第一篇：小學(xué)奧數(shù)之第10講 數(shù)論綜合(一)

第10講 數(shù)論綜合（一）

涉及知識(shí)點(diǎn)多、解題過(guò)程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問(wèn)題．

1．如果把任意n個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少?

【分析與解】 我們知道如果有5個(gè)連

續(xù)的自然數(shù)，因?yàn)槠鋬?nèi)必有2的倍數(shù)，也有5的倍數(shù)，則它們乘積的個(gè)位數(shù)字只能是0。

所以n小于5．

:當(dāng)n為4時(shí)，如果其內(nèi)含有5的倍數(shù)(個(gè)位數(shù)字為O或5)，顯然其內(nèi)含有2的倍數(shù)，那么它們乘積的個(gè)位數(shù)字為0；

如果不含有5的倍數(shù)，則這4個(gè)連續(xù)的個(gè)位數(shù)字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它們的積的個(gè)位數(shù)字都是4；

所以，當(dāng)n為4時(shí)，任意4個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩科可能．

：當(dāng)n為3時(shí)，有1×2×3的個(gè)位數(shù)字為6，2×3×4的個(gè)位數(shù)字為4，3×4×5的個(gè)位數(shù)字為0，……，不滿足．

：當(dāng)n為2時(shí)，有1×2，2×3，3×4，4×5的個(gè)位數(shù)字分別為2，6，4，0，顯然不滿足．

至于n取1顯然不滿足了．

所以滿足條件的n是4．

2．如果四個(gè)兩位質(zhì)數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?

【分析與解】?jī)晌坏馁|(zhì)數(shù)有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168．

所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168．

3．如果某整數(shù)同時(shí)具備如下3條性質(zhì)：

①這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)；

②這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)；

③這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5．

那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)．求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù)．

【分析與解】 條件①也就是這個(gè)數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個(gè)數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件③，除以9余5，在兩位的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個(gè)數(shù)滿足條件．

其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個(gè)條件都符合的只有14．

所以兩位幸運(yùn)數(shù)只有14．

4．在555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少?

【分析與解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37 顯然其最大的三位數(shù)約數(shù)為777．

5．從一張長(zhǎng)2002毫米，寬847毫米的長(zhǎng)方形紙片上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形．按照上面的過(guò)程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長(zhǎng)是多少毫米?

【分析與解】 從長(zhǎng)2002毫米、寬847毫米的長(zhǎng)方形紙板上首先可剪下邊長(zhǎng)為847毫米的正方形，這樣的正方形的個(gè)數(shù)恰好是2002除以847所得的商．而余數(shù)恰好是剩下的長(zhǎng)方形的寬，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．

不難得知，最后剪去的正方形邊長(zhǎng)為77毫米．

6．已知存在三個(gè)小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)．請(qǐng)寫(xiě)出所有可能的答案．

【分析與解】 設(shè)這三個(gè)數(shù)為a、b、c，且a＜b＜c，因?yàn)閮蓛刹换ベ|(zhì)，所以它們均是合數(shù)．

小于20的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1種因數(shù)的合數(shù)不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個(gè)數(shù)，但是14=2×7，其中質(zhì)因數(shù)7只有14含有，無(wú)法找到兩個(gè)不與14互質(zhì)的數(shù)．

所以只剩下6，10，12，15，18這5個(gè)數(shù)存在可能的排列．

所以，所有可能的答案為(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．

7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1．那么最少要分成多少組?

【分析與解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=3×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．

由于質(zhì)因數(shù)13出現(xiàn)在26、91、143三個(gè)數(shù)中，故至少要分成三組，可以分成如下3組：

將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組． 所以，至少要分成3組．

8．圖10-1中兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米．兩只甲蟲(chóng)同時(shí)從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲(chóng)首次相距最遠(yuǎn)?

【分析與解】 圓內(nèi)的任意兩點(diǎn)，以直徑兩端點(diǎn)得距離最遠(yuǎn)．如果沿小圓爬行的甲蟲(chóng)爬到A點(diǎn)，沿大圓爬行的甲蟲(chóng)恰好爬到B點(diǎn)，兩甲蟲(chóng)的距離便最遠(yuǎn)．

小圓周長(zhǎng)為?×30=307r，大圓周長(zhǎng)為48?，一半便是24?，30與24的最小公倍數(shù)時(shí)120．

120÷30=4．120÷24=5．

所以小圓上甲蟲(chóng)爬了4圈時(shí)，大圓上甲蟲(chóng)爬了5個(gè)兩只甲蟲(chóng)相距最遠(yuǎn)．

1圓周長(zhǎng)，即爬到了過(guò)A的直徑另一點(diǎn)B．這時(shí)2

9．設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的非零自然數(shù)．

(1)如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值?

