第一篇：數(shù)學(xué)分析 曲面積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十二章 曲面積分

教學(xué)目的：1.理解第一、二型曲面積分的有關(guān)概念，并掌握其計(jì)算方法，同時(shí)明確它們的聯(lián)系；2.掌握高斯公式與斯托克斯公式；3.理解有關(guān)場(chǎng)的概念，掌握梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)、旋度場(chǎng)、管理場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng)的性質(zhì)及應(yīng)用。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是曲面積分的概念、計(jì)算；難點(diǎn)是第二型曲面積分。教學(xué)時(shí)數(shù)：18學(xué)時(shí)

§ 1 第一型曲面積分

一.第一型面積分的定義:

1.幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析平面區(qū)域、空間幾何體的質(zhì)量定義及計(jì)算 2.曲面的質(zhì)量:

3.第一型面積分的定義: 定義及記法., 面積分

.4.第一型面積分的性質(zhì):

二.第一型面積分的計(jì)算:

1.第一型曲面積分的計(jì)算: Th22.2 設(shè)有光滑曲面 續(xù)函數(shù),則

.為 上的連.例4 計(jì)算積分, 其中 是球面

被平面

所截的頂部.P281

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D

上的連續(xù)函數(shù), 以 的上側(cè)為正側(cè)(即), 則有

.證 P 類似地, 對(duì)光滑曲面

D., 在其前側(cè)上的積分

對(duì)光滑曲面 D , 在其右側(cè)上的積分

.計(jì)算積分 ，時(shí), 通常分開(kāi)來(lái)計(jì)算三個(gè)積分

,.為此, 分別把曲面 投影到Y(jié)Z平面, ZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行計(jì)算.投影域的側(cè)由曲面 的定向決定.例1 計(jì)算積分,其中 是球面

在

部分取外側(cè).P287 例2 計(jì)算積分，為球面

取外側(cè).《數(shù)學(xué)分析》教案

對(duì)積分則有

:

;, 分別用

和

記上半球面和下半球面的外側(cè)，:

.因此, =

+ =

.綜上, =

§ 3 Gauss公式和Stokes 公式

.一.Gauss公式:

Th22.6 設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面 圍成.若函數(shù)

在V

上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則

, 其中 取外側(cè).稱上述公式為Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.《數(shù)學(xué)分析》教案

解

.由Gauss公式.例2 計(jì)算積分，其中 是邊

.P291 長(zhǎng)為的正方體V的表面取外側(cè).V : 解 應(yīng)用Gauss公式 , 有

.例1 計(jì)算積分

在平面，為錐面

下方的部分，取外法線方向.解 設(shè) 為圓

取上側(cè) , 則

構(gòu)成由其所圍錐體 V的表面外側(cè) , 由Gauss公式 , 有 =

而

錐體V的體積

;

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二.Stokes公式:

空間雙側(cè)曲面的正側(cè)與其邊界閉合曲線L正向的匹配關(guān)系: 右手螺旋法則, 即當(dāng)人站在曲面的正側(cè)上, 沿邊界曲線L行走時(shí), 若曲面在左側(cè), 則把人的前進(jìn)方向定為L(zhǎng)的正向.1.Stokes定理:

Th22.7 設(shè)光滑曲面 的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線.若函數(shù)、導(dǎo)數(shù) , 則

和

在(連同L)上連續(xù) ,且有一階連續(xù)的偏

.其中 的側(cè)與L的方向按右手法則確定.稱該公式為Stokes公式.證 先證式.具體證明參閱P292.Stokes公式也記為.例5 計(jì)算積分 , 其中 L為平面

與各坐標(biāo)平面的交線, 方向?yàn)? 從平面的上方往下看為逆時(shí)針?lè)较?P294

第二篇：數(shù)學(xué)分析 重積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十一章 重積分

教學(xué)目的：1.理解并掌握二重積分的有關(guān)概念及可積條件，進(jìn)而會(huì)計(jì)算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計(jì)算方法，并能應(yīng)用其解決有關(guān) 的數(shù)學(xué)、物理方面的計(jì)算問(wèn)題；

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是重積分的計(jì)算和格林公式；難點(diǎn)是化重積分為累次積分。

教學(xué)時(shí)數(shù)：22學(xué)時(shí)

§ 1 二重積分概念

一.矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入.用直線網(wǎng)分割.定義 二重積分.例1 用定義計(jì)算二重積分

.用直線網(wǎng)

分割該正方形 , 在每個(gè)正方形上取其右上頂點(diǎn)為介點(diǎn).解

.二.可積條件 : D

.大和與小和.Th 1 ，.《數(shù)學(xué)分析》教案

性質(zhì)6

.性質(zhì)7 中值定理.Th 若區(qū)域D 的邊界是由有限條連續(xù)曲線()組成 , 例3 去掉積分

在D上連續(xù) , 則

在D上可積.或

中的絕對(duì)值.§ 2 二重積分的計(jì)算

二.化二重積分為累次積分:

1.矩形域

上的二重積分:

用“ 體積為冪在勢(shì)上的積分”推導(dǎo)公式.2.簡(jiǎn)單域上的二重積分: 簡(jiǎn)推公式, 一般結(jié)果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 為三角形, 三個(gè)頂點(diǎn)為 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積.P222例4.《數(shù)學(xué)分析》教案

解法一(直接計(jì)算積分)曲線AB的方程為

.方向?yàn)樽匀环较虻姆聪?因此

.解法二(用Green公式)補(bǔ)上線段BO和OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)), 成閉路.設(shè)所圍

區(qū)域?yàn)镈, 注意到 D為反向, 以及, 有

.例2 計(jì)算積分 I =, 其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域D的邊界(方向任意)P227例2 解 導(dǎo)數(shù))..（和

在D上有連續(xù)的偏,.于是, I =.二.曲線積分與路線無(wú)關(guān)性:

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;.例6 驗(yàn)證式 P231例4

是恰當(dāng)微分, 并求其原函數(shù).§ 4 二重積分的變量變換:（4時(shí)）

1.二重積分的變量變換公式: 設(shè)變換 的Jacobi , 則

, 其中 是在該變換的逆變換

下平面上的區(qū)域 在

平面上的象.由條件

一般先引出變換

.而 , 這里的逆變換是存在的., 由此求出變換

.例1 ,.P235 例1.註

當(dāng)被積函數(shù)形如 區(qū)域?yàn)橹本€型時(shí), 可試用線性變換 , 積分.《數(shù)學(xué)分析》教案

極坐標(biāo)變換: ,.廣義極坐標(biāo)變換: ,.例4.P240例3.例5(Viviani問(wèn)題)求球體 被圓柱面

所割下立體的體積.P240例4.例6 應(yīng)用二重積分求廣義積分

.P241例5.例7 求橢球體

四.積分換序: 例8 連續(xù).對(duì)積分的體積.P241例6.換序..例9 連續(xù).對(duì)積分

換序..例10 計(jì)算積分

..§ 5 三重積分簡(jiǎn)介

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例2 , :.解.法一(內(nèi)二外一), 其中 為橢圓域 , 即橢圓域, 其面積為.因此

.同理得 ,.因此.法二(內(nèi)一外二)上下對(duì)稱，為 的偶函數(shù)，1

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Th 21.13 P247.1.柱坐標(biāo): P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐標(biāo): P249.P 250例4.§ 6 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面方程為

.有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).推導(dǎo)曲面面積公式 , 或.例1 P253例1`.3-

第三篇：曲線、曲面積分方法小結(jié)

求曲線、曲面積分的方法與技巧

一.曲線積分的計(jì)算方法與技巧

計(jì)算曲線積分一般采用的方法有：利用變量參數(shù)化將曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分、利用格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分、利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分、利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件通過(guò)改變積分路徑進(jìn)行計(jì)算、利用全微分公式通過(guò)求原函數(shù)進(jìn)行計(jì)算等方法。

例一．計(jì)算曲線積分?ydx?xdy,其中L是圓x2?y2?2x(y?0)上從原點(diǎn)

LO(0,0)到A(2,0)的一段弧。

本題以下采用多種方法進(jìn)行計(jì)算。

??1?x?x?x,L由O?A,x由0?2,dy?dx.解1：OA的方程為?22?2x?x?y?2x?x,2?[2x?x?ydx?xdy??2x(1?x)2x?x202L0]dx

