第一篇：相似三角形教案

相似三角形

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

1．理解相似三角形的意義，會(huì)利用定理判定兩個(gè)三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關(guān)系．

2．進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認(rèn)識(shí)特殊與一般之間的辯證關(guān)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心．

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型熱點(diǎn)考題】

例1 如圖4-21，□ABCD中，M是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BM交AC于點(diǎn)F，交DC于G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

圖4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

點(diǎn)悟：用本節(jié)概念和定理直接判斷． 解：應(yīng)選D．

例2 如圖4-22，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

圖4-22 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 寫出下列各組相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例式．

(1)如圖4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對(duì)應(yīng)邊．(2)如圖4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

圖4-23 點(diǎn)悟：要寫出兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例式，首先要確定兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊．因?yàn)橄嗨迫切问侨热切蔚耐茝V，所以要確定兩個(gè)相似三角形的各組的對(duì)應(yīng)邊，可以參照確定全等三角形對(duì)應(yīng)邊的方法，從確定這兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)出發(fā)．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對(duì)應(yīng)邊，它們所對(duì)的頂點(diǎn)E和C為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，而A是兩三角形的公共頂點(diǎn)，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對(duì)

AD?DEBC?EACA應(yīng)邊為DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點(diǎn)，另一對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為D和C，三組對(duì)應(yīng)邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

AD?AEAB?DECB得AC．

本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．

平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構(gòu)成的兩個(gè)相似三角形，它的對(duì)應(yīng)元素比較明顯，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)有同樣的順序性，對(duì)應(yīng)邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖4-24)：

圖4-24 第二類是相交線型．

這一類型的對(duì)應(yīng)元素不十分明顯，對(duì)應(yīng)順序也不一致，對(duì)應(yīng)邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個(gè)公共角，另一種是一組對(duì)頂角(圖4-25)．

圖4-25 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型． 例4 如圖4-26，已知：△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．

圖4-26 點(diǎn)悟：如果我們把條件和結(jié)論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)完全由紅線構(gòu)成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長(zhǎng)線)于A，C，F(xiàn)．這類問(wèn)題添輔助線的方法至少有三種，即過(guò)紅線三角形任一頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長(zhǎng)線相交(如圖4-27)，在每一種圖形中，雖然只有一對(duì)平行線，但與這對(duì)平行線有關(guān)的基本圖形都能找到兩對(duì)，根據(jù)每一個(gè)基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內(nèi)的一個(gè)比例式．

圖4-27

AD?DFBHEF?CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH?AB?DFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是

?BC可得，及

BH?BC?EF，所以，有

AB?DF?EF．又因?yàn)锳DCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．

例5 如圖4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．

圖4-28 點(diǎn)悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個(gè)基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩

AG?DHHF個(gè)基本圖形中給出的比例式有一個(gè)公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．

證明：∵ AD∥BC，AE?AGGFED?DHHF∴ BF，F(xiàn)C．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AG?DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如圖4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長(zhǎng)．

圖4-29 點(diǎn)悟：題設(shè)中的兩對(duì)平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應(yīng)的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．

設(shè)AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE?AFCFx?4x∴ BE，即15?x，2∴ x?4x?60?0

解得，x1??10(舍)，x2?6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如圖4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

圖4-30 點(diǎn)悟：按照例4的分析，過(guò)點(diǎn)G作GM∥AC，根據(jù)平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM?MC?12DC∴ ．

BD∵ DCBD1?31，?61BD即2DC，MC?6?11?61．

?71BD?MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

點(diǎn)撥：以上四例中，我們復(fù)習(xí)了線段成比例和平行線分線段成比例的有關(guān)知識(shí)．

【易錯(cuò)例題分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點(diǎn)，AD?2∴ QCBP，?3BC?4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC?DQPC，∠C＝∠D＝90°，?2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應(yīng)避免沒(méi)有目標(biāo)而亂推理的情況．

例2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖4-31(1)、(2)所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC?1.5平方米，得BC＝2米．設(shè)甲加工的桌面邊長(zhǎng)為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽R(shí)t△CBA，CD?DEAB672?x?x1.5∴ CB，即2．

