第一篇：高二數(shù)學(xué)不等式的證明

高二數(shù)學(xué)不等式的證明(二)

[本周學(xué)習(xí)內(nèi)容]不等式證明中的綜合證明方法：

1.換元法：通過適當(dāng)?shù)膿Q元，使問題簡單化，常用的有三角換元和代數(shù)換元。

2.放縮法：理論依據(jù)：a>b,b>ca.c，找到不等號(hào)的兩邊的中間量，從而使不等式成立。

3.反證法：理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”一真、一假，證明格式

[反證]：假設(shè)結(jié)論“p”錯(cuò)誤，“非p”正確，開始倒推，推導(dǎo)出矛盾(與定義，定理、已知等等矛盾)，從而得 到假設(shè)不正確，原命題正確。

4.數(shù)學(xué)歸納法：這是一種利用遞推關(guān)系證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題，可以是等式、不等式、命題。

證明格式：

(1)當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立；

則當(dāng)n=k+1時(shí)，證明出命題也成立。

由(1)(2)知：原命題都成立。

[本周教學(xué)例題]

一、換元法：

1.三角換元：

例1.求證：

證一：(綜合法)

即：

證二：(換元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]

則

∵-1≤sin2≤1

例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求證：

分析：由于條件給出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1這一特點(diǎn)是解決問題的重要環(huán)節(jié)。由本題中x>0，y>0,2x+y=1的條件也可用三角代換。

證一：

證二：由x>0,y>0，2x+y=1，可設(shè)

則

例3.若x2+y2≤1，求證：

證：設(shè)

則

例4.若x>1，y>1，求證：

證：設(shè)

則

例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求證：

證：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設(shè)

則

小結(jié)：若0≤x≤1，則可令

若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

若x≥1，則可令

2.代數(shù)換元：，若xR，則可令

例6：證明：若a>0，則

證：設(shè)

則

即

∴原式成立

小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法。

二、放縮法：

例7.若a,b,c,dR+，求證：

證：記

∵a,b,c,dR+

∴1

例8.當(dāng)n>2時(shí)，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1

證：∵n>2 ∴l(xiāng)ogn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2時(shí)，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9.求證：

證：

三.反證法

例10.設(shè)0

證：設(shè)

則三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

與①矛盾

例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0

證：設(shè)a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，則b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 與題設(shè)矛盾

又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0，c>0

四.構(gòu)造法：

1.構(gòu)造函數(shù)法

例12.已知x>0，求證：

證：構(gòu)造函數(shù)

由

顯然

∴上式>0

∴f(x)在 上單調(diào)遞增，∴左邊

例13.求證：

證：設(shè)

用定義法可證：f(t)在上單調(diào)遞增，令：3≤t1

例14.已知實(shí)數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個(gè)不小于2。

證：由題設(shè)：顯然a,b,c中必有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)a>0

則有兩個(gè)實(shí)根。

例15.求證：

證：設(shè)

當(dāng)y=1時(shí)，命題顯然成立，當(dāng)y≠1時(shí)，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)

例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd

證一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正數(shù)

∴要證：(xy)≥ac+bd

只需證

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，顯然成立

∴xy≥ac+bd

證二：(綜合法)

證三：(三角代換法)

∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)

y2=c2+d

2五.數(shù)學(xué)歸納法：

例17.求證：設(shè)nN，n≥2，求證：

分析：關(guān)于自然數(shù)的不等式常可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

證：當(dāng)n=2時(shí)，左邊，易得：左邊>右邊。

當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即：成立。

當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊

又

；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；

于是可得：

即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；

綜上所述，該命題對(duì)所有的自然數(shù)n≥2均成立。

[本周參考練習(xí)]

證明下列不等式：

1.提示：令，則(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情況討論。

2.已知關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求證：

提示：分

3.若x>0，y>0，x+y=1，則

提示：左邊

令t=xy，則

在 上單調(diào)遞減

4.已知|a|≤1，|b|≤1，求證：，提示：用三角換元。

5.設(shè)x>0，y>0，求證：a

放縮法

6.若a>b>c，則

10.左邊

11.求證：高二數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用

三.關(guān)于不等式的應(yīng)用：

不等式的應(yīng)用主要圍繞著以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

1.會(huì)應(yīng)用不等式的證明技巧解有關(guān)不等式的應(yīng)用題：利用不等式求函數(shù)的定義域、值域；求函數(shù)的最值；討論方程的根的問題。

(求極值的一個(gè)基本特點(diǎn)：和一定，一般高，乘積撥了尖；積不變，兩頭齊，和值得最低。)在使用時(shí)，要注意以下三個(gè)方面：“正數(shù)”、“定值”、“等號(hào)”出現(xiàn)的條件和成立的要求，其中“構(gòu)造定值”的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用在極值使用中有著相當(dāng)重要的作用。

2.會(huì)把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

3.通過不等式應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。

四、不等式的應(yīng)用問題舉例：

例10.已知a、b為正數(shù)，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的條件限制下出現(xiàn)的最值問題，在變式的過程中，如何減少變形產(chǎn)生的錯(cuò)誤也是必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)。

