第一篇：輔導(dǎo)第6講大數(shù)定理和中心極限定理

第六章 大數(shù)定律和中心極限定理

第1節(jié) 馬爾可夫不等式和契比雪夫不等式

馬爾可夫不等式

定理 1設(shè)隨機變量X，若E|X|k存在(k?0)，則對任意??0,成立

E|X|。P{|X|??}?k?k證明 記A?{e?S:|X(e)|??}，令I(lǐng)A(e)??kk則有IA(e)??|X(e)|，e?A?1,，0,e?S?A?kkkk從而，有EIA??E|X|，即得?P(A)?E|X|，于是成立P{|X|??}?E|X|。

k?k對隨機變量X，成立

E(|X?EX|),(??0,k?0)。P{|X?EX|??}?k?k

利用f(x)?x在[0,??)上是遞增函數(shù)，可得

1?xIA?1???|X|，1?|X|從而成立?1??P{|X|??}?E|X| ；

1?|X|由IA|X||X|??IA，(1?IA)?，1?|X|1?|X|1??|X||X||X|?IA?(1?IA)，1?|X|1?|X|1?|X|得到E |X||X||X|?E(IA)?E[(1?IA)]

1?|X|1?|X|1?|X|119

?E(IA)?E即成立E?1???P{|X|??}??1??，|X|?

。?P{|X|??}?1?|X|1??

切比雪夫不等式

定理2 設(shè)隨機變量X存在數(shù)學(xué)期望EX和方差DX,則對任意正數(shù)成立

?, P{|X?EX|??}?E(|X?EX|2)?2?DX?2, P{|X?EX|??}?1?P{|X?EX|??}?1?

例 1設(shè)隨機變量

DX?2。

X存在數(shù)學(xué)期望EX和方差DX，且DX?0，則對任意a?0，DX1? ,(a?0).22a(aDX)成立P{|X?EX|?aDX}?

?xm?x?e,x?0例2 設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)??m!，其中m為正整數(shù)，?0,x?0?證明 P{0?X?2(m?1)}?m.m?1證明 EX? ?2???????xf(x)dx????0xm?x1??x?edx ??xm?2?1e?xdx

m!0m!11?(m?2)?(m?1)!?m?1, m!m!2??0EX??xf(x)dx????xm?x1??x?edx??xm?3?1e?xdx

m!0m!2 ?11?(m?3)?(m?2)!?(m?2)(m?1), m!m!DX?EX2?(EX)2?(m?2)(m?1)?(m?1)2?m?1 , 利用契比雪夫不等式,得

P{0?X?2(m?1)}?P{?(m?1)?X?(m?1)?(m?1)}?P{|X?(m?1)|?(m?1)}

?P{|X?EX|?(m?1)}?1?mDXm?1?.?1?22m?1(m?1)(m?1)kn??例 3設(shè)隨機序列{Xn}和隨機變量X，如果對某一k?0，有l(wèi)imE|Xn?X|?0，則對任意??0,有 limP{|Xn?X|??}?0。

n??證明 因為 對任意??0，成立P{|Xn?X|??}?kE|Xn?X|k?k，利用條件limE|Xn?X|?0，即得成立limP{|Xn?X|??}?0。

n??n??例4 設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX均存在,且DX?0, 則有 P{X?EX}?1.證明 由契比雪夫不等式P{|X?EX|??}?DX?2,得

1DX10?P{|X?EX|?}??0,n?1,2,?, P{|X?EX|?}?0,n?1,2,?，1nn()2n又{|X?EX|?0}?1{|X?EX|?}, ?nn?1??????110?P{|X?EX|?0}?P(?{|X?EX|?})??P{|X?EX|?}?0，nnn?1n?1于是P{|X?EX|?0}?0,P{|X?EX|?0}?1,即P{X?EX}?1.(P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2), P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3), P(?Ai)??P(Ai)

i?1i?1??).第2節(jié) 大數(shù)定律

定理一(契比雪夫大數(shù)定律)設(shè)X1,X2,???,Xn,???是相互獨立的隨機變量序列,每一個Xi都有有限的方差,且有公共的上界,即D(Xi)?C, i?1,2,???,n,???則對任意??0,成立

1n1nlimP{|?Xi??EXi|??}?1 , n??ni?1ni?1

121

1n1nlimP{|?Xi??EXi|??}?0.n??ni?1ni?1 定義 對于隨機(變量)序列{Xn}和隨機變量X(或常數(shù)a),若對任意??0,有

n??limP{|Xn?X|??}?1(或limP{|Xn?a|??}?1)

n??則稱隨機(變量)序列{Xn}依概率收斂于X(或常數(shù)a).PP(等價于limP{|Xn?X|??}?0)簡記為Xn???a,(n??))??X,(n??)(或Xn?n??推論(辛欽大數(shù)定律)若隨機變量序列X1,X2,???,Xn,???獨立同分布,且存在有限的數(shù)學(xué)期望和方差EXi??,DXi??n??2,(i?1,2,???)，則對任意

??0,有l(wèi)imP{|X??|??}?1 , 1n其中 X??Xi.ni?1定理二(貝努里大數(shù)定律)設(shè)nA是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率, 則對任意??0,成立 limP{|n??nA?p|??}?1.n例 1 設(shè)X1,X2,???,Xn,???是相互獨立的隨機變量序列,且其分布律為

P{Xn??n}?111,P{X?n}?,P{X?0}?1?,(n?1,2,???)； nn2n?12n?12n1n記Yn??Xi,(n?1,2,???)。證明: 對任給??0，成立limP{|Yn|??}?1。

n??ni?1證明 由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)及條件,有

EXn??n?EXn211?n??0?0，2n?12n?111n?(?n)2?n?1?(n)2?n?1?0?n，2222DXn?EXn1nn1n?n?1，EYn?E(?Xi)??EXi?0, 2ni?1ni?111n?DYn?D(?Xi)n2ni?1對任意

?DXi?i?1n11, n?2nn??0,由契比雪夫不等式,得

1?P{|Yn|??}?P{|Yn?EYn|??}?1?DYn?2, 122 于是成立 limP{|Yn|??}?1。

n??定理 設(shè)隨機(變量)序列{X}依概率收斂于X，設(shè)隨機(變量)序列{Yn}依概率收斂于Y，則有{Xn?Yn}依概率收斂于X?Y。

n證明 對任意??0，由{|(Xn?Yn)?(X?Y)|??}?{|Xn?X|?|Yn?Y|??}

?{|Xn?X|?}?{|Yn?Y|?}，22??利用條件，得P{|Xn?X|?}?0,P{|Yn?Y|?}?0,(n??)