解得 x?，過(guò)點(diǎn)B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC?1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 設(shè)乙加工的桌面邊長(zhǎng)為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽R(shí)t△BAC．

BP?DEAC1.2?y?y2.5∴ BHy?，即1.2

3037303722即x＞y，x?y，解得，6因?yàn)??所以甲同學(xué)的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無(wú)法解的情況，更要避免看不出對(duì)應(yīng)線段造成的比值寫錯(cuò)而形成的計(jì)算錯(cuò)誤．

例3 如圖4-32，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF?BEBDAC于E、F．求證：AD．

圖4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BD?BEAFAF?BEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不證三角形相似，直接進(jìn)行線段的比，這是規(guī)范的一種情況．

【同步達(dá)綱練習(xí)】

一、選擇題

1．如圖4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．多于3個(gè)

2．某班在布置新年聯(lián)歡晚會(huì)會(huì)場(chǎng)時(shí)，需要將直角三角形彩紙裁成長(zhǎng)度不等的矩形彩條，如圖4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1、a2、a3…若使裁得的矩形紙條的長(zhǎng)都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

圖4-33 圖4-34

二、填空題

3．如圖4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

圖4-35 圖4-36 4．如圖4-36，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個(gè)，它們是_______________．

5．陽(yáng)光通過(guò)窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)，已知亮區(qū)到窗下的墻腳最遠(yuǎn)距離是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底邊離地面的高等于________．

三、解答題

6．如圖4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2?PE?PF．

7．已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長(zhǎng)線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

圖4-37 圖4-38 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC·BE＝AD·CE．

參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．連結(jié)PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2?PE?PF，∴PB2?PE?PF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE

第二篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、課題

相似三角形的判定（1）（選自2013年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)27.2.1，第1課時(shí)）

二、教材分析

1.內(nèi)容要點(diǎn)

本節(jié)課讓學(xué)生利用相似三角形的定義來(lái)進(jìn)一步探索相似三角形的判定條件，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知里發(fā)展思維，加強(qiáng)與前面已學(xué)過(guò)的知識(shí)：圖形的相似、相似多邊形的主要特征（相似多邊形對(duì)應(yīng)的角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等），相似比甚至引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系八年級(jí)上冊(cè)所學(xué)的相等三角形的判定定理和平行從對(duì)比探索中增強(qiáng)學(xué)生的推理歸納和類比應(yīng)用的能力。2.地位

本節(jié)課處于承上啟下的位置，既增強(qiáng)了對(duì)圖形的相似和相似多邊形定義聯(lián)系和運(yùn)用，又為下一課時(shí)相似三角形的判定2以及以后的幾何證明奠定了基礎(chǔ)。3.作用

從初步認(rèn)識(shí)相似三角形到探索如何利用平行線的特點(diǎn)判定兩個(gè)三角形相似，從無(wú)到有的知識(shí)萌發(fā)，讓學(xué)生由探究得到的平行線分線段成比例定理初步返回去嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣J(rèn)識(shí)兩個(gè)圖形的相似，在探索過(guò)程中掌握自主探究、類比、歸納以及轉(zhuǎn)化的思想方法，增強(qiáng)推理能力，進(jìn)而讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)圖形之美。經(jīng)過(guò)對(duì)平行線分線段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生的合情推理意識(shí)和主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣得到發(fā)展。

三、學(xué)情分析 1.認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生在八年級(jí)上冊(cè)中已經(jīng)全面地認(rèn)識(shí)了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行線同位角等性質(zhì)，并且在上一節(jié)課已學(xué)過(guò)了圖形的相似以及相似多邊形的主要特征，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)相似三角形打下了基礎(chǔ)。學(xué)生在觀察、想象、合作探究、歸納概括等方面有了初步的體驗(yàn)，再加上學(xué)生會(huì)做輔助線，這為本課的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)，但學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想，幾何論證推理能力還在初步形成階段，這使本節(jié)課的學(xué)習(xí)還有一定的困難。2.情意基礎(chǔ)