解：由可得；

小結(jié)：如果本題采用

兩式相加而得：號(hào)是否取到，這是在求極值時(shí)必須堅(jiān)持的一個(gè)原則。

；則出現(xiàn)了錯(cuò)誤：“=”

例11.求函數(shù)的最小值。

分析：變形再利用平均值不等式是解決問題的關(guān)鍵。

解：

即f(x)最小值為-1

此類問題是不等式求極值的基本問題；但如果再改變x的取值范圍(當(dāng)取子集時(shí))，要?jiǎng)t要借助于函數(shù)的基本性質(zhì)解決問題了。

例12.若4a2+3b2=4，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一個(gè)

分析：在解決此類問題時(shí)，如何把4a2+3b2=4拆分成與(2a2+1),(b2+2)兩個(gè)式子的代數(shù)和則是本問題的關(guān)鍵。

解：

當(dāng)且僅當(dāng)：4a2+2=3b2+6，即

時(shí)取等號(hào)，y的最大值為8。

小結(jié)：此問題還有其它不同的解法，如三角換元法；消元轉(zhuǎn)化法等等。但無論使用如何種廣泛，都必須注意公式中的三個(gè)運(yùn)用條件(一正，二定，三等號(hào))

例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此時(shí)的x、y的值。

分析：考查分式的最值時(shí)，往往需要把分式拆成若干項(xiàng)，然后變形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，也即：；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

也即；時(shí)，取等號(hào)。

例14.設(shè)x，y，z∈R+，x+y+z=1，求證：的最小值。

分析：此類問題的關(guān)鍵是如何使用平均值不等式，兩條途徑1.利用進(jìn)而進(jìn)行類加。

2.另一個(gè)途徑是直接進(jìn)行1的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化。但無論如何需要注意的是驗(yàn)證“=”號(hào)成立。本題使用1的構(gòu)造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)，的最小值為9。

小結(jié)：本題如果采用三式類加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。進(jìn)而言之，的最小值為5，則出現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果，其關(guān)鍵在于三個(gè)“=”號(hào)是否同時(shí)成立。

例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較 a，b，c的大小。

分析：此問題只給出了幾何簡單的不等式關(guān)系，故要判斷大小必須在這幾個(gè)不等式中進(jìn)行變形分析才可解決問題。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號(hào))再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式變形為：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，結(jié)合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，綜上所述，可得：b>c>a

小結(jié)：本題中熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和變形是解決問題的關(guān)鍵。

例16.某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左，右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時(shí)？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？

分析：如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，是應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的基本能力。

解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800

蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

當(dāng)a=2b，即a=40(m),b=20(m)時(shí)，=648(m2)

答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.例17.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降，若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為

(Ⅰ)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達(dá)式；

(Ⅱ)依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？

分析：數(shù)學(xué)建模是解決應(yīng)用問題的一個(gè)基本要求，本問題對(duì)建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力都有著較高的要求。

解：(Ⅰ)依題設(shè)，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因?yàn)楹瘮?shù)上為增函數(shù)，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，當(dāng)n≥4時(shí)，∴僅當(dāng)n≥4時(shí)，Bn>An。

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤。

小結(jié)：如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模最基本的一個(gè)方面就是如何把一個(gè)實(shí)際中的相關(guān)因素進(jìn)行分析，通過文字說明轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系或者是相互關(guān)系，再把文字關(guān)系處理為數(shù)學(xué)關(guān)系。

五、本周參考練習(xí)

1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，證明：

2.如果△ABC的三內(nèi)角滿足關(guān)系式：sin2A+sin2B=sin2C，求證：

3.已知a、b、c分別為一個(gè)三角形的三邊之長，求證：

4.已知x，y是正數(shù)，a，b是正常數(shù)，且滿足：，求證：

5.已知a，b，c∈R+，求證：

6.已知a>0，求的最值。(答最小值為)

7.證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。

8.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積8m2，問x、y分別為多少(精確到0.001m)時(shí)用料最??？

(答：當(dāng)x為2.34m，y為2.828m時(shí)，用料最省。)高二數(shù)學(xué)練習(xí)三

1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一個(gè)充分不必要條件是()

A.|x|<1

B.x<1

C.|x|>1

D.x<-1或|x|<1

2.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=0，abc>0，則：的值()

A.一定是正數(shù)

B.一定是負(fù)數(shù)

C.可能是0

D.無法確定

3.已知a,b,c是△ABC的三邊，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)根

C.沒有實(shí)數(shù)根

D.要依a，b，c的具體取值確定

4.設(shè)0

A.C.5.設(shè)a,bR+，則A，B的大小關(guān)系是（）

B.D.A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A

6.若實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值是（）

A.B.C.D.7.設(shè)a，b，cR+，則三個(gè)數(shù)