22??0?P{|(Xn?Yn)?(X?Y)|??}

?P{|Xn?X|?}?P{|Yn?Y|?}?0,(n??)，22于是limP{|(Xn?Yn)?(X?Y)|??}?0n????，即得{Xn?Yn}依概率收斂于X?Y。

第3節(jié) 中心極限定理

定理三(獨立同分布的中心極限定理)設(shè)隨機變量X1,X2,???,Xn,???獨立同分布,且存在有限的數(shù)學(xué)期望和方差

EXi??,DXi???0,(i?1,2,???)記Yn2??Xi,(EYn?n?,DYn?n?2), i?1n Yn*?Yn?EYn?Yn?n?稱為Yn的標(biāo)準(zhǔn)化, FY*(x)?nDYnn?則對任意實數(shù)x,有

P{Yn?x}

*limn???Y?n?*P{n?x}?limP{Yn?x}?limFn?n???n???Yn*??(x)x12???e?t22dt??(x).進一步，成立{FY*(x)}在(??,??)上一致收斂于?(x)。

n定理四(De Moivre-Laplace定理)設(shè)?n是n次獨立重復(fù)試驗中事件

A發(fā)生的次數(shù),p是 123 事件A在每次試驗中發(fā)生的概率, 則對任意區(qū)間[a,b],成立

lim近似計算公式: P{a??n?npnp(1?p)n????b}??ba1e2??t22dt??(b)??(a).由于N??n?M?N?np?n?npM?np??，np(1?p)np(1?p)np(1?p)所以P{N??n?M}

?P{N?npnp(1?p)??n?npnp(1?p)?M?npnp(1?p)}??(M?npnp(1?p))??(N?npnp(1?p))。

例1 某計算機系統(tǒng)有120個終端,每個終端有5%的時間在使用,若各終端使用與否是相互獨立的,試求有10個以上的終端在使用的概率.解 方法一 以X表示使用終端的個數(shù), 引人隨機變量

?1,第i個終端在使用 Xi?? ,i?1,2,???,120 , ?0,第i個終端不使用則 X?X1?X2?????X120 ,由于使用與否是獨立的,所以X1,X2,???,X120相互獨立, 且都服從相同的(0—1)分布,即

P{Xi?1}?p?0.05,P{Xi?0}?1?p,i?1,2,???,120

于是,所求概率為

P{X?10}?1?P{X?10}?1?P{由中心極限定理得

P{XX?npnp(1?p)?10?npnp(1?p)}, ?10}?1?P{X?10}?1?P{10?npnp(1?p)X?np10?np?}

np(1?p)np(1?p)?1??()?1??(10?120?0.05)?1??(1.68)?1?0.9535?0.0465.120?0.05?0.95方法二 以X表示使用終端的個數(shù),根據(jù)題意知

X~B(n,p),n?120,p?0.05,??np?6, 所求概率為 P{X?10}?1?P{X?10}?1?

124

?Ck?010knp(1?p)kn?ke?66k ?1??k!k?010e?66k???0.0426,(查泊松分布表).k!k?11??例2 用契比雪夫不等式確定當(dāng)投擲一枚均勻硬幣時,需投多少次,才能使出現(xiàn)正面的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于90％.并用德莫弗-拉普拉斯定理計算同一問題,然后進行比較.解 用契比雪夫不等式估計n,設(shè)?n為投擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則

?n~B(n,), E(?n)?np?由題設(shè) P{0.4?12nn , D(?n)?npq? , 24?nn?0.6}?P{0.4n??n?0.6n}

?P{?0.1n??n?0.5n?0.1n}?P{|?n?0.5n|?0.1n} ?P{|?n?E(?n)|?0.1n}?0.9, 又由契比雪夫不等式知(取??0.1n), P{|?n?E(?n)|?0.1n}?1?由1?D(?n)0.25n, ?1?(0.1n)20.01n20.25n?0.9,得n?250.0.01n2用德莫弗-拉普拉斯定理估計n,設(shè)?n為投擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則

?n~B(n,), E(?n)?np?由題設(shè) P{0.4?12nn , D(?n)?npq? , 24?nn?0.6}?P{0.4n??n?0.6n}

?P{?0.1n??n?0.5n?0.1n}?P{|?n?0.5n|?0.1n}

?P{|?n?E(?n)??E(?n)0.1n|?}?P{|n|?0.2n}

D(?n)D(?n)D(?n)??(0.2n)??(?0.2n)?2?(0.2n)?1?0.9, 即?(0.2n)?0.95,查表得0.2n?z0.95?1.645,即n?68.計算結(jié)果表明, 用契比雪夫不等式估計至少需要擲250次, 才能使出現(xiàn)正面的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于0.9;而用德莫弗-拉普拉斯定理估計至少需要擲68次, 才能使出現(xiàn)正面的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于0.9.說明用中心極限定理計算比用契比雪夫不等式估計精確.125 例3 現(xiàn)有一大批種子,其中良種占的比例與

