第一篇：中心極限定理的教學(xué)

中心極限定理的教學(xué)

摘 要： 中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中一個重要的定理，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，因此教學(xué)也有一定的難度.本文首先分析學(xué)生學(xué)習(xí)的主要困惑，其次針對性地理解了中心極限定理的實(shí)質(zhì)，教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了具體事例鼓勵學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)探索，從而對中心極限定理容易接受，最后用實(shí)例鞏固中心極限定理的應(yīng)用.關(guān)鍵詞： 中心極限定理 正態(tài)分布 自主探索 概率近似

中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中一個重要的定理，銜接著概率論知識與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，是教學(xué)中的一個難點(diǎn).利用中心極限定理，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中許多紛亂復(fù)雜的隨機(jī)變量序列和的分布都可以用正態(tài)分布進(jìn)行近似，而正態(tài)分布有著許多完美的結(jié)論，從而可以獲得實(shí)用且簡單的統(tǒng)計(jì)分析方法和結(jié)論.然而，由于中心極限定理的教學(xué)課時少而定理本身又較抽象，學(xué)生很難在短時間內(nèi)理解該定理并能夠加以應(yīng)用.為此，不少教師對該內(nèi)容進(jìn)行了探討.本文結(jié)合學(xué)生的基礎(chǔ)和知識結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生的疑惑，以及教學(xué)的需要，提高學(xué)生的應(yīng)用能力，對該定理的教學(xué)方法進(jìn)行探討.一、學(xué)生學(xué)習(xí)中心極限定理的困難

中心極限定理這一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是要求學(xué)生理解中心極限定理，并熟練運(yùn)用該定理進(jìn)行事件概率的近似計(jì)算，然而在講解這一內(nèi)容只有2個課時，學(xué)生又不熟悉相應(yīng)的概率基礎(chǔ)，導(dǎo)致無論是數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對該知識點(diǎn)都存在疑惑，主要表現(xiàn)在：不知道中心極限定理是什么意思，具體形式是什么，怎么用.針對這三方面的問題，教師首先應(yīng)該要理解深刻，概括恰當(dāng)，簡明扼要.1.中心極限定理的背景

在實(shí)際問題中，許多隨機(jī)現(xiàn)象都是由大量微小的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響所產(chǎn)生的，比如誤差受到材料、環(huán)境、設(shè)備、操作者等因素的影響，每個因素都是微小的、隨機(jī)的，但綜合起來就產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)過程中的誤差，即誤差是大量的隨機(jī)因素的總和，我們關(guān)心誤差就是關(guān)心大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的問題.中心極限定理告訴我們，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布.這一點(diǎn)突出了正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要地位，在應(yīng)用中凸顯了正態(tài)分布的許多優(yōu)勢，同時在總體為非正態(tài)的統(tǒng)計(jì)問題中發(fā)揮著重要的指導(dǎo)作用.在實(shí)際問題中，首先分析隨機(jī)現(xiàn)象，將其可分解成大量的隨機(jī)變量的和，那么無論隨機(jī)變量服從正態(tài)還是非正態(tài)，其和近似看做正態(tài)分布，進(jìn)而求相關(guān)的概率計(jì)算問題.學(xué)生對此不理解，主要是因?yàn)樘橄?、太籠統(tǒng)，在教學(xué)中可讓學(xué)生自主探討，發(fā)現(xiàn)總結(jié).2.中心極限定理的具體形式

中心極限定理探討的是隨機(jī)變量和的極限分布，教材中給出了不同條件下的中心極限定理的多種結(jié)論，其形式復(fù)雜，證明繁瑣，但總結(jié)起來本質(zhì)是一個形式.棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理是Lindeberg-Levy中心極限定理的特例，兩個中心極限定理歸根到底是說獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布，可變形為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.3.中心極限定理的應(yīng)用

學(xué)生對中心極限定理內(nèi)容不理解，也導(dǎo)致無法將理論用于實(shí)踐，偶爾的依葫蘆畫瓢并沒有掌握其實(shí)質(zhì).中心極限定理常用作概率近似計(jì)算，需要根據(jù)問題的實(shí)際含義定義多個隨機(jī)變量并給出分布，然后變?yōu)楠?dú)立隨機(jī)變量和，再利用中心極限定理和正態(tài)分布的查表求概率.只有在教學(xué)中選擇恰當(dāng)?shù)睦}，深入分析，合理總結(jié)，才能取到良好的效果.中心極限定理包含極限理論，因此理論上利用中心極限定理處理極限問題.在經(jīng)濟(jì)問題中，質(zhì)檢問題中也有廣泛的應(yīng)用.教學(xué)中可引申生活實(shí)際等有趣的問題，讓學(xué)生體會學(xué)以致用的樂趣.二、中心極限定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