A.都大于2

B.都小于2

（）

C.至少有一個(gè)不大于2

D.至少有一個(gè)不小于2

8.若a，bR+，滿足a+b+3=ab，則

9.設(shè)a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，則的取值范圍是_____ 的最大值為_____

10.使不等式

答案：

1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B

7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1

都成立的a與b的關(guān)系是_____

第二篇：高二數(shù)學(xué)不等式的證明6

6.3 不等式的證明

（六）教學(xué)要求：更進(jìn)一步掌握不等式的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用不等式的證明方法：比較法、綜合法、分析法，還掌握其他方法：放縮法、判別式法、換元法等。

教學(xué)重點(diǎn)：熟練運(yùn)用。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.已知x≥4，求證：x?1－

x?2

解法：分析法，先移項(xiàng)再平方。推廣：求x?1－x?2的單調(diào)性、值域。2.a、b∈R且a＋b＝1，求證：2a?3＋2b?3≤4（四種解法：估值配項(xiàng)；柯西不等式；均值不等式；分析法）

二、講授新課： 1.教學(xué)典型習(xí)題：

①出示典型習(xí)題：（先不給出方法）

22? Ⅰ.放縮法證明：x、y、z∈R，求證：x?xy?y＋?y2?yz?z2>x＋y＋z

1x2?x?1 Ⅱ.用判別式法證明：已知x∈R，求證 ≤2≤3（另解：拆分法）

3x?x?1 Ⅲ.用換元法證明： 已知a＋b＝4,求證：2≤a±ab＋b≤6 ②先討論用什么方法證明，再引導(dǎo)老師分析總結(jié)解題思路，學(xué)生試按思路練習(xí)：

Ⅰ.放縮法，左邊>(x?2222y2y)＋(z?)2＝… 22x2?x?1 Ⅱ.判別式法，設(shè)2＝k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范圍。

x?x?1 Ⅲ.三角換元法，設(shè)a＝2sinθ，b＝2cosθ，再代入利用三角函數(shù)值域求證。③再討論其它解法： Ⅲ小題，可由已知得到|ab|的范圍，再得到待證式。2.練習(xí)：①已知x、y∈R，3x＋4y＝12，求xy的最大值； ②求函數(shù)y＝x＋2?1的值域；（解法：分x－1>0、x－1<0兩種情況；湊配法）x?1③求函數(shù)y＝4x＋1622的最小值。（解法：y＝2(x＋1)+2(x＋1)＋…(x2?1)2

三、鞏固練習(xí)：1.設(shè)n>1且n∈N，求證：log(n?1)(n＋2)>log(n?2)(n＋3)2.課堂作業(yè)：書P31 2、5題。

（作商比）

第三篇：高二_不等式的證明講義

高二數(shù)學(xué)不等式同步輔導(dǎo)講義

第1講 不等式的證明

一、輔導(dǎo)內(nèi)容

不等式證明的方法與技巧

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

不等式的證明主要研究對(duì)絕對(duì)不等式的變形、化簡。其原理是利用不等式的傳遞性從不等式的左端或右端適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s小）為右端或左端。不等式的性質(zhì)是不等式證明的基礎(chǔ)。

不等式證明的常規(guī)方法有：比較法、綜合法、分析法。比較法的研究對(duì)象通常是代數(shù)不等式，如整式不等式，分式不等式；綜合法主要是用基本不等式及不等式的性質(zhì)研究非負(fù)實(shí)數(shù)集內(nèi)的絕對(duì)值不等式；當(dāng)因題目條件簡單或結(jié)論形式復(fù)雜而無法對(duì)不等式下手時(shí)，可考慮用分析法，但應(yīng)注重格式，注意規(guī)范化用語。

根據(jù)題目條件或結(jié)論的特殊形式，證明不等式還有一些技巧方法；換元法、反證法、放縮法、判別式法等。

三、典型例題

【例1】 設(shè)a，b∈R，求證：a+b≥ab+a+b-1。

解題思路分析：

思路一：這是一個(gè)整式不等式，可考慮用比較法，在配方過程應(yīng)體現(xiàn)將a或b看成主元的思想，在這樣的思想下變形，接下來的配方或因式分解相對(duì)容易操作。

作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a? =(a?b?123)?(b?1)2≥0 2

422222

222

b?123233)?b?b? 2424思路二：注意到不等式兩邊式子a+b與ab的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到基本不等式；為了得到左邊的a與b項(xiàng)，應(yīng)用增減項(xiàng)法變形。增加若干項(xiàng)或減少若干項(xiàng)的技巧在本節(jié)應(yīng)用得較為普遍。

因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差δ后得到關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，除了用配方法，還可以聯(lián)系二次函數(shù)的知識(shí)求解。記f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次項(xiàng)系數(shù)為正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0 ∴ f(a)≥0 【例2】 已知0

根據(jù)已知條件：a+b+c+abc>0，首先將題目結(jié)論改造為1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。這樣的化簡或變形（變形的目的也是化簡）在絕大多數(shù)解題中都是需要的），而且是必要的。在變形過程中通常注意前后問題的等價(jià)性。

