第一篇：小學(xué)四年級暑假奧數(shù)培訓(xùn)第16講：逆推法

倒推法的應(yīng)用

知識導(dǎo)航

在分析應(yīng)用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所敘述應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.用倒推法解題時要注意：

①從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算.③列式時注意運算順序，正確使用括號.例1： 一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？

解析:這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個數(shù)是多少？把一個數(shù)用□來表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因為56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56 ［（□－8）＋10]÷7＝56÷4=14（□－8）＋10=14×7=98 □－8=98-10=88

□=88+8=96

答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績是96分.【鞏固】某數(shù)加上6,乘以6,減去6,除以6,其結(jié)果等于6,則這個數(shù)是_____.【解題技巧】解答此類問題的方法規(guī)律是：原題加，逆推為減；原題減，逆推為加；原題乘，逆推為除；原題除，逆推為乘。例2 ：小玲問一老爺爺今年多大年齡,老爺爺說：“把我的年齡加上17后用4除,再減去15后用10乘,恰好是100歲”那么,這位老爺爺今年_____歲.解析：｛［（□ + 17）÷4］-15｝×10 ＝ 100

采用逆推法,易知老爺爺?shù)哪挲g為(100÷10+15)×4-17=83(歲)

【鞏固】某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).例3：馬小虎做一道整數(shù)減法題時，把減數(shù)個位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？

解析：馬小虎錯把減數(shù)個位上1看成7，使差減少7-1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70-10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111-（70-10）＋（7-1）＝57 答：正確的答案是57.【鞏固】在計算一道減法題時，小馬虎把被減數(shù)個位上的3看做8，把減數(shù)十位上的6看做9，結(jié)果得出的差是60.正確的結(jié)果是多少？

例4：樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？ 解析：倒推時以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16-6＝10（只）.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6-8＝14（只）.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24（只），使問題得解.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥 多少只？48÷3＝16（只）②第一棵樹上原有鳥只數(shù).16＋8＝24（只）

③第二棵樹上原有鳥只數(shù).16＋6-8＝14（只）

④第三棵樹上原有鳥只數(shù).16-6＝10（只）

答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.【鞏固】ABC三個小朋友共有玩具48個。A給B8個玩具，而B又將6個玩具給C，這時三人的玩具數(shù)相等。三人原來的玩具各有多少個？

例5：籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？ 解析：依題意，畫圖進行分析.解：列綜合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2＝22（個）答：籃子里原有梨22個.【鞏固】一桶油倒去一半后，再倒去剩下的一半，這時連桶還有16千克。已知桶重5.5千克，那么原來這桶油連桶共重多少？

例6：“六?一”兒童節(jié),小明和小培從媽媽那兒分得一些糖，媽媽把糖分成相同的兩份給他們，多的一個給自己留下了.小明在路上遇著自己的兩個朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的兩顆分別送給了兩個朋友.過了一會兒,又遇上兩個小朋友,他同樣分給他們糖,多的兩顆分給了他們,后來,他又遇上了兩個朋友,分完糖之后,小明發(fā)現(xiàn)自己只剩下一顆糖了,請問媽媽原來有多少糖?

解析：最后一次分糖前小明有糖3+2=5顆；倒數(shù)第二次分糖前小明有糖5×3+2=17顆；倒數(shù)第三次分糖前小明有糖17×3+2=53顆；媽媽原來有糖53×2+1=107顆.【鞏固】A、B、C三個小朋友共有玩具48個。A給B8個玩具，④從甲桶賣出油多少千克？15-11＝4（千克）而B又將6個玩具給C，這時三人的玩具數(shù)相等。三人原來的玩具各有多少個？

例7：甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？

解析：解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙兩個油桶所剩油”及“這時甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？15×2-14＝16（千克）②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）用倒推法畫圖如下：

⑤從乙桶賣出油多少千克？15—5＝10（千克）答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.【鞏固】甲乙丙三人共有圖書120本，乙向甲借3本書后，又送給丙5本，結(jié)果三個人的數(shù)量相等。甲乙丙原來各有多少本書？

