第一篇：必修五3.1.1基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

《基本不等式（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

汪清剛

吉林省遼源市東遼縣第一高級(jí)中學(xué)

一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：

1.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們之積的2倍的不等式的證明。2．理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及幾何解釋。過(guò)程與方法

本節(jié)的學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形倆方面深入的探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)。基本不等式的證明要注重嚴(yán)密性，每一步都有理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力。情感，態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生舉一反三地邏輯推理能力，并通過(guò)不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略．

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

三、重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程；

難點(diǎn)：理解“=”成立的充要條件.三、教學(xué)過(guò)程：

1．動(dòng)手操作，幾何引入

如圖是2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的，該圖給出了迄今為止對(duì)勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的．

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ 在正方形中有4個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為

．于是，，那么正方形的邊長(zhǎng)為4個(gè)直角三角形的面積之和正方形的面積由圖可知，即

．

．

探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形（兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為和現(xiàn)一個(gè)不等式嗎？

（），考察兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)：

2．代數(shù)證明，得出結(jié)論

根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景，初步形成不等式結(jié)論： 若，則

． 若，則．

學(xué)生探討等號(hào)取到情況，教師演示幾何畫板，通過(guò)展示圖形動(dòng)畫，使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件，從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論：

（1）若，則；（2）若，則

請(qǐng)同學(xué)們用代數(shù)方法給出這兩個(gè)不等式的證明． 證法一（作差法）：，當(dāng)（在該過(guò)程中，可發(fā)現(xiàn)證法二（分析法）：由于的取值可以是全體實(shí)數(shù)），于是

時(shí)取等號(hào)．

要證明，只要證明，即證，即，該式顯然成立，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容 基本不等式: 若若，則，則

（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）時(shí)，等號(hào)成立）

深化認(rèn)識(shí)：

稱為的幾何平均數(shù)；稱為的算術(shù)平均數(shù)

基本不等式又可敘述為：

兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù) 3．幾何證明，相見(jiàn)益彰 探究三：如圖，于的弦是圓的直徑，點(diǎn)．

由于Rt

中直角邊

斜邊，是

上一點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)

作垂直，連接根據(jù)射影定理可得：于是有故而再次證明： 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．

當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）

（進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提升思維的靈活性）4．應(yīng)用舉例，鞏固提高

例1.（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過(guò)例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問(wèn)題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）對(duì)于（1）若，（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，有最小值

；

（2）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值．

（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）

例2.求的值域．

變式1.若，求的最小值．

在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 的函數(shù)圖象，使學(xué)生并通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略． 練一練（自主練習(xí)）：

1.已知2.設(shè)，且，且，求，求的最小值． 的最小值．

5．歸納小結(jié)，反思提高 基本不等式：若，則

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）

若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）

（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；

（2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的基本方法． 媒體展示，滲透思想：

若將算術(shù)平均數(shù)記為，幾何平均數(shù)記為

利用電腦3D技術(shù)，在空間坐標(biāo)系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景：平面在曲面 的上方

6．布置作業(yè)，課后延拓

（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題組1、2題

（2）拓展作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．

（3）探究作業(yè)：

現(xiàn)有一臺(tái)天平，兩臂長(zhǎng)不相等，其余均精確，有人說(shuō)要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量．這種說(shuō)法對(duì)嗎？并說(shuō)明你的結(jié)論．

第二篇：必修五基本不等式 知識(shí)點(diǎn)

第三章:不等式、不等式解法、線性規(guī)劃

1.不等式的基本概念

不等（等）號(hào)的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a?b?b?a（對(duì)稱性）（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）（6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?11ab（異向不等式相除）(10)a?b,ab?0??（倒數(shù)關(guān)系）?abcd

（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）

（12）a?b?0?a?b(n?Z,且n?1)（開(kāi)方法則）

練習(xí)：（1）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：

①若a?b,則ac?bc；②若ac?bc,則a?b；

③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則

⑤若a?b?0,則22222211?； abba?；⑥若a?b?0,則a?b； ab

ab11⑦若c?a?b?0,則；⑧若a?b,?，則a?0,b?0。?c?ac?bab

其中正確的命題是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______

（答：1?3x?y?7）；

（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則

3.幾個(gè)重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R,則a?b?2ab(或a?b?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

?c1??的取值范圍是______（答：??2,??）2?a??2222a?b.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）2極值定理：若x,y?R,x?y?S,xy?P,則：

1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最??；○

2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時(shí)取等號(hào)）

3ba(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）ab

(6)a?0時(shí)，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

（7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

4.幾個(gè)著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

a?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）??2?ab

即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

2a?b2a2?b2a?b2a2?b2)?)??ab）特別地，ab?(（當(dāng)a = b時(shí)，(2222

a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時(shí)取等)33??