學(xué)生是九年級(jí)的學(xué)生，對(duì)于新知識(shí)有一定的接受能力，且數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想都相對(duì)成熟，對(duì)探索學(xué)習(xí)饒有興趣，但是思維容易固化，對(duì)問(wèn)題看待不夠全面。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.理解相似三角形不因位置改變而改變，書(shū)寫三角形相似時(shí)對(duì)應(yīng)角的字母順序?qū)?yīng)；

2.能運(yùn)用平行線和三角形中線比例關(guān)系證明“A字型”三角形相似，能運(yùn)用三角形全等的方法將“X字型”三角形轉(zhuǎn)化為“A字型”三角形證明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正確找出相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角； 4.能掌握并運(yùn)用相似三角形判定的“預(yù)備定理”； 5.讓學(xué)生參與探索，獲取相似三角形判定條件，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)到數(shù)學(xué)的充滿探索與創(chuàng)造,在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)

相似三角形判定的“預(yù)備定理”的探索； 2.教學(xué)難點(diǎn)

探索過(guò)程中的各種三角形相似的有關(guān)證明；

六、教學(xué)方法和手段 1.教學(xué)方法 引導(dǎo)探究法 2.教學(xué)媒體 PPT

七、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

探究式的教學(xué)方法是新課改的一個(gè)重要內(nèi)容，布魯納主張學(xué)習(xí)的目的是以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的方式使學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且指出學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)是通過(guò)類別化信息的加工過(guò)程，積極主動(dòng)地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。利用學(xué)生的好奇心，設(shè)疑，解疑，組織互動(dòng)，有效的教學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，大膽猜想，使學(xué)生在自主探究與合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，增強(qiáng)直觀效果，提高課堂效率。其次，數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想以及歸納法和分析法的應(yīng)用，讓學(xué)生對(duì)新知的認(rèn)識(shí)更加透徹，對(duì)問(wèn)題的探索思路更加明確，并從中讓思維得到進(jìn)一步的提升。

八、教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)引入（5分鐘）1.復(fù)習(xí)概念性質(zhì)（3分鐘）

T：同學(xué)們還記得相似圖形的概念是什么嗎？ S：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)圖形相似。T：相似的兩個(gè)圖形會(huì)隨它們位置的改變而改變嗎？ S：不會(huì)。

T：很好，大家先記著我們剛剛回憶的內(nèi)容。下面我們來(lái)了解一下最簡(jiǎn)單的多邊形----三角形的相似情況。

T：剛才我們回憶了相似圖形的一些性質(zhì)，那現(xiàn)在我手頭上有根據(jù)相似圖形性質(zhì)畫出來(lái)的兩個(gè)相似三角形，不論它們之間的相對(duì)位置如何，乃至處于不同的平面，這兩個(gè)三角形仍然是相似的。（老師拿出兩個(gè)相似三角形并在同一平面變換兩個(gè)三角形紙片的位置，然后讓兩紙片處于不同平面變換位置）（老師將兩紙片貼在黑板上并標(biāo)明字母）T：同學(xué)們我們要用字母表示這兩個(gè)三角形相似，應(yīng)該怎么寫呢？我們一起來(lái)寫，首先把兩個(gè)三角形表示出來(lái)，分別是?ABC?DEF，同學(xué)在寫的時(shí)候還要注意對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)字母相對(duì)應(yīng)，那中間用什么符號(hào)來(lái)表示兩個(gè)三角形相似呢？有同學(xué)可以告訴我嗎？

S：大寫字母S橫著寫。

T：很好，這跟我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的什么符號(hào)很像呢？ SSS：全等符號(hào)。

T：那課后大家思考全等三角形與相似三角形之間有什么聯(lián)系，下節(jié)課我再叫同學(xué)回答這個(gè)問(wèn)題。2.創(chuàng)設(shè)情境（2分鐘）

（老師利用這組相似三角形紙片，將兩個(gè)三角形的一個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)重疊，貼在黑板上）

T：同學(xué)們你們看，相似三角形?ABC和?DEF的?ABC的頂點(diǎn)A與?DEF的頂點(diǎn)D重合并且∠BAC與∠EDF重合，那邊EF和邊BC有什么關(guān)系嗎？