其次在對(duì)欲證不等式左邊的化簡時(shí)，應(yīng)從已知條件中尋找思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在對(duì)1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解時(shí)，應(yīng)向1-a，1-b，1-c這三個(gè)因式靠攏，這樣才便于判斷整個(gè)因式的符號(hào)。由輪換式的特點(diǎn)，找準(zhǔn)1-a，1-b，1-c中的一個(gè)因式即可。

1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。

解題思路分析：

因A、B的表達(dá)形式比較簡單，故作差后如何對(duì)因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個(gè)字母。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個(gè)均可。

由ad=bc得：d?bcbcbc?ac A-B=a+d-(b+c)=a? ?b?c?a?b?aaa1?ab?bc?ca≥1。

a?b?c?abc

22222222222

=a?b?c(a?b)(a?b)(a?c)??0 aabc d(b?d)(c?d)bcbc?cd A-B=a?d?b?c? ?d?b?c??(b?d)=ddd下面是判斷b-d與c-d的符號(hào)，即比較a、c與d的大小：應(yīng)從條件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出發(fā)才挖掘隱藏條件。又：若不慎消去了a，該怎么辦呢？ 由ad=bc得：a?ac? bdac∵ a>b>0 ∴ >1 即 >1 ∴ c>d，c-d>0 bd由ad=bc得：同理b-d>0 ∴ A-B>0 【例4】 a，b，c∈R，求證：a+b+c≥(a+b+c)。

解題思路分析：

不等號(hào)兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號(hào)右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號(hào)方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

11左=(2a4?2b4?2c4)?[(a4?b4)?(b4?c4)?(c4?a4)]

21≥(2a2b2?2b2c2?2c2a2)?a2b2?b2c2?c2a2

2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。a2b2?b2c2?c2a2?1(2a2b2?2b2c2?2c2a2)24

441?[(a2b2?b2c2)?(b2c2?c2a2)?(c2a2?a2b2)]21≥(2ab2c?2abc2?2a2bc)?ab(a?b?c)2

【例5】（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

111111??； ??≥

abcabbcaca2b2c2a?b?c??（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：≥。b?ca?ca?b2解題思路分析：

（1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學(xué)們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。試一試行嗎？ a2

【例6】 x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥。

2解題思路分析：

思路一；根據(jù)x+y和x+y的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系。x2?y2x?y∵ ≤

22(x?y)2a2?∴ x?y≥ 222222思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?aa?m，y??m 22

a2aaa2222則 x?y?(?m)?(?m)?2m?≥

2222途徑2：代入消元法： 22y=a-x，0

222222222途徑3：三角換元法消元：

?22令 x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，]

222244222222則 x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ]

a211222 =a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥

222 注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。這種引參的思想2是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法。

(a?b)2a?b(a?b)2??ab?

【例7】 已知a>b>0，求證：。8a28b解題思路分析：

所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，1次等），難以從某個(gè)角度著手。故考慮用分析法證明，即2執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實(shí)際上就是對(duì)所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，?shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。

a?ba?b?2ab(a?b)2?ab?? 222a?b?(a?b)(a?b)(a?b)2(a?b)2(a?b)2(a?b)2(a?b)2??所證不等式可化為

8a28b∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

(a?b)2(a?b)2?1?∴ 不等式可化為：

4a4b2???(a?b)?4a?a?b?2a即要證? 只需證?

2???4b?(a?b)?2b?a?b在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立

【例8】 已知f(x)=解題思路分析：

不等號(hào)兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較。

22x?34x?8，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)

211.2112f(a)?2a?34?82a?8?2a(2)?8a2?82a?82a≤

82?2a?82a?842?2

令 g(b)=b-4b+∵ 11323 g(b)=(b-2)+≥

2223?2 ∴ g(b)>f(a)2注：本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。

解題思路分析：

這是一個(gè)與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明題，除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對(duì)值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1”的解題意識(shí)。

從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=-1時(shí)，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1∴ b?[f(1)?f(?1)] 2111∴ |b|?|f(1)?f(?1)|≤[|f(1)|?|f(?1)|]≤(1?1)≤1 222（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。

2當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。思路二：直接利用絕對(duì)值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對(duì)值符號(hào)分配到a，b，可考慮a，b的符號(hào)進(jìn)行討論。當(dāng)a>0時(shí)

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對(duì)b討論

① b≥0時(shí)，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時(shí)，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2?！?|ax+b|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。

評(píng)注：本題證明過程中，還應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當(dāng)選擇，則不能滿足題目要求。

同步練習(xí)

（一）選擇題

1、設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是（）1111111?≤ B、≤?≤ ab44ab211111C、≤?≤1 D、?≥1 2ababA、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是（）A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

3、設(shè)m不等于n, x=m-mn y=nm-n，則x , y的大小關(guān)系為（）

A、x>y B、x=y C、y>x D、與m ,n的取植有關(guān)

