第一篇：第四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題與解答(非數(shù)學(xué)類)

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（高等數(shù)學(xué)）全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（高等數(shù)學(xué)）全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（高等數(shù)學(xué)）全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（高等數(shù)學(xué)）

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（高等數(shù)學(xué)）

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第二篇：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大綱(非數(shù)學(xué)專業(yè))

（二）中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽內(nèi)容為大學(xué)本科理工科專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容，具體內(nèi)容如下：

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

1． 函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立.2． 函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3． 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù).4． 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限.5． 無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較.6． 極限的四則運(yùn)算、極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則、兩個重要極限.7． 函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.8． 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.9． 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線.2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算、一階微分形式的不變性.3.復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.4.高階導(dǎo)數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).5.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必達(dá)(L’Hospital)法則與求未定式極限.7.函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.8.函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用.9.弧微分、曲率、曲率半徑.三、一元函數(shù)積分學(xué)

1.原函數(shù)和不定積分的概念.2.不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式.3.定積分的概念和基本性質(zhì)、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.5.有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分.6.廣義積分.7.定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值．

四.常微分方程

1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.2.變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3.可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程：.4.線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.5.二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程.6.簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積

7.歐拉(Euler)方程.8.微分方程的簡單應(yīng)用

五、向量代數(shù)和空間解析幾何

1.向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.2.兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.3.向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.4.曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.5.平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離.6.球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.7.空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.六、多元函數(shù)微分學(xué)

1.多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.2.二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).3.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.4.多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法.5.二階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度.6.空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.7.二元函數(shù)的二階泰勒公式.8.多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用.七、多元函數(shù)積分學(xué)

1.二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)、二重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))、三重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)).2.兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算、兩類曲線積分的關(guān)系.3.格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件、已知二元函數(shù)全微分求原函數(shù).4.兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算、兩類曲面積分的關(guān)系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計(jì)算.6.重積分、曲線積分和曲面積分的應(yīng)用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等)

八、無窮級數(shù)

1.常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和、級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.2.幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法、交錯級數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.3.任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.4.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.5.冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和函數(shù).6.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法.7.初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.8.函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù)、狄利克雷(Dirichlei)定理、函數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級數(shù)、函數(shù)在[0,l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

第三篇：初二全國數(shù)學(xué)競賽試題

備考期間，考生可以適當(dāng)放松，同時也要靜下心來做好接下來的復(fù)習(xí)。下面小編為你整理了初二全國數(shù)學(xué)競賽試題，希望能幫到你！

初二全國數(shù)學(xué)競賽試題

1初二全國數(shù)學(xué)競賽試題

2初二全國數(shù)學(xué)競賽試題

3數(shù)學(xué)競賽對于開發(fā)學(xué)生智力，開拓視野，促進(jìn)教學(xué)改革，提高教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才都有著積極的作用。目前我國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽日趨規(guī)范化和正規(guī)化，為了使全國數(shù)學(xué)競賽活動健康、持久地開展，應(yīng)廣大中學(xué)師生和各級數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定《初中數(shù)學(xué)競賽大綱（修訂稿）》以適應(yīng)當(dāng)前形勢的需要。

本大綱是在國家教委制定的九年義務(wù)教育制“初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”精神的基礎(chǔ)上制定的。《教學(xué)大綱》在教學(xué)目的一欄中指出：“要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，激勵學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性?！本唧w作法是：“對學(xué)有余力的學(xué)生，要通過課外活動或開設(shè)選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”，“要重視能力的培養(yǎng)……，著重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考和自學(xué)的能力”。

《教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競賽的要求。除教學(xué)大綱所列內(nèi)容外，本大綱補(bǔ)充列出以下內(nèi)容。這些課外講授的內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，處理好普及與提高的關(guān)系，這樣才能加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高。

