第一篇：2004-2005線性代數(shù)試題A卷解答
04-05學年 四．解答下列各題（本大題滿分18分）1．
解100A?220?10,345?A11A*??A12???A13A21A22A23A31??1000?A32????1050?,???A33??42????2??0?0?.?1?5???A?1?0?1??111??A*??2A?12??55??
2．解?4??0A2??0??0?000??400??4E,?040?004??A?1?A.4B?A?1?E?A?A2??A?1?A?3E??1?31?3?1?E?3A?E?A??443??3?
333??133?.?313?331?? 五．（本題滿分12分）
解因為?1?2B???4??111??1?014????36??0??2?4?4??1??0?11?1?1?1??1?3?1?3?3??2??,000?0??000?0??022同解方程組為所以通解為
??x1??2x3?2x4?3,?x2?3x3?3x4?2,??2???2???3???k3?????k3?x1?2?????2???(k1,k2?R).?1??0??0????1???0??0??
六．（本題滿分12分）
解(1)?I?A???1?2?4?(??5)(??1)?0,??3?1?5,?2??1.對于?1?5,解(5I?A)x?0.?4?4??1?1?(5I?A)?????00?.22??????1?(1,1)T,所以A的屬于?1?5的全部特征向量為C1?1(C1?0).對于?2??1,解(?I?A)?0.??2?4??12?(?I?A)????.????2?4??00??2?(?2,1)T,所以A的屬于?2??1的全部特征向量為C2?2(C2?0).(2)因?1,?2分別屬于5和?1的特征向量,故線性無關.于是,令?1?2?P?(?1,?2)???,11???50?P?1AP??.??0?1?則P可逆,且
七．解答下列各題（本大題滿分12分）1．
5??115??115??11???解?133??02?2???01?1??????0?1t??0?1t??00t?1???????當t?1時,向量組線性無關;當t?1時,向量組線性無關.2．
解因?1,?2,?3,?4線性相關,故存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,k3,k4,使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0.顯然,k1?0,否則k2,k3,k4不全為零,使k2?2?k3?3?k4?4?0,得?2,?3,?4線性相關,與已知矛盾.同理,k2?0,k3?0,k4?0.
第二篇：線性代數(shù)題庫解答
知識能力層次
一、填空（每題2分）
１．設方程組有非零解，則
。
2．線性方程組有非零解，則 。
3．方程組有無窮多解，則
。
4．非齊次線性方程組（為矩陣）有惟一解的的充分必要條件是
____________。
5．設是階方陣,是齊次線性方程組的兩個不同的解向量,
則
。
6．設為三階方陣，秩，是線性方程組的解，已知
，則線性方程組的通解為
。
7．三元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，已知該方程組的兩個解分別
為
，，則的全部解可表為
。
8．設，欲使線性齊次方程組的基礎解系有兩個解向量，
則=
。
9．當
時，線性方程組無解。
10．方程組=的基礎解系所含向量個數(shù)是___
_1______。
11．若5元線性方程組的基礎解系中含有2個線性無關的解向量，
則
3
。
12．設線性方程組有解，則應滿足條件。
13．設齊次線性方程組為，則它的基礎解系中所包含的向量個數(shù)為
n-1 。
14．設是非齊次線性方程組的解向量，則是方程組 的
解向量．
15．設為非齊次線性方程組的一組解，如果也是該方程組的一個解，則 １ 。
16．設矩陣，則齊次線性方程組的一個基礎解系為。
17．若方程組有惟一解，則所滿足的條件是。
18．設n元齊次線性方程組的一個基礎解系中線性無關的解向量個數(shù)是n，則為
零矩陣
。
19．設是階矩陣，如果，則任何 n個線性無關的n維向量 都是
的基礎解系。
20．設n階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為n-1，則線性方程組的通解為
。
二、單項選擇填空題（每題2分）
1．線性方程組
（
A
）
A.
無解
B.
只有0解
C.
有惟一解
D.
有無窮多解
2．設方程組，
當=（
B
）時，方程組有非零解。
A.0
B.
±1
C.
2
D.
任意實數(shù)
3．已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則
（
D
）
A．方程組有無窮多解
B.
方程組無解
C.
方程組有惟一解或無窮多解
D.
方程組可能無解，也可能有無窮多解
4.
若齊次線性方程組有非零解，則的值為（
C ?。?/p>
A．
B．
C．
D．
5．當（
C
）時，僅有零解。
A．
B．
C．
D．
6．設為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線性無關
B．的行向量組線性相關
C．的列向量組線性相關
D．的列向量組線性無關
7．設A為m×n矩陣，且非齊次線性方程組有惟一解，則必有（ C ?。?/p>
A．m=n B．r
(A)=
m C．r
(A)=n
D．r
(A)<
n
8．若方程組存在基礎解系，則λ等于 ?。ā 。摹 。?/p>
A．2 B．3 C．4
D．5
9.
設矩陣，，則非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
10．若，則元線性方程組 ?。?/p>
D
）
A．有無窮多解
B．有唯一解
C．無解
D．不一定
11.
設齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導出組，，是
的解，則下列正確的是
（
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
12．設為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線性無關
B．的行向量組線性相關
C．的列向量組線性相關
D．的列向量組線性無關
13．設齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導出組，
，是的解，則下列正確的是 ?。?/p>
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
14．已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則
(
D
)
A．方程組有無窮多解
B．
方程組無解
C．方程組有唯一解或無窮多解
D．方程組可能無解，也可能有無窮多解
15．是n元線性方程組有惟一解的 （ ?。谩 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無關條件
16．已知線性方程組無解，則 （ ?。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
17．為矩陣，是非齊次線性方程組的導出組，則下列結(jié)論正確
的是 （
A
）
A．有無窮多解，則有非零解
B．有無窮多解，則僅有零解
C．僅有零解，則有唯一解
D．有非零解，則有無窮多解
18．設為矩陣，有解，則 ?。ā 。隆 。?/p>
A．當有惟一解時，
B．當有惟一解時，
C．當有無窮解時,只有零解
D.當有無窮解時，
19．線性方程組
有解的充分必要條件是 （ ?。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
20．齊次線性方程組，（
Ｃ
）是它的一個基礎解系。
A.
B.
C.
D.
三、判斷題（每題2分）
1．若是的解，則也是它的解。
（
是
）
2．若是齊次線性方程組的解向量的一個極大無關組，則
是方程組的一個基礎解系。
（
是
）
3．若齊次線性方程組有非零解，則線性方程組就一定有解。（
否
）
4．若有無窮多組解，則有非零解。
（
是
）
5．n線性非齊次方程組只要其系數(shù)矩陣的A秩,就一定有無窮多組解。
（
否
）
6．齊次線性方程組的基礎解系不是惟一的。
7．是方程組的一個基礎解系。（
是
）
8．方程組的每個基礎解系中只含有一個解向量。
（
是
）
9．線性方程組在時，是有解的。
（
是
）
10．任何齊次線性方程組都有基礎解系。
（
否
）
11．是方程組的一般解。
（
是
）
12．方程組的一般解可表示為。
（
否
）
13．時，方程組有解。
（
否
）
14．與基礎解系等價的線性無關的向量組也是基礎解系。
（
是
）
15．若是一個線性方程組的解，那么
（其中）也是它的一個解。
（
是
）
16．方程組有非零解。
（
否
）
17．方程組與方程組是同解的方程組。
（
是
）
18．用初等變換解，可以對實行列等行變換。
（
否
）
19．若是的解，是的解，則是的解。
（
否
）
20．給定方程組，當時，方程組有解。
（
否
）
理解能力層次
一、填空（每題2分）
1．已知方程組有無窮多解，則
-1
或3
。
2．設是的解向量，是其導出組的基礎解系，則必線性 無關 。
3.
