第一篇：數(shù)學(xué)分析教案
數(shù)學(xué)分析教案
第7章 實數(shù)的完備性
§7.1 實數(shù)完備性的基本定理
數(shù)學(xué)分析是建立在極限理論這個基礎(chǔ)上，而極限理論的基礎(chǔ)是實數(shù)，實數(shù)理論就成為基礎(chǔ)的基礎(chǔ)．有關(guān)實數(shù)理論的知識，參見華東師大編寫的《數(shù)學(xué)分析》附錄2．在這里主要介紹實數(shù)的完備性即連續(xù)性，有關(guān)實數(shù)連續(xù)性的基本定理有7個． 戴德金分劃 任一有理分劃必確定一個實數(shù)．參見華東師大編寫的《數(shù)學(xué)分析》附錄2． 確界原理 有界數(shù)集必有確界．本書作為公理． 3 單調(diào)有界定理 有界的單調(diào)數(shù)列必有極限． 此定理可分為兩個部分，即
(1)數(shù)列?an?單調(diào)上升且有上界，則?an?必有極限；(2)數(shù)列?an?單調(diào)下降且有下界，則?an?必有極限．
證：設(shè)?an?單調(diào)上升有上界，由確界存在定理知，?an?有上確界．
an} = a，于是?n, an?a，且???0, ?N?0, ?“aN?a??”，設(shè)sup{ima n?a ??，從而an?a??，所以
ln??于是n?N時，a???aN?an?a 同理可證(2)． 4 區(qū)間套定理 ?an,bn???an?1,bn?1?； 定義1 若閉區(qū)間列?an,bn?滿足(1)?n，lim(b?an)?0(2)n??n，則稱這列閉區(qū)間列?an,bn?為閉區(qū)間套，簡稱區(qū)間套． ????在區(qū)間套?an,bn?中，端點滿足a1?a2???an???bn???b2?b1．即由左端點構(gòu)成的數(shù)列?an?單調(diào)上升有上界；由右端點構(gòu)成的數(shù)列?bn?單調(diào)下降有下界． ??“?n, ???an,bn?”定理1(區(qū)間套定理)若閉區(qū)間列?an,bn?為區(qū)間套，則?|?, ?． ???bn?收斂． 證：(存在性)因為?an,bn?為閉區(qū)間套，所以由單調(diào)有界性定理知?an?、由n????lim(bn?an)?0知兩極限相等．設(shè)n??liman?limbn??n??，則 ?n, ???an,bn?． “?n, ????an,bn?”(唯一性)若???,?，則?n, |????|?bn?an． 而n??lim(bn?an)?0，所以????．綜上可知，結(jié)論成立． 注意： a,b(1)?是閉區(qū)間套?nn?確定的點，則 ???0, ?N?0, ?“n?N??an,bn??U(?,?)”； ??1????0,??(2)閉區(qū)間套定理中，若把閉區(qū)間換為開區(qū)間，則定理不成立．例如??n??，就找??不到適合定理結(jié)論的?； (3)在閉區(qū)間套定理的應(yīng)用中，一般要構(gòu)造一個滿足題設(shè)條件與結(jié)論的閉區(qū)間套．方法見下面柯西定理充分性的證明． 柯西收斂準(zhǔn)則 定理2(數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則)數(shù)列?an?收斂 ????0,?N?0, ?“m,n?N? |am?an|??” 證：???設(shè)數(shù)列?an?收斂于A，即n??liman?A，??|a?A|???m2”???0,? N?0?,“ mn?, N????|a?A|?n?2，?于是 |+ |an?A|??． 因而m, n?N時，|am?an|? |am?A(?)設(shè)數(shù)列?an?滿足 ???0, ?N?0, ?“m, n?N? |am?an|??”． N?0?,“ n?N?an ?|aN|??”，于是 ???0,?即在區(qū)間[aN??, aN??]中含有?an?除去有限項外的所有項． 據(jù)此，取此區(qū)間為??1,?1?． ??11??1?N1, ?“?aN1?,aN1??22?中含有?an?除去有限項外的所有項”?2，則，記 11??1?N2,?“?aN2?2,aN2?2?22?中含有?an?除去有限項外的所有項”?22，則再?。?11?a?,a????1,?1???2,?2???NN2??22222??記區(qū)間．則??2,?2?含有?an?除去有限項外的所??有項，且??2,?2????1,?1?, ?2??2??1??12?12． 繼之而得閉區(qū)間列??n,?n?，滿足 ??n,?n????n?1,?n?1?； (1)?n，(2)n????lim(?n??n)?0； ??n,?n?中含有?an?除去有限項外的所有項． (3)?n，“?n, ????n,?n?”由(1)、(2)知??n,?n?為閉區(qū)間套，所以，?|?, ?，N?0?,“ n?N???n?n?,?U??(”,)且 ???0,?．由(3)知U(?,?)內(nèi)含有?an?除去有限項外的所有項．于是n??6 聚點原理 定義2 設(shè)S是直線上的點集，?是一定點．如果???0,U(?,?)?S，有無窮多個點，則稱?為點集S的聚點． 0等價定義：?為點集S的聚點????0,U(?,?)?S??． ??liman??，故?an?收斂． 注：S 的聚點可能在S中，也可能不在S中． 1?n??1?S????1???S???n?有兩個聚點?1??1,?2?1；??n?只有一個聚點??0；例如點集點集 點集 S =(a，b)的所有聚點構(gòu)成的集合是[a，b]； 點集 S ={1, 2, 3,? } 沒有聚點． 定理3(維爾斯特拉斯聚點原理)有界無限點集必有聚點． 證：設(shè)S為有界無限點集，則?M?0, ?x?S, x?M，取?a1,b1????M,M?,則S??a1,b1?，均分?a1,b1?為兩個子區(qū)間，則至少有一個子區(qū)間含S的無窮多個點，記此子區(qū)間為?a2,b2?，且繼之而得一列閉區(qū)間?an,bn?，滿足 b2?a2?b1?a1?M2． 均分?a2,b2?為兩個子區(qū)間，則至少有一個子區(qū)間含S的無窮多個點，記此子區(qū)間為?a3,b3?． ?an,bn???an?1,bn?1?； (1)?n，(2)lim(bn?an)?0n??； ?an,bn?中含有S的無窮多個點．(3)?n，“?n, ???an,bn?”由(1)、(2)知，?an,bn?為閉區(qū)間套，所以?|?, ?, “,n?N??anbn,??U?(?”,．)且 ???0,?N?0?由(3)知U(?,?)內(nèi)含有S的無窮多個點，?即為S的聚點，故定理成立． 推論(致密性定理)有界數(shù)列必有收斂的子列． 證：設(shè)數(shù)列?xn?有界，如果?xn?中有無限項相等，則其有一子列的每一項都相等，此時結(jié)論成立． 若?xn?中不含無限多相等的項，則由聚點原理知?xn?至少有一個聚點，記作x0，由聚 0點的等價定義得???0, U(x0,?)??xn???． ??x?x0； 取?1?1，則?xn1?U(x0,?1)??xn?，且n112，則?xn2?U(x0,?2)??xn?，且xn2?x0； 取1?k?k，則?xnk?U(x0,?k)??xn?，且xnk?x0； 取 1x?x???xn0kk，繼之得?xn?的一子列?n?，滿足 k?2?k且?x?收斂，故致密性定理成立． nk7 有限覆蓋定理 “x??”定義3 設(shè)S是直線上的點集，H為一開區(qū)間集，如果?x?S, ???H, ?，則稱H為S的一個開覆蓋，或稱H覆蓋S． 若H中的開區(qū)間是無限個，則稱H為S的一個無限開覆蓋； 若H中的開區(qū)間是有限個，則稱H為S的一個有限開覆蓋． ??11??H???,?:n?1,2,3,????n?2n??，其覆蓋了開區(qū)間(0，1)． 例如實因：?x?(0,1)，?n, ?“n?111?n?2”?x?n，所以H覆蓋了開區(qū)間(0，x，即 n?21)，且是無限開覆蓋． 又如f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù)，則?x0?(a,b), ???0, ???0, ?“x?x0???f(x)?f(x0)??”． 開區(qū)間集H???x0??,x0???:x0?(a,b)?是(a, b)的一個無限開覆蓋． 定理4(波雷爾有限覆蓋定理)H為閉區(qū)間[a, b]的一個開覆蓋，則在H中存在有限開覆蓋覆蓋[a, b] ． 證：(反證法)假設(shè)在H中不存在有限開覆蓋覆蓋[a, b]．均分[a, b]為兩個子區(qū)間，則至少有一個子區(qū)間在H中不存在有限開覆蓋，記此區(qū)間為?a1,b1?，再均分?a1,b1?為兩個子區(qū)間，亦至少有一個子區(qū)間在H中不存在有限開覆蓋，記此區(qū)間為?a2,b2?，繼之得一列閉區(qū)間列?an,bn?,滿足 ?an,bn???an?1,bn?1?；(1)?n，(2)lim(bn?an)?0n????； ?an,bn?,H中不存在有限開覆蓋．(3)?n，“?n, ???an,bn?”由(1)、(2)知，?an,bn?為閉區(qū)間套，所以，?|?, ?，而H覆蓋“????,??”了[a, b]，所以???,???H, ?．又當(dāng) n 充分大時，?an,bn??(?,?)，此與(3)矛盾，故定理成立． 注：以上介紹的7個定理是等價的，即從其中任一個定理出發(fā)，都可以推出其余的6個定理．一般的證明方法是 (1)?(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?(7)?(1)． 為了得到思維鍛煉，還可以用下面的推理給出證明． (1)?(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?(7)． 具體證明可參見朱時老師編寫的《數(shù)學(xué)分析扎記》． ??習(xí) 題 1?n????1???n?有且只有兩個聚點?1??1和?2??1． 1 驗證數(shù)集?2 證明：任何有限數(shù)集都沒有聚點． 3 設(shè)??an,bn??是一個嚴(yán)格開區(qū)間套，即滿足 ．證明：?|?，?“an???bn,n?1,2,?”． a1?a2???an???bn??b2?b1，且n??lim?bn,an??04 試舉例說明：在有理數(shù)集內(nèi)，確界原理、單調(diào)有界定里、聚點定理和柯西收斂準(zhǔn)則一般都不能成立． ??11??H???,?:n?1,2,????n?2n??． 5 設(shè)(1)H能否覆蓋(0,1)？(2)能否從H中選出有限個開區(qū)間覆蓋 ?1??1?(i)?0,?,(ii)?,1??2??100?． 證明：閉區(qū)間[a,b]的全體聚點的集合是[a,b]本身． 設(shè)?xn?為單調(diào)數(shù)列．證明：若?xn?存在聚點，則必是唯一的，且為?xn?的確界． 8 試用有限覆蓋定理證明聚點定理． 9 試用聚點定理證明柯西收斂準(zhǔn)則． §7.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 本節(jié)是用實數(shù)關(guān)于完備性的基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)． 性質(zhì)1(有界性)如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上有界． 即f(x)在[a,b]上連續(xù)?? M > 0，?“?x?[a,b]?f(x)?M”． 證1：(用有限覆蓋定理證) 因為f(x)在[a, b]上連續(xù)，所以?x0??a,b?, ?M0?0,??0?0，?“?x?U(x0,?0)??a,b??f(x)?M0”． 開區(qū)間集H??U(x0,?0):x0?[a,b]?是閉區(qū)間[a, b]的無限開覆蓋．由有限覆蓋定理知，k?H*??U(xi,?i):xi?[a,b],i?1,2,?,k?,?“[a,b]??U(xi,?i)”i?1，“?x?U(xi,?i)?[a,b]?f(x)?Mi,i?1,2,?,k”且 ?Mi?0,?． 取M?max?Mi?1?i?k，則?x?[a,b]?f(x)?M，故f(x)在 [a, b]上有界． 我們不能在無窮多個數(shù)中取最大，但可在有限個數(shù)中取最大．可以看見，有限覆蓋定理在證明中的作用． 證2：(用致密性定理證)假設(shè)f(x)在[a, b]上連續(xù)，而f(x)在[a, b]上無界，“|f(xn)|?n”則 ?n,?xn?