第四篇：2014全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

摘要

隨著月球探測任務(wù)的發(fā)展,未來月球探測考察目標(biāo)將主要是 復(fù)雜地形特性的高科學(xué)價值區(qū)域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區(qū)域內(nèi)完成高精度軟著陸，這就要求導(dǎo)航和控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的自主性和實(shí)時性。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行較深入研究，主要內(nèi)容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。該方法根據(jù)著陸區(qū)內(nèi)障礙成像的特點(diǎn)，通過匹配相應(yīng)的陰影區(qū)與光照區(qū)完成對巖石、彈坑的檢測，利用圖像灰度方差對粗糙區(qū)域進(jìn)行提?。涸跈z測出故障信息的基礎(chǔ)上，選取安全著陸點(diǎn)以保證軟著陸任務(wù)的成功。

其次，給出一種基于矢量觀測信息的自主光學(xué)導(dǎo)航方法。該方法利用光學(xué)相機(jī)和激光測距儀測量值構(gòu)建著陸點(diǎn)相對著陸器的矢量信息，結(jié)合著陸器的姿態(tài)信息確定著陸器的位置。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴(kuò)展Kalman濾波理論設(shè)計(jì)了導(dǎo)航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數(shù)障礙規(guī)避制導(dǎo)方法。該方法通過對狀態(tài)函數(shù)、危險(xiǎn)地形勢函數(shù)的設(shè)計(jì)，以滿足平移過程中減低障礙威脅與精確定點(diǎn)著陸器，設(shè)計(jì)PWPF（調(diào)頻調(diào)寬）調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)定推理等效變推力控制效果。

最后，針對采用變推力主發(fā)動機(jī)的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標(biāo)稱控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的方式，規(guī)劃標(biāo)稱軌跡以保證著陸器到達(dá)著陸點(diǎn)時其下降速度、加速度亦為零，設(shè)計(jì)閉環(huán)控制器產(chǎn)生附加控制量消除初始偏差、著陸器質(zhì)量變化的干擾，以保證著陸器沿標(biāo)稱軌跡到達(dá)著陸點(diǎn)。

本文分別對所提出的最終著陸段導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真以驗(yàn)證個方法的可行性。仿真結(jié)果表明，本文多給出導(dǎo)航方法能夠達(dá)到較高的性能指標(biāo)，滿足在危險(xiǎn)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)高精度軟著陸的需要。

關(guān)鍵詞： 月球軟著陸；自主導(dǎo)航與控制；障礙檢測；規(guī)避制導(dǎo)；適量測量

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。根據(jù)計(jì)劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實(shí)施軟著陸。嫦娥三號如何實(shí)現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點(diǎn)。嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機(jī)是目前中國航天器上最大推力的發(fā)動機(jī)，能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，進(jìn)而對嫦娥三號實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)，在給定主減速發(fā)動機(jī)的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號將在近月點(diǎn)15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。在距月面100米處時，嫦娥三號要進(jìn)行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點(diǎn)。之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續(xù)慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關(guān)掉反沖發(fā)動機(jī)，探測器自由下落。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個階段，分別為著陸準(zhǔn)備軌道、主減速段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對于你們設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

對于問題一：

嫦娥三號從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過程中不考慮月球表面太陽風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時間比較短也不考慮太陽、地球?qū)︽隙鹑柕臄z動影響，嫦娥三號水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時嫦娥三號已經(jīng)基本位于著陸點(diǎn)上方，所以此時假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因?yàn)榻德錅p速時間比較短只有垂直于月面的方向運(yùn)動才能實(shí)現(xiàn)，所以在確定著陸點(diǎn)位置和著陸軌跡時應(yīng)當(dāng)考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動力學(xué)模型。

三、符號說明

四、模型假設(shè)

對于問題一：

忽略月球的自傳和太陽、地球?qū)︽隙鹑栃l(wèi)星的引力攝動 月球近似為一個質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體 將嫦娥三號是為一個質(zhì)點(diǎn)