222?冪平均不等式：a1?a2?...?an?21(a1?a2?...?an)2 n

注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).1111111常用不等式的放縮法：①???2???(n?2)

nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

????n?1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則

2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)1?2?3???n時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1?x2),有

x1?x2f(x1)?f(x2)x?xf(x1)?f(x2))?或f(12)?.222

2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根軸法：

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.a?0????x1?x2???0????x1?x2?? ??a?0??0??????0??????

（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

?f(x)g(x)?0 f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0;?0??g(x)g(x)?g(x)?0

（3）無(wú)理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

1?f(x)?0????定義域 ???g(x)?0??f(x)?g(x)?

?f(x)?0f(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2f(x)?g(x)??g(x)?0?

?f(x)?03f(x)?g(x)?? ○?g(x)?02??f(x)?[g(x)]

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);

（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;

?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?

（6）含絕對(duì)值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○

3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化 ○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時(shí)為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)

7、線性規(guī)劃

（1）線性目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是線性關(guān)系式如z?ax?by?c（b?0）時(shí)，可把目標(biāo)函數(shù)變形為

az?cz?c，則可看作在在y軸上的截距，然后平移直線法是解決此類問(wèn)題y??x?bbb的常用方法，通過(guò)比較目標(biāo)函數(shù)與線性約束條件直線的斜率來(lái)尋找最優(yōu)解.一般步驟如下：

1.做出可行域;2.平移目標(biāo)函數(shù)的直線系,根據(jù)斜率和截距,求出最優(yōu)解.（2）非線性目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題的解法

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)時(shí)非線性函數(shù)時(shí)，一般要借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后根據(jù)其幾何意義，數(shù)形結(jié)合，來(lái)求其最優(yōu)解。近年來(lái)，在高考中出現(xiàn)了求目標(biāo)函數(shù)是非線性函數(shù)的范圍問(wèn)題.這些問(wèn)題主要考察的是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,出題形式越來(lái)越靈活,對(duì)考生的能力要求越來(lái)越高.常見(jiàn)的有以下幾種：

比值問(wèn)題：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z?y?a時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)Q(b,a)連線x?b

22的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。距離問(wèn)題：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z?(x?a)?(y?b)時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)

Q(a,b)距離的平方，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ距離平方的最值。

?x+y?0?2截距問(wèn)題：例 不等式組?x?y?0表示的平面區(qū)域面積為81，則x?y的最小值為_(kāi)____

?x?a?

?????????x?4y?3?0,OP?OA?的向量問(wèn)題：例已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足：?3x?5y?25,及A（2，0），則OA?x?1?0.?

最大值是.

第三篇：基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

10141510244 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 鐘林

課題：人教A版必修5第3章4節(jié)，基本不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個(gè)基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

2.進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證明方法，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理論證能力。3.結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想。

4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生

a?b領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式ab?的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最

2值中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過(guò)程。

2難點(diǎn)：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

（一）問(wèn)題導(dǎo)入

欣賞2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽，會(huì)徽是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎？請(qǐng)根據(jù)會(huì)徽探索一些常見(jiàn)相等或不等關(guān)系。

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ 在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為，a,b。

22a?b那么正方形的邊長(zhǎng)為。

于是，4個(gè)直角三角形的面積之和S1?2ab。正方形的面積S2?a2?b2。由圖可知S2?S1，即a2?b2?2ab。

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí) a2?b2?2ab

所以a2?b2?2ab。

探究二：如下圖所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位線，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。讓同學(xué)們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。

a?b因?yàn)镋F是中位線，所以EF?，2由相似，可以得出GH?ab，同樣因?yàn)橄嗨?，?/p>

AGABa，??GDGHb又因?yàn)閍?b，所以AG?GD，即AG?AE，a?b。2顯然，當(dāng)AB逐漸趨近CD的時(shí)候，GH也逐漸向EF靠近，當(dāng)AB=CD的時(shí)候，即ABCD是矩形的時(shí)候，GH與EF重合。

a?b即，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，ab?。

2a?b所以，ab?，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，等號(hào)成立。

2所以GH?EF,即ab?

