第一篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第一章實數(shù)集與函數(shù)

臨沂師范學(xué)院《數(shù)學(xué)分析》教案

第一章 實數(shù)集與函數(shù)

導(dǎo)言 數(shù)學(xué)分析課程簡介(2 學(xué)時)

一、數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)簡介:

1.背景: 從切線、面積、計算sin32?、實數(shù)定義等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運算：

3.數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限為基本思想和基本運算研究變實值函數(shù).主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù), 并依據(jù)這些運算引進并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運算是高等數(shù)學(xué)的基本運算.數(shù)學(xué)分析與微積分(calculus)的區(qū)別.二、數(shù)學(xué)分析的形成過程：

1.孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想.紀元前三世紀, Archimedes就有了積分思想.2.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期.3.十七世紀下半葉到十九世紀上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時期.4.十九世紀上半葉到二十世紀上半葉 —— 分析學(xué)理論的完善和重建時期：

三、數(shù)學(xué)分析課的特點:

臨沂師范學(xué)院《數(shù)學(xué)分析》教案

星號的內(nèi)容略講或刪去，相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在數(shù)學(xué)分析選講課開設(shè).3.內(nèi)容多,課時緊: 大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是, 這里每次課介紹的內(nèi)容很多, 因此, 內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內(nèi)容或推導(dǎo), 特別是同類型或較簡的推理論證及推導(dǎo)計算, 可能講得很簡, 留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.4.講解的重點: 概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧.某些精細概念之間的本質(zhì)差別.五.要求、輔導(dǎo)及考試：

1.學(xué)習(xí)方法:盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法, 盡快進入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認真復(fù)習(xí)消化, 補充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時間比例應(yīng)為 : 3。

對將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來說, 課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富: 要認真評價教師的課堂教學(xué), 把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗.這對未來的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè): 作業(yè)以練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題為主要內(nèi)容.大體上每周收一次作業(yè), 一次收清.每次重點檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細的登記, 缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫工整.3.輔導(dǎo): 大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時不缺席.4.考試: 按教學(xué)大綱的要求, 只以最基本的內(nèi)容進行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]中的典型例題.考試題為標準化試題，理論證明題逐漸增多.第一章 實數(shù)集與函數(shù)

臨沂師范學(xué)院《數(shù)學(xué)分析》教案

3.三歧性(即有序性): 4.Rrchimedes性:

5.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.6.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸:

7.兩實數(shù)相等的充要條件: 8.區(qū)間和鄰域: 二.講授新課：

（一）.幾個重要不等式: 1.絕對值不等式: 定義

[1]P3 的六個不等式.2.其他不等式: ⑴

記 ⑵ 均值不等式: 對

(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)

臨沂師范學(xué)院《數(shù)學(xué)分析》教案

教學(xué)方法：講授為主。

一、區(qū)間與鄰域

二、有界數(shù)集與確界原理:

1.有界數(shù)集: 定義(上、下有界, 有界)，閉區(qū)間、鄰域等都是有界數(shù)集，集合

為有限數(shù)）、也是有界數(shù)集.無界數(shù)集: 定義, 等都是無界數(shù)集, 集合 也是無界數(shù)集.2.確界:給出直觀和刻畫兩種定義.例1 ⑴

則

⑵

則

例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)和

是非空數(shù)集，且有

則有

.例4 設(shè)和

是非空數(shù)集.若對和都有則有 證 是的上界, 是的下界，臨沂師范學(xué)院《數(shù)學(xué)分析》教案

教學(xué)要求：

1.深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示方法；

2.牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象。會求初等函數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。

教學(xué)重點：函數(shù)的概念。

教學(xué)難點：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析。

一、函數(shù):

1.函數(shù): [1]P10—11的四點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法:

4.反函數(shù): 一一對應(yīng),反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運算:

二、分段函數(shù): 以函數(shù)

介紹概念.例1

去掉絕對值符號.和

為例例

2求

例3 設(shè)

三、函數(shù)的復(fù)合:

求(答案為8)

臨沂師范學(xué)院《數(shù)學(xué)分析》教案

作業(yè)：

P15 3；4.(2)(3)；5.(2)；7:(3)；11

§4 具有某些特性的函數(shù)(2學(xué)時)教學(xué)目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語.教學(xué)目的：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義；會求一些簡單周期函數(shù)的周期。

教學(xué)重點：函數(shù)的有界性、單調(diào)性。教學(xué)難點：周期函數(shù)周期的計算、驗證。

一、有界函數(shù): 有界函數(shù)概念.例6 驗證函數(shù)