?x2x?x220??x(1?x)2x?x2dx??2x(1?x)2x?x20dx

?24?4?0?0.分析：解1是利用變量參數(shù)化將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分進(jìn)行計(jì)算的，選用的參變量為x.因所求的積分為第二類曲線積分，曲線是有方向的，在這種解法中應(yīng)注意參變量積分限的選定，應(yīng)選用對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。

?解2：在弧OA上取B(1,1)點(diǎn)，??y?y?y,L由O?B,y由0?1,dx?OB的方程為?dy.22?1?y?x?1?1?y,??y?y?y,L由B?A,y由1?0,dx??BA的方程為?dy.22?1?y?x?1?1?y,?ydx?xdy??(L01y21?y2?1?1?y)dy??(?120y21?y2?1?1?y2)dy

?2?10y21?y2dy?2?101?ydy?2?021y21?y2dy?2y1?y210?2?10?y21?y2dy

??2(1?1?0)?0.分析：解2是選用參變量為y,利用變量參數(shù)化直接計(jì)算所求曲線積分的，在方法類型上與解1相同。不同的是以y為參數(shù)時(shí)，路徑L不能用一個(gè)方程表示，因此原曲線積分需分成兩部分進(jìn)行計(jì)算，在每一部分的計(jì)算中都需選用在該部分中參數(shù)的起始值作為定積分的下限。

?解3：OA的參數(shù)方程為x?1?cos?,y?sin?,L由O?B?A,?由??0，dx??sin?d?,dy?cos?d?.?ydx?xdy???[?sin??(1?cos?)cos?]d???20?L0[?cos??cos2?]d?

?1?(?sin??sin2?)0?0.2?解4：OA的極坐標(biāo)方程為r?2cos?,因此參數(shù)方程為

x?rcos??2cos2?,dy?rsin??2sin?cos?,L由O?B?A,?由dx??4sin?cos?d?,dy?2(cos2??sin2?)d?.22222?[?8sin?cos??4cos?(cos??sin?)]d?ydx?xdy???0?2?0，L21?31??4?2[3cos2??4cos4?]d??4(3???4???)?0.022422 ?分析：解3和解4仍然是通過(guò)采用變量參數(shù)化直接計(jì)算的。可見(jiàn)一條曲線的參數(shù)方程不是唯一的，采用不同的參數(shù)，轉(zhuǎn)化所得的定積分是不同的，但都需用對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。

解5：添加輔助線段AO，利用格林公式求解。因P?y,Q?x,?Q?P??1?1?0,于是 ?x?yL?AO?ydx?xdy????0dxdy，D而AO?ydx?xdy??0dx?0, 2 故得?ydx?xdy?LL?AO??AO??0.分析：在利用格林公式?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???(LD?Q?P?)dxdy將所求曲線?x?y積分轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算時(shí)，當(dāng)所求曲線積分的路徑非封閉曲線時(shí)，需添加輔助曲線,采用“補(bǔ)路封閉法”進(jìn)行計(jì)算再減去補(bǔ)路上的積分，但P,Q必須在補(bǔ)路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。L是D的正向邊界曲線。解5中添加了輔助線段AO,使曲線L?AO為正向封閉曲線。

解6：由于P?y,Q?x,?Q?P??1,于是此積分與路徑無(wú)關(guān)，故 ?x?y(2,0)(0,0)?ydx?xdy?LOA?ydx?xdy??ydx?xdy??0dx?0.02

?Q?P?,?x?y分析：由于P,Q在閉區(qū)域D上應(yīng)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在D內(nèi)因此所求積分只與積分路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，因此可改變?cè)贚上的積分為在OA上積分，注意O點(diǎn)對(duì)應(yīng)L的起點(diǎn)。一般選用與坐標(biāo)軸平行的折線段作為新的積分路徑，可使原積分得到簡(jiǎn)化。

解7：由全微分公式y(tǒng)dx?xdy?d(xy)，?ydx?xdy??L(2,0)(0,0)d(xy)?xy(2,0)(0,0)?0.分析：此解根據(jù)被積表達(dá)式的特征，用湊全微分法直接求出。例二．計(jì)算曲線積分?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中C是曲線

C?x2?y2?1,從z軸正向往z軸負(fù)向看C的方向是順時(shí)針的。??x?y?z?2,解1：設(shè)?表示平面x?y?z?2上以曲線L為邊界的曲面，其中?的正側(cè)與L的正向一致，即?是下側(cè)曲面，?在xoy面上的投影區(qū)域Dxy：x2?y2?1.由斯托克斯公式

dydzdzdxdxdy???(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz ?????x?y?zC?z?yx?zx?y ?2??dxdy??2??dxdy??2?.?Dxy解2：利用兩類曲面積分間的聯(lián)系，所求曲線積分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出

cos?cos?cos????(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz?dS ????x?y?zC?z?yx?zx?y???(0?0?2cos?)dS，?而平面?：x?y?z?2的法向量向下，故取n?{?1,1,?1},cos??于是上式??13,?23??dS???23x2?y2?1??1?(?1)2?1dxdy??2?.分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積

dydzdzdxdxdy???分計(jì)算的。在利用斯托克斯公式????Pdx?Qdy?Rdz計(jì)算時(shí)

?x?y?z?LPQR首先應(yīng)驗(yàn)證函數(shù)P,Q,R在曲面?連同邊界L上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且L的正向與?的側(cè)符合右手規(guī)則。在計(jì)算空間曲線積分時(shí)，此法也是常用的。

解3：將積分曲線用參數(shù)方程表示，將此曲線積分化為定積分。設(shè)x?cos?,y?sin?,則z?2?x?y?2?cos??sin?,?從2??0.C?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz

??[(2?cos?)(?sin?)?(2cos??2?sin?)cos??

2?0(cos??sin?)(sin??cos?)]d?

??[2(sin??cos?)?2cos2??cos2?]d?

02???[2sin??1?cos2?]d???2?.02??x2?y2?z2?R2,例三．計(jì)算?(x?y?2z)ds,其中?為曲線??x?y?z?0.?22(1)(2)4 解1：由于當(dāng)積分變量x,y,z輪換位置時(shí)，曲線方程不變，而且第一類曲線積分與弧的方向無(wú)關(guān)，故有

1R2222??xds???yds???zds?3??(x?y?z)ds?3??ds.222由曲線?是球面x2?y2?z2?R2上的大圓周曲線，其長(zhǎng)為2?R.故

??(x2?y2)ds?224R?2?R??R3.33?由于?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由被積函數(shù)為奇函數(shù)，得 ?zds?0.于是

4322(x?y?2z)ds??R.?3?解2：利用在?上，x2?y2?z2?R2，原式??(x2?y2?z2?z2?2z)ds?R2?ds??z2ds?2?zds

????R2再由對(duì)稱性可得?zds?，于是 ?2?R（同解1）

3?2R24?2?R?2?0??R3.上式?R?2?R?332分析：以上解1解2利用對(duì)稱性，簡(jiǎn)化了計(jì)算。在第一類曲線積分的計(jì)算中，當(dāng)積分變量在曲線方程中具有輪換對(duì)稱性（即變量輪換位置，曲線方程不變）時(shí)，采用此法進(jìn)行計(jì)算常常是有效的。

例四．求?(x?1)2ydx?xdy?y2?1上在上半平面內(nèi)從,其中L為橢圓曲線229x?yLA(?2,0)?B(4,0)的弧。

解：添加輔助線 l為x2?y2??2的順時(shí)針?lè)较虻纳习雸A周以及有向線段AC,DB，其中?是足夠小的正數(shù)，使曲線x2?y2??2包含在橢圓曲線(x?1)2?y2?1內(nèi)。由于 9??x?yx2?y2(2，)?(2)?22222?xx?y?yx?y(x?y)由格林公式，有??L??AC????lDB?0.5 設(shè)y??sin?,x??cos?,有