（二）概念深入

根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景，初步形成不等式結(jié)論：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）

a?b。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）2請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用代數(shù)法證明： 作法一（作差法）： 若a,b?R?，則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實(shí)數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。

作法二（分析法）：

要證明a?b?ab，2只需證明a?b?2ab，即證a?b-2ab?0，即為?a-b?2?0，該式顯然成立，所以，當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)。

于是有這樣的結(jié)論：

稱ab為a,b的幾何平均數(shù)；稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù)，2a?b又可敘述為： 2兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)

作法三（幾何法）：

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b．過(guò)點(diǎn)C作 垂直于AB的弦DE，連接AD,BD。從而有CD?ab,OD?a?b。2a?b。2a?b當(dāng)且僅當(dāng)C點(diǎn)與圓心O點(diǎn)重合時(shí)，即a=b時(shí)，ab?

2故再次證明：

a?ba?0,b?0,ab?，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。

2a?b也說(shuō)明了ab?的幾何意義：半徑不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角邊CD<斜邊OD，即ab?

（三）例題講解

例1.（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過(guò)例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問(wèn)題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）

對(duì)于x,y?R?，（1）若xy?p（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)，x?y有最小值2p；

s2（2）若x?y?s（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)，xy有最大值。

4（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神。）

1例2.求y?x?(x?0)的值域。

x1變式1.若x?2，求x?的最小值．

x?21在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)

x圖象，使學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

a?b并通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式ab?的三個(gè)限制

2條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略。

（四）歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）

a?b。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）2（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；（2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的基本方法。

作業(yè)：A組第4題，B組第1題，第2題

若a,b?R?，則ab?

第四篇：基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

基本不等式

一、教學(xué)設(shè)計(jì)理念：

注重學(xué)生自主、合作、探究學(xué)習(xí)，用新課程理念打造新的教學(xué)模式.二、教學(xué)設(shè)計(jì)思路： 1.教學(xué)目標(biāo)確定

這節(jié)課的目標(biāo)定位分為三個(gè)層面：

第一層面：知識(shí)與技能層面，①了解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念；②要?jiǎng)?chuàng)設(shè)幾何和代數(shù)兩個(gè)方面的背景，從數(shù)形結(jié)合的高度讓學(xué)生了解基本不等式；③引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去證明基本不等式；④用基本不等式來(lái)證明一些簡(jiǎn)單不等式.第二層面：過(guò)程與方法，通過(guò)掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，適當(dāng)運(yùn)用公式的變形，能夠提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力，滲透數(shù)學(xué)的思想方法.第三層面：情感、態(tài)度與價(jià)值觀，①通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受日常生活中存在大量的不等關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納，抽象，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)美，走進(jìn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維方式；②通過(guò)問(wèn)題的解決，激發(fā)學(xué)生探究精神和科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的運(yùn)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.教學(xué)過(guò)程

