第一篇：(數(shù)學(xué)分析教案)第二章

第二章 數(shù)列極限

（14學(xué)時）

§1 數(shù)列極限概念

教學(xué)目的與要求

1.理解數(shù)列極限概念并利用定義證明數(shù)列是否收斂.2.掌握無窮小數(shù)列概念并利用其證明數(shù)列是否收斂于指定的常數(shù).教學(xué)重點: 數(shù)列極限概念.教學(xué)難點: 數(shù)列極限概念、利用數(shù)列極限定義證明數(shù)列是否收斂于指定的常數(shù).學(xué)時安排: 4學(xué)時

教學(xué)方法：講練結(jié)合。教學(xué)程序：

若函數(shù)f的定義域為全體正整數(shù)集合N+，則稱

f:N??R

或

f(n), n?N?

為數(shù)列．因正整數(shù)集N+的元素可按由小到大的順序排列，故數(shù)列f(n)也可寫作

a1,a2,?,an,?，或簡單地記為{an}，其中an，稱為該數(shù)列的通項．

關(guān)于數(shù)列極限，先舉一個我國古代有關(guān)數(shù)列的例子．

例

1古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去．

把每天截下部分的長度列出如下(單位為尺)：

1112n第一天截下2，第二天截下2，??，第n天截下2，??這樣就得到一個數(shù)列

?1?111?n?,2,?,n,?222．或?2?.11nn不難看出，數(shù)列{2}的通項2隨著n的無限增大而無限地接近于0．一般地說，對于數(shù)列{an}，若當(dāng)n無限增大時an能無限地接近某一個常數(shù)a，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限．不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂數(shù)列．

收斂數(shù)列的特性是“隨著n的無限增大，an無限地接近某一常數(shù)a”．這就是說，當(dāng)n充分大時，數(shù)列的通項an與常數(shù)a之差的絕對值可以任意小．下面我們給出收斂數(shù)列及其極限的精確定義．

定義1 設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù)．若對任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)，n>N時有|an?a|??則稱數(shù)列

{an收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作liman?an??，或an?a(n??).讀作“當(dāng)n趨于無窮大時，an的極限等于a或an趨于a”．

若數(shù)列{an}沒有極限，則稱{an}不收斂，或稱{an}為發(fā)散數(shù)列．

定義1常稱為數(shù)列極限的?—N定義．下面舉例說明如何根據(jù)??N定義來驗證數(shù)列極限．

1?0?n??n例

2證明，這里?為正數(shù) lim證

由于

11?0|?,??n

n???1??11???故對任給的?>0，只要取N=???，則當(dāng)n?N時，便有

|111???|?0|??.??N?

n

即n

1lim??0這就證明了n??n.例

3證明

3n2lim2?3n??n?3

.分析

由于

3n299|2|?2?

n?3n?3n

(n?3).(1)

9???n因此，對任給的>o，只要，便有

3n2|2?3|??, n?3

(2)

9n??時，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的條件下成立的，故應(yīng)取 即當(dāng)

9N?max{3,}.?

?據(jù)分析，當(dāng)n?N時有（2）式成立.于是本題得證.證

任給??0,取注

本例在求N的過程中，(1)式中運用了適當(dāng)放大的方法，這樣求N就比較方便．但應(yīng)注意這種放大必須“適當(dāng)”，以根據(jù)給定的E能確定出N．又(3)式給出的N不一定是正整數(shù)．一般地，在定義1中N不一定限于正整數(shù)，而只要它是正數(shù)即可．

例4 證明n??9N?max{3,}.limqn=0，這里|q|<1．

證

若q=0，則結(jié)果是顯然的．現(xiàn)設(shè)0<|q|<1．記我們有

h?1?1|q|，則h>0．

|qn?0|?|q|n?

并由(1?h)?1+nh得到

n1,n(1?h)

|q|n?11?.1?nhnh

(4)

對任給的??0,只要取就證明了n??N?1,n?h則當(dāng)n?N時，由（4）式得|q?0|??.這

limqn?0.注

本例還可利用對數(shù)函數(shù)y?lgx的嚴(yán)格增性來證明(見第一章§4例6的注及(2)式)，簡述如下：

對任給的?>0(不妨設(shè)?<1)，為使|q?0|?|q|??，只要

nlg|q|?lg?

即

nnn?lg?lg|q|

（這里也假定0?|q|?1).N?于是，只要取lg?lg|q|即可。

=1，其中a>0．

1n

例5 證明n??limna?1證

(ⅰ)當(dāng)a?1時，結(jié)論顯然成立.(ⅱ)當(dāng)a?1時，記??a?1，則??0.由

a?(1??)?1?n??1?n(a?1)

n1n得

任給??0，由(5)式可見，當(dāng)

a?1?1na?1n.(5)

時，就有a?1??，即|a?1|??.所以

1nn?a?1??N1nlimna?1n??.１(ⅲ)當(dāng)0?a?1時，,1nna－１???1?1?(1??)n?1?n??1?n??1??n?a?a?

則??0.由a?1?11?a11?a???n?a?1?1.1??n?1?a1??n?1?a

（6）

得任給??0，由（6）式可見，當(dāng)

n?１?a?1?1??N時，就有1?a??，即|a?1|??.1n1n所以n??.關(guān)于數(shù)列極限的?—N定義，應(yīng)著重注意下面幾點：

1．?的任意性

定義1中正數(shù)?的作用在于衡量數(shù)列通項an與定數(shù)a的接近程度，?愈小，表示接近得愈好；而正數(shù)?可以任意地小，說明an與a可以接近到任何程度．然而，盡管?有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出N，又?既時limna?1?任意小的正數(shù)，那么2,3?或?2等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中不等式|an?a|??中的?可用2,3?或?2等來代替．同時，正由于?是任意小正數(shù)，我們可限定?小于一個確定的正數(shù)(如在例4的注給出的證明方法中限定?<1)．另外，定義1中的?

2．N的相應(yīng)性

一般說，N隨?的變小而變大，由此常把N寫作N(?)，來強調(diào)N是依賴于?的；但這并不意味著N是由?所唯一確定的，因為對給定的?，比如當(dāng)N=100時，|an?a｜＜?也可改寫成|an?a|??.n>N時有|an?a|??，則N=101或更大時此不等式自然也成立．這里重要的是能使得當(dāng)?N的存在性，而不在于它的值的大?。硗?，定義1中的，n>N也可改寫成n?N．

3．從幾何意義上看，“當(dāng)n>N時有|a?a|??”意味著：所有下標(biāo)大于N的項aｎ都落在鄰域U(a;?)內(nèi)；而在U(a;?)之外，數(shù)列{an}中的項至多只有N個(有限個)．反之，任給?>0，若在U(a;?)之外數(shù)列{an}中

N，則當(dāng)n>N時有an?U(a,?)，即當(dāng)n>N時有|an?a|

定義1

任給?>0，若在U(a,?)之外數(shù)列?an?中的項至多只有有限個，則稱數(shù)列?an?收斂于極限a． 'n

由定義1，可知，若存在某?０?0，使得數(shù)列{an}中有無窮多個項落在U(a,?0)之外，則{an}一定不以a為極限．

例6 證明{n}和{(?1)}都是發(fā)散數(shù)列．

2證

對任何a?R，取?0?1，則數(shù)列{n}中所有滿足n?a?1的項(有無窮多個)顯然2n都落在U(a;?0)之外，故知{n}不以任何數(shù)a為極限，即{n}為發(fā)散數(shù)列.22nn??1(a;?)(?1)}{(?1)}中的所有奇數(shù)00a?1

至于數(shù)列{，當(dāng)時取，則在U之外有

1?0?|a?1|,n2項；當(dāng)a?1時取則在U（a;?0)之外有{(?1)}中的所有偶數(shù)項．所以{(?1)}不以任何數(shù)a為極限，即{(?1)}為發(fā)散數(shù)列．

例7 設(shè)n??nnlimxn?limyn?an??，做數(shù)列{zn}如下：

{zn}:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn,?.證明n??limzn?a.n??