首先利用簡單的引例，讓學(xué)生自主探索，總結(jié)規(guī)律.例1：有一個總體X，它是取值于[2，8]的隨機(jī)數(shù)，在等可能被取出的假設(shè)下，總體X的分布為均勻分布U（2，8）.學(xué)生自主觀察直方圖的特點(diǎn)，得出的規(guī)律是“中間高，兩邊低，左右基本對稱”.比照正態(tài)分布的密度曲線：

上述直方圖輪廓曲線，用如下概率函數(shù)表示關(guān)于u對稱的鐘形曲線最合適.將這一規(guī)律概括起來就是中心極限定理：

其具體形式體現(xiàn)出三個定理.（1）中心極限定理是用極限理論反映的一個重要定理，其優(yōu)勢體現(xiàn)在非正態(tài)分布或不知道分布類型時，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).（2）主要應(yīng)用兩方面：第一，求隨機(jī)變量之和落在某區(qū)間的概率；第二，已知隨機(jī)變量之和的概率，求.（3）解題中分析隨機(jī)總體可分解為許多獨(dú)立隨機(jī)變量的和的形式甚為關(guān)鍵.例2：某保險公司有2500個人參加保險，每人每年付1200元保險費(fèi)，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.002，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得20萬元，問保險公司虧本的概率.學(xué)生處理實(shí)際問題的難點(diǎn)就在于不知如何進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.提示兩點(diǎn)：第一，將問題用隨機(jī)變量表示，每個人參保是隨機(jī)的獨(dú)立的，如何刻畫？第二，保險公司所得的總收益如何表示，學(xué)生經(jīng)整理后發(fā)現(xiàn)，所求總收益正好可以看成2500個獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和，n=2500足夠大，故想到用中心極限定理將其近似為正態(tài)分布.求出變量和的期望和方差，利用正態(tài)分布查表求概率.為了加強(qiáng)對中心極限定理的理解和鞏固，對學(xué)生提出如下思考：

2.列舉貼近生活實(shí)例，讓學(xué)生鞏固練習(xí)，加以總結(jié).3.學(xué)有余力拓展中心極限定理的應(yīng)用領(lǐng)域.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，善于總結(jié)，容易接受，形成解決實(shí)際問題的統(tǒng)計(jì)思維，熟悉中心極限定理和正態(tài)分布相關(guān)理論很有必要.參考文獻(xiàn)：

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程第二版[M].北京：高等教育出版社，2011.[2]黎玉芳.中心極限定理的教學(xué)方法探討[J].科技教育創(chuàng)新，2010（24）：220-221.[3]孫碑.中心極限定理及其在若干實(shí)際問題中的應(yīng)用[J].論談教學(xué)，2012（6）：65-67.

第二篇：中心極限定理證明

中心極限定理證明

一、例子

高爾頓釘板試驗(yàn).圖中每一個黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.如果定義:當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨(dú)立的,且

那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當(dāng)越來越大時接近程度越好.由于時,.因此,顯然應(yīng)考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個證明了二項(xiàng)分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.二、中心極限定理

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,假設(shè)存在,若對于任意的,成立

稱服從中心極限定理.設(shè)服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.解:服從中心極限定理,則表明

其中.由于,因此

故服從中心極限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則

用頻率估計(jì)概率時的誤差估計(jì).由德莫佛—拉普拉斯極限定理,由此即得

第一類問題是已知,求,這只需查表即可.第二類問題是已知,要使不小于某定值,應(yīng)至少做多少次試驗(yàn)?這時利用求出最小的.第三類問題是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計(jì):.拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點(diǎn)的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?

解:由例4中的第二類問題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得.由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準(zhǔn)確得多.已知在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項(xiàng)分布:的隨機(jī)變量.求.解:

因?yàn)楹艽?于是

所以

利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,就可以求出的值.某單位內(nèi)部有260架電話分機(jī),每個分機(jī)有0.04的時間要用外線通話,可以認(rèn)為各個電話分機(jī)用不用外線是是相互獨(dú)立的,問總機(jī)要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個分機(jī)在使用外線時不必等候.解:以表示第個分機(jī)用不用外線,若使用,則令;否則令.則.如果260架電話分機(jī)同時要求使用外線的分機(jī)數(shù)為,顯然有.由題意得,查表得，故取.于是

取最接近的整數(shù),所以總機(jī)至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個分機(jī)在使用外線時不必等候.根據(jù)孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.解:將觀察一株雜交種的果實(shí)顏色看作是一次試驗(yàn),并假定各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有

其中,即有

四、林德貝格-勒維中心極限定理

若是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,假設(shè),則有

證明:設(shè)的特征函數(shù)為,則的特征函數(shù)為

又因?yàn)?所以

于是特征函數(shù)的展開式

從而對任意固定的,有

而是分布的特征函數(shù).因此,成立.在數(shù)值計(jì)算時,數(shù)用一定位的小數(shù)來近似,誤差.設(shè)是用四舍五入法得到的小數(shù)點(diǎn)后五位的數(shù),這時相應(yīng)的誤差可以看作是上的均勻分布.設(shè)有個數(shù),它們的近似數(shù)分別是,.,.令