在

內(nèi)有界.解法一

由

當

時,有

對

總有

即

關(guān)于的二次方程

在

內(nèi)有界., 解法二 令根.有實數(shù)

解法三 令

對應(yīng)

于是

第二篇：數(shù)學(xué)分析教案_(華東師大版)第十七章__多元函數(shù)微分學(xué)

《數(shù)學(xué)分析》教案

第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)

教學(xué)目的：1.理解多元函數(shù)微分學(xué)的概念，特別應(yīng)掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、連續(xù)及偏導(dǎo)存在、偏導(dǎo)連續(xù)等之間的關(guān)系；2.掌握多元函數(shù)特別是二元函數(shù)可微性及其應(yīng)用。

教學(xué)重點難點：本章的重點是全微分的概念、偏導(dǎo)數(shù)的計算以及應(yīng)用；難點是復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算及二元函數(shù)的泰勒公式。教學(xué)時數(shù)：18學(xué)時

§ 1 可微性

一． 可微性與全微分：

1．可微性： 由一元函數(shù)引入.亦可寫為 , 時

2．全微分:

.例1 考查函數(shù)

二.偏導(dǎo)數(shù):

在點

處的可微性.P107例1 1.偏導(dǎo)數(shù)的定義、記法:

2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: P109 圖案17—1.《數(shù)學(xué)分析》教案

不存在.三.可微條件:

1.必要條件:

Th 1 設(shè)為函數(shù)定義域的內(nèi)點.在點可微 , 和

存在 , 且

.(證)由于 , 微分記為

.定理1給出了計算可微函數(shù)全微分的方法.兩個偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的必要條件 , 但不充分.例10

考查函數(shù)

在原點的可微性.[1]P110 例5.2.充分條件:

《數(shù)學(xué)分析》教案

因此 , 即 , 在點 可微 ，.但

時, 有

, 沿方向

不存在，沿方向

極限

不存在;又 ,因此, 續(xù).由 關(guān)于 和 對稱,也在點

不存在 ，時，在點

處不連

處不連續(xù).四.中值定理:

Th 4 設(shè)函數(shù) 在點 該鄰域 , 則存在 , 使得 的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù).若 和 ，屬于.(證)例1

2設(shè)在區(qū)域D內(nèi)

.證明在D內(nèi)

.五.連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微之間的關(guān)系：

六.可微性的幾何意義與應(yīng)用：

《數(shù)學(xué)分析》教案

簡介二元復(fù)合函數(shù) :

.以下列三種情況介紹復(fù)合線路圖

;,;

.一.鏈導(dǎo)法則: 以“外二內(nèi)二”型復(fù)合函數(shù)為例.Th 設(shè)函數(shù)

在點

在點

可微, 且

在點 D可微 , 函數(shù)

可微 , 則復(fù)合函數(shù)

,.(證)P118

稱這一公式為鏈導(dǎo)公式.該公式的形式可在復(fù)合線路圖中用所謂“分線加，沿線乘”或“并聯(lián)加，串聯(lián)乘”）來概括.對所謂“外三內(nèi)二”、“外二內(nèi)三”、“外一內(nèi)二”等復(fù)合情況，用“并聯(lián)加，串 聯(lián)乘”的原則可寫出相應(yīng)的鏈導(dǎo)公式.《數(shù)學(xué)分析》教案

.P120例2 例7

設(shè)函數(shù)

可微 ,.求證

.二.復(fù)合函數(shù)的全微分: 全微分和全微分形式不變性.例8

.P122 例5

.利用全微分形式不變性求 , 并由此導(dǎo)出

和

§ 3 方向?qū)?shù)和梯度

一． 方向?qū)?shù)：

1． 方向?qū)?shù)的定義：

定義 設(shè)三元函數(shù) 在點 為從點 以表示 出發(fā)的射線.的某鄰域 為 上且含于

內(nèi)有定義.內(nèi)的任一點 , 與 兩點間的距離.若極限

存在 , 則稱此極限為函數(shù)、.在點

沿方向 的方向?qū)?shù) , 記為

或

《數(shù)學(xué)分析》教案

2.方向?qū)?shù)的計算:

