線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點逐個擊破

第一章

行列式

（一）行列式的定義

行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子，它實質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進行運算，其結(jié)果為一個確定的數(shù).1．二階行列式

由4個數(shù)得到下列式子：稱為一個二階行列式，其運算規(guī)則為

2．三階行列式

由9個數(shù)得到下列式子：

稱為一個三階行列式，它如何進行運算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3．余子式及代數(shù)余子式

設(shè)有三階行列式

對任何一個元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如，再記，稱為元素的代數(shù)余子式.例如，那么，三階行列式定義為

我們把它稱為按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成4．n階行列式

一階行列式

n階行列式

其中為元素的代數(shù)余子式.5．特殊行列式

上三角行列式

下三角行列式

對角行列式

（二）行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1

行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即

性質(zhì)2

用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質(zhì)3

互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.推論1

如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2

如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4

行列式可以按行（列）拆開.性質(zhì)5

把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）

n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即

或

前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2

n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即

或

（三）行列式的計算

行列式的計算主要采用以下兩種基本方法：

（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k時，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素，再按這一行或這一列展開：

例1　計算行列式

解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開.例2

計算行列式

解：方法1　這個行列式的元素含有文字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，因為文字可能取0值.要注意觀察其特點，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行：

方法2

觀察到這個行列式每一行元素中有多個b，我們采用“加邊法”來計算，即是構(gòu)造一個與

有相同值的五階行列式：

這樣得到一個“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化為零.例3

三階范德蒙德行列式

（四）克拉默法則

定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個方程的n元線性方程組為

如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：

其中是把D中第j列換成常數(shù)項后得到的行列式.把這個法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有

定理2

設(shè)有含n個方程的n元齊次線性方程組

如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：

換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.第二章

矩陣

（一）矩陣的定義

1．矩陣的概念

由個數(shù)排成的一個m行n列的數(shù)表

稱為一個m行n列矩陣或矩陣

當(dāng)時，稱為n階矩陣或n階方陣

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示

2．3個常用的特殊方陣：

①n階對角矩陣是指形如的矩陣

②n階單位方陣是指形如的矩陣

③n階三角矩陣是指形如的矩陣

3．矩陣與行列式的差異

矩陣僅是一個數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數(shù)，而且行列式記號“”與矩陣記號“”也不同，不能用錯.（二）矩陣的運算

1．矩陣的同型與相等

設(shè)有矩陣，若，則說A與B是同型矩陣.若A與B同型,且對應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為

因而只有當(dāng)兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等.2．矩陣的加、減法

設(shè)，是兩個同型矩陣則規(guī)定

注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運算有相同的運算律.3．?dāng)?shù)乘運算

設(shè)，k為任一個數(shù)，則規(guī)定

故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運算具有普通數(shù)的乘法所具有的運算律.4．乘法運算

設(shè)，則規(guī)定

其中

由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對應(yīng)相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：

①不滿足交換律，即

②在時，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.5．方陣的乘冪與多項式方陣

設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定

特別

又若，則規(guī)定

稱為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣

6．矩陣的轉(zhuǎn)置

設(shè)A為一個矩陣，把A中行與列互換，得到一個矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運算滿足以下運算律：，，由轉(zhuǎn)置運算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義

設(shè)A為一個n階方陣，若A滿足，則稱A為對稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對稱矩陣.7．方陣的行列式

矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設(shè)為一個n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為

方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則

①；

②

③

（三）方陣的逆矩陣

1．可逆矩陣的概念與性質(zhì)

設(shè)A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則

①是可逆矩陣，且；

②AB是可逆矩陣，且；

③kA是可逆矩陣，且

④是可逆矩陣，且

⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即

設(shè)P為可逆矩陣，則

2．伴隨矩陣

設(shè)為一個n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點）

伴隨矩陣必滿足

（n為A的階數(shù)）

3．n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法

定理：n階方陣A可逆，且

推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且，例1

設(shè)

（1）求A的伴隨矩陣

（2）a，b，c，d滿足什么條件時，A可逆？此時求

解：（1）對二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號”即

（2）由，故當(dāng)時，即，A為可逆矩陣

此時

（四）分塊矩陣

1．分塊矩陣的概念與運算

對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運算時，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來看待，相乘時A的各子塊分別左乘B的對應(yīng)的子塊.2．準(zhǔn)對角矩陣的逆矩陣

形如的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個準(zhǔn)對角矩陣也可逆，并且

（五）矩陣的初等變換與初等方陣

1．初等變換

對一個矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換，（1）交換A的某兩行（列）；

（2）用一個非零數(shù)k乘A的某一行（列）；

（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計算是求值過程，用等號連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€常用的運算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.2．初等方陣

由單位方陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3．初等變換與初等方陣的關(guān)系

設(shè)A為任一個矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個初等方陣的乘積相當(dāng)于對A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個初等方陣的乘積相當(dāng)于對A作同類型的初等列變換.4．矩陣的等價與等價標(biāo)準(zhǔn)形

若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價，記為

對任一個矩陣A，必與分塊矩陣等價，稱這個分塊矩陣為A的等價標(biāo)準(zhǔn)形.即對任一個矩陣A，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得

5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣

設(shè)A為任一個n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）

然后

注意：這里的初等變換必須是初等行變換.例2

求的逆矩陣

解：

則

例3

求解矩陣方程

解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得

也能用初等行變換法，不用求出，而直接求

則

（六）矩陣的秩

1．秩的定義

設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或

零矩陣的秩為0，因而，對n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2．

秩的求法

由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對任一個矩陣A，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).3．與滿秩矩陣等價的條件

n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使

A非奇異，即

A的等價標(biāo)準(zhǔn)形為E

A可以表示為有限個初等方陣的乘積

齊次線性方程組只有零解

對任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解

A的行（列）向量組線性無關(guān)