S：平行。

T：為什么呢？

S：同位角相等兩直線平行。

T：嗯，AEB三點(diǎn)共線，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分鐘）

T：如果平行于?ABCBC邊的直線與其他兩邊AB、AC相交與點(diǎn)E、F，所構(gòu)成的?AEF是否與?ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同學(xué)都說(shuō)相似，接下來(lái)我們?cè)撟鲂┦裁慈プC明這兩個(gè)三角形相似呢？

T：首先我們從我們學(xué)過(guò)的類似的圖形出發(fā)，假設(shè)這條平行線是三角形中位線，我們來(lái)證明看看。同學(xué)們自行思考，待會(huì)來(lái)分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（2min過(guò)去了，期間教師下臺(tái)觀察學(xué)生情況，選一名寫完了的同學(xué)上臺(tái)分享思路）

S1：（在黑板上畫△ABC并取分別AB、AC中點(diǎn)D、E，連接DE）∵DE是△ABC的中位線∴DE＝1/2BC（由三角形中位線定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵兩直線平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同學(xué)們覺(jué)得S1的解答對(duì)嗎？ S：對(duì)。

T：S1的解答充分運(yùn)用了已學(xué)的三角形中位線的知識(shí)，找出來(lái)隱含在三角形ADE和三角形ABC中邊的比例關(guān)系，依照定義證明出了這兩個(gè)三角形相似，證明過(guò)程很完整，是對(duì)的，讓我們給他一些掌聲鼓勵(lì)。（解析S1的做法，并給予肯定）

（老師和學(xué)生一起鼓掌）T：接下來(lái)加大難度咯，“如圖過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，那么△ADE與△ABC相似嗎？”，請(qǐng)同學(xué)們自行思考，待會(huì)請(qǐng)同學(xué)上來(lái)分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（4min過(guò)去了）

S2：由同位角相等可知三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，只需證明對(duì)應(yīng)邊成比例.因?yàn)镈E∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需證明DE/BC=k.過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交BC于點(diǎn)F，則由兩組對(duì)邊分別平行，得四邊形DFCE為平行四邊形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了求三角形的一邊對(duì)應(yīng)成比例，通過(guò)作輔助線DF，構(gòu)造出了平行四邊形，并靈活運(yùn)用平行四邊形和相似的性質(zhì)，得到了三邊對(duì)應(yīng)相等，從而證明了兩個(gè)三角形相似，做的很棒，讓我們把掌聲送給他！（和同學(xué)們一起鼓掌）T：以上都是平行線與邊AB和邊AC相交的情況，現(xiàn)在我們延長(zhǎng)AB和AC，如圖當(dāng)DE與三角形兩邊延長(zhǎng)線交于邊BC下方時(shí)，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT顯示相應(yīng)題目和圖形] S：相似。

T：要怎樣證明呢？ S：和上一題一樣。

T:對(duì)，沒(méi)錯(cuò)。像這種平行線位于點(diǎn)A下方的，我們統(tǒng)稱為“A字型”，凡是擁有這種形狀的三角形和平行線，都隱藏著相似三角形。那如果DE與三角形兩邊延長(zhǎng)線交于邊點(diǎn)A上方時(shí)，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？請(qǐng)同學(xué)們自行思考。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（T下臺(tái)觀察、指點(diǎn)。2min后）

T：老師剛剛發(fā)現(xiàn)，大部分同學(xué)都不再用定義進(jìn)行繁瑣的證明了，而是直接由“A字型”的結(jié)論出發(fā)，將新圖形轉(zhuǎn)換為“A字型”加以證明。有哪位同學(xué)愿意上臺(tái)分享一下，你是怎樣轉(zhuǎn)化的呢？

S3：分別在邊AB和邊AC作點(diǎn)N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由對(duì)頂角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，從而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！讓我們給他掌聲鼓勵(lì)?。ê屯瑢W(xué)們一起鼓掌）我們稱這種圖形為“X字型”，通過(guò)“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我們現(xiàn)在可以總結(jié)得出我們一開(kāi)始要證明的結(jié)論了，同學(xué)們還記得是什么嗎？