?lydx?xdy??2sin2???2cos2???d???,222x?y??0

再由AC?ydx?xdyydx?xdy?0,?0.于是 2222?x?yx?yDB?Lydx?xdyydx?xdy??.?2222?x?ylx?y分析：利用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的，但必須要考慮被積函數(shù)和所考慮的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件。由于本題中在(0,0)點(diǎn)附近P?y?x 無(wú)定義，于是采用在橢圓內(nèi)部(0,0)附近挖去一個(gè)小圓，,Q?x2?y2x2?y2使被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域上滿足格林公式條件。這種采用挖去一個(gè)小圓的方法是常用的，當(dāng)然在內(nèi)部挖去一個(gè)小橢圓也是可行的。同時(shí)在用格林公式時(shí)，也必須注意邊界曲線取正向。

例五．求八分之一的球面x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密度??1.解：設(shè)邊界曲線L在三個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)的弧段分別為L(zhǎng)1,L2,L3,則L的質(zhì)量為

m???ds??ds?3?LL2?R3??R.42設(shè)邊界曲線L的重心為(x,y,z)，則

x?11xds?{?xds??0ds??xds} m?mLL1L2L322R?x??xds??x1?()2dx mL1m0R2?x2?2RR?2R22xdx?R?xm?0mR2?x2R0

2R22R24R???.3m?R3?2由對(duì)稱性可知x?y?z?4R.3? 6 分析：這是一個(gè)第一類曲線積分的應(yīng)用題。在計(jì)算上要注意將曲線L分成三個(gè)部分：L1:y?0,0?x?R,z?R2?x2,L2:z?0,0?x?R,y?R2?x2，L3:x?0,0?y?R,z?R2?y2.另一方面由曲線關(guān)于坐標(biāo)系的對(duì)稱性，利用可x?y?z簡(jiǎn)化計(jì)算。

二.曲面積分的計(jì)算方法與技巧

計(jì)算曲面積分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三換”的法則，將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分、利用“一投，二代，三定號(hào)”的法則將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分，利用高斯公式將閉曲面上的積分轉(zhuǎn)化為該曲面所圍區(qū)域上的三重積分等。

例六．計(jì)算曲面積分??zdS,其中?為錐面z?x2?y2在柱體x2?y2?2x內(nèi)

?的部分。

解：?在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈:x2?y2?2x，曲面?的方程為

z?x2?y2,(x,y)?D.2?22??x2?y2dxdy.因此 ??zdS???x2?y21?(z?x)?(zy)dxdy??DD對(duì)區(qū)域D作極坐標(biāo)變換?域D:??x?rcos?,則該變換將區(qū)域D變成(r,?)坐標(biāo)系中的區(qū)

?y?sin?,?2(r,?)????2,0?r?2cos?,因此

?2cos???Dx2?y2dxdy??2?d???20832r2dr??2?cos3?d??.3?29?分析：以上解是按“一投，二代，三換”的法則，將所給的第一類曲面積分化為二重積分計(jì)算的。“一投”是指將積分曲面?投向使投影面積不為零的坐標(biāo)面?！岸笔侵笇?的方程先化為投影面上兩個(gè)變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式?！叭龘Q”是指將dS換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的曲面面積元素，即dS?1?(?y?y?z2?z)?()2dxdy,或dS?1?()2?()2dzdx,?x?z?x?y或dS?1?(?x2?x2y)?()dxdz.上解中的投影區(qū)域在xOy平面上，因此用代換?x?z7 dS?1?(?z2?z)?()2dxdy,由于投影區(qū)域是圓域，故變換成極坐標(biāo)計(jì)算。?x?y例七．設(shè)半徑為R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上，問(wèn)R為何值時(shí)，球面?在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？

解：不妨設(shè)?的球心為(0,0,a)，那么?的方程為x2?y2?(z?a)2?R2,它

2222??x?y?z?a,與定球面的交線為?2即 222??x?y?(z?a)?R,?2R2(4a2?R2)2x?y?,?2?4a ?2?z?a?R.?2a?設(shè)含在定球面內(nèi)部的?上那部分球面?1在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈，那么R2(4a2?R2)D:x?y?,且這部分球面的方程為

4a222z?a?R2?x2?y2,(x,y)?D.則?1的面積為

2?2S???dS???1?(z?x)?(zy)dxdy?R???1DDdxdyR?x?y2222

?R?2?0d??R4a2?R22a0rdrR?r22?2?R(?R?r)2R4a2?R22a0

?2?R2?2a?R.2a2a?R在[0,2a]上的最大值。2a以下只需求函數(shù)S(R)?2?R2?4a4a3R2,且S??()??4??0.由問(wèn))?0,得唯一駐點(diǎn)R?由令S?(R)?2?(2R?332a題的實(shí)際意義知S(R)在R?322a?.274a4a處取得最大值。即R?時(shí)，?1的面積最大，為33分析：本題是第一類曲面積分的應(yīng)用題，在計(jì)算中關(guān)鍵是利用了球面的對(duì)稱性，和確定了含在定球面內(nèi)部的?上那部分球面?1在xOy面上的投影區(qū)域D。在此基礎(chǔ)上，按上題分析中的“一投，二代，三換”的法則即可解得結(jié)果。

例八．計(jì)算曲面積分??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S為有向曲面

Sz?x2?y2(0?z?1), 其法向量與z軸正向的夾角為銳角。解1：設(shè)Dyz,Dxy分別表示S在yoz平面，xoy平面上的投影區(qū)域，則，??(2x?z)dydz?zdxdy

S?Dyz2222?(x?y)dxdy(2z?y?z)(?dydz)?(?2z?y?z)dydz??????DyzDxy??4??z?y2dydz???(x2?y2)dxdy.DyzDxy其中??z?y2dydz??dy?Dyz?111y2412z?ydz??(1?y2)3dy

30?2令y?sint，??Dyz4431??z?ydydz??2cos4tdt?????，30342242又 ??(x2?y2)dxdy??d??r2?rdr?Dxy002?1?2，所以 ??(2x?z)dydz?zdxdy??4?S?4????.22?分析：計(jì)算第二類曲面積分，若是組合型，常按“一投，二代，三定號(hào)”法則將各單一型化為二重積分這里的“一投”是指將積分曲面?投向單一型中已指定的坐標(biāo)面?！岸笔侵笇?的方程先化為投影面上兩個(gè)變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式?！叭ㄌ?hào)”是指依曲面?的定側(cè)向量，決定二重積分前的“+”，“-”符號(hào)，當(dāng)?的定側(cè)向量指向坐標(biāo)面的上（右，前）方時(shí)，二重積分前面取“+”，反之取“-”。

解2:利用dS?dydzdzdxdxdy??化組合型為單一型.cos?cos?cos???(2x?z)dydz?zdxdy???[(2x?z)SScos??z]dxdy.cos?cos????2x, 因S的法向量與z軸正向的夾角為銳角,取n?{?2x,?2y,1},故有

cos?于是 原式???[(2x?z)(?2x)?z]dxdy

S?因?yàn)閤2?y2?122222[?4x?2x(x?y)?(x?y)]dxdy.??x2?y2?122?2x(x?y)dxdy?0,所以 ??上式?x2?y2?12?0222[?4x?(x?y)]dxdy??

?4?d??(?4r2cos2??r2)rdr??01?2.分析：計(jì)算第二類曲面積分，若是組合型，也可利用公式dS?dydzdzdxdxdy??，先化組合型為統(tǒng)一的單一型，再按“一投，二代，cos?cos?cos?三定號(hào)”法則將單一型化為為二重積分求得。

解3：以S1表示法向量指向z軸負(fù)向的有向平面z?1(x2?y2?1)，D為S1在xoy平面上的投影區(qū)域，則

??(2x?z)dydz?zdxdy???(?dxdy)???.S1D設(shè)?表示由S和S1所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式得

S?S1??(2x?z)dydz?zdxdy?????(2?1)dv

???3?d??rdr?2dz??6??(r?r3)dr

00r02?111r2r413??6?[?]0???.2423?因此 ??(2x?z)dydz?zdxdy????(??)??.22S分析：利用高斯公式??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(???P?Q?R??)dxdydz，?x?y?z可將曲面積分化為三重積分求得。但必需滿足P,Q,R在閉區(qū)域?上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，?是邊界曲面的外側(cè)。本題中的曲面S不是封閉曲面，故添加了S1，使S?S1為封閉曲面，并使S?S1的側(cè)符合高斯公式對(duì)邊界曲面的要求。