本節(jié)課我設(shè)計(jì)了五個(gè)環(huán)節(jié)：

第一個(gè)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課.我設(shè)計(jì)了兩個(gè)情境：一個(gè)是天平測(cè)量的問(wèn)題，另一個(gè)是讓學(xué)生動(dòng)手操作折紙?jiān)囼?yàn)，從不同的角度體驗(yàn)和理解基本不等式，讓學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為后面學(xué)習(xí)作鋪墊.第二個(gè)環(huán)節(jié)：探究交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.我在問(wèn)題的情境中，讓學(xué)生帶著不同的數(shù)據(jù)去比較幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小，并通過(guò)小組折紙?jiān)囼?yàn)，通過(guò)這樣合作交流的方式讓學(xué)生初步感受到幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間的大小關(guān)系.第三個(gè)環(huán)節(jié)：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)、形成結(jié)論.本節(jié)課的重要任務(wù)就是對(duì)基本不等式進(jìn)行嚴(yán)格的證明，包括了比較法，綜合法和分析法，而學(xué)生對(duì)作差比較法是比較熟悉的，綜合法和分析法的過(guò)程要加強(qiáng)引導(dǎo)，并組織學(xué)生去探究這兩種方法之間的關(guān)系，并規(guī)范證明過(guò)程，為今后學(xué)習(xí)證明方法打下基礎(chǔ).第四個(gè)環(huán)節(jié)：訓(xùn)練小結(jié)，鞏固深化.學(xué)習(xí)基本不等式最終的目的體現(xiàn)在它的運(yùn)用上，首先在例題選擇上，注重讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí) 和 間的關(guān)系，給出一般的結(jié)論，在練習(xí)中我選擇了題組形式，目的是與讓學(xué)生強(qiáng)化對(duì)基本不等式成立條件包括等號(hào)成立的條件.第五個(gè)環(huán)節(jié)：研究拓展，提高能力.我設(shè)計(jì)了一道關(guān)于例題的變式題，目的是讓學(xué)生感受到，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃螌⑵浠癁槔}中出現(xiàn)的形式，體現(xiàn)化歸的思想，最后設(shè)計(jì)三道思考題，兩道進(jìn)一步鞏固化歸思想及應(yīng)用基本不等式的條件，一道需要分類討論，讓學(xué)有余力的學(xué)生提供更好展示自己能力的機(jī)會(huì)，得到進(jìn)一步提高.最后我通過(guò)問(wèn)題式的小結(jié)，讓學(xué)生自行歸納我們這節(jié)課當(dāng)中學(xué)到的知識(shí)，特別是最后一問(wèn)中，讓學(xué)生去總結(jié)在使用基本不等式的時(shí)候要注意哪些條件.雖然我沒(méi)有點(diǎn)出“一正二定三相等”這樣的結(jié)論，但已潛移默化為我們下一節(jié)課使用基本不等式求最值問(wèn)題作了鋪墊，起到承前啟后的作用.三、本節(jié)課重點(diǎn)

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并從不同的角度探索不等式的證明過(guò)程.難點(diǎn)：靈活使用化歸思想把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式，以及基本不等式成立條件中包括等號(hào)成立的條件.在這一節(jié)中的主要任務(wù)就是讓學(xué)生從不同的角度去探索基本不等式的證明過(guò)程，包括它的成立條件，在這一節(jié)課中我的總體想法是通過(guò)互動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，直接猜想，指定驗(yàn)證，得出結(jié)論，最后靈活運(yùn)用這個(gè)結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題.四、本節(jié)課亮點(diǎn)：

1.積極引導(dǎo)學(xué)生自主探究問(wèn)題，解決問(wèn)題.2.靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.3.實(shí)現(xiàn)課堂三大轉(zhuǎn)變：

①變教學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)為指導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)知識(shí)；

②變重視結(jié)論的記憶為重視學(xué)生獲取結(jié)論的體驗(yàn)和感悟； ③變模仿式學(xué)習(xí)為探究式學(xué)習(xí).4.課堂小結(jié)采取問(wèn)題式小結(jié)給學(xué)生留下滿口香.導(dǎo)入新課

探究：上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？?

（教師用投影儀給出第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，并介紹此會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客.通過(guò)直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情）?? 推進(jìn)新課

師 同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？?

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問(wèn)題 2.進(jìn)一步掌握用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題；

3.審清題意，綜合運(yùn)用函數(shù)關(guān)系、不等式知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 4.能綜合運(yùn)用函數(shù)關(guān)系，不等式知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題．

二、過(guò)程與方法

本節(jié)課是基本不等式應(yīng)用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心。

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。

2.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及思維的創(chuàng)新性和深刻性

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過(guò)程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法； 2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題；

3.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；

4.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過(guò)程與方法

1.通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)。變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對(duì)定理的理解，并為以后實(shí)際問(wèn)題的研究奠定基礎(chǔ)。兩個(gè)定理的證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

2.培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過(guò)不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力、知識(shí)結(jié)構(gòu)解讀

1．教材對(duì)基本不等式 的推導(dǎo)給出了三種證法，即作差法、分析法和綜合法，同時(shí)引導(dǎo)同學(xué)們探討基本不等式的幾何解釋．

2．基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．應(yīng)用基本不等式時(shí)一定要注意其成立的條件．基本不等式的應(yīng)用過(guò)程蘊(yùn)涵了函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)解讀