設四階方陣且，則方程組的
一個解向量為
。
4.
設方程組有解，則其增廣矩陣的行列式=
0
。
5．設，且方程組的解空間的維數(shù)為2，則 1 。
6．設為n階方陣，方程組有非零解，則必有一個特征值等于
０
。
7．設，B是三階矩陣，且，若，則
4
。
8．設為矩陣，，為是矩陣，的列向量是的解，則的最大數(shù)為 3 。
9．若齊次線性方程組中的系數(shù)矩陣的秩，且的代數(shù)余子式，則該方程組的通解可以表示為。
10．已知四元非齊次線性方程組，是它的三個解向量，且
，則齊次線性方程組的通解為
_____________。
11．齊次線性方程組有非零解，則應滿足條件。
12．已知四元線性方程組的三個解為，且
，，則方程組的通解是
。
13．已知線性方程組的兩個解為
則該方程組的全部解為
。
14．設齊次線性方程組的基礎解系中含有三個解向量，其中矩陣，則
2
。
15．設四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，且，
，其中是它的的三個解向量，則方程組的通解為
。
16．設，，則齊次線性方程組的解空間的一組基為
。
17．已知是非齊次線性方程組線性無關的解，矩陣，且，若是方程組的通解，則常數(shù)須滿足關系式
。
18．設是實正交矩陣，且，則線性方程組的解是
。
19．設矩陣，其中
則線性方程組的基礎解系含有解向量的個數(shù)是
n-1
。
20．設為階方陣，若齊次線性方程組只有零解，則的解是
只有零解
。
21．設任意一個維向量都是方程組的解，則
0
。
22．設非齊次線性方程組有兩個解，，則該方程組的通解為
。
23．已知齊次線性方程組有無窮多解，則
-5或-6
。24．若線性方程組
無解，則常數(shù)應滿足的條件是 .
25．3元非齊次線性方程組有3個解為，，，則系數(shù)矩陣=
。
26．若向量，都是線性方程組的解，則系數(shù)矩陣
=
。
27．方程組有解的充分必要條件為
。
28．設元非齊次線性方程組有解，其中為階矩陣，則
0
。
29.
已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線性方程組的通解為
是的極大線性無關組
。
30.
設，，，
其中，則線性方程組的解是。
二、單項選擇填空題（每題2分）
1．齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是
（
C
）
A．的任意兩個列向量線性相關
B．的任意兩個列向量線性無關
C．中必有一列向量是其余列向量的線性組合
D．中任一列向量是其余列向量的線性組合
2．設矩陣，且，則線性方程組
（
D
）
A．可能無解；
B．一定無解；
C．可能有解；
D．一定有解
3．當
=（ ?。痢 。r，方程組無解
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4．為矩陣，秩(A)
=，下列結(jié)論正確的是 ?。ā 。隆 。?/p>
A．齊次線性方程組僅有零解
B．非齊次線性方程組有無窮多解
C．中任一個階子式均不等于零
D．中任意個列向量必線性無關。
5．是個m方程n個未知量的齊次線性方程組有非零解的 ?。ā 。隆 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無關條件
6．設為矩陣，則齊次線性方程組有結(jié)論 （ ?。谩 。?/p>
A．時，方程組僅有零解
B．時，方程組有非零解，且基礎解系含個線性無關的解向量
C．若有n階子式不為零，則方程組僅有零解
D．若中所有n
-
1階子式不為零，則方程組僅有零解
7．n元線性方程組有惟一解的充分必要條件是 ?。ā 。摹 。?/p>
A．導出組僅有零解
B．為方陣，且時，
C.
D．的列向量線性無關，且可由的列向量線性表示
8．設為矩陣，，則方程組
(
A
)
A.
當時，有解
B.
當時，有惟一解
C.
當時，有惟一解
D.
當時，有無窮多個解
9．設為矩陣，且，若的行向量組線性無關，則
（
A
）
A、方程組有無窮多解
B、方程組有唯一解
C、方程組無解
D、方程組僅有零解
10.
設矩陣，且，則線性方程組
（
D
）
A．可能無解；
B．一定無解；
C．可能有解；
D．一定有解
11．若線性方程組有惟一解，則的值為 ?。?/p>
D
）
A．
B．
C．
D．異于與的數(shù)
12.設是四元非齊次線性方程組的三個解向量，且，，(C為任常數(shù))，則線性方程組的通
解是
(
C
)
A.
B.
C.
D.
13．設矩陣，齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式，則這個方程組的每個基礎解系中解向量的個數(shù)都是
（
A
）
A．
B．
C．
D．
14.設向量組中是齊次線性方程組的一個基礎解系，則向量組
(
D
)
也是的一個基礎解系
A.
B.
C.
D.
15．設為矩陣，
，是非齊次方程組的三個不同的解，則正確的結(jié)論是
(
D
)
A.
線性相關
B.
是的基礎解系
C.
的任何線性組合是的解
D.
當線性無關時，則是的通解,,其中是滿足的任何數(shù)
16．要使都是線性方程組的解，只要系數(shù)矩陣A為
(
B
)
A.
B.
C.
D.
17．設為矩陣，若有解，是其兩個特解，的基礎解系是，則
(
B
)
A.
的通解是
B.
的通解是
C.
的通解是
D.
的通解是
上述四項中均為任意常數(shù)
18．已知是齊次方程的基礎解系，那么基礎解系也可以是 (
B
)
A．
B．
C．
D．
19．齊次線性方程組
的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則
(
C
)
A．
B．
C．
D．
20．已知，，，
，則齊次線性方程組
的通解為
（
Ｂ
）
A．
B．
C．
D．
三、判斷題（每題2分）
1．齊次線性方程組只有零解，則應滿足的條件是。（
否
）
2．若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩小于n，則方程組有無窮多解。（
否
）
3．設為n階方陣，且，是的兩個不同的解向量，則的通解為?！ 。?/p>
否
）
4．設齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式
，則這個方程組的每個基礎解系中解向量的個數(shù)都是1。
（
是
）
5．設為矩陣，若非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則時，
方程組有解。
（
是
）
6．設A，B都是n階非零矩陣，且，則的秩都小于n。
（
是
）
7．設A為n階奇導方陣，A中有一個元素的代數(shù)余子式，則齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數(shù)為n
?！ 。?/p>
否
）
8．設為矩陣，只有零解的充要條件是的行向量組線性無關。
（
否
）
9．設為矩陣，只有零解的充要條件是的列向量組線性無關。
（
是
）
10．設為階方陣，，且是的三個線性無關的解向量，則是的一個基礎解系?！ 。?/p>
是
）
11．設為線性無關的n維列向量，，則非齊次線性方程組有惟一解?！ 。?/p>
是
）
12．設是的基礎解系，則為的通解。
（
否
）
13．已知為非齊次線性方程組的兩個不同的解，為對應的齊次方程組的基礎解系，則（其中）是
的通解?！ 。?/p>
是
）
14．設4階方陣的秩是3，且每行元素的和為零，則方程組的基礎解系為
。 ?。?/p>
是
）
15．設為的基礎解系，為一n維列向量，若，則可由線性表示?！ 。?/p>
是
）
16．給定方程組，則對任意的，方程組均有解，且有無窮多解?！ 。?/p>
是
）
17．設為矩陣，為維列向量，則當方程組有解時，加入一個方程
后方程組也有解?！ 。?/p>
否
）
18．設為矩陣，為維列向量，則當方程組無解時，加入一個方程
后方程組也無解。 ?。?/p>
是
）
19．設線性方程組，當時，方程組僅有零解。
（
否
）
20．設為矩陣，非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩，則方程組有解?！ 。?/p>
是
）
簡單應用能力層次
一、計算題（每題5分）
1．求線性方程組
的一般解．
解：
因為系數(shù)矩陣
……3分
所以一般解為：，
其中，是自由未知量。
…….……5分
2．求線性方程組的一般解。
解：因為增廣矩陣
…………3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）。
…………5分
3．當取何值時，線性方程組有非零解？并求一般解．
解：
因為增廣矩陣
………3分
所以當=
-2時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量)
…………5
4．當取何值時，線性方程組
有解？并求一般解．
解：因為增廣矩陣
……3分
當=3時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量)。
…………5分
5．求線性方程組的一般解。
解：
因為系數(shù)矩陣
……3分
所以一般解為
（其中，是自由未知量）。
.......................……5分
6．設齊次線性方程組
問取何值時方程組有非零解，并求一般解.