Th 若函數(shù) 在點 方向?qū)?shù)都存在 , 且

可微 , 則 在點

處沿任一方向 的 +

+ , 其中、和 ，為 的方向余弦.(證)P125

+, 其中 和 對二元函數(shù) 是 的方向角.註

由 = 可見 , 為向量

+

+

，= , , , , , ，在方向 上的投影.例2(上述例1)解 ⅰ> 的方向余弦為

= , = , =.=1 , =

+., =

.因此 , =

+

=

《數(shù)學(xué)分析》教案

ⅰ>

.ⅱ>（+)=

+

.ⅲ>（）=

+

.ⅳ>.ⅴ>

()=

.證ⅳ> ,..§ 4 Taylor公式和極值問題

一、高階偏導(dǎo)數(shù): 1.高階偏導(dǎo)數(shù)的定義、記法：

例9 求二階偏導(dǎo)數(shù)和

.P128

例10.求二階偏導(dǎo)數(shù).P1282.關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù): P129—131.3

《數(shù)學(xué)分析》教案

解 ,.=

+

+

+

= = +2

+

.=

+

+

+

= =

+

+

.=

+ +

.因此 ，+（+.令 , 或

.或 ……, 此時方程

化簡為

二． 中值定理和泰肋公式：

凸區(qū)域.5

《數(shù)學(xué)分析》教案

例2 P136例5 2． 極值的必要條件：與一元函數(shù)比較.Th 3 設(shè) =為函數(shù) 的極值點.則當

和存在時 , 有

.(證)函數(shù)的駐點、不可導(dǎo)點，函數(shù)的可疑點.3.極值的充分條件:

代數(shù)準備: 給出二元(實)二次型 矩陣為

.其.ⅰ> 是正定的, 順序主子式全 ，是半正定的, 是負定的，順序主子式全;ⅱ> , 其中

為 階順序主子式.是半負定的，.ⅲ> < 0時, 是不定的.7

《數(shù)學(xué)分析》教案

ⅰ>

時 , 時 ，為極小值點;ⅱ> 為極大值點;ⅲ> 時 , 不是極值點;ⅳ> 時 , 可能是極值點 , 也可能不是極值點.例3—7 P138—140 例6—10.四． 函數(shù)的最值：

例8 求函數(shù)

在域D = 上的最值.解 令

解得駐點為

..在邊界

;

上 , , 駐點為 , 在邊界

在邊界 駐點為 ，上 , , 沒有駐點;

上 , ，.9

第三篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)

《數(shù)學(xué)分析》教案

第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

教學(xué)目的：1.明確認識多元函數(shù)與一元函數(shù)的相同和不同之處，進而掌握多元函數(shù)研究問題的手法與特點；2.明確研究多元函數(shù)的目的及多元函數(shù)的用途。教學(xué)重點難點：本章的重點是平面點集的有關(guān)概念與二元函數(shù)的連續(xù)性；難點是二元函數(shù)極限的討論。教學(xué)時數(shù)：16學(xué)時

§ 1平面點集與多元函數(shù)

一.平面點集:平面點集的表示:1.常見平面點集:

⑴ 全平面和半平面 : , , ，滿足的條件}.余集

.等.⑵ 矩形域: , }.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán).圓的個部分.極坐標表示, 特別是

和.型域..⑷ 角域: ⑸ 簡單域:

型域和

2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域 , 空心方鄰域與集

： 兩點的距離

.《數(shù)學(xué)分析》教案

（或），..三.點列的極限: 設(shè) 定義 的定義(用鄰域語言).例4

為點集., ,.例

5設(shè) 的一個聚點.則存在

中的點列 , 使

四.中的完備性定理:

1.Cauchy收斂準則:

先證{

}為Cauchy列

和

均為Cauchy列.2.閉集套定理: P116.3.聚點原理: 列緊性 , Weierstrass聚點原理.4.有限復(fù)蓋定理: 五.二元函數(shù):

1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象：

2.定義域：

例6

求定義域：

ⅰ>

;ⅱ>

.《數(shù)學(xué)分析》教案

例3

證明.(用極坐標變換)P94例2.2.相對極限及方向極限:

相對極限

和方向極限的定義.3.全面極限與相對極限的關(guān)系:

Th 1 ,對D的每一個子集E ,只要點

是E的聚點 , 就有.推論1 設(shè) 則極限也不存在.，是 的聚點.若極限

不存在 , 推論2 設(shè) ， , 但

是 的聚點.若存在極限, 則極限不存在.對D內(nèi)任一點列，但

和

推論3 極限,數(shù)列

通常為證明極限

收斂.存在，不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意 , 沿任何方向的極限存在且相等

全面極限存在(以下例5).的兩個累次極限.《數(shù)學(xué)分析》教案

2.全面極限與累次極限的關(guān)系:

⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數(shù)

在點 的情況.⑶ 全面極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.例如例8中的函數(shù),全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)

