第一篇：第六章 第三節(jié)中心極限定理

第六章 大數(shù)定律和中心極限定理

第三節(jié) 中心極限定理

在對大量隨機(jī)現(xiàn)象的研究中發(fā)現(xiàn),如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素所造成,而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用較小,那么這種量通常都服從或近似服從正態(tài)分布.例如測量誤差、炮彈的彈著點(diǎn)、人體體重等都服從正態(tài)分布,這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景.設(shè)隨機(jī)變量X,X,???,X,???獨(dú)立

12n同分布,且Xi~N(?,?)，2(i?1,2,???)

記Y??X,(EY?n?,DY?n?)，2nni?1inn 1 Y?EYY?n?? Y?稱為Y的標(biāo)準(zhǔn)DYn?*nnnnnn化, 則有Y~N(0,1)

FY*(x)?P{Yn*?x}??(x)

n*n對任意實(shí)數(shù)x,有

Y?n??x}

limP{n?nn???P{Yn ?limn?????(x)??x??*?x}?limF(x)

n???Yn*1edt.2?t2?2一般地，有下述結(jié)果。定理三(同分布的中心極限定理)設(shè)隨機(jī)變量X,X,???,X,???獨(dú)立同分布,且存在有限的數(shù)學(xué)期望和方差

EX??,DX???0，12n2ii(i?1,2,???)

記Y??X,(EY?n?,DY?n?)，2nni?1innY?EYY?n?? Y?稱為Y的標(biāo)DYn?*nnnnnn 2 準(zhǔn)化, FYn*(x)?P{Y?x}

n*則對任意實(shí)數(shù)x,有

Y?n??x}

limP{n?nn???P{Yn ?limn?????(x)??x*?x}?limF(x)

n???Yn*??1edt.2?t2?2

定理表明,當(dāng)n充分大時(shí),隨機(jī)變量?X?n?i?1inn?近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正

ni?1i態(tài)分布N(0,1).因此,?X近似地服從正態(tài)分布N(n?,n?).由此可見,正態(tài)分布在概率論中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace定理)

2設(shè)?n是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次 試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則對任意區(qū)間[a,b],成立 limP{a?n?????npnnp(1?p)?b}

??ba1edt??(b)??(a)2??t22 證明 引人隨機(jī)變量

?1,第i次試驗(yàn)中A發(fā)生 X?? ，?0,第i次試驗(yàn)中A不發(fā)生i則n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)

?n?X?X?????X ，12n12n由于是獨(dú)立試驗(yàn),所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即

P{X?1}?p,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,nii于是

EXii?p, DX?p(1?p)

由定理三,即得

limP{n?????npnnp(1?p)ni?1i?x}

?limP{n????X?npnp(1?p)?x}

??x??1edt??(x), 2??t22于是對任意區(qū)間[a,b],有

limP{a?np(1?p)?b}

nn?????npt22??ba1edt??(b)??(a).2??

近似計(jì)算公式:

??npN?npM?np，N???M???np(1?p)np(1?p)np(1?p)nnP{N???M}nn

??npN?npM?np?P{??}np(1?p)np(1?p)np(1?p)M?npN?np??()??().np(1?p)np(1?p)例1 某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端,每個(gè)終端有5%的時(shí)間在使用,若各終端使用與否是相互獨(dú)立的,試求有10個(gè)以上的終端在使用的概率.解 以X表示使用終端的個(gè)數(shù), 引人隨機(jī)變量 ?1,第i個(gè)終端在使用 X?? ，?0,第i個(gè)終端不使用i i?1,2,???,120 , 則

X?X?X?????X ，121202120由于使用與否是獨(dú)立的,所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即 P{X?1}?p?0.05,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,120 1ii于是,所求概率為

P{X?10}?1?P{X?10}

X?np10?np?1?P{?}，np(1?p)np(1?p)由中心極限定理得

P{X?10}?1?P{X?10}

X?np10?np?1?P{?}

np(1?p)np(1?p)10?np)