S：逆命題（剛剛的猜想）。

T：沒(méi)錯(cuò)，我們給這個(gè)剛剛證明的猜想一個(gè)名稱“預(yù)備定理”，大家請(qǐng)看屏幕，一齊朗讀一邊[PPT顯示預(yù)備定理] S：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

T：預(yù)備定理比定義要簡(jiǎn)便的多，它的幾何語(yǔ)言也是相當(dāng)簡(jiǎn)潔 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知識(shí)遷移（7分鐘）（備注：此環(huán)節(jié)題目讓學(xué)生以同桌為單位交流完成，老師再請(qǐng)同學(xué)發(fā)言說(shuō)明思路）

（四）總結(jié)反思（7分鐘）

定義：??。要求三邊三角滿足對(duì)應(yīng)關(guān)系，非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)C明過(guò)程過(guò)于繁瑣且使用條件有限。

預(yù)備定理：??。只要求有找到原三角形一邊的平行線，構(gòu)成“A字型”或“X字型”，極大簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。

（備注：以上總結(jié)，老師說(shuō)整體性語(yǔ)言，關(guān)鍵字引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出）

（五）布置作業(yè)（1分鐘）

1.常規(guī)作業(yè)（第幾頁(yè)第幾題）

2.探索作業(yè)：請(qǐng)以本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，“測(cè)量”教室天花板的高度，寫一測(cè)量方案。

九、板書(shū)設(shè)計(jì)

十、反思

第三篇：相似三角形教案

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§18.3 相似三角形

一、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生理解并掌握相似三角形的概念，理解相似比的概念。

2、使學(xué)生掌握預(yù)備定理，并了解它的承上啟下的地位和作用。

3、通過(guò)預(yù)備定理的條件所構(gòu)成的圖形的三種情況，教學(xué)生對(duì)一致性問(wèn)題的思想方法。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：相似三角形的概念及預(yù)備定理。教學(xué)難點(diǎn)：由相似三角形寫對(duì)應(yīng)邊的比例式。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1.復(fù)習(xí)回顧，概括概念

（一）相似圖形的特征是什么？

（學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)，為相似三角形的研究做好準(zhǔn)備。）

（二）在相似多邊形中，最為簡(jiǎn)單的就是相似三角形（similar triangle）．

什么是相似三角形呢？前面我們學(xué)過(guò)形狀相同的圖形說(shuō)成是相似的圖形，而相似三角形的本質(zhì)特征就是“具有相同的形狀”，它們的大小不一定相等。

（為加深學(xué)生對(duì)相似三角形的概念的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，教學(xué)時(shí)預(yù)先準(zhǔn)備幾對(duì)相似三角形，讓學(xué)生觀察或測(cè)量對(duì)應(yīng)元素的關(guān)系。）

定義：對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角成比例的三角形是相似三角形。（注意：定義中要求有兩個(gè)條件，缺一不可）

（1）表示：相似用符號(hào)“∽”來(lái)表示，讀作“相似于”．如圖18.3.1所示的兩個(gè)三角形中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，即△ABC與△A′B′C′相似，記作

△ ABC∽△A′B′C′，讀作“△ABC相似于△A′B′C′”．

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（強(qiáng)調(diào)：用“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母一定要寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣可準(zhǔn)確地找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊）

（2）相似比：如果記角形的相似比．

＝k，那么這個(gè)比值k就表示這兩個(gè)相似三注：兩個(gè)相似三角形的相似比具有順序性。即：若 △ABC 與 △DEF 的相似比 k，則△DEF 與△ABC 的相似比為1：k 2.鞏固應(yīng)用，拓展研究

思考：△ABC ∽△DEF，AB=7，DE=21，（1）求△ABC 與 △DEF 的相似比是多少？（2）若AC=6，求DE的長(zhǎng)；

（3）若AC=6，EF=24，求△ABC 與 △DEF 的周長(zhǎng)分別是多少？△ABC 與 △DEF 的周長(zhǎng)比是多少？它與相似比有什么關(guān)系？

（4）△DEF 的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)為40，分別求△ABC 與 △DEF 的周長(zhǎng)各是多少？ 通過(guò)此題的練習(xí)，使學(xué)生掌握以下幾點(diǎn)：