本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是掌握“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握“兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)積有最大值，積為定值時(shí)和有最小值”的結(jié)論． 難點(diǎn)是正確理解和使用基本不等式求某些函數(shù)的最值或證明不等式．

三、知識(shí)點(diǎn)精析

1．基本不等式的定義（詳見(jiàn)課本）

基本不等式可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)． 注意：不等式 成立的條件是 ． 2．基本不等式的幾何證明

已知在 中，如右圖所示，為斜邊 上的高，為 的外接圓的圓心，的延長(zhǎng)線交 于點(diǎn) ．，證明： ．

一、教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能

探究基本不等式的證明過(guò)程，初步理解基本不等式

2．過(guò)程與方法

通過(guò)對(duì)基本不等式的不同角度的探究，滲透數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，形成積極探索的學(xué)習(xí)風(fēng)氣．

二、教學(xué)重點(diǎn) 用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程

教學(xué)難點(diǎn) 對(duì)基本不等式 的探究

三、教學(xué)資源 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）人教A版教材必修5

中學(xué)數(shù)學(xué)周刊2005年第10期 百度

四、教學(xué)方法與手段

啟發(fā)學(xué)生探究，多媒體輔助教學(xué)

五、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境：

如圖1是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表著中國(guó)人民的熱情好客．

你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，為問(wèn)題的引出做鋪墊

（二）新知探究： 圖1

將風(fēng)車抽象成圖2

設(shè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為a、b,那么正方形 的邊長(zhǎng)為.這樣,4個(gè)直角三角形的面積和為2ab,正方形面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積和小于正方形ABCD的 面積，我們就得到了一個(gè)不等式

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切? 圖2

即 時(shí),正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有

此時(shí)，a、b代表正方形的邊長(zhǎng)，顯然是正數(shù)，如果我們推廣到一般情況，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)．知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；

2．過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；

3．情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

【教學(xué)重點(diǎn)】

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程；

【教學(xué)難點(diǎn)】

基本不等式 等號(hào)成立條件

【教學(xué)過(guò)程】

1.課題導(dǎo)入

基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系

2.講授新課

1．探究圖形中的不等關(guān)系

將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為。這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：。

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有。

2．得到結(jié)論：一般的，如果

3．思考證明：你能給出它的證明嗎？

證明：因?yàn)?/p>

當(dāng)

所以，即

4．1）從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式

特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b，可得，通常我們把上式寫作：

2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式

用分析法證明：

要證(1)

只要證 a+b(2)

要證（2），只要證 a+b-0（3）

要證（3），只要證（-）（4）

顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立。

3）理解基本不等式 的幾何意義

探究：課本第110頁(yè)的《基本不等式》說(shuō)課稿

一、教材分析

1、本節(jié)課的地位、作用和意義

基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(北京師范大學(xué)出版社出版)必修5，第3章第3節(jié)內(nèi)容。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了完全平方公式、圓、初步認(rèn)識(shí)了不等式，同時(shí)，在本章前面兩節(jié)學(xué)習(xí)了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節(jié)課提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；基本不等式是后面基本不等式與最大（?。┲档幕A(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位，在工業(yè)生產(chǎn)等有比較廣的實(shí)際應(yīng)用。

2、本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

我通過(guò)解讀新課標(biāo)和分析教材，認(rèn)為：

重點(diǎn)：通過(guò)對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)之一；再者，均值不等式有比較廣的應(yīng)用，需重點(diǎn)掌握，而掌握均值不等式，關(guān)鍵是對(duì)不等式成立條件的準(zhǔn)確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學(xué)重點(diǎn)。

突出重點(diǎn)的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導(dǎo)啟發(fā)法來(lái)突出均值不等式的推導(dǎo)；用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和其成立的條件），變式教學(xué)來(lái)突出均值不等式及其成立的條件。

難點(diǎn)：很多同學(xué)對(duì)均值不等式成立的條件的認(rèn)識(shí)不深刻，在應(yīng)用時(shí)候常常出錯(cuò)誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

突破難點(diǎn)的方法：我將采用用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和其成立的條件），變式教學(xué)等等來(lái)突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能目標(biāo)

（1）學(xué)會(huì)推導(dǎo)基本不等式：。

（2）理解 的幾何意義。

（3）能3分鐘內(nèi)寫出基本不等式，并說(shuō)明其成立的條件，準(zhǔn)確率為95%

2、過(guò)程方法與能力目標(biāo)

