的獲取，不斷地充實和完善知識庫中的知識。專家系統(tǒng)的發(fā)展非常迅速，KDD技術(shù)、遺傳算法，模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計、可視化開發(fā)環(huán)境等為專家系統(tǒng)的發(fā)展提供了新的工具和方法，開辟了新的領(lǐng)域，使專家系統(tǒng)的發(fā)展不僅出現(xiàn)了功能集成化、技術(shù)集成化、智能集成化的新趨勢，對多專家系統(tǒng)、分布協(xié)同式專家系統(tǒng)、模糊專家系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)專家系統(tǒng)等新型專家系統(tǒng)的研究也取得了新的進展。

三、專家系統(tǒng)在教育中的應用

(一)專家系統(tǒng)與計算機輔助教學及網(wǎng)絡(luò)遠程教學的結(jié)合應用 將人工智能中的專家系統(tǒng)應用于傳統(tǒng)的計算機輔助教學及網(wǎng)絡(luò)遠程教學之中，利用計算機來模擬專家、教授的教學思維過程，形成開放式交互教學系統(tǒng)，給學生帶來更加寬松、自由的學習環(huán)境，也更加符合學生進行個性化學習的需求。同時，專家系統(tǒng)與具體學科的的結(jié)合，可以使學科教學專家的優(yōu)良教學方法和成功教學經(jīng)驗得到繼承和發(fā)揚，有助于克服個人教學方法及教學水平的局限，提高教學質(zhì)量。

1．智能教學專家系統(tǒng)

智能教學專家系統(tǒng)ITES(IntelligentTeaching Expert System)是利用計算機來模擬教學專家的教學思維過程，使用AI、多媒體、虛擬現(xiàn)實等技術(shù)以及各種先進的教學手段所形成的開放式交互教學系統(tǒng)。瞌1它以計算機為媒介，集中教師的經(jīng)驗與智慧，為學生提供一種智能化學習環(huán)境，通過人機交互，系統(tǒng)可以根據(jù)學生的知識水平、認知模型等主動地提供助學信息(如學習內(nèi)容、教學模式和方法等)，幫助學生有選擇地自主學習，真正實現(xiàn)無人化、個別化自適應教學。ITES中以智能計算機輔助教學ICAI(Intelligent Computer AssistedInstruction)為主。ICAI實際上是在CAI中引入人工智能的思想，即使用專家系統(tǒng)的方法和工具建構(gòu)智能化的CAI。ICAI通過研究人類學習思維的特征和過程，尋求學習認知的模式，具有更加良好的人機界面和診斷、調(diào)試修改功能，使學生獲得個別化自適應學習。它具有自然語言的生產(chǎn)與理解能力，能夠較科學地評估學生的學習水平，根據(jù)學生的不同水平與學習情況，通過智能系統(tǒng)的搜索與推理，‘得出智能化的教學方法與教學策略并在教學中不斷地改進教學策略。還可以通過分析學生以往的學習興趣和學習習慣，預測學生的知識需求和常犯錯誤，動態(tài)地將不同的學習內(nèi)容、學習方法與不同的學生匹配，診斷學生錯誤并智能地分析學生錯誤的原因進而有針對地提出合理的教學建議、學習建議以及改進方法，既提高了學生學習的滿意度，激發(fā)了學生的學習熱情，也對教師教學提供了客觀的依據(jù)和科學的方法。

2．多專家系統(tǒng)支持的網(wǎng)絡(luò)教學

多專家系統(tǒng)支持的網(wǎng)絡(luò)教學可以發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)、教學專家及多專家系統(tǒng)的綜合優(yōu)勢和智能優(yōu)勢，將有關(guān)教學實踐的多方面專家知識、教學活動中的各種數(shù)據(jù)和信息的利用結(jié)合到系統(tǒng)中。所謂多專家系統(tǒng)是在專家系統(tǒng)的基礎(chǔ)之上，根據(jù)綜合問題的不同方面應用多個專家系統(tǒng)，動態(tài)地配置相應合適的任務，增進執(zhí)行的并行性和有效性，提高應對師生各種問題的靈活性，改善網(wǎng)絡(luò)教學的整體性能。通過加強各子專家系統(tǒng)之間的通信處理、協(xié)同調(diào)度、以及與之相應的各知識庫、綜合知識庫和整體求解機制的優(yōu)化，多專家系統(tǒng)能以正確的方式調(diào)配網(wǎng)絡(luò)教學系統(tǒng)的運行，選擇多種推理方法動態(tài)地組織求解。多專家系統(tǒng)支持的網(wǎng)絡(luò)教學在對學習者的適配、認知模型構(gòu)建、任務分析、個別指導策略、學生錯誤診斷、協(xié)助合作學習、網(wǎng)絡(luò)教學系統(tǒng)監(jiān)視和教學復雜性問題的適應性求解等各個方面都顯示出其特長，大大提高了網(wǎng)絡(luò)教學的適應性和學生學習的效率。