主減速忽略動作調(diào)整所產(chǎn)生的燃料消耗段不考慮太陽風(fēng)的影響

五、模型建立與求解

5.1問題一的建模與求解 解法一： 假設(shè)嫦娥三號在t時刻在遠(yuǎn)月點(diǎn)開始緩慢下降，在n時刻到達(dá)近月點(diǎn)，整個過程遵循開普勒第三定律，即

v0?0

在t時刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠(yuǎn)月點(diǎn)速度

v2：近月點(diǎn)速度

R0：遠(yuǎn)月點(diǎn)月心距

R1：近月點(diǎn)月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點(diǎn)速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線方向）v2?，比當(dāng)?shù)氐沫h(huán)境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線方向）

vri?0

解得主減速段動力學(xué)模型的建立：

根據(jù)題意，在橫向飛行的水平距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑的平均值，所以可以將整個減速段過程簡化為水平和豎直方向運(yùn)動方程，根據(jù)牛頓第二定律、速度計(jì)算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運(yùn)用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時間

S:嫦娥三號主減速段水平位移

Q:嫦娥三號發(fā)動機(jī)燃料秒消耗率

根據(jù)已知資料得到嫦娥三號著陸過程中緯度改變，經(jīng)度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個分度,又因?yàn)樵虑驑O區(qū)半徑為1735.843km，所以每一個緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點(diǎn)位置坐標(biāo)為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)位置坐標(biāo)為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進(jìn)行公轉(zhuǎn),太陽位于橢圓的一個焦點(diǎn)上,行星的運(yùn)動遵循開普勒三定律,筆者發(fā)現(xiàn),在各類物理競賽中,常會涉及到天體運(yùn)動速度的計(jì)算,本文擬從能量和行星運(yùn)動的軌跡方程兩個不同的角度來探索行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度。

該解法的指導(dǎo)思想是對橢圓的軌跡方程求導(dǎo),并結(jié)合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的曲率半徑表達(dá)式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將?6?式對x求導(dǎo)有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對x求導(dǎo)得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯(lián)立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據(jù)曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯(lián)立并將A點(diǎn)坐標(biāo)A(0，a)代入可得A點(diǎn)的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據(jù)橢圓的對稱性,遠(yuǎn)日點(diǎn)B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點(diǎn)行星運(yùn)行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯(lián)立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問題二的建模與求解 模型一：動力學(xué)模型

典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時間給著陸器一個有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(diǎn)(在著落位置附近)為15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉(zhuǎn)移段。當(dāng)著陸器運(yùn)行到近月點(diǎn)時,制動發(fā)動機(jī)開始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動能和勢能,使著陸器接觸地面時,相對月面速度為零,即實(shí)現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱為動力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對動力下降段這一階段。由于月球表面附近沒有大氣,所以在飛行器的動力學(xué)模型中沒有大氣阻力項(xiàng)。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動等影響因素均可忽略不計(jì),所以這一過程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向?yàn)橛稍滦闹赶蛑懫鞯某跏嘉恢?y軸方向?yàn)槌跏嘉恢弥懫魉俣确较颉?/p>

圖 1 月球軟著陸極坐標(biāo)系

其動力學(xué)方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數(shù),F著陸器制動發(fā)動機(jī)推力,m為著陸器質(zhì)量,?為制動發(fā)動機(jī)推力方向角,其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動發(fā)動機(jī)比沖。根據(jù)動力下降段的起點(diǎn)位置可以確定動力學(xué)方程初始條件,由于起點(diǎn)處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn),故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點(diǎn)半徑和遠(yuǎn)地點(diǎn)半徑。

終端條件為實(shí)現(xiàn)軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對終端極角?f及終端時間tf無約束。

優(yōu)化變量為制動發(fā)動機(jī)推力方向角?(t)。

優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設(shè)計(jì)主減速段制導(dǎo)控制律 2動力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問題描述 2.1 燃料最優(yōu)精確著陸問題