練習(xí)（1）、（2）對(duì)相似三角形的概念、表示及特征的分析，理解相似比；

練習(xí)（3）的操作后，使學(xué)生明白相似三角形的周長(zhǎng)比等于其相似比；此題的方法不唯一，可以先分別算出△ABC 的各邊長(zhǎng)與 △DEF 的各邊長(zhǎng)，然后再分別求出其周長(zhǎng)；也可以直接考慮周長(zhǎng)：由＝k可知，A B=k? A′B′，B C= k?B′C′，C A=k? C′A′，所以

練習(xí)（4）是上面幾題的應(yīng)用，可通過(guò)周長(zhǎng)比等于相似比及周長(zhǎng)差為40兩個(gè)條件組成一個(gè)二元一次方程組的思想。

（通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題的設(shè)置，使學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)概念，加深對(duì)新知識(shí)理解與應(yīng)用。）3.練習(xí)鞏固，促進(jìn)遷移

做一做 如圖18.3.2，△ABC中，D為邊AB上任一點(diǎn)，作DE∥BC，交邊AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判斷△ADE與△ABC是否相似.北京今日學(xué)易科技有限公司

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我們知道，根據(jù)兩直線平行同位角相等，則 ∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，而∠A＝∠A．

通過(guò)度量，還可以發(fā)現(xiàn)它們的對(duì)應(yīng)邊成比例，所以△ADE∽△ABC.類似的，在圖中當(dāng) ED∥BC時(shí)，△ADE ∽ △ABC。因此我們得到下面的定理：

預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

如果取點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，那么上題中△ADE和△ABC的相似比就為k ＝.當(dāng)k＝1時(shí)，這兩個(gè)三角形不僅形狀相同，而且大小也相同，這樣的三角形

我們就稱為全等三角形（congruent triangles）．全等三角形是相似三角形的特例.4.應(yīng)用鞏固，課內(nèi)深化

（1）判斷下面兩個(gè)三角形是否相似，簡(jiǎn)單說(shuō)明理由：

（2）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5、12和13，與其相似的三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)是39，那么較大三角形的周長(zhǎng)是多少？較小三角形與較大三角形周長(zhǎng)的比是多少？

（3）已知一個(gè)三角形的三邊之比為3：5：7，和它相似的另一個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)為14cm，求它的最小邊長(zhǎng)為多少？

（此題改編自勵(lì)耘精品系列叢書(shū)《課時(shí)導(dǎo)航》華師大版八年級(jí)（下）P36 新課程網(wǎng)校[004km.cn] 全力打造一流免費(fèi)網(wǎng)校！

高度無(wú)影響）

（此題改編自勵(lì)耘精品系列叢書(shū)《課時(shí)導(dǎo)航》華師大版八年級(jí)（下）P37

第四篇：相似三角形復(fù)習(xí)教案

相似三角形復(fù)習(xí)教案

教學(xué)目標(biāo): 本課為相似三角形專題復(fù)習(xí)課，是對(duì)本章基本內(nèi)容復(fù)習(xí)基礎(chǔ)上的深化，通過(guò)對(duì)一個(gè)題目的演變，緊緊圍繞一線三直角這個(gè)基本模型展開(kāi)，由淺入深對(duì)相似三角形進(jìn)行，同時(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)中的方程思想，分類思想，模型思想，數(shù)形結(jié)合思想等拓展深化.教學(xué)重點(diǎn):相似三角形的一些基本圖形特別是一線三直（等）角的復(fù)習(xí).教學(xué)難點(diǎn): 一線三直（等）角模型的拓展深化.教學(xué)過(guò)程: 練習(xí):1.如圖，AB＞AC，過(guò)D點(diǎn)作一直線與AB相交于 點(diǎn)E，使所得到的新三角形與原△ABC相似.2.如圖，直角梯形ABCD中，E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，使△ABE與△ECD相似，則AB、BE、CE、CD之間滿足的關(guān)系為_(kāi)___________.得到相似中最基本的幾種圖形，即：