43344、已知a，b是不相等的正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)：x1，x2，?，xn和y1，y2，?，yn，b成等比數(shù)列，并給出下列不等式：

① ② 1a?b2(x1?x2???xn)?ab?()n21nn(x1?x2???xn)?a?b2

③ y1y2?yn?ab ④ y1y2?yn?na?ba?b2?()22那么，其中為真命題的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設(shè)M=

abc，N=，則MN的大小關(guān)系是 ?4?ab?c4?cA、M>N B、M=N C、M

6、已知函數(shù)f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（）

A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能

111117、若a>0，b>0，x?(?)，y?，z?，則（）

2aba?babA、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是（）A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題

9、設(shè)a>0，b>0，a≠b，則ab與ab的大小關(guān)系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號(hào)填空）。

11、設(shè)n個(gè)正數(shù)x1，x2，?，xn的算術(shù)平均數(shù)是x，若a是不等于x的任意實(shí)數(shù)，并記ab

ba22

3aa?12D、a+b≥2(a-b-1)?bb?1p?(x1?x1)2?(x2?x)2???(xn?x)2，q?(x1?a)2?(x2?a)2???(xn?a)2，則p與q大小關(guān)系是__________。

1t?112、當(dāng)00且t≠1時(shí)，logat與loga的大小關(guān)系是__________。

22nnn13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則a+b與c（其中n∈N，n>2）的大小關(guān)系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?b?ab?ba。

15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?abc???2。b?ca?ca?b1116、已知a≥0，b≥0，求證：(a?b)2?(a?b)≥aa?ba。

243317、已知a，b為正數(shù)，a+b=2，求證：a+b≤2。

111a8?b8?c818、若a，b，c為正數(shù)，求證：??≤。

abca3b3c3112519、設(shè)a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?)(b?)≥。

ab420、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。

第2講 含有絕對(duì)值的不等式

一、輔導(dǎo)內(nèi)容

含有絕對(duì)值的不等式證明

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、絕對(duì)值的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)：①x∈R時(shí)，|x|≥x，|x|≥-x；②|x|a，或x<-a?x>a。

（2）運(yùn)算性質(zhì)：|ab|=|a||b|，|a|a||?，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。b|b|

222（3）幾何意義：|x-a|表示數(shù)軸上數(shù)x，a對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離。

2、與絕對(duì)值有關(guān)的不等式的證明

其方法仍是證明一般不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性質(zhì)外，還經(jīng)常用到剛才所介紹的絕對(duì)值的性質(zhì)，特別是||a|-|b||≤|a|±|b|這一條性質(zhì)。

在利用絕對(duì)值的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向進(jìn)行合理的選擇。

3、含絕對(duì)值不等式的證明與解法有較大的差異，在解不等式中，主要是考慮如何去掉絕對(duì)值符號(hào)；而在證明中，一般不提倡去掉絕對(duì)值符號(hào)，當(dāng)然，少數(shù)題目例外。

三、典型例題

【例1】 設(shè)|a|<ε,|a-b|<2ε，求證：|b|<3ε。

解題思路分析：

根據(jù)解題的“結(jié)論向條件靠攏”的原則，本題主要思考如何用a，a-b表示b，從而利用|a|及|a-b|的條件得到|b|的范圍。

∵ b=a-(a-b)∴ |b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|<ε+2ε=3ε

注：本題還涉及到了化簡變形中的整體思想，即將a-b看作一個(gè)整體。

實(shí)際上根據(jù)|a-b|的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，也可用絕對(duì)值的基本不等式對(duì)其縮?。簗|a|-|b||≤|a-b|，關(guān)鍵是不等式的左端是選擇|a|-|b|，還是|b|-|a|，盡管兩個(gè)不等式都成立，但由本題的消元要求，應(yīng)消去a，保留b，故選|b|-|a|≤|a-b|。

∴ |b|-|a|<2ε 又 |a|<ε

∴ 兩不等式同向相加得|b|<3ε

【例2】 已知f(x)=x-x+c，|x-a|<1，a，c∈R，求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。

求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)解題思路分析：

因f的對(duì)應(yīng)法則已知，故首先對(duì)不等式左邊化簡：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下來的變形向條件|x-a|<1靠攏，即湊出因式x-a：

|f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1| 下一步化簡有兩種途徑：從結(jié)論向條件湊，或從條件向結(jié)論湊。

途徑一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)途徑二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1 又 |x-a|≥|x|-|a| ∴ |x|-|a|<1 ∴ |x|<|a|+1 ∴ |x+a-1|≤|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途徑二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||時(shí)，涉及到是選擇|x-a|≥|x|-|a|，還是|x-a|≥|a|-|x|，應(yīng)根據(jù)與|x|有關(guān)的不等號(hào)方向選擇。本題是要將|a|放大，故選擇|x-a|≥|x|-|a|。

|a?b||a||b|? 【例3】 求證≤。

1?|a?b|1?|a|1?|b|解題思路分析：

思路一：三個(gè)分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)完全一致，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=2

222

x，利用f(x)的單調(diào)性放縮。1?xx(x≥0)1?x易證f(x)在[0，+∞）上遞增 令f(x)=∵ 0≤|a+b|≤|a|+|b| ∴ f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)

∴ |a?b||a|?|b||a||b|??≤

1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b||a||a||b||b|??，1?|a|?|b|1?|a|1?|a|?|b|1?|b||a||b||a||b|???