解：因為系數(shù)矩陣
A
=
……3分
所以當l
=
5時，方程組有非零解.
且一般解為：
（其中是自由未知量）。
.......................……5分
7．設線性方程組
，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.
解
因為
.......................……3分
所以
r(A)
=
2，r()
=
3.
又因為r(A)
<
r()，所以方程組無解。
.......................……5分
8．求下列線性方程組的一般解。
解：因為增廣矩陣
.......................……3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）
.......................……5分
9．設線性方程組討論當a，b為何值時，方程組無解，有惟一解，有無窮多解。
.......................……3分
所以當且時，方程組無解；
當時，方程組有唯一解；
當且時，方程組有無窮多解。.
......................……5分
10．當取何值時，線性方程組
有解？并求一般解.
解：因為增廣矩陣
................…3分
所以當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量〕。
......................……5分
11．已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為
問取何值時，方程組有解？當方程組有解時，求方程組的一般解。
解：當=3時，，方程組有解.
當=3時，..............…3分
一般解為，
其中,
為自由未知量。
.....................……5分
12．當為何值時，方程組有解，并求其通解。
解：
..............…3分
當，同解方程組為令，
令
....................……5分
13.
設線性方程組為，問：、取何值時，方程組無解、
有惟一解、有無窮多解？
在有無窮多解時求出其通解。
解：
..............…2分
當時，方程組有惟一解
當，時，方程組無解
當，時，=＝2<3，方程組有無窮多組解,
其通解為，為任意常數(shù)。
....................……5分
14.線性方程組為
，問,各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解。
解：
..............…3分
當2時，方程組有唯一解
當2，1時，方程組無解
當2，1時，＝2<3，方程組有無窮多組解,其通解為
(為任意常數(shù))。
....................……5分
15．已知是齊次線性方程組的一個解，試求方程組的一個包含的基礎解系。
解：，，..............…2分
令，得方程組的兩個解為：，，
從而所求基礎解系即為和。
..............…5分
16．求解線性方程組。
解
：將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即
， ..............…3分
因為
，r(`A)
=
r(A)
=
3，所以，方程組有解．
一般解為:
(x4是自由未知量)。
..............…5分
17．設線性方程組
試問c為何值時，方程組有解？若方程組有解時，求一般解。
解：因為
..............…2分
所以當c
=
0時，方程組有解．且
..............…3分
所以，原方程組的一般解為：
（x3是自由未知量）。
..............…5分
18．試討論a取什么值時，線性方程組有解，并求出解。
解：
..............…3分
當時，方程組有解，解為
..............…5分
19．試討論a取什么值時，線性方程組有解，并求出解。
..............…3分
當時，方程組有解，解為
..............…5分
20．設為４階矩陣，且，試問的基礎解系所含解向量的個數(shù)。
解：，，又因為４階矩陣，故中至少有一個３階子式不為０，則中至少有一個非零元素，則，
..............…2分
又，所以，
..............…4分
從而有，故的基礎解系所含解向量的個數(shù)為4-1=3個。..............…5分
二、證明題（每題5分）
1.
設是的一個基礎解系，證明：也是
的一個基礎解系。
證明：是的一個基礎解系，都是的解，且線性無關，從而都是的解，…………….2分
設
即
由線性無關，得，，
僅有零解，
從而線性無關，
也是的一個基礎解系。…………….5分
2．證明方程組有解的充要條件是。
證明：……3分
方程組有解，即，即…………5分
3．設n階矩陣可逆，
證明：線性方程組
無解。
證明：線性方程組的系數(shù)矩陣為，因為矩陣，所以，
…………….2分
又因為該方程組的增廣矩陣為，而是可逆的，，
…………….4分
從而系數(shù)矩陣的秩<增廣矩陣的秩，所以非齊次線性方程組無解?！?5分
4．設實數(shù)域上的線性方程組，證明：
（1）如果，則方程組有惟一解；
（2）如果則方程組無解；
（3）如果則方程組有無窮多解。
證明：（1）令，，
因為，，從而方程組有惟一解，由克萊姆法則得其解為：
；
（2），從而方程組無解；
（3），從而方程組有無窮多解?！?5分
5．
證明：含有n個未知量n+1個方程的線性方程組
若有解，則行列式
證明：易知方程組的系數(shù)矩陣為矩陣，所以，又因為該非齊次線性方程組有解，所以必須滿足關系式：增廣矩陣的秩，而增廣矩陣為階方陣，且，。
………….5分
6．設是矩陣，是矩陣，證明線性方程組，當時，必有非零解。
證明：是矩陣，是矩陣，且
，，
，由，得，
而是，所以當時，必有非零解。
……………….5分
7．已知行列式，證明方程組無解。
證明：由題設知方程組的增廣矩陣的秩，
……………….2分
而系數(shù)矩陣是矩陣，，
……………….4分
故，方程組無解。
……………….5分
8．設是階矩陣，若存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，
且，證明：向量組是線性無關的。
證明：設有常數(shù)，使得，
上式左乘，，得，………….3分
以此類推，分別左第乘，得，
故向量組線性無關。
……………….5分
9．設是矩陣，，且有惟一解，證明：為可逆矩陣，且的解為。
證明：有惟一解，僅有零解，故，
即為可逆矩陣，
……………….3分
于是由，得，所以。
……………….5分
10．設是矩陣，且,若滿足,證明:。
證明：設，其中為維列向量，，
，故線性無關，
由于，即=，
……………….3分
所以，由于線性無關，
故，所以。
……………….5分
綜合應用能力層次
一、計算題（每題8分）
1.設線性方程組，
討論當為何值時，方程組無解？有惟一解？有無窮多解？（不必求解）
解：……5分
當時，方程組無解；
當時，方程組有惟一解；
當時，方程組有無窮多解
………….……8分
2.設線性方程組，
討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：……5分
當時，方程組無解；
當時，方程組有惟一解；
當時，方程組有無窮多解
………….……8分
3.設線性方程組，
討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：因為對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
所以，當時，，方程組有唯一解?！?.5分
而當時，由上面的結(jié)果可知：
所以，當且時，，方程組無解；
當且時，，方程組有無窮多解?！?8分
4.
設線性方程組，
討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，
…………………
5分
當時，因為，所以方程組有唯一解；
當且時，因為，所以方程組無解；
當且時，因為，所以方程組有無窮多解。…….8分
5.