證，因n??limxn?limyn?a,故對任給的??0，數(shù)列{xn}和{yn}中落在U(a;?)之外的項都至少只有有限個.所以數(shù)列{zn}中落在U(a;?)之外的項也至多只有有限個．故由定義1'，證得n??limzn?a．

例8 設(shè){an}為給定的數(shù)列，{bn}為對{an}增加、減少或改變有限項之后得到的數(shù)列．證明：數(shù)列{bn}與{an}同時為收斂或發(fā)散，且在收斂時兩者的極限相等．

證

設(shè){an}為收斂數(shù)列，且n??liman?a．按定義1，對任給的?>0，數(shù)列{an}中落在'U(a;?)之外的項至多只有有限個．而數(shù)列{bn}是對{an}增加、減少或改變有限項之后得到{bn}中的每一項都是{an}中確定的一項，的，故從某一項開始，所以{bn}中落在U(a;?)之外的項也至多只有有限個．這就證得n??limbn?a．

現(xiàn)設(shè){an}發(fā)散．倘若{bn}收斂，則因{an}可看成是對{bn}增加、減少或改變有限項之后得到的數(shù)列，故由剛才所證，{an}收斂，矛盾．所以當(dāng){an}發(fā)散時，{bn}也發(fā)散．

在所有收斂數(shù)列中，有一類重要的數(shù)列，稱為無窮小數(shù)列，其定義如下：

定義2 若n??，則稱{an}為無窮小數(shù)列．

由無窮小數(shù)列的定義，不難證明如下命題：

定理2.1數(shù)列{an}收斂于a的充要條件是：{an?a}為無窮小數(shù)列． Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解數(shù)列極限概念，利用定義證明數(shù)列是否收斂、是否收斂于指定的常數(shù).要求學(xué)生課堂上給出n??liman?0liman?a和n??liman不存在的“?—N”定義.Ⅴ 課外作業(yè): P２７ 2、3、4、6、7、8.§２ 收斂數(shù)列的性質(zhì)

教學(xué)目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法。教學(xué)要求：（１）使學(xué)生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、局部有界性、保號性、保不等式性；

（２）掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運算定理、迫斂性定理，并會用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限。

教學(xué)重點：迫斂性定理及四則運算法則及其應(yīng)用。教學(xué)難點：數(shù)列極限的計算。學(xué)時安排: 4學(xué)時

教學(xué)方法：講練結(jié)合。教學(xué)程序：

? 引 言

上節(jié)引進(jìn)“數(shù)列極限”的定義，并通過例題說明了驗證n??的方法，這是極限較基本的內(nèi)容，要求掌握。為了學(xué)習(xí)極限的技巧及其應(yīng)用極限來解決問題。還需要對數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)一步討論。

liman?a

一、收斂數(shù)列的性質(zhì)

性質(zhì)１（極限唯一性）若數(shù)列?性質(zhì)２（有界性）若數(shù)列?an?收斂，則它只有一個極限。

nan?收斂，則?an?為有界數(shù)列。

(?1)?注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分重要條件。例如數(shù)列?有界，但它不收斂。

性質(zhì)３（保號性）若n??liman?a?0（或a?0），則對任何a??(0,a)（或a??(a,0)），存在正數(shù)Ｎ，使得當(dāng)n?N時有an?a?（或an?a?）。性質(zhì)４（保不等式性）設(shè)數(shù)列?an?與?bn?均收斂，若存在正數(shù)N0，使得當(dāng)n?N0時有an?limbnan?bn，則limn??n??。

liman?limbnn??思考：如果把條件“an?bn”換成“an?bn”，那么能否把結(jié)論換成n??？

保不等式性的一個應(yīng)用：

liman?aliman?aa?0(n?1,2,3,?)n??n例1 設(shè)，證明：若，則n??.思考：極限運算與一般函數(shù)運算可交換次序嗎？ 性質(zhì)５（迫斂性）設(shè)收斂數(shù)列?can?、?bn?都以a為極限，數(shù)列?n?滿足：存在正數(shù)N0，limcn?ac??n?Na?c?bn0nnn當(dāng)時有，則數(shù)列收斂，且n??.注：迫斂性不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個求數(shù)列極限的工具。

下面是其應(yīng)用一例：

?n?的極限。例2 求數(shù)列n性質(zhì)６（極限的四則運算法則）若

?an?、?bn?為收斂數(shù)列，則?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都收斂，且有

lim(an?bn)?a?b?liman?limbnn??n??n??;lim(an?bn)?a?b?liman?limbnn??n??n??.?an???limbn?0bb?0若再做假設(shè)n及n??，則數(shù)列?n?也收斂，且有

ananalimn??lim??n??bblimbnnn??.n??n??特別地，若bn?c，則n??，n??.在求數(shù)列的極限時，常需要使用極限的四則運算法則。下舉幾例；

lim(an?c)?liman?climcan?climanamnm?am?1nm?1???a1n?a0limk?1n??bnk?bn???b1n?b0，其中m?k,am?0,bk?0.kk?1例3 求alimnn??a?1n例4 求，其中a??1.例5 求n??limn(n?1?n).?111?lim?2????22?n??n(n?1)(2n)??.例6 求二

數(shù)列的子列

１． 引言

極限是個有效的分析工具。但當(dāng)數(shù)列?an?的極限不存在時，這個工具隨之失效。這能說明什么呢？難道?n?沒有一點規(guī)律嗎？當(dāng)然不是！出現(xiàn)這種情況原因是我們是從“整個”數(shù)列的特征角度對數(shù)列進(jìn)行研究。那么，如果“整體無序”，“部分”是否也無序呢？如果“部分”有序，可否從“部分”來推斷整體的性質(zhì)呢？簡而言之，能否從“部分”來把握“整體”呢？這個“部分?jǐn)?shù)列”就是要講的“子列”。２． 子列的定義

a定義１

設(shè)

?an?為數(shù)列，?nk?為正整數(shù)集N?的無限子集，且n1?n2?n3???kn??，則數(shù)列 an1,an2,?,ank,?

稱為數(shù)列?an?的一個子列，簡記為?ank?.an?的子列?ank?的各項都來自?an?且保持這些項在?an?中的的an?中取出無限多項，按照其在?an?中的順序排成一個數(shù)列，就注

1由定義可見，?先后次序。簡單地講，從?是?an?的一個子列（或子列就是從?an?中順次取出無窮多項組成的數(shù)列）。

注2 子列?a?中的n表示ankknk是?kan?中的第nk項，k表示 ank是ank中的第k項，k???a?中的第k項就是?a?中的第n項，故總有n?a???a?.即即nkna?an，?k.特別地，若nk?k，則nknkn注3 數(shù)列?an?本身以及?an?去掉有限項以后得到的子列，稱為?an?的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為?an?的非平凡子列。

an?與它的任一平凡子列如?2k??2k?1?都是?n?的非平凡子列。由上節(jié)例知：數(shù)列?同為收斂或發(fā)散，且在收斂時有相同的極限。a,aa那么數(shù)列?an?的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢？此即下面的結(jié)果：

an?收斂??an?的任何非平凡子列都收斂。定理

數(shù)列?由此定理可見，若數(shù)列?an?的任何非平凡子列都收斂，則所有這些子列必收斂于同一

an?個極限。于是，若數(shù)列?n?有一個子列發(fā)散，或有兩個子列收斂而極限不相等，則數(shù)列?一定發(fā)散。這是判斷數(shù)列發(fā)散的一個很方便的方法。a§3 數(shù)列極限存在的條件

教學(xué)目的與要求

掌握數(shù)列極限存在的單調(diào)有界定理、柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則，并會利用它們求極限、證明相關(guān)命題

教學(xué)重點: 單調(diào)有界定理、柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則.教學(xué)難點: 單調(diào)有界定理、柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則的證明及應(yīng)用.學(xué)時安排: 4學(xué)時

教學(xué)方法：講練結(jié)合。教學(xué)程序：

極限理論的兩個基本問題: 極限的存在性問題, 極限的計算問題．本節(jié)將重點討論極限的存在性問題．

為了確定某個數(shù)列是否存在極限，當(dāng)然不可能將每個實數(shù)依定義一一驗證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷．

首先討論單調(diào)數(shù)列，其定義與單調(diào)函數(shù)相仿．若數(shù)列?an?的各項滿足關(guān)系式

an?an?1?an?an?1?，?1?????an則稱為遞增（遞減）數(shù)列．遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．如?n?為遞減數(shù)列，n?????1?n?????2n?則不是單調(diào)數(shù)列.?n?1?為n遞增數(shù)列，而???