例九：計(jì)算曲面積分I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,其中?是由

???z?y?1,1?y?3,曲線?繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量與y軸正向的??x?0?夾角恒大于.2?x2?z2?2,解：設(shè)?1:?表示y?3上與y軸正向同側(cè)的曲面，由?和?1所圍?y?3立體記為?.由高斯公式得

???1??x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy????dxdydz，?因此I????dxdydz???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy.??1由于?在xOz面上的投影區(qū)域?yàn)镈:x2?z2?2.注意到?1在xOz面，yOz面上的投影不構(gòu)成區(qū)域，且在?1上y?3,從而?:x2?z2?1?y?3,(x,y)?D，I???(2?x2?z2)dxdz?16??dxdz?18??dxdz???(x2?z2)dxdz

DDDD36??2??34?.分析：?是旋轉(zhuǎn)曲面y?x2?z2?1,1?y?3且指向外側(cè)，在?上補(bǔ)上曲面?x2?z2?2,?1:?指向與y軸正向相同，那么由高斯公式就可將原式化成三重積分y?3?和?1上的曲面積分進(jìn)行計(jì)算。

例十．設(shè)空間區(qū)域?由曲面z?a2?x2?y2與平面z?0圍成，其中a為正常數(shù)。記?表面的外側(cè)為S,?的體積為V,證明

2222xyzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy?V.??S證明：設(shè)P(x,y,z)?x2yz2, Q(x,y,z)??xy2z2, R(x,y,z)?z(1?xyz),則

?P?R?Q?2xyz2,?1?2xyz.??2xyz2,?x?z?y由高斯公式知

??xS2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy

????(2xyz2?2xyz2?1?2xyz)dv????dv?2???xyzdv

????V?2???xyzdv.????xyzdv???[??x?y?a222a2?x2?y20xyzdz]dxdy?2x?y2?a2??xy(a2?x2?y2)dxdy2 ??2?02?0d??a0r3sin?cos?(a2?r2)2dr，2由于?sin?cos?d??0,則???xyzdv?0,因此

?2222xyzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy?V.??S分析：由于求證的是給定的曲面積分等于某個(gè)區(qū)域的體積值，而高斯公式給出了曲面積分與該曲面包含的區(qū)域上的某個(gè)三重積分間的關(guān)系，考慮到體積值可用相應(yīng)的三重積分表示，故選用高斯公式進(jìn)行證明。

第四篇：曲線積分與曲面積分重點(diǎn)總結(jié)+例題

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

第十章

曲線積分與曲面積分

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2.掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。

3.熟練掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。4.了解第一類曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握計(jì)算第一類曲面積分的方法。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1.兩類曲線積分的計(jì)算方法； 2.格林公式及其應(yīng)用；

3.第一類曲面積分的計(jì)算方法；

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.兩類曲線積分的關(guān)系及第一類曲面積分的關(guān)系； 2.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算； 3.應(yīng)用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分； 6.兩類曲線積分的計(jì)算方法；

7.格林公式及其應(yīng)用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分；

【參考書(shū)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§11.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?

設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上? 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x? y)處的線密度為?(x? y)? 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?

把曲線分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧長(zhǎng))?

任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段質(zhì)量的近似值?(?i ? ?i)?si?

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高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M???(?i,?i)?si?

i?1n

令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為

M?lim??(?i,?i)?si?

??0i?1n

這種和的極限在研究其它問(wèn)題時(shí)也會(huì)遇到?

定義

設(shè)函數(shù)f(x? y)定義在可求長(zhǎng)度的曲線L上? 并且有界?，將L任意分成n個(gè)弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧長(zhǎng)? 在每一弧段?si上任取一點(diǎn)(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si? 令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此i?1n極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的 曲線積分或第一類曲線積分? 記作

?Lf(x,y)ds? 即

n

lim?f(?i,?i)?si?

?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?

曲線積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)? 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分?Lf(x,y)ds是存在的?

以后我們總假定f(x? y)在L上是連續(xù)的?

根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義?曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分中?(x? y)為線密度?

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的推廣?

?L?(x,y)ds的值? 其

lim?f(?i,?i,?i)?si?

??f(x,y,z)ds???0i?1n

如果L(或?)是分段光滑的? 則規(guī)定函數(shù)在L(或?)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和? 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2? 則規(guī)定

?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?

L1L

2閉曲線積分? 如果L是閉曲線? 那么函數(shù)f(x? y)在閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記作

?Lf(x,y)ds?

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高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)?

性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則

?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?

性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2? 則

?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?

2性質(zhì)3設(shè)在L上f(x? y)?g(x? y)? 則

特別地? 有

|?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?

?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds

二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法

根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義? 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x? y)? 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為 ?Lf(x,y)ds?

x??(t)? y??(t)(??t??)?

另一方面? 若曲線L的參數(shù)方程為 則質(zhì)量元素為

f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲線的質(zhì)量為

即

??2(t)???2(t)dt?

???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

???L

定理 設(shè)f(x? y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)? L的參數(shù)方程為 x??(t)? y??(t)(??t??)?

其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且??2(t)???2(t)?0? 則曲線積分在? 且

應(yīng)注意的問(wèn)題? 定積分的下限?一定要小于上限??

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?Lf(x,y)ds存?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?

??高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

討論?

(1)若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)? 則提示?

L的參數(shù)方程為x?x? y??(x)(a?x?b)?

?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?

ab

(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)? 則提示?

L的參數(shù)方程為x??(y)? y?y(c?y?d)?

?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[?(y),y]??2(y)?1dy?

cd

(3)若曲?的方程為x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?

則??f(x,y,z)ds??

提示? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?

??

例1 計(jì)算?Lyds? 其中L是拋物線y?x2上點(diǎn)O(0? 0)與點(diǎn)B(1? 1)之間的一段弧?

解 曲線的方程為y?x2(0?x?1)? 因此

?L11yds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?

001

2例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度為??1)?

解 取坐標(biāo)系如圖所示? 則I??Ly2ds?

曲線L的參數(shù)方程為

x?Rcos?? y?Rsin?(????

于是

I??Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?

???

?R3???sin2?d??R(??sin? cos?)? 3?

例3 計(jì)算曲線積分??(x2?y2?z2)ds? 其中?為螺旋線x?acost、y?asint、z?kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2?的一段弧?

解 在曲線?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且

ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?

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高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

于是

?22z2)ds??2??(x?y?0(a2?k2t2)a2?k2dt

?23?a2?k2(3a2?4?2k2)?

小結(jié)

用曲線積分解決問(wèn)題的步驟?

(1)建立曲線積分?

(2)寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標(biāo)方程)? 確定參數(shù)的變化范圍?

(3)將曲線積分化為定積分?

(4)計(jì)算定積分?

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意曲線積分解決問(wèn)題的步驟，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.已知橢圓L:x2y2??1周長(zhǎng)為a，求?(2xy?3x2?4y243)ds。L2.設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線r?a,??0及???4所圍成區(qū)域的邊界，I??ex2?y2ds

C講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)

作業(yè) P190: 3（1）（3）（5）（7）

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求高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

§11? 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)

變力沿曲線所作的功?

設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B? 試求變力F(x? y)所作的功?

用曲線L上的點(diǎn)A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n個(gè)小弧段?

設(shè)Ak?(xk ? yk)? 有向線段AkAk?1的長(zhǎng)度為?sk? 它與x軸的夾角為?k ? 則

AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?

???顯然? 變力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似為

F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 變力F(x? y)所作的功

W??從而

W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?

L這里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲線L在點(diǎn)(x? y)處的與曲線方向一致的單位切向量?

把L分成n個(gè)小弧段? L1?

L2? ? ? ??

Ln?變力在Li上所作的功近似為?

F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ?

變力在L上所作的功近似為?

n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?

k?1?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1nn

變力在L上所作的功的精確值?

W?lim ??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

其中?是各小弧段長(zhǎng)度的最大值?

提示?

用?si?{?xi??yi}表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量? 用?si表示?si的模?

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義?

定義 設(shè)函數(shù)f(x? y)在有向光滑曲線L上有界? 把L分成n個(gè)有向小弧段L1?

L2? ? ? ??