?1??(np(1?p)10?120?0.05?1??()

120?0.05?0.95?1??(1.68)?1?0.9535?0.0465.例2 現(xiàn)有一大批種子,其中良種占1.現(xiàn)從中任選6000粒,試問在這些61種子中,良種所占的比例與之誤差

6小于1%的概率是多少？ 解 設(shè)X表示良種個(gè)數(shù), 則

1X~B(n,p),n?6000,p? , 所求概率為 X1P{|?|?0.01}?P{|X?np|?n?0.01}n6

X?npn?0.01?P{||?}

np(1?p)np(1?p)X?np6000?0.01?P{||?}

15np(1?p)6000??66??(2.078)??(?2.078)

?2?(2.078)?1?2?0.98?1?0.96.例3 設(shè)有30個(gè)電子器件D,D,???,D,它們的使用情況如下: 1230D損壞,D接著使用;D損壞,D接1223著使用等等.設(shè)器件D的使用壽命服從參數(shù)??0.1(單位:h)的指數(shù)分布.令T

為30個(gè)器件使用的總時(shí)數(shù),問T超過350h的概率是多少？

i?1 8 解 設(shè)Xi為 器件D的使用

i壽命,Xi 服從參數(shù)??0.1(單位:h)

?1的指數(shù)分布, X,X,???,X相互獨(dú)1230立, T?X1?X2?????Xnn?30, ??EX?11i??0.1?10 , ?2?DXi?1?2?10.12?100, 由中心極限定理得

P{T?350}?1?P{T?350}

?1?P{T?n?n??350?n?n?} ?1??(350?30030?10)?1??(530)?1??(0.91)?1?0.8186

?0.1814.，例4 某單位設(shè)置一電話總機(jī),共有200架電話分機(jī).設(shè)每個(gè)電話分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話,假定每個(gè)電話分機(jī)是否使用外線通話是相互獨(dú)立的,問總機(jī)需要安裝多少條外線才能以90%的概率保證每個(gè)分機(jī)都能即時(shí)使用.解 依題意

設(shè)X為同時(shí)使用的電話分機(jī)個(gè)數(shù), 則X~B(n,p),n?200,p?0.05, 設(shè)安裝了N條外線, 引人隨機(jī)變量

?1,第i個(gè)分機(jī)在使用 X?? ，?0,第i個(gè)分機(jī)不使用i i?1,2,???,200 , 則

X?X?X?????X ，122002200由于使用與否是獨(dú)立的,所以X,X,???,X相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即 1 10 P{X?1}?p?0.05,iP{X?0}?1?p,i?1,2,???,200, i {X?N}?保證每個(gè)分機(jī)都能即時(shí)使用, P{X?N}?0.9 , 0.9?P{X?N}

X?npN?np?} ?P{np(1?p)np(1?p)N?np)

??(np(1?p)N?200?0.05??()

200?0.05?0.95N?10N?10??()??()，3.089.5查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

N?10?z?1.28, 3.080.9N?1.28?3.08?10?13.94, 取 N?14, 答: 需要安裝14條外線.例5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

?x?e,x?0 f(x)??m!，??0,x?0其中m為正整數(shù)，證明

m?xmP{0?X?2(m?1)}?.m?1 證明

xEX??xf(x)dx??x?edx

m!1xedx ??m!m?????x??0??m?2?1?x011 ??(m?2)?(m?1)!?m?1, m!m!

xEX??xf(x)dx??x?edxm!m2??2??2?x??0

1x ??m!??0m?3?1edx

?x

11??(m?3)?(m?2)!?(m?2)(m?1), m!m!

DX?EX?(EX)

222

?(m?2)(m?1)?(m?1)

?m?1 , 利用車貝謝不等式,得 P{0?X?2(m?1)}

?P{?(m?1)?X?(m?1)?(m?1)} ?P{|X?(m?1)|?(m?1)} ?P{|X?EX|?(m?1)}

DXm?1?1??1?

