第一篇：六年級奧數(shù)培訓第20講 抓“不變量”解題

第20講 抓“不變量”解題

一、知識要點

一些分數(shù)的分子與分母被施行了加減變化，解答時關鍵要分析哪些量變了，哪些量沒有變。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不變量進行分析后，再轉(zhuǎn)化并解答。

二、精講精練

【例題1】將

743的分子與分母同時加上某數(shù)后得，求所加的這個數(shù)。

961【思路導航】解法一：因為分數(shù)的分子與分母加上了一個數(shù)，所以分數(shù)的分子與分母的差不變，仍是18，所以，原題轉(zhuǎn)化成了一各簡單的分數(shù)問題：“一個分數(shù)的分子比分母少18，且分子是分母的，由此可求出新分數(shù)的分子和分母?！?/p>

分母：（61-43）÷（1－）＝81 分子：81×＝63 81-61＝20或63-43＝20

743的分母比分子多18，的分母比分子多2，因為分數(shù)的 與分

9617母的差不變，所以將的分子、分母同時擴大（18÷2=）9倍。

97① 的分子、分母應擴大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）

9777?963② 約分后所得的在約分前是：＝＝

999?981797979解法二：③ 所加的數(shù)是81-61＝20 答：所加的數(shù)是20。練習1： 1.分數(shù)

297的分子和分母都減去同一個數(shù)，新的分數(shù)約分后是，那么減

5181去的數(shù)是多少？

2.將一個分數(shù)的分母加上2得，分母加上2得。原來的分數(shù)是多少？

3.將一個分數(shù)的分母加上5得，分母加上4得。原來的分數(shù)是多少？

【例題3】在一個最簡分數(shù)的分子上加一個數(shù)，這個分數(shù)就等于。如果在它的分子上減去同一個數(shù)，這個分數(shù)就等于，求原來的最簡分數(shù)是多少。

【思路導航】解法一：兩個新分數(shù)在未約分時，分母相同。將這兩個分數(shù)

51017，=。根據(jù)題意，兩個新分數(shù)分子的差應714214107為2的倍數(shù)，所以分別想和的分子和分母再乘以2。所以

14***17＝＝，＝＝ ,故原來的最簡分數(shù)是。***737493445化成分母相同的分數(shù)，即=解法二：根據(jù)題意，兩個新分數(shù)的和等于原分數(shù)的2倍。所以（+）÷2＝

練習3：

1.一個最簡分數(shù)，在它的分子上加一個數(shù)，這個分數(shù)就等于。如果在它的分子上減去同一個數(shù)，這個分數(shù)就等于，求這個分數(shù)。

1258571217 28-32.將一個分數(shù)的分母減去3，約分后得；若將它的分母減去5，則得。原來的分數(shù)是多少？（用兩種方法做）

【例題5】有一個分數(shù)，如果分子加1，這個分數(shù)等于；如果分母加1，這個分數(shù)就等于，這個分數(shù)是多少？

【思路導航】根據(jù)“分子加1，這個分數(shù)等于”可知，分母比分子的2倍多2；根據(jù)“分母加1這個分數(shù)就等于”可知，分母比分子的3倍少1。所以，這個分數(shù)的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，這個分數(shù)是。

練習5：

1.一個分數(shù)，如果分子加3，這個分數(shù)等于，如果分母加上1，這個分數(shù)等于，這個分數(shù)是多少？

2.一個分數(shù)，如果分子加5，這個分數(shù)等于，如果分母減3，這個分數(shù)等于，這個分數(shù)是多少？ ***31213126778-5

***3

第二篇：設數(shù)法解題 《舉一反三》六年級奧數(shù)教案

《舉一反三》六年級奧數(shù)教案

一、教學內(nèi)容：舉一反三P44—P48

二、教學目標：

1、學會用“設數(shù)法”解題。

2、理解所設的數(shù)只要便于列式計算，它們的大小與解答的結(jié)果無關。

三、教學難點：怎樣設數(shù)才能使解題最簡便。

四、教學設計：

1、復習上次課所學內(nèi)容，講解作業(yè)。

P40瘋狂操練2（1）P40瘋狂操練2（2）

2、新課內(nèi)容

I、為什么要設數(shù)？

【例題1】：如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（）個△?！痉治觥浚河傻谝粋€等式可以設△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左邊是12，所以右邊括號內(nèi)應填4。