用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有

設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,其中,證明:的分布函數(shù)弱收斂于.證明:為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,所以仍是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,易知有

由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分布函數(shù)弱收斂于,結(jié)論得證.作業(yè):

p222EX32,33,34,3

5五、林德貝爾格條件

設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又

令,對于標(biāo)準(zhǔn)化了的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布

當(dāng)時,是否會收斂于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.這時就是的分布函數(shù).如果不是正態(tài)分布,那么取極限后,分布的極限也就不會是正態(tài)分布了.因而,為了使得成立,還應(yīng)該對隨機(jī)變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一項(xiàng)是起突出作用.由此認(rèn)為,在一般情形下,要使得收斂于分布,在的所有加項(xiàng)中不應(yīng)該有這種起突出作用的加項(xiàng).因?yàn)榭紤]加項(xiàng)個數(shù)的情況,也就意味著它們都要“均勻地斜.設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又，這時

(1)若是連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為,如果對任意的,有

(2)若是離散型隨機(jī)變量,的分布列為

如果對于任意的,有

則稱滿足林德貝爾格條件.以連續(xù)型情形為例,驗(yàn)證:林德貝爾格條件保證每個加項(xiàng)是“均勻地斜.證明:令,則

于是

從而對任意的,若林德貝爾格條件成立,就有

這個關(guān)系式表明,的每一個加項(xiàng)中最大的項(xiàng)大于的概率要小于零,這就意味著所有加項(xiàng)是“均勻地斜.六、費(fèi)勒條件

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又，稱條件為費(fèi)勒條件.林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費(fèi)勒指出若費(fèi)勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.七、林德貝爾格-費(fèi)勒中心極限定理

引理1對及任意的,證明:記,設(shè),由于

因此，其次,對,用歸納法即得.由于,因此,對也成立.引理2對于任意滿足及的復(fù)數(shù),有

證明:顯然

因此,由歸納法可證結(jié)論成立.引理3若是特征函數(shù),則也是特征函數(shù),特別地

證明定義隨機(jī)變量

其中相互獨(dú)立,均有特征函數(shù),服從參數(shù)的普哇松分布,且與諸獨(dú)立,不難驗(yàn)證的特征函數(shù)為,由特征函數(shù)的性質(zhì)即知成立.林德貝爾格-費(fèi)勒定理

定理設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又.令,則

(1)

與費(fèi)勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.證明:(1)準(zhǔn)備部分

記

(2)

顯然(3)

(4)

以及分別表示的特征函數(shù)與分布函數(shù),表示的分布函數(shù),那么(5)

這時

因此林德貝爾格條件化為:對任意,(6)

現(xiàn)在開始證明定理.設(shè)是任意固定的實(shí)數(shù).為證(1)式必須證明

(7)

先證明,在費(fèi)勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價的:

(8)

事實(shí)上,由(3)知,又因?yàn)?/p>

故對一切,把在原點(diǎn)附近展開,得到

因若費(fèi)勒條件成立,則對任意的,只要充分大,均有

(9)

這時

(10)

對任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因?yàn)榭梢匀我庑?故左邊趨于0,因此,證得(7)與(8)的等價性.(2)充分性

先證由林德貝爾格條件可以推出費(fèi)勒條件.事實(shí)上,(13)

右邊與無關(guān),而且可選得任意小;對選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當(dāng)足夠大時,也可以任意地小,這樣,費(fèi)勒條件成立.其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,當(dāng)時,當(dāng)時,因此

(14)

對任給的,由于的任意性,可選得使,對選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由于已證過費(fèi)勒條件成立,這時(8)與(7)是等價的,因而(7)也成立.(3)必要性

由于(1)成立,因此相應(yīng)的特征函數(shù)應(yīng)滿足(7).但在費(fèi)勒條件成立時,這又推出了(8),因此,(15)

上述被積函數(shù)的實(shí)部非負(fù),故

而且

(16)

因?yàn)閷θ我獾?可找到,使,這時由(15),(16)可得

故林德貝爾格條件成立.八、李雅普諾夫定理

設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又.令,若存在,使有

則對于任意的,有

第三篇：第六章 第三節(jié)中心極限定理

第六章 大數(shù)定律和中心極限定理

第三節(jié) 中心極限定理

在對大量隨機(jī)現(xiàn)象的研究中發(fā)現(xiàn),如果一個量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素所造成,而每一個別因素在總影響中所起的作用較小,那么這種量通常都服從或近似服從正態(tài)分布.例如測量誤差、炮彈的彈著點(diǎn)、人體體重等都服從正態(tài)分布,這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景.設(shè)隨機(jī)變量X,X,???,X,???獨(dú)立

12n同分布,且Xi~N(?,?)，2(i?1,2,???)