全面極限存在.(參閱例7).綜上 , 全面極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.Th 2 若全面極限

和累次極限

(或另一次序)都存在 , 則必相等.(證)P98.推論1 全面極限和兩個累次極限三者都存在時 , 三者相等.系1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時 , 全面極限不存在.但兩個累次極限中一個存在 , 另一個不存在

全面極限不存在.§ 3 二元函數(shù)的連續(xù)性

一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義:

《數(shù)學(xué)分析》教案

2.一致連續(xù)性.(證)3.介值性與零點定理.(證)

第四篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第八章 不定積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第八章 不定積分

教學(xué)要求：

1.積分法是微分法的逆運算。要求學(xué)生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定積分的線性運算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。

2.換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運用分部積分公式，并能恰當?shù)貙⒈环e表達式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式；獨立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達到快而準的求出不定積分。

3.有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。

教學(xué)重點：深刻理解不定積分的概念；熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；

教學(xué)時數(shù)：18學(xué)時

《數(shù)學(xué)分析》教案

可見，若 { │ 有原函數(shù) Ｒ}.，則 的全體原函數(shù)所成集合為

原函數(shù)的存在性: 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).(下章給出證明).可見, 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有原函數(shù);若 則 在區(qū)間 上有介值性.在區(qū)間 上有原函數(shù), 例2.已知 為 的一個原函數(shù)，=5.求

.2.不定積分—— 原函數(shù)族：定義； 不定積分的記法；幾何意義.例3

;

.（二）不定積分的基本性質(zhì): 以下設(shè) 和

有原函數(shù).⑴

(先積分后求導(dǎo), 形式不變應(yīng)記牢！).⑵

..(先求導(dǎo)后積分, 多個常數(shù)需當心！)⑶

時，（被積函數(shù)乘系數(shù)，積分運算往外挪?。?/p>

⑷

由⑶、⑷可見, 不定積分是線性運算, 即對, 有

《數(shù)學(xué)分析》教案

教學(xué)要求： 換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運用分部積分公式，并能恰當?shù)貙⒈环e表達式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式；獨立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達到快而準的求出不定積分。

教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；

一、新課引入：由直接積分的局限性引入

二、講授新課：

（一）.第一類換元法 ——湊微分法：

由

引出湊微公式.Th1 若

連續(xù)可導(dǎo), 則

該定理即為：若函數(shù)

能分解為

《數(shù)學(xué)分析》教案

.湊法2.特別地, 有

.例9

.和.例10

例11.例12

=

湊法3

.例13 ⑴

⑵

例14

《數(shù)學(xué)分析》教案

.例23.例24.例25

例26

三、小結(jié)

.（二）第二類換元法 —— 拆微法： 從積分 出發(fā)，從兩個方向用湊微法計算，即

=

=

=

引出拆微原理.Th2 設(shè)

是單調(diào)的可微函數(shù),并且

又

具有原

函數(shù).則有換元公式

(證)

《數(shù)學(xué)分析》教案

解 令 形, 有

有

.利用例22的結(jié)果, 并用輔助三角 =

=

例31

⑶正割代換: 正割代換簡稱為“割換”.是針對型如 根式施行的, 目的是去掉根號.方法是: 利用三角公式

有的 令

變量還愿時, 常用輔助三角形法.例32

解

.例33

.解法一

（用割換）

解法二

（湊微）

.《數(shù)學(xué)分析》教案

本題還可用割換計算, 但較繁.3.雙曲代換: 利用雙曲函數(shù)恒等式 掉型如 如:

的根式., 令 , 可去

.化簡時常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式, 例40

.本題可用切換計算,但歸結(jié)為積分題課例3., 該積分計算較繁.參閱后面習(xí)例41

解

.例42

.解

《數(shù)學(xué)分析》教案

解法三(用初等化簡, 并湊微)

例45

解 =.代換法是一種很靈活的方法.三、小結(jié)

（三）.分部積分法:導(dǎo)出分部積分公式.介紹使用分部積分公式的一般原則.1.冪

X 型函數(shù)的積分: 分部積分追求的目標之一是: 對被積函數(shù)兩因子之一爭取求導(dǎo), 以使該因子有較大簡化, 特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù).代價是另一因子用其原函數(shù)代替(一般會變繁), 但總體上應(yīng)使積分簡化或能直接積出.對“冪

” 型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或?qū)Α?/p>

”求導(dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).例46

(冪對搭配，取對為u)

例47(冪三搭配，取冪為u)例48(冪指搭配，取冪為u)例49(冪指搭配，取冪為u)