[a,b]?0,?，由此而得數(shù)列?xn??[a,b]． 由致密性定理知其有收斂子列 ?x?，且limf(xnkk??nk)??． limx??limf(xnk)?f(?)limf(xnk)??設(shè)k??nk，則??[a,b]，由連續(xù)性知k??，此與k??矛盾，故f(x)在[a,b]上有界． 在用致密性定理證明命題中，一般采用反證法．證明中的技巧就是構(gòu)造反例． 性質(zhì)2(最值性)如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上有最大值、最小值．即 ?x1,x2?[a,b], ?“f(x1)?max{f(x)}, f(x2)?min{f(x)}”x?[a,b]x?[a,b]． 證：(用確界定理證)因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有界，于是f(x)在[a,b]上有上確界M． 假設(shè)f(x)在[a,b]不存在最大值，即?x?[a,b],f(x)?M，令 g(x)?1, x?[a,b]M?f(x)． 顯然，因為g(x)在[a,b]上連續(xù)，于是[a,b]在上有界，故而在[a,b]上有上確界G，11?x?[a,b], 0?g(x)??G?x?[a,b],f(x?)M?M?f(x)G，即，從而 此與M為f(x)在[a, b]上的上確界矛盾，所以 f(x)在[a, b]上存在最大值． 同理可證f(x)在[a, b]上存在最小值． 最值一定在我們討論的范圍內(nèi)，確界卻沒有這一要求．例如f(x)?x,x?(0,1)有確界而無最值．定理的證明就是緊扣這一性質(zhì)而得． 性質(zhì)3(零點存在性)如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)?0，“f(x0)?0”則?x0?(a,b),?． 注意：此性質(zhì)只給出存在性，沒有唯一性． a?b,f(a)?0f(b)?02 證：(用區(qū)間套定理證)不妨設(shè)，取如果f(?)?0，則定理得證，如果f(?)?0，則必與f(a)、f(b)之一異號，記異號的??區(qū)間為?a1,b1?． a1?b12，如果f(?)?0，則定理得證，如果f(?)?0，則必與f?a1?,f(b1)之再取一異號，記異號的區(qū)間為?a2,b2?． ??繼之得一列區(qū)間?an,bn?，滿足 ?? ?an,bn???an?1,bn?1?；(1)?n，(2) ； f(an)?0,f(bn)?0．(3)?n，n??lim(bn?an)?0由(1)、(2)知，“?n, ???a,b?”??a,b??為閉區(qū)間套，所以?|?, ?，nnnnnnn??且n??，由 f(an)?0知f(?)?0，由f(bn)?0知f(?)?0，所以f(?)?0．定理得證． a), f(b)之性質(zhì)4(介值性)如果 f(x)在[a, b]上連續(xù)，且 f(a)≠ f(b)，則 ??介于f(limf(a)?f(?)?limf(b)?f(x0)??”間，?x0?(a,b), “，即介于 f(a)、f(b)之間的任一數(shù)μ在f下都有原象．介值性定理指出，函數(shù) f(x)的值域為[ m, M ]，其中m?min{f(x)}x?[a,b]，M?max{f(x)}x?[a,b]． 用零點存在定理，證明如下． 證：不妨設(shè)f?a????f(b)，作函數(shù)g(x)???f(x)，?g(x0)?0”則g(x)在[a, b]上連續(xù)，且g(a)?g(b)?0，由零點存在定理知?x0?(a,b),“，即f(x0)??．故結(jié)論成立． 用確界定理證明如下． 證：不妨設(shè)f(a)???f(b)，作函數(shù)g(x)?f(x)??，g(x)則在[a, b]上連續(xù)，且g(a)?0，g(b)?0，記E??x:g(x)?0,x?[a,b]?，則E??，實因b?E． 由確界定理知E有下確界，記x0?infE．因g(a)?0，g(b)?0，所以由保號性知x0?a且x0?b，即x0?(a,b)．今證g(x0)?0．假設(shè)g(x0)?0，不妨設(shè)g(x0)?0，則由保號性知???0, ?“g(x0??)?0”，于是x0???E，此與x0?infE矛盾，故g(x0)?0，即f(x0)??． 性質(zhì)5(一致連續(xù)性)若f(x)在[a, b]上連續(xù)，則f(x)在[a, b]上一致連續(xù)． 證：(用有限覆蓋定理證)因為f(x)在[a, b]上連續(xù)，?“?x??U(x,?x)?f(x?)?f(x)?”2． ∴?x?[a,b], ???0, ??x?0，???H??U?x,x??2設(shè) ??:x?[a,b]?,???則H覆蓋了[a, b]．由有限覆蓋 ??:x?[a,b], k?1,2,?,n?k???覆蓋了[a, b]． ????H*??U?xk,k2??定理，存在H的一個有限子集取??min???k???k??????????x,x?[a,b], x?x????k, ?“x,x?U??xk,21?k?n2??，于是 ???”?，f(x?)?f(xk)?, f(x??)?f(xk)?22，從而 x??xk??,x???xk??，故而 由此得x??x?????f(x?)?f(x??)??，所以f(x)在 [a, b]上一致連續(xù)． 用致密性定理證明如下． 證：假設(shè)f(x)在[a,b]上非一致連續(xù)，則 ????0?0,???0,?x?,x??,?“x??x????，而f(x?)?f(x??)??0”，11??????“x?x?nn??、?xn???，n，則??xnn，取?)?f(xn??)??0”，因?xn???[a,b]，所以由致密性定理 而f(xn?k??xn??,?“l(fā)imxn?k?x0?[a,b]”?xnk?????． 1??k?x0?xn?k?xn??k?xn?k?x0?0?xnlimx???x0nk而，于是k???nk． 又由f(x)在x?x0點連續(xù)得 ?k?xn??k?xn1????x?x??f(x)?f(x)?n0n0?kk2nk2????0,?k?0,?“?”1??x???x???k)?f(x0)??f(xnnk0?2nk2，?1?k?xn??k??f(xn?k)?f(xn??k)??xn?)?f(xn??)??0矛盾，nk從而．此與f(xn故f(x)在[a,b]上一致連續(xù)． 習(xí) 題 設(shè)f為R上連續(xù)的周期函數(shù)．證明f在R上有最大值與最小值． 2 設(shè)I為有限區(qū)間．證明若f在I上一致連續(xù)，則f在I上有界．舉例說明此結(jié)論當(dāng)I為無限區(qū)間時不一定成立． 證明 f(x)?sinxx在(0,??)上一致連續(xù)． 總練習(xí)題7 證明?xn?為有界數(shù)列??xn?的任一子列都存在其收斂的子列． limf(x)?lim?0x?b?2 設(shè)f在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且x?a?．證明f在(a,b)內(nèi)有最大值或最小值． ?“l(fā)imf(xn)?A”3 設(shè)f在[a,b]上連續(xù)，又??xn??[a,b]，n??，證明?x0?[a,b]，?“f(x0)?A”． 設(shè)函數(shù)f和g都在區(qū)間I上一致連續(xù)． (1)若I為有限區(qū)間，證明f?g在I上一致連續(xù)； (2)若I為無限區(qū)間，舉例說明f?g在I上不一定一致連續(xù)． limf(xn)5 設(shè)f定義在(a,b)上．證明若對(a,b)內(nèi)任一收斂數(shù)列?xn?，極限n??都存在，則f在(a,b)上一致連續(xù)． ?“l(fā)im[f(x)?bx?c]?0”6 設(shè)函數(shù)f在[a,??)上連續(xù)，且有斜漸近線，即?b,c?R，x???． 證明f在[a,??)上一致連續(xù)． 《數(shù)學(xué)分析》教案 S F 01(數(shù)) C h0 數(shù)學(xué)分析課程簡介 C h 1 實數(shù)集與函數(shù) 計劃課時： Ch 0 2時 Ch 1 6時 P 1—8 說 明： 1．這是給數(shù)學(xué)系2001屆學(xué)生講授《數(shù)學(xué)分析》課編制的教案.該課程開設(shè)兩學(xué)期, 總課時為1 8 0 學(xué)時, 是少課時型教案（后來又開設(shè)了一學(xué)期，增加了8 0 學(xué)時）.按照學(xué)分制的要求, 只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.本教案共2 7 9頁，分2 1章.2.取材的教材: [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996； [2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0 數(shù)學(xué)分析課程簡介(2 時)一.數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)簡介: 1.背景: 從切線、面積、計算sin32?、實數(shù)定義等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運算： 3.數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限為基本思想和基本運算研究實變實值 函數(shù).主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù), 并依據(jù)這些運算引進并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運算是高等數(shù)學(xué)的基本運算.數(shù)學(xué)分析與微積分(calculus)的區(qū)別..二． 數(shù)學(xué)分析的形成過程： 1． 孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想.紀(jì)元前三世紀(jì), Archimedes 就有了積分思想.2.十七世紀(jì)以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期: 3． 十七世紀(jì)下半葉到十九時紀(jì)上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時期: 參閱《數(shù)學(xué)分 析選講》講稿(1997.8.10.)第三講P72.4.十九時紀(jì)上半葉到二十時紀(jì)上半葉 —— 分析學(xué)理論的完善和重建時期：參閱 《數(shù)學(xué)分析選講》講稿第三講P72—75.三.數(shù)學(xué)分析課的特點: 邏輯性很強, 很細(xì)致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 倘能努力學(xué)懂前四章(或前四章的8000), 后面的學(xué)習(xí)就會容易一些;只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂,習(xí)題還是難以順利完成.這是因為數(shù)學(xué)分析技巧性很強, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應(yīng)的技巧, 是很難順利應(yīng)用理論和方法的.論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的,也是重要的內(nèi)容之一, 也是最難的內(nèi)容之一.一般懂得了證明后，能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡練地用數(shù)學(xué)的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式, 學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項任務(wù).有鑒于此, 建議的學(xué)習(xí)方法是: 預(yù)習(xí), 課堂上認(rèn)真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主, 力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認(rèn)真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導(dǎo), 閱讀教科書, 學(xué)習(xí)證明或推導(dǎo)的敘述和書寫.