1.現(xiàn)從中任選6000粒,試問在這些種子中,良種所占61之誤差小1%的概率是多少？ 6解 設(shè)X表示良種個數(shù), 則X 所求概率為P{|~B(n,p),n?6000,p?1 ，6X1?|?0.01}?P{|X?np|?n?0.01} n6?P{|X?np6000?0.01X?npn?0.01|?} |?}?P{|np(1?p)15np(1?p)np(1?p)6000??66??(2.078)??(?2.078)?2?(2.078)?1?2?0.98?1?0.96.例4 設(shè)有30個電子器件D1,D2,???,D30,它們的使用情況如下: D1損壞,D2接著使

?1用;D2損壞,D3接著使用等等.設(shè)器件Di的使用壽命服從參數(shù)??0.1(單位:h)的指數(shù)分布.令T為30個器件使用的總時數(shù),問T超過350h的概率是多少？

解

設(shè)Xi為 器件Di的使用壽命,Xi 服從參數(shù)??0.1(單位:h?1)的指數(shù)分布, 相互獨立,T?X1?X2?????Xn, n?30, ??EXi?1X1,X2,???,X30??1?10 , 0.1?2?DXi?1?2?1?100, 20.1由中心極限定理得

350?300)

P{T?350}?1?P{T?350}?1?P{T?n??350?n?}?1??(30?10n?n??1??(5)?1??(0.91)?1?0.8186?0.1814.30例5 某單位設(shè)置一電話總機,共有200架電話分機.設(shè)每個電話分機有5%的時間要使用外線通話,假定每個電話分機是否使用外線通話是相互獨立的,問總機需要安裝多少條外線才能以90%的概率保證每個分機都能即時使用.解 方法一 依題意 設(shè)X為同時使用的電話分機個數(shù), 則X~B(n,p),n?200,p?0.05，?1,第i個分機在使用設(shè)安裝了N條外線,引人隨機變量Xi?? ,i?1,2,???,200 ，?0,第i個分機不使用則X?X1?X2?????X200 , 由于使用與否是獨立的,所以

X1,X2,???,X200相互獨立,且都服從相同的(0—1)分布,即

P{Xi?1}?p?0.05,P{Xi?0}?1?p,i?1,2,???,200,{X?N}?保證每個分機都能即時使用, P{X?N}?0.9 , 0.9?P{X?N}?P{N?npX?npN?np)?} ??(np(1?p)np(1?p)np(1?p)??(N?200?0.05N?10N?10),)??()??(3.08200?0.05?0.959.5N?10?z0.9?1.28,N?1.28?3.08?10?13.94,取 N?14, 3.08查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

答: 需要安裝14條外線.方法二 設(shè)X為同時使用的電話分機個數(shù),則

X~B(n,p),n?200,p?0.05, ??np?10;設(shè)安裝了N條外線, {X?N}?保證每個分機都能即時使用, P{X?N}?0.9 , 0.9?P{X?N}??Cp(1?p)knkk?0??Nn?k??e?1010ke?1010k, ???1??k!k!k?0k?N?1Ne?1010k?0.1,在列出的泊松分布表中沒有??10的情形,此法就解決不了這個問題.?k!k?N?1方法一是用中心極限定理解決問題的,從而體會中心極限定理的作用.例6 作加法運算時,先對每個數(shù)取整(既四舍五進取作整數(shù)).設(shè)所有取整產(chǎn)生的誤差是相互獨立的,且都在區(qū)間(?0.5,0.5]上服從均勻分布,求最多幾個數(shù)相加,方能保證誤差總和的絕對值小于15的概率大于0.90.解 X~U(?0.5,0.5],EX?0,DX?1;設(shè)Xi 為第i個加數(shù)產(chǎn)生的誤差, 12Xi~U(?0.5,0.5], X1,X2,???,Xn相互獨立, 由中心極限定理，Xi??1515P{|?Xi|?15}?P{?i?1?}

111i?1n?n?n?121212nn??(30333)??(?30)?2?(30)?1?0.90, nnn?(30 333032)?0.95, 30?z0.95?1.65,()?n,得 n?992。

1.65nn127

?nnk?n?1例7 利用中心極限定理證明 lim??e??.n???k?1k!?2證明：設(shè)?Xk?為相互獨立同分布的隨機變量序列，共同的分布為參數(shù)??1的泊松分布，服從參數(shù)為又由服從泊松分布的獨立隨機變量具有可加性，即?Xk?1nk?1?n的泊松分布，k?1nnnk?n?n?nnk?n?n所以有P??Xk?n???e ?e??e，k?1k!?k?1?k?0k!又因為E?Xk??D?Xk??1，由獨立同分布的中心極限定理知

?n?limP??Xk?n? n???k?1??n?X?n?1??1n?n?1??k?1k???0??limP????，?n??2n?1n?1????????nnnk?n?1所以lim?e??e??，n??k?1k!??2nk?n1故有l(wèi)im?e?.n??2k?1k!n例 8 設(shè)隨機變量Xn的概率密度為

nfn(x)?, ???x???, ?1?n2x2分布函數(shù)為Fn(x), 求limFn(x)。

n??1解 limFn(x)?limn??n?????xfn(t)dt?lim?n??ndt

???1?n2t2x1?1,x?0?1nx11??lim?du??,x?0n?????1?u2?2??0,x?0例9 設(shè)隨機變量Xn的概率密度為。

fn(x)?n, ???x???, ?1?n2x21P試證 Xn???0,(n??)。

證明 對任意?由于 ?0，P{|Xn|??}??|x|??fn(x)dx

?2??2??????fn(x)dx?2?1???ndx

?1?n2x21n?1du?0,(n??)，?1?u2P所以Xn???0,(n??)。

例10 設(shè)隨機變量Xn的概率密度為fn(x)?kn1(1?x)(1?|x|)21n, ???x???, 分布函數(shù)為Fn(x)，其中常數(shù)kn?0, 求limFn(x)。

n?? 解 由

由fn(x)的表達式 及?可知

kn?于是

????fn(x)dx?1，2?；

limfn(x)?n??1,x?02?1?x，1且是在(??,0)和(0,??)內(nèi)是內(nèi)閉一致收斂的；0?fn(x)?又n??x1?1?x2，n????2所以limFn(x)?lim?xfn(t)dt??limfn(t)dt