1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|根據(jù)結(jié)論要求，采用縮小分母增大分式的放縮技巧 ∵ ∴

∴ 由不等式傳遞性，原不等式成立

思路二：用|a+b|≤|a|+|b|進(jìn)行放縮。但不等式左邊分式的分子、分母均含有|a+b|，必須轉(zhuǎn)化為只有一項(xiàng)含|a+b|的分式。

∵ |a+b|≤|a|+|b| 11∴ ≥

|a?b||a|?|b|

1?11|a?b|?1?11|a?b|≤1?11|a|?|b|?|a|?|b|

1?|a|?|b|下同思路一。

【例4】 已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求證|ax?解題思路分析：

本題考慮去絕對(duì)值符號(hào)后進(jìn)行證明。

b|≥2ab。xb思路一：不等號(hào)兩邊均為非負(fù)，原不等式?(ax?)2≥(2ab)2

xb2即 ax?2?2ab≥4ab

x22b2∵ ax?2≥2a2b2?2ab

x22b2∴ ax?2≥4ab

x?2ab22b|≥0，|ax|≥0，顯然成立 ab當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，由a、b>0知，(ax)?()>0

x思路二：當(dāng)a=0，或b=0時(shí)，原不等式為|∴ |ax?bbb|?|ax|?||≥2|ax|?||?2|ab|?2ab

xxx2 【例5】 已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）證明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于解思路分析：

（1）f(1)-f(2)+f(3)=2；問題（2）的求解想辦法利用（1）的結(jié)論。

這是一個(gè)存在性的命題，因正面情形較多，難以確定有幾個(gè)，故采用反證法。

假設(shè)|f(x)|<

1。2111,|f(2)|<，|f(3)|< 222111?2???2 222 則 |f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|< 但 |f(1)-2f(2)+f(3)|=2 由此得到矛盾。

【例6】 已知a，b∈R，|a|>1，|b|>1，且a≠b，求證：| 解題思路分析：

本題用分析法較為方便。

1?ab|>1。a?b1?ab1?ab2|?1?()?1?(1?ab)2?(a?b)2?1?a2b2?a2?b2?0 a?b a?b?(1?a2)(1?b2)?0|∵ |a|>1，|b|>1 ∴ a>1，b>1 ∴ 1-a<0，1-b<0 ∴(1-a)(1-b)>0 ∴ 原不等式成立

【例7】 設(shè)x，y∈R，x+y≤1，求證：|x+2xy-y|≤2。

解題思路分析： 也許有同學(xué)會(huì)這樣解：

|x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2 但放縮過度，不能滿足本題要求。

根據(jù)條件“平方和”的特征，考慮用三角換元法： 令 x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1 則 |x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222

222

222

2222222?2)|≤2r≤2 4同步練習(xí)

（一）選擇題

1、已知函數(shù)f(x)=-2x+1對(duì)任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|< ε成立的一個(gè)充分但不必要條件是

?? C、|x1-x2|< D、|x1-x2|>ε 242、a，b是實(shí)數(shù)，則使|a|+|b|>1成立的充分不必要條件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|

3、設(shè)a，b|a-b|

C、|a-b|<||a|-|b||

D、|a-b|<|a|+|b|

4、若a，b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，則

?a?0?a?0A、? B、ab?0 C、? D、ab?0

b?0b?0??11且|b|≥ C、a≥1 D、b<-1 225、已知h>0，命題甲；兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足|a-b|<2h；命題乙：兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b滿足|a-1|

C、甲是乙的充要條件 D、甲既不是乙的充分條件又不是乙的必要條件

|a?b|

6、不等式≤1成立的充要條件是

|a|?|b|A、ab≠0 B、a+b≠0 C、ab>0 D、ab<0

7、設(shè)a，b∈R，則|a|<1且|b|<1是ab+1>a+b的 A、充分非必要條件 B、必要非充分條件 C、充要條件 D、既非充分又非必要條件

8、已知函數(shù)f(x)=-2x+1，對(duì)于任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一個(gè)充分非必要條件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|<

（二）填空題

9、若|x+y|=4，則xy最大值是________。

|a||b|?

10、若a≠b，a≠0，b≠0，則______|a|?|b|（填>、≥、<、≤）。|b||a|

11、a，b∈R，則|a+b|-|a-b|與2|b|的大小關(guān)系是______________。

12、關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1|

22???

C、|x1-x2|< D、|x1-x2|> 23

3（三）解答題

?2?