基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后, 再去做作業(yè).在學(xué)習(xí)中, 要養(yǎng)成多想問題的習(xí)慣.四.課堂講授方法: 1.關(guān)于教材: 沒有嚴(yán)格意義上的教科書.這是大學(xué)與中學(xué)教學(xué)不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材: [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996； [2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內(nèi)容的出處.本課程為適應(yīng)課時少和學(xué)分制的要求，只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.因此刪去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在學(xué)完數(shù)學(xué)分析課之后開設(shè).2.內(nèi)容多, 課時緊: 大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是, 這里每次課介紹的內(nèi)容很多, 因此, 內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內(nèi)容或推導(dǎo), 特別是同類型或較簡的推理論證及推導(dǎo)計算, 可能講得很簡, 留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.3.講解的重點: 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路, 具有代表性的證明方法, 解題的方法與技巧.某些精細(xì)概念之間的本質(zhì)差別.在第一、二章教學(xué)中, 可能會寫出某些定理證明, 以后一般不會做特別具體的證明敘述.五.要求、輔導(dǎo)及考試： 1.學(xué)習(xí)方法: 盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法, 盡快進入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)消化, 補充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時間比例應(yīng)為1 : 3(國外這個比例通常是 1 : 4.參《西北師大報》№191，2000.9.30.第二版: 本科節(jié)段如何培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人材 —— 伯利克大學(xué)的啟示.注: 伯利克大學(xué)乃美國加州大學(xué)伯利克分校.)對將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來說, 課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富: 要認(rèn)真評價教師的課堂教學(xué), 把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗.這對未來的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè): 作業(yè)以[1]的練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題和[4]中的計算題為主要內(nèi)容.大體上每兩周收一次作業(yè), 一次收清.每次重點檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細(xì)的登記, 缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫恭整.要求活頁作業(yè), 最好用西北師大稿紙.要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.作業(yè)布置方式: [1]P…, [4]P… 3.輔導(dǎo): 大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時不缺席.4.考試: 按學(xué)分制的要求, 只以最基本的內(nèi)容進行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]和[4]中的典型例題.考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題.Ch 1 實數(shù)集與函數(shù)(6時) § 1 實數(shù)集與確界（3時） 一． 實數(shù)集R：回顧中學(xué)中關(guān)于實數(shù)集的定義.1.四則運算封閉性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0, ?n?N, ? na?b.4.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.5.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: 6.兩實數(shù)相等的充要條件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.7.區(qū)間和鄰域: 二.幾個重要不等式: 1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其他不等式: ⑴ a2?b2?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵ 均值不等式: 對?aa?1,a2,?,n?R, 記 M(aa1?a2???anni)? n? 1n?ai,(算術(shù)平均值) i?11n G(ai)?na?1a2?an??n???ai??,(幾何平均值)?i?1? H(ai)?n1?1n?nna?1???111?1.(調(diào)和平均值)1a2ann?i?1aii?1ai有平均值不等式: H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時成立.⑶ Bernoulli 不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當(dāng)x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴(yán)格不等式(1?x)n?1?nx.(現(xiàn)采用《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》1991.№ 1馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”中的證明)證 由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n(1?x).?(1?x)n?1?nx.⑷ 利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式(1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h，3n 有(1?h)n?上式右端任何一項.三.有界數(shù)集與確界原理: 1.有界數(shù)集: 定義(上、下有界, 有界)，閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 E??y y?sinx, x?(?? , ??)?也是有界數(shù)集.無界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數(shù)集，??1?, x?(0 , 1)?也是無界數(shù)集.x?集合 E??y y?2.確界: 給出直觀和刻畫兩種定義.n?(?1) 例 1⑴ S??1?n???,則supS?______, infS?_______.? ⑵ E??y y?sinx, x?(0,?)?.則 supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有 supA?infB.證 ?y?B, y是A的上界, ? supA?y.? supA是B的下界, ? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證 ?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有 x?infA或x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有 infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.3.數(shù)集與確界的關(guān)系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關(guān)系: 設(shè) E為數(shù)集.⑴ E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵ 非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶ 若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結(jié)論.四.確界原理: Th(確界原理).Ex [1]P4 3，4，9，10； P9 2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函數(shù)(3時) 一.函數(shù): 1.函數(shù): [1]P10—12的五點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法: 4.反函數(shù): 一 一 對應(yīng), 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運算: ?1?x, x?1,?f(x)??2, x?1，?2?x, x?1 二.分段函數(shù): 以函數(shù)介紹概念.??2?x, x?1,和g(x)??2為例 ??x, x?1例1 f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.x ? 1,?x, ?1?x, x ?1.例 2f(x)?? 求 f(0), f(1), f(2).例 3設(shè) f(x)???x?3, x?10,?f?f(x?5)?, x?10.求 f(5).(答案為8) 三.函數(shù)的復(fù)合: 例4 y?f(u)?定義域.例 5⑴ f(1?x)?x?x?1, f(x)?_____________.??1?12??x?2.則f(x)?()x?x222u, u ?g(x)?1?x.求 2?f?g?(x)?f?g(x).?并求 ⑵ f?x?2 A.x, B.x?1, C.x?2, D.x?2.[4]P407 E62.2四.初等函數(shù): 1.基本初等函數(shù): 2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個特例: 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則 ⑴ f(x)是初等函數(shù), 因為 f(x)??f(x)?2.⑵ ?(x)?max?f(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)?? ?(x)?min?f(x), g(x)? ? ⑶ 冪指函數(shù) ?f(x)? ?f(x)?g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)?.g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因為 g(x)?eln?f(x)??eg(x)lnf(x).