第一篇：2010年10月自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

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全國2010年10月自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題

課程代碼：04184 說明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則|-2AT|=（）A.-8 C.2 ?1?2.設(shè)矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=（）??B.-2 D.8 A.0 ?1?C.???1??

??B.(1,-1)1??1D.???1?1??

??3.設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣,B為n階反對(duì)稱矩陣,則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是（）A.AB-BA C.AB

B.AB+BA D.BA

?12?-

1?4.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=?,則A=（）?34???A.?1 2?4?3????21?? ???12???34?? ??

B.?1 21 2?1?2????34?? ???42???31?? ??C.?1 2D.?5.下列矩陣中不是初等矩陣的是（）．．

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?101???A.?010? ?000????100???C.?030?

?001????001???B.?010?

?100????100???D.?010?

?201???6.設(shè)A,B均為n階可逆矩陣,則必有（）A.A+B可逆 C.A-B可逆

B.AB可逆 D.AB+BA可逆

7.設(shè)向量組α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),則（）A.α1, α2,β線性無關(guān) B.β不能由α1, α2線性表示

C.β可由α1, α2線性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2線性表示,且表示法惟一

8.設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（）A.0 C.2

B.1 D.3 ?2x1?x2?x3?0?9.設(shè)齊次線性方程組?x1?x2?x3?0有非零解,則?為（）??x?x?x?023?1A.-1 C.1 A.對(duì)任意n維列向量x,xTAx都大于零 B.f的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零

B.0 D.2 10.設(shè)二次型f(x)=xTAx正定,則下列結(jié)論中正確的是()

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

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請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。11.行列式0112的值為_________.?12?12.已知A=??23??,則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_________.???1?3??11?3???13.設(shè)矩陣A=?,P=,則AP=_________.??24??01?????14.設(shè)A,B都是3階矩陣,且|A|=2,B=-2E,則|A-1B|=_________.15.已知向量組α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)線性相關(guān),則數(shù)k=_________.16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α?1??3?????2???5??1???,?1??3???,則該線性方程組的通解是_________.37?????4??9??????1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????

3為該方程組的3個(gè)解,且18.設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣3A必有一個(gè)特征值為_________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對(duì)角矩陣為_________.???1?2?T?20.設(shè)矩陣A=?,若二次型f=xAx正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.??2k???

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)0121.求行列式D=201012210102的值.10

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?0?10???1?20?????22.設(shè)矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設(shè)矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A-1;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A2+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣.?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3經(jīng)可逆線性變換?x2?2y1?2y2?y3所得的標(biāo)

?x?2y3?3準(zhǔn)形.四、證明題(本題6分)27.設(shè)n階矩陣A滿足A2=E,證明A的特征值只能是?1.全國2010年10月自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題 004km.cn 各類考試歷年試題答案免費(fèi)免注冊(cè)直接下載 全部WORD文檔

2010年10月全國自考線性代數(shù)（經(jīng)管類）參考答案

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2010年10月自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題

全國8

第二篇：2013.10自考線性代數(shù)經(jīng)管類試題

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼：04184 請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

選擇題部分

注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的考試課程名稱、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙規(guī)定的位置上。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯(cuò)涂、多涂或未涂均無分。1．設(shè)行列式a11a12a21a22=3，刪行列式

a112a12?5a11a212a22?5a21B．-6 D．15

= A．-15 C．6 2．設(shè)A，B為4階非零矩陣，且AB=0，若r(A)=3，則r(B)= A．1 C．3

B．2 D．4 3．設(shè)向量組?1=(1，0，0)T，?2=(0，1，0)T，則下列向量中可由?1，?2線性表出的是 A．(0，-1，2)T C．(-1，0，2)T

B．(-1，2，0)T D．(1，2，-1)T

4．設(shè)A為3階矩陣，且r(A)=2，若?1，?2為齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解。k為任意常數(shù)，則方程組Ax=0的通解為A．k?