(m?1)(m?1)m ?.m?122 13

第二篇：中心極限定理證明

中心極限定理證明

一、例子

高爾頓釘板試驗(yàn).圖中每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個(gè)釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.如果定義:當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨(dú)立的,且

那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當(dāng)越來越大時(shí)接近程度越好.由于時(shí),.因此,顯然應(yīng)考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個(gè)證明了二項(xiàng)分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.二、中心極限定理

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,假設(shè)存在,若對于任意的,成立

稱服從中心極限定理.設(shè)服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.解:服從中心極限定理,則表明

其中.由于,因此

故服從中心極限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則

用頻率估計(jì)概率時(shí)的誤差估計(jì).由德莫佛—拉普拉斯極限定理,由此即得

第一類問題是已知,求,這只需查表即可.第二類問題是已知,要使不小于某定值,應(yīng)至少做多少次試驗(yàn)?這時(shí)利用求出最小的.第三類問題是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計(jì):.拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點(diǎn)的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?

解:由例4中的第二類問題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得.由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準(zhǔn)確得多.已知在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項(xiàng)分布:的隨機(jī)變量.求.解:

因?yàn)楹艽?于是

所以

利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,就可以求出的值.某單位內(nèi)部有260架電話分機(jī),每個(gè)分機(jī)有0.04的時(shí)間要用外線通話,可以認(rèn)為各個(gè)電話分機(jī)用不用外線是是相互獨(dú)立的,問總機(jī)要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.解:以表示第個(gè)分機(jī)用不用外線,若使用,則令;否則令.則.如果260架電話分機(jī)同時(shí)要求使用外線的分機(jī)數(shù)為,顯然有.由題意得,查表得，故取.于是

取最接近的整數(shù),所以總機(jī)至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.根據(jù)孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.解:將觀察一株雜交種的果實(shí)顏色看作是一次試驗(yàn),并假定各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有

其中,即有

四、林德貝格-勒維中心極限定理

若是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,假設(shè),則有

證明:設(shè)的特征函數(shù)為,則的特征函數(shù)為

又因?yàn)?所以

于是特征函數(shù)的展開式

從而對任意固定的,有

而是分布的特征函數(shù).因此,成立.在數(shù)值計(jì)算時(shí),數(shù)用一定位的小數(shù)來近似,誤差.設(shè)是用四舍五入法得到的小數(shù)點(diǎn)后五位的數(shù),這時(shí)相應(yīng)的誤差可以看作是上的均勻分布.設(shè)有個(gè)數(shù),它們的近似數(shù)分別是,.,.令

用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有

設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,其中,證明:的分布函數(shù)弱收斂于.證明:為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,所以仍是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,易知有

由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分布函數(shù)弱收斂于,結(jié)論得證.作業(yè):

p222EX32,33,34,3

5五、林德貝爾格條件

設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又

令,對于標(biāo)準(zhǔn)化了的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布

當(dāng)時(shí),是否會(huì)收斂于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.這時(shí)就是的分布函數(shù).如果不是正態(tài)分布,那么取極限后,分布的極限也就不會(huì)是正態(tài)分布了.因而,為了使得成立,還應(yīng)該對隨機(jī)變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一項(xiàng)是起突出作用.由此認(rèn)為,在一般情形下,要使得收斂于分布,在的所有加項(xiàng)中不應(yīng)該有這種起突出作用的加項(xiàng).因?yàn)榭紤]加項(xiàng)個(gè)數(shù)的情況,也就意味著它們都要“均勻地斜.設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又，這時(shí)

(1)若是連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為,如果對任意的,有

(2)若是離散型隨機(jī)變量,的分布列為

如果對于任意的,有

則稱滿足林德貝爾格條件.以連續(xù)型情形為例,驗(yàn)證:林德貝爾格條件保證每個(gè)加項(xiàng)是“均勻地斜.證明:令,則

于是

從而對任意的,若林德貝爾格條件成立,就有

這個(gè)關(guān)系式表明,的每一個(gè)加項(xiàng)中最大的項(xiàng)大于的概率要小于零,這就意味著所有加項(xiàng)是“均勻地斜.六、費(fèi)勒條件