記Y??X,(EY?n?,DY?n?)，2nni?1inn 1 Y?EYY?n?? Y?稱為Y的標(biāo)準(zhǔn)DYn?*nnnnnn化, 則有Y~N(0,1)

FY*(x)?P{Yn*?x}??(x)

n*n對任意實(shí)數(shù)x,有

Y?n??x}

limP{n?nn???P{Yn ?limn?????(x)??x??*?x}?limF(x)

n???Yn*1edt.2?t2?2一般地，有下述結(jié)果。定理三(同分布的中心極限定理)設(shè)隨機(jī)變量X,X,???,X,???獨(dú)立同分布,且存在有限的數(shù)學(xué)期望和方差

EX??,DX???0，12n2ii(i?1,2,???)

記Y??X,(EY?n?,DY?n?)，2nni?1innY?EYY?n?? Y?稱為Y的標(biāo)DYn?*nnnnnn 2 準(zhǔn)化, FYn*(x)?P{Y?x}

n*則對任意實(shí)數(shù)x,有

Y?n??x}

limP{n?nn???P{Yn ?limn?????(x)??x*?x}?limF(x)

n???Yn*??1edt.2?t2?2

定理表明,當(dāng)n充分大時,隨機(jī)變量?X?n?i?1inn?近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正

ni?1i態(tài)分布N(0,1).因此,?X近似地服從正態(tài)分布N(n?,n?).由此可見,正態(tài)分布在概率論中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace定理)

2設(shè)?n是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次 試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則對任意區(qū)間[a,b],成立 limP{a?n?????npnnp(1?p)?b}

??ba1edt??(b)??(a)2??t22 證明 引人隨機(jī)變量

?1,第i次試驗(yàn)中A發(fā)生 X?? ，?0,第i次試驗(yàn)中A不發(fā)生i則n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)

?n?X?X?????X ，12n12n由于是獨(dú)立試驗(yàn),所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即

P{X?1}?p,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,nii于是

EXii?p, DX?p(1?p)

由定理三,即得

limP{n?????npnnp(1?p)ni?1i?x}

?limP{n????X?npnp(1?p)?x}

??x??1edt??(x), 2??t22于是對任意區(qū)間[a,b],有

limP{a?np(1?p)?b}

nn?????npt22??ba1edt??(b)??(a).2??

近似計(jì)算公式:

??npN?npM?np，N???M???np(1?p)np(1?p)np(1?p)nnP{N???M}nn

??npN?npM?np?P{??}np(1?p)np(1?p)np(1?p)M?npN?np??()??().np(1?p)np(1?p)例1 某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有120個終端,每個終端有5%的時間在使用,若各終端使用與否是相互獨(dú)立的,試求有10個以上的終端在使用的概率.解 以X表示使用終端的個數(shù), 引人隨機(jī)變量 ?1,第i個終端在使用 X?? ，?0,第i個終端不使用i i?1,2,???,120 , 則

X?X?X?????X ，121202120由于使用與否是獨(dú)立的,所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即 P{X?1}?p?0.05,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,120 1ii于是,所求概率為

P{X?10}?1?P{X?10}

X?np10?np?1?P{?}，np(1?p)np(1?p)由中心極限定理得

P{X?10}?1?P{X?10}

X?np10?np?1?P{?}

np(1?p)np(1?p)10?np)

?1??(np(1?p)10?120?0.05?1??()

120?0.05?0.95?1??(1.68)?1?0.9535?0.0465.例2 現(xiàn)有一大批種子,其中良種占1.現(xiàn)從中任選6000粒,試問在這些61種子中,良種所占的比例與之誤差

6小于1%的概率是多少？ 解 設(shè)X表示良種個數(shù), 則

1X~B(n,p),n?6000,p? , 所求概率為 X1P{|?|?0.01}?P{|X?np|?n?0.01}n6

X?npn?0.01?P{||?}

np(1?p)np(1?p)X?np6000?0.01?P{||?}

15np(1?p)6000??66??(2.078)??(?2.078)

?2?(2.078)?1?2?0.98?1?0.96.例3 設(shè)有30個電子器件D,D,???,D,它們的使用情況如下: 1230D損壞,D接著使用;D損壞,D接1223著使用等等.設(shè)器件D的使用壽命服從參數(shù)??0.1(單位:h)的指數(shù)分布.令T

為30個器件使用的總時數(shù),問T超過350h的概率是多少？

i?1 8 解 設(shè)Xi為 器件D的使用

i壽命,Xi 服從參數(shù)??0.1(單位:h)

?1的指數(shù)分布, X,X,???,X相互獨(dú)1230立, T?X1?X2?????Xnn?30, ??EX?11i??0.1?10 , ?2?DXi?1?2?10.12?100, 由中心極限定理得