定理2．9(單調(diào)有界定理)在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限．

證

不妨設(shè)?an?為有上界的遞增數(shù)列．由確界原理，數(shù)列?an?有上確界，記?an?．下面證明a就是?an?的極限．事實上，任給??0，按上確界的定義，存在a?sup數(shù)列?an?中某一項aN，使得a???an．又由?an?的遞增性，當(dāng)n?N時有

a???aN?an．

另一方面，由于a是?an?的一個上界，故對一切an都有an?a?a??．所以當(dāng)n?N時有

a???an?a??，liman?a即n??．

同理可證有下界的遞增數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界． 例1 設(shè)

an?1?其中實數(shù)a?2．證明數(shù)列?an?收斂．

111????,n?1,2,?,aaa23n

證

顯然?an?是遞增的，下證?an?有上界．事實上，111111?????1??????n?1?n 1?22?32232n21??1??11??1?1??1?????????????2??23??n?1n? 1?2??2n

，?1,2,?.于是由單調(diào)有界定理，?an?收斂．

an?1?例2 證明數(shù)列

2,2?2,2?2???2,??????????n個根號收斂，并求其極限．

證

記an?

2?2???2，易見數(shù)列?an?是遞增的．現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法

來證明?an?有上界．

顯然a1?2?2．假設(shè)an?2，則有an?1?2?an?2?2?2，從而對一切n有an?2，即?an?有上界．

由單調(diào)有界定理，數(shù)列?an?有極限，記為a．由于

an?1?2?an，2對上式兩邊取極限得a?2?a，即有

2?a?1??a?2??0，解得a??1或a?2． 由數(shù)列極限的保不等式性，a??1是不可能的，故有：n??__lim2?2???2?2．

例3 設(shè)S為有界數(shù)集．證明：若supS?a?S，則存在嚴(yán)格遞增數(shù)列?xn??S，使得n??limxn?a．

__證

因a是S的上確界，故對任給的??0,存在x?S,使得x?a??．又因a?S，故x?a，從而有a???x?a．

現(xiàn)取?1?1，則存在x1?S，使得

a??1?x1?a

再取?2?min?,a?x1??0?1?2??，則存在x2?S，使得

a??2?x2?a，且有x2?a??2?a??a?x1??x1．

一般地，按上述步驟得到xn?1?S之后，取使得

?n?min?,a?xn?1??1?n??，則存在xn?S，a??n?xn?a，且有xn?a??n?a?(a?xn?1)?xn?1.上述過程無限地進(jìn)行下去，得到數(shù)列{xn}?S，它是嚴(yán)格遞增數(shù)列，且滿足

a??n?xn?a?a??n?|xn?a|??n?limxn?a1,n?1,2,?.n

這就證明了n??.1lim(1?)nn存在.例4 證明n??

證先建

b整理后得不等式.n?1b?a?0，對任一正整數(shù)n有

?an?1?(n?1)bn(b?a)，an?1?bn[(n?1)a?nb].（1）

11,b?1?n?1n代入(1)式.由于 以

11(n?1)a?nb?(n?1)(1?)?n(1?)?1n?1n

, 1n?11(1?)?(1?)nn?1n.故有

1{(1?)n}n這就證明了為遞增數(shù)列.1a?1,b?1?2n代人(1)式，得

再以a?1?

故有(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?n11)?2n2.2n1?11???1??1???1???2n22n????

?4.n?1??1???4n?上式對一切正整數(shù)n都成立,即對一切偶數(shù)n有?.聯(lián)系到該數(shù)列的單調(diào)性，可知

n??1?????1?1??????1???4n????n??有上界．于是由單調(diào)有界定理推知對一切正整數(shù)n都有?，即數(shù)列?1(1?)nn}是收斂的.數(shù)列{

n通常用拉丁字母e代表該數(shù)列的極限，即

1lim(1?)n?en

n??, 它是一個無理數(shù)(待證)，其前十三位數(shù)字是.e?2.7***.以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，通常記

lnx?logex 單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件．

定理2．10(柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則)數(shù)列{an}收斂的充要條件是：對任給的??0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n,m?N時有

m

n．

這個定理從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題，它的證明將在第七章給出．柯西收斂準(zhǔn)則的條件稱為柯西條件，它反映這樣的事實：收斂數(shù)列各項的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何兩項之差的絕對值可小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)．或者形象地說，a?a??收斂數(shù)列的各項越到后面越是“擠”在一起．另外，柯西收斂準(zhǔn)則把??N定義中an與a的關(guān)系換成了an與am的關(guān)系，其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其(收)斂(發(fā))散性．

例5 證明：任一無限十進(jìn)小數(shù)??0.b1b2?bn?的n位不足近似(n?12,?)所組成的數(shù)列

bb1b1b2bb,?2,?,1?22???nn,?101010

101010

(2)

滿足柯西條件(從而必收斂)，其中bk為0,1,2,?,9中的一個數(shù)，k?1,2,?.bb1b?22???nn.101010不妨設(shè)n?m,則有 證 記bm?1bm?1bn911?????(1????)m?1m?2nm?1n?m?1a?anm1010101010||=10

1111?m(1?n?m)?m?m 1010

10an?對任給的??0,，取N?1?，則對一切n?m.?N有

|an?am|?? 這就證明了數(shù)列(2)滿足柯西條件．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限、證明極限的存在性.Ⅴ 課外作業(yè):

P３8 3、4、6、7、9、11、12.

第二篇：數(shù)學(xué)分析教案

《數(shù)學(xué)分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學(xué)時）

課時教學(xué)計劃（教案21-1）

課題：§21-1二重積分的概念

一、教學(xué)目的：

1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質(zhì)。

二、教學(xué)重點：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質(zhì)。

三、教學(xué)難點：二重積分的定義；二重積分的存在性。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積

（約40min，投影、圖示與黑板講解）

1．平面圖形面積的定義；

2．平面圖形可求面積的充分必要條件；

?二重積分的定義及其存在性

1.2.? 二重積分的定義；

二重積分存在的充分條件和必要條件。

二重積分的性質(zhì)

（約25min，圖示與黑板講解）

結(jié)合二重積分的定義講解二重積分的7條性質(zhì)。

? 補充例子：

（約10min，黑板講解）

1．根據(jù)二重積分的定義計算二重積分； 2．根據(jù)二重積分的性質(zhì)證明不等式。

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)。

八、作業(yè)：P217習(xí)題

1，2，3，4，5，6，8。

課時教學(xué)計劃（教案21-2）

課題：§21-2直角坐標(biāo)系下二重積分的計算

一、教學(xué)目的：

掌握在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。

二、教學(xué)重點：直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。

三、教學(xué)難點：定理21.8，21.9。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

由曲頂柱體的體積引出二重積分計算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明

?

X型、y型區(qū)域的講解及其定理21.10的證明

? 直角坐標(biāo)系下二重積分的計算舉例

教材中例1—例4。

? 補充例子：

利用二重積分計算體積；

七、課程小結(jié)：

直角坐標(biāo)系下二重積分的計算。

八、作業(yè)：P222習(xí)題

1，2，3，4，5，6，8。

（約5min，語言表述）

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學(xué)計劃（教案21-3）

課題：二重積分的概念與計算習(xí)題課

一、教學(xué)目的：

1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。

二、教學(xué)重點：直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。

三、教學(xué)難點：直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 二重積分的概念與性質(zhì)

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

1．二重積分的概念復(fù)習(xí)； 2．二重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。

?