五.有界函數(shù): 有界函數(shù)概念.例6 驗證函數(shù) f(x)?225x2x?32在R內(nèi)有界.2解法一 由2x?3?(2x)?(3)?25x2x?322x?3?26x, 當(dāng)x?0時,有 f(x)??5x2x?32?5x26x?526?3.f(0)?0?3，? 對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內(nèi)有界.解法二 令 y?5x2x?32, ? 關(guān)于x的二次方程 2yx22?5x?3y?0有實數(shù)根.22 ? ??5?24y?0, ? y?2524?4, ? y?2.解法三 令 x?????tgt, t???,?對應(yīng)x?(?? , ??).于是 2?22?3f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect? ? 526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.關(guān)于奇偶函數(shù)、周期函數(shù)和單調(diào)函數(shù)，參閱[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6； P25 1，2，5，8，12； [4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81. 《數(shù)學(xué)分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學(xué)時） 課時教學(xué)計劃（教案21-1） 課題：§21-1二重積分的概念 一、教學(xué)目的： 1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質(zhì)。 二、教學(xué)重點：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質(zhì)。 三、教學(xué)難點：二重積分的定義；二重積分的存在性。 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： [引例]： （約5min，語言表述） 由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積 （約40min，投影、圖示與黑板講解） 1．平面圖形面積的定義； 2．平面圖形可求面積的充分必要條件； ?二重積分的定義及其存在性 1.2.? 二重積分的定義； 二重積分存在的充分條件和必要條件。 二重積分的性質(zhì) （約25min，圖示與黑板講解） 結(jié)合二重積分的定義講解二重積分的7條性質(zhì)。 ? 補充例子： （約10min，黑板講解） 1．根據(jù)二重積分的定義計算二重積分； 2．根據(jù)二重積分的性質(zhì)證明不等式。 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 二重積分的定義；二重積分性質(zhì)。 八、作業(yè)：P217習(xí)題 1，2，3，4，5，6，8。 課時教學(xué)計劃（教案21-2） 課題：§21-2直角坐標(biāo)系下二重積分的計算 一、教學(xué)目的： 掌握在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。 二、教學(xué)重點：直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。 三、教學(xué)難點：定理21.8，21.9。 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： [引例]： 由曲頂柱體的體積引出二重積分計算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明 ? X型、y型區(qū)域的講解及其定理21.10的證明 ? 直角坐標(biāo)系下二重積分的計算舉例 教材中例1—例4。 ? 補充例子： 利用二重積分計算體積； 七、課程小結(jié)： 直角坐標(biāo)系下二重積分的計算。 八、作業(yè)：P222習(xí)題 1，2，3，4，5，6，8。 （約5min，語言表述） 15min，投影、圖示與黑板講解） （約25min，圖示與黑板講解） （約30min，圖示與黑板講解） （約20min，黑板講解） （約5min，黑板講解） （約 課時教學(xué)計劃（教案21-3） 課題：二重積分的概念與計算習(xí)題課 一、教學(xué)目的： 1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。 二、教學(xué)重點：直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。 三、教學(xué)難點：直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法。 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 二重積分的概念與性質(zhì) （約95min，投影、圖示與黑板講解） 1．二重積分的概念復(fù)習(xí)； 2．二重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。 ? 二重積分的計算 1.2.利用二重積分的定義和限制計算二重積分和某些不等式； 在直角坐標(biāo)系下計算二重積分。 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計算。 八、作業(yè)：P278 總練習(xí)題 1，2。 課時教學(xué)計劃（教案21-4） 課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性 一、教學(xué)目的： 1.理解格林公式； 2.掌握格林公式在計算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無關(guān)的條件和應(yīng)用方法。 二、教學(xué)重點：格林公式的理解和方法。 三、教學(xué)難點：定理21.11，21.12。 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 格林公式，定理21.11的證明 ? 例1—例3的講解 ? 曲線積分與路線的無關(guān)性，定理21.12的證明 例4的講解。 ? 補充例子： 利用二重積分計算曲線積分。 七、課程小結(jié)： 格林公式與曲線積分與路徑無關(guān)的概念。 八、作業(yè)：P231習(xí)題 1，2，3，4，5，6，8。 15min，投影、圖示與黑板講解） （約25min，圖示與黑板講解） （約30min，圖示與黑板講解） （約20min，黑板講解） （約5min，黑板講解） （約 課時教學(xué)計劃（教案21-5） 課題：§21-4二重積分的變量變換 一、教學(xué)目的： 1.理解二重積分的變量變換的基本思想； 2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標(biāo)變換。掌握在極坐標(biāo)系下計算二重積分的方法。 二、教學(xué)重點：二重積分的變量變換。 三、教學(xué)難點：引理和定理21.13，21.14。 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 二重積分的變量變換公式 （約15min，投影、圖示與黑板講解） ? 引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解 （約25min，圖示與黑板講解） ? ? 用極坐標(biāo)計算二重積分，定理21.14證明 （約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標(biāo)系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解 （約35min，圖示與黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 二重積分的變量變換，在極坐標(biāo)系下計算二重積分的方法。 八、作業(yè)：P242習(xí)題 1，2，3，4，5。 課時教學(xué)計劃（教案21-6） 課題：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性 及積分變換習(xí)題課 一、教學(xué)目的： 1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換； 鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換的計算方法。 二、教學(xué)重點：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換 三、教學(xué)難點：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 講解格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性的計算題 （約95min，投影、圖示與黑板講解） ? 講解積分變換的計算題 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計算。 八、作業(yè)：P243 總練習(xí)題 7，8 6 課時教學(xué)計劃（教案21-7） 課題：§21-5 三重積分 一、教學(xué)目的： 1.2.3.理解三重積分的概念； 掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。 二、教學(xué)重點：三重積分換元法 三、教學(xué)難點：定義和定理21.15 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 三重積分的定義 （約15min，投影、圖示與黑板講解） ? 定理21.15證明，例1，例2講解 （約25min，圖示與黑板講解） ? ? 三重積分還原公式，柱面坐標(biāo)變換，球面坐標(biāo)變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解 （約35min，圖示與黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 三重積分的定義，在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計算三重積分的方法。 八、作業(yè)：P251習(xí)題 1，2，3，4，5。 課時教學(xué)計劃（教案21-8） 課題：§21-6 重積分的應(yīng)用 一、教學(xué)目的： 1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應(yīng)用； 了解重積分在重心的應(yīng)用； 了解重積分在轉(zhuǎn)動慣量的應(yīng)用。 二、教學(xué)重點：重積分求曲面面積 三、教學(xué)難點：運用重積分公式求解曲面面積 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： [引例]： （約5min，語言表述） 由曲面的面積引出重積分的應(yīng)用。 ? 建立曲面面積的計算公式 （約40min，圖示與黑板講解） ? ? 例1講解 （約35min，圖示與黑板講解）簡單介紹重積分在重心、轉(zhuǎn)動慣量的應(yīng)用 （約15min，圖示與黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用。 八、作業(yè)：P259 1，2。 課時教學(xué)計劃（教案21-9） 課題：§21-8 反常二重積分 一、教學(xué)目的： 掌握反常二重積分及其計算 二、教學(xué)重點：反常二重積分及其計算 三、教學(xué)難點：反常二重積分及其計算 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 無界區(qū)域上的二重積分 （約10min，圖示與黑板講解） ? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明 （約40min，圖示與黑板講解）例1的講解 （約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19 （約15min，圖示與黑板講解）無界函數(shù)上的二重積分及定理21.20 （約15min，圖示與黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用。 八、作業(yè)：P272 1，2，3。 課時教學(xué)計劃（教案21-10） 課題：三重積分及重積分的應(yīng)用習(xí)題課 一、教學(xué)目的： 1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標(biāo)系下三重積分的計算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。 二、教學(xué)重點：直角坐標(biāo)系下三重積分的計算方法。 三、教學(xué)難點：三重積分換元法 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 二重積分的概念與性質(zhì) 1.三重積分的概念復(fù)習(xí)； 2.三重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。 ? 三重積分的計算 1.化三重積分為累次積分； 2.在柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計算三重積分； 3.計算曲面面積。 七、課程小結(jié)： 三重積分的定義；三重積分性質(zhì)；三重積分的計算。 八、作業(yè)：P278 總練習(xí)題 15min，投影、圖示與黑板講解） （約80min，投影、圖示與黑板講解） （約5min，黑板講解） （約 課時教學(xué)計劃（教案22-1） 課題：§22-1第一型曲面積分 一、教學(xué)目的： 1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計算。 二、教學(xué)重點：第一型曲面積分計算 三、教學(xué)難點：第一型曲面積分計算 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： [引例]： （約5min，語言表述） 由求曲面的質(zhì)量引出第一型曲面積分的概念。 ? 第一型曲面積分的概念 （約25min，投影、圖示與黑板講解） ? 第一型曲面積分的計算 1.2.定理22.1第一型曲面積分計算公式 （約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解 （約35min，投影、圖示與黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計算。 八、作業(yè)：P282 1，2，3，4 課時教學(xué)計劃（教案22-2） 課題：§22-2第二型曲面積分 一、教學(xué)目的： 1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計算。 二、教學(xué)重點：第二型曲面積分計算 三、教學(xué)難點：第二型曲面積分計算 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： [引例]： （約5min，語言表述） 由求流量問題引出第二型曲面積分的概念。 ? 第二型曲面積分的概念 （約25min，投影、圖示與黑板講解） ? 第二型曲面積分的計算 1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計算公式 （約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解 （約35min，投影、圖示與黑板講解） 簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計算。 八、作業(yè)：P289 1，2 12 課時教學(xué)計劃（教案22-3） 課題：第一、二型曲面積分復(fù)習(xí)課 一、教學(xué)目的： 1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計算。 二、教學(xué)重點：第一、二型曲面積分計算 三、教學(xué)難點：第一、二型曲面積分計算 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 第一、二型曲面積分的概念 （約10min，投影、圖示與黑板講解） ? 第一、二型曲面積分的計算 1.2.習(xí)題鞏固第一、二型曲面積分計算公式 （約75min，投影、圖示與黑板講解）簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系 （約10min，投影、圖示與黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計算。 八、作業(yè)：P305 1，2 課時教學(xué)計劃（教案22-4） 課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式 一、教學(xué)目的： 1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式 二、教學(xué)重點：高斯公式與斯托克斯公式 三、教學(xué)難點：高斯公式與斯托克斯公式 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 高斯公式的重要意義 （約5min，投影、圖示與黑板講解） ? 高斯公式 1.2.? 定理22.3證明 （約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解 （約15min，投影、圖示與黑板講解） 斯托克斯公式的重要意義 （約5min，投影、圖示與黑板講解） ? 斯托克說公式 1.2.3.定理22.4證明 （約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解 （約10min，投影、圖示與黑板講解） 定理22.5及例3 （約20min，投影、圖示與黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算 八、作業(yè)：P296 1，2，3，4 14 課時教學(xué)計劃（教案22-5） 課題：§22-4場論初步 一、教學(xué)目的： 1.2.了解場的概念 掌握梯度場、散度場 二、教學(xué)重點：梯度場、散度場 三、教學(xué)難點：梯度場、散度場 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 場的概念、向量場線 （約15min，投影、圖示與黑板講解） ? 梯度場的定義及其基本性質(zhì) （約20min，投影、圖示與黑板講解）? 例1求解 （約15min，投影、圖示與黑板講解） ? 散度場的定義及其基本性質(zhì) （約20min，投影、圖示與黑板講解） ? 例2求解 （約15min，投影、圖示與黑板講解）? 了解其他場 （約10min，投影、圖示與黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 場的概念；梯度場、散度場。 八、作業(yè)：P296 1，2，3，4。 課時教學(xué)計劃（教案22-6） 課題：高斯公式與斯托克斯公式和場論初步復(fù)習(xí)課 一、教學(xué)目的： 1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場、散度場 二、教學(xué)重點：高斯公式與斯托克斯公式 三、教學(xué)難點：高斯公式與斯托克斯公式 四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。 五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持 六、教學(xué)過程： ? 高斯公式與斯托克斯公式 （約15min，投影、圖示與黑板講解） ? 高斯公式與斯托克斯公式的計算 （約65min，投影、圖示與黑板講解）? 復(fù)習(xí)場論知識 （約15min，黑板講解） 七、課程小結(jié)： （約5min，黑板講解） 高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算； 場的概念；梯度場、散度場。 八、作業(yè)：P305 3，4。 第九章 空間解析幾何 教學(xué)目標(biāo)： 1．理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進行向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的運算.5．理解平面的點法式方程和空間直線的點向式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程）、參數(shù)方程，了解平面和空間直線的一般式方程.6．理解曲面及其方程的關(guān)系，知道球面、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的概念，掌握球面、以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸、準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上的旋轉(zhuǎn)曲面及以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及其圖形.7．了解空間曲線及其方程，會求空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影.8．了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形.教學(xué)重點：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念，用向量的坐標(biāo)表示進行向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的運算，平面的點法式方程，空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程，球面、以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影.教學(xué)難點：向量的概念，向量的點積與叉積的概念與計算，利用向量的點積與叉積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時：14學(xué)時 教學(xué)手段：板書 學(xué)法建議：解析幾何的實質(zhì)是建立點與實數(shù)有序數(shù)組之間的關(guān)系，把代數(shù)方程與曲線、曲面對應(yīng)起來，從而能用代數(shù)方法研究幾何圖形建議在本章的學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意對空間圖形想象能力的培養(yǎng)，有些空間圖形是比較難以想像和描繪的，這是學(xué)習(xí)本章的一個難點.為了今后學(xué)習(xí)多元函數(shù)重積分的需要，同學(xué)們應(yīng)自覺培養(yǎng)這方面的能力.參考資料： 使用教材：《高等數(shù)學(xué)》（第三版），高職高專十一五規(guī)劃教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主編.參考教材： 1.《高等數(shù)學(xué)》，21世紀(jì)高職高專精品教材，北京理工大學(xué)出版社，2005年5月，宋立溫等主編.2.《高等數(shù)學(xué)》，教育部高職高專規(guī)劃教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主編.3.《高等數(shù)學(xué)》，第五版.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社.4.《高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例》，李心燦編，1986年，高等教育出版社.5.