總結(jié)：本題如果不用設數(shù)代入法，直接用圖形互相代換，顯然要多費周折。

有些題目直接解答比較困難，設一個具體數(shù)后，解答的難度可以適當降低，也便于理解，這種方法叫做設數(shù)法。

【例題2】足球門票15元一張，降價后觀眾增加一倍，收入增加1/5，問一張門票降價多少元？

【分析】：初看似乎缺少觀眾人數(shù)這個條件，如果設原來有a名觀眾，則每張票降價：15-15a×(1+1/5)÷2a=6（元）。

方法二：見書P45例題2【思路導航】

答：略。

總結(jié)：在用設數(shù)法解題時，我們知道所設的數(shù)只要便于列式計算，它們的大?。ǖ荒苁?）與解答的結(jié)果沒有關系。所以我們設的這個數(shù)要盡量方便計算。

II、怎樣設數(shù)？怎樣設數(shù)最簡便？

【例題3】小王在一個小山坡來回運動。先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再從原路下山，每分鐘跑240米，又從原路上山，每分鐘跑150米，再從原路下山，每分鐘跑200米，求小王的平均速度。

【分析】：很多同學看到題目后，立刻列出算式：(200+240+150+200)/4。切記：求平均速度時，我們用公式：平均速度=總路程/總時間。

1）為什么設單程路程：我們知道平均速度=總路程/總時間，要求小王的平均速度，題目所給條件似乎不夠，此時，我們可以假設總路程（4個單程路程之和）或總時間（4個單程時間之和），又4個單程時間都不同，所以我們假設總路程要更簡便。

2）為什么設單程路程為1200米：因為題中出現(xiàn)了四個速度，為方便計算，我們?nèi)?個速度的最小公倍數(shù)，（怎樣取最小公倍數(shù)？）即1200米，即設一個單程是1200米。

具體過程見書P46例題3【思路導航】

答：略。

總結(jié)：在設數(shù)法求解較復雜應用題時，我們一般假設題中不變的量，這樣求解最簡單。

3、能力提升。

【例題4】

【分析】初看題目似乎無從下手，那么我們從題目問題開始。我們知道男生的平均身高=男生的總身高/男生人數(shù)，所以我們假設男生人數(shù)較簡便。

由已知可得：男生人數(shù)=(1＋1/5)×女生人數(shù)，當女生人數(shù)為5人時，男生人數(shù)為6人。所以總身高＝（5＋6）×115=1265（厘米），又

總身高＝男生總身高＋女生總身高

＝6×男生平均身高＋5×女生平均身高，又女生平均身高=（1＋10%）×男生平均身高

＝6×男生平均身高＋5×（1＋10%）×男生平均身高

＝[6＋5×（1＋10%）]×男生平均身高

所以男生平均身高＝1265÷[6＋5×（1＋10%）]＝110（厘米）答：這個班男孩平均身高為110厘米。

方法二：見書P47例題4【思路導航】

第三篇：小學奧數(shù)三年級第5講平均數(shù)

第7講

平均數(shù)

一組數(shù)的和除以這組數(shù)的個數(shù)，稱為這組數(shù)的平均數(shù)。

例1、5個連續(xù)自然數(shù)的中間一個數(shù)是45，這5個數(shù)的和是多少？

分析5個連續(xù)自然數(shù)的第3個數(shù)是45，第2個（44）與第4個（46）相加是兩個45，第1個（43）與第5個（47）相加是兩個45。

解

和是

45×5=225

隨堂練習1 計算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地，奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和等于中間一項乘以項數(shù)。換句話說，奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)就是中間的那個數(shù)。高斯求和方法的實質(zhì)就是

和=平均數(shù)×項數(shù)

偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)不是整數(shù)，我們現(xiàn)在尚未學到。所以先將第一項加最后一項，第二項加倒數(shù)第二項……直至中間兩項相加，這些和都相等。而個數(shù)是項數(shù)的一半，所以偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和等于中間兩項的和（也即首末兩項的和）乘以項數(shù)除以2.例2、8個連續(xù)自然數(shù)的和是108，寫出這8個數(shù)。

分析

因為中間兩個數(shù)相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中間兩項的和可以求出來。

解 中間兩項的和是108÷（8÷2）=27 又

27=13+14 所以中間兩項是13、14.這8個數(shù)是10、11、12、13、14、15、16、17.（由13往前數(shù)4個數(shù)到10，由14往后數(shù)4個數(shù)到17）答：這8個連續(xù)的自然數(shù)是10、11、12、13、14、15、16、17.隨堂練習2 6個連續(xù)自然數(shù)的和是273，這6個數(shù)中的第一個數(shù)是多少？

例

3、求出以下28個數(shù)的平均數(shù): 12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.分析與解

這28個數(shù)的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均數(shù)，但比較麻煩。如果注意到25個連續(xù)自然數(shù)11、12、13，……，35的平均數(shù)是23（中間一項），那么就比較容易。

因為 13+16+16+35 =（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）=11+23+23+23 所以原來的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，原來28個數(shù)的平均數(shù)正好是23.隨堂練習3 求28個數(shù)：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均數(shù)。

例

4、求數(shù)列 1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53（1）的規(guī)律，并求這組數(shù)的和與平均數(shù)。

分析 數(shù)列的奇數(shù)項數(shù)的項組成等差數(shù)列（公差是3）1、4、7，……，49、52.（2）數(shù)列的偶數(shù)項數(shù)的項組成等差數(shù)列（公差也是3）2、5、8，……，50、53.（3）

分別求出數(shù)列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均數(shù)。但更為簡單的辦法是直接運用高斯的思想。注意： 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28（4）解 1與53的平均數(shù)是27，也就是1+53可以換成2個27相加。同樣，2+52,4+50，……，26+28都可以換成27+27.因此（1）的和是27×36=972.從例4可以看出，如果一組數(shù)可以分成許多小組，各小組的平均數(shù)都相等，那么這個相等的數(shù)就是這組數(shù)的平均數(shù)（例4中，每個小組2個數(shù)的和是54，每個小組的平均數(shù)是27）。

隨堂練習4 尋找數(shù)列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的規(guī)律，并求這數(shù)列的和。

練習題：

（1）求1至100內(nèi)能被4整除余1的所有數(shù)的和。

（2）求1至100內(nèi)既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的所有數(shù)的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把這44只乒乓球放到盒子中，每個盒子中至少要放一個球，能不能使每個盒中的球數(shù)都不相同？

（4）影劇院共有25排座位，第一排有20個座位，以后每排比前一排多2個座位，問：影劇院共有多少個座位？

（5）時鐘在每個整點時敲這鐘點數(shù)，每半點鐘時敲1下，問：一晝夜該時鐘總共敲多少下？（6）求所有三位數(shù)的和。

（7）求1至100（包括100在內(nèi)）的所有5的倍數(shù)的和。

（8）50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，試多少次就足夠了？

（9）已知數(shù)列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。這個數(shù)列的第30項是哪個數(shù)？到第25項止，這些數(shù)的和是多少？

（10）24個連續(xù)自然數(shù)12―35，再添上一個35，一個13，兩個16.這28個數(shù)的平均值是多少？

第四篇：初一奧數(shù)提高班第03講-絕對值_

金蘋果文化培訓學校奧數(shù)學提高班

第3講絕對值（1）

一 主要知識點回顧

1．有理數(shù)：按有理數(shù)的符號分為三類：正有理數(shù)、負有理數(shù)和零，簡稱正數(shù)、負數(shù)和零 2.數(shù)軸的三要素——原點、正方向和單位長度，缺一不可．相反數(shù):只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)（符號相反且絕對值相等的兩數(shù)）絕對值

一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零．即

絕對值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認識，它與距離的概念密切相關．在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離叫這個數(shù)的絕對值．