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又，稱條件為費(fèi)勒條件.林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費(fèi)勒指出若費(fèi)勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.七、林德貝爾格-費(fèi)勒中心極限定理

引理1對及任意的,證明:記,設(shè),由于

因此，其次,對,用歸納法即得.由于,因此,對也成立.引理2對于任意滿足及的復(fù)數(shù),有

證明:顯然

因此,由歸納法可證結(jié)論成立.引理3若是特征函數(shù),則也是特征函數(shù),特別地

證明定義隨機(jī)變量

其中相互獨(dú)立,均有特征函數(shù),服從參數(shù)的普哇松分布,且與諸獨(dú)立,不難驗(yàn)證的特征函數(shù)為,由特征函數(shù)的性質(zhì)即知成立.林德貝爾格-費(fèi)勒定理

定理設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又.令,則

(1)

與費(fèi)勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.證明:(1)準(zhǔn)備部分

記

(2)

顯然(3)

(4)

以及分別表示的特征函數(shù)與分布函數(shù),表示的分布函數(shù),那么(5)

這時(shí)

因此林德貝爾格條件化為:對任意,(6)

現(xiàn)在開始證明定理.設(shè)是任意固定的實(shí)數(shù).為證(1)式必須證明

(7)

先證明,在費(fèi)勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價(jià)的:

(8)

事實(shí)上,由(3)知,又因?yàn)?/p>

故對一切,把在原點(diǎn)附近展開,得到

因若費(fèi)勒條件成立,則對任意的,只要充分大,均有

(9)

這時(shí)

(10)

對任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因?yàn)榭梢匀我庑?故左邊趨于0,因此,證得(7)與(8)的等價(jià)性.(2)充分性

先證由林德貝爾格條件可以推出費(fèi)勒條件.事實(shí)上,(13)

右邊與無關(guān),而且可選得任意小;對選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當(dāng)足夠大時(shí),也可以任意地小,這樣,費(fèi)勒條件成立.其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因此

(14)

對任給的,由于的任意性,可選得使,對選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由于已證過費(fèi)勒條件成立,這時(shí)(8)與(7)是等價(jià)的,因而(7)也成立.(3)必要性

由于(1)成立,因此相應(yīng)的特征函數(shù)應(yīng)滿足(7).但在費(fèi)勒條件成立時(shí),這又推出了(8),因此,(15)

上述被積函數(shù)的實(shí)部非負(fù),故

而且

(16)

因?yàn)閷θ我獾?可找到,使,這時(shí)由(15),(16)可得

故林德貝爾格條件成立.八、李雅普諾夫定理

設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又.令,若存在,使有

則對于任意的,有

第三篇：中心極限定理的教學(xué)

中心極限定理的教學(xué)

摘 要： 中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中一個(gè)重要的定理，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，因此教學(xué)也有一定的難度.本文首先分析學(xué)生學(xué)習(xí)的主要困惑，其次針對性地理解了中心極限定理的實(shí)質(zhì)，教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了具體事例鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)探索，從而對中心極限定理容易接受，最后用實(shí)例鞏固中心極限定理的應(yīng)用.關(guān)鍵詞： 中心極限定理 正態(tài)分布 自主探索 概率近似

中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中一個(gè)重要的定理，銜接著概率論知識與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).利用中心極限定理，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中許多紛亂復(fù)雜的隨機(jī)變量序列和的分布都可以用正態(tài)分布進(jìn)行近似，而正態(tài)分布有著許多完美的結(jié)論，從而可以獲得實(shí)用且簡單的統(tǒng)計(jì)分析方法和結(jié)論.然而，由于中心極限定理的教學(xué)課時(shí)少而定理本身又較抽象，學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)理解該定理并能夠加以應(yīng)用.為此，不少教師對該內(nèi)容進(jìn)行了探討.本文結(jié)合學(xué)生的基礎(chǔ)和知識結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生的疑惑，以及教學(xué)的需要，提高學(xué)生的應(yīng)用能力，對該定理的教學(xué)方法進(jìn)行探討.一、學(xué)生學(xué)習(xí)中心極限定理的困難