P{T?350}?1?P{T?350}

?1?P{T?n?n??350?n?n?} ?1??(350?30030?10)?1??(530)?1??(0.91)?1?0.8186

?0.1814.，例4 某單位設(shè)置一電話總機(jī),共有200架電話分機(jī).設(shè)每個電話分機(jī)有5%的時間要使用外線通話,假定每個電話分機(jī)是否使用外線通話是相互獨(dú)立的,問總機(jī)需要安裝多少條外線才能以90%的概率保證每個分機(jī)都能即時使用.解 依題意

設(shè)X為同時使用的電話分機(jī)個數(shù), 則X~B(n,p),n?200,p?0.05, 設(shè)安裝了N條外線, 引人隨機(jī)變量

?1,第i個分機(jī)在使用 X?? ，?0,第i個分機(jī)不使用i i?1,2,???,200 , 則

X?X?X?????X ，122002200由于使用與否是獨(dú)立的,所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即 1 10 P{X?1}?p?0.05,iP{X?0}?1?p,i?1,2,???,200, i {X?N}?保證每個分機(jī)都能即時使用, P{X?N}?0.9 , 0.9?P{X?N}

X?npN?np?} ?P{np(1?p)np(1?p)N?np)

??(np(1?p)N?200?0.05??()

200?0.05?0.95N?10N?10??()??()，3.089.5查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

N?10?z?1.28, 3.080.9N?1.28?3.08?10?13.94, 取 N?14, 答: 需要安裝14條外線.例5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

?x?e,x?0 f(x)??m!，??0,x?0其中m為正整數(shù)，證明

m?xmP{0?X?2(m?1)}?.m?1 證明

xEX??xf(x)dx??x?edx

m!1xedx ??m!m?????x??0??m?2?1?x011 ??(m?2)?(m?1)!?m?1, m!m!

xEX??xf(x)dx??x?edxm!m2??2??2?x??0

1x ??m!??0m?3?1edx

?x

11??(m?3)?(m?2)!?(m?2)(m?1), m!m!

DX?EX?(EX)

222

?(m?2)(m?1)?(m?1)

?m?1 , 利用車貝謝不等式,得 P{0?X?2(m?1)}

?P{?(m?1)?X?(m?1)?(m?1)} ?P{|X?(m?1)|?(m?1)} ?P{|X?EX|?(m?1)}

DXm?1?1??1?

(m?1)(m?1)m ?.m?122 13

第四篇：中心極限定理和概率統(tǒng)計(jì)

若{Xn}的分布函數(shù)序列{Fn(x)}與X的分布函數(shù)F(x)有，在任意連續(xù)點(diǎn)x，limFn(x)?F(x)。n??

依概率收斂

n??若???0，有P(Xn?X??)????0。準(zhǔn)確的表述是，???0，???0，?N,n?N，有P(Xn?X??)??成立

（3）幾乎必然收斂

如果有P(limXn?X)?1。準(zhǔn)確的表述是，除掉一個0概率集A，對所有的???A，n??

有l(wèi)imXn(?)?X(?)成立。這是概率空間上的點(diǎn)收斂。n??

定理1。（切貝雪夫大數(shù)律）{Xn}相互獨(dú)立，且有相同的期望和方差，（不一定同分布）

1nPE(Xn)?uD(Xn)??，?n,記Yn??Xi，則Yn???u。ni?1

2統(tǒng)計(jì)發(fā)生——事物某方面的定量記錄事前是不確定的，發(fā)生后的數(shù)據(jù)由真值和誤差兩部分構(gòu)成，X????。X是數(shù)據(jù)，?是真值，?是誤差。導(dǎo)致誤差的原因有：

1． 系統(tǒng)性誤差：偏離真值的本質(zhì)性錯誤，有內(nèi)在原因所致；

2． 隨機(jī)性誤差：偏離真值的偶然性錯誤，沒有內(nèi)在原因，是純偶然因素所致。

總體就是一個特定的隨機(jī)變量

通過抽樣，獲得樣本，構(gòu)造樣本統(tǒng)計(jì)量，由此推斷總體中某些未知的信息

從總體中抽樣是自由的，且當(dāng)總體數(shù)量足夠大，有放回與無放回抽樣區(qū)別不大，有理由認(rèn)為，取得的抽樣觀察值是沒有關(guān)系的。所以，樣本在未抽取前它們是與總體X同分布的隨機(jī)變量，且是相互獨(dú)立的，稱此為隨機(jī)樣本。

定義2。設(shè)x1,?,xn是取自總體X的一組樣本值，g(x1,?,xn)是Borel 可測函數(shù)，則稱隨機(jī)變量g(X1,?,Xn)是一個樣本統(tǒng)計(jì)量。

如果總體X中分布函數(shù)有某些參數(shù)信息是未知的，我們用統(tǒng)計(jì)量g(X1,?,Xn)去推斷這些信息，稱此問題為統(tǒng)計(jì)推斷問題。

給樣本值x?(x1,?,xN)?,y?(y1,?,yN)?，定義：（1）樣本均值

??(xi/n)

i?