《數(shù)學(xué)分析》教案

例56

=，解得.例57

= =，解得

三、小結(jié)

.§ 3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分(2學(xué)時)

教學(xué)要求：有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。

教學(xué)重點：使學(xué)生掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；求四種有理最簡真分式的不定積分，學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。

《數(shù)學(xué)分析》教案

例5

求

例6 設(shè)

且具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù).計算積分

例7 , 求積分

二.含有二次三項式的積分:

例8

=

=

.例9

=

=.9-

第五篇：數(shù)學(xué)分析 實數(shù)的完備性

《數(shù)學(xué)分析》教案

第七章 實數(shù)的完備性

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義；

2.明確基本定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)，并能應(yīng)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應(yīng)用基本定理進行分析論證的能力。

教學(xué)重點難點：本章的重點是實數(shù)完備性的基本定理的證明；難點是基本定理的應(yīng)用。

教學(xué)時數(shù)：8學(xué)時

§ 1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理（4學(xué)時）

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義；

2.明確基本定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。

教學(xué)重點難點：實數(shù)完備性的基本定理的證明。一．確界存在定理：回顧確界概念．

Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界.二.單調(diào)有界原理: 回顧單調(diào)和有界概念.Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.《數(shù)學(xué)分析》教案

1.基本列 : 回顧基本列概念.基本列的直觀意義.基本列亦稱為Cauchy列.例1 驗證以下兩數(shù)列為Cauchy列 : ⑴

.⑵

解 ⑴

.;對，為使，易見只要.于是取

⑵..當 有 為偶數(shù)時 , 注意到上式絕對值符號內(nèi)有偶數(shù)項和下式每個括號均為正號 , ，《數(shù)學(xué)分析》教案

.因此, 取 ,??

2.Cauchy收斂原理: Th 4 數(shù)列

收斂

是Cauchy列.(要求學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)的Cauchy準則，并以Cauchy收斂原理為依據(jù)，利用Heine歸并原則給出證明)五.致密性定理: 數(shù)集的聚點

定義 設(shè) 是無窮點集.若在點(未必屬于 無窮多個點, 則稱點 為

數(shù)集 集是閉區(qū)間是閉區(qū)間 = 的一個聚點.)的任何鄰域內(nèi)有 的有唯一聚點 , 但;設(shè).是

;開區(qū)間 的全體聚點之的聚點集

中全體有理數(shù)所成之集, 易見

1.列緊性: 亦稱為Weierstrass收斂子列定理.Th 5(Weierstrass)任一有界數(shù)列必有收斂子列.2.聚點原理 : Weierstrass聚點原理.Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.六.Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理: 1.復(fù)蓋: 先介紹區(qū)間族

.《數(shù)學(xué)分析》教案

Ⅱ: 區(qū)間套定理 Ⅲ: 區(qū)間套定理

致密性定理

Cauchy收斂準則;

區(qū)間套定理.Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理

一.“Ⅰ” 的證明:(“確界原理

單調(diào)有界原理”已證明過).1.用“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”: Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.證

2.用“單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”:

Th 3 設(shè)

.證

系1 若 當 時, 總有

是區(qū)間套.是區(qū)間套

確定的公共點, 則對.，是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點 ,使對

有

系2 若 ↗ , ↘ ，確定的公共點, 則有

3.用“區(qū)間套定理”證明“Cauchy收斂準則”:

Th 4 數(shù)列

收斂

是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(證)Th 4 的證明:(只證充分性)教科書P217—218上的證明留作閱讀.現(xiàn)采用[3]P70—71例2的證明, 即三等分的方法, 該證法比較直觀.4． 用“Cauchy收斂準則” 證明“確界原理” ：

Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界.《數(shù)學(xué)分析》教案

教學(xué)目的： 能應(yīng)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應(yīng)用基本定理進行分析論證的能力。

教學(xué)重點難點：基本定理的應(yīng)用。

一.有界性:

命題1 ，在

上

.證法 一(用區(qū)間套定理).反證法.證法 二(用列緊性).反證法.證法 三(用有限復(fù)蓋定理).二.最值性:

命題2(只證取得最大值)證(用確界原理)參閱[1]P226[ 證法 二 ]后半段.三.介值性: 證明與其等價的“零點定理 ”.命題3(零點定理)證法 一(用區(qū)間套定理).證法 二(用確界原理).不妨設(shè) 令 ,有).取

> 且,.現(xiàn)證 , 則

非空有界，.，在

上取得最大值和最小值.有上確界.設(shè)

且 , ,(為此證明.由

在點 連續(xù)和