??n??x?? 1111xdt?arctant|?arctanx?。?????1?t2??21例11設(shè)隨機變量序列X1,X2,???,Xn,???獨立同分布, 且存在有限的數(shù)學(xué)期望和方差

EX??,DX??ii2,(i?1,2,???)；

EXi2?DXi?(EXi)2??2??2，1X??Xnni?1i1n，A2??Xi2，ni?1n1Sn2??(Xi?X)2，ni?1試證：（1）PX????,(n??)；

P22A??????,(n??)；

（2）2P22X????,(n??)；

（3）（4）Sn2P????2,(n??)。

證明 利用貝努利大數(shù)定律可得（1）的結(jié)果；

直接利用辛欽大數(shù)定律可得（2）的結(jié)果；

22E|X??|?E|X??||X??|（3）?(E|X??|)(E|X??|)221222，顯然{(E|X??|)2}有界，1E|X??|2?DX??2?0,(n??)，n22E|X??|?0,(n??)，于是進而得PX2????2,(n??)；

nn211222S??(Xi?X)?[?Xi?nX]（4）nni?1ni?121n2 ??Xi?X，ni?1P???(?2??2)??2??2,(n??)。

例12 設(shè)隨機變量X1,X2,???,Xn,???獨立同分布,且存在有限的數(shù)學(xué)期望和方差

EXk??,DXk??2?0,(k?1,2,???)

n2kXk, 記Yn??n(n?1)k?1P試證Yn????,(n??)。

證明 由條件，可知

nn222n(n?1)EYn?kEX?k?????，??kn(n?1)k?1n(n?1)k?1n(n?1)2nn22222DYn?()?kDXk?()?k2?2

n(n?1)k?1n(n?1)k?1?(2122n?12)2n(n?1)(2n?1)?2??，n(n?1)63n(n?1)n??顯然limDYn?0，對任意??0，成立

DYn1?P{|Yn??|??}?P{|Yn?EYn|??}?1?在上式中,令n???2, n??,即得

limP{|Yn??|??}?1，P故得 Yn????,(n??)。

131

第二篇：第6章大數(shù)定理和中心極限定理習(xí)題答案

1n

6-1設(shè)Yn??Xi,再對Yn利用契比雪夫不等式: ni?1

?n?D??Xi?DY?i?1??2n???n???0P?Yn?EYn????2n?2222?n?n?

故?Xn?服從大數(shù)定理.6-2設(shè)出現(xiàn)7的次數(shù)為X,則有

X~B?10000,0.1?,由棣莫佛-拉普拉斯定理可得

P?X?968??P?

6-3EXi?EX?np?1000,DX?900 ?X?1000968?1000??16????1?????0.1430?30??15? 1,2DXi?1 12

?Xi?10?

由中心極限定理可知, 101,所以

?10??10?P??Xi?6??1?P??Xi?6??1???1???i?1??i?1?,6-4設(shè)報各人數(shù)為X,則EX?100

由棣莫佛-拉普拉斯定理可得 ?0.136 DX?100..?X?EX120?100?P{X?120}?P?????DX

?1???2??0.0228

6-5設(shè)Xi??第i個人死亡?1

?0第i個人沒有死亡?i?1,2,?,10000?,則

P?Xi?0??0.994 P?Xi?1??0.006,總保險費為12?10000?1.2?10(萬元)5

(1)當(dāng)死亡人數(shù)在達到1.2?105/1000?120人時,保險公司無收入.np?104?0.006?60,所以保險公司賺錢概率為

?0.1295

??PX1?X2??X10000?np??0.1295??120?60???

??

???7.77??1

因而虧本的概率為P??1?P?0.(2)若利潤不少于40000，即死亡人數(shù)少于80人時,??PX1?X2??X10000?np??0.1295??80?60???

??

???2.59??0.9952

若利潤不少于60000，即死亡人數(shù)少于60人時,??PX1?X2??X10000?np??0.1295??60?60???

??

???0??0.5

若利潤不少于80000，即死亡人數(shù)少于40人時,??PX1?X2??X10000?np??0.1295??40?60???

??

????2.592??0.0048

6-6設(shè)總機需備Y條外線才能有95%的把握保證每個分機外線不必等候,設(shè)隨機變量Xi???1第i架電話分機用外線

?0第i架電話分機不用外線,?i?1,2?,則,2?60

P?X?1??0.04,EXi?0.04,由中心極限定理可得 P?X?0??0.96 DXi?0.04?0.0016?0.0384

?260??Y?260?0.04?P??Xi?Y??????95% ?260?0.0384??i?1?

Y?16

6-7密度函數(shù)為f?x????1當(dāng)?0.5?x?0.5 其他?0

故數(shù)學(xué)期望為EX??0.5

?0.5xdx?0

20.5

?0.5DX?EX2??EX???

(1)設(shè)Xi為第i個數(shù)的誤差,則 x2dx?1 12

???300??P??Xi?15??P??i?1??????Xi?15?i?1???2?(3)?1?0.9973 3005?DX?i?i?1?300

?300??300?P??Xi?15??1?P??Xi?15??0.0027

?i?1??i?1?

?n?(2)P??Xi?10??2??1?0.9?n?440.77 ?i?1?

?300??Y?(3)P??Xi?Y??2????1?0.997?Y?14.85 ?5??i?1?

6-8EX?5?10?2kg,??5?10?3kg

(1)設(shè)Xi 為第i個螺釘?shù)闹亓?則

nEX?100?5?10?2,5?10?3?0.05

?100?X?nEX?i??100?5.1?5??i?1?P??Xi?5.1??P????1??(2)?0.02280.05?n?i?1?? ????