A型 斜A型 一線三直角反射型

在得到上述基本圖形后，通過(guò)找相似三角形，讓學(xué)生體會(huì)基本圖形的應(yīng)用。并通過(guò)對(duì)這個(gè)題目的演變，將本課內(nèi)容提要呈現(xiàn)出來(lái).例1：在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)全等Rt△OAB與Rt △A’OC’如圖放置，點(diǎn)A、C’在y軸上，點(diǎn)A’在x軸上，BO 與A’ C’相交于D.你能找出與Rt△OAB相似的三角形嗎？ 請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 在上述條件下，設(shè)點(diǎn)B、C’ 的坐標(biāo)分別為（1，3），（0，1），將△ A’OC’繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ AOC，如圖所示：

（1）若拋物線過(guò)C、A、A’，求此拋物線的解析式及對(duì)稱軸；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)M，P為對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)∠APC=90°時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo).本題主要是應(yīng)用一線三直角這個(gè)基本圖形，從而利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊關(guān)系求解，在教學(xué)過(guò)程中對(duì)P點(diǎn)的位置應(yīng)作說(shuō)明，可借助于幾何畫板演示.【變一變】線段BM上是否存在點(diǎn)P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本例讓學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用基本圖形，同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)思想——分類思想的應(yīng)用.【拓展一】若點(diǎn)N是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

∠NAA’=90°時(shí)，求N點(diǎn)坐標(biāo).通過(guò)添加一條輔助線構(gòu)造一線三直角來(lái)提升對(duì)學(xué)生的要求。另外利用本題比較特殊的情況，即△AOA為等腰直三角形的 條件，采用一題多解的方法，幫助學(xué)生提高解題的能力.【拓展二】點(diǎn)N是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn),將拋物線繞Q點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)M、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

/本例難度較大，通過(guò)引導(dǎo)讓學(xué)生知道本題仍然可通過(guò)構(gòu)造一線三直角的模型來(lái)解決，因?yàn)橐砑虞^多輔助線，教師可將第一種情況和輔助線添加出來(lái)，從而讓學(xué)生類比得到第二種方法的輔助線.課堂小節(jié):對(duì)本節(jié)課復(fù)習(xí)模型的整理;相似應(yīng)用的技巧梳理;學(xué)生疑惑的交流.

第五篇：相似三角形復(fù)習(xí)課教案

《相似三角形》復(fù)習(xí)課教案

城區(qū)二中 章松巖

目的：使學(xué)生掌握相似三角形的判定和性質(zhì)和應(yīng)用，并能靈活運(yùn)用。重點(diǎn)：相似三角形的判定和性質(zhì)和應(yīng)用。難點(diǎn)：相似三角形的靈活運(yùn)用。教法：三疑三探。教具：多媒體。過(guò)程：

課前熱身：時(shí)間為3分鐘

1、根據(jù)下列條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？

(1)∠A=120°，AB=7，AC=14

∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21

(3)∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°

2、已知△ABC∽△ A′B′C′，其相似比為，則△ABC 與△A′B′C′的周長(zhǎng)比為＿＿對(duì)應(yīng)高的比為＿＿對(duì)應(yīng)中線的比為＿＿對(duì)應(yīng)角平分線的比為＿＿面積比為＿＿。提問(wèn)學(xué)生后教師簡(jiǎn)單總結(jié),并讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)本單元的復(fù)習(xí)任務(wù)是什么？ 相似三角形的判定

（1）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩個(gè)三角形相似。（2）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。（3）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。（2）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。

（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比。要求學(xué)生讀幾遍。介紹相似三角形的應(yīng)用： 相似三角形的應(yīng)用：

１、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例（或等積式）； ２、利用三角形相似，求線段的長(zhǎng)等；

3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測(cè)量的物體的長(zhǎng)度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。課堂搶答：

１、D是△ABC的邊AB上的點(diǎn), 請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△ACD與△ABC相似, 這個(gè)條件是（）

２、如果一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為5、12、13,與其相似的三角形最大邊長(zhǎng)是39，則該三角形最短的邊長(zhǎng)為（）

３、如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，ＤＥ交ＢＣ于點(diǎn)Ｆ，ＢＥ：ＡＢ＝２：３，則△ＢＥＦ與△ＣＤＦ的周長(zhǎng)比為（）；若△ＢＥＦ的面積為８平方厘米，則△ＣＤＦ的面積為（）