Ln? 小弧段Li的起點(diǎn)為(xi?1? yi?1)? 終點(diǎn)為(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1?(?i? ?)為L(zhǎng)i上任意一點(diǎn)? ?為各小弧段長(zhǎng)度的最大值?

如果極限lim??0?f(?i,?i)?xi總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)i?1nx的曲線積分? 記作

lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx? 即?Lf(x,y)dx???0i?1n

設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線? {cos?? sin?}是與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y)、Q(x? y)在L上有定義?

如果下列二式右端的積分存在? 我們就定義

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds?

?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?

前者稱為函數(shù)P(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分? 后者稱為函數(shù)Q(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分? 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分?

定義的推廣?

設(shè)?為空間內(nèi)一條光滑有向曲線? {cos?? cos?? cos?}是曲線在點(diǎn)(x? y? z)處的與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定義? 我們定義(假如各式右端的積分存在)

??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?

??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?

nnlim?f(?i,?i,?i)?xi? ?f(x,y,z)dy?lim?f(?i,?i,?i)?yi?

?Lf(x,y,z)dx??L?0??0i?1i?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫(xiě)形式?

n?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?

?對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)?

(1)如果把L分成L1和L2? 則

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

2(2)設(shè)L是有向曲線弧? ?L是與L方向相反的有向曲線弧? 則

??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

兩類曲線積分之間的關(guān)系?

設(shè){cos?i? sin?i}為與?si同向的單位向量? 我們注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?

lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n

?lim??0?f(?i,?i)cos?i?si??Lf(x,y)cos?ds?

i?1nn

lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i??lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?

i?1n即

?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds?

?LA?dr??LA?tds?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 或

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(diǎn)(x? y)處單位切向量? dr?tds?{dx? dy}?

類似地有

或

??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?

??A?dr???A?tds???Atds?

其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(diǎn)(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t為向量A在向量t上的投影?

二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算?

定理? 設(shè)P(x? y)、Q(x? y)是定義在光滑有向曲線L? x??(t)? y??(t)? 上的連續(xù)函數(shù)? 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由?變到?時(shí)? 點(diǎn)M(x? y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B? 則

??L?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

?Q(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?

??討論?

提示?

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？

???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?

定理? 若P(x? y)是定義在光滑有向曲線 L?

x??(t)? y??(t)(??t??)上的連續(xù)函數(shù)? L的方向與t的增加方向一致? 則

??LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

?

簡(jiǎn)要證明? 不妨設(shè)???? 對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{??(t)? ??(t)}?

所以

cos????(t)?

22??(t)???(t)從而

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds

????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt

??2(t)???2(t)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

?

?應(yīng)注意的問(wèn)題? ??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

下限a對(duì)應(yīng)于L的起點(diǎn)? 上限? 對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn)? ?不一定小于? ?

討論?

若空間曲線?由參數(shù)方程x??t)? y =?(t)? z??(t)給出? 那么曲線積分

如何計(jì)算？提示?

???P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?？

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

? ?{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt? ?其中?對(duì)應(yīng)于?的起點(diǎn)? ?對(duì)應(yīng)于?的終點(diǎn)?

例題?

例1?計(jì)算?Lxydx? 其中L為拋物線y?x上從點(diǎn)A(1? ?1)到點(diǎn)B(1? 1)的一段弧?

2例2? 計(jì)算?Ly2dx?

(1)L為按逆時(shí)針?lè)较蚶@行的上半圓周x2+y2=a2 ?

(2)從點(diǎn)A(a? 0)沿x軸到點(diǎn)B(?a?

0)的直線段?

例3 計(jì)算?L2xydx?x2dy?(1)拋物線y?x2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(2)拋物線x?y2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(3)從O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R(1? 1)的有向折線OAB ?

例4? 計(jì)算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是從點(diǎn)A(3? 2? 1)到點(diǎn)B(0? 0? 0)的直線段AB?

例5? 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(x? y)處受到力F的作用? F的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比? F

x2?y2?1的方向恒指向原點(diǎn)?

此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a? 0)沿橢圓2按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)到點(diǎn)B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?

小結(jié)

1.第二類曲線積分的定義；

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

2.第二類曲線積分的計(jì)算方法。

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意第二類曲線積分的定義和計(jì)算方法，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.已知?為折線ABCOA，計(jì)算I?dx?dy?ydz

??講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì) 作業(yè) P200: 3（1）（3）（5）（7），4

§11?3 格林公式及其應(yīng)用

一、格林公式

單連通與復(fù)連通區(qū)域?

設(shè)D為平面區(qū)域? 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D?

則稱D為平面單連通區(qū)域? 否則稱為復(fù)連通區(qū)域?

對(duì)平面區(qū)域D的邊界曲線L? 我們規(guī)定L的正向如下? 當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí)? D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊?

區(qū)域D的邊界曲線L的方向?

定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有

??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?

L?x?y其中L是D的取正向的邊界曲線?

簡(jiǎn)要證明? 僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)行證明?

設(shè)D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因?yàn)?/p>

?P連續(xù)? 所以由二重積分的計(jì)算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?

21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有

?Pdx??Pdx??Pdx??P[x,?1(x)]dx??P[x,?2(x)]dx

LL1L2abba

?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?

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?ab高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

因此

??Pdxdy?Pdx?

???y?LD

設(shè)D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 類似地可證

?Q???xdxdy??LQdx?

D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上兩式同時(shí)成立? 兩式合并即得

??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy?

???L?x?y?D?

應(yīng)注意的問(wèn)題?

對(duì)復(fù)連通區(qū)域D? 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分? 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來(lái)說(shuō)都是正向?

設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L(zhǎng)? 取P??y? Q?x? 則由格林公式得

21xdy?ydx? dxdy?xdy?ydx? 或A?dxdy????L???L2DD

例1? 橢圓x?a cos? ? y?b sin? 所圍成圖形的面積A?

分析?

只要?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A?

?x?y?x?yDD

例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線? 證明

?L2xydx?x2dy?0?

??e?ydxdy? 其中D是以O(shè)(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域?

D

2例3? 計(jì)算

分析? 要使?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y?

?x?y

例4 計(jì)算xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線?

L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?

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高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

?y?Qy2?x2?Px2

2解? 令P?2? Q?2? 則當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?

???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈? 當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得

xdy?ydx?Lx2?y2?0?

當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D 1? 應(yīng)用格林公式得

xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?

其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針?lè)较?

于是

2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydx?d??2?? ? 2?Lx2?y2?lx2?y2?0r記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈?

當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得

xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0?

D?y?Qy2?x2?Px22分析? 這里P?2? Q?2? 當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?

???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2

二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件

曲線積分與路徑無(wú)關(guān)?

設(shè)G是一個(gè)開(kāi)區(qū)域? P(x? y)、Q(x? y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L

1、L 2? 等式

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy

12恒成立? 就說(shuō)曲線積分

設(shè)曲線積分的曲線? 則有

?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)? 否則說(shuō)與路徑有關(guān)?

1和?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)? L

L 2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

12高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

因?yàn)?/p>

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?0

121

2??LPdx?Qdy??L1?2Pdx?Qdy?0??L1?(L2?)Pdx?Qdy?0?

所以有以下結(jié)論?

曲線積分?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)相當(dāng)于沿G內(nèi)任意

?LPdx?Qdy等于零? 閉曲線C的曲線積分

定理2 設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則曲線積分?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）

?P??Q ?y?x的充分必要條件是等式

在G內(nèi)恒成立?

充分性易證?

若?P??Q? 則?Q??P?0? 由格林公式? 對(duì)任意閉曲線L? 有

?y?x?x?y

??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0?

?L????x?y?D?

必要性?

假設(shè)存在一點(diǎn)M0?G? 使?Q?P?Q?P????0? 不妨設(shè)?>0? 則由?的連續(xù)性? 存在?x?y?x?y?Q?P???? 于是沿鄰域U(M0, ?)邊界l 的?x?y2M0的一個(gè)? 鄰域U(M0, ?)? 使在此鄰域內(nèi)有閉曲線積分

?Pdx?Qdy?lU(M0,?)??(?Q?P??)dxdy????2?0?

?x?y2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

這與閉曲線積分為零相矛盾? 因此在G內(nèi) 應(yīng)注意的問(wèn)題?

?Q?P??0?