（1）探索并了解均值不等式的證明過(guò)程。

（2）體會(huì)均值不等式的證明方法。

3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)

（1）通過(guò)探索均值不等式的證明過(guò)程，培養(yǎng)探索、研究精神。

（2）通過(guò)對(duì)均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，勇于提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的習(xí)慣?！疤骄俊?基本不等式的證明（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過(guò)程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法；

2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題；

3.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；

4.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過(guò)程與方法

1.通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)。變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對(duì)定理的理解，并為以后實(shí)際問(wèn)題的研究奠定基礎(chǔ)。兩個(gè)定理的證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

2.培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過(guò)不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程；

難點(diǎn)：理解基本不等式 等號(hào)成立條件及 “當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：先讓學(xué)生觀察常見(jiàn)的圖形，通過(guò)面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實(shí)際問(wèn)題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可積極調(diào)動(dòng)地學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過(guò)類比得到答案

2.教學(xué)用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.提問(wèn)： 與 哪個(gè)大？

2.基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）。

二、研探新知

重要不等式 ：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，我們有，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。

證明:

所以

第五篇：基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

3.4.1基本不等式

開(kāi)江中學(xué) 魏江蘭

目標(biāo)分析

依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和學(xué)生的實(shí)際情況，特確定如下目標(biāo)：

1、知識(shí)與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的求最值問(wèn)題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)會(huì)構(gòu)造條件使用基本不等式；培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

2、過(guò)程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用（最值的求法、實(shí)際問(wèn)題的解決）的過(guò)程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過(guò)運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣。

3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過(guò)數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì)。

教學(xué)重、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過(guò)程及應(yīng)用。2難點(diǎn)：

1、基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件（簡(jiǎn)稱一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值。

教法分析

本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——?dú)w納——探究；啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體課件、板書(shū)

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)以問(wèn)題為中心，以探究解決問(wèn)題的方法為主線展開(kāi)。這種安排強(qiáng)調(diào)過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。具體過(guò)程安排如下：

一、創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題；

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．基于此,設(shè)置如下情境: 上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。

[問(wèn)]你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式。

二、抽象歸納：

一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b，有a2?b2?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。[問(wèn)] 你能給出它的證明嗎？

證明：因?yàn)閍2?b2?2ab?(a?b)2?0，即a2?b2?2ab.（當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)）

特別地，當(dāng)a>0,b>0時(shí)，在不等式a2?b2?2ab中，以a、b分別代替a、b，得到什么？

設(shè)計(jì)依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來(lái)源，突破了重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

答案： ab?a?b(a,b?0)。2你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？ 證明：（分析法）：由于a,b?R?，于是要證明 a?b?2ab，只要證明 a?b?2即證

2ab，a?b?2ab?0，即(a?b)2?0，所以a?b?ab，（當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)）

【歸納總結(jié)】

如果a,b都是正數(shù)，那么ab?a?b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。2a?b稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。其中為a,b的幾何平均數(shù)。

文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學(xué)生熟知的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進(jìn)一步領(lǐng)悟不等式中等號(hào)成立的條件。

如圖：AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

D?ab

aba?b2abOCAB幾何解釋實(shí)質(zhì)可認(rèn)為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長(zhǎng)的弦）；或者認(rèn)為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

4．應(yīng)用舉例，鞏固提高

我們可以用兩個(gè)重要不等式來(lái)解決什么樣的問(wèn)題呢？

例1（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過(guò)例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問(wèn)題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）對(duì)于（1）若（2）若，（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，時(shí)，有最小值有最大值

； ．

（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）

1例 2：當(dāng)x?0時(shí)，求y?x?的最小值？x1變式1：當(dāng)x?0時(shí)，y?x?有最值嗎？

x1變式2：當(dāng)x?1時(shí)，y?x?有最值嗎？

x通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略．

練一練（自主練習(xí)）：課本練習(xí)5．歸納小結(jié)，反思提高

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

基本不等式：若若，則，則

（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）時(shí)，等號(hào)成立）

（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；（2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的基本方法（一正二定三相等）． 6．布置作業(yè)，課后延拓

（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題組1、2、3題

（2）拓展作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．