課后練習(xí)

1、一個數(shù)除以18,乘4，加上6039，等于6139，這個數(shù)是多少？

2、小明在做加法題時，把一個加數(shù)個位上的6寫成9，十位上的6寫成0，結(jié)果得到錯誤的得數(shù)584,正確得數(shù)應(yīng)該是多少？

3、幾個數(shù)相加時，把一個加數(shù)個位上的0寫成9，把十位上的9寫成6；另一個加數(shù)百位上少寫3，這時得到的和是1395.那么原來幾個數(shù)的和是多少？

4、從第一堆糖中拿一半放入第二堆，拿35粒放入第三堆，再拿出剩下中的一半放入第四堆，最后又吃掉第一堆中的2粒，這時第一堆中還有48粒，第一堆原有糖多少粒？

5、三筐蘋果共有90千克，如果從甲筐取出15千克放入乙筐，從乙筐取出20千克放入丙筐，從丙筐取出17千克放入甲筐，這時三筐蘋果就同樣重了。甲乙丙原來各有蘋果多少千克？

10、袋子里有若干個球，小明每次拿出其中的一半，再放回一個，一共做了5次，袋中還有3個球，原來袋中有幾個球？

6、三年級三個班共有學(xué)生156人，若從三（1）班調(diào)5人到三（2）班，從三（2）班調(diào)8人到三（3）班，再從三（3）班調(diào)4人到三（1）班，這時每個班的人數(shù)正好相同。三個班原來各有學(xué)生多少人？

7、有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看弟弟挑得太多，就搶過一半；弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半；哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊。這時，哥哥挑14塊，弟弟挑12塊。最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？

8、三人共有糖72粒，若甲給乙，丙各一些，使他們增加1倍。接著乙又給甲，丙各一些，使他們翻倍。最后丙也給甲，乙各一些，使他們翻倍。這時三人糖數(shù)相等，三人原來各有幾粒糖？

9、一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩下7米，這捆電線原來總長多少米？

第二篇：奧數(shù)精講與測試 三年級 奧數(shù) 逆推問題

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三年級數(shù)學(xué)

EET國際教育三年級數(shù)學(xué) 第十講 逆推問題

知識點，重點，難點

逆推問題還可稱為還原問題，解答這類問題時，要根據(jù)題意的敘述順序，有后向前逆推計算。逆推問題還被稱為逆推法，主要包含一下兩層意思。

1.要根據(jù)題意的敘述順序，從最后一組數(shù)量關(guān)系逆推至第一組的數(shù)量關(guān)系，這就是逆推法中運算順序的逆推含義。

2.原題相加，逆推用減；原題用減，逆推用加；原題相乘，逆推用除；原題用除，逆推用乘，這就是逆推法中計算方法的逆運算含義。

例1：某數(shù)如果先加上3，再乘以2，然后除以3，最后減去2，結(jié)果是10，問原數(shù)是多少？

分析：我們用代替原數(shù)，則□經(jīng)過一系列運算后是10，這一系列過程，我們可以用下圖來表示：

圖1

觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)，從最后結(jié)果10往回推，第第個橫線上的數(shù)是12×3=36，第個橫線上的數(shù)應(yīng)該是10+2=12，個橫線上的數(shù)應(yīng)該是36÷2=18，則 就是18－3=15.例2：小明從家到學(xué)校去，先走了全場的一半后，又走了剩下路程的一半。這時離學(xué)校還有1千米，問小明家到學(xué)校共多少千米？

分析：如圖2，采用倒退的方法，可以發(fā)現(xiàn)1千米是第一次剩下路程的一半，所以第一次剩下的路程就是1×2=2（千米），而第一次剩下路程2千米又是全程長的一半，所以全程長為2×2=4（千米）。

圖2

例3：做一道整數(shù)加法題時，一個同學(xué)把個位上的數(shù)6看是9，把十位上的數(shù)8看作3，結(jié)果得出和為123，問正確的和是多少？ 分析：學(xué)生把個位上的數(shù)6看是9，使和增加了9－6=3，把十位上的數(shù)8看作3，使和減少了80－30=50，將多增加的部分去掉，加上少加的部分，就能得出原來的和。