二重積分的計算

1.2.利用二重積分的定義和限制計算二重積分和某些不等式； 在直角坐標(biāo)系下計算二重積分。

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計算。

八、作業(yè)：P278

總練習(xí)題

1，2。

課時教學(xué)計劃（教案21-4）

課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性

一、教學(xué)目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在計算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無關(guān)的條件和應(yīng)用方法。

二、教學(xué)重點：格林公式的理解和方法。

三、教學(xué)難點：定理21.11，21.12。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 格林公式，定理21.11的證明

?

例1—例3的講解

? 曲線積分與路線的無關(guān)性，定理21.12的證明

例4的講解。

? 補充例子：

利用二重積分計算曲線積分。

七、課程小結(jié)：

格林公式與曲線積分與路徑無關(guān)的概念。

八、作業(yè)：P231習(xí)題

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學(xué)計劃（教案21-5）

課題：§21-4二重積分的變量變換

一、教學(xué)目的：

1.理解二重積分的變量變換的基本思想；

2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標(biāo)變換。掌握在極坐標(biāo)系下計算二重積分的方法。

二、教學(xué)重點：二重積分的變量變換。

三、教學(xué)難點：引理和定理21.13，21.14。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 二重積分的變量變換公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 用極坐標(biāo)計算二重積分，定理21.14證明

（約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標(biāo)系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的變量變換，在極坐標(biāo)系下計算二重積分的方法。

八、作業(yè)：P242習(xí)題

1，2，3，4，5。

課時教學(xué)計劃（教案21-6）

課題：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性

及積分變換習(xí)題課

一、教學(xué)目的：

1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換；

鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換的計算方法。

二、教學(xué)重點：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換

三、教學(xué)難點：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 講解格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性的計算題

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

?

講解積分變換的計算題

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計算。

八、作業(yè)：P243

總練習(xí)題

7，8 6

課時教學(xué)計劃（教案21-7）

課題：§21-5 三重積分

一、教學(xué)目的：

1.2.3.理解三重積分的概念；

掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。

二、教學(xué)重點：三重積分換元法

三、教學(xué)難點：定義和定理21.15

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 三重積分的定義

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

定理21.15證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 三重積分還原公式，柱面坐標(biāo)變換，球面坐標(biāo)變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

三重積分的定義，在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計算三重積分的方法。

八、作業(yè)：P251習(xí)題

1，2，3，4，5。

課時教學(xué)計劃（教案21-8）

課題：§21-6 重積分的應(yīng)用

一、教學(xué)目的：

1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應(yīng)用； 了解重積分在重心的應(yīng)用； 了解重積分在轉(zhuǎn)動慣量的應(yīng)用。

二、教學(xué)重點：重積分求曲面面積

三、教學(xué)難點：運用重積分公式求解曲面面積

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由曲面的面積引出重積分的應(yīng)用。

?

建立曲面面積的計算公式

（約40min，圖示與黑板講解）

? ? 例1講解

（約35min，圖示與黑板講解）簡單介紹重積分在重心、轉(zhuǎn)動慣量的應(yīng)用

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用。

八、作業(yè)：P259 1，2。

課時教學(xué)計劃（教案21-9）

課題：§21-8 反常二重積分

一、教學(xué)目的：

掌握反常二重積分及其計算

二、教學(xué)重點：反常二重積分及其計算

三、教學(xué)難點：反常二重積分及其計算

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

?

無界區(qū)域上的二重積分

（約10min，圖示與黑板講解）

? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明

（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解

（約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19

（約15min，圖示與黑板講解）無界函數(shù)上的二重積分及定理21.20

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用。

八、作業(yè)：P272 1，2，3。

課時教學(xué)計劃（教案21-10）

課題：三重積分及重積分的應(yīng)用習(xí)題課

一、教學(xué)目的：

1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標(biāo)系下三重積分的計算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。

二、教學(xué)重點：直角坐標(biāo)系下三重積分的計算方法。

三、教學(xué)難點：三重積分換元法

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 二重積分的概念與性質(zhì)

1.三重積分的概念復(fù)習(xí)； 2.三重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。

?

三重積分的計算

1.化三重積分為累次積分；

2.在柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計算三重積分； 3.計算曲面面積。

七、課程小結(jié)：

三重積分的定義；三重積分性質(zhì)；三重積分的計算。

八、作業(yè)：P278

總練習(xí)題

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約80min，投影、圖示與黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學(xué)計劃（教案22-1）

課題：§22-1第一型曲面積分

一、教學(xué)目的：

1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計算。

二、教學(xué)重點：第一型曲面積分計算

三、教學(xué)難點：第一型曲面積分計算

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求曲面的質(zhì)量引出第一型曲面積分的概念。

? 第一型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一型曲面積分的計算

1.2.定理22.1第一型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P282 1，2，3，4

課時教學(xué)計劃（教案22-2）

課題：§22-2第二型曲面積分

一、教學(xué)目的：

1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計算。

二、教學(xué)重點：第二型曲面積分計算

三、教學(xué)難點：第二型曲面積分計算

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求流量問題引出第二型曲面積分的概念。

? 第二型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第二型曲面積分的計算

1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P289 1，2 12 課時教學(xué)計劃（教案22-3）

課題：第一、二型曲面積分復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目的：

1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計算。

二、教學(xué)重點：第一、二型曲面積分計算

三、教學(xué)難點：第一、二型曲面積分計算

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 第一、二型曲面積分的概念

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一、二型曲面積分的計算

1.2.習(xí)題鞏固第一、二型曲面積分計算公式

（約75min，投影、圖示與黑板講解）簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P305 1，2

課時教學(xué)計劃（教案22-4）

課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式

一、教學(xué)目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教學(xué)重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學(xué)難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 高斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式

1.2.? 定理22.3證明

（約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

斯托克斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

斯托克說公式

1.2.3.定理22.4證明

（約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

定理22.5及例3

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算

八、作業(yè)：P296 1，2，3，4 14 課時教學(xué)計劃（教案22-5）

課題：§22-4場論初步

一、教學(xué)目的：

1.2.了解場的概念 掌握梯度場、散度場

二、教學(xué)重點：梯度場、散度場

三、教學(xué)難點：梯度場、散度場

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 場的概念、向量場線

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

梯度場的定義及其基本性質(zhì)

（約20min，投影、圖示與黑板講解）?

例1求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

? 散度場的定義及其基本性質(zhì)

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

?

例2求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）?

了解其他場

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

場的概念；梯度場、散度場。

八、作業(yè)：P296 1，2，3，4。

課時教學(xué)計劃（教案22-6）

課題：高斯公式與斯托克斯公式和場論初步復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目的：

1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場、散度場

二、教學(xué)重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學(xué)難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 高斯公式與斯托克斯公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式與斯托克斯公式的計算

（約65min，投影、圖示與黑板講解）?

復(fù)習(xí)場論知識

（約15min，黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算； 場的概念；梯度場、散度場。

八、作業(yè)：P305 3，4。

第三篇：數(shù)學(xué)分析 教案

第九章

空間解析幾何

教學(xué)目標(biāo)：

1．理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的運算.5．理解平面的點法式方程和空間直線的點向式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程）、參數(shù)方程，了解平面和空間直線的一般式方程.6．理解曲面及其方程的關(guān)系，知道球面、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的概念，掌握球面、以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸、準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上的旋轉(zhuǎn)曲面及以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及其圖形.7．了解空間曲線及其方程，會求空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影.8．了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形.教學(xué)重點：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念，用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的運算，平面的點法式方程，空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程，球面、以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影.教學(xué)難點：向量的概念，向量的點積與叉積的概念與計算，利用向量的點積與叉積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時：14學(xué)時 教學(xué)手段：板書