?x?y

定理要求? 區(qū)域G是單連通區(qū)域? 且函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?

如果這兩個(gè)條件之一不能滿足? 那么定理的結(jié)論不能保證成立?

破壞函數(shù)P、Q及?P?Q、連續(xù)性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)?

?y?x

例5 計(jì)算?L2xydx?x2dy? 其中L為拋物線y?x2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?

解? 因?yàn)?P??Q?2x在整個(gè)xOy面內(nèi)都成立?

?y?x所以在整個(gè)xOy面內(nèi)? 積分

?L2xydx?x2dy與路徑無(wú)關(guān)?

?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy

?12dy?1? ?01討論?

設(shè)L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線? L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较? 問(wèn)xdy?ydx?Lx2?y2?0是否一定成立？

?yx在點(diǎn)(0? 0)不連續(xù)?

Q?和x2?y2x2?y2提示? 這里P??Qy2?x2?P因?yàn)楫?dāng)x?y?0時(shí)? ? 所以如果(0? 0)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi)? 則結(jié)論???x(x2?y2)2?y22成立? 而當(dāng)(0? 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí)? 結(jié)論未必成立?三、二元函數(shù)的全微分求積

曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)? 表明曲線積分的值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0? y0)與終點(diǎn)(x? y)有關(guān)?

如果

(x,y)?LPdx?Qdy與路徑無(wú)關(guān)? 則把它記為?(x0,y0)Pdx?Qdy

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曲線積分與曲面積分

(x,y)

即 ?L0Pdx?Qdy??(x0,y0)Pdx?Qdy?

若起點(diǎn)(x0? y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn)? 終點(diǎn)(x? y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)? 則

u(x? y)??(x,y)Pdx?Qdy

0(x,y)為G內(nèi)的的函數(shù)?

二元函數(shù)u(x? y)的全微分為du(x? y)?ux(x? y)dx?uy(x? y)dy?

表達(dá)式P(x? y)dx+Q(x? y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)? 但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分? 那么在什么條件下表達(dá)式P(x? y)dx+Q(x? y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x? y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？

定理3 設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則P(x? y)dx?Q(x? y)dy 在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x? y)的全微分的充分必要條件是等式

?P??Q ?y?x在G內(nèi)恒成立?

簡(jiǎn)要證明?

必要性? 假設(shè)存在某一函數(shù)u(x? y)? 使得du?P(x? y)dx?Q(x? y)dy?

則有 ?P??(?u)??2u? ?Q??(?u)??2u? 因?yàn)?2u??P、?2u??Q連續(xù)?

?y?y?x?x?y?x?x?y?y?x?x?y?y?y?x?x22?Q?u??u?

即?P?所以?

?y?x?x?y?y?x

充分性? 因?yàn)樵贕內(nèi)?P??Q? 所以積分P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)?

?L?y?x在G內(nèi)從點(diǎn)(x0? y0)到點(diǎn)(x? y)的曲線積分可表示為 u(x? y)?因?yàn)?/p>

u(x? y)?

?所以

y?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?

00(x,y)?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy

00(x,y)?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?

00x?u??yQ(x,y)dy??xP(x,y)dx?P(x,y)? 0?x?x?y0?x?x0高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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曲線積分與曲面積分

類似地有數(shù)的全微分? ?u?Q(x,y)? 從而du ?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 即P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某一函?y

求原函數(shù)的公式?

u(x,y)?

u(x,y)?

u(x,y)?

例6 驗(yàn)證?數(shù)?

解? 這里P??(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?

00(x,y)?xx0P(x,y0)dx??Q(x,y)dy?

y0x0y?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?

0yxdy?ydx在右半平面(x>0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分? 并求出一個(gè)這樣的函x2?y2?yx?

Q??

x2?y2x2?y

2因?yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且有

?Qy2?x2?P

?

???x(x2?y2)2?y所以在右半平面內(nèi)? xdy?ydx是某個(gè)函數(shù)的全微分?

22x?y

取積分路線為從A(1? 0)到B(x? 0)再到C(x? y)的折線? 則所求函數(shù)為

u(x,y)??(1, 0)(x,y)yxdyxdy?ydxy?0??

?arctan?0x2?y2x2?y2x問(wèn)? 為什么(x0? y0)不取(0? 0)?

例7 驗(yàn)證? 在整個(gè)xOy面內(nèi)? xy2dx?x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分? 并求出一個(gè)這樣的函數(shù)?

解

這里P?xy2? Q?x2y?

因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且有

?Q?2xy??P?

?x?y高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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曲線積分與曲面積分

所以在整個(gè)xOy面內(nèi)? xy2dx?x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分?

取積分路線為從O(0? 0)到A(x? 0)再到B(x? y)的折線? 則所求函數(shù)為

u(x,y)?(x,y)yy?(0, 0)xydx?xydy?0??0x222ydy?x2?0x2y2ydy??

2思考與練習(xí)?

1?在單連通區(qū)域G內(nèi)? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且恒有

?Q?P?? 那么 ?x?y(1)在G內(nèi)的曲線積分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否與路徑無(wú)關(guān)? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否為零?

?Q?P?? ?x?y(2)在G內(nèi)的閉曲線積分(3)在G內(nèi)P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函數(shù)u(x? y)的全微分?

2?在區(qū)域G內(nèi)除M0點(diǎn)外? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且恒有G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域? 那么(1)在G 1內(nèi)的曲線積分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否與路徑無(wú)關(guān)? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否為零?(2)在G 1內(nèi)的閉曲線積分(3)在G 1內(nèi)P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函數(shù)u(x? y)的全微分?

3? 在單連通區(qū)域G內(nèi)? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)? ?P??Q? 但?Q??P非常簡(jiǎn)單? 那么 ?y?x?x?y(1)如何計(jì)算G內(nèi)的閉曲線積分?(2)如何計(jì)算G內(nèi)的非閉曲線積分?(3)計(jì)算?L(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy? 其中L為逆時(shí)針?lè)较虻?/p>

上半圓周(x?a)2?y2?a 2? y?0?

小結(jié)

Pdx?Qdy?1.格林公式 L

2.格林公式中的等價(jià)條件。???Q?P???D???x??y??dxdy??教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

在教學(xué)過(guò)程中要注意格林公式和其中的等價(jià)條件，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)

作業(yè) P214: 2(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)

§11? 4 對(duì)面積的曲面積分

一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)

物質(zhì)曲面的質(zhì)量問(wèn)題? 設(shè)?為面密度非均勻的物質(zhì)曲面? 其面密度為?(x? y? z)? 求其質(zhì)量?

把曲面分成n個(gè)小塊? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面的面積)?求質(zhì)量的近似值?

??(?i,?i,?i)?Sii?1nn((?i? ?i? ?i)是?Si上任意一點(diǎn))? 取極限求精確值?

M?lim??(?i,?i,?i)?Si(?為各小塊曲面直徑的最大值)?

??0i?

1定義

設(shè)曲面?是光滑的? 函數(shù)f(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n小塊? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面的面積)? 在?Si上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值??0時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?Si總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在曲面?上對(duì)??0i?1n面積的曲面積分或第一類曲面積分? 記作n??f(x,y,z)dS? 即

?

lim?f(?i,?i,?i)?Si? ??f(x,y,z)dS???0i?1?其中f(x? y? z)叫做被積函數(shù)? ?叫做積分曲面?

對(duì)面積的曲面積分的存在性?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

我們指出當(dāng)f(x? y? z)在光滑曲面?上連續(xù)時(shí)對(duì)面積的曲面積分是存在的? 今后總假定f(x? y? z)在?上連續(xù)?

根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)?(x? y? z)的光滑曲面?的質(zhì)量M可表示為?(x? y? z)在?上對(duì)面積的曲面積分?

M???f(x,y,z)dS

?如果?是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在?上對(duì)面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的

各片曲面上對(duì)面積的曲面積分之和? 例如設(shè)?可分成兩片光滑曲面?1及?2(記作???1??2)就規(guī)定

?1??2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?

?1?

2對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)?

(1)設(shè)c

1、c 2為常數(shù)? 則

??[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dS?c1??f(x,y,z)dS?c2??g(x,y,z)dS?

???

(2)若曲面?可分成兩片光滑曲面?1及?2? 則

??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?