當，為何值時，線性方程組
有唯一解、無解、有無窮多解？（不必求出解）
解：對方程組系數(shù)的增廣矩陣施行初等行變換：
…….5分
由階梯形矩陣可見：
(1)當時，，故此時方程組有唯一解;
(2)當且時，，，故此時方程組無解;
(3)當且時，，故此時方程組有無窮多解.…….8分
6當為何值時，線性方程組
有唯一解、無解、有無窮多解？在有解時，求出方程的通解。
解：
設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換
=
…….…….4分
當a=－3時，
方程組無解。
當a－3且a2時，
方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為
，
則方程組的解為。
…….…….6分
當a=2時，
方程組有無窮多個解。此時梯形矩陣對應的梯形方程組為
則方程組的解為 ?。╟為任意常數(shù)）?！ ?…….8分
7.
求線性方程組的全部解(用其導出組的基礎解系表示).解：
….……5分
全部解為：…8分
8.
的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。
解：5分
全部解為：
………8分
9．求線性方程組的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。
解：對線性方程組的增廣矩陣進行行初等變換得：
，
…………………………5分
令自由未知量，，得方程組的一個特解：，
令分別?。海?，得到導出組的基礎解系為：
；
所以，方程組的全部解為：
（其中、為任意常數(shù)）?！?分
10.
求線性方程組的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。
解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，…………..5分
令自由未知量，，，得到一個特解
，
再取分別為，得到導出組的基礎解系：
，
所以方程組的全部解為
，（為任意常數(shù)）….8分
11.
用基礎解系表示線性方程組的全部解。
解：設方程組的系數(shù)矩陣為，對其增廣矩陣作初等變換，得：
………………..
5分
原方程組同解于，取得方程組一個特解。
導出組的系數(shù)矩陣可化為，
導出組與方程組同解，
取，得基礎解系：。
故原方程組的全部解為:，（為任意系數(shù)）……..8分12．已知方程組(Ⅰ)
的解都是方程組
(Ⅱ)
的解，試確定。
解：=，
于是得方程組(Ⅰ)的全部解：
，…………..3分
將代入(Ⅱ)的導出組得，
將代入(Ⅱ)得，
解此四式得。
…………..8分
13．已知非齊次線性方程組
有3個線性無關的解，
(1)證明此方程組的系數(shù)矩陣的秩為2.
(2)求的值和方程組的通解.
解:(1)
設a1,a2,a3是方程組的3個線性無關的解,則a2-a1,a3-a1是的兩個線性無關的解.于是的基礎解系中解的個數(shù)不少于2,即,從而,
又因為的行向量是兩兩線性無關的,所以,
兩個不等式說明.
(2)對方程組的增廣矩陣作初等行變換:
…………..3分
由,得出,代入后繼續(xù)作初等行變換:
…………..5分
得同解方程組,
得到方程組的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,
c1,c2為任常數(shù).
…………..8分
14．設,.討論為何值時,方程組無解、有唯一解、有無窮多解?
并在有無窮多解時，求出其通解.
解：經(jīng)計算
因此方程組有唯一解
…..……..2分
時，對增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因
，即時無解。
…..……..5分
時，同樣對增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因，所以時有無窮多解。等價方程組為:
得通解為：，（為任意系數(shù)）
…..……..8分
15．已知線性方程組
，試討論：
(1)取何值時，方程組無解；
(2)取何值時,方程有唯一解，并求出其解；
(3)取何值時,方程有無窮多解，并求出其通解。
解：
(1)時，
，無解；
…..……..2分
(2)時，，唯一解
.……..5分
(3)時，，無窮多解,
通解。
…..……..8分
16．已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關,如果,求方程組的通解。
解：令，則由
得，
將代入上式，整理后得，
由線性無關，知，
…..……..5分
解此方程組得，其中k為任意常數(shù)。
…..……..8分17．已知線性方程組解：，討論取何值時，方程無解；有惟一解；有無窮多解（不必求解）。
解：
…..……..4分
由于方程有解0，1，
故得時有惟一解；
時有無窮多解；
時無解。
…..……..8分
18．設線性方程組為：，試討論下列問題：
（1）當取什么值時，線性方程組有唯一解？
（2）當取什么值時，線性方程組無解？
（3）當取什么值時，線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時求其解．（要求用導出組的基礎解系及它的特解形式表示其通解）。
解
：線性方程組的系數(shù)行列式為
…..……..2
（1）當，即且時，線性方程組有唯一解；
…..……..4分
（2）當時，，線性方程組無解；….…..
6分
（3）當時
線性方程組有無窮多解，且其通解為。
…..……..8分
19．設線性方程組，已知是該方程組的一個解，求方程組的全部解。
解：將代入方程組中得，
…..……..2分
…..……..4分
當時，方程組有無窮多解，此時
，
方程組的全部解為：（c為任常數(shù)），
…..……..6分
當時，，于是，故方程組有無窮多解，
全部解為：。
…..……..8分
20．求一齊次線性方程組，使，構(gòu)成它的一個基礎解系。
解：顯然，所求的方程組是一個5元線性方程組，且，
另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程組的解，且該方程組的一個基礎解系所含解向量的個數(shù)為，故只要求方程組的一個基礎解系，則以為系數(shù)矩陣的方程組即滿足要求，為此對矩陣施行初等行變換，得
，
…..…….
4分
由此得方程組的一個基礎解系：，
…..…….
6分
故所求的線性方程組為，即。
…..…….
8分
二、證明題（每題8分）
1．已知三階矩陣且的每一個列向量都是方程組的解，
求
(1)的值；(2)證明。
(1)解：由得中至少有一非零列向量，
的每一個列向量都是方程組的解，所給齊次方程組有非零解，則它的行列式
，。
………………..
4分
(2)證明：（反證法）若設，則可逆，因此由題意
與矛盾，所以。
………………..