另外，根據(jù)題意可知原來的加數(shù)應(yīng)為86，而這個學(xué)生誤認(rèn)為是39，所以只要將錯誤的和123減去錯誤的加數(shù)，得出原來的另一個加數(shù)，再重新加上正確的加數(shù) EET國際教育內(nèi)部資料

三年級數(shù)學(xué)

86，也能得出正確之和。

例4：小朋友做一批紙花，第一天做個總數(shù)的一半多10朵，第二天又做了余下的一半多10個，還有25朵沒有做，問這批紙花一共有多少朵？

圖3 分析：按照題目中的條件與圖3，可推出如下算式 25+10=35（朵），35×2=70（朵），70+10=80（朵），80×2=160（朵）.例5：某水果店運進一批蘋果，運進的蘋果是原有蘋果的一半，原有的西瓜賣掉一半以后，恰好和現(xiàn)在的蘋果一樣多。已知原有蘋果800千克，問原有西瓜多少千克？

分析：如圖4可一步步推算出運進蘋果是800÷2=400（千克），現(xiàn)有蘋果800+400=1200（千克），原有西瓜1200×2=2400（千克）。

圖4

例6：小麗用4元錢買了一本《好兒童》，有用剩下的錢的一半買了一本《兒童畫報》，買鋼筆有用了剩下錢的一半多1元，最后還剩下4元錢，問小麗原來有多少錢？

圖5 分析：如圖5，用倒推法，第二次剩下的一半時4+1=5（元），第二次剩下5×2=10（元），第一次剩下10×2=20（元），原來有20+4=24（元）。

A 卷 EET國際教育內(nèi)部資料

三年級數(shù)學(xué)

1.某數(shù)加上3，乘以5，再加上7，除以8，減去9，再用4乘，恰好等于100，這個數(shù)是？

2.1997是香港回歸祖國的一年，張老師說：“把我的年齡乘以4減去17，再乘以10后加上7，正好等于1997.請同學(xué)們算一算，我今年幾歲？

3.倉庫里有一批大米，第一天運出150袋，第二天又運出了180袋，第三天又運進了220袋后倉庫里還剩下310袋大米，倉庫里原有大米多少袋？

4.百貨商店出售彩色電視機，上午售出總數(shù)的一半又3臺，下午售出余下又7臺，還剩4臺。商店里原來有電視機多少臺？

5.有一袋蘋果，甲取出其中的一半少1個，乙取出余下的一半多1個，丙又取出了余下的一半，這時還剩下1個。如果這袋蘋果共5元，那么每個蘋果多少錢？

6.一輛公共汽車出發(fā)時，車上有一些乘客。到了第一站，下去了2個乘客，上來了6個乘客；到了第二站，下去了3個乘客，上來了4個乘客。這時車上共有28個乘客，這輛公共汽車出發(fā)時車上有車上有幾個乘客？

7.小亮在做一道兩部計算題時，把乘以3誤以為除以3，接著又把加上4錯計算為減去4，這樣得到的結(jié)果是1，正確的結(jié)果應(yīng)是多少？

8.一袋糖用去一半多50克，還剩下200克，問原來這袋糖中多少克？

9.三個金魚缸共有15條金魚，如果從第一只缸里取出3只放到第二只缸，在從第二只缸中取出3條金魚放入第三只缸中，那么三只金魚缸里的金魚條數(shù)一樣多，原來第一只缸有金魚幾條？第二只缸有金魚幾條？第三只缸有金魚幾條？ EET國際教育內(nèi)部資料

三年級數(shù)學(xué)

10.商店里原來有煤若干噸，第一天上午運出總數(shù)的一半，下午運出5噸；第二天上運出余下煤的一半，下午也運出5噸；第三天又運出剩下煤的一半，下午運出5噸。這時倉庫里的煤正好運完，這個倉庫原有煤多少噸？

11.從第一堆梨中拿一半放入第二堆，拿35個放入第三堆，再拿出剩下的一半放入第四堆里，最后又吃掉第一堆中的2個梨，這時第一堆中還有48個，問原來第一堆中有梨多少個？

12.亮亮，寧寧，晶晶三人共帶了30元錢，寧寧給亮亮2元，亮亮用去3元，晶晶給寧寧2元后三人的錢數(shù)正好相等，問原來亮亮有多少錢？寧寧有多少錢？晶晶有多少錢?