A的行（列）向量組為的一個基

任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組的線性組合，且表示法唯一.A的特征值均不為零

為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對任一個線性方程組

可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對應(yīng).對于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章

向量空間

（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1．

n維向量的定義與向量的線性運算

由n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣

與矩陣線性運算類似，有向量的線性運算及運算律.2．向量的線性組合設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱

為的一個線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個向量可以表示成則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3．矩陣的行、列向量組

設(shè)A為一個矩陣，若把A按列分塊，可得一個m維列向量組稱之為A的列向量組.若把A按行分塊，可得一個n維行向量組稱之為A的行向量組.4．線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個解就是一個組合系數(shù).例1　問能否表示成，的線性組合？

解：設(shè)線性方程組為

對方程組的增廣矩陣作初等行變換：

則方程組有唯一解

所以可以唯一地表示成的線性組合，且

（二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

1．線性相關(guān)性概念

設(shè)是m個n維向量，如果存在m個不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱為相關(guān)系數(shù).否則，稱向量線性無關(guān).由定義可知，線性無關(guān)就是指向量等式當(dāng)且僅當(dāng)時成立.特別

單個向量線性相關(guān)；

單個向量線性無關(guān)

2．求相關(guān)系數(shù)的方法

設(shè)為m個n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個非零解就是一個相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m

例2

設(shè)向量組，試討論其線性相關(guān)性.解：考慮方程組

其系數(shù)矩陣

于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為

令，得一個非零解為

則

3．線性相關(guān)性的若干基本定理

定理1

n維向量組線性相關(guān)至少有一個向量是其余向量的線性組合.即線性無關(guān)任一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.定理2

如果向量組線性無關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3

若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).定理4

無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān).（三）向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩

1．向量組等價的概念

若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個向量組等價.2．向量組的極大無關(guān)組

設(shè)T為一個向量組，若存在T的一個部分組S，它是線性無關(guān)的，且T中任一個向量都能由S線性表示，則稱部分向量組S為T的一個極大無關(guān)組.顯然，線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身.對于線性相關(guān)的向量組，一般地，它的極大無關(guān)組不是唯一的，但有以下性質(zhì)：

定理1

向量組T與它的任一個極大無關(guān)組等價，因而T的任意兩個極大無關(guān)組等價.定理2

向量組T的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同.3．向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系

把向量組T的任意一個極大無關(guān)組中的所含向量的個數(shù)稱為向量組T的秩.把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理：對任一個矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）

此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關(guān)組.例3

求出下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出：

解：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣

易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地為向量組的一個極大無關(guān)組，而且

（四）向量空間

1．向量空間及其子空間的定義

定義1

n維實列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實n維向量空間，記作

定義2

設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對于向量的線性運算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2．

向量空間的基與維數(shù)

設(shè)V為一個向量空間，它首先是一個向量組，把該向量組的任意一個極大無關(guān)組稱為向量空間V的一個基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù).顯然，n維向量空間的維數(shù)為n，且中任意n個線性無關(guān)的向量都是的一個基.3．

向量在某個基下的坐標(biāo)

設(shè)是向量空間V的一個基，則V中任一個向量都可以用唯一地線性表出，由r個表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標(biāo).第四章

線性方程組

（一）線性方程組關(guān)于解的結(jié)論

定理1

設(shè)為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是

定理2

當(dāng)n元非齊次線性方程組有解時，即時，那么

（1）有唯一解；

（2）有無窮多解.定理3

n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是

推論1

設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解

推論2

設(shè)A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解

（二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間

首先對任一個線性方程組，我們把它的任一個解用一個列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因為V中有零向量，即零解，而且容易證明V對向量的加法運算及數(shù)乘運算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數(shù)仍為解，于是V成為n維列向量空間的一個子空間，我們稱V為方程組的解空間

（三）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解

把n元齊次線性方程組的解空間的任一個基，稱為該齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.當(dāng)n元齊次線性方程組有非零解時，即時，就一定存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含有線性無關(guān)解向量的個數(shù)為

求基礎(chǔ)解系與通解的方法是：

對方程組先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個基礎(chǔ)解系.例1

求的通解

解：對系數(shù)矩陣A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣：，有非零解，取為自由未知量，可得一般解為

寫成向量形式，令，為任意常數(shù)，則通解為

可見，為方程組的一個基礎(chǔ)解系.（四）非齊次線性方程組

1．非齊次線性方程組與它對應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系

設(shè)為一個n元非齊次線性方程組，為它的導(dǎo)出組，則它們的解之間有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1

如果是的解，則是的解

性質(zhì)2

如果是的解，是的解，則是的解

由這兩個性質(zhì)，可以得到的解的結(jié)構(gòu)定理：

定理

設(shè)A是矩陣，且，則方程組的通解為

其中為的任一個解（稱為特解）,為導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系.2．求非齊次線性方程組的通解的方法

對非齊次線性方程組，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解.例2

當(dāng)參數(shù)a，b為何值時，線性方程組

有唯一解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時，求出通解.解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣：

當(dāng)時，有唯一解；

當(dāng)時，，無解；

當(dāng)時，有無窮多解.此時，方程組的一般解為

令為任意常數(shù)，故一般解為向量形式，得方程組通解為