8分
2．已知方程組，若互不相等，證明方程組無解。
證明：由于增廣矩陣的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，
故，
……....…4分
則,而系數(shù)矩陣為矩陣,，，方程組無解…8分
3．設有兩個n元齊次線性方程組，。證明：
（1）若的解都是的解，則；
（2）若與同解，則。
證明：（1）由條件知的解空間是的解空間的子空間，因此的解空間的維數(shù)不大于的解空間的維數(shù)，即，于是；
…………….4分
（2）由條件知的解空間與的解空間是同一空間，因而該空間的維數(shù)為
，由此即得。
…………….8分
4．已知非齊次線性方程組
有3個線性無關的解，
（1）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；
（2）求的值及方程組的通解。
解：（1）設是非齊次方程組三個線性無關的解，
令，則是其導出組的兩個解
設即
因線性無關，所以必有，
即由此得線性無關，
因為導出組至少有兩個線性無關的解，所以其基礎解系至少包含兩個解，故，由此得；
另一方面，導出組的系數(shù)矩陣
存在2階不等于零的子式，
所以，，綜上所述，即得。
…………….4分
（2）因非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，
由（1）得,故增廣矩陣
的秩也為2，
用初等行變換把上述矩陣化為階梯形
由此得?????，即
利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組
即
由此得通解為
：，其中為自由未知數(shù)。
…………….8分
5．設方程組(1)
及方程組(2)，
其中，證明：方程組(1)有惟一解的充要條件是方程組(2)有惟一解。
證明：記方程組(1)和方程組(2)的系數(shù)矩陣分別為，并令，
則有，即有，于是，若方程組(1)有惟一解，則，即，從而，所以方程組(2)有惟一解。 …………….４分
反之若方程組(2)有惟一解，則，即可逆，所以，若，則，從而由的定義知，因此，矛盾，故，所以方程組(1)有惟一解。
…………….8分
發(fā)展應用能力層次
一、計算題（每題10分）
1．設有兩個四元齊次方程組(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
（1）線性方程組(Ⅰ)的基礎解系；
（2）求方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。
解：（1）．方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣，
則得(Ⅰ)的基礎解系為：和；..............…3分
（2）．由（1）的結(jié)果，方程組(Ⅰ)的一般解為：,
若兩個方程組有公共解，將上式代入方程組(Ⅱ)中，必有，得，
所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解為：
。 ..............…10分
2．已知非齊次線性方程組，
；
（1）
求解方程組，用其導出組的基礎解系表示通解；
（2）
同解，求的值。
解：（1）設組（I）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，對作初等行變換，得：
，
因，故（I）有無窮多解，
且通解為，為任意常數(shù)?！?5分
（2）將通解代入組（II）第一個方程，得到：
，即，
由得任意性，得。
將通解代入組（II）第二、三個方程，分別得到。
因此，。
…….…………10分
3．設非齊次線性方程組有3個解向量，，求此線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，并求其通解。其中為常數(shù)。
解：設所給方程為，由題設可知是的3個解，因此
，是的兩個線性無關的解，故，
又中有2階子式，因此，
所以，
…………….5分
由于，所以，是的基礎解系，因此可得線性方程組
的通解為：
（其中為任意常數(shù)）。
…….…………10分
4．設四元線性齊次方程組，又已知某線性齊次方程組的通解為
，
（1）求線性方程組的基礎解系；
（2）問線性方程組，是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解，若沒有，則加以證明。
解：（1）的系數(shù)矩陣為
通解為。
…….…………4分
（2）將的通解代入中，則有，得，當時，則向量滿足方程組，，
故方程組，有非零的公共解，所有非零公共解是。
…….…………10分
5．
已知齊次線性方程組
其中
試討論和b滿足何種關系時，
(1)
方程組僅有零解；
(2)
方程組有非零解.
在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系。
解：
方程組的系數(shù)行列式
=，
…….…………4分
（1）當時且時，r
(A)=
n，方程組僅有零解；
…….…………6分
（2）當b=0
時，原方程組的同解方程組為：，
由可知，不全為零.
不妨設，
得原方程組的一個基礎解系為
，，,
當時，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為
由此得原方程組的同解方程組為:，，
.
原方程組的一個基礎解系為：。
…….…………10分
6．設,
,
,
,
試討論當為何值時,
(1)不能由線性表示；
(2)可由唯一地線性表示,
并求出表示式；
(3)可由線性表示,
但表示式不唯一,
并求出表示式。
解：設有數(shù)使得
(*)
記.
對矩陣施以初等行變換,
有
…….…………2分
(1)當時,
有
.
可知,故方程組(*)無解,
不能由線性表示；
…….…………4分
(2)當,
且時,
有
,方程組(*)有唯一解：,
,
．
此時可由唯一地線性表示,
其表示式為：；……………7分
(3)當時,
對矩陣施以初等行變換,
有
，
,方程組(*)有無窮多解,其全部解為:
,
,
，
其中為任意常數(shù)．
可由線性表示,
但表示式不唯一, 其表示式為：
。
…….…………10分
7．設有齊次線性方程組
試問取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解
解：方程組的系數(shù)行列式為
當，即或時，方程組有非零解
…….…………4分
當時，
故方程組的同解方程組為：
由此得基礎解系為，
于是方程組的通解為：，其中為任意常數(shù)
.…7分
當時，
故方程組的同解方程組為：
，由此得基礎解系為
于是方程組的通解為：，其中k為任意常數(shù)。
…….…………10分
8．已知3階矩陣的第一行是不全為零，矩陣B＝（k為常數(shù)），且，求線性方程組的通解
解：（1）如果，則,由知，因此，
所以的通解是：，其中為任常數(shù)；
…….……5分
（2）如果k
=9，則,那么，或2
若,則的通解是，其中t為任常數(shù)，
若,對，設，
則方程組的通解是，其中為任常數(shù)。
…….…………10分
9．已知線性方程組
（Ⅰ）
的一個基礎解系為，，，，試寫出線性方程組（Ⅱ）的通解。
解：方程組（Ⅰ），（Ⅱ）的系數(shù)矩陣分別記為，則由題設可知，于是，可見的n個行向量的轉(zhuǎn)置向量為（Ⅱ）的n個解向量，
由于的秩為n，故（Ⅱ）的解空間維數(shù)為，…….…………5分
又的秩為2n與（Ⅰ）的解空間維數(shù)之差，即為n，故的n個行向量線性無關，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成（Ⅱ）的一個基礎解系，于是得到（Ⅱ）的通解：
，
其中為任意常數(shù)。
…….…………10分
10．求以為解向量的齊次線性方程組。
解：因為，
所以的一個極大無關組是，
…….…………3分
作矩陣，
易得線性的基礎解系由決定，
取自由未知量得一基礎解系為，6分
于是所求方程組的系數(shù)矩陣為，
所求的齊次線性方程組為。
…….…………10分
二、證明題（每題10分）
1．已知平面上三條不同直線的方程分別為
試證這三條直線交于一點的充分必要條件為。
證明：必要性：
設三條直線交于一點，則線性方程組
有惟一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，
于是，由于
但根據(jù)題設，故；
………….5分
充分性：
由，則從必要性的證明可知，，故秩()<
3
由于
故秩(A)=2，于是，秩(A)=
秩()=2,
因此方程組（*）有惟一解，即三直線交于一點。
………….10分
2．設是非齊次線性方程組的一個解，是對應的齊次線性方程組的基礎解系，證明：線性無關。
證明：（反證法）假設線性相關，則必存在一組不全為零的數(shù)，使，
即有，
設，則，否則由上式知線性相關，因而與基礎解系矛盾。所以， ………….5分
于是有，從而與是非齊次線性方程組的一個解矛盾，因此所給向量組是線性無關的?！ ?10分
3．設是齊次線性方程組的基礎解系，向量滿足，證明：向量組線性無關。
證明：設數(shù)，使，
即
…………….3分
假設，則可由線性表示，
即是方程的解，與題設矛盾，
因此，，
…………….7分
然后由線性無關，得，
所以向量組線性無關。
…………….10分
4．設為實矩陣，是維實列向量，證明：
（1）秩；
（2）非齊次線性方程組有解。
證明：（１）先證與是同解方程組，
因為若是的解，即，則，
所以的解都是的解，
當是的解時，即，由，
可知，故的解都是的解，
因此與是同解方程組，
由此，可知它們的基礎解系含個解，故秩；….5分
（2）由可知
，
因此，故非齊次線性方程組有解?！?10分
5．證明：方程組（其中均為整數(shù)）只有零解。
證明：方程組的系數(shù)行列式為，
若令，則由于均為整數(shù)，得也均為整數(shù)
為整數(shù)，，所以方程組有惟一解，即只有零解?！ ?10分
第三篇：線性代數(shù)第五版第一章常見試題及解答
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）
在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
1．二階行列式A．k≠-1 C．k≠-1且k≠3 答案：C 2．設行列式a2A．-3 C．1 答案：D k?122k?1≠0的充分必要條件是（）
B．k≠3 D．k≠-1或≠3 a1b2=1，a2b1a1c2=2，則a2B．-1 D．3
c1a1b2?c2=（）
b1?c1?3x1?kx2?x3?0?4x2?x3?0有非零解,則 k=（）3.如果方程組??4x2?kx3?0?A.-2 C.1 答案：B a11a12a22a32a13B.-1 D.2
a115a11?2a12a13a23，則D1的值為（）a334．設行列式D=a21a31A．-15 C．6 答案：C
a23=3，D1=a215a21?2a22a33a315a31?2a32B．-6 D．15 5.設3階方陣A=[?1,?2,?3]，其中?i（i=1, 2, 3）為A的列向量，且|A|=2，則|B|=|[?1?3?2,?2,?3]|=（）A.-2 C.2 答案：C
B.0 D.6 ?x?x2?06.若方程組?1有非零解，則k=（）
kx?x?02?1A.-1 C.1
B.0 D.2 答案：A 0?101?1中元素a21的代數(shù)余了式A21=（）7．3階行列式aij=1?110A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：C a11a12a132a112a122a138.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23=（）