B 卷

1.某數(shù)加上8，除以8，除以8，結(jié)果還是8，這個數(shù)是幾？

2.徒弟問師傅的年齡，師傅說：”把我的年齡加上5，除以3，再減去7就是你今年歲數(shù)的一半?！耙阎降芙衲?0歲，師傅今年多少歲？

3.芳芳在做一道加法題時，把一個加數(shù)個位上的5錯寫成6，又把另一個加數(shù)十位上的8錯寫成1，最后得到的和是472，這時正確的答案應(yīng)是多少？

4.一桶油，第一次用去全部的一半，第二次用去余下的一半，還剩下12千克，這桶油原來重多少千克？

5.某人去銀行取款，第一次取了存款數(shù)的一半還多30元，第二次取了余下數(shù)的一半還少10元。這時還剩115元，他原來存了多少錢？EET國際教育內(nèi)部資料

三年級數(shù)學(xué)

6.有一捆繩子，第一次用去全部的一半少3米，第二次用去余下的一半多5米后繩子正好用完，原來這捆繩子長多少米？

7.媽媽買來一些橘子，小剛第一天吃了這些橘子的一半多1個，第二天吃了剩下的一半多一個，第三天吃掉第二天剩下的一半多1個，還剩一個橘子，媽媽買得橘子一共有多少個？

8.甲，乙兩個倉庫共存糧95噸，從甲倉庫調(diào)8噸糧食到乙倉庫，又從乙倉庫調(diào)35噸糧食支援災(zāi)區(qū)，這時甲倉存糧多少噸？義倉庫存糧多少噸？

9.甲，乙兩籃水果，個數(shù)不等，從甲籃里拿出一些蘋果放到乙藍(lán)里，使乙籃的蘋果個數(shù)增加一倍；再從乙藍(lán)拿出一些蘋果放回甲藍(lán)，使甲籃里的蘋果個數(shù)都是20只，原來甲藍(lán)里有蘋果多少只，乙藍(lán)里有蘋果多少只？

10.從第一堆梨中拿一半放入第二堆，拿35個放入第三堆，再拿出剩下的一半放入第四堆里，最后又吃掉第一堆中的2個梨，這是第一堆中還有48個，原來第一堆中有梨多少個？

11.小朋友分一堆蘋果，先分它的一半多3個給年齡較小的，然后把其余的一半多2個給年齡較大的。這時還剩4個蘋果，問原來有蘋果多少個？

12.甲，乙，丙三個同學(xué)共有鉛筆30支，甲給乙6支，乙給丙5支，丙給甲2只。這時三人的蘋果數(shù)相等，問他們各有鉛筆多少只？

C 卷

1.老爺爺說：“把我的年齡加上12，再用4除，然后減去15，再乘以10，恰好是100歲。”這位老爺爺現(xiàn)在又多少歲？EET國際教育內(nèi)部資料

三年級數(shù)學(xué)

2.甲，乙，丙三個共有圖書120本，乙向甲借3本后，又送給丙5本，結(jié)果三個人圖書數(shù)相等，甲，乙，丙三人各有圖書多少本？

3.植樹節(jié)學(xué)校要栽102棵樹苗，小強和小明兩人掙著去栽。小強先拿了若干樹苗，小明見小強拿的太多，就搶了10棵，小強不肯，用從小明那里搶回來6棵，這是小強拿的棵樹是小明的2倍，最初小強拿了多少棵樹苗？