學(xué)法建議：解析幾何的實質(zhì)是建立點與實數(shù)有序數(shù)組之間的關(guān)系，把代數(shù)方程與曲線、曲面對應(yīng)起來，從而能用代數(shù)方法研究幾何圖形建議在本章的學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意對空間圖形想象能力的培養(yǎng)，有些空間圖形是比較難以想像和描繪的，這是學(xué)習(xí)本章的一個難點.為了今后學(xué)習(xí)多元函數(shù)重積分的需要，同學(xué)們應(yīng)自覺培養(yǎng)這方面的能力.參考資料： 使用教材：《高等數(shù)學(xué)》（第三版），高職高專十一五規(guī)劃教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主編.參考教材： 1.《高等數(shù)學(xué)》，21世紀(jì)高職高專精品教材，北京理工大學(xué)出版社，2005年5月，宋立溫等主編.2.《高等數(shù)學(xué)》，教育部高職高專規(guī)劃教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主編.3.《高等數(shù)學(xué)》，第五版.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社.4.《高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例》，李心燦編，1986年，高等教育出版社.5.《高等數(shù)學(xué)》，宋立溫等主編，21世紀(jì)高職高專精品教材，北京理工大學(xué)出版社，2005年5月.第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系與向量的概念

教學(xué)目標(biāo)：

1．理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運算.教學(xué)重點：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘的概念，用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運算.教學(xué)難點：向量的概念.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時 教學(xué)手段：板書

一、引入新課（3分鐘）

(提問)舉幾個既有大小又有方向的量.(溫故知新,進(jìn)行一些必要知識鋪墊。)

二、講授新課（72分鐘）

（一）空間直角坐標(biāo)系（17分鐘）

在空間,使三條數(shù)軸相互垂直且相交于一點O，這三條數(shù)軸分別稱為x軸、y軸和z軸，一般是把x軸和y軸放置在水平面上，z軸垂直于水平面.z軸的正向按下述法則規(guī)定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向x軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)090指向y軸的正向，這時大拇指所指的方向就是z軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標(biāo)系Oxyz.在此空間直角坐標(biāo)系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，簡稱坐標(biāo)面.x軸與yz軸稱為豎軸，O稱為坐標(biāo)原點;每兩軸所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，軸所確定的坐標(biāo)面稱為xOy坐標(biāo)面，類似地有yOz坐標(biāo)面，zOx坐標(biāo)面。這些坐標(biāo)面把空間分為八個部分，每一部分稱為一個卦限.在空間直角坐標(biāo)系中建立了空間的一點M與一組有序數(shù)(x,y,z)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。有序數(shù)組(x,y,z)稱為點M的坐標(biāo)；x,y,z分別稱為x坐標(biāo)，y坐標(biāo)，z坐標(biāo).(提問)根據(jù)點的坐標(biāo)的規(guī)定，點（0,0,c）在哪條坐標(biāo)軸上，點（a，b，0）(a,0,c)在哪個坐標(biāo)面上？（目的在于檢驗學(xué)生能否正確理解點與有序數(shù)組的對應(yīng)關(guān)系，并在問題中正確應(yīng)用.）

（二）向量的基本概念及線性運算（15分鐘）1.向量的基本概念

（此部分內(nèi)容在高中階段已學(xué)，故可由教師引導(dǎo)，師生共同回憶完成）⑴向量的定義：既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量．

?⑵向量的模：向量的大小稱為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動后不變的向量,稱為自由向量.2.向量的線性運算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法則 若將向量a的終點與向量b的起點放在一起，則以a的起點為起點，以b的終點為終點的向量稱為向量a與b的和向量，記為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則.②平行四邊形法則 將兩個向量a和b的起點放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點到對角頂點的向量稱為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運算律.交換律：a?b=b?a； 結(jié)合律：（a?b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數(shù)的乘法運算

實數(shù)?與向量a的乘積是一個向量，稱為向量a與數(shù)?的乘積，記作?a，并且規(guī)定：

①?a?? a；

②當(dāng)??0時，?a與a的方向相同；當(dāng)??0時，?a與a的方向相反； ③當(dāng)??0時，?a是零向量.設(shè)?,?都是實數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運算律：

結(jié)合律：?(?a)?(??)a??(?a)；

分配律：(???)a??a??a , ?(a+b)=?a+?b.向量的加法運算和向量與數(shù)的乘法運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設(shè)向量a是一個非零向量，則與a同向的單位向量

ea?a.a ⑷ 負(fù)向量 當(dāng)???1時，記(-1)a=-a，則-a與a的方向相反，模相等，-a稱為向量a的負(fù)向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為 a-b=a +(-1)b.向量的減法也可按三角形法則進(jìn)行，只要把a與b的起點放在一起，a-b即是以b的終點為起點，以a的終點為終點的向量.（三）向量的坐標(biāo)表示（40分鐘）

1、向徑及其坐標(biāo)表示

⑴ 基本單位向量 i,j,k分別為與x軸,y軸,z軸同向的單位向量.⑵ 向徑及其坐標(biāo)表示

向徑 終點為P的向量OP稱為點P的向徑,記為OP.點P(a1,a2,a3)的向徑OP的坐標(biāo)表達(dá)式為OP=a1i?a2j?a3k或簡記為 OP={a1,a2,a3}.講解例1（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學(xué)生能否正確應(yīng)用向徑的坐標(biāo)表示.）

2、向量M1M2的坐標(biāo)表示

設(shè)以M1(x1,y1,z1)為起點,以M2(x2,y2,z2)為終點的向量M1M2的坐標(biāo)表達(dá)式為 M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k.講解例2（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學(xué)生能否正確應(yīng)用向量M1M2的坐標(biāo)表示.）

3、向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4、空間兩點間距離公式

?222點M1(x1,y1,z1)與點M2(x2,y2,z2)間的距離記為d(M1M2),則d(M1M2)?M1M2, 而M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k 所以d(M1M2)?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

講解例

3、例4（學(xué)生講解，考察學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行運用的情況）5.坐標(biāo)表示下的向量運算

設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則有（1）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（2）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（3）?a??(a1i?a2j?a3k)??a1i??a2j??a3k；（4）a?b?a1?b1,a2?b2,a3?b3（5）a∥b?a=?b?a1a2a3??.b1b2b3引導(dǎo)學(xué)生看書、探究證明方法.由老師分析歸納證明思路，指出定理的作用與用法.講解例5（師生共同完成，讓學(xué)生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度）

三、課堂練習(xí)（9分鐘）教材169頁1—5題.（檢驗學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度。旨在訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用）

四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘）

（教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會總結(jié)歸納）

（一）空間直角坐標(biāo)系

（二）向量的基本概念及線性運算 1.向量的基本概念 2.向量的線性運算

（三）向量的坐標(biāo)表示 1.向徑及其坐標(biāo)表示 2.向量M1M2的坐標(biāo)表示

3.向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4.空間兩點間距離公式 5.坐標(biāo)表示下的向量運算

五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材169頁2、4、6題

2.預(yù)習(xí)第二節(jié)向量的點積與叉積

222第二節(jié) 向量的點積與叉積

教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點積與叉積的運算.教學(xué)重點：向量點積與叉積的概念.教學(xué)難點：用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點積與叉積的運算.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時 教學(xué)手段：板書

一、引入新課（5分鐘）

(提問)1.向徑及其坐標(biāo)表示2.向量M1M2的坐標(biāo)表示3.向量a?a1i?a2j?a3k的模

222?a2?a34.空間兩點間距離公式 a=a1(溫故知新,為用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點積與叉積的運算做一些必要的知識鋪墊。)

二、講授新課（64分鐘）

（一）向量的點積（34分鐘）

1、引例

已知力F與x軸正向夾角為?，其大小為F,在力F的作用下，一質(zhì)點M沿x軸由x=a移動到x=b,求力F所做的功？（創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣）

分析：在力F使質(zhì)點M沿x軸由x=a移動到x=b,所做的功等于F的模與位移的模及其夾角余弦的積.解略.這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的點積的定義.2、定義 設(shè)向量a,b之間的夾角為?(0???π)，則稱abcos?為向量a與b的數(shù) 量積，記作a·b，即 a·b=abcos?.向量的點積又稱“點積”或“內(nèi)積”.講解例1.（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學(xué)生能否正確理解向量的點積的定義.）