中心極限定理這一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是要求學(xué)生理解中心極限定理，并熟練運(yùn)用該定理進(jìn)行事件概率的近似計(jì)算，然而在講解這一內(nèi)容只有2個(gè)課時(shí)，學(xué)生又不熟悉相應(yīng)的概率基礎(chǔ)，導(dǎo)致無論是數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對該知識點(diǎn)都存在疑惑，主要表現(xiàn)在：不知道中心極限定理是什么意思，具體形式是什么，怎么用.針對這三方面的問題，教師首先應(yīng)該要理解深刻，概括恰當(dāng)，簡明扼要.1.中心極限定理的背景

在實(shí)際問題中，許多隨機(jī)現(xiàn)象都是由大量微小的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響所產(chǎn)生的，比如誤差受到材料、環(huán)境、設(shè)備、操作者等因素的影響，每個(gè)因素都是微小的、隨機(jī)的，但綜合起來就產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)過程中的誤差，即誤差是大量的隨機(jī)因素的總和，我們關(guān)心誤差就是關(guān)心大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的問題.中心極限定理告訴我們，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布.這一點(diǎn)突出了正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要地位，在應(yīng)用中凸顯了正態(tài)分布的許多優(yōu)勢，同時(shí)在總體為非正態(tài)的統(tǒng)計(jì)問題中發(fā)揮著重要的指導(dǎo)作用.在實(shí)際問題中，首先分析隨機(jī)現(xiàn)象，將其可分解成大量的隨機(jī)變量的和，那么無論隨機(jī)變量服從正態(tài)還是非正態(tài)，其和近似看做正態(tài)分布，進(jìn)而求相關(guān)的概率計(jì)算問題.學(xué)生對此不理解，主要是因?yàn)樘橄?、太籠統(tǒng)，在教學(xué)中可讓學(xué)生自主探討，發(fā)現(xiàn)總結(jié).2.中心極限定理的具體形式

中心極限定理探討的是隨機(jī)變量和的極限分布，教材中給出了不同條件下的中心極限定理的多種結(jié)論，其形式復(fù)雜，證明繁瑣，但總結(jié)起來本質(zhì)是一個(gè)形式.棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理是Lindeberg-Levy中心極限定理的特例，兩個(gè)中心極限定理歸根到底是說獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布，可變形為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.3.中心極限定理的應(yīng)用

學(xué)生對中心極限定理內(nèi)容不理解，也導(dǎo)致無法將理論用于實(shí)踐，偶爾的依葫蘆畫瓢并沒有掌握其實(shí)質(zhì).中心極限定理常用作概率近似計(jì)算，需要根據(jù)問題的實(shí)際含義定義多個(gè)隨機(jī)變量并給出分布，然后變?yōu)楠?dú)立隨機(jī)變量和，再利用中心極限定理和正態(tài)分布的查表求概率.只有在教學(xué)中選擇恰當(dāng)?shù)睦}，深入分析，合理總結(jié)，才能取到良好的效果.中心極限定理包含極限理論，因此理論上利用中心極限定理處理極限問題.在經(jīng)濟(jì)問題中，質(zhì)檢問題中也有廣泛的應(yīng)用.教學(xué)中可引申生活實(shí)際等有趣的問題，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)以致用的樂趣.二、中心極限定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

首先利用簡單的引例，讓學(xué)生自主探索，總結(jié)規(guī)律.例1：有一個(gè)總體X，它是取值于[2，8]的隨機(jī)數(shù)，在等可能被取出的假設(shè)下，總體X的分布為均勻分布U（2，8）.學(xué)生自主觀察直方圖的特點(diǎn)，得出的規(guī)律是“中間高，兩邊低，左右基本對稱”.比照正態(tài)分布的密度曲線：