1n

（2）樣本方差

1n

?x)????var((xi?)2 ?n?1i?1

??樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s.e.e??)

x)i(y)

1n

（3）樣本協(xié)方差c?ov(x,y)???(1x

n?1i?1

樣本相關(guān)系數(shù)

?xy?

?(x,y)cov

1/2

?(x)var?(y)][var

1nk

（4）樣本k階矩 Ak??xi k?1,2,?

ni?11n

（5）樣本k階中心矩 Bk??(xi?)k

ni?1

?

k?1,2,?

X的左側(cè)分位點(diǎn)F?，P(X?F?)??dF(x)??。左?分位點(diǎn)的概率含義是，隨機(jī)變量

F?

不超過該點(diǎn)的概率等于?

設(shè)總體X分布已知，但其中有一個或多個參數(shù)未知，抽樣X1,?,Xn，希望通過樣本來估計(jì)總體中的未知參數(shù)，稱此為參數(shù)估計(jì)問題，它是統(tǒng)計(jì)推斷理論中最重要的基礎(chǔ)部分。

用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量，以及用樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計(jì)量，這種方法稱為矩估計(jì)法，這是一種最自然的估計(jì)方法。

?(x,?,x))??對任意???成立。當(dāng)樣本是稱??是參數(shù)?的一個無偏估計(jì)，如果E(?1n

有限的時候，我們首先要考慮的是無偏性。

n1n22

??S??(Xi?)2才是方差?的無偏估計(jì)。故我們在樣本統(tǒng)計(jì)量中定義?n?1n?1i?1

S2為樣本方差。

??是參數(shù)?的一個一致估計(jì)，如果依概率有l(wèi)im??(x1,?,xn)??對任意???成立。

n??

有效性

在所有關(guān)于參數(shù)?的無偏估計(jì)類中?0，或所有的一致估計(jì)類?1中，如果存在?*是參數(shù)?的一個無偏有效估計(jì)或一?*)?D(??)對任意????或任意????成立，稱?D(?01

?具有最小方差性。致漸近有效估計(jì)。即?

*

。無論總體X分布是什么，任意樣本Xi和都是X的無偏估計(jì)，但?比單獨(dú)的樣本估計(jì)Xi更有效。

DXi，所以n

設(shè)總體X關(guān)于分布F(x,?)存在兩類問題，一類是分布的形式未知，一類是分布的形式已知但參數(shù)未知，提出的問題是，需要對分布的形式作出推斷，此稱為非參數(shù)檢驗(yàn)的問題； 或需要對參數(shù)作出推斷，此稱為參數(shù)檢驗(yàn)問題。

奈克—皮爾遜定理告訴我們，當(dāng)樣本容量n固定，若要減少犯第一類錯誤的概率則犯第二類錯誤的概率會增加，要使兩類錯誤都減少當(dāng)且僅當(dāng)增加樣本容量。

超過了我們設(shè)定的F?，（如，體溫超過37度。）此意味一個小概率事件發(fā)生了。于是，我們有理由拒絕命題H0是真的。

X~N(u1,?12)，Y~N(u2,?2)，且相互獨(dú)立，取樣有(x1?xn1),(y1?yn2)。

欲檢驗(yàn)H0:u1?u2，或更一般，H0:u1?u2?u（u已知）。如何檢驗(yàn)？

2（1）若?12、?2已知

因?yàn)閪N(u1,?1

2n

1)，~N(u2,2?2

n2)，且相互獨(dú)立，所以?~N(u1?u2,?12?2

n1

?

n2)，~N(0,1)，所以可找到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U?。

（2）若?12??2??2，但?未知，欲檢驗(yàn)H0:u1?u2?0，因?yàn)閂?

?

222

[(n?1)S?(n?1)S]~?(n1?n2?2)，11222

且與

U?

~N(0,1)獨(dú)立，n1?1n2?12

~t(n1?n2?2)，令S2?，S12?S2

n1?n2?2n1?n2?2可得

V?2S2，所以可找到統(tǒng)計(jì)量

n1?n2?2?

T?

?

~t(n1?n2?2)。

注：如果u未知，問題就變困難了，可以證明此時統(tǒng)計(jì)量T就是一個非中心的t分布。

（3）又如何知道?12??2??2？

?12(n?1)(n?1)2可做假設(shè)檢驗(yàn)H0:2?1。因?yàn)?2S12~?2(n1?1)，22S2 ~?2(n2?1)且獨(dú)立。

?1?2?2

S12

所以，可找到統(tǒng)計(jì)量F?2~F(n1?1,n2?1)。

S2

（4）若?12??2，且未知。問題就變困難多了，我們找不到合適的統(tǒng)計(jì)量。如果樣本容量

足夠大，那么，可以用漸近檢驗(yàn)的辦法處理。注意，U?