13、已知|a+b|<，|a-b|

233cbcb?|x1|?，?|x2|?。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意義，且f(0)=f(1)，對(duì)于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a>0，b>0，c>0）的兩個(gè)實(shí)根x1，x2，求證：2求證：|f(x1)-f(x2)<1。2a2?b2|a|?|b|

16、求證：≥（a，b∈R）。

2217、已知a，b∈R，|a|<1，|b|>1，求證：|1+ab|<|a+b|。

18、已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：

（1）|ab?c|?1；

|1?abc|（2）a+b+c

19、求證

220、已知a，b∈R，且|a|+|b|<1，求證方程x+ax+b=0的兩個(gè)根的絕對(duì)值都小于1。

21、在一條筆直的街道上住著7位小朋友，他們各家的門牌分別為3號(hào)，6號(hào)，15號(hào)，19號(hào)，20號(hào)，30號(hào)，39號(hào)，這7位小朋友準(zhǔn)備湊在一起玩游戲，問地點(diǎn)選在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定數(shù)字相連的兩個(gè)門牌號(hào)碼的房子間的距離相等）。

第四篇：高二數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題及答案(經(jīng)典)

不等式練習(xí)題

一、選擇題

1、若a,b是任意實(shí)數(shù),且a＞b,則

（）（A）a2＞b

2（B）b11＜1

（C）lg(a-b)＞0

（D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是

（）

1+a≥2(a?0)at?111（C）＜(a＞b)

（D）a2≥at(t＞0,a＞0,a?1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 則(2?1)(2?1)的最小值為

（）

ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)

（B）

(A)6

(B)7

(C)8

(D)9

4、已給下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正確的個(gè)數(shù)為

（）

(A)0個(gè)

(B)1個(gè)

(C)2個(gè)

(D)3個(gè)

5、f(n)= n2?1－n , ?(n)=(A)f(n)

(B)f(n)

(D)g(n)

（）2n

6、設(shè)x2+y2 = 1, 則x +y

（）

(A)有最小值1

(B)有最小值(C)有最小值－1

(D)有最小值－2

7、不等式|x＋5|＞3的解集是

（）(A){x|－8＜x＜8}

(B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝

(D){x|x＜－8或x＞－2＝

8、若a，b，c為任意實(shí)數(shù)，且a＞b，則下列不等式恒成立的是

（）(A)ac＞bc

(B)|a＋c|＞|b＋c|

(C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x?31x2?2x?329、設(shè)集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},則有

（）x?12（A）M?N=P

（B）M?N?P

（C）M=P?N

（D）M=N=P

10、設(shè)a,b∈R,且a+b=3,則2a+2b的最小值是

（）（A）6

（B）

42（C）22

（D）26

11、若關(guān)于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是???,???1??1????,???，則ab等于（）2??3?(A)－24

(B)24

(C)14

(D)－14

12、如果關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是

（）(A)(??,2]

(B)(??,?2)

(C)(?2,2]

(D)(－2,2)

13、設(shè)不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集為?，則不等式

f(x)?0的解集是

（）g(x)(A)?

(B)(??,1)?(2,??)

(C)[1，2]

(D)R

14、xx的解集是

（）?x?2x?(A)(－2,0)

(B)(－2,0)

(C)R

(D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞)

15、不等式3?1?x?3的解集是

（）

3(A)(－∞,1)

(B)(33,1)

(C)(,1)

(D)R 4

4二、填空題

1、若x與實(shí)數(shù)列a1,a2,…,an中各數(shù)差的平方和最小,則x=________.2、不等式xlog1x21?的解集是________.x3、某工廠產(chǎn)量第二年增長率是p1,第三年增長率是p2,第四年增長率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么這三年平均增長率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,則a1?b的最大值是________.225、若實(shí)數(shù)x、y滿足xy＞0且x2y=2,則xy＋x2的最小值是________.6、x＞1時(shí)，f(x)=x＋116x的最小值是________，此時(shí)x=________.?2xx?1

7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.?xx4?12?

329、命題①：關(guān)于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0對(duì)x?R恒成立;命題②：f(x)=－(12x－3a－a)是減函數(shù).若命題①、②至少有一個(gè)為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.10、設(shè)A={x|x≥

三、解答題 1,x?R},B={x|2x?1＜3,x?R＝,則D=A∩B=________.xx2?9x?111、解不等式：2≥7.x?2x?

12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x?5≥－2.x2?5x?624、解不等式：9?x?26x?x2＞3.5、解不等式：x?3x?2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。

7、若x,y＞0，求x?yx?y的最大值。

8、已知關(guān)于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一個(gè)根比－1小，另一個(gè)根比1大，求參數(shù)m的取值范圍。

9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8?x?x?3.不等式練習(xí)答案

一、DADCB

DDDAB

BCBAB

二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3

4n31?5)8、0＜x＜log23

9、-3＜x≤2 6、8,2＋

37、(0,log2210、－12≤x＜0或1≤x＜4

三、1、[－12,1]∪(1,43)

2、(－1,0)∪(0,3)

3、(－∞,2)∪(3,＋∞)

5、(－∞,－2313)6、1，347、28、－2＜m＜0

9、解：(I)當(dāng)a>1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：??x?1?a?0，?x?1?a?a.解得x>2a-1.(II)當(dāng)01時(shí)，不等式的解集為{x|x>2a-1}；

當(dāng)0

或(2)???8?x?0?8?x?(x?3)2?x?3?0

由(1)得3?x?5?212，由(2)得x＜3，故原不等式的解集為??x|x?5?21??2? ?