結(jié)合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對值相等的數(shù)有兩個，它們恰好互為相反數(shù)．反之，相反數(shù)的絕對值相等也成立．由此還可得到一個常用的結(jié)論：任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)

二 典型例題分析:

例1 a，b為實數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件？

(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

(4)若｜a｜=b，則a=b；5)若｜a｜＜｜b｜，則a＜b；(6)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜．

例2 設有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖1-1所示，化簡｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

三.專項練習

(一).填空題:

1.a＞0時，|2a|=________；(2)當a＞1時，|a-1|=________；

2.已知a??b?3?0，則a____b______

3.如果a>0，b<0，a?b，則a，b，—a，—b這4個數(shù)從小到大的順序是______________________(用大于號連接起來)

4.若xy?0，z?0，那么xyz=______0．

5.上山的速度為a千米/時，下山的速度為b千米/時，則此人上山下山的整個路程的平均速度是_______________千米/時

(二).選擇題:

6.值大于3且小于5的所有整數(shù)的和是（）

A.7B.－7C.0D.57.知字母a、b表示有理數(shù)，如果a+b=0，則下列說法正確的是（）

A.a、b中一定有一個是負數(shù)B.a、b都為0

C.a與b不可能相等D.a與b的絕對值相等

8.下列說法中不正確的是()

Ａ．0既不是正數(shù),也不是負數(shù)B．0不是自然數(shù)

C．0的相反數(shù)是零D．0的絕對值是0

9.列說法中正確的是（）

A、?a是正數(shù)B、—a是負數(shù)C、?a是負數(shù)D、?a不是負數(shù) 10.x=3，y=2，且x>y，則x+y的值為（）

A、5B、1C、5或1D、—5或—

111.<0時，化簡a

a等于（）

A、1B、—1C、0D、?

112.若ab?ab，則必有（）

A、a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、ab?0

13.已知：x=3，y=2，且x>y，則x+y的值為（）

A、5B、1C、5或1D、—5或—

1(三).解答題:

14.a＋b＜0，化簡｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．

15..若x?y+y?3=0，求2x+y的值.16.當b為何值時，5-2b?有最大值，最大值是多少？

17.已知a是最小的正整數(shù)，b、c是有理數(shù)，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.4ab?c求式子的值.22?a?c?

418.若a，b，c為整數(shù)，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，試計算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．《春雨的色彩》說課稿

一、教材內(nèi)容分析：

春天里萬物復蘇，百花爭艷、綠草如蔭、一派迷人的景色?！洞河甑纳省芬饩硟?yōu)美，散文詩中綿綿的春雨，屋檐下嘰嘰喳喳的小鳥，萬紫千紅的大地，給人以美的陶冶和享受，與此同時啟發(fā)幼兒通過簡潔優(yōu)美的語言以及相應的情景對話練習感受春天的勃勃生機。激發(fā)幼兒熱愛大自然的情感，啟發(fā)幼兒觀察、發(fā)現(xiàn)自然界的變化，感知春的意韻，并嘗試運用多種方法把春雨的色彩表現(xiàn)出來，以此來表達自己的情感體驗。

二、幼兒情況分析：

中班下學期的幼兒探究、分析、觀察能力有了一定的發(fā)展，并且孩子們充滿了好奇心和強烈的探究欲，能主動地去探究周圍和環(huán)境的變化，并且能根據(jù)變化運用自己的表達方式將感知到的變化加以表現(xiàn)。同時這個時期的幼兒的語言表達能力及審美能力有一定的發(fā)展，孩子們在平時的活動中也積累了許多有關繪畫方面的經(jīng)驗在活動展示出來。