??1?

2(3)設(shè)在曲面?上f(x? y? z)?g(x? y? z)? 則

(4)??f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS?

????dS?A? 其中A為曲面?的面積?

?

二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算

面密度為f(x? y? z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為M?lim?f(?i,?i,?i)?Si???0i?1n??f(x,y,z)dS?

?另一方面? 如果?由方程z?z(x? y)給出? ?在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 ? 那么 曲面的面積元素為

2dA?1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?

質(zhì)量元素為

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

2f[x,y,z(x,y)]dA?f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?

根據(jù)元素法? 曲面的質(zhì)量為

M?y(x,y)dxdy?

??f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2D因此

y(x,y)dxdy?

??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?D

化曲面積分為二重積分? 設(shè)曲面?由方程z?z(x? y)給出? ?在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy? 函數(shù)z?z(x? y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 被積函數(shù)f(x? y? z)在?上連續(xù)? 則

y(x,y)dxdy?

??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?Dxy

如果積分曲面?的方程為y?y(z? x)? Dzx為?在zOx面上的投影區(qū)域? 則函數(shù)f(x? y? z)在?上對(duì)面積的曲面積分為

??f(x,y,z)dS???f[x,y(z,x),z]?Dzx221?yz(z,x)?yx(z,x)dzdx?

如果積分曲面?的方程為x?x(y? z)? Dyz為?在yOz面上的投影區(qū)域? 則函數(shù)f(x? y? z)在?上對(duì)面積的曲面積分為

22f(x,y,z)dS?f[x(y,z),y,z]1?x(y,z)?x(y,z)dydz? yz?????Dyz

例1 計(jì)算曲面積分1dS? 其中?是球面x2?y2?z2?a2被平面 ??z?z?h(0?h?a)截出的頂部?

解 ?的方程為z?a2?x2?y2? Dxy ?

x2?y2?a2?h2?

因?yàn)?/p>

zx??y?x? zy??

222222a?x?ya?x?yadxdy?

222a?x?y高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 dS?1?zx?z2ydxdy? 高等數(shù)學(xué)教案

曲線積分與曲面積分

所以

1dS?a??z??a2?x2?y2dxdy

?Dxy

?a提示? ?02?d??a2?h20rdr1ln(a2?r2)]a2?h2?2?alna?

?2?a[?0a2?r2h221?zx?z2y2y2xa?1?222?222??

222a?x?ya?x?ya?x?y

例2 計(jì)算邊界曲面?

??xyzdS? 其中?是由平面x?0? y?0? z?0及x?y?z?1所圍成的四面體的整個(gè)?

解 整個(gè)邊界曲面?在平面x?0、y?0、z?0及x?y?z?1上的部分依次記為?

1、?

2、?3及?4? 于是

??xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS

??1?2?3??0?0?0???xyzdS????43xy(1?x?y)dxdy

1Dxy

?3xdx提示? ?4? z?1?x?y? ?021?01?x(1?x)3dx?3?

y(1?x?y)dy?3?x?06120

dS?1?z?

y3dxd?yx?z?ydxd?2小結(jié)

1.對(duì)面積的曲面積分的定義和計(jì)算

2.格林公式中的等價(jià)條件。

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式，簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

課后習(xí)題：1，3，7 講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)

作業(yè) P218: 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

第五篇：第十五章 含參變量的積分(數(shù)學(xué)分析)課件

第十五章

含參變量的積分

教學(xué)目的與要求 掌握含參變量的常義積分的定義及分析性質(zhì)； 能應(yīng)用含參變量的常義積分的分析性質(zhì)證明某些理論問(wèn)題.3 理解含參變量的反常積分的一致收斂的定義； 掌握含參變量的反常積分的一致收斂性的判別法及分析性質(zhì)； 5 能利用參變量的反常積分的分析性質(zhì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等； 6 掌握Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的定義及其相互關(guān)系； 7 掌握Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn) 應(yīng)用含參變量的常義積分的分析性質(zhì)證明某些理論問(wèn)題； 2 求含參變量的常義積分的極限、導(dǎo)數(shù)、積分； 3 含參變量的反常積分的一致收斂的定義； 掌握含參變量的反常積分的一致收斂性的判別法及分析性質(zhì)； 5 利用參變量的反常積分的分析性質(zhì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等 6 Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn) 應(yīng)用含參變量的常義積分的分析性質(zhì)證明某些理論問(wèn)題； 2 含參變量的反常積分的一致收斂的定義； 掌握含參變量的反常積分的一致收斂性的判別法及分析性質(zhì)；

§1 含參變量的常義積分

教學(xué)目的 掌握含參變量的常義積分的定義及分析性質(zhì)； 能應(yīng)用含參變量的常義積分的分析性質(zhì)證明某些理論問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程 含參變量的常義積分的定義（P373）含參變量的常義積分的分析性質(zhì) 2.1 連續(xù)性定理P374

Theore1 m若函數(shù)f(x,y)在矩形域D?[ a , b ] ? [ c , d ]上連續(xù) , 則函數(shù)I(x)??f(x,y)dy在[ a , b ]上連續(xù).cdTheorem2 若函數(shù)f(x,y)在矩形域D?[ a , b ] ? [ c , d ]上連續(xù), 函數(shù)y1(x)和y2(x)在[ a , b ]上連續(xù) , 則函數(shù)G(x)??

例 1 求下列極限(1)limy2(x)y1(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上連續(xù).y?0?1?1x?ydx(2)lim?2211x1?(1?)nnn??0dx

2.2 積分次序交換定理P375 例2 見(jiàn)教材P375.2.3 積分號(hào)下求導(dǎo)定理P375—376

Theore 3 m若函數(shù)f(x,y)及其偏導(dǎo)數(shù)fx都在矩形域D?[ a , b ] ? [ c , d ]上連續(xù), 則函數(shù)I(x)??dcf(x,y)dy在[ a , b ]上可導(dǎo) , 且

dddf(x,y)dy?fx(x,y)dy.??ccdx

(即積分和求導(dǎo)次序可換).Theorem4設(shè)函數(shù)f(x,y)及其偏導(dǎo)數(shù)fx都在矩形域D?[ a , b ] ? [ c , d ]上連續(xù), 函數(shù)y1(x)和y2(x)定義在[ a , b ], 值域在[ c , d ]上, 且可微 , 則含參積分

G(x)??y2(x)y1(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上可微 , 且

G?(x)??1y2(x)y1(x)?(x)?f?x,y1(x)?y1?(x).fx(x,y)dy?f?x,y2(x)?y2x

2例2

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)F(y)?(?lnx02?y)dx(y?0)(2)F(y)??ex12?xy2dx

例3 計(jì)算積分 I?ln(1?x)?01?x2dx.例 4 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?0的某鄰域內(nèi)連續(xù).驗(yàn)證當(dāng)|x|充分小時(shí) , 函數(shù)

x ?(x)?(x?t)n?1f(t)dt ?(n?1)!0(n)的n?1階導(dǎo)數(shù)存在 , 且 ?2.4(P376定理15.1.4)例4 求F(y)?(x)?f(x).sinyx?a?yxdx的導(dǎo)數(shù) b?y例5 研究函數(shù) F(y)?yf(x)其中f(x)是[0,1]上連續(xù)且為正的函數(shù)。? 0x2?y2dx 的連續(xù)性，1解

令g(x,y)?yf(x)，則g(x,y)在[0,1]?[c,d]連續(xù)，其中0?[c,d]。從而F(y)在22x?yy?0連續(xù)。當(dāng)y?0時(shí)，F(xiàn)(0)?0

當(dāng)y?0時(shí)，記 m?minf(x)?0，則

x?[0,1]F(y)?? 1yf(x)y1dx?mdx ?marctan? 0x2?y2 0x2?y2y 1若lim?F(y)存在，則

lim?F(y)?lim?marctan?y?0y?0y?01y?2m?0?F(0)

故F(y)在y?0不連續(xù)。

或用定積分中值定理，當(dāng)y?0時(shí)，???[0,1]，使

F(y)? 1yf(x)ydx?f(?)? 0x2?y2? 0x2?y2dx 11x?f(?)arctany若lim?F(y)存在，則

y?001?f(?)arctan

y

lim?F(y)?lim?f(?)arctan?y?0y?01y?2m?0

故F(y)在y?0不連續(xù)。

問(wèn)題1 上面最后一個(gè)式子能否寫(xiě)為

limf(?)arctany?01??f(?)?0。y2事實(shí)上，?是依賴于y的，極限的存在性還難以確定。例6 設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù)，求證 x

y(x)??f(t)sink(x?t)dt

（其中 a,c?[a,b]）

k c滿足微分方程

y???ky?f(x)。證

令g(x,t)?f(t)sink(x?t)，則 2gx(x,t)?kf(t)cosk(x?t)，gxx(x,t)??k2f(t)sink(x?t)

它們都在[a,b]?[a,b]上連續(xù)，則

y?(x)?? x cf(t)cosk(x?t)dt

y??(x)??k x? x cf(t)sink(x?t)dt?f(x)

xy???k2y??k? cf(t)sink(x?t)dt?f(x)?k? cf(t)sink(x?t)dt?f(x)例7

設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，hh

F(x)?[f(x????)d?]d?