上述直方圖輪廓曲線，用如下概率函數(shù)表示關(guān)于u對稱的鐘形曲線最合適.將這一規(guī)律概括起來就是中心極限定理：

其具體形式體現(xiàn)出三個(gè)定理.（1）中心極限定理是用極限理論反映的一個(gè)重要定理，其優(yōu)勢體現(xiàn)在非正態(tài)分布或不知道分布類型時(shí)，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).（2）主要應(yīng)用兩方面：第一，求隨機(jī)變量之和落在某區(qū)間的概率；第二，已知隨機(jī)變量之和的概率，求.（3）解題中分析隨機(jī)總體可分解為許多獨(dú)立隨機(jī)變量的和的形式甚為關(guān)鍵.例2：某保險(xiǎn)公司有2500個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付1200元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.002，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20萬元，問保險(xiǎn)公司虧本的概率.學(xué)生處理實(shí)際問題的難點(diǎn)就在于不知如何進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.提示兩點(diǎn)：第一，將問題用隨機(jī)變量表示，每個(gè)人參保是隨機(jī)的獨(dú)立的，如何刻畫？第二，保險(xiǎn)公司所得的總收益如何表示，學(xué)生經(jīng)整理后發(fā)現(xiàn)，所求總收益正好可以看成2500個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和，n=2500足夠大，故想到用中心極限定理將其近似為正態(tài)分布.求出變量和的期望和方差，利用正態(tài)分布查表求概率.為了加強(qiáng)對中心極限定理的理解和鞏固，對學(xué)生提出如下思考：

2.列舉貼近生活實(shí)例，讓學(xué)生鞏固練習(xí)，加以總結(jié).3.學(xué)有余力拓展中心極限定理的應(yīng)用領(lǐng)域.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，善于總結(jié)，容易接受，形成解決實(shí)際問題的統(tǒng)計(jì)思維，熟悉中心極限定理和正態(tài)分布相關(guān)理論很有必要.參考文獻(xiàn)：

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程第二版[M].北京：高等教育出版社，2011.[2]黎玉芳.中心極限定理的教學(xué)方法探討[J].科技教育創(chuàng)新，2010（24）：220-221.[3]孫碑.中心極限定理及其在若干實(shí)際問題中的應(yīng)用[J].論談教學(xué)，2012（6）：65-67.

第四篇：中心極限定理-第四章練習(xí)題

1、一儀器同時(shí)受到108個(gè)噪聲信號Xi，設(shè)它們是相互獨(dú)立的且都服從[0，4]上的均勻分布.求噪聲信號總量X?

解：EX??Xi?1108i? 228的概率.108?EX

i?1108i?216，DX??DXi?144.i?

1由中心極限定理P{X?228}?1???228?216??1??(1)?0.16.???12?

2、已知紅黃兩種番茄雜交的第二代結(jié)紅果的植株與結(jié)黃果的植株的比率為4:1．現(xiàn)種植雜

交種10000株，試求結(jié)黃果植株介于1960到2040之間的概率．（用?(x)表示）

114?2000,DX?10000???160055

5?2040?2000??1960?2000?P(1960?X?2040)?????????2?(1)?14040????

3、某鎮(zhèn)年滿18歲的居民中20%受過高等教育。今從中有放回地抽取1600人的隨機(jī)樣本，解： 設(shè)結(jié)黃果植株為X，EX?10000?求樣本中受過高等教育的人在19%和21%之間的概率。（?(1)?0.8413）

解： 設(shè)X表示抽取的1600人中受過高等教育的人數(shù)，則X~B(1600,0.2)，EX?320,DX=162 則：P{0.19?1600?X?0.21?1600}?P{304?320X?320336?320X?320??}?P{?1??1}??(1)??(?1)16161216

?2?(1)?1 ?2?0.8413?1?0.6826。

4、某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)10000人所需商品，其中一商品在一段時(shí)間每人需要一件的概率

為0.8，假定在這一段時(shí)間內(nèi)各人購買與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以97.5%的概率保證不會(huì)脫銷？（?(1.96)?0.975.假定該商品在某一段時(shí)間內(nèi)每人最多可以買一件）。

解： 設(shè)應(yīng)預(yù)備n件，并設(shè)X表示某地區(qū)10000人需要件數(shù)，則X~B（10000，0.8），由中心極限定理得P{X?n}???