中，因?yàn)?12，?2未

知，但已知S12,S2是?12，?2的一致估計(jì)，故用它們代替，有：

n1,n2??

limU?

~N(0,1)。

從而當(dāng)n1,n2充分大時可用漸近正態(tài)檢驗(yàn)。

又當(dāng)n1?n2?n較小時，可以證明，~t(n)，注意，此與T?

?

~t(n1?n2?2)

自由度不同。此意味當(dāng)期望、方差相同時，樣本可以合并，認(rèn)為X,Y屬于同一總體。當(dāng)期望相同，方差不同時，樣本不能簡單合并。

注：關(guān)于H0:u1?u2?u，或H0:u1?u2?u，統(tǒng)計(jì)量相同，并采用單側(cè)的右分位點(diǎn)或單側(cè)的左分位點(diǎn)檢驗(yàn)。

?是無偏線性估計(jì)類中的有效估計(jì)。OLS?

? ?的極大似然估計(jì)在基本模型假定下就是OLS?

估計(jì)做出后，評價、判斷模型中的假定是否合理是對事前設(shè)定的模型做一個整體的把握。我們可以把這些假定、設(shè)定歸結(jié)為一些對未知參數(shù)的判斷，如果這些判斷基本正確或錯誤，那么從整體數(shù)據(jù)中就能夠反映出來。假設(shè)檢驗(yàn)是估計(jì)完成后對模型的設(shè)定做進(jìn)一步的確認(rèn)。它以證否的形式完成。拒絕原假設(shè)，意味著命題真時犯錯誤的可能性可控制在一定的概率范圍內(nèi)。

第五篇：淺談中心極限定理及其應(yīng)用 論文

淺談中心極限定理及其應(yīng)用

李月20091103558

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)09信息一班

指導(dǎo)老師韓文忠

摘要：概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個因素所產(chǎn)生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象。本文主要敘述中心極限定理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用。關(guān)鍵字：中心極限定理 隨機(jī)變量 正態(tài)分布

1.定理一（獨(dú)立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)

立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，E(Xk)??，n

D(Xk)=?

>0(k=1,2,3?),則隨機(jī)變量之和?Xk的標(biāo)準(zhǔn)化變量

k?1

n

n

n

X

k

?E(?Xk)

k?1n

?

=

k?1

X

K

?n?

Yn=?

k?1

D(?Xk)

k?1

n?的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x滿足

n

?x

limFn(x)=limFn(x)=limP{

n??

k

?n?

?x

k?1

n?

}=?

x

12?

??

?t

dt= ?(x).這就是說，均值為?，方差為?2?0 的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量

n

X1,X2,…,Xn之和?Xk的標(biāo)準(zhǔn)化變量，當(dāng)n充分大時，有

k?1

n

?

k?1

X

n

?n?

n?

～N(0,1)

1．1：一加法器同時接收20個噪聲電壓Vk（k=1,2,3?，20),設(shè)它們是相互獨(dú)

立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間（0,10）上服從均勻分布，記V?

P{V?105}的近似值。

?V，求

k

k?1

解：易知E(Vk)?5,D(Vk)?100/12（k=1,2,3?，20)，由定理一，隨機(jī)

變量Z?

?V

K?1

k

=

V?20?5?

近似服從正態(tài)分布N(0,1),于是

P{V?105}?P{?

V?20?520

105?20?520

V?20?520

?0.387}

?1?P{

V?20?520

?0.387}

?1?

?

0.387

12?

??

?t

dt?1??(0.387)?0.384.即有P{V?105}?0.34

2．（李雅譜諾夫（Lyapunov）定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差

?0,k?1,2?,E(Xk)??,D(XK)??K

nn

記??k?

k?1

??.k

k?1

若存在正數(shù)?，使得當(dāng)n??時，n

1B

2??n

n

?

k?1

E{Xk??k

2??

}?0,則隨機(jī)變量之和?Xk的標(biāo)準(zhǔn)化變量

k?1

nnnn

?

Zn?

k?1

X

k

?E(?Xk)

k?1n

?

?

k?1

X

k

?Bn

?

k?1

X

k

D(?Xk)

k?1

n

n

?的分布函數(shù)limFn(x)?limP{

n??

n??

k?1

X

k

?Bn

??

k?1

k

?x}

?

?

x

12?

?t

dt= ?(x).??

此定理表明，在定理的條件下，隨機(jī)變量

n

n

k

?X

Zn?

k?1

?Bn

?X

k?1

k

當(dāng)n很大時，近似的服從正態(tài)分布

n

n

N(0,1),由此，當(dāng)n很大，n

?

k?1

X

k

?BnZn?

??

k?1

k

近似的服從正態(tài)分布

N(??k,Bn)

k?1

.這就是說，無論各個隨機(jī)變量

n

Xk(k?1,2?)