1B．k?C．k?1??2???2

D．k1 225．二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x3的矩陣是

非選擇題部分

注意事項(xiàng)：用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

2346．3階行列式152第2行元素的代數(shù)余子式之和A21+A22+A23=________．

1117．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，則|A*|=________． ?102??30?1?T8．設(shè)矩陣A=?，B=???，則AB=________．

?010??010?19．設(shè)A為2階矩陣，且|A|=，則|(-3A)-l|=________．

310．若向量組?1 =(1，-2，2)T，?2=(2，0，1)T，?3=(3，k，3)T線性相關(guān)，則數(shù)k=________． 11．與向量(3，-4)正交的一個(gè)單位向量為________．

?2x1?x2?3x3?012．齊次線性方程組?的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為________．

2x?x?3x?023?113．設(shè)3階矩陣A的秩為2，?1，?2為非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同解，則方程組Ax=b的通解為________． 14．設(shè)A為n階矩陣，且滿足|E+2A|=0，則A必有一個(gè)特征值為________． 15．二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+x22+x32的正慣性指數(shù)為________．

三、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題9分，其63分)1416．計(jì)算行列式D=233142231442的值.31a21a22a23??a11a12a13??????17．設(shè)矩陣A=?a21a22a23?，B=?a11?3a31a12?3a32a13?3a33?，求可逆矩陣P，使得PA=B.?a???a31a32a33?31a32a33????112??100?????18．設(shè)矩陣A=?223?，B=?211?，矩陣X滿足XA=B，求X.?433???122?????19．求向量組?1=(1，-1，2，1)T,?2=(1，0，1，2)T,?3=(0，2，0，1)T,?4=(-1，0，-3，-1)T, ?5=(4，-1，5，7)T的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關(guān)組線性表出．

20．求線性方程組的通解．(要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)?200???21．已知矩陣A=?021?的一個(gè)特征值為1，求數(shù)a，并求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣?，?01a???使得Q-1AQ=?．

22．用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22-2x32+4x1x2+2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的可逆線性變換．

四、證明題(本題7分)23．設(shè)?1，?2，?3為齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明2?1+?2+?3，?1+2?2+?3，?1+?2+2?3也是該方程組的基礎(chǔ)解系．

第三篇：自考專題 線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個(gè)擊破

線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個(gè)擊破

第一章

行列式

（一）行列式的定義

行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù).1．二階行列式

由4個(gè)數(shù)得到下列式子：稱為一個(gè)二階行列式，其運(yùn)算規(guī)則為

2．三階行列式

由9個(gè)數(shù)得到下列式子：

稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對(duì)角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3．余子式及代數(shù)余子式

設(shè)有三階行列式

對(duì)任何一個(gè)元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個(gè)二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如，再記，稱為元素的代數(shù)余子式.例如，那么，三階行列式定義為

我們把它稱為按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成4．n階行列式

一階行列式

n階行列式

其中為元素的代數(shù)余子式.5．特殊行列式

上三角行列式

下三角行列式

對(duì)角行列式

（二）行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1

行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即

性質(zhì)2

用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質(zhì)3

互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號(hào).推論1

如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2

如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4

行列式可以按行（列）拆開.性質(zhì)5

把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）

n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即

或

前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2

n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即

或

（三）行列式的計(jì)算

行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法：

（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“0”元素，再按這一行或這一列展開：

例1　計(jì)算行列式

解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個(gè)元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為0，然后按第二列展開.例2

計(jì)算行列式

解：方法1　這個(gè)行列式的元素含有文字，在計(jì)算它的值時(shí)，切忌用文字作字母，因?yàn)槲淖挚赡苋?值.要注意觀察其特點(diǎn)，這個(gè)行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行：

方法2

觀察到這個(gè)行列式每一行元素中有多個(gè)b，我們采用“加邊法”來計(jì)算，即是構(gòu)造一個(gè)與

有相同值的五階行列式：

這樣得到一個(gè)“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化為零.例3

三階范德蒙德行列式

（四）克拉默法則

定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個(gè)方程的n元線性方程組為

如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：

其中是把D中第j列換成常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.把這個(gè)法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有

定理2

設(shè)有含n個(gè)方程的n元齊次線性方程組

如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：

換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個(gè)方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.第二章

矩陣

（一）矩陣的定義

1．矩陣的概念

由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)m行n列的數(shù)表

稱為一個(gè)m行n列矩陣或矩陣

當(dāng)時(shí)，稱為n階矩陣或n階方陣

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示

2．3個(gè)常用的特殊方陣：

①n階對(duì)角矩陣是指形如的矩陣

②n階單位方陣是指形如的矩陣

③n階三角矩陣是指形如的矩陣

3．矩陣與行列式的差異

矩陣僅是一個(gè)數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個(gè)數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，只有一階方陣是一個(gè)數(shù)，而且行列式記號(hào)“”與矩陣記號(hào)“”也不同，不能用錯(cuò).（二）矩陣的運(yùn)算