４、如圖，鐵道口的欄桿的短臂長(zhǎng)1米，長(zhǎng)臂長(zhǎng)16米，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.8米時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高（）（桿的寬度忽略不計(jì)）

５、如圖，身高為1.6m的某同學(xué)想測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，她沿樹(shù)影BA由B向A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，她的影子頂端正好與樹(shù)的影子頂端重合，測(cè)得BC=3.2m，CA=0.8m，則樹(shù)高為（）

A、4.8m

B、6.4m

C、8m

D、10m 競(jìng)賽角

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，ED交CB的延長(zhǎng)線于F。求證：BD·CF=CD·DF 證明：∵CD⊥AB，E為AC的中點(diǎn)

∴ DE=AE

∴∠EDA=∠A

∵ ∠EDA=∠FDB

∴∠A=∠FDB

∵∠ACB= Rt ∠

∴ ∠A=∠FCD

∴ ∠FDB=∠FCD

∵ △FDB∽△FCD

∴ BD：CD=DF：CF

∴ BD·CF=CD·DF 中考鏈接：

在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B點(diǎn)以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC向點(diǎn)C以4cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘?BPQ與?BAC相似？

大膽質(zhì)疑：

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)同學(xué)們還有什么疑問(wèn)或新的發(fā)現(xiàn)請(qǐng)大膽提出來(lái)？ 教師預(yù)設(shè)：

某社區(qū)擬籌資金2000元，計(jì)劃在一塊上、下底分別是10米、20米的梯形空地上種植花木（如圖）他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價(jià)為10元 ／米2的太陽(yáng)花，當(dāng)△AMD地帶種滿花后，已經(jīng)花了500元，請(qǐng)你算一下，若繼續(xù)在△BMC地帶種植同樣的太陽(yáng)花，資金是否夠用？并說(shuō)明理由。

小結(jié)：

通這一節(jié)的復(fù)習(xí)之后你有哪些收獲？

（1）掌握相似三角形的判定方法及性質(zhì)；

（2）能靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明；（3）利用相似解決一些實(shí)際問(wèn)題

（4）分類討論思想： 遇到?jīng)]有明確指明對(duì)應(yīng)關(guān)系的三角形相似時(shí)，要注意考慮對(duì)位相似和錯(cuò)位相似兩種情況，采取分類討論的方法解決問(wèn)題.作業(yè)：

1、必做題：學(xué)習(xí)指導(dǎo)第82頁(yè)2,3,5題。

2、選做題： 板書(shū)設(shè)計(jì)： 教后記：

相似三角形復(fù)習(xí)課教案

城區(qū)二中

章松巖

2013年1月8日

教后反思

結(jié)合上課時(shí)的感受及課后評(píng)課，我對(duì)這節(jié)課作出如下反思： 成功地方：

1．能科學(xué)運(yùn)用三疑三探模式上課。

2．能有效開(kāi)展小組活動(dòng)。充分發(fā)揮小組協(xié)作功能。

3．注重學(xué)生動(dòng)口動(dòng)手能力的培養(yǎng)，教師只起輔助引導(dǎo)作用。不足地方：

1.課前可創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，結(jié)合日常生活實(shí)際設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題。2.課前熱身習(xí)題可設(shè)計(jì)成學(xué)案的形式。3.學(xué)生評(píng)價(jià)素質(zhì)有待于進(jìn)一步提高。

4.部分習(xí)題處理過(guò)快影響了中差生的學(xué)習(xí)。5.中招鏈接題因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系為處理。6.竟賽角題目設(shè)計(jì)過(guò)難。7.教師未使用普通話。整改措施：

1.復(fù)習(xí)期間認(rèn)真?zhèn)浜脧?fù)習(xí)課。2.注重發(fā)揮教研組集體協(xié)作功能。

3.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，注重講題的效果，注重總結(jié)歸納解題方法。4.精選習(xí)題，不搞題海戰(zhàn)術(shù)。5.注重批改，反饋，考后總結(jié)。6.注意培優(yōu)補(bǔ)差，努力降低過(guò)差率。