著陸器運(yùn)動方程：考慮采用變推力發(fā)動機(jī)情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點(diǎn)的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認(rèn)為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)?。指標(biāo)函數(shù)：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發(fā)動機(jī)一旦啟動不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進(jìn)一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐體內(nèi)

2.2 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運(yùn)動方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標(biāo)函數(shù)：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻(xiàn)[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化

首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應(yīng) n +1 個點(diǎn)），每段步長為?t，離散化后的著陸器運(yùn)動方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個控制時域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達(dá)方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問題如下： 指標(biāo)函數(shù)：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優(yōu)化問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 指標(biāo)函數(shù)

min(?Tx)滿足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優(yōu)化向量，??R，線性約束參數(shù)D?R,f?R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應(yīng)約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問題： 指標(biāo)函數(shù)：min(vpp)滿足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計(jì)算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。其中探測器各參數(shù)分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優(yōu)化問題可以通過大量免費(fèi)的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質(zhì)量變化曲線。

由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗(yàn)證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大-最小-最大”的最優(yōu)控制形式，不過為了保持發(fā)動機(jī)始終處于點(diǎn)火狀態(tài)，在中間段對應(yīng)最小推力約束，這與文獻(xiàn)中的分析結(jié)論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進(jìn)行復(fù)核計(jì)算，也驗(yàn)證了此計(jì)算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)計(jì)算結(jié)果

需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對著陸器的實(shí)時在線計(jì)算性能提出了較高的要求，經(jīng)測試，無論使用何種優(yōu)化工具，計(jì)算給定飛行任務(wù)時間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長，這在實(shí)際任務(wù)中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計(jì)算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點(diǎn)狀態(tài)存儲到著陸器計(jì)算機(jī)中，通過在線查表或者在利用對計(jì)算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。

因此，為了研究探測器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對應(yīng)的火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇

1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內(nèi)。

2)取決于探測器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應(yīng)于期望著陸點(diǎn)位置水平距離較大情況。3)當(dāng)探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關(guān)于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進(jìn)入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。

上述結(jié)論對上注探測器關(guān)鍵點(diǎn)的選取有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對路徑點(diǎn)合并、基于最優(yōu)軌線簇的對稱性對上注軌線進(jìn)行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為路徑點(diǎn)等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計(jì)算需求，進(jìn)而有效提升任務(wù)的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程

對于最終著陸點(diǎn)，假設(shè)探測器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測器質(zhì)心動力學(xué)方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測器質(zhì)量；k>0為制動發(fā)動機(jī)比沖；u表示制動發(fā)動機(jī)的秒耗量

可通過一定的機(jī)構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發(fā)動機(jī)的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動推進(jìn)系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。

重力轉(zhuǎn)彎過程中，探測器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達(dá)高度表、多普勒雷達(dá)及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達(dá)月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對于最終著陸段，可假設(shè)

為一小角度。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡為

要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)軟著陸，就是使

著陸時間

對于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標(biāo)可表示為

對于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價于著陸時間最優(yōu)問題，性能指標(biāo)為

在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序?qū)⑻綔y器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標(biāo)（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序?yàn)檐浿懭己淖顑?yōu)或時間最優(yōu)制導(dǎo)律。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對u的偏導(dǎo)數(shù)為

使哈密頓函數(shù)（5）式達(dá)到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。

如果存在一個有限區(qū)間

則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。此時如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。

最優(yōu)制導(dǎo)問題的性質(zhì)：1）對于自治系統(tǒng)（2）的時間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足

將其對時間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對時間求導(dǎo)，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析

對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問題，最優(yōu)制導(dǎo)律具有兩個很好的性質(zhì)。

定理一。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時間最優(yōu)制導(dǎo)問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得

。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對時間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡得性質(zhì)2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式

及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有

根據(jù)

是時間t的斜率非零的線性函數(shù)，m和情形2.1）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。這與反證假設(shè)矛盾。