4.百貨商店出售彩色電視機，上午售出總數(shù)的一半多20臺，下午售出余下的一半多15臺，還剩75臺。店里原有彩色電視機多少臺？

5.一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米？

6.今有蘋果不知其數(shù)，如果把蘋果數(shù)減去50，加上3，得數(shù)123，有多少個蘋果？

7.有一個數(shù)除以4，再乘以5，減去35，加上10等于100，這個數(shù)是？

8.小文在計算兩個數(shù)相加時，把一個加數(shù)個位上的1錯誤的當(dāng)做7，把另一個加數(shù)十位上8錯誤的當(dāng)做3，所得的和是1995.原來兩數(shù)相加的正確答案是多少？

9.有磚26塊，甲乙兩人爭著搬，甲看乙搬得太多，就搶過來一半，乙不服，又從甲哪兒搶走一半，甲不肯，乙只好再給甲5塊，這時甲比乙多搬2塊，問最初乙準(zhǔn)備搬多少塊？

10.有甲，乙兩堆小球各若干個，按下面的規(guī)律挪動小球：第一次從甲堆拿出與乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二次從乙堆拿出與甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆。。如此挪動4次后，甲，乙兩堆的小球恰好都是16個，問甲，乙兩堆小球最初各是多少個？ EET國際教育內(nèi)部資料

三年級數(shù)學(xué)

11.有三堆棋子共48顆，第一次從第一堆中拿出與第二堆顆數(shù)相同的棋子放入第二堆，第二次又從第二堆中拿出和第三堆相同的顆數(shù)放入第三隊，第三次從第三堆中拿出和這時第一堆顆數(shù)相同的棋子放入第一堆。這時三堆棋子顆數(shù)相同，問原來每堆棋子各有多少顆？

12.有一堆糖果，慢慢將它三等分后還多一塊糖，媽媽留下其中的一份和多出的那塊糖，其余的分給了哥哥；哥哥把所得的糖三等分，也多出一塊。哥哥留下其中的一份和多出的那塊糖，其余的分給了我；我也學(xué)他們將糖三等分，還是多出一塊。你知道媽媽開始至少有幾顆糖嗎？

第三篇：小學(xué)奧數(shù)三年級第5講平均數(shù)

第7講

平均數(shù)

一組數(shù)的和除以這組數(shù)的個數(shù)，稱為這組數(shù)的平均數(shù)。

例1、5個連續(xù)自然數(shù)的中間一個數(shù)是45，這5個數(shù)的和是多少？

分析5個連續(xù)自然數(shù)的第3個數(shù)是45，第2個（44）與第4個（46）相加是兩個45，第1個（43）與第5個（47）相加是兩個45。

解

和是

45×5=225

隨堂練習(xí)1 計算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地，奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和等于中間一項乘以項數(shù)。換句話說，奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)就是中間的那個數(shù)。高斯求和方法的實質(zhì)就是

和=平均數(shù)×項數(shù)

偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)不是整數(shù)，我們現(xiàn)在尚未學(xué)到。所以先將第一項加最后一項，第二項加倒數(shù)第二項……直至中間兩項相加，這些和都相等。而個數(shù)是項數(shù)的一半，所以偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和等于中間兩項的和（也即首末兩項的和）乘以項數(shù)除以2.例2、8個連續(xù)自然數(shù)的和是108，寫出這8個數(shù)。

分析

因為中間兩個數(shù)相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中間兩項的和可以求出來。

解 中間兩項的和是108÷（8÷2）=27 又

27=13+14 所以中間兩項是13、14.這8個數(shù)是10、11、12、13、14、15、16、17.（由13往前數(shù)4個數(shù)到10，由14往后數(shù)4個數(shù)到17）答：這8個連續(xù)的自然數(shù)是10、11、12、13、14、15、16、17.隨堂練習(xí)2 6個連續(xù)自然數(shù)的和是273，這6個數(shù)中的第一個數(shù)是多少？

例

3、求出以下28個數(shù)的平均數(shù): 12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.分析與解

這28個數(shù)的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均數(shù)，但比較麻煩。如果注意到25個連續(xù)自然數(shù)11、12、13，……，35的平均數(shù)是23（中間一項），那么就比較容易。

