相似形

1．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)；

2．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．

（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；

（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點(diǎn)G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．

3．如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF=∠GAC．

（1）求證：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值．

4．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)頂點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交CD于G．

（1）求證：BG=DE；

（2）若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求的值．

5．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE⊥BF于點(diǎn)M，求證：AE=BF；

（2）如圖2，將

（1）中的正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于點(diǎn)M，探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

6．如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PD⊥AD．

（1）證明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長(zhǎng)．

7．△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ；并求當(dāng)BP=2，CQ=9時(shí)BC的長(zhǎng)．

8．如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，EC平分∠DEB，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接AF，BF，過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點(diǎn)．

（1）求證：DE=DC；

（2）求證：AF⊥BF；

（3）當(dāng)AF?GF=28時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)．

9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過(guò)點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，連接AE．

（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，求證：AD=DE；

（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由．

10．如圖1，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AE=AB，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿D→C→B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，直線EP交AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作直線FG⊥DE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)R．

（1）求證：AF=AR；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，①求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PRBC是矩形？

②如圖2，連接PB．請(qǐng)直接寫(xiě)出使△PRB是等腰三角形時(shí)t的值．

11．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；

（2）猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

12．將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．

（1）將圖1中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn)，求證：CP1=CQ；

（2）在圖2中，若AP1=a，則CQ等于多少？

（3）將圖2中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C（如圖3），點(diǎn)P2是A2C與AP1的交點(diǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，有△AP1C∽△CP1P2？這時(shí)線段CP1與P1P2之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系？

．

13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長(zhǎng)，并寫(xiě)出t的取值范圍；

（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形．

14．△ABC，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，一條直線DE與邊AC相交于點(diǎn)D，與邊AB相交于點(diǎn)E．

（1）如圖①，若DE將△ABC分成周長(zhǎng)相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）

（2）如圖②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE將△ABC分成周長(zhǎng)、面積相等的兩部分，求AD；

（3）如圖③，若DE將△ABC分成周長(zhǎng)、面積相等的兩部分，且DE∥BC，則a、b、c滿足什么關(guān)系？

15．已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，將∠PAQ繞著正方形的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它與正方形ABCD的兩個(gè)外角∠EBC和∠FDC的平分線分別交于點(diǎn)M和N，連接MN．

（1）求證：△ABM∽△NDA；

（2）連接BD，當(dāng)∠BAM的度數(shù)為多少時(shí)，四邊形BMND為矩形，并加以證明．

16．如圖，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點(diǎn)M．

（1）點(diǎn)G在BE上，且∠BDG=∠C，求證：DG?CF=DM?EG；

（2）在圖中，取CE上一點(diǎn)H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的長(zhǎng)．

17．△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．

（1）如圖1，求證：DE?CD=DF?BE

（2）D為BC中點(diǎn)如圖2，連接EF．

①求證：ED平分∠BEF；

②若四邊形AEDF為菱形，求∠BAC的度數(shù)及的值．

18．如圖，在△ABC

中，點(diǎn)P是AC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作與BC平行的直線PQ，交AB于點(diǎn)Q，點(diǎn)D在線段

BC上，聯(lián)接AD交線段PQ于點(diǎn)E，且=，點(diǎn)G在BC延長(zhǎng)線上，∠ACG的平分線交直線PQ于點(diǎn)F．

（1）求證：PC=PE；

（2）當(dāng)P是邊AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形AECF是矩形．

19．如圖，已知△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D、E、F分別是線段AC、BC、AD的中點(diǎn)，BF、ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接GC．

（1）求證：AB=GD；

（2）如圖2，當(dāng)CG=EG時(shí)，求的值．

20．如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，線段BE、CD相交于點(diǎn)O，且∠DCB=∠EBC=∠A．

（1）求證：△BOD∽△BAE；

（2）求證：BD=CE；

（3）若M、N分別是BE、CE的中點(diǎn)，過(guò)MN的直線交AB于P，交AC于Q，線段AP、AQ相等嗎？為什么？

21．如圖，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE與AC交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，伴隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，矩形PEFG在射線AB上滑動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)K從點(diǎn)P出發(fā)沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、K同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、K運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t=1時(shí)，KE=，EN=；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APM的面積與△MNE的面積相等？

（3）當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)N時(shí)，求出t的值；

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PKB是直角三角形？

22．如圖（1），在△ABC中，AD是BC邊的中線，過(guò)A點(diǎn)作AE∥BC與過(guò)D點(diǎn)作DE∥AB交于點(diǎn)E，連接CE．

（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形．

（2）連接BE，AC分別與BE、DE交于點(diǎn)F、G，如圖（2），若AC=6，求FG的長(zhǎng)．

23．已知：在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是CB、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE=DF，聯(lián)結(jié)AE、AF、DE、DE交AB于點(diǎn)M．