。下面再分三種情況進(jìn)行分析。

又因?yàn)?/p>

不與此時由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。2）若盾。3），與反證假設(shè)矛又

因

為

因此有成立，這與

此時（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開關(guān)（Bang-Bang）控制，只須控制發(fā)動機(jī)開關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。

定理2.對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程，其開關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進(jìn)行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個時間點(diǎn)成立即可。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴(yán)格單調(diào)，因而在上至多有一個零點(diǎn)，即至多進(jìn)行一次切換；若，則上為常數(shù)。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關(guān)制導(dǎo)律

不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點(diǎn)。

對于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達(dá)式。為實(shí)現(xiàn)實(shí)時制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。

根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關(guān)；3）先開有關(guān)；4）先關(guān)后開。對于方式1）軟著陸起始點(diǎn)即是開機(jī)點(diǎn)；方式2），3）不能實(shí)現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發(fā)動機(jī)軟著陸到月面。設(shè)開機(jī)時刻為到發(fā)動機(jī)工作時間為

式，在區(qū)間

內(nèi)積分，并考慮

將（11）式中的對數(shù)按泰勒展開，忽略

并令

消掉T得到切換函數(shù)為

由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發(fā)動機(jī)推動的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達(dá)月面時實(shí)現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時實(shí)現(xiàn)軟著陸。另一種方法是考慮制動過程由一個主發(fā)動機(jī)和一組小推力發(fā)動機(jī)共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動機(jī)的數(shù)量，來實(shí)現(xiàn)變推力降落。具體地，令切換函數(shù)為

式中各符號的含義如圖2所示

關(guān)機(jī)點(diǎn)可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實(shí)現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質(zhì)量。

圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進(jìn)方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對比圖。由此圖中可看出，改進(jìn)方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測器的初始質(zhì)量mo=350kg，發(fā)動機(jī)著陸過程多消耗燃料2.2kg。

時，改進(jìn)方法比最優(yōu)

（a）

（b）

問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數(shù)關(guān)系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級數(shù)展開對其進(jìn)行線性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項(xiàng)。從而得到線性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機(jī)變量，則線性化方程的函數(shù)?y的協(xié)方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)?Y的協(xié)方差矩陣。

協(xié)方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協(xié)方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。若給定各種源誤差，如發(fā)動機(jī)安裝誤差、敏感器測量誤差或發(fā)動機(jī)推力和點(diǎn)火時間等誤差時，便可以分析其對目標(biāo)軌道誤差的影響以及對控制系統(tǒng)精度的影響，進(jìn)一步對各系統(tǒng)及元部件提出適當(dāng)?shù)木纫?。?jì)算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程

考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對于軌道參數(shù)的標(biāo)稱值是小量，因此可以將軌道運(yùn)動方程進(jìn)行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時，對軌道運(yùn)動產(chǎn)生攝動影響的各項(xiàng)，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數(shù)。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫成狀態(tài)方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變?yōu)?/p>

??F?X(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達(dá)式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測器在地心慣性坐標(biāo)系里的軌道位置坐標(biāo)。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截?cái)?，即?/p>

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計(jì)算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當(dāng)于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時變方程，因此每一步迭代都需要重新計(jì)算 P 陣，計(jì)算 P 陣需要利用標(biāo)稱軌道參數(shù)數(shù)據(jù)。

進(jìn)一步根據(jù)式（7），得到協(xié)方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協(xié)方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導(dǎo)航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標(biāo)系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標(biāo)系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運(yùn)載火箭的發(fā)射入軌精度決定，若探測器在飛行途中進(jìn)行軌道修正，則經(jīng)過軌道修正以后的軌道位置誤差將由導(dǎo)航誤差決定，速度誤差將由姿態(tài)誤差和制導(dǎo)誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協(xié)方差分析的計(jì)算初始條件，表 1 給出了在不進(jìn)行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標(biāo)系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對軌道終點(diǎn)的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測器從近地軌道入軌點(diǎn)開始至進(jìn)入月球軌道為止軌道位置的相應(yīng)的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對軌道終點(diǎn)誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時間歷程（3σ）基于敏感系數(shù)矩陣的制導(dǎo)誤差分析