三、活動目標：

教育活動的目標是教育活動的起點和歸宿，對教育活動起著主導作用，我根據(jù)中班幼兒的實際情況制定了一下活動目標：

1、情感態(tài)度目標：引導幼兒感受散文詩的意境美。

2、能力目標：發(fā)展幼兒的審美能力和想象力。

3、認知目標：幫助幼兒在理解散文的基礎上感受春天的生機，知道春雨對萬物生長的作用。

四、活動的重點和難點：

重點是：引導幼兒份角色朗誦小動物的對話，感受散文詩的優(yōu)美，進而豐富詞匯、發(fā)展幼兒的觀察能力、思維和語言表達能力。

難點是：學習詞語“淋、滴、灑、落”、學習春雨的對話、詩句“親愛的小鳥們，你們說得都對，但都沒說全面，我本身是無色的，但我能給春天的大地帶來萬紫千紅”。

五、活動準備：

1、經(jīng)驗準備：課前學會朗誦詩《春天》，并組織幼兒春游，根據(jù)天氣情況實地觀察春雨，讓幼兒感受了解春天的有關知識經(jīng)驗。

2、物質(zhì)準備：小動物頭飾、教學課件、幼兒繪畫用紙筆

六、教法：陶行知先生曾經(jīng)說：“解放兒童的雙手，讓他們?nèi)プ鋈ジ伞彼栽诒敬位顒又?，我力求對幼兒充分放手，對大限度的激發(fā)幼兒的學習興趣，讓他們自己去探究、去發(fā)現(xiàn)、去感受，我主要采取了以下教學法：

1、談話法：在活動得導入環(huán)節(jié)我運用與幼兒進行有關春天主題的談話，幫助幼兒積累整理自己積累的有關春天的知識經(jīng)驗。

2、演示法：在活動中我通過多媒體課件向 幼兒展示春天的勃勃生機，《春雨的色彩》散文詩的情景，也是通過課件中輕柔的配樂詩朗誦體現(xiàn)出來的?，F(xiàn)代教學輔助手段的運用進一步強化了他的作用，使幼兒對春天、春雨更加了解和熟悉。

3、情景演示法：將幼兒置身于《春雨的色彩》散文情景中，通過角色表演，強化幼兒對春雨的色彩的感受。

此外我還適時采用了交流討論法、激勵法、審美熏陶法和動靜交替法加以整合，使幼兒從多方面獲得探索過程的愉悅。

七、學法：

1、多種感官參與法：《新綱要》中明確指出：幼兒能用多種感官動手動腦、探究問題，用適當?shù)姆绞奖磉_交流探索的過程和結(jié)果，本次活動中，幼兒通過觀察發(fā)現(xiàn)自然界的變化，感知春天的意韻，并嘗試引導幼兒運用多種方法把春雨的色彩表現(xiàn)出來，以此來表達自己的情感體驗。

2、體驗法：心理學指出：凡是人們積極參與體驗過的活動，人的記憶效果就會明顯提高。在活動中，讓幼兒自己進行角色表演，說出小動物們之間的對話，一定會留下深刻的印象，同伴之間合作表演的快樂，也將成為他們永遠的回憶。

八、教學過程

活動流程我采用環(huán)環(huán)相扣來組織活動程序，活動流程為激發(fā)興趣談春天-----看春雨-------欣賞散文詩------情景表演-------經(jīng)驗總結(jié)-------審美延（繪畫形式）

1、激發(fā)興趣談春天

“興趣是最好的老師”。活動開始我利用談話形式引導幼兒將自己已有的關于春天的經(jīng)驗進行整理，激發(fā)幼兒活動興趣。

2、看春雨

觀看課件《春雨的色彩》前半部分，到春雨姐姐歡迎的最熱烈老師說：一天，一群小鳥在屋檐下躲雨，他們在爭論一個有趣的話題，你們知道他們在爭論什么問題嗎？（幼兒回答）對他們在爭論：春雨到底是什么顏色的？

這樣的設計自然合理，進而引出散文詩《春雨的色彩》

3、欣賞散文詩

（1）完整欣賞后請幼兒把不懂得地方提出來，由幼兒提出來，教師引導討論，幫助幼兒理解散文詩的內(nèi)容。

（2）尋找句子、加深印象

給幼兒提出要求，請幼兒找一找詩里描寫春雨下到草地上、柳樹上、桃樹上、杏樹上、有菜地里、蒲公英上各用那些詞語，通過找，讓幼兒學會“淋、滴、灑、落”并學會用小動物的話來朗誦、來回答，促進幼兒積極思維，鍛煉幼兒的口語表達能力，強調(diào)了重點，理解了難點。