?1第i個螺釘?shù)闹亓砍^5.1kg(2)設(shè)Yi???0第i個螺釘?shù)闹亓坎怀^5.1kg?i?1,2,?,500?,則

np?11.4np(1?p)?3.33

?500?Y?np?i??500?20?11.4??i?1?P??Yi?500?4％??P?????(2.58)?0.9951 3.33?i?1??np(1?p)?????

6-9設(shè)隨機變量Xi???1第i個人按時進入掩體

其他?0

n

i?i?1,2,?,1000?,按時進入掩體的人數(shù)為Y,則Y??X,Y~B?10000,0.9?,所以有 i?1

EY?1000?0.9?900,設(shè)有k人按時進入掩體，則 DY?900?0.1?90

?k?900?????0.95????

k?900?1.645 90

k?884或k?916

第三篇：第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第五章

大數(shù)定律及中心極限定理

概率統(tǒng)計是研究隨機變量統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，而隨機現(xiàn)象的規(guī)律只有在對大量隨機現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來。研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個隨機變量離差平方的數(shù)學(xué)期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機變量的離差與方差之間的關(guān)系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設(shè)隨機變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對任意小正數(shù)ε>0，有:

或：

［例5-1］設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)，若給定ε=2,2.5，實際計算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當(dāng)ε=2時，當(dāng)ε=2.5時，可見，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設(shè)電站供電網(wǎng)有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關(guān)是彼此獨立的。試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6 800～7 200的概率。

解：設(shè)X表示在夜晚同時開著的電燈的數(shù)目，它服從參數(shù)n=10 000,p=0.7的二項分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應(yīng)7 000盞燈的電力就能夠以相當(dāng)大的概率保證夠用。

[例5-3補充] 用切比雪夫不等式估計

解： 的三倍的可能性極

可見，隨機變量X取值與期望EX的差的絕對值大于其均方差小。

5.2 大數(shù)定律

在第一章中曾經(jīng)提到過，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率將逐漸穩(wěn)定于一個確定的常數(shù)值附近。另外，人們在實踐中還認(rèn)識到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，即平均結(jié)果的穩(wěn)定性。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表示證明了在一定的條件下，大量重復(fù)出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性與平均結(jié)果的穩(wěn)定性。

5.2.1 貝努利大數(shù)定律

定理5-2 設(shè)m是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對任意正數(shù)ε，有

貝努利大數(shù)定律說明，在大量試驗同一事件A時，事件A的概率是A的頻率的穩(wěn)定值。

5.2.2 獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數(shù)定律

先介紹獨立同分布隨機變量序列的概念。

稱隨機變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨立的，若對任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨立的。此時，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列。

定理5-3 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對于任意ε>0有

這一定理說明：經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機變量在統(tǒng)計上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計穩(wěn)定性的深刻描述；同時，也是數(shù)理統(tǒng)計的重要理論基礎(chǔ)。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機變量 的分布函數(shù)為Fn（x），則對于任意實數(shù)x，有

（不證）

其中φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

由這一定理知道下列結(jié)論：

（1）當(dāng)n充分大時，獨立同分布的隨機變量之和的分布近似于正態(tài)分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個獨立同分布的正態(tài)隨機變量之和服從正態(tài)分布。中心極限定理進一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨立同服從什么分布，當(dāng)n充分大時，其和Zn近似服從正態(tài)分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量為，即為上述Yn。因此的分布函數(shù)即是上述的F（，nx）因而有

由此可見，當(dāng)n充分大時，獨立同分布隨機變量的平均值 的分布近似于正態(tài)分布

[例5-3]對敵人的防御地段進行100次射擊，每次射擊時命中目標(biāo)的炮彈數(shù)是一個隨機變量，其數(shù)學(xué)期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率。解 設(shè)Xi為第i次射擊時命中目標(biāo)的炮彈數(shù)（i=1,2,…,100），則中命中目標(biāo)的炮彈總數(shù)，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時）的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機抽出16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時的概率。

解 設(shè)第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機變量Zn是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對于任意實數(shù)x

其中q=1-p,φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結(jié)論：

（1）在貝努利試驗中，若事件A發(fā)生的概率為p。又設(shè)Zn為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)n充分大時，Zn近似服從正態(tài)分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗中，若事件中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的頻率，則當(dāng)n充分大時，近似服從正態(tài)分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設(shè)同時開著的燈數(shù)為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨立重復(fù)試驗中事件A

【例5-6】設(shè)某單位內(nèi)部有1000臺電話分機，每臺分機有5%的時間使用外線通話，假定各個分機是否使用外線是相互獨立的，該單位總機至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機需要使用外線時不被占用？

解：把觀察每一臺分機是否使用外線作為一次試驗，則各次試驗相互獨立，設(shè)X為1000臺分機中同時使用外線的分機數(shù)，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據(jù)題意，設(shè)N為滿足條件的最小正整數(shù)

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機在使用外線時不被占用。

小結(jié) 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數(shù)定律

其中n是試驗次數(shù)，m是A發(fā)生次數(shù)，p是A的概率，它說明試驗次數(shù)很多時，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律

取值穩(wěn)定在期望附近。

它說明在大量試驗中，隨機變量

（四）知道獨立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說明當(dāng)n很大時，獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)N（nμ,nσ2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+…Xn卻近似正態(tài)N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨立重復(fù)事件發(fā)生次數(shù)，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態(tài)N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應(yīng)用問題。

第四篇：CH5 大數(shù)定律及中心極限定理--練習(xí)題

CH5 大數(shù)定律及中心極限定理

1.設(shè)Ф(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Xi=?