在月球軟著陸主制動段，影響制導(dǎo)精度的誤差源主要有偏離標(biāo)準(zhǔn)飛行軌跡的初始條件誤差和導(dǎo)航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動段以前的任務(wù)決定，傳感器誤差則由導(dǎo)航系統(tǒng)和傳感器本身決定。此外，影響制導(dǎo)精度的因素還包括月球自轉(zhuǎn)、月球不規(guī)則攝動等誤差，對它們的研究可單獨(dú)進(jìn)行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態(tài)誤差模型

記著陸器的實(shí)際初始狀態(tài)為Xi，標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)為Xn,則定義初始狀態(tài)偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對于主制動段這一特定的飛行過程，這些偏差都是確定的；而針對整個月球探測任務(wù)，這些偏差就變得具有隨機(jī)性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨(dú)立，其相關(guān)性取決于前一階段任務(wù)的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對制導(dǎo)律的影響，所以這里假設(shè)需要測量的量均可由導(dǎo)航系統(tǒng)直接測得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可以看出，需要由導(dǎo)航與控制傳感器測量的量主要為著陸器相對于著陸場坐標(biāo)系的位置、速度和加速度。定義待測量量Q為

?Q??X其估計(jì)值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個測量量的估計(jì)誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個元素qj 來表示。由參考文獻(xiàn)[5]可知，第 j個觀測量的總估計(jì)誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對主制動這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個觀測量的測量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個觀測量的刻度因素誤差系數(shù)，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個觀測量的隨機(jī)誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個觀測量的刻度因素隨機(jī)誤差系數(shù)，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導(dǎo)誤差分析

由于采用閉環(huán)制導(dǎo)，制導(dǎo)控制系統(tǒng)對隨機(jī)誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對初始偏差和類似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進(jìn)行仿真研究，分析它們對制導(dǎo)精度的影響。2.2.1 誤差分析系統(tǒng)建立

誤差分析系統(tǒng)框圖如圖 1 所示，下面將對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中所示初始狀態(tài)偏差實(shí)際上是加在相應(yīng)積分器中。

由前面的分析可知，觀測量的實(shí)際輸出值受到初始狀態(tài)偏差、傳感器測量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統(tǒng)模擬程序的實(shí)際輸入應(yīng)包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀測量的實(shí)際輸出值，X 為標(biāo)準(zhǔn)值，xi 為初始狀態(tài)偏差(只在初始時刻存在)，xbc 為傳感器測量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數(shù)。由圖 1 可以看出，為了更準(zhǔn)確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動態(tài)性能，其傳遞函數(shù)設(shè)為一階慣性環(huán)節(jié)1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時間常數(shù)，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖可以看出，其輸入量主要包括：標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)向量、初始狀態(tài)偏差、傳感器測量誤差、傳感器刻度因素誤差系數(shù)、傳感器時間常數(shù)、期望終端狀態(tài)；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態(tài)向量。2.2.2 誤差敏感系數(shù)矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據(jù)圖 1 生成一個模擬整個閉環(huán)制導(dǎo)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真程序，然后運(yùn)行該程序，對比程序輸出即可得到誤差敏感系數(shù)矩陣。具體運(yùn)行過程如下：

第一步：將傳感器誤差設(shè)置為零，初始狀態(tài)設(shè)置為標(biāo)準(zhǔn)值，運(yùn)行模擬程序。這一步稱為標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行。第二步： 將其中一個傳感器誤差設(shè)置為非零輸入或者設(shè)置一個非標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)，然后進(jìn)行一系列運(yùn)行。

第三步： 將第二步運(yùn)行的系統(tǒng)輸出和標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行的系統(tǒng)輸出進(jìn)行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標(biāo)準(zhǔn)初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態(tài)分別為X0 和X1，則 X 通道對標(biāo)準(zhǔn)初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來反映。