4、情景表演：分角色進行朗誦表演。

5、經(jīng)驗總結(jié)：

將本家活動內(nèi)容的前半部分進行總結(jié)，給幼兒一個春天的完整印象。

6、擴展延伸、升華主題

引導幼兒運用手工工具，用繪畫的方式將幼兒感受到的《春雨的色彩》散文詩的意境描繪出來，鞏固和加深幼兒對春天及春雨的任認知。

第五篇：六年級奧數(shù)一至九講(教師版)

小學六年級奧數(shù)教案——01比較分數(shù)的大小

同學們從一開始接觸數(shù)學，就有比較數(shù)的大小問題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡單，而比較分數(shù)的大小就不那么簡單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。

對于兩個不同的分數(shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：

分母相同的兩個分數(shù)，分子大的那個分數(shù)比較大；

分子相同的兩個分數(shù)，分母大的那個分數(shù)比較小。

第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數(shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。

由于要比較的分數(shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。

1.“通分子”。

當兩個已知分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時，可以把它們化成同分子的分數(shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。

如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。

2.化為小數(shù)。

這種方法對任意的分數(shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便，就要看具體情況了。

3.先約分，后比較。

有時已知分數(shù)不是最簡分數(shù)，可以先約分。

4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。

比較分數(shù)大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分數(shù)大；分子相同，分母小的分數(shù)大”這一基本方法。

練習1 1.比較下列各組分數(shù)的大?。?/p>

答案與提示練習1

這個分數(shù)是多少？

于是與例3類似，可以求出

在例1～例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那么會怎樣呢？

數(shù)a。

分析與解：分子減去a，分母加上a，（約分前）分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉

45-43=2。

求這個自然數(shù)。

同一個自然數(shù)，得到的新分數(shù)如果不約分，那么差還是45，新分數(shù)約分后變

例7 一個分數(shù)的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個新分數(shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分數(shù)的分子、分母同時除以42÷6=7得到

練習2

是多少？

答案與提示練習2

5.5。解：(53+79)÷(4+7)=12，a=53-4×12=5。

小學六年級奧數(shù)教案—03分數(shù)運算技巧

對于分數(shù)的混合運算，除了掌握常規(guī)的四則運算法則外，還應該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。

1.湊整法

與整數(shù)運算中的“湊整法”相同，在分數(shù)運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十數(shù)??從而使運算得到簡化。

2.約分法

3.裂項法

的10和30，仍是符合題意的解。

4.代數(shù)法

5.分組法

分析與解：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分數(shù)相加。分母為n的分數(shù)之和為

原式中分母為2～20的分數(shù)之和依次為

練習3

8.2，6，8，12，20，30，42，56。

9.5680。

解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個，等于3的有2個，等于4的有3個人??一般地，分子與分母之和等于n的有(n-1)個。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+?+106=5671（個），5671+9=5680（個）。

答：甲隊干了12天。

例3 單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？

分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了

例4 一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？

分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，例5 一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水？

例6 甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？

分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。

5.6000米。

6.8時。

提示：甲管12時都開著，乙管開

7.280千米。

例3 單獨完成一件工作，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？

分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

例4 放滿一個水池的水，若同時打開1，2，3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開2，3，4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1，3，4號閥門，則28分鐘可以完成；若同時打開1，2，4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1，2，3，4號閥門，那么多少分鐘可以完成？

分析與解：同時打開1，2，3號閥門1分鐘，再同時打開2，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，2，4號閥門1分鐘，這時，1，2，3，4號閥門各打開了3分鐘，放水量等于一

例5 某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、??的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？

分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是

獨修各需幾天？

5.蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點三個管同時打開，中間甲管因故關閉，結(jié)果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關閉？