00??求F??(x)。

解

令x?????u，則

hhhx???hF(x)??[?f(x????)d?]d???d?000x???f(u)du

hhF?(x)?[?f(x???h)d???f(x??)d?]

00在第一項(xiàng)中令x???h?u，在第二項(xiàng)中令x???u，則

x?2hx?hF?(x)?[x?h?f(u)du??f(u)du]

xF??(x)?[f(x?2h)?2f(x?h)?f(x)]

問(wèn)題2 是否有

?? F?(x)??[?f(x????)d?]d???[?f(x????)d?]d?

?x0?x000例8

利用積分號(hào)下求導(dǎo)法求積分

?/2hhhhI(a)?解

令 f(x,a)??0arctan(atanx)dx，|a|?1

tanxarctan(atanx)

tanxx?0x?0,?2時(shí)，f無(wú)定義，但lim?f(x,a)?a，lim?f(x,a)?0，故補(bǔ)充定義

x??2

f(0,a)?a，f(?2,a)?0

則f在[0,2?]?[?b,b]連續(xù)（0?b?1），從而I(a)在(?1,1)連續(xù)。1??, x?(0,), |a|?1?1?a2tan2x2?fa(x,a)??

??0, x?0，|a|?1?2?顯然fa(x,0)在x?故有

?/2?2點(diǎn)不連續(xù)，但fa(x,a)分別在[0,2?]?(?1,0)和[0,2?]?(0,1)連續(xù)，?/2

I?(a)?令tanx?t ?0fa(x,a)dx??01dx，a?(?1,0)或a?(0,1)221?atanx11I?(a)??dt?2222(1?t)(1?at)1?a01 ?1?a2??????1?a2t2?a2t2?a2dt 222?(1?t)(1?at)01a2?[?]dt，?222?(1?at)2(1?|a|)0(1?t)a?(?1,0)或a?(0,1)

積分之

I(a)??2ln(1?a)?C1，a?(0,1)

I(a)???2ln1(?a)?C2，a?(?1,0)

因?yàn)镮(a)在(?1,1)連續(xù)，故

I(0)?lim?I(a)?0?lim?I(a)

a?0a?0得C1?C2?0，從而得

I(a)??2sgnaln(1?|a|)，|a|?1

作業(yè)：P378----379 2、3、5、6、8（2）（3）、11

§2 含參變量的反常積分

教學(xué)目的 理解含參變量的反常積分的一致收斂的定義； 掌握含參變量的反常積分的一致收斂性的判別法及分析性質(zhì)； 3 能利用參變量的反常積分的分析性質(zhì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等；

教學(xué)過(guò)程 含參變量的反常積分的一致收斂

含參變量的反常積分有兩種: 無(wú)窮區(qū)間上的含參變量的反常積分和無(wú)界函數(shù)的含參變量的反常積分.定義P379---381 無(wú)窮積分???af(x,y)dx在區(qū)間[c,d]: 一致收斂: ???0,?A0?0,?A?A0,?y?[c,d]有

???Af(x,y)dx??;

??A0非一致收斂: ??0?0,?A?0,?A0?A,?y0?[c,d]有2 一致收斂性的判別法 2.1(Cauchy收斂原理)P381 2.2(Weierstrass判別法)P382 例1 證明:無(wú)窮積分

?f(x,y)dx??0.???1cosxydx在R一致收斂.x2?y22.3(Abel判別法和Dirichlet判別法)P382----385 2.4(Dini定理)P385 3 一致收斂積分的分析性質(zhì) 3.1 連續(xù)性定理

3.2 積分次序交換定理 3.3 積分號(hào)下求導(dǎo)定理

例 2 利用積分號(hào)下求導(dǎo)求積分

??In(a)?dx，（n為正整數(shù)，a?0）2n?1?(x?a)0解

因?yàn)?/p>

11?，a?a0?0

(x2?a)n?1(x2?a0)n?17 dx而 ?2收斂，故 In(a)?n?1(x?a)00??????dx 在a?a0?0一致收斂。2n?1?(x?a)0因?yàn)?/p>

dx1x????arctan? |2?0aa2a0x?a??d故

dadx??2?x?a0????dx?1?3/2 ?(?)a22?(x?a)220??d2da2dxdx?13?5/2?2 ?(?)(?)a223??2220x?a0(x?a)??由數(shù)學(xué)歸納法易證

dndan??dxdxn?(?1)n!22n?1??x?a(x?a)00(2n?1)！??(?1)an22n???2n?12

dx?(2n?1)！??a于是

In(a)??2n?12(2n)！(x?a)0??2n?12

例3 證明（1）e1????yx2sinydx關(guān)于y?[0,??)一致收斂；

（2）e1??yx2sinydy關(guān)于x?[0,??)不一致收斂。

證

（1）用分段處理的方法。?A?1，y?0，令??yx?t 得

??2|?eA?yx2sinydx|?|sinyy???eyA?t2dt|?|sinyy|?e?tdt

0??siny2|y|

因?yàn)?lim?y?0sinyy?0，則 ???0，???0，當(dāng)0?y??時(shí)，有 ??|?e?yxsinydx|?A2?siny2|y|??

（1）

又

|e???yx2siny|?e??x，y??

??22而 ?e1??x2dx收斂，由M判別法，?e?yxsinydx在y?[?,??)一致收斂，即???0，1?A0?1，?A?A0，有

??|?e?yxsinydx|??，?y??

（2）

A2上式對(duì)y?0顯然成立，結(jié)合（1）（2）式，有

???yx

2|???eAsinydx|??，y?[0,??)

即e1??yx2sinydx關(guān)于y?[0,??)一致收斂。

????（2）因?yàn)閤?0時(shí)，sinydy發(fā)散，因此e11?)??yx2sinydy關(guān)于x?[0,??)不可能一致收斂。

??例4 計(jì)算積分

??a2x2?e0?(x2?a2x2dx。

??a?(x?)2x解 ?e0?(x2?)??dx??e0a?(x?)2?2axdx?e?2a?e0dx

令 x???2a?t x?????t?edt??e0a?(x?)2xa(1?2)dx?x???e0a?(x?)2x??dx??e0a?(x?)2xda x

在第二項(xiàng)積分中令 ? a?y，得 x9 ????e0??a?(x?)2xad?x???(y?a)2y?e0dy

故

?e?(x2?a2x2)??dx?e?2a?ea?(x?)2xdx??e?2a

0

作業(yè)：P392—393 202、4（1）（2）、5、8、10、12、15 §3 Euler積分

教學(xué)目的 掌握Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的定義及其相互關(guān)系； 2 掌握Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)過(guò)程 Beta函數(shù)(第一類Euler積分)

1.1 定義

確定定義域 1.2 Beta函數(shù)的性質(zhì) P394 2 Gamma函數(shù)(第二類Euler積分)2.1 定義

(確定定義域)2.2 Gamma函數(shù)的性質(zhì) P395 3 Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的關(guān)系 P397 例1 求???0xp?1dx(p?0,q?0)； p?q(1?x)例2 證明：

11?()???24??1m?1m?xn（2）?xedx??()(n?0,m??1)

0nn（1）??e?xdx?4

作業(yè)： P404—405

1（1）（3）（7）（8）、3、7、9、10