通過這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動段終端總誤差向量pf和兩個傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態(tài)偏差向量pi之間關(guān)系的誤差敏感系數(shù)矩陣。由參考文獻(xiàn)[6]可知，其相互關(guān)系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數(shù)矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設(shè)條件是動力學(xué)的線性化必須在標(biāo)準(zhǔn)軌跡區(qū)域內(nèi)。驗(yàn)證該假設(shè)條件的方法有兩種： 擴(kuò)大輸入誤差仿真法和復(fù)合仿真法，這里略去其驗(yàn)證過程。2.2.3 誤差分析

假設(shè)導(dǎo)航系統(tǒng)采用常規(guī)慣性測量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數(shù)量級，速度在10數(shù)量級，加速度為 10g 數(shù)量級。1-52?~~

運(yùn)用上述方法得到的敏感系數(shù)矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數(shù)值仿真的起始點(diǎn)選為(1，0，-1)，靠近平衡點(diǎn)(1.5，0，-1.05)，仿真實(shí)驗(yàn)中混沌系統(tǒng)的基頻w0=2.1329，基周期為為T0?2??0?2.9443S。由前面的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)知要使 Chua’s混沌系統(tǒng)保持其類隨機(jī)性，仿真步長選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來表達(dá)即為?129940T015T0? ,15T0?內(nèi)，綜觀三個連續(xù)混沌系統(tǒng)仿真步長的理論計(jì)算，我們可以統(tǒng)一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運(yùn)算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類隨機(jī)性不發(fā)生變化，這個選擇范圍也與通常連續(xù)混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真步長的經(jīng)驗(yàn)取值相吻合六、模型結(jié)果及分析

七、結(jié)果分析

八、模型評價與改進(jìn)方向

九、參考文獻(xiàn)

第五篇：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

1、數(shù)模競賽的起源與歷史

數(shù)模競賽是由美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會在1985年發(fā)起的一項(xiàng)大學(xué)生競賽活動，目的在于激勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題的綜合能力，鼓勵廣大學(xué)生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養(yǎng)創(chuàng)精神及合作意識，推動大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革。我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與數(shù)學(xué)學(xué)會主辦、面向全國高等院校的、每年一屆的通訊競賽。其宗旨是：創(chuàng)新意 識、團(tuán)隊(duì)精神、重在參與、公平競爭。1992載在中國創(chuàng)辦，自從創(chuàng)辦以來，得到了教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會的得力支持和關(guān)心，呈現(xiàn)出迅速的發(fā)展發(fā)展勢頭，就2003年來說，報(bào)名階段須然受到“非典”影響，但是全國30個?。ㄊ?、自治區(qū)）及香港的637所院校就有5406隊(duì)參賽，在職業(yè)技術(shù)學(xué)院增加更快，參賽高校由2002年的1067所上升到了2003年的1410所?？梢哉f：數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為全國高校規(guī)模最大課外科技活動。

2、什么是數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modelling）是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是“對現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象通過心智活動構(gòu)造出能抓住其重要且有

用的特征的表示，常常是形象化的或符號的表示?！睆目茖W(xué)，工程，經(jīng)濟(jì)，管理等角度看數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。顧名思義，modelling一詞在英文中有“塑造藝術(shù)”的意思，從而可以理解從不同的側(cè)面，角度去考察問題就會有不盡的數(shù)學(xué)模型，從而數(shù)學(xué)建模 的創(chuàng)造又帶有一定的藝術(shù)的特點(diǎn)。而數(shù)學(xué)建模最重要的特點(diǎn)是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，多次修改模型漸趨完善的過程。

3、競賽的內(nèi)容：

競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡化加工的實(shí)際問題，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識，只需要學(xué)過普通高校的數(shù)學(xué)課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型假設(shè)、建立和求解、計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。