《高等數(shù)學(xué)》，宋立溫等主編，21世紀(jì)高職高專精品教材，北京理工大學(xué)出版社，2005年5月.第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系與向量的概念 教學(xué)目標(biāo)： 1．理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進行向量的加法、數(shù)乘的運算.教學(xué)重點：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘的概念，用向量的坐標(biāo)表示進行向量的加法、數(shù)乘的運算.教學(xué)難點：向量的概念.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時 教學(xué)手段：板書 一、引入新課（3分鐘） (提問)舉幾個既有大小又有方向的量.(溫故知新,進行一些必要知識鋪墊。) 二、講授新課（72分鐘） （一）空間直角坐標(biāo)系（17分鐘） 在空間,使三條數(shù)軸相互垂直且相交于一點O，這三條數(shù)軸分別稱為x軸、y軸和z軸，一般是把x軸和y軸放置在水平面上，z軸垂直于水平面.z軸的正向按下述法則規(guī)定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向x軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)090指向y軸的正向，這時大拇指所指的方向就是z軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標(biāo)系Oxyz.在此空間直角坐標(biāo)系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，簡稱坐標(biāo)面.x軸與yz軸稱為豎軸，O稱為坐標(biāo)原點;每兩軸所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，軸所確定的坐標(biāo)面稱為xOy坐標(biāo)面，類似地有yOz坐標(biāo)面，zOx坐標(biāo)面。這些坐標(biāo)面把空間分為八個部分，每一部分稱為一個卦限.在空間直角坐標(biāo)系中建立了空間的一點M與一組有序數(shù)(x,y,z)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。有序數(shù)組(x,y,z)稱為點M的坐標(biāo)；x,y,z分別稱為x坐標(biāo)，y坐標(biāo)，z坐標(biāo).(提問)根據(jù)點的坐標(biāo)的規(guī)定，點（0,0,c）在哪條坐標(biāo)軸上，點（a，b，0）(a,0,c)在哪個坐標(biāo)面上？（目的在于檢驗學(xué)生能否正確理解點與有序數(shù)組的對應(yīng)關(guān)系，并在問題中正確應(yīng)用.） （二）向量的基本概念及線性運算（15分鐘）1.向量的基本概念 （此部分內(nèi)容在高中階段已學(xué)，故可由教師引導(dǎo)，師生共同回憶完成）⑴向量的定義：既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量． ?⑵向量的模：向量的大小稱為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動后不變的向量,稱為自由向量.2.向量的線性運算 ⑴ 向量的加法 ① 三角形法則 若將向量a的終點與向量b的起點放在一起，則以a的起點為起點，以b的終點為終點的向量稱為向量a與b的和向量，記為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則.②平行四邊形法則 將兩個向量a和b的起點放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點到對角頂點的向量稱為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運算律.交換律：a?b=b?a； 結(jié)合律：（a?b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數(shù)的乘法運算 實數(shù)?與向量a的乘積是一個向量，稱為向量a與數(shù)?的乘積，記作?a，并且規(guī)定： ①?a?? a； ②當(dāng)??0時，?a與a的方向相同；當(dāng)??0時，?a與a的方向相反； ③當(dāng)??0時，?a是零向量.設(shè)?,?都是實數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運算律： 結(jié)合律：?(?a)?(??)a??(?a)； 分配律：(???)a??a??a , ?(a+b)=?a+?b.向量的加法運算和向量與數(shù)的乘法運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設(shè)向量a是一個非零向量，則與a同向的單位向量 ea?a.a ⑷ 負(fù)向量 當(dāng)???1時，記(-1)a=-a，則-a與a的方向相反，模相等，-a稱為向量a的負(fù)向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為 a-b=a +(-1)b.向量的減法也可按三角形法則進行，只要把a與b的起點放在一起，a-b即是以b的終點為起點，以a的終點為終點的向量.（三）向量的坐標(biāo)表示（40分鐘） 1、向徑及其坐標(biāo)表示 ⑴ 基本單位向量 i,j,k分別為與x軸,y軸,z軸同向的單位向量.⑵ 向徑及其坐標(biāo)表示 向徑 終點為P的向量OP稱為點P的向徑,記為OP.點P(a1,a2,a3)的向徑OP的坐標(biāo)表達(dá)式為OP=a1i?a2j?a3k或簡記為 OP={a1,a2,a3}.講解例1（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學(xué)生能否正確應(yīng)用向徑的坐標(biāo)表示.） 2、向量M1M2的坐標(biāo)表示 設(shè)以M1(x1,y1,z1)為起點,以M2(x2,y2,z2)為終點的向量M1M2的坐標(biāo)表達(dá)式為 M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k.講解例2（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學(xué)生能否正確應(yīng)用向量M1M2的坐標(biāo)表示.） 3、向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4、空間兩點間距離公式 ?222點M1(x1,y1,z1)與點M2(x2,y2,z2)間的距離記為d(M1M2),則d(M1M2)?M1M2, 而M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k 所以d(M1M2)?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 講解例 3、例4（學(xué)生講解，考察學(xué)生對所學(xué)知識進行運用的情況）5.坐標(biāo)表示下的向量運算 設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則有（1）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（2）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（3）?a??(a1i?a2j?a3k)??a1i??a2j??a3k；（4）a?b?a1?b1,a2?b2,a3?b3（5）a∥b?a=?b?a1a2a3??.b1b2b3引導(dǎo)學(xué)生看書、探究證明方法.由老師分析歸納證明思路，指出定理的作用與用法.講解例5（師生共同完成，讓學(xué)生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度） 三、課堂練習(xí)（9分鐘）教材169頁1—5題.（檢驗學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度。旨在訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用） 四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘） （教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會總結(jié)歸納） （一）空間直角坐標(biāo)系 （二）向量的基本概念及線性運算 1.向量的基本概念 2.向量的線性運算 （三）向量的坐標(biāo)表示 1.向徑及其坐標(biāo)表示 2.向量M1M2的坐標(biāo)表示 3.向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4.空間兩點間距離公式 5.坐標(biāo)表示下的向量運算 五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材169頁2、4、6題 2.預(yù)習(xí)第二節(jié)向量的點積與叉積 222第二節(jié) 向量的點積與叉積 教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進行向量點積與叉積的運算.教學(xué)重點：向量點積與叉積的概念.教學(xué)難點：用向量的坐標(biāo)表示進行向量點積與叉積的運算.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時 教學(xué)手段：板書 一、引入新課（5分鐘） (提問)1.向徑及其坐標(biāo)表示2.向量M1M2的坐標(biāo)表示3.向量a?a1i?a2j?a3k的模 222?a2?a34.空間兩點間距離公式 a=a1(溫故知新,為用向量的坐標(biāo)表示進行向量點積與叉積的運算做一些必要的知識鋪墊。) 二、講授新課（64分鐘） （一）向量的點積（34分鐘） 1、引例 已知力F與x軸正向夾角為?，其大小為F,在力F的作用下，一質(zhì)點M沿x軸由x=a移動到x=b,求力F所做的功？（創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣） 分析：在力F使質(zhì)點M沿x軸由x=a移動到x=b,所做的功等于F的模與位移的模及其夾角余弦的積.解略.這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的點積的定義.2、定義 設(shè)向量a,b之間的夾角為?(0???π)，則稱abcos?為向量a與b的數(shù) 量積，記作a·b，即 a·b=abcos?.向量的點積又稱“點積”或“內(nèi)積”.講解例1.（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學(xué)生能否正確理解向量的點積的定義.） 向量的點積還滿足下列運算律: 交換律：a·b= b·a； 分配律：(a+b)·c= a·c+b·c； 結(jié)合律：?(a·b)=(?a)·b(其中?為常數(shù)).3、點積的坐標(biāo)表示 （1）設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則a·b=a1b1?a2b2?a3b3.（由學(xué)生自行得出點積的坐標(biāo)表示公式，進一步加深對向量點積的定義的理解）（2）定理1：a⊥b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 講解例2.（學(xué)生講解，考察學(xué)生對兩向量正交充分必要條件的理解與應(yīng)用能力） 4、向量a與b的夾角余弦 設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則 cos??a1b1?a2b2?a3b3a?b =(0???