（1）如圖1，當(dāng)E、A、F在一直線上時(shí)，求證：點(diǎn)M為ED中點(diǎn)；

（2）如圖2，當(dāng)AF∥ED，求證：AM2=AB?BM．

24．已知，如圖1，點(diǎn)D、E分別在AB，AC上，且=．

（1）求證：DE∥BC．

（2）已知，如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上任意一點(diǎn)，連結(jié)BD，取BD中點(diǎn)E，連結(jié)CE并延長(zhǎng)CE交邊AB于點(diǎn)F，求證：=．

（3）在（2）的條件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．

25．已知△ABC，AC=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB上，∠ECF=∠A．

（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上時(shí)，求證：AC2=AF?BE；

（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB及其延長(zhǎng)線上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的長(zhǎng)．

26．如圖，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．

（1）求證：AD2=BG?DH；

（2）求證：CE=DG；

（3）求證：EF=HG．

27．如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B、D分別作BD的垂線，使AB=BC，DE=DB，連接AD、AC、BE，過(guò)B作AD的垂線，垂足為F，連接CE、EF．

（1）求證：AC?DF=BF?BD；

（2）點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CFE的度數(shù)保持不變，求出這個(gè)度數(shù)；

（3）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CE∥BF？并說(shuō)明理由．

28．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上（不與A，B重合），DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△ADE沿直線DE翻折，得到△A′DE，直線DA′，EA′分別交直線BC于點(diǎn)M，N．

（1）求證：DB=DM．

（2）若=2，DE=6，求線段MN的長(zhǎng)．

（3）若=n（n≠1），DE=a，則線段MN的長(zhǎng)為

（用含n的代數(shù)式表示）．

29．如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點(diǎn)E在線段DC上，點(diǎn)A、D、G在同一直線上，且AD=3，DE=1，連接AC、CG、AE，并延長(zhǎng)AE交OG于點(diǎn)H．

（1）求證：∠DAE=∠DCG．

（2）求線段HE的長(zhǎng)．

30．如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F分別在邊AB，AC上，BF與CE相交于點(diǎn)P，且∠1=∠2=∠A．

（1）如圖1，若AB=AC，求證：BE=CF；

（2）若圖2，若AB≠AC，①（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)給出你的判斷并說(shuō)明理由；

②求證：=．

31．如圖1，在銳角△ABC中，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC上，且滿足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點(diǎn)M．

（1）證明：DM=DA；

（2）點(diǎn)G在BE上，且∠BDG=∠C，如圖2，求證：△DEG∽△ECF；

（3）在圖2中，取CE上一點(diǎn)H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的長(zhǎng)．

32．如圖，正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為12，DE⊥DC交AB于點(diǎn)E，DF平分∠EDC交BC于點(diǎn)F，連接EF．

（1）求證：EF=CF；

（2）當(dāng)=時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

33．如圖，已知在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)，連接CP，M為CP的中點(diǎn)，連接BM并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)D，N為AP的中點(diǎn)，連接MN．若∠ACP=∠ABD．

（1）求證：AC?MN=BN?AP；

（2）若AB=3，AC=2，求AP的長(zhǎng)．

34．如圖，已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對(duì)角線，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90°，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時(shí)，連接BF．

（1）求證：△CAE∽△CBF；

（2）若BE=1，AE=2，求CE的長(zhǎng)．

35．如圖①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，PM交邊AB（或AD）于點(diǎn)E，PN交邊AD（或CD）于點(diǎn)F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止．

（1）特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過(guò)點(diǎn)A時(shí)，PN也恰巧過(guò)點(diǎn)D，此時(shí)，△ABP

△PCD（填“≌”或“～”）；

（2）類(lèi)比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

36．如圖，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線平行于△ABC的各邊，所形成的三個(gè)小三角形△1、△2、△3（圖中陰影部分）的面積分別是1、4、25．則△ABC的面積是

．

37．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于點(diǎn)O，D是線段OB上一點(diǎn)，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），連接BE、CD．設(shè)BE、CD的中點(diǎn)分別為P、Q．

（1）求AO的長(zhǎng)；

（2）求PQ的長(zhǎng)；

（3）設(shè)PQ與AB的交點(diǎn)為M，請(qǐng)直接寫(xiě)出|PM﹣MQ|的值．

38．尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．

求證：a2+b2=5c2

該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：

先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來(lái)，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計(jì)算，消去m，n即可得證

（1）請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫(xiě)出證明過(guò)程．

（2）利用題中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：

在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，連接BE，CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，BM，CM分別交AD于點(diǎn)G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值．

39．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且．

（1）求證：△ADF∽△ACG；

（2）若，求的值．

40．如圖，四邊形中ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，P為對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．

求證：K是線段MN的中點(diǎn)．