向量的點積還滿足下列運算律: 交換律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

結(jié)合律：?(a·b)=(?a)·b(其中?為常數(shù)).3、點積的坐標(biāo)表示

（1）設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則a·b=a1b1?a2b2?a3b3.（由學(xué)生自行得出點積的坐標(biāo)表示公式，進(jìn)一步加深對向量點積的定義的理解）（2）定理1：a⊥b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0

講解例2.（學(xué)生講解，考察學(xué)生對兩向量正交充分必要條件的理解與應(yīng)用能力）

4、向量a與b的夾角余弦

設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則 cos??a1b1?a2b2?a3b3a?b =(0???π).222222aba1?a2?a3b1?b2?b35、向量的方向余弦

設(shè) 向 量 a?a1i?a2j?a3k與 x 軸 ,y 軸 ,z 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為

?,?,?(0??,?,??π),稱其為向量a的三個方向角，并稱cos? ,cos?,cos?為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標(biāo)表示為

cos??且cos2??cos2a1a?a?a212223, cos??a2a?a?a212223, cos??a3a?a?a212223，??cos2??1.講解例4（（師生共同完成.利用數(shù)學(xué)建模解決物理問題，讓學(xué)生熟悉建模過程，規(guī)范解題步驟.數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)生活，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識.）

（二）向量的叉積（30分鐘）1.引例

設(shè)點O為一杠桿的支點，力F作用于杠桿上點P處，求力F對支點O的力矩.分析：力F對支點O的力矩等于F的模與向量OP的模及其夾角正弦的積.解略.（這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的叉積的定義.）

2.叉積的定義

(1)定義 兩個向量a與b的叉積是一個向量，記作a×b，它的模和方向分別規(guī)定如下：

①a×b=absin? 其中?是向量a與b的夾角；

②a×b的方向為既垂直于a又垂直于b，并且按順序a,b,a×b符合右手法則.（2）向量的叉積滿足如下運算律.反交換律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

結(jié)合律：?(a×b)=(?a)×b=a×(?b)(其中?為常數(shù)).講解例5（學(xué)生講解，考察學(xué)生對向量叉積定義的理解與應(yīng)用能力）（3）定理2：a∥b?a?b?0.3.叉積的坐標(biāo)表示

設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則

a×b=(a2b3?a3b2)i?(a1b3?a3b1)j?(a1b2?a2b1)k.可將a×b表示成一個三階行列式的形式，計算時，只需將其按第一行展開即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3

講解例6（師生共同完成，加深學(xué)生對叉積的坐標(biāo)表示公式的記憶，讓學(xué)生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度）

講解例8(師生共同完成，訓(xùn)練學(xué)生解決實際問題的能力)

三、課堂練習(xí)（15分鐘）

教材174頁思考題1—3題.（檢驗學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度.）

四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘）

（教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會總結(jié)歸納，訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.）

（一）向量的點積定義、坐標(biāo)表示；

（二）向量的叉積定義、坐標(biāo)表示及記憶方法.五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材174頁2、4、6、8題 2.預(yù)習(xí)第三節(jié)平面與直線

第四篇：《數(shù)學(xué)分析》教案

《數(shù)學(xué)分析》教案

S F 01(數(shù))

C h0 數(shù)學(xué)分析課程簡介

C h 1 實數(shù)集與函數(shù)

計劃課時： Ch 0

2時

Ch 1

6時

P 1—8

說 明：

1．這是給數(shù)學(xué)系2001屆學(xué)生講授《數(shù)學(xué)分析》課編制的教案.該課程開設(shè)兩學(xué)期, 總課時為1 8 0 學(xué)時, 是少課時型教案（后來又開設(shè)了一學(xué)期，增加了8 0 學(xué)時）.按照學(xué)分制的要求, 只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.本教案共2 7 9頁，分2 1章.2.取材的教材: [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996；

[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0

數(shù)學(xué)分析課程簡介(2 時)一.數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)簡介:

1.背景: 從切線、面積、計算sin32?、實數(shù)定義等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運算：

3.數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限為基本思想和基本運算研究實變實值

函數(shù).主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù), 并依據(jù)這些運算引進(jìn)并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運算是高等數(shù)學(xué)的基本運算.數(shù)學(xué)分析與微積分(calculus)的區(qū)別..二． 數(shù)學(xué)分析的形成過程：

1． 孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想.紀(jì)元前三世紀(jì), Archimedes 就有了積分思想.2.十七世紀(jì)以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期: 3． 十七世紀(jì)下半葉到十九時紀(jì)上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時期: 參閱《數(shù)學(xué)分

析選講》講稿(1997.8.10.)第三講P72.4.十九時紀(jì)上半葉到二十時紀(jì)上半葉 —— 分析學(xué)理論的完善和重建時期：參閱 《數(shù)學(xué)分析選講》講稿第三講P72—75.三.數(shù)學(xué)分析課的特點:

邏輯性很強, 很細(xì)致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 倘能努力學(xué)懂前四章(或前四章的8000), 后面的學(xué)習(xí)就會容易一些;只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂,習(xí)題還是難以順利完成.這是因為數(shù)學(xué)分析技巧性很強, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應(yīng)的技巧, 是很難順利應(yīng)用理論和方法的.論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的,也是重要的內(nèi)容之一, 也是最難的內(nèi)容之一.一般懂得了證明后，能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡練地用數(shù)學(xué)的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式, 學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項任務(wù).有鑒于此, 建議的學(xué)習(xí)方法是: 預(yù)習(xí), 課堂上認(rèn)真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主, 力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認(rèn)真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導(dǎo), 閱讀教科書, 學(xué)習(xí)證明或推導(dǎo)的敘述和書寫.基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后, 再去做作業(yè).在學(xué)習(xí)中, 要養(yǎng)成多想問題的習(xí)慣.四.課堂講授方法:

1.關(guān)于教材: 沒有嚴(yán)格意義上的教科書.這是大學(xué)與中學(xué)教學(xué)不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材:

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996；

[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991；

[3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999；

[4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內(nèi)容的出處.本課程為適應(yīng)課時少和學(xué)分制的要求，只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.因此刪去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在學(xué)完數(shù)學(xué)分析課之后開設(shè).2.內(nèi)容多, 課時緊: 大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是, 這里每次課介紹的內(nèi)容很多, 因此, 內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內(nèi)容或推導(dǎo), 特別是同類型或較簡的推理論證及推導(dǎo)計算, 可能講得很簡, 留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.3.講解的重點: 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路, 具有代表性的證明方法, 解題的方法與技巧.某些精細(xì)概念之間的本質(zhì)差別.在第一、二章教學(xué)中, 可能會寫出某些定理證明, 以后一般不會做特別具體的證明敘述.五.要求、輔導(dǎo)及考試：

1.學(xué)習(xí)方法: 盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法, 盡快進(jìn)入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)消化, 補充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時間比例應(yīng)為1 : 3(國外這個比例通常是 1 : 4.參《西北師大報》№191，2000.9.30.第二版:

本科節(jié)段如何培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人材 ——

伯利克大學(xué)的啟示.注: 伯利克大學(xué)乃美國加州大學(xué)伯利克分校.)對將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來說, 課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富:

要認(rèn)真評價教師的課堂教學(xué), 把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗.這對未來的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè):

作業(yè)以[1]的練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題和[4]中的計算題為主要內(nèi)容.大體上每兩周收一次作業(yè), 一次收清.每次重點檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細(xì)的登記, 缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫恭整.要求活頁作業(yè), 最好用西北師大稿紙.要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.作業(yè)布置方式: [1]P…, [4]P…

3.輔導(dǎo): 大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時不缺席.4.考試: 按學(xué)分制的要求, 只以最基本的內(nèi)容進(jìn)行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]和[4]中的典型例題.考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題.Ch 1 實數(shù)集與函數(shù)(6時)

§ 1

實數(shù)集與確界（3時）

一．

實數(shù)集R：回顧中學(xué)中關(guān)于實數(shù)集的定義.1.四則運算封閉性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0, ?n?N, ? na?b.4.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.5.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: 6.兩實數(shù)相等的充要條件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.7.區(qū)間和鄰域:

二.幾個重要不等式:

1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其他不等式:

⑴ a2?b2?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵

均值不等式: 對?aa?1,a2,?,n?R, 記

M(aa1?a2???anni)? n? 1n?ai,(算術(shù)平均值)

i?11n

G(ai)?na?1a2?an??n???ai??,(幾何平均值)?i?1?