100?1,事件A發(fā)生；?0,事件A不發(fā)生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互獨立。令Y=?

i?1Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（）

y?80

4A.Ф(y)

2.從一大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨機抽取100粒,則這100粒種子的發(fā)芽率不低于88%的概率約為.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn??

i?1??Xi,n?1，2，?.Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則limP?n???????1??（）np(1?p)??Yn?np

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.設(shè)

5.設(shè)X服從(-1,1)上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計

6.設(shè)

7.報童沿街向行人兜售報紙，設(shè)每位行人買報紙的概率為0.2，且他們買報紙與否是相互獨立的。試求報童在想100為行人兜售之后，賣掉報紙15到30份的概率

8.一個復(fù)雜系統(tǒng)由n個相互獨立的工作部件組成，每個部件的可靠性（即部件在一定時間內(nèi)無故障的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使得整個系統(tǒng)工作。問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95

9.某人有100個燈泡，每個燈泡的壽命為指數(shù)分布，其平均壽命為5小時。他每次用一個燈泡，燈泡滅了之后立即換上一個新的燈泡。求525小時之后他仍有燈泡可用的概率近似值相互獨立的隨機變量，且都服從參數(shù)為10的指數(shù)分布，求 的下界 是獨立同分布的隨機變量，設(shè), 求

第五篇：04 第四節(jié) 大數(shù)定理與中心極限定理

第四節(jié) 大數(shù)定理與中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科.而隨機現(xiàn)象的規(guī)律性在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時會呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性.例如, 大量的拋擲硬幣的隨機試驗中, 正面出現(xiàn)頻率;在大量文字資料中, 字母使用頻率;工廠大量生產(chǎn)某種產(chǎn)品過程中, 產(chǎn)品的廢品率等.一般地, 要從隨機現(xiàn)象中去尋求事件內(nèi)在的必然規(guī)律, 就要研究大量隨機現(xiàn)象的問題.在生產(chǎn)實踐中, 人們還認(rèn)識到大量試驗數(shù)據(jù)、測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.這種穩(wěn)定性就是我們將要討論的大數(shù)定律的客觀背景.在這一節(jié)中，我們將介紹有關(guān)隨機變量序列的最基本的兩類極限定理----大數(shù)定理和中心極限定理.內(nèi)容分布圖示

★大數(shù)定理的引入 ★切比雪夫不等式

★例1

★例2 ★大數(shù)定理

★中心極限定理的引入 ★林德伯格—勒維定理

★例3 ★例6

★推論

大數(shù)定理

★棣莫佛—拉普拉斯定理 ★例4

★例5 ★例7

★例8 ★高爾頓釘板試驗

中心極限定理

★內(nèi)容小結(jié)

★課堂練習(xí)★習(xí)題4-4

內(nèi)容要點：

一、依概率收斂

與微積分學(xué)中的收斂性的概念類似, 在概率論中, 我們要考慮隨機變量序列的收斂性.定義

1設(shè)X1,X2,?,Xn,?是一個隨機變量序列, a為一個常數(shù),若對于任意給定的正數(shù)?,有 limP{|Xn?a|??}?1, 則稱序列X1,X2,?,Xn,?依概率收斂于a, 記為

n??Xn???aP(n??).PP定理1 設(shè)Xn???a,Yn???b,又設(shè)函數(shù)g(x,y)在點(a,b)連續(xù), 則

g(Xn,Yn)???g(a,b).P

二、切比雪夫不等式

定理2設(shè)隨機變量X有期望E(X)??和方差D(X)??2,則對于任給??0, 有

P{|X??|??}???22.上述不等式稱切比雪夫不等式.注：(i)由切比雪夫不等式可以看出,若?2越小, 則事件

{|X?E(X)|??} 的概率越大, 即, 隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.由此可見方差刻劃了隨機變量取值的離散程度.(ii)當(dāng)方差已知時,切比雪夫不等式給出了X與它的期望的偏差不小于?的概率的估計式.如取??3?, 則有

P{|X?E(X)|?3?}??9?22?0.111.故對任給的分布,只要期望和方差?2存在, 則隨機變量X取值偏離E(X)超過3?的概率小于0.111.三、大數(shù)定理 1．切比雪夫大數(shù)定律

定理3(切比雪夫大數(shù)定律)設(shè)X1,X2,?,Xn,?是兩兩不相關(guān)的隨機變量序列,它們數(shù)學(xué)期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即D(Xi)?K,i?1,2,?, 則對任意??0, 有

??1limP?n????nn?i?1Xi?1nn?i?1??E(Xi)????

1??1nn注: 定理表明: 當(dāng)n很大時,隨機變量序列{Xn}的算術(shù)平均值學(xué)期望

2．伯努利大數(shù)定理 1nn?i?1Xi依概率收斂于其數(shù)?E(X).ii?1定理4(伯努利大數(shù)定律)設(shè)nA是n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù), p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率, 則對任意的??0, 有

?n??n?limP?A?p????1

或 limP?A?p????0.n??n???n??n?注：(i)伯努利大數(shù)定律是定理1的推論的一種特例, 它表明: 當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時, 事件A發(fā)生的頻率nAn依概率收斂于事件A發(fā)生的概率p.定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達了頻率的穩(wěn)定性.在實際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗次數(shù)很大時,便可以用事件發(fā)生的頻率來近似代替事件的概率.(ii)如果事件A的概率很小，則由伯努利大數(shù)定律知事件A發(fā)生的頻率也是很小的，或者說事件A很少發(fā)生.即“概率很小的隨機事件在個別試驗中幾乎不會發(fā)生”，這一原理稱為小概率原理，它的實際應(yīng)用很廣泛.但應(yīng)注意到，小概率事件與不可能事件是有區(qū)別的.在多次試驗中，小概率事件也可能發(fā)生.3．辛欽大數(shù)定理

定理5(辛欽大數(shù)定律)設(shè)隨機變量X1,X2,?,Xn,?相互獨立, 服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望E(Xi)??,i?1,2,?, 則對任意??0, 有