由?n?8000???0.97540??n?8000?1.96,n?8078.4，即應(yīng)預(yù)備8079件。405、某商店出售某種貴重商品。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該商品每周銷售量服從參數(shù)為??1的泊松分布。假定各周的銷售量是相互獨(dú)立的。用中心極限定理計(jì)算該商店一年內(nèi)（52周）售出該商品件數(shù)在50件到70件之間的概率。（用?(x)表示）

解：設(shè) Xi為第i周的銷售量, i?1,2,?,52 Xi~P(1)，則一年的銷售量為Y?52?X

i?1i，E(Y)?52,D(Y)?52

由獨(dú)立同分布的中心極限定理，所求概率為

?P(50?Y?70)?P???????

?

?????1

第五篇：中心極限定理應(yīng)用

中心極限定理及其應(yīng)用

【摘要】中心極限定理的產(chǎn)生具有一定的客觀背景，最常見的是德莫佛-拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。它們表明了當(dāng)n充分大時(shí)，方差存在的n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和近似服從正態(tài)分布，在實(shí)際中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。本文討論了中心極限定理的內(nèi)容、應(yīng)用與意義。

【關(guān)鍵詞】：中心極限定理 正態(tài)分布 隨機(jī)變量

一、概述

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科。隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)才會(huì)呈現(xiàn)出來，而研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象常常采用極限的形式，由此導(dǎo)致了對極限定理的研究。極限定理的內(nèi)容很廣泛，中心極限定理就是其中非常重要的一部分內(nèi)容。中心極限定理主要描述了在一定條件下，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：當(dāng)n→∞時(shí)的極限符合正態(tài)分布。因此中心極限定理這個(gè)結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有很重要的地位，也使得中心極限定理有了廣泛的應(yīng)用。

二、定理及應(yīng)用

1、定理一（林德貝格—勒維定理）

若?

k1，=a,?2，…是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且E?D?

k=k??x2(?2>0),k=1,2,…則有l(wèi)imp(k?

1n????n?na?x)??n

n12???e?t22dt。

當(dāng)n充分大時(shí)，??k?1k?na

?n~N（0,1），k?1??nk~N（na,n?）

22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理）

在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為錯(cuò)誤！未找到引用源。, 錯(cuò)誤！未

?找到引用源。為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),則limp(n??n?npnpq?x)??2?1x??e?t22dt

其中q?1?p。這個(gè)定理可以簡單地說成二項(xiàng)分布漸近正態(tài)分布，因此當(dāng)n充分大時(shí)，可

以利用該定理來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。

同分布下中心極限定理的簡單應(yīng)用

獨(dú)立同分布的中心極限定理可應(yīng)用于求隨機(jī)變量之和Sn落在某區(qū)間的概率和已知隨機(jī)變量之和Sn取值的概率，求隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)。

例1：設(shè)各零件的重量都是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立且服從相同的分布，其數(shù)學(xué)期望為0.5kg，均方差為0.1kg，問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少?