H(ai)?n1?1n?nna?1???111?1.(調(diào)和平均值)1a2ann?i?1aii?1ai有平均值不等式:

H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時成立.⑶

Bernoulli 不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當(dāng)x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴(yán)格不等式(1?x)n?1?nx.(現(xiàn)采用《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》1991.№ 1馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”中的證明)證 由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n(1?x).?(1?x)n?1?nx.⑷ 利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式(1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h，3n 有(1?h)n?上式右端任何一項.三.有界數(shù)集與確界原理: 1.有界數(shù)集:

定義(上、下有界, 有界)，閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 E??y y?sinx, x?(?? , ??)?也是有界數(shù)集.無界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數(shù)集，??1?, x?(0 , 1)?也是無界數(shù)集.x?集合 E??y y?2.確界: 給出直觀和刻畫兩種定義.n?(?1)

例

1⑴

S??1?n???,則supS?______, infS?_______.?

⑵ E??y y?sinx, x?(0,?)?.則

supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有

supA?infB.證 ?y?B, y是A的上界, ? supA?y.? supA是B的下界, ? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證

?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有

x?infA或x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有 infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.3.數(shù)集與確界的關(guān)系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關(guān)系: 設(shè) E為數(shù)集.⑴

E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵

非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶

若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結(jié)論.四.確界原理:

Th(確界原理).Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函數(shù)(3時)

一.函數(shù):

1.函數(shù):

[1]P10—12的五點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法:

4.反函數(shù):

一 一 對應(yīng), 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運算:

?1?x, x?1,?f(x)??2, x?1，?2?x, x?1

二.分段函數(shù): 以函數(shù)介紹概念.??2?x, x?1,和g(x)??2為例

??x, x?1例1 f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.x ? 1,?x, ?1?x, x ?1.例

2f(x)??

求 f(0), f(1), f(2).例

3設(shè) f(x)???x?3, x?10,?f?f(x?5)?, x?10.求 f(5).(答案為8)

三.函數(shù)的復(fù)合:

例4 y?f(u)?定義域.例

5⑴

f(1?x)?x?x?1, f(x)?_____________.??1?12??x?2.則f(x)?()x?x222u, u ?g(x)?1?x.求

2?f?g?(x)?f?g(x).?并求

⑵

f?x?2

A.x, B.x?1, C.x?2, D.x?2.[4]P407 E62.2四.初等函數(shù):

1.基本初等函數(shù):

2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個特例: 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則

⑴ f(x)是初等函數(shù), 因為 f(x)??f(x)?2.⑵ ?(x)?max?f(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)?? ?(x)?min?f(x), g(x)? ? ⑶ 冪指函數(shù) ?f(x)? ?f(x)?g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)?.g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因為

g(x)?eln?f(x)??eg(x)lnf(x).五.有界函數(shù): 有界函數(shù)概念.例6

驗證函數(shù) f(x)?225x2x?32在R內(nèi)有界.2解法一 由2x?3?(2x)?(3)?25x2x?322x?3?26x, 當(dāng)x?0時,有

f(x)??5x2x?32?5x26x?526?3.f(0)?0?3，?

對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內(nèi)有界.解法二

令 y?5x2x?32, ? 關(guān)于x的二次方程 2yx22?5x?3y?0有實數(shù)根.22

? ??5?24y?0, ? y?2524?4, ? y?2.解法三

令 x?????tgt, t???,?對應(yīng)x?(?? , ??).于是 2?22?3f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect?

? 526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.關(guān)于奇偶函數(shù)、周期函數(shù)和單調(diào)函數(shù)，參閱[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.

第五篇：數(shù)學(xué)分析教案第一章

數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)課程簡介

(計劃課時:2時)

一、背景:從切線、面積等問題引入.1極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運算.2數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限作為工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科（僅在實數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論）.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù),并依據(jù)這些運算引進(jìn)并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.3 數(shù)學(xué)分析的形成過程：孕育于古希臘時期:在我國很早就有極限思想.紀(jì)元前三世紀(jì), Archimedes就有了積分思想.十七世紀(jì)以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期:十七世紀(jì)下半葉到十九時紀(jì)上半葉——微積分的創(chuàng)建時期:十九時紀(jì)上半葉到二十時紀(jì)上半葉——分析學(xué)理論的完善和重建時期.二、數(shù)學(xué)分析課的特點: 邏輯性很強, 很細(xì)致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 若能努力學(xué)懂前四章(或前四章的80%),后面的學(xué)習(xí)就會容易一些;只要在課堂上專心聽講,一般是可以聽得懂的,但即便能聽懂,習(xí)題還是難以順利完成.這是因為數(shù)學(xué)分析技巧性很強,只了解基本的理論和方法,不輔以相應(yīng)的技巧,是很難順利應(yīng)用理論和方法的.論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的,也是重要的內(nèi)容之一,也是最難的內(nèi)容之一.一般懂得了證明后,能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡練地用數(shù)學(xué)的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式,學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項任務(wù).有鑒于此, 建議的學(xué)習(xí)方法是:課前要復(fù)習(xí),做好必要的聽課準(zhǔn)備;課堂上認(rèn)真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主,力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認(rèn)真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導(dǎo),閱讀教科書,學(xué)習(xí)證明或推導(dǎo)敘述和書寫的格式與方法.基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后, 再去做作業(yè).在學(xué)習(xí)中,要養(yǎng)成多想問題的習(xí)慣,善于論證進(jìn)行肯定，尤其要善于舉反例進(jìn)行否定;對概念不能有一點含糊,那是一個數(shù)學(xué)名詞的固定含義,那是推理論證的根據(jù).數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系最重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，因為它不僅是大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生進(jìn)校后首先面臨的一門重要課程，而且大學(xué)本科乃至研究生階段的很多后繼課程在本質(zhì)上都可以看作是它的延伸、深化或應(yīng)用,至于它的基本概念、思想和方法，更可以說是無處不在.本課程的主要任務(wù)是：使學(xué)生獲得極限論、單多元微積分、級數(shù)論等方面的系統(tǒng)知識；為后繼數(shù)學(xué)專業(yè)課程（如微分方程、實變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)、概率論、統(tǒng)計及有關(guān)的泛函分析、微分幾何等選修課程）及普通物理課程等提供所需的基礎(chǔ)理論和知識；提高學(xué)生思維能力，開發(fā)學(xué)生智能，加強“三基”（基礎(chǔ)知識、基本理論、基本技能）訓(xùn)練及培養(yǎng)學(xué)生獨立工作能力.數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)各個方向上考研必考的專業(yè)基礎(chǔ)課(另一門是高等代數(shù)).三、課堂講授方法:

1.關(guān)于教材與參考書目: 沒有嚴(yán)格意義上的教科書.這是大學(xué)與中學(xué)教學(xué)不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材: [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析(上下冊)(第三版)，高等教育出版社，2001.6.[2] 數(shù)學(xué)分析講義(上下冊)(第三版).劉玉璉 傅沛仁編.高等教育出版社，2001.[3] 數(shù)學(xué)分析新講（一、二、三冊).張筑生編.北京大學(xué)出版社，1991.[4] 微積分學(xué)教程(共八冊).Γ.Μ.菲赫金哥爾茨著.人民教育出版社，1978.[5] 數(shù)學(xué)分析中的反例.王俊青編.電子科技大學(xué)出版社，1996.[6] 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法.裴禮文編.高等教育出版社，2002.[7] 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(共六冊).Б.Л.吉米多維奇編.費定輝等譯，山東科技出版社，1983.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[2]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內(nèi)容的出處.本課程為適應(yīng)課時少和學(xué)分制的要求,只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.因此刪去了[1]中第十九和二十三等兩章, 相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在學(xué)完數(shù)學(xué)分析課之后開設(shè).2.內(nèi)容多,課時緊:大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是,這里每次課介紹的內(nèi)容很多,因此,內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少,講課只注重思想性與基本思路,具體內(nèi)容或推導(dǎo),特別是同類型或較簡的推理論證及推導(dǎo)計算,可能講得很簡,留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.3.講解的重點:概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧.某些精細(xì)概念之間的本質(zhì)差別.在第一、二章教學(xué)中,可能會寫出某些定理證明,以后一般不會做特別具體的證明敘述.四、要求、輔導(dǎo)及考試：