?1limP?n???nn?i?1?Xi??????1.?注:(i)定理不要求隨機變量的方差存在;

(ii)伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況;

(iii)辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.例如, 要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量, 可收割某些有代表性的地塊, 如n塊,計算其平均畝產(chǎn)量, 則當(dāng)n較大時,可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.此類做法在實際應(yīng)用中具有重要意義.四、中心極限定理

在實際問題中, 許多隨機現(xiàn)象是由大量相互獨立的隨機因素綜合影響所形成, 其中每一個因素在總的影響中所起的作用是微小的.這類隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.以一門大炮的射程為例, 影響大炮的射程的隨機因素包括: 大炮炮身結(jié)構(gòu)的制造導(dǎo)致的誤差, 炮彈及炮彈內(nèi)炸藥在質(zhì)量上的誤差, 瞄準(zhǔn)時的誤差, 受風(fēng)速、風(fēng)向的干擾而造成的誤差等.其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互獨立的, 人們關(guān)心的是這眾多誤差因素對大炮射程所造成的總影響.因此需要討論大量獨立隨機變量和的問題.中心極限定理回答了大量獨立隨機變量和的近似分布問題, 其結(jié)論表明: 當(dāng)一個量受許多隨機因素(主導(dǎo)因素除外)的共同影響而隨機取值, 則它的分布就近似服從正態(tài)分布.1．林德伯格—勒維定理

定理6(林德伯格—勒維)設(shè)X1,X2,?,Xn,?是獨立同分布的隨機變量序列, 且

E(Xi)??,D(Xi)??,i?1,2,?,n,?2

則

?n???Xi?n???i?1?limP??x??n???n?????????x12?e?t2/2dt

注: 定理6表明: 當(dāng)n充分大時, n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布.雖然在一般情況下, 我們很難求出X1?X2???Xn的分布的確切形式, 但當(dāng)n很大時, 可求出其近似分布.由定理結(jié)論有

n?i?1Xi?n?n1近似n?~N(0,1)?n?i?1Xi??n近似?/~N(0,1)?X~N(?,?22/n),X?1nn?i?1Xi.故定理又可表述為: 均值為?, 方差的??0的獨立同分布的隨機變量X1,X2,?,Xn,?的算術(shù)平均值X, 當(dāng)n充分大時近似地服從均值為?,方差為?2/n的正態(tài)分布.這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ).2.棣莫佛—拉普拉斯定理

在第二章中，作為二項分布的正態(tài)近似，我們曾經(jīng)介紹了棣莫佛—拉普拉斯定理，這里再次給出，并利用上述中心極限定理證明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）設(shè)隨機變量Yn服從參數(shù)n,p(0?p?1)的二項分布, 則對任意x, 有

???Yn?np?limP??x??n?????np(1?p)????x12?e?t22dt??(x)

注: 易見，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒維定理的一個特殊情況.3．用頻率估計概率的誤差

設(shè)?n為n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的頻率, p為每次試驗中事件A發(fā)生的概率,q?1?p,由棣莫佛—拉普拉斯定理,有

???n??P??p????P?????n?????npq??n?npnpq??n??? pq??n???1.pq??

?????n????????pq????n???2????pq???這個關(guān)系式可用解決用頻率估計概率的計算問題:

4.李雅普諾夫定理

定理8（李雅普諾夫定理）設(shè)隨機變量X1,X2,?,Xn,? 相互獨立, 它們具有數(shù)學(xué)期望

n和方差: E(Xk)??k,n??時, D(Xk)??2k?0,i?1,2,?，記B?2n??.若存在正數(shù)?, 使得當(dāng)

k?12k1Bn2??nn?E{|k?1Xk??k|2??}?0，則隨機變量之和?Xk的標(biāo)準(zhǔn)化變量: k?1n?Zn?k?1?n?Xk?E?X??k???k?1???D?X??k???k?1?nnnk?X?k?1?Bn??k?1k 的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x, 滿足

nn??X??k??k??k?1k?1limFn(x)?limP??x??n??n??Bn????x???12?e?t/22dt??(x).注：定理8表明, 在定理的條件下, 隨機變量

nn?Zn?k?1Xk?Bn??k?1k.nn當(dāng)n很大時,近似地服從正態(tài)分布N(0,1).由此, 當(dāng)n很大時,?Xk?BnZn???k近似地服

k?1k?1?n?2?.這就是說,無論各個隨機變量Xk(k?1,2,?)服從什么分布,只要滿從正態(tài)分布N??,B??kn??k?1?n足定理的條件,那么它們的和?Xk當(dāng)n很大時,就近似地服從正態(tài)分布.這就是為什么正態(tài)隨

k?1機變量在概率論中占有重要地位的一個基本原因.在很多問題中,所考慮的隨機變量可以表示成很多個獨立的隨機變量之和,例如,在任一指定時刻,一個城市的耗電量是大量用戶耗電量的總和;一個物理實驗的測量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的,它們往往近似地服從正態(tài)分布.例題選講：

切比雪夫不等式

例1(講義例1)已知正常男性成人血液中, 每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300, 均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解 設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X, 依題意, ??7300,?2?7002，P{5200?X?9400}?P{5200?7300?X?7300?9400?7300}

?P{?2100?X???2100}?P{|X??|?2100}.所求概率為

由切比雪夫不等式

P{|X??|?2100}?1??222/(2100)?1?(700/2100)?1?1/9?8/9，即每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200 ~ 9400之間的概率不小于8/9.例2 在每次試驗中, 事件A發(fā)生的概率為0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90? 解 設(shè)X為次試驗中, 事件A出現(xiàn)的次數(shù), 則

X~b(n,0.75), ??0.75n, ?2?0.75?0.25n?0.1875n，所求為滿足P{0.74?X/n?0.76}?0.90的最小的n.P{0.74?X/n?0.76}可改寫為