6.單獨完成某項工作，甲需9時，乙需12時。如果按照甲、乙、甲、乙、??的順序輪流工作，每次1時，那么完成這項工作需要多長時間？

7.一項工程，乙單獨干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨干需要幾天？

答案與提示練習5

1.360個。

2.甲18天，乙12天。

3.7.2時。

解：由下頁圖知，王干2時等于李干3時，所以單獨干李需12+6÷2×3=21（時），王需21÷3×2=14（時）。所求為

小學六年級奧數(shù)教案—06巧用單位“1”

在工程問題中，我們往往設工作總量為單位“1”。在許多分數(shù)應用題中，都會遇到單位“1”的問題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更簡捷。

分析：因為第一天、第二天都是與全書比較，所以應以全書的頁數(shù)為單位

答：這本故事書共有240頁。

分析與解：本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)”、“第一天看后余下的頁數(shù)”、“第二天看后余下的頁數(shù)”，出現(xiàn)了3個不同的單位“1”。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書的

共有多少本圖書？

分析與解：根據(jù)“在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等”，設這段距離為單位“1”。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車”，可知小轎

可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？

乙班有84-48=36（人）。

練習6

樹上原有多少個桃？

剩下的部分收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？

7.一班45人，二班49人。

將一個總量按照一定的比分成若干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項相加得到總份數(shù)，各項與總份數(shù)之比就是各個分量在總量中所占的分率，由此可求得各個分量。

例3 配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。

分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數(shù)是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。

在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個分量。

例4 師徒二人共加工零件400個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘。完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個零件？

分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率

有多少學生？

7.某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3∶2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10∶8∶7。如果甲組中男、女會員的人數(shù)之比是3∶1，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是5∶3，那么丙組中男、女會員的人數(shù)之比是多少？

答案與提示練習7

1.540米2。

2.長100厘米，寬75厘米，高60厘米。

解：長∶寬∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。

長=20×5=100（厘米），寬=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。

3.86元。

解：設小明有x元錢。根據(jù)小強的錢數(shù)可列方程

36+50=86（元）。

4.2640元。

5.甲50只，乙40只，丙48只。

解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。

6.12時。

7.5：9

小學六年級奧數(shù)教案—08百分數(shù)

百分數(shù)有兩種不同的定義。

（1）分母是100的分數(shù)叫做百分數(shù)。這種定義著眼于形式，把百分數(shù)作為分數(shù)的一種特殊形式。

（2）表示一個數(shù)（比較數(shù)）是另一個數(shù)（標準數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù)。這種定義著眼于應用，用來表示兩個數(shù)的比。所以百分數(shù)又叫百分比或百分率。

百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而采用符號“％”來表示，叫做百分號。

在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標準數(shù)、分率（百分數(shù)），這三者的關系如下：

比較數(shù)÷標準數(shù)=分率（百分數(shù)），標準數(shù)×分率=比較數(shù)，比較數(shù)÷分率=標準數(shù)。

根據(jù)比較數(shù)、標準數(shù)、分率三者的關系，就可以解答許多與百分數(shù)有關的應用題。

例1 紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？

分析與解：因為“女工占全廠人數(shù)的80％”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80％=20％。

又因為“一車間的男工占全廠男工的25％”，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20％×25％=5％。

例2 學校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學校共種活了多少棵樹？

分析與解：去年春季種的樹活了500×85％=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季種的樹，死了75-20=55（棵），活了 55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年學校共種活425+495=920（棵）。

例3 一次考試共有5道試題。做對第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？

分析與解：因為百分數(shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設總量即參加考試的人數(shù)為100。

由此得到做錯第1題的有100×（1-85％）=15（人）；

同理可得，做錯第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人。

總共做錯15+5+10+25+20=75（題）。

一人做錯3道或3道以上為不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75％。

設再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時溶質(zhì)有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程

需要再加入20克糖。

例6 倉庫運來含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％?，F(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？

分析與解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開始，果重

100×（1-90％）=10（千克）。

一星期后含水量變?yōu)?0％，“果”與“水”的比值為

因為“果”始終是10千克，可求出此時“水”的重量為

所以總重量是10+40=50（千克）。

練習8

1.某修路隊修一條路，5天完成了全長的20％。照此計算，完成任務還需多少天？

2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25％，二車間人數(shù)比一車間少20％，三車間人數(shù)比二車間多30％。已知三車間有156人，全廠有多少人？