因為 13+16+16+35 =（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）=11+23+23+23 所以原來的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，原來28個數(shù)的平均數(shù)正好是23.隨堂練習(xí)3 求28個數(shù)：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均數(shù)。

例

4、求數(shù)列 1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53（1）的規(guī)律，并求這組數(shù)的和與平均數(shù)。

分析 數(shù)列的奇數(shù)項數(shù)的項組成等差數(shù)列（公差是3）1、4、7，……，49、52.（2）數(shù)列的偶數(shù)項數(shù)的項組成等差數(shù)列（公差也是3）2、5、8，……，50、53.（3）

分別求出數(shù)列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均數(shù)。但更為簡單的辦法是直接運用高斯的思想。注意： 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28（4）解 1與53的平均數(shù)是27，也就是1+53可以換成2個27相加。同樣，2+52,4+50，……，26+28都可以換成27+27.因此（1）的和是27×36=972.從例4可以看出，如果一組數(shù)可以分成許多小組，各小組的平均數(shù)都相等，那么這個相等的數(shù)就是這組數(shù)的平均數(shù)（例4中，每個小組2個數(shù)的和是54，每個小組的平均數(shù)是27）。

隨堂練習(xí)4 尋找數(shù)列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的規(guī)律，并求這數(shù)列的和。

練習(xí)題：

（1）求1至100內(nèi)能被4整除余1的所有數(shù)的和。

（2）求1至100內(nèi)既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的所有數(shù)的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把這44只乒乓球放到盒子中，每個盒子中至少要放一個球，能不能使每個盒中的球數(shù)都不相同？

（4）影劇院共有25排座位，第一排有20個座位，以后每排比前一排多2個座位，問：影劇院共有多少個座位？

（5）時鐘在每個整點時敲這鐘點數(shù)，每半點鐘時敲1下，問：一晝夜該時鐘總共敲多少下？（6）求所有三位數(shù)的和。

（7）求1至100（包括100在內(nèi)）的所有5的倍數(shù)的和。

（8）50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，試多少次就足夠了？

（9）已知數(shù)列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。這個數(shù)列的第30項是哪個數(shù)？到第25項止，這些數(shù)的和是多少？

（10）24個連續(xù)自然數(shù)12―35，再添上一個35，一個13，兩個16.這28個數(shù)的平均值是多少？

第四篇：四年級奧數(shù) 第29講 抽屜原理

第29講 抽屜原理

（一）如果將5個蘋果放到3個抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。道理很簡單，如果每個抽屜中放的蘋果都少于2個，即放1個或不放，那么3個抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。

同樣，有5只鴿子飛進4個鴿籠里，那么一定有一個鴿籠至少飛進了2只鴿子。

以上兩個簡單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。

抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。

說明這個原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個抽屜中所放物品的總數(shù)就不會超過n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。

從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入1件物品，共放入n件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有1個抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。

例1某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個抽屜，將367名小朋友看作367個物品。這樣，把367個物品放進366個抽屜里，至少有一個抽屜里不止放一個物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被3整除？

分析與解：因為任何整數(shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個“抽屜”。一個整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個“抽屜”里。

將四個自然數(shù)放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數(shù)，也就是說至少有兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個數(shù)的差必能被3整除。

例3在任意的五個自然數(shù)中，是否其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)？

分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2?，F(xiàn)在，對于任意的五個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來加以討論。

第一種情形。有三個數(shù)在同一個抽屜里，即這三個數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因為這三個數(shù)的余數(shù)之和是其中一個余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個數(shù)之和能被3整除。

第二種情形。至多有兩個數(shù)在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數(shù)，在每個抽屜里各取一個數(shù)，這三個數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個數(shù)之和能被3整除。

綜上所述，在任意的五個自然數(shù)中，其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)。

例4在長度是10厘米的線段上任意取11個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于1厘米？ 分析與解：把長度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長度是1厘米（見下圖）。

將每段線段看成是一個“抽屜”，一共有10個抽屜?，F(xiàn)在將這11個點放到這10個抽屜中去。根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的點（包括這些線段的端點）。由于這兩個點在同一個抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會大于1厘米。