1．矩陣的同型與相等

設(shè)有矩陣，若，則說A與B是同型矩陣.若A與B同型,且對(duì)應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為

因而只有當(dāng)兩個(gè)矩陣從型號(hào)到元素全一樣的矩陣，才能說相等.2．矩陣的加、減法

設(shè)，是兩個(gè)同型矩陣則規(guī)定

注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運(yùn)算有相同的運(yùn)算律.3．?dāng)?shù)乘運(yùn)算

設(shè)，k為任一個(gè)數(shù)，則規(guī)定

故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算具有普通數(shù)的乘法所具有的運(yùn)算律.4．乘法運(yùn)算

設(shè)，則規(guī)定

其中

由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對(duì)應(yīng)相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：

①不滿足交換律，即

②在時(shí)，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時(shí)A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.5．方陣的乘冪與多項(xiàng)式方陣

設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定

特別

又若，則規(guī)定

稱為A的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè)n階方陣

6．矩陣的轉(zhuǎn)置

設(shè)A為一個(gè)矩陣，把A中行與列互換，得到一個(gè)矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律：，，由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣的定義

設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若A滿足，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對(duì)稱矩陣.7．方陣的行列式

矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對(duì)于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設(shè)為一個(gè)n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個(gè)n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為

方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則

①；

②

③

（三）方陣的逆矩陣

1．可逆矩陣的概念與性質(zhì)

設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若存在另一個(gè)n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個(gè)可逆矩陣，意指A是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則

①是可逆矩陣，且；

②AB是可逆矩陣，且；

③kA是可逆矩陣，且

④是可逆矩陣，且

⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即

設(shè)P為可逆矩陣，則

2．伴隨矩陣

設(shè)為一個(gè)n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點(diǎn)）

伴隨矩陣必滿足

（n為A的階數(shù)）

3．n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法

定理：n階方陣A可逆，且

推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且，例1

設(shè)

（1）求A的伴隨矩陣

（2）a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，A可逆？此時(shí)求

解：（1）對(duì)二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號(hào)”即

（2）由，故當(dāng)時(shí)，即，A為可逆矩陣

此時(shí)

（四）分塊矩陣

1．分塊矩陣的概念與運(yùn)算

對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來看待，相乘時(shí)A的各子塊分別左乘B的對(duì)應(yīng)的子塊.2．準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣

形如的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣也可逆，并且

（五）矩陣的初等變換與初等方陣

1．初等變換

對(duì)一個(gè)矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換，（1）交換A的某兩行（列）；

（2）用一個(gè)非零數(shù)k乘A的某一行（列）；

（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過程，用等號(hào)連接，而對(duì)矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.2．初等方陣

由單位方陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3．初等變換與初等方陣的關(guān)系

設(shè)A為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等列變換.4．矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形

若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價(jià)，記為

對(duì)任一個(gè)矩陣A，必與分塊矩陣等價(jià)，稱這個(gè)分塊矩陣為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.即對(duì)任一個(gè)矩陣A，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得

5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣

設(shè)A為任一個(gè)n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）

然后

注意：這里的初等變換必須是初等行變換.例2

求的逆矩陣

解：

則

例3

求解矩陣方程

解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得

也能用初等行變換法，不用求出，而直接求

則

（六）矩陣的秩

1．秩的定義

設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或

零矩陣的秩為0，因而，對(duì)n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2．

秩的求法

由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對(duì)任一個(gè)矩陣A，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).3．與滿秩矩陣等價(jià)的條件

n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使

A非奇異，即

A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為E

A可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積

齊次線性方程組只有零解

對(duì)任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解

A的行（列）向量組線性無關(guān)

A的行（列）向量組為的一個(gè)基

任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組的線性組合，且表示法唯一.A的特征值均不為零

為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對(duì)任一個(gè)線性方程組

可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對(duì)應(yīng).對(duì)于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章

向量空間

（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1．

n維向量的定義與向量的線性運(yùn)算

由n個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣

與矩陣線性運(yùn)算類似，有向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律.2．向量的線性組合設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱

為的一個(gè)線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個(gè)向量可以表示成則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3．矩陣的行、列向量組

設(shè)A為一個(gè)矩陣，若把A按列分塊，可得一個(gè)m維列向量組稱之為A的列向量組.若把A按行分塊，可得一個(gè)n維行向量組稱之為A的行向量組.4．線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù).例1　問能否表示成，的線性組合？