3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。

4.某工廠四個季度的全勤率分別為90％，86％，92％，94％。問：全年全勤的人至少占百分之幾？

5.有酒精含量為30％的酒精溶液若干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再加入同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?/p>

6.配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？

7.有一堆含水量14.5％的煤，經(jīng)過一段時間的風干，含水量降為10％，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來的百分之幾？

小學六年級奧數(shù)教案—09商業(yè)中的數(shù)學

市場經(jīng)濟中有許多數(shù)學問題。同學們可能都有和父母一起去買東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價，但是這個價格是怎樣定的？這就涉及到商品的成本、利潤等聽起來有些陌生的名詞。

這一講的內(nèi)容就是小學數(shù)學知識在商業(yè)中的應用。

利潤=售出價-成本，例如，一件商品進貨價是80元，售出價是100元，則這件商品的利潤是100-80=20（元），利潤率是

在這里我們用“進貨價”代替了“成本”，實際上成本除了進貨價，還包括運輸費、倉儲費、損耗等，為簡便，有時就忽略不計了。

例1某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12個的錢一樣多。這種商品的進貨價是每個多少元？

解：設進貨價是每個x元。由“售出價=進貨價+利潤”，根據(jù)前、后兩次賣出的錢相等，可列方程

（x+7）×13=（x+11）×12，13x+91=12+132

x=41。

答：進貨價是每個41元。

例2 租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計劃要銷售3個月，由于降低了價格，結(jié)果2個月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉庫的租金，所以結(jié)算下來，反而比原計劃多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？

分析與解：原計劃租倉庫3個月，現(xiàn)只租用了2個月，節(jié)約了1個月的租金7000元。如果不降低價格，那么應比原計劃多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1000元，說明降價損失是7000-1000=6000（元）。

因為共有3噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2（元）。

例3 張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件。張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件?！鄙痰杲?jīng)理算了一下，若減價5％，則由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的成本是多少元？

分析與解：設這種商品的成本是x元。減價5％就是每件減100×5％=5（元），張先生可多買4×5=20（件）。由獲得利潤的情況，可列方程

答：申請甲種貸款30萬元，乙種貸款10萬元。

練習9

1.商店進了一批鋼筆，用零售價10元賣出20支與用零售價11元賣出15支的利潤相同。這批鋼筆的進貨價每支多少元？

2.某種蜜瓜大量上市，這幾天的價格每天都是前一天的80％。媽媽第一天買了2個，第二天買了3個，第三天買了5個，共花了38元。若這10個蜜瓜都在第三天買，則能少花多少錢？

3.商店以每雙13元購進一批涼鞋，售價為14.8元，賣到還剩5雙時，除去購進這批涼鞋的全部開銷外還獲利88元。問：這批涼鞋共多少雙？

4.體育用品商店用3000元購進50個足球和40個籃球。零售時足球加價9％，籃球加價11％，全部賣出后獲利潤298元。問：每個足球和籃球的進價是多少元？

5.某種商品的利潤率是20％。如果進貨價降低20％，售出價保持不變，那么利潤率將是多少？

6.某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收費1.50元。如果不計損耗，那么商店要想實現(xiàn)25％的利潤率，零售價應是每千克多少元？

減價10元出售，全部售完，共獲利潤3000元。書店共售出這種掛歷多少本？

答案與提示 練習9

1.7元。

解：（10×20-11×15）÷（20-15）=7（元）。

2.6元。

解：設第一天每個蜜瓜x元。由

2x+3x×80％+5x×80％=38，解得x=5（元）。10個瓜都在第三天買要花

5×10×80％×80％=32（元），少花38-32=6（元）。

3.90雙。

解：(88+14.8×5)÷(14.8-13)=90（雙）。

4.足球32元，籃球35元。

解：設50個足球的進價為x元，則40個籃球的進價為(3000-x)元。根據(jù)利潤可得方程