所以，在長度是10厘米的線段上任意取11個點，至少存在兩個點，它們之間的距離不大于1厘米。

例5有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？ 分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個數(shù)的奇、偶性上來考慮抽屜的設(shè)計。

對于每堆水果中的蘋果、桔子的個數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個數(shù)的搭配就有4種情形：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號中的第一個字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個字表示桔子數(shù)的奇偶性。

將這4種情形看成4個抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)。

例6用紅、藍(lán)兩種顏色將一個2×5方格圖中的小方格隨意涂色（見右圖），每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？

分析與解：用紅、藍(lán)兩種顏色給每列中兩個小方格隨意涂色，只有下面四種情形：

將上面的四種情形看成四個“抽屜”。根據(jù)抽屜原理，將五列放入四個抽屜，至少有一個抽屜中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。

在上面的幾個例子中，例1用一年的366天作為366個抽屜；例2與例3用整數(shù)被3除的余數(shù)的三種情形0，1，2作為3個抽屜；例4將一條線段的10等份作為10個抽屜；例5把每堆水果中，蘋果數(shù)與桔子數(shù)的奇偶搭配情形作為4個抽屜；例6將每列中兩個小方格涂色的4種情形作為4個抽屜。由此可見，利用抽屜原理解題的關(guān)鍵，在于恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造抽屜。

第五篇：四年級奧數(shù)基礎(chǔ)教程第25講 智取火柴

第25講 智取火柴

在數(shù)學(xué)游戲中有一類取火柴游戲，它有很多種玩法，由于游戲的規(guī)則不同，取勝的方法也就不同。但不論哪種玩法，要想取勝，一定離不開用數(shù)學(xué)思想去推算。

例1桌子上放著60根火柴，甲、乙二人輪流每次取走1～3根。規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝。如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？

分析與解：本題采用逆推法分析。獲勝方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒數(shù)第二次取時，必須留給對方4根，此時無論對方取1，2或3根，獲勝方都可以取走最后一根；再往前逆推，獲勝方要想留給對方4根，在倒數(shù)第三次取時，必須留給對方8根……由此可知，獲勝方只要每次留給對方的都是4的倍數(shù)根，則必勝。現(xiàn)在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留給乙4的倍數(shù)根，而甲每次取完后，乙再取都可以留給甲4的倍數(shù)根，所以在雙方都采用最佳策略的情況下，乙必勝。

在例1中為什么一定要留給對方4的倍數(shù)根，而不是5的倍數(shù)根或其它倍數(shù)根呢？關(guān)鍵在于規(guī)定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在兩人緊接著的兩次取火柴中，后取的總能保證兩人取的總數(shù)是4。利用這一特點，就能分析出誰采用最佳方法必勝，最佳方法是什么。由此出發(fā)，對于例1的各種變化，都能分析出誰能獲勝及獲勝的方法。

例2在例1中將“每次取走1～3根”改為“每次取走1～6根”，其余不變，情形會怎樣？ 分析與解：由例1的分析知，只要始終留給對方（1+6=）7的倍數(shù)根火柴，就一定獲勝。因為60÷7＝8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍數(shù)，以后總留給乙7的倍數(shù)根火柴，甲必勝。

由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者獲勝的規(guī)定下，誰能做到總給對方留下（1+n）的倍數(shù)根火柴，誰將獲勝。例3將例1中“誰取走最后一根火柴誰獲勝”改為“誰取走最后一根火柴誰輸”，其余不變，情形又將如何？

分析與解：最后留給對方1根火柴者必勝。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留給對方4的倍數(shù)加1根火柴必勝。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都將除以4余1的根數(shù)留給乙，甲必勝。

由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者為負(fù)的規(guī)定下，誰能做到總給對方留下（1＋n）的倍數(shù)加1根火柴，誰將獲勝。