a31a32a33?2a31?2a32?2a33A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案：B
01?119．行列式?101?11?101第二行第一列元素的代數(shù)余子式A21=（?11?10A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：B xyz2x2y2z10.設行列式403?1,則行列式401?（）1113111A.23 B.1 C.2 D.83 答案：A 11.已知2階行列式a1a2b2b,則
b1b21b=m ,b12c1c=n 2a1?c=（1a2?c2A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n）
答案：B））3 0 ?2 0 2.計算行列式 2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 3=（）A.-180 B.-120 C.120 D.180
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
12.設A為三階方陣且|A|=3，則|2A|=___________.答案：24 13.已知?=（1，2，3），則|?T?|=___________.答案：0 1114．行列式答案：-2
14中（3，2）元素的代數(shù)余子式A32=____________.234916k15.若答案：1/2 112a1b1?0,a1b2a2b2a3b2則k=___________.a1b3a2b3=____________.a3b316.行列式a2b1a3b1答案：0 a112a123a13a11a12a22a32a13a23=_______________.a3317．已知3階行列式2a214a223a316a326a23=6，則a219a33a31答案：1/6 18．設3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對應的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=__________________.答案：-4 21019.若131?0,則k?_____________。
k21 答案：-1
ababab11121320．若aibi?0,i?1,2,3,則行列式a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b
3=_____________.答案：0 a2121．已知行列式230?0，則數(shù)a =__________.1?11答案：3 22．設方程組??x1?2x2?0?2x1?kx有非零解，則數(shù)k = __________.2?0答案：4 23．已知行列式a1?b1a1?b1b1a2?b2a?4，則
a1______.2?b?2a2b?2答案：2 12324.行列式459=_________.6713答案：0 25.行列式***0的值為_________________________.答案;-2
三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）
11141131121126．求4階行列式1111的值.4 ***11?0121解：原式=11111110003?***11??3010??6?6
***．求行列式3412
412312341234解：原式=101341?10011?3141202?2?211230?1?1?11234?10011?300?44?160
000?4
3011
1200012028.計算四階行列式0012的值.2001120200解：原式=012?2120??15
001012111130.計算行列式D=12001030的值.10041?1112?3?111解：原式=04200???1?1?1?1????2?3?4??2
0030?2340004
12323331．計算3階行列式
249499.367677120203解：原式=240409.?0
36060721012132．計算行列式D=012的值.解：原式=2?2?2?1?1?0?1?1?0?0?2?0?1?1?2?1?1?2?4 6
******00200133．計算6階行列式
***001000100200?18 0?6000解：原式=000?3123434．計算行列式D=1012的值.3?1?10120?51解：原式=2022020?611222222003?1?4???1?4?6???1?3?5??2?1?7?3?93539??24
?1?73533335333.35535．計算行列式D=3331333解：原式=141333=14******?112
x236.已知3階行列式aij=x0中元素a12的代數(shù)余子式A12=8，求元素a21的代數(shù)余子式
5?14A21的值.解：A12?(?1)1?2x054??4x?8?x??2
A21?(?1)2?1?23?14?5
1?3432?205?2237.求行列式D=427006的值。
1?340435985解：原式=4035202?2=322?2?300?2?698??***8
x?1?11?138．計算行列式D?1x?11?11?1x?1?1的值.1?11x?11?11?11?11?1解：原式?x1x?11?1?1x?1?1?x0x004100x0?x
1?11x?1000x234539．計算4階行列式D=
34564567.567823452345解：原式=34567?34564561111?0
11111111abc40.計算行列式D=a2b2c2的值。a?a3b?b3c?c3abc111解：原式=a2b2c2?abcabc?abc(c?b)(c?a)(b?a)a3b3c3a2b2c2
第四篇：線性代數(shù)習題及解答
線性代數(shù)習題一
說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||?||表示向量?的長度，?T表示向量?的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
a11a12a133a113a123a131．設行列式a21a22a23=2，則?a31?a32?a33=（）
a31a32a33a21?a31a22?a32a23?a33A．-6 B．-3 C．3
D．6 2．設矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（）A．E+A-1 B．E-A C．E+A
D．E-A-
13．設矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（）
A．??A?A-1??B?可逆，且其逆為????B-1? B．????A?B?不可逆 ?C．??A??B-1?D．??B?可逆，且其逆為???A-1? ??A??A-1??B?可逆，且其逆為???B-1? ?4．設?1，?2，…，?k是n維列向量，則?1，?2，…，?k線性無關的充分必要條件是A．向量組?1，?2，…，?k中任意兩個向量線性無關
B．存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量組?1，?2，…，?k中存在一個向量不能由其余向量線性表示 D．向量組?1，?2，…，?k中任意一個向量都不能由其余向量線性表示
5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,則???=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T
D．（2，-6，-5，-1）T
6．實數(shù)向量空間V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（）A．1
B．2）
（C．3 D．4 7．設?是非齊次線性方程組Ax=b的解，?是其導出組Ax=0的解，則以下結(jié)論正確的是
（）
A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解 8．設三階方陣A的特征值分別為A．2,4,C．
B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解
11，3，則A-1的特征值為（）24B．1 3111， 24311，3 241D．2,4,3 9．設矩陣A=2?1，則與矩陣A相似的矩陣是（）
1A．?1?123
01B．102
?2C．
D．
?21
10．以下關于正定矩陣敘述正確的是（）A．正定矩陣的乘積一定是正定矩陣 C．正定矩陣的行列式一定大于零
二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）
請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。
11．設det(A)=-1，det(B)=2，且A，B為同階方陣，則det((AB))=__________．
3B．正定矩陣的行列式一定小于零 D．正定矩陣的差一定是正定矩陣
112．設3階矩陣A=42t?23，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=__________． 1-13?1k13．設方陣A滿足A=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A=__________． 14．實向量空間R的維數(shù)是__________．
15．設A是m×n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎解系中含解向量的個數(shù)為__________． 16．非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________． n17．設?是齊次線性方程組Ax=0的解，而?是非齊次線性方程組Ax=b的解，則A(3??2?)=__________． 18．設方陣A有一個特征值為8，則det（-8E+A）=__________．
19．設P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列向量，則||Px||=__________．
20．二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正慣性指數(shù)是__________．
三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）
222121．計算行列式142?12?6142． ?1?1?4121222．設矩陣A=35，且矩陣B滿足ABA=4A+BA，求矩陣B．
-1-1-123．設向量組?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一個極大線性無關組，并將其余向量通過極大線性無關組表示出來．
?124．設三階矩陣A=?24533，求矩陣A的特征值和特征向量． ?4?225．求下列齊次線性方程組的通解．
?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026．求矩陣A=3010360?110110的秩．
?1
2四、證明題（本大題共1小題，6分）
a1127．設三階矩陣A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，證明： a33a31?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?線性無關．
?a??a??a??31??32??33?