解：設(shè)線性方程組為

對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換：

則方程組有唯一解

所以可以唯一地表示成的線性組合，且

（二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

1．線性相關(guān)性概念

設(shè)是m個(gè)n維向量，如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱為相關(guān)系數(shù).否則，稱向量線性無關(guān).由定義可知，線性無關(guān)就是指向量等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.特別

單個(gè)向量線性相關(guān)；

單個(gè)向量線性無關(guān)

2．求相關(guān)系數(shù)的方法

設(shè)為m個(gè)n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m

例2

設(shè)向量組，試討論其線性相關(guān)性.解：考慮方程組

其系數(shù)矩陣

于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為

令，得一個(gè)非零解為

則

3．線性相關(guān)性的若干基本定理

定理1

n維向量組線性相關(guān)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.即線性無關(guān)任一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合.定理2

如果向量組線性無關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3

若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).定理4

無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān).（三）向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩

1．向量組等價(jià)的概念

若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).2．向量組的極大無關(guān)組

設(shè)T為一個(gè)向量組，若存在T的一個(gè)部分組S，它是線性無關(guān)的，且T中任一個(gè)向量都能由S線性表示，則稱部分向量組S為T的一個(gè)極大無關(guān)組.顯然，線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身.對(duì)于線性相關(guān)的向量組，一般地，它的極大無關(guān)組不是唯一的，但有以下性質(zhì)：

定理1

向量組T與它的任一個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)，因而T的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià).定理2

向量組T的任意兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同.3．向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系

把向量組T的任意一個(gè)極大無關(guān)組中的所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組T的秩.把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理：對(duì)任一個(gè)矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）

此定理說明，對(duì)于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個(gè)矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關(guān)組.例3

求出下列向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出：

解：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個(gè)矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣

易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，而且

（四）向量空間

1．向量空間及其子空間的定義

定義1

n維實(shí)列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實(shí)n維向量空間，記作

定義2

設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對(duì)于向量的線性運(yùn)算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2．

向量空間的基與維數(shù)

設(shè)V為一個(gè)向量空間，它首先是一個(gè)向量組，把該向量組的任意一個(gè)極大無關(guān)組稱為向量空間V的一個(gè)基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù).顯然，n維向量空間的維數(shù)為n，且中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都是的一個(gè)基.3．

向量在某個(gè)基下的坐標(biāo)

設(shè)是向量空間V的一個(gè)基，則V中任一個(gè)向量都可以用唯一地線性表出，由r個(gè)表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標(biāo).第四章

線性方程組

（一）線性方程組關(guān)于解的結(jié)論

定理1

設(shè)為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是

定理2

當(dāng)n元非齊次線性方程組有解時(shí)，即時(shí)，那么

（1）有唯一解；

（2）有無窮多解.定理3

n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是

推論1

設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解

推論2

設(shè)A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解

（二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間

首先對(duì)任一個(gè)線性方程組，我們把它的任一個(gè)解用一個(gè)列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因?yàn)閂中有零向量，即零解，而且容易證明V對(duì)向量的加法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數(shù)仍為解，于是V成為n維列向量空間的一個(gè)子空間，我們稱V為方程組的解空間

（三）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解

把n元齊次線性方程組的解空間的任一個(gè)基，稱為該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.當(dāng)n元齊次線性方程組有非零解時(shí)，即時(shí)，就一定存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含有線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為

求基礎(chǔ)解系與通解的方法是：

對(duì)方程組先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個(gè)基礎(chǔ)解系.例1

求的通解

解：對(duì)系數(shù)矩陣A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣：，有非零解，取為自由未知量，可得一般解為

寫成向量形式，令，為任意常數(shù)，則通解為

可見，為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.（四）非齊次線性方程組

1．非齊次線性方程組與它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系

設(shè)為一個(gè)n元非齊次線性方程組，為它的導(dǎo)出組，則它們的解之間有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1

如果是的解，則是的解

性質(zhì)2

如果是的解，是的解，則是的解

由這兩個(gè)性質(zhì)，可以得到的解的結(jié)構(gòu)定理：

定理

設(shè)A是矩陣，且，則方程組的通解為

其中為的任一個(gè)解（稱為特解）,為導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.2．求非齊次線性方程組的通解的方法

對(duì)非齊次線性方程組，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解.例2

當(dāng)參數(shù)a，b為何值時(shí)，線性方程組

有唯一解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時(shí)，求出通解.解：對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣：