P{0.74n?X?0.76n}?P{?0.01n?X?0.75n?0.01n}?P{|X??|?0.01n}

在切比雪夫不等式中取??0.01n, 則

P{0.74?X/n?0.76}?P{|X??|?0.01n}?1??22/(0.01n)2

?1?0.1875n/0.0001n?1?1875/n

依題意, 取n使1?1875/n?0.9, 解得

n?1875/(1?0.9)?1875,0 即n取18750 時, 可以使得在n次獨立重復(fù)試驗中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為 0.90.中心極限定理

例3(講義例2)

一盒同型號螺絲釘共有100個, 已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量, 期望值是100g, 標(biāo)準(zhǔn)差是10g, 求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率.解 設(shè)為第i個螺絲釘?shù)闹亓? i?1,2,?,100，100且它們之間獨立同分布, 于是一盒螺絲釘?shù)闹亓繛閄??Xi?1i，且由??E(Xi)?100,??D(Xi)?10,n?100，知E(X)?100?E(Xi)?10000,由中心極限定理有

???P{X?10200}?P????nD(X)?100，?i?1Xi?n??n??10200?n???X?10000??p???n100?????10200?10000??

100??X?10000??X?10000??P??2??1?P??2?

100100?????1??(2)?1?0.97725?0.02275.例4(講義例3)計算機在進行數(shù)學(xué)計算時, 遵從四舍五入原則.為簡單計.現(xiàn)在對小數(shù)點后面第一位進行舍入運算, 則誤差X可以認(rèn)為服從[?0.5,0.5]上的均勻分布.若在一項計算中進行了100次數(shù)字計算, 求平均誤差落在區(qū)間[?3/20,3/20]上的概率.解 n?100, 用Xi表示第i次運算中產(chǎn)生的誤差.相互獨立, 都服從[?0.5,0.5]上的均勻分布, X1,X2,?,X100且E(Xi)?0,var(Xi)?1/12,i?1,2,?,100, 從而

Y100??100i?1Xi?100?0100/12?35100?i?1近似Xi~N(0,1).故平均誤差X?1100100?i?1?33?,Xi落在???2020????上的概率為

??33?31???P???X??P????20?100???20??20100?i?1Xi?3???20??

?3??P??3?5??100?i?1??Xi?3???(3)??(?3)?0.9973.??

例5(講義例4)某公司有200名員工參加一種資格證書考試.按往年經(jīng)驗考試通過率為0.8,試計算這200名員工至少有150人考試通過的概率.解 ?1,令1??0,第i人通過考試第i人未通過考試,i?1,2,?,200，依題意,P{Xi?1}?0.8,np?200?0.8?160,np(1?p)?32.?200i?1Xi是考試通過人數(shù), 由中心極限定理4, 得

P{?Xi??X?160?/32~N(0,1)，?150}?P{??X?160?/32}??150?160?/200近似i?1i200ii32

?P{??200i?1Xi?160/?32??1.77}

1??(?1.77)??(1.77)?0.96, 即至少有150名員工通過這種考試的概率為0.96.例6(講義例5)某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務(wù), 被保險人每年需交付保險費160元, 若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故, 其本人或家屬可獲2萬元賠金.已知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005, 現(xiàn)有5000人參加此項保險, 問保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬到40萬元之間的概率是多少? 解 記Xi???1,若第i個被保險人發(fā)生重大事?0,若第i個被保險人未發(fā)生重大故事故(i?1,2,?,5000)

于是Xi均服從參數(shù)為p?0.005的兩點分布, 且p{Xi?1}?0.005,np?25.?5000i?1Xi是5000個被保險人中一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù), 保險公司一年內(nèi)從此

5000i?1項業(yè)務(wù)所得到的總收益為0.016?5000?2??于是

Xi萬元.5000??????P?20?0.016?5000?2Xi?40??P?20????i?1???5000??i?1??Xi?30???

???P???20?2525?0.995??5000i?1Xi?2525?0.995??????(1)??(?1)?0.6826

25?0.995??30?25 例7 對于一個學(xué)校而言, 來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量, 設(shè)一個學(xué)生無家長, 1名家長, 2名家長來參加會議的概率分別0.05, 0.8, 0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生, 設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立, 且服從同一分布.求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率.解 以Xk(k?1,2,?,400)記第k個學(xué)生來參加會議的家長數(shù), 則Xk的分布律為

Xkpk00.0510.820.15

400易知E(Xk)?1.1,D(Xk)?0.19,k?1,2,?,400, 而X??Xk?1k,由定理3, 隨機變量

400?Xk?1k?400?1.1?X?400?1.14000.190.19近似~400N(0,1), 故

?X?400?1.1450?400?1.1?P{X?450}?P???

4000.19??4000.19?X?400?1.1??1?P??1.147?

?4000.19??1??(1.147)?0.1357.例8 設(shè)有1000人獨立行動, 每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計, 在一次行動中, 至少有多少人能進入掩蔽體.解 用Xi表示第i人能夠按時進入掩蔽體, 令Sn?X1?X2???X1000.設(shè)至少有m人能進入掩蔽體, 則要求

P{m?Sn}?0.95,Sn?90090 {m?Sn}???m?1000?0.9?1000?0.9?0.1?Sn?900?? 90?近似由中心極限定理, 有

~N(0,1), 所以

?m?900?Sn?900S?900?m?900?P{m?Sn}?P??n?1?P????

90909090????查正態(tài)分布數(shù)值表, 得

m?90090??1.65, 故m?900?15.65?884.35?884人.課堂練習(xí)

某地有甲、乙兩個電影院競爭當(dāng)?shù)孛刻斓?000名觀眾, 觀眾選擇電影院是獨立的和隨機的.問: 每個電影院至少應(yīng)設(shè)有多少個座位, 才能保證觀眾因缺少座位而離去的概率小于1%?