線性代數(shù)習題二
說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或T
*
A表示方陣A未選均無分。
1.設3階方陣A的行列式為2，則
?12A?()A.-1 B.?14 C.14 D.1 x?2x?1x?22.設f(x)?2x?22x?12x?2,則方程f(x)?0的根的個數(shù)為（）
3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2
D.3 3.設A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若A?B,則必有（A.A?0 B.A?B?0
C.A?0
D.A?B?0
4.設A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是（）A.(A?B)2?A2?2AB?B2
B.(A?B)(A?B)?A2?B2
C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)D.(AB)2?A2B2
?a1ba1b2a1b3?5.設A??1?a2b1aa?0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,則矩陣A的秩為（?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1 C.2
D.3 6.設6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為（）A.0
B.2））C.3 D.4 7.設向量α=（1，-2，3）與β=（2，k，6）正交，則數(shù)k為（）A.-10 C.3
B.-4 D.10 ?x1?x2?x3?4?8.已知線性方程組?x1?ax2?x3?3無解，則數(shù)a=()?2x?2ax?42?1A.?C.1 2B.0 D.1 1 29.設3階方陣A的特征多項式為A.-18 C.6
?E?A?(??2)(??3)2,則A?()
B.-6 D.18 10.若3階實對稱矩陣A?(aij)是正定矩陣，則A的3個特征值可能為（）A.-1，-2，-3 C.-1，2，3
B.-1，-2，3 D.1，2，3
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
3011.設行列式D42,其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為__________.?2253?212.設A??a??a?b?b?,B????,則AB?__________.?a?a?bb?????103???2013.設A是4×3矩陣且r(A)?2,B?0??,則r(AB)?__________.??103???14.向量組（1，2）,（2，3）（3，4）的秩為__________.15.設線性無關的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關系為__________.?x1??x2?x3?0?16.設方程組??x1?x2?x3?0有非零解，且數(shù)??0,則??__________.?x?x??x?03?1217.設4元線性方程組Ax?b的三個解α1，α2，α3，已知?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(3,5,7,9)T,r(A)?3.則方程組的通解是__________.18.設3階方陣A的秩為2，且A2?5A?0,則A的全部特征值為__________.??211??1?????a019.設矩陣A?0有一個特征值??2,對應的特征向量為x?2,則數(shù)a=__________.??????413??2?????20.設實二次型f(x1,x2,x3)?xTAx,已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為__________.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設矩陣A?(?,2?2,3?3),B求
?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均為3維列向量，且A?18,B?2.A?B.?11?1??01??1?1???????22X?10?1122.解矩陣方程0??????.?1?10??43??21???????23.設向量組α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）問p為何值時，該向量組線性相關？并在此時求出它的秩和一個極大無關組.T
T
T
T?2x1??x2?x3?1?24.設3元線性方程組??x1?x2?x3?2, ?4x?5x?5x??123?1（1）確定當λ取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解？
（2）當方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解（要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示）.25.已知2階方陣A的特征值為?1（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型性變換.四、證明題(本題6分)27.設A是3階反對稱矩陣，證明
22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3為標準形，并寫出所作的可逆線
1?1及?2??,方陣B?A2.3A?0.習題一答案
習題二答案
線性代數(shù)習題三
說明:在本卷中,A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
1.設A為3階矩陣,|A|=1,則|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8
TT
*?1?2.設矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=()??1??1??1??A.0 B.(1,-1)C.? D.??1???1?1?? ????3.設A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣,則下列矩陣中為反對稱矩陣的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA
12?*?-14.設矩陣A的伴隨矩陣A=??34??,則A=()
??A.?1?4?3?1?1?2?1?12?1?42?????? ? B.C.D.?????34??31?? ???34??212?222????????5.下列矩陣中不是初等矩陣的是()．．?101??001??100???????A.?010? B.?010? C.?030? ?000??100??001???????6.設A,B均為n階可逆矩陣,則必有()
?100??? D.?010?
?201???A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.設向量組α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),則()A.α1, α2,β線性無關 B.β不能由α1, α2線性表示
C.β可由α1, α2線性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2線性表示,且表示法惟一 8.設A為3階實對稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2
D.3 ?2x1?x2?x3?0?9.設齊次線性方程組?x1?x2?x3?0有非零解,則?為()??x?x?x?023?1A.-1 B.0 C.1 D.2 10.設二次型f(x)=xAx正定,則下列結(jié)論中正確的是()A.對任意n維列向量x,xAx都大于零 B.f的標準形的系數(shù)都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式
TT0112的值為_________.?12?12.已知A=??23??,則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_________.???11??1?3?
3???13.設矩陣A=?,P=,則AP=_________.?01???24?????14.設A,B都是3階矩陣,且|A|=2,B=-2E,則|AB|=_________.15.已知向量組α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)線性相關,則數(shù)k=_________.16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個解,且
-1?1??3?????2???5??1???,?1??3???,則該線性方程組的通解是_________.37?????4??9??????1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設2是矩陣A的一個特征值,則矩陣3A必有一個特征值為_________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對角矩陣為_________.???1?2?T
?20.設矩陣A=?,若二次型f=xAx正定,則實數(shù)k的取值范圍是_________.??2k???
三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.?0?10???1?20?????22.設矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設B=A+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對角矩陣.2-
1?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3經(jīng)可逆線性變換?x2?2y1?2y2?y3所得的標準形.?x?2y3?