3．智能決策支持系統(tǒng)

智能決策支持系統(tǒng)IDSS(IntelligentDecision Support System)是決策支持系統(tǒng)DSS與人工智能相結(jié)合，尤其是與專家系統(tǒng)相結(jié)合的產(chǎn)物。目前，智能決策支持系統(tǒng)IDSS已成為DSS的發(fā)展方向。支持服務是現(xiàn)代遠程教育系統(tǒng)的重要構(gòu)成要素，高效的支持服務子系統(tǒng)是有效地開 發(fā)、管理和實施遠程教育項目的保證。針對當前網(wǎng)絡(luò)遠程教育中學習支持服務的缺乏主動性、針對性和策略性的被動狀況，IDSS能夠給出有效的解決方案，實現(xiàn)支持服務的智能化，因此，IDSS在網(wǎng)絡(luò)遠程教育領(lǐng)域的應用方面具有很強的發(fā)展?jié)摿兔篮玫那熬啊?/p>

(二)專家系統(tǒng)輔助教育教學的其他應用

除了在計算機輔助教學、網(wǎng)絡(luò)教學以及遠程教育中的不同應用之外，專家系統(tǒng)對于輔助教學管理、促進教育手段現(xiàn)代化的發(fā)展也起到了不可忽視的作用。

1．教學資源利用專家系統(tǒng)

高校教學資源利用的優(yōu)化是高校教學管理中的一個重要部分。教學資源利用專家系統(tǒng)是一個可自動分析與優(yōu)化的教室資源管理規(guī)劃專家系統(tǒng)。它基于從事教育和教學管理領(lǐng)域?qū)＜业闹R及其相應的產(chǎn)生式規(guī)則來替代教學管理人員解決學校的教室資源使用安排規(guī)劃的決策問題，具有快速的資源分析與規(guī)劃優(yōu)化、信息存儲、快速資料檢索以及嚴謹?shù)耐评砼c決策等功能。將專家系統(tǒng)應用于管理高校的教學資源，能更充分有效地利用現(xiàn)有的教學資源，為提高教學質(zhì)量提供物質(zhì)基礎(chǔ)，以適應現(xiàn)代教育事業(yè)快速發(fā)展的需要。

2．學習成績分析專家系統(tǒng)

在高校學生管理中，成績分析是一項經(jīng)常性的基本工作，需要投入大量的人力和精力。隨著考試科目、考生人數(shù)的增多，教師閱卷量的增大，對試卷質(zhì)量分析的準確性和時效性提出了考驗。因此，將專家系統(tǒng)應用于學生學習成績的分析中給以上問題的解決帶來了便利。學生成績分析專家系統(tǒng)根據(jù)學生的基本情況，綜合相關(guān)政策、文件規(guī)定分析出學生在校期間歷次考試成績變動的過程，時效性強，在實際應用中極大地提高了工作效率，減少了成績評判的誤差。

3．大學生心理素質(zhì)測評專家系統(tǒng)

基于加強大學生心理素質(zhì)教育和學生指導工作的需要，大學生心理素質(zhì)測評已成為高校學生管理的一項重要工作。大學生心理素質(zhì)測評專家系統(tǒng)利用心理專家的知識和經(jīng)驗，模擬心理專家診斷和解決問題的思維推理過程，能夠從性格特點、價值取向、心理素質(zhì)、職業(yè)興趣等多個方面對學生的心理素質(zhì)進行綜合測評，從而有助于學生對自身的優(yōu)勢和潛力的了解以及教師對學生專業(yè)方向選擇、就業(yè)等方面的指導。H1

四、結(jié)束語

專家系統(tǒng)的思想和技術(shù)已經(jīng)逐步應用于教育教學領(lǐng)域當中，并且愈加的成熟與實用。不僅能夠適應個別化教學的需求達到因材施教的目的，．對優(yōu)化教育教學手段，以及實現(xiàn)教育現(xiàn)代化也起到了巨大的推動作用。當然，對于專家系統(tǒng)的研究以及專家系統(tǒng)在教育教學中的推廣應用還存在著許多瓶頸和缺陷，有待我們進一步深入研究和完善。相信隨著人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展，專家系統(tǒng)等人工智能技術(shù)在教育領(lǐng)域會有更加廣闊的應用前景。

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