服從什么分布，只要滿足定理的條件，那么它們的和k?1

?

X

k

當(dāng)n很大時就近似地服從正態(tài)

分布，在很多問題中所考慮的隨機(jī)變量可以表示成很多個獨(dú)立的隨機(jī)變量之和。請看下面的例子。

2.1：設(shè)有一條河流經(jīng)某城市，河上有一座橋，該橋的強(qiáng)度服從正態(tài)分布

N(300,40)(強(qiáng)度的單位是t（噸)）。有很多車要經(jīng)過此橋，如果各車的平

均重量是5t，方差是2t2。問：為保證此橋不出問題的概率（安全度）不小于0.99997.最多允許在橋上同時出現(xiàn)多少車輛？

解：用Y表示該橋的強(qiáng)度，若有M輛車在橋上，第i輛車的重量Xi

M

（i?1,2?M),則M輛車的總重量SM?

?

i?1

Xi，我們可以認(rèn)為

Y,X1,X2?XM是相互獨(dú)立的，E(Xi)?5,var(Xi)?2，該橋不出現(xiàn)問

題的概率為

R?P(M輛車的總重量不超過橋的強(qiáng)度）。

顯然R?P(SM?Y)?R?P(SM?Y?0),我們要找滿足不等式

R?0.99997的最大的M,不難想到，這個M,由于

SM)

E(SM

=，M?1,var(=

M?1

（這里

?1?E(Xi)?5

?1?var(Xi)?2,i?1,2?M),由定理可知SM近似的服從

N(M?1,M?1)

.又N

(300,40),可知SM?Y

近似服從

N(M?1?300,M?12?40),于是

R??[

0?(M?1?300)

M?

]

?40

由于?(4)=0.99997，故為了R?0.99997，必須且只需

令x?

0?(M?1?300)

M?

2M?40

?4

?40

(x?40)，上述不等式化為，則M?

x?4x?400?0

((11.87)?400))

由此知x?11.87，從而M?=50.就是說，最多允許50輛車

同時在橋上。

下面介紹另一個中心極限定理，它是定理一的特殊情況。

3．(棣莫弗-拉普拉斯（De Moirve-Laplace）定理)設(shè)隨機(jī)變量（n?1,2,?)服從參數(shù)為n,p(0?p?1)的二項(xiàng)分布，則對于任意x，有l(wèi)imP{

n??

?npnp(1?p)

?x}=?

x

12?

?t

dt=?(x)。

??

這個定理表明，二項(xiàng)分布的極限分布式正態(tài)分布

n

?Xk～N(np,npq)當(dāng)n充分大時，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概

k?1

率計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。

3.1 ：對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機(jī)變量，設(shè)一個學(xué)

生無家長，1名家長，2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15，若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長人數(shù)相互獨(dú)立且服從同一分布。(1)求參加會議的家長人數(shù)x超過450的概率：

(2)求有1名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率。

解（1）以Xk(k?1,2?,400)記第k個學(xué)生來參加會議的家長人數(shù)，則Xk的分布率為

400

易知E(Xk)?1.1，D(Xk)?0.19，k?1,2?400.而X?隨機(jī)變量

400

?X。由定理一

k

k?1

?X

k?1

k

?400?1.1

0.19

?

X?400?1.1400

0.19

400

近似服從正態(tài)分布N(0,1),于是

P{X?450

}=P{

X?400?1.1400

0.19

?

450?400?1.1400

0.19

=1-P{

X?400?1.1400

0.19

?1.147}

?1??(1.147)?0.1251’

(3)以Y記有一名家長參加會議的學(xué)生人數(shù)，則Y～b(400,0.8)，由定理三

P{Y?340}

=P{

Y?400?0.8400?0.8?0.2Y?400?0.8400?0.8?0.2

?

340?400?0.8400?0.8?0.2

}

=P{?2.5}??(2.5)=0.9938

小結(jié) 中心極限定理表明，在相當(dāng)一般的條件下，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個數(shù)不斷增加時，其和態(tài)分布趨于正態(tài)分布，這一事實(shí)闡明了正態(tài)分布的重要性，也揭示了為什么在實(shí)際應(yīng)用中會經(jīng)常用到正態(tài)分布，也就揭示了產(chǎn)生正態(tài)分布變量的源泉，另一方面，它提供了獨(dú)立同分布變量隨機(jī)變量之和?Xk（其中Xk的方

k?1

n

差存在的近似分布，只要和式中加項(xiàng)的個數(shù)充分大，就可以不必考慮和式中的隨機(jī)變量服從什么分布。都可以用正態(tài)分布來近似，這在應(yīng)用上是有效和重要的。

參考文獻(xiàn)

[1] 盛驟概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社，2006 [2] 陳家鼎 鄭中國概率與統(tǒng)計(jì) 高等教育出版社 2004