1.學(xué)習(xí)方法:盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法,盡快進(jìn)入角色.課堂上以聽為主,但要做課堂筆記.課后一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)消化,補充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時間比例應(yīng)為1:3(國外這個比例通常是1: 4)對將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來說,課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富:要認(rèn)真評價教師的課堂教學(xué),把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗.這對未來的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè):作業(yè)以[1]的練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題為主要內(nèi)容,同時可參考[7]與[1]中劃線以下部分的習(xí)題.大體上每個練習(xí)收一次作業(yè),每次收作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細(xì)的登記,缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫恭整.要求活頁作業(yè), 要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.3.輔導(dǎo):大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時不缺席.4.考試:按學(xué)分制的要求, 只以最基本的內(nèi)容進(jìn)行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]中的典型例題.開設(shè)三學(xué)期考三次.考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題.五.內(nèi)容安排

1.課時分配: 第一學(xué)期16×6=96;第二學(xué)期18×6=108;第三學(xué)期18×4=72.2.內(nèi)容分配: 第一學(xué)期一元函數(shù)微分學(xué);第二學(xué)期一元函數(shù)積分學(xué)與級數(shù)論;第三學(xué)期二元函數(shù)微積分學(xué).第一章 實數(shù)集與函數(shù)（計劃課時：6 時）P1—22

§1 實 數(shù)（1時）

一．實數(shù)及其性質(zhì)：回顧中學(xué)中關(guān)于實數(shù)集的定義.1.實數(shù)用無限小數(shù)表示的方法: 為了把有限小數(shù)(包括整數(shù))表示為無限小數(shù), 規(guī)定: 對于正有限小數(shù)(包括正整數(shù))x,x?a0.a1a2?an時,其中0?ai?9,i?1,2,?,n,an?0,a0為非負(fù)整數(shù),記x?a0.a1a2?(an?1)9999?;而當(dāng)x?a0為正整數(shù)時,則記x?(a0?1).9999?;對于負(fù)有限小數(shù)(包括負(fù)整數(shù))y,則先將?y表示為無限小數(shù),再在所得無限小數(shù)之前加負(fù)號;又規(guī)定數(shù)0表示為0.000?.例如2.011?2.010999?,?8??7.999?.2.實數(shù)的大小: 定義1:(實數(shù)大小的概念)見[1]P1.定義2:(不足近似與過剩近似的概念)見[1]P2.命題: 設(shè)x?a0.a1a2?與y?b0.b1b2?為兩個實數(shù),則x?y??n,使得xn?yn.例1 設(shè)x、y為實數(shù)，x?y.證明：存在有理數(shù)r滿足x?r?y.[1]P17E1.3.實數(shù)的性質(zhì): ⑴.四則運算封閉性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:?a,b?R,b?a?0,?n?N,?na?b.⑷.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.⑸.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: ⑺.兩實數(shù)相等的充要條件: a?b ? ???0, a?b ? ?.二.區(qū)間和鄰域的概念:見[1]P5 三.幾個重要不等式: 1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其它不等式:

⑴ a?b?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵ 均值不等式: 對?a1,a2,?,an?R, 記

?22 3 a1?a2???an1n

M(ai)? ? ?ai,(算術(shù)平均值)

nni?G(ai)?na1a2?an???

H(ai)???a?i??,(幾何平均值)?i?1??11n1?ni?1ai?n1?i?1ainn1nn111????a1a2an.(調(diào)和平均值)有平均值不等式:

H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時成立.⑶

Bernoulli 不等式: ?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當(dāng)x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴(yán)格不等式(1?x)n?1?nx.nn證

由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)?n?1?(1?x)?1?1???1?

nn

?n n(1?x)?n(1?x).?(1?x)?1?nx.⑷

利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式

(1?h)?1?nh?nnn(n?1)2n(n?1)(n?2)3h?h???hn, 2!3!

有(1?h)?上式右端任何一項.Ex [1]P4: 3，4，5，6；

§2 確界原理（2時）

一、有界數(shù)集:定義(上、下有界,有界), 閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，如集合 E?y y?sinx, x?(?? , ??)也是有界數(shù)集.??

二、無界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數(shù)集,如集 合 E??y y???1?, x?(0 , 1)?也是無界數(shù)集.x?

三、確界:給出直觀和刻畫兩種定義.?(?1)n?例1 ⑴S??1? infS?_______.?,則supS?______,n??⑵E?y y?sinx, x?(0,?).則supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有supA?infB.證?y?B,y是A的上界,? supA?y.? supA是B的下界,? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證

?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有x?infA或??x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有

infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.四、數(shù)集與確界的關(guān)系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.五、確界與最值的關(guān)系:設(shè)E為數(shù)集.⑴E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結(jié)論.六、確界原理: Th(確界原理).Ex

[1]P9:

2，4，5.§3 函數(shù)概念(2時)

一.函數(shù)的定義:

1.函數(shù): [1]P10—11的四點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法: 4.反函數(shù): 一 一對應(yīng), 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運算:

?1?x, x?1,???2?x, x?1, x?1, 和g(x)??2二.分段函數(shù): 以函數(shù)f(x)??2, 為例介紹

??x2, ?x, x?1x?1?概念.f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.例2 f(x)??x?1,?x，求 f(0), f(1), f(2).?1?x, x?1.x?10,?x?3, 例3 設(shè) f(x)??

求 f(5).(答案為8)??ff(x?5), x?10.? 三.復(fù)合函數(shù): 例4 y?f(u)?u, u?g(x)?1?x2.求 ?f?g?(x)?f?g(x).?并求定義域.例5 ⑴

f(1?x)?x?x?1, f(x)?_______________.⑵

f?x?2??1?12)??x?2.則f(x)?(x?x2222A.x, B.x?1,C.x?2, D.x?2.四.初等函數(shù): 1.基本初等函數(shù): 2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個特例: 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則

⑴ f(x)是初等函數(shù), 因為 f(x)?

?f(x)?2.⑵

?(x)?ma?xf(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)??12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? ，?(x)?min?f(x), g(x)? ?12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?.⑶

冪指函數(shù) ?f(x)?g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因為

?f(x)?g(x)?eln?f(x)?g(x)?eg(x)lnf(x).五.介紹一些特殊函數(shù): 1.符號函數(shù) 2.Dirichlet函數(shù) 3.Riemann函數(shù) 4.取整函數(shù)

5.非負(fù)小數(shù)部分函數(shù)

Ex

[1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8；

§4 具有某些特性的函數(shù)(1時)

一、有界函數(shù): 有界與無界函數(shù)的概念.例1 驗證函數(shù) f(x)?5x2x2?3在R內(nèi)有界.解法一

由2x2?3?(2x)2?(3)2?22x?3?26x, 當(dāng)x?0時,有

f(x)?5x5x5x2x2?3?2x2?3?26x?526?3.f(0)?0?3，?對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內(nèi)有界.解法二

令 y?5x2x2?3 ? 關(guān)于x的二次方程 2yx2?5x?3y?0有實數(shù)根.? ??52?24y2?0, ? y2?2524?4, ? y ?2.解法三

令 x?3????tgt, t???,?對應(yīng)x?(?? , ??).于是 2?22?5x53tgt5sint1????

222253tgt2f(x)?2x?32??3?32tgt?16costsec?2tgt?t??3??

?526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.例2 見[1]P17.例3 見[1]P17.二、關(guān)于單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)和周期函數(shù)(略)，參閱[1]P17—19，Ex

[1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；