當(dāng)時(shí)，有唯一解；

當(dāng)時(shí)，，無解；

當(dāng)時(shí)，有無窮多解.此時(shí)，方程組的一般解為

令為任意常數(shù)，故一般解為向量形式，得方程組通解為

第四篇：2010年7月自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)試卷及答案

全國2010年7月高等教育自學(xué)考試 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題 課程代碼：04184 說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.＊

一、單項(xiàng)選擇題

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)3階方陣A=（α1，α2，α3），其中α（為A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，則| A |=(C)ii=1,2,3）A.-12 C.6

B.-6

D.12 解析: αi（i=1,2,3）為A的列向量，3行1列

0 ?2 0 2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 32.計(jì)算行列式=（A)

A.-180 C.120

B.-120 D.180 解析: =3*-2*10*3=-180

3.若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=（C)1A.B.2 2C.4 解析:=2

3D.8 | A |=8*1/2=4

4.設(shè)α1，α2，α3，α4都是3維向量，則必有（B)n+1個(gè)n維向量線性相關(guān) A.α1，α2，α3，α4線性無關(guān) C.α1可由α2，α3，α4線性表示

B.α1，α2，α3，α4線性相關(guān) D.α1不可由α2，α3，α4線性表示

B.3

n-r(A)=解向量的個(gè)數(shù)=2,n=6 D.5 5.若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2，則r(A)=（C)A.2 C.4 6.設(shè)A、B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則（C)A與B合同? r(A)=r(B)?PTAP=B, P可逆 A.A與B相似 C.A與B等價(jià)

B.| A |=| B | D.A與B合同

7.設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為2,1,0則| A+2E |=（D)，| A |=所有特征值的積=0 A.0 C.3

B.2

A+2E的特征值為2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2 D.24 8.若A、B相似，則下列說法錯(cuò)誤的是（B)．．A.A與B等價(jià) C.| A |=| B |

B.A與B合同

D.A與B有相同特征值

A、B相似?A、B特征值相同?| A |=| B |? r(A)=r(B)；若A～B，B～C，則A～C（～代表等價(jià)）9.若向量α=（1，-2,1）與β=(2，3，t)正交，則t=（D)

A.-2 C.2

B.0 D.4

??T?0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=4

10.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則（B)，所有特征值都大于0，正定； A.A正定

B.A半正定

所有特征值都小于0，負(fù)定；

C.A負(fù)定

D.A半負(fù)定

所有特征值都大于等于0，半正定；同理半負(fù)定；其他情況不定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。?3 ?2???11.設(shè)A=?0 1?,B=?2 4????2 1 ?1??0 ?1 0?，則AB=（A??的每一行與B的每一列對(duì)應(yīng)相乘相加）

a12a?13?a22a?如a21表示第二2下標(biāo)依次為行列，3a32a?33??3*2?2*03*1?2*?13*?1??2*0??65?3??a11?????0*1?1*00*?1?1*0?=?0?10?

?a21=?0*2?1*0?2*2?4*02*1?4*?12*?1?4*0??4?2?2??a??31???行第一列的元素。

A為三行兩列的矩陣即3×2的矩陣，B為2×3的矩陣，則AB為3×3的矩陣，對(duì)應(yīng)相乘放在對(duì)應(yīng)位置

12.設(shè)A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A

-|= 33| A-1 |=27*

1=9 Ax1?x2?x3?113.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.擴(kuò)充為0?x2?0?0，再看答案

0?0?x3?014.設(shè)α=（-1，2，2），則與α反方向的單位向量是_____跟高中單位向量相同____________.15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W={x | Ax=0}的維數(shù)是______________.116.設(shè)A為3階方陣，特征值分別為-2，1，則| 5A-1 |=____同12題__________.217.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_________________.若矩陣A的行列式| A |?0，則A可逆，即A A-1=E，E為單位矩陣。Ax=0只有零解?| A |?0，故A可逆 若A可逆，則r(AB)= r(B)=3，同理若C可逆，則r(ABC)= r(B)? 2 ?1 0???2218.實(shí)對(duì)稱矩陣A=??1 0 1 ?所對(duì)應(yīng)的二次型f(x1, x2, x3)=2x1?x3?2x1x2?2x2x3

? 0 1 1????x12?實(shí)對(duì)稱矩陣A 對(duì)應(yīng)于?x1x2?x1x3?x1x22x2x2x3x1x3??x2x3?各項(xiàng)的系數(shù) 2?x3??1???1?????19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=?2?，α2=? 2?且r(A)=2，則Ax=b的通解是_______________.?3?? 3??????1???20.設(shè)α=?2?，則A=ααT的非零特征值是_______________.?3???