3四、證明題(本題6分)27.設n階矩陣A滿足A=E,證明A的特征值只能是?1.2線性代數(shù)習題三答案
第五篇：2008級線性代數(shù)試題和答案 A卷
經(jīng)濟學院本科生09-10學年第一學期線性代數(shù)期末考試試卷(A卷)
答案及評分標準
一、填空題（每小題4分、本題共28分）
?1??11??????1.設A 為n 階方陣, A為其伴隨矩陣, detA?, 則det?A??15A? _____ ??4??3??2.已知?1,?2均為2維列向量, 矩陣A?(2?1??2,?1??2), B?(?1,?2).若行列式A?6, 則B? _____ 3.若r(?1,?2,?,?s,?)?r(?1,?2,?,?s)?k，r(?1,?2,?,?s,?)?k?1,則r(?1,?2,?,?s,?,?)= _____ 4.設A 為5階方陣, 且r(A)?4, 則齊次線性方程組Ax?0（A是A的伴隨矩陣）的基礎解系所包含的線性無關解向量的個數(shù)為
_____
T5.設A?(aij)3?3是實正交矩陣, 且a11=1,b=(1,0,0),則線性方程組Ax?b的解是
**_____
2226.若使二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?4x3?2x1x2?2tx1x3為正定的, 則 t 的取值范圍是
_____ 7.設3階方陣A滿足A?2A?3E?0, 且0 _____ 答案：（1）(?1)n3 （2）-2 （3） k +（4） （5）(1,0,0) （6）t?T2（7）3 二、單項選擇題（每小題4分、本題共28分） 1.設A為n階方陣, B是A經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后所得到的矩陣, 則有（）(A)A?B (B)A?B (C)若A?0, 則一定有B?0 (D)若A?0, 則一定有B?0 32.設行列式D?20502?73420?202, 則第四行各元素代數(shù)余子式之和的值為（）02(A)28 (B)-28 (C)0 (D)336 3.設A為m階方陣, B為n階方陣, C???B??0A??, 則 C 等于（）?0?(A)AB (B)?AB (C)(?1)mnAB (D)(?1)m?nAB 4.設n維列向量組?1,?2,??m(m?n)線性無關, 則n維列向量組?1,?2,??m線性無關的充分必要條件是（） (A)向量組?1,?2,??m可由向量組?1,?2,??m線性表示 (B)向量組?1,?2,??m可由向量組?1,?2,??m線性表示 (C)矩陣(?1,?2,??m)與矩陣(?1,?2,??m)等價 (D)向量組?1,?2,??m與向量組?1,?2,??m等價 5．設A、B 為n階方陣, 且r(A)?r(B), 則（） (A)r(A?B)?0 (B)r(A?B)?2r(A)(C)r(AB)?r(A)?r(B) (D)r(AB)?2r(A) ?1??16.設矩陣A??1??1?111111111??4??1??0,B??1?0???01???000000000??0?, 則A與B（）0??0??（A）合同且相似 （B）合同但不相似 (C)不合同但相似 （D)不合同且不相似 7．設?1,?2是矩陣A的兩個不同的特征值, 對應的特征向量分別為?1,?2, 則A(?1??2),?2線 性無關的充分必要條件是（） （A）?1?0 （B）?2?0 (C)?1?0 (D)?2?0 答案：CCC CCA A 三、計算題（每小題8分、本題共32分） a0a1a2?anb1d10?01．計算n+1階行列式 Dn?1?b20d2?0.?????bn00?dn解 分三種情況討論： （1）當d1,d2,?,dn全不為0時，D為箭型行列式且 naakbk0??a1a2?ank?1dcbj1?dcjnD?????j0kd10?000d2?0?(a0??akbk)d1d2?dn;k?1dk?????000?dn（2）當d1,d2,?,dn中只有一個為0時，不妨假設di?0，則 aia1?ai?1a0ai?1?an0dd1?b11??????c1?cD????i?1?0ddi?1bi?1i?1??b??aibii0?d?di?1i?1?????0bnd?n??aibid1?di?1di?1?dn（3）當d1,d2,?,dn中有兩個以上為0時，顯然D?0.?n綜合以上三種情況，我們有D???(aakbk0??)d1d2?dn;dk?0(k?1,2,...,n)?k?1dak??ibid1d2...di?1di?1?dn;?i,di?02.設矩陣A滿足關系式(2E?C?1B)AT?C?1, 其中 ??12?3?2???1201?B??012?3?120???0012??,C??0?0012??, 求A？ ?0001????0001??解 在等式(2E?C?1B)AT?C?1等號兩邊同時乘以C, 得A??(2C?B)?1?T, ??1234??02C?B??0123??1?21?01?21????0012??,(2C?B)1???00??0001???1?2??0001??dn, A?(2C?B)?1??T00?1??210???1?21?1?2?00?0??.0??1??x1?x2?2x3?3x4?0?x?3x?5x?2x??1?12343．設線性方程組 ? x?x?ax?4x?134?12??x1?7x2?10x3?7x4?b（1）問：a, b取何值時, 線性方程組無解、有解?（2）當線性方程組有解時, 試用基礎解系表示通解.解 設題中線性方程組為Ax?b.用消元法, 對線性方程組Ax?b的增廣矩陣A施以行初等變換，化為階梯形矩陣： ?1?1?2??1?3?5A??11a??1710?由此可知： 3247０??1??－１?初等行變換?０???????１０???０ｂ????1?23２３１０a－１０００００??１? ?０??ｂ－４?當b≠4時,r(A)?r(A)線性方程組Ax?b無解;當b=4時, 恒有r(A)?r(A)線性方程組Ax?b有解.若a?1,r(A)?r(A)?3,方程組有無窮多個解，通解為：1171(，0,0)T?k(?,?,0,1)T k為任意實數(shù) 2222若a?1,r(A)?r(A)?2,方程組有無窮多個解，通解為： 111371(，0,0)T?k1(,?,1,0)T?k2(?,?,0,1)T k1、k2為任意實數(shù) 222222?324??012??????1*4．設矩陣A??202?,Q??101?,B?QAQ, 求B?2010E的特征值和特征?423??123?????向量.其中A是A 的伴隨矩陣, E 為3階單位矩陣.解 計算A的特征多項式 *??3?2?E?A??2??4?2?4?2?(??8)(??1)2.??3故A 的特征值為?1?8,?2??3??1.因為A???i?8,若AX??X,則A*X?* A?X.所以A*的特征值為1,-8,-8.由于B?Q?1A*Q與A相似, 相似矩陣有相同的特征值，所以 B?2010E的特征值為：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因為B(QX)?(QAQ)(QX)?QAX??1?1*?1?1*|A|?Q?1X,我們有矩陣B的屬于量為Q?1X A?的特征向量為Q?1X, 因此矩陣B?2010E的屬于 A??2010的特征向第三步 求出A 的全部特征向量 ?2????對于?1?8，求解線性方程組(8E?A)x?0得特征向量 ?1?1?.?2???對于?2??3??1，求解線性方程組(?E?A)x?0得特征向量 ?1??1??????2??0?,?3???2?.??1??0?????第四步 求出B?2010E 的全部特征向量，即計算Q?1?1,Q?1?2,Q?1?3.11???1??3???1?????????2?2222?????1?????1?1?1Q???1?11?,Q?1???1?,Q?2???2?,Q?3??1?,?0??11?1??3??3?????????22???2??2?綜合以上分析我們有： ?1?????2?矩陣B?2010E屬于特征值2011的特征向量為k??1?，k為任意實數(shù) ?7??2????3??????2?2????屬于特征值2002的特征向量為 k1??2??k2?1?,k1、k2為任意實數(shù) ?0??3????2??? 四、證明題（每題6分，共12分）1.已知向量組?1,?2?,?s,?s?1(s?1)線性無關, 向量組?1,?2?,?s可表示為?i??i?ti?i?1(i?1,2,?,s), 其中ti是實數(shù).證明?1,?2?,?s線性無關.證明 用定義.假設存在 s 個數(shù)k1,k2?,ks, 使 k1?1?k2?2???ks?s?0, 即 k1(?1?t1?2)?k2(?2?t2?3)???ks(?s?ts?s?1)?0, 也就是 k1?1?(k1t1?k2)?2?(k2t21?k3)?3????(ks?1ts?1?ks)?s?ksts?s?1?0.又因為?1,?2?,?s,?s?1(s?1)線性無關, 所以上式中系數(shù)部分都為0, 即 k1?0??kt?k?0112??? 解得 k1?k2???ks?0, 故?1,?2?,?s線性無關.??kt?k?0?s?1s?1s??ksts?022.設n 階矩陣 A 滿足A?A?2E?0且A?E.證明A相似于對角矩陣.2證 由A?A?2E?0可得(E?A)(2E?A)?0?(?2E?A)(A?E) (1)可得A 的特征值為 1或-2，要證明A相似于對角矩陣，也就是A可以對角化，即要證明A 有n個線性無關的特征向量。 由（1）式有 r(2E?A)?r(A?E)?r(2E?A)?r(E?A)?n，（2）又(2E?A)?(A?E)?E可得r(2E?A)?r(A?E)?n （3） 綜合（2）和（3）有r(2E?A)?r(A?E)?n，不妨假設r(2E?A)?r,r(A?E)?n?r,則矩陣2E+A 有 r 個線性無關的列向量，由（1）式中第一個等號知這r 個列向量也是特征值1的特征向量；同理由（1）式中第二個等號可知矩陣 A-E 的n-r 個線性無關的列向量是 特征值-2 的特征向量。于是矩陣A有r+（n-r）=n 個線性無關的特征向量。故A可以對角化.
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