有許多游戲雖然不是取火柴的形式，但游戲取勝的方法及分析思路與取火柴游戲完全相同。

例4兩人從1開始按自然數(shù)順序輪流依次報數(shù)，每人每次只能報1～5個數(shù)，誰先報到50誰勝。你選擇先報數(shù)還是后報數(shù)？怎樣才能獲勝？

分析與解：對照例

1、例2可以看出，本例是取火柴游戲的變形。因為50÷（1＋5）＝8……2，所以要想獲勝，應(yīng)選擇先報，第一次報2個數(shù)，剩下48個數(shù)是（1＋5＝）6的倍數(shù)，以后總把6的倍數(shù)個數(shù)留給對方，必勝。

例51111個空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后輪流向右移動棋子，每次移動1～7格。規(guī)定將棋子移到最后一格者輸。甲為了獲勝，第一步必須向右移多少格？ 分析與解：本例是例3的變形，但應(yīng)注意，一開始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-1＝1110（個）空格。由例3知，只要甲始終留給乙（1+7=）8的倍數(shù)加1格，就可獲勝。

（111-1）÷（1＋7）＝138……6，所以甲第一步必須移5格，還剩下1105格，1105是8的倍數(shù)加1。以后無論乙移幾格，甲下次移的格數(shù)與乙移的格數(shù)之和是8，甲就必勝。因為甲移完后，給乙留下的空格數(shù)永遠(yuǎn)是8的倍數(shù)加1。例6今有兩堆火柴，一堆35根，另一堆24根。兩人輪流在其中任一堆中拿取，取的根數(shù)不限，但不能不取。規(guī)定取得最后一根者為贏。問：先取者有何策略能獲勝？

分析與解：本題雖然也是取火柴問題，但由于火柴的堆數(shù)多于一堆，故本題的獲勝策略與前面的例題完全不同。

先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下兩堆的火柴數(shù)相同。以后無論對手在某一堆取幾根火柴，你只須在另一堆也取同樣多根火柴。只要對手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是說，最后一根火柴總會被你拿到。這樣先取者總可獲勝。

請同學(xué)們想一想，如果在上面玩法中，兩堆火柴數(shù)目一開始就相同，例如兩堆都是35根火柴，那么先取者還能獲勝嗎？

例7有3堆火柴，分別有1根、2根與3根火柴。甲先乙后輪流從任意一堆里取火柴，取的根數(shù)不限，規(guī)定誰能取到最后一根或最后幾根火柴就獲勝。如果采用最佳方法，那么誰將獲勝？

分析與解：根據(jù)例6的解法，誰在某次取過火柴之后，恰好留下兩堆數(shù)目相等的火柴，誰就能取勝。

甲先取，共有六種取法：從第1堆里取1根，從第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。無論哪種取法，乙采取正確的取法，都可以留下兩堆數(shù)目相等的火柴（同學(xué)們不妨自己試試），所以乙采用最佳方法一定獲勝。練習(xí)25

1.桌上有30根火柴，兩人輪流從中拿取，規(guī)定每人每次可取1～3根，且取最后一根者為贏。問：先取者如何拿才能保證獲勝？

2.有1999個球，甲、乙兩人輪流取球，每人每次至少取一個，最多取5個，取到最后一個球的人為輸。如果甲先取，那么誰將獲勝？

3.甲、乙二人輪流報數(shù)，甲先乙后，每次每人報1～4個數(shù)，誰報到第888個數(shù)誰勝。誰將獲勝？怎樣獲勝？

4.有兩堆枚數(shù)相等的棋子，甲、乙兩人輪流在其中任意一堆里取，取的枚數(shù)不限，但不能不取，誰取到最后一枚棋子誰獲勝。如果甲后取，那么他一定能獲勝嗎？

5.黑板上寫著一排相連的自然數(shù)1，2，3，…，51。甲、乙兩人輪流劃掉連續(xù)的3個數(shù)。規(guī)定在誰劃過之后另一人再也劃不成了，誰就算取勝。問：甲有必勝的策略嗎？

6.有三行棋子，分別有1，2，4枚棋子，兩人輪流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，誰取走最后一枚棋子誰勝。問：要想獲勝是先取還是后??？