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 221.計(jì)算5階行列式D=

22.設(shè)矩陣X滿足方程

?2 0 0??1 0 0??1 ?4 3???????

?0 ?1 0?X?0 0 1?=?2 0 ?1? ?0 0 2??0 1 0??1 ?2 0???????求X.23.求非齊次線性方程組

?x1?x2?3x3?x4?1??3x1?x2?3x3?4x4?4的?x?5x?9x?8x?0234?1.24.求向量組α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.? 2 ?1 2???25.已知A=? 5 a 3?的一個(gè)特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所對(duì)應(yīng)的特征值，并寫出對(duì)應(yīng)于這個(gè)特征值??1 b ?2???的全部特征向量.??2 1 1 ?2???26.設(shè)A=? 1 ?2 1 a?，試確定a使r(A)=2.? 1 1 ?2 2???

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的線性無關(guān)解，證明α2-αl，α3-αl是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的線性無關(guān)解.

第五篇：2012年1月自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題及答案

說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||?||表示向量?的長度，?T表示向量?的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

a111．設(shè)行列式a21a31a12a22a32a133a11a23=2，則?a31a33a21?a313a12?a32a22?a323a13?a33=（）a23?a33A．-6 B．-3 C．3 D．6 2．設(shè)矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（）A．E+A-1 B．E-A

C．E+A D．E-A-1

3．設(shè)矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（）

??A?A．?可逆，且其逆為?-1?B???B??A?C．??可逆，且其逆為?-1B???AA-1?? ?B-1?? ?B．???A??不可逆 B??-1?B??A-1?A?D．??可逆，且其逆為?B???4．設(shè)?1，?2，…，?k是n維列向量，則?1，?2，…，?k線性無關(guān)的充分必要條件是（）

A．向量組?1，?2，…，?k中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)

B．存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量組?1，?2，…，?k中存在一個(gè)向量不能由其余向量線性表示 D．向量組?1，?2，…，?k中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示 5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,則???=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T D．（2，-6，-5，-1）T

6．實(shí)數(shù)向量空間V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4 7．設(shè)?是非齊次線性方程組Ax=b的解，?是其導(dǎo)出組Ax=0的解，則以下結(jié)論正確的是（）

A．?+?是Ax=0的解 B．?+?是Ax=b的解 C．?-?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解

118．設(shè)三階方陣A的特征值分別為，3，則A-1的特征值為（）

241A．2,4，3111B．,，24311C．，3

24D．2,4,3 19．設(shè)矩陣A=2?1，則與矩陣A相似的矩陣是（）

1?1A．?12301 B．102

?2111C． D．?21

10．以下關(guān)于正定矩陣敘述正確的是（）

A．正定矩陣的乘積一定是正定矩陣 B．正定矩陣的行列式一定小于零 C．正定矩陣的行列式一定大于零

D．正定矩陣的差一定是正定矩陣

二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無分。

11．設(shè)det(A)=-1，det(B)=2，且A，B為同階方陣，則det((AB)3)=__________．

12?23，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=__________． 12．設(shè)3階矩陣A=4t3?1113．設(shè)方陣A滿足Ak=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A-1=__________． 14．實(shí)向量空間Rn的維數(shù)是__________． 15．設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎(chǔ)解系中含解向量的個(gè)數(shù)為__________． 16．非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________．

17．設(shè)?是齊次線性方程組Ax=0的解，而?是非齊次線性方程組Ax=b的解，則A(3??2?)=__________．

18．設(shè)方陣A有一個(gè)特征值為8，則det（-8E+A）=__________．

19．設(shè)P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列向量，則||Px||=__________．

2220．二次型f(x1,x2,x3)?x12?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正慣性指數(shù)是__________．

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

11?1?1?1?421．計(jì)算行列式24?612421． 12222．設(shè)矩陣A=35，且矩陣B滿足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩陣B．

23．設(shè)向量組?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量通過極大線性無關(guān)組表示出來．

?14324．設(shè)三階矩陣A=?253，求矩陣A的特征值和特征向量．

2?4?225．求下列齊次線性方程組的通解．

?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?23026．求矩陣A=031?14?206?11的秩．

001210

四、證明題（本大題共1小題，6分）

a1127．設(shè)三階矩陣A=a21a31a12a22a32a13a23的行列式不等于0，證明： a33???a11??a12??a??a??a13??1??21?,?2??22?,?3??a23?線性無關(guān)．

??a31????a32????a33??