4、(0,3)

第五篇：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

人教版選修4—5不等式選講

課題：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)：

1、牢固掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明的過程。

2、通過事例，學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，證明不等式的思想方法。

3、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力和分析問題，解決問題的能力。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1、鞏固對(duì)數(shù)學(xué)歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達(dá)解題過程，以及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路。

2、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的不同方法的選擇和解題技巧。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

1、上節(jié)課學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的步驟，請(qǐng)同學(xué)們回顧，說出數(shù)學(xué)歸納法的步驟？

（1）數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。

（2）步驟：1）歸納奠基;

2）歸納遞推。

2、作業(yè)講評(píng)：（出示小黑板）

習(xí)題：用數(shù)學(xué)歸納法證明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的證法，對(duì)嗎？

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2=右邊，則等式成立。

②假設(shè)n=k時(shí)，（k∈N，k≥1）等式成立，即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

當(dāng)n=k+1時(shí)，2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1時(shí)，等式成立。

由①②可知，對(duì)于任意自然數(shù)n，原等式都成立。

（1）學(xué)生思考討論。

（2）師生總結(jié)： 1）不正確

2）因?yàn)樵谧C明n=k+1時(shí)，未用到歸納假設(shè)，直接用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)：遞推性。

二、新知探究

明確了數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)，我們共同討論如何用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。(出示小黑板)

例1觀察下面兩個(gè)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起an始終小于bn？證明你的結(jié)論。｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, ……（1）學(xué)生觀察思考（2）師生分析

（3）解：從第5項(xiàng)起，an ＜ bn，即 n2＜2,n∈N+（n≥5）

證明：（1）當(dāng) n=5時(shí)，有52＜25，命題成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5）時(shí)命題成立 即k＜

2當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?/p>

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以，（k+1）2＜2k+1 即n=k+1時(shí)，命題成立。

由（1）（2）可知n2＜2n（n∈N+，n≥5）

學(xué)生思考、小組討論：①放縮技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k

2②歸納假設(shè)：2k<2×2

例2

證明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)

k n

n2

2k

分析：這是一個(gè)涉及正整數(shù)n的三角函數(shù)問題，又與絕對(duì)值有關(guān)，在證明遞推關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意利用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕對(duì)值不等式。

證明：（1）當(dāng) n=1時(shí)，上式左邊=│Sinθ│=右邊，不等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)命題成立，即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

當(dāng)n=k+1時(shí)，│Sin（k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│ ≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│ =│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│ ≤│Sin kθ│+│Sin θ│ ≤k│Sinθ│+│Sin θ│ =（k+1）│Sinθ│

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立。

學(xué)生思考、小組討論：①絕對(duì)值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函數(shù)的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1 ③三角函數(shù)的兩角和公式。

（板書）例3 證明貝努力（Bernoulli）不等式:

如果x是實(shí)數(shù)且x＞-1，x≠0,n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①貝努力不等式中涉幾個(gè)字母？（兩個(gè)：x,n）

②哪個(gè)字母與自然數(shù)有關(guān)？(n是大于1的自然是數(shù))

（板書）證：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）=1+2x+x，右邊=1+2x，因x＞0，則原不等式成立．

（在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）

（2）假設(shè)n=k時(shí)（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 師：現(xiàn)在要證的目標(biāo)是（1+x）＞1+（k+1）x，請(qǐng)同學(xué)考慮．

生：因?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，所以當(dāng)

k+1k

n=k+1時(shí)．應(yīng)構(gòu)造出歸納假設(shè)適應(yīng)的條件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因?yàn)閤＞

k

-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 顯然，上式中“=”不成立．

k+

1k

2n

故只需證：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提問：證明不等式的基本方法有哪些？

生：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法．

（提問的目的是使學(xué)生明確在第二步證明中，合理運(yùn)用歸納假設(shè)的同時(shí)，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用）

生：證明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比較法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x

=kx＞0（因x≠0，則x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可采用綜合法的放縮技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．

因?yàn)閗x＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生：……

（學(xué)生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)總結(jié)）

師：這些方法，哪種更簡便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生用放縮技巧證明顯然更簡便，利于書寫．

（板書）將例3的格式完整規(guī)范．

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。

（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，即有（1+x）＞1+kx 當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）

k

k

=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立

由①②可知，貝努力不等式成立。

（通過例題的講解，在第二步證明過程中，通常要進(jìn)行合理放縮，以達(dá)到轉(zhuǎn)化目的）

三、課堂小結(jié)

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變．

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對(duì)目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)．

四、課后作業(yè)

1．課本P53：1，3，5 2．證明不等式：