解：設(shè)Xi(i=1，2，…，5000)表示第i個(gè)零件的重量X1，X2，…，X5000獨(dú)立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。

由獨(dú)立同分布的中心極限定理可知

[3]

=I-φ（1.414）=1-0.921

5=0.0785

例2：一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的且同分布，設(shè)每箱平均重50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為5kg，若用最大載重為50噸的汽車承運(yùn)，每輛車最多可以裝多少箱才能保證不超載的概率大于0.977？

解：設(shè)Xi(i=1，2，…，n)是裝運(yùn)第i箱的重量，n為所求箱數(shù)。由條件可把X1，X2，…，Xn看作獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，而n箱的總重量為Tn=X1+X2+…+Xn，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和。

由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n

根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理：

[3]

即最多可以裝98箱。

例3：報(bào)名聽心理學(xué)課程的學(xué)生人數(shù)K是服從均值為100的泊松分布的隨機(jī)變量，負(fù)責(zé)這門課的教授決定，如果報(bào)名人數(shù)不少于120，就分成兩班，否則就一班講授。問該教授講授兩個(gè)班的概率是多少?

分析：該教授講授兩個(gè)班的情況出現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)報(bào)名人數(shù)x不少于120，精確解為P（x≥120）=e-100 100i/i！很難求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值為100的泊松分布隨機(jī)變量等于100個(gè)均值為1的獨(dú)立泊松分布隨機(jī)變量之和，即X= Xi，其中每個(gè)Xi具有參數(shù)1的泊松分布，則我們可利用中心極限定理求近似解。[2]

解：可知E(X)=100，D(X)=100

教授講授兩個(gè)班的概率是0.023。

例4：火炮向目標(biāo)不斷地射擊，若每次射中目標(biāo)的概率是0、1。

(1)求在400次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)在區(qū)間［30，50］內(nèi)的概率。

(2)問最少要射擊多少次才能使擊中目標(biāo)的次數(shù)超過10次的概率不小于0.9？

分析：顯然火炮射擊可看作是伯努利實(shí)驗(yàn)。[1]即

我們知道，正態(tài)分布可近似于二項(xiàng)分布，而且泊松分布可近似于二項(xiàng)分布，當(dāng)二項(xiàng)分布b(n，p)，n較大、p較小時(shí)可用泊松分布估計(jì)近似值。如果p接近1，有q=l-p很小，這時(shí)也可用泊松分布計(jì)算；但是當(dāng)n較大，p不接近0或1時(shí)，再用泊松分布估計(jì)二項(xiàng)分布的概率就不夠精確了，這時(shí)應(yīng)采用拉普拉斯定理來計(jì)算。

解：(1)設(shè)在射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為Yn，所求概率(30≤Yn<50)等于：

最小正整數(shù)n=147就是所要求的最小射擊數(shù)。

以上例子都是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，可以用中心極限定理近似估算，但是如果不同分布，中心極限定理是否也成立呢?

李雅普諾夫定理

當(dāng)隨機(jī)變量Xi獨(dú)立，但不一定同分布時(shí)，中心極限定理也成立。定理3[2](李雅普諾夫定理)：

設(shè)X1，X2，…，Xn，…為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且E(Xn)=an，D(Xn)=σn2存在，Bn2= σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：

也就是說，無論各個(gè)隨機(jī)變量Xi服

從什么分布，只要滿足李雅普諾夫條件，當(dāng)n很大時(shí)，它們的和近似服從正態(tài)分布。由于在大學(xué)本科階段接觸的不同分布的樣本較少，本文對它的應(yīng)用將不舉例說明。

中心極限定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本均值總是近似地服從正態(tài)分布。正是這個(gè)結(jié)論使得正態(tài)分布在生活中有著廣泛的應(yīng)用。

四、中心極限定理的意義

首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要n足夠大，便可以把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化當(dāng)作正態(tài)變量，所以可以利用它解決很多實(shí)際問題，同時(shí)這還有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí)，從而正態(tài)分布成為概率論中最重要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績。其次，中心極限定理對于其他學(xué)科都有著重要作用。例如數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)（區(qū)間）估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、抽樣調(diào)查等；進(jìn)一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計(jì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征

值的抽樣分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的全部處理問題的方法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)，這從另一個(gè)方面也間接地開辟了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法領(lǐng)域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)方法論中居于主導(dǎo)地位。參考文獻(xiàn)

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[3]程依明 等 著 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題與解答.高等數(shù)學(xué)出版社。