π).222222aba1?a2?a3b1?b2?b35、向量的方向余弦 設(shè) 向 量 a?a1i?a2j?a3k與 x 軸 ,y 軸 ,z 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為 ?,?,?(0??,?,??π),稱其為向量a的三個方向角，并稱cos? ,cos?,cos?為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標(biāo)表示為 cos??且cos2??cos2a1a?a?a212223, cos??a2a?a?a212223, cos??a3a?a?a212223，??cos2??1.講解例4（（師生共同完成.利用數(shù)學(xué)建模解決物理問題，讓學(xué)生熟悉建模過程，規(guī)范解題步驟.數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)生活，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識.） （二）向量的叉積（30分鐘）1.引例 設(shè)點O為一杠桿的支點，力F作用于杠桿上點P處，求力F對支點O的力矩.分析：力F對支點O的力矩等于F的模與向量OP的模及其夾角正弦的積.解略.（這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的叉積的定義.） 2.叉積的定義 (1)定義 兩個向量a與b的叉積是一個向量，記作a×b，它的模和方向分別規(guī)定如下： ①a×b=absin? 其中?是向量a與b的夾角； ②a×b的方向為既垂直于a又垂直于b，并且按順序a,b,a×b符合右手法則.（2）向量的叉積滿足如下運算律.反交換律：a×b=-b×a； 分配律：(a+b)×c=a×c+b×c； 結(jié)合律：?(a×b)=(?a)×b=a×(?b)(其中?為常數(shù)).講解例5（學(xué)生講解，考察學(xué)生對向量叉積定義的理解與應(yīng)用能力）（3）定理2：a∥b?a?b?0.3.叉積的坐標(biāo)表示 設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則 a×b=(a2b3?a3b2)i?(a1b3?a3b1)j?(a1b2?a2b1)k.可將a×b表示成一個三階行列式的形式，計算時，只需將其按第一行展開即可.即 i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3 講解例6（師生共同完成，加深學(xué)生對叉積的坐標(biāo)表示公式的記憶，讓學(xué)生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度） 講解例8(師生共同完成，訓(xùn)練學(xué)生解決實際問題的能力) 三、課堂練習(xí)（15分鐘） 教材174頁思考題1—3題.（檢驗學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度.） 四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘） （教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會總結(jié)歸納，訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.） （一）向量的點積定義、坐標(biāo)表示； （二）向量的叉積定義、坐標(biāo)表示及記憶方法.五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材174頁2、4、6、8題 2.預(yù)習(xí)第三節(jié)平面與直線 數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)課程簡介 (計劃課時:2時) 一、背景:從切線、面積等問題引入.1極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運算.2數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限作為工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科（僅在實數(shù)范圍內(nèi)進行討論）.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù),并依據(jù)這些運算引進并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.3 數(shù)學(xué)分析的形成過程：孕育于古希臘時期:在我國很早就有極限思想.紀(jì)元前三世紀(jì), Archimedes就有了積分思想.十七世紀(jì)以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期:十七世紀(jì)下半葉到十九時紀(jì)上半葉——微積分的創(chuàng)建時期:十九時紀(jì)上半葉到二十時紀(jì)上半葉——分析學(xué)理論的完善和重建時期.二、數(shù)學(xué)分析課的特點: 邏輯性很強, 很細(xì)致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 若能努力學(xué)懂前四章(或前四章的80%),后面的學(xué)習(xí)就會容易一些;只要在課堂上專心聽講,一般是可以聽得懂的,但即便能聽懂,習(xí)題還是難以順利完成.這是因為數(shù)學(xué)分析技巧性很強,只了解基本的理論和方法,不輔以相應(yīng)的技巧,是很難順利應(yīng)用理論和方法的.論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的,也是重要的內(nèi)容之一,也是最難的內(nèi)容之一.一般懂得了證明后,能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡練地用數(shù)學(xué)的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式,學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項任務(wù).有鑒于此, 建議的學(xué)習(xí)方法是:課前要復(fù)習(xí),做好必要的聽課準(zhǔn)備;課堂上認(rèn)真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主,力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認(rèn)真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導(dǎo),閱讀教科書,學(xué)習(xí)證明或推導(dǎo)敘述和書寫的格式與方法.基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后, 再去做作業(yè).在學(xué)習(xí)中,要養(yǎng)成多想問題的習(xí)慣,善于論證進行肯定，尤其要善于舉反例進行否定;對概念不能有一點含糊,那是一個數(shù)學(xué)名詞的固定含義,那是推理論證的根據(jù).數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系最重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，因為它不僅是大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生進校后首先面臨的一門重要課程，而且大學(xué)本科乃至研究生階段的很多后繼課程在本質(zhì)上都可以看作是它的延伸、深化或應(yīng)用,至于它的基本概念、思想和方法，更可以說是無處不在.本課程的主要任務(wù)是：使學(xué)生獲得極限論、單多元微積分、級數(shù)論等方面的系統(tǒng)知識；為后繼數(shù)學(xué)專業(yè)課程（如微分方程、實變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)、概率論、統(tǒng)計及有關(guān)的泛函分析、微分幾何等選修課程）及普通物理課程等提供所需的基礎(chǔ)理論和知識；提高學(xué)生思維能力，開發(fā)學(xué)生智能，加強“三基”（基礎(chǔ)知識、基本理論、基本技能）訓(xùn)練及培養(yǎng)學(xué)生獨立工作能力.數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)各個方向上考研必考的專業(yè)基礎(chǔ)課(另一門是高等代數(shù)).三、課堂講授方法: 1.關(guān)于教材與參考書目: 沒有嚴(yán)格意義上的教科書.這是大學(xué)與中學(xué)教學(xué)不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材: [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析(上下冊)(第三版)，高等教育出版社，2001.6.[2] 數(shù)學(xué)分析講義(上下冊)(第三版).劉玉璉 傅沛仁編.高等教育出版社，2001.[3] 數(shù)學(xué)分析新講（一、二、三冊).張筑生編.北京大學(xué)出版社，1991.[4] 微積分學(xué)教程(共八冊).Γ.Μ.菲赫金哥爾茨著.人民教育出版社，1978.[5] 數(shù)學(xué)分析中的反例.王俊青編.電子科技大學(xué)出版社，1996.[6] 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法.裴禮文編.高等教育出版社，2002.[7] 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(共六冊).Б.Л.吉米多維奇編.費定輝等譯，山東科技出版社，1983.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[2]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內(nèi)容的出處.本課程為適應(yīng)課時少和學(xué)分制的要求,只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.因此刪去了[1]中第十九和二十三等兩章, 相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在學(xué)完數(shù)學(xué)分析課之后開設(shè).2.內(nèi)容多,課時緊:大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是,這里每次課介紹的內(nèi)容很多,因此,內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少,講課只注重思想性與基本思路,具體內(nèi)容或推導(dǎo),特別是同類型或較簡的推理論證及推導(dǎo)計算,可能講得很簡,留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.3.講解的重點:概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧.某些精細(xì)概念之間的本質(zhì)差別.在第一、二章教學(xué)中,可能會寫出某些定理證明,以后一般不會做特別具體的證明敘述.四、要求、輔導(dǎo)及考試： 1.學(xué)習(xí)方法:盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法,盡快進入角色.課堂上以聽為主,但要做課堂筆記.課后一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)消化,補充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時間比例應(yīng)為1:3(國外這個比例通常是1: 4)對將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來說,課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富:要認(rèn)真評價教師的課堂教學(xué),把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗.這對未來的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè):作業(yè)以[1]的練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題為主要內(nèi)容,同時可參考[7]與[1]中劃線以下部分的習(xí)題.大體上每個練習(xí)收一次作業(yè),每次收作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細(xì)的登記,缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫恭整.要求活頁作業(yè), 要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.3.輔導(dǎo):大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時不缺席.4.考試:按學(xué)分制的要求, 只以最基本的內(nèi)容進行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]中的典型例題.開設(shè)三學(xué)期考三次.考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題.五.內(nèi)容安排 1.課時分配: 第一學(xué)期16×6=96;第二學(xué)期18×6=108;第三學(xué)期18×4=72.2.內(nèi)容分配: 第一學(xué)期一元函數(shù)微分學(xué);第二學(xué)期一元函數(shù)積分學(xué)與級數(shù)論;第三學(xué)期二元函數(shù)微積分學(xué).第一章 實數(shù)集與函數(shù)（計劃課時：6 時）P1—22 §1 實 數(shù)（1時） 一．實數(shù)及其性質(zhì)：回顧中學(xué)中關(guān)于實數(shù)集的定義.1.實數(shù)用無限小數(shù)表示的方法: 為了把有限小數(shù)(包括整數(shù))表示為無限小數(shù), 規(guī)定: 對于正有限小數(shù)(包括正整數(shù))x,x?a0.a1a2?an時,其中0?ai?9,i?1,2,?,n,an?0,a0為非負(fù)整數(shù),記x?a0.a1a2?(an?1)9999?;而當(dāng)x?a0為正整數(shù)時,則記x?(a0?1).9999?;對于負(fù)有限小數(shù)(包括負(fù)整數(shù))y,則先將?y表示為無限小數(shù),再在所得無限小數(shù)之前加負(fù)號;又規(guī)定數(shù)0表示為0.000?.例如2.011?2.010999?,?8??7.999?.2.實數(shù)的大小: 定義1:(實數(shù)大小的概念)見[1]P1.定義2:(不足近似與過剩近似的概念)見[1]P2.命題: 設(shè)x?a0.a1a2?與y?b0.b1b2?為兩個實數(shù),則x?y??n,使得xn?yn.例1 設(shè)x、y為實數(shù)，x?y.證明：存在有理數(shù)r滿足x?r?y.[1]P17E1.3.實數(shù)的性質(zhì): ⑴.四則運算封閉性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:?a,b?R,b?a?0,?n?N,?na?b.⑷.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.⑸.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: ⑺.兩實數(shù)相等的充要條件: a?b ? ???0, a?b ? ?.二.區(qū)間和鄰域的概念:見[1]P5 三.幾個重要不等式: 1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其它不等式: ⑴ a?b?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵ 均值不等式: 對?a1,a2,?,an?R, 記 ?22 3 a1?a2???an1n M(ai)? ? ?ai,(算術(shù)平均值) nni?G(ai)?na1a2?an??? H(ai)???a?i??,(幾何平均值)?i?1??11n1?ni?1ai?n1?i?1ainn1nn111????a1a2an.(調(diào)和平均值)有平均值不等式: H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時成立.⑶ Bernoulli 不等式: ?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當(dāng)x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴(yán)格不等式(1?x)n?1?nx.nn證 由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)?n?1?(1?x)?1?1???1? nn ?n n(1?x)?n(1?x).?(1?x)?1?nx.⑷ 利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式 (1?h)?1?nh?nnn(n?1)2n(n?1)(n?2)3h?h???hn, 2!3! 有(1?h)?上式右端任何一項.Ex [1]P4: 3，4，5，6； §2 確界原理（2時） 一、有界數(shù)集:定義(上、下有界,有界), 閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，如集合 E?y y?sinx, x?(?? , ??)也是有界數(shù)集.?? 二、無界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數(shù)集,如集 合 E??y y???1?, x?(0 , 1)?也是無界數(shù)集.x? 三、確界:給出直觀和刻畫兩種定義.?(?1)n?例1 ⑴S??1? infS?_______.?,則supS?______,n??⑵E?y y?sinx, x?(0,?).則supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有supA?infB.證?y?B,y是A的上界,? supA?y.? supA是B的下界,? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證 ?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有x?infA或??x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有 infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.四、數(shù)集與確界的關(guān)系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.五、確界與最值的關(guān)系:設(shè)E為數(shù)集.⑴E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結(jié)論.六、確界原理: Th(確界原理).Ex [1]P9: 2，4，5.§3 函數(shù)概念(2時) 一.函數(shù)的定義: 1.函數(shù): [1]P10—11的四點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法: 4.反函數(shù): 一 一對應(yīng), 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運算: ?1?x, x?1,???2?x, x?1, x?1, 和g(x)??2二.分段函數(shù): 以函數(shù)f(x)??2, 為例介紹 ??x2, ?x, x?1x?1?概念.f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.例2 f(x)??x?1,?x，求 f(0), f(1), f(2).?1?x, x?1.x?10,?x?3, 例3 設(shè) f(x)?? 求 f(5).(答案為8)??ff(x?5), x?10.? 三.復(fù)合函數(shù): 例4 y?f(u)?u, u?g(x)?1?x2.求 ?f?g?(x)?f?g(x).?并求定義域.例5 ⑴ f(1?x)?x?x?1, f(x)?_______________.⑵ f?x?2??1?12)??x?2.則f(x)?(x?x2222A.x, B.x?1,C.x?2, D.x?2.四.初等函數(shù): 1.基本初等函數(shù): 2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個特例: 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則 ⑴ f(x)是初等函數(shù), 因為 f(x)? ?f(x)?2.⑵ ?(x)?ma?xf(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)??12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? ，?(x)?min?f(x), g(x)? ?12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?.⑶ 冪指函數(shù) ?f(x)?g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因為 ?f(x)?g(x)?eln?f(x)?g(x)?eg(x)lnf(x).五.介紹一些特殊函數(shù): 1.符號函數(shù) 2.Dirichlet函數(shù) 3.Riemann函數(shù) 4.取整函數(shù) 5.非負(fù)小數(shù)部分函數(shù) Ex [1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8； §4 具有某些特性的函數(shù)(1時) 一、有界函數(shù): 有界與無界函數(shù)的概念.例1 驗證函數(shù) f(x)?5x2x2?3在R內(nèi)有界.解法一 由2x2?3?(2x)2?(3)2?22x?3?26x, 當(dāng)x?0時,有 f(x)?5x5x5x2x2?3?2x2?3?26x?526?3.f(0)?0?3，?對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內(nèi)有界.解法二 令 y?5x2x2?3 ? 關(guān)于x的二次方程 2yx2?5x?3y?0有實數(shù)根.? ??52?24y2?0, ? y2?2524?4, ? y ?2.解法三 令 x?3????tgt, t???,?對應(yīng)x?(?? , ??).于是 2?22?5x53tgt5sint1???? 222253tgt2f(x)?2x?32??3?32tgt?16costsec?2tgt?t??3?? ?526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.例2 見[1]P17.例3 見[1]P17.二、關(guān)于單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)和周期函數(shù)(略)，參閱[1]P17—19，Ex [1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；第二篇：《數(shù)學(xué)分析》教案
第三篇：數(shù)學(xué)分析教案
第四篇：數(shù)學(xué)分析 教案
第五篇：數(shù)學(xué)分析教案第一章
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