4、競賽的步驟

建模是一種十分復(fù)雜的創(chuàng)造性勞動，現(xiàn)實(shí)世界中的事物形形色色，五花八門，不可能用一些條條框 框規(guī)定出各種模型如何具體建立，這里只是大致歸納一下建模的一般步驟和原則：

1）模型準(zhǔn)備：首先要了解問題的實(shí)際背景，明確題目的要求，收集各種必要的信息．

2）模型假設(shè)：為了利用數(shù)學(xué)方法，通常要對問題做必要的、合理的假設(shè)，使問題的主要特征凸現(xiàn)出來，忽略問題的次要方面。

3）模型構(gòu)成：根據(jù)所做的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系，構(gòu)造各種量之間的關(guān)系,把它問題化

4）模型求解：利用已知的數(shù)學(xué)方法來求解上一步所得到的數(shù)學(xué)問題，此時往往還要作出進(jìn)一步的簡化或假設(shè)。注意要盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具。

5）模型分析：對所得到的解答進(jìn)行分析，特別要注意當(dāng)數(shù)據(jù)變化時所得結(jié)果是否穩(wěn)定。

6）模型檢驗(yàn)：分析所得結(jié)果的實(shí)際意義，與實(shí)際情況進(jìn)行比較，看是否符合實(shí)際，如果不夠理想，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，或重新建模，不斷完善。

7）模型應(yīng)用：所建立的模型必須在實(shí)際應(yīng)用中才能產(chǎn)生效益，在應(yīng)用中不斷改進(jìn)和完善。

5、模型的分類

按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類： 生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型

按是否考慮隨機(jī)因素分類 ：確定性模型、隨機(jī)性模型按是否考慮模型的變化分類 ：靜態(tài)模型、動態(tài)模型按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法 ：離散模型、連續(xù)模型

按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類 ：幾何模型、微分方程模型、圖

論模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型 按人們對事物發(fā)展過程的了解程度分類 ：

白箱模型： 指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題。

灰箱模型： 指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。

黑箱模型：

指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如生命科學(xué)、社會科學(xué)等方面的問題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

6、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用

今天，在國民經(jīng)濟(jì)和社會活動的以下諸多方面，數(shù)學(xué)建模都有著非常具體的應(yīng)用。

1分析與設(shè)計(jì)： 例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速空氣流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新的飛機(jī)翼型。預(yù)報(bào)與決策： 生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報(bào)、氣象預(yù)報(bào)、人口預(yù)報(bào)、經(jīng)濟(jì)增長預(yù)報(bào)等等，都要有預(yù)報(bào)模型。使經(jīng)濟(jì)效益最大的價格策略、使費(fèi)用最少的設(shè)備維修方案，是決策模型的例子。3 控制與優(yōu)化： 電力、化工生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制、零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)

學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。規(guī)劃與管理 生產(chǎn)計(jì)劃、資源配置、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度，以及排隊(duì)策略、物資管理等，都可以用運(yùn)籌學(xué)模型解決 報(bào)名時間：從大賽的通知文稿發(fā)出后，就可以報(bào)名了，報(bào)名截止時間一般在開始比賽的前7到10天。

競賽時間：每年的9月的第三個星期五上午8時至下一個星期一上午8時。

報(bào)名方式：如果有分賽區(qū)（每個賽區(qū)應(yīng)至少有6所院校的20個隊(duì)參加），就聯(lián)系分賽區(qū)報(bào)名，沒有分賽區(qū)，則直接向主委會報(bào)名。

大學(xué)生以隊(duì)為單位參賽，每隊(duì)3人（須屬于同一所學(xué)校），專業(yè)不限。競賽分本科、?？苾山M進(jìn)行，本科生參加本科組競賽，?？粕鷧⒓訉？平M競賽（也可參加本科組競賽），研究生不得參加。每隊(duì)可設(shè)一名指導(dǎo)教師（或教師組）。