(2)如果它們的最小公倍數(shù)是60，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值? 【分析與解】(1)a與b的最小公倍數(shù)72=2×2×2×3×3，有12個(gè)約數(shù)：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨設(shè)a＞b．

:當(dāng)a=72時(shí)，b可取小于72的11種約數(shù)，a+b≥72+1=73；

:當(dāng)a=36時(shí)，b必須取8或24，a+b的值為44或60，均不同第一種情況中的值；

：當(dāng)a=24時(shí)，b必須取9或18，a+b的值為33或42，均不同第一、二種情況中的值； 當(dāng)a=18時(shí)，b必須取8，a+b=26，不同于第一、二、三種情況的值； ：當(dāng)a=12時(shí)，b無(wú)解；

:當(dāng)a=9時(shí)，b必須取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情況中的值．

總之，a+b可以有l(wèi)l+2+2+1+1=17種不同的值．

(2)60=2×2×3×5，有12個(gè)約數(shù)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a(chǎn)、b為60的約數(shù)，不妨設(shè)a＞b． ：當(dāng)a=60時(shí)，b可取60外的任何一個(gè)數(shù)，即可取11個(gè)值，于是a－b可取11種不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； ．當(dāng)a=30時(shí)，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10； ：當(dāng)a=20時(shí)，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；

當(dāng)a=15時(shí)，b可取4，12，所以a－b可取11，3； : 當(dāng)a=12時(shí)，b可取5，10，所以a－b可取7，2．

總之，a－b可以有11+3+4+2+2=22種不同的值．

10．狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳4次．比賽途中，從起點(diǎn)開(kāi)始每隔12少米?

13米，黃鼠狼每次跳2米，它們每秒鐘都只跳一243米設(shè)有一個(gè)陷阱，當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)，另一個(gè)跳了多83111339÷4=，12÷2=． 82484233 所以狐貍跳4個(gè)12米的距離時(shí)將掉進(jìn)陷阱，黃鼠狼跳2個(gè)12米的距離時(shí)，將掉進(jìn)陷阱．

【分析與解】 由于12 又由于它們都是一秒鐘跳一次，因此當(dāng)狐貍掉進(jìn)陷阱時(shí)跳了11秒，黃鼠狼掉進(jìn)陷阱時(shí)跳了9秒，因此黃鼠狼先掉進(jìn)陷阱，此時(shí)狐貍跳了9秒.距離為9×41=40.5(米)． 2

11.在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0)

【分析與解】 我們知道18，33的最小公倍數(shù)為[18，33]=198，所以每198個(gè)數(shù)一次．

1～198之間只有1，2，3，…，17，198(余O)這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99個(gè)這樣的數(shù)．

12．甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393．某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍．求A等于多少?

【分析與解】 由題意知4倍393除以A的余數(shù)，等于2倍939除以A的余數(shù)，等于甲603除以A的余數(shù)．

即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．

于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．

所以A為1275，306，969的約數(shù)，(1275，306，969)=17×3=51．

于是，A可能是51，17(不可能是3，因?yàn)椴粷M足余數(shù)是另一余數(shù)的4倍)．

當(dāng)A為51時(shí)，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不滿足；

當(dāng)A為17時(shí)，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；滿足．

所以，除數(shù)4為17．

13．證明：形如11，111，1111，11111，…的數(shù)中沒(méi)有完全平方數(shù)．

【分析與解】

我們知道奇數(shù)的完全平方數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)的完全平方數(shù)為偶數(shù)，而奇數(shù)的完全平方數(shù)除以4余1，偶數(shù)的完全平方數(shù)能被4整除．

現(xiàn)在這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3，所以不可能為完全平方數(shù)．

評(píng)注：設(shè)奇數(shù)為2n+1，則它的平方為4n+4n+1，顯然除以4余1．

14．有8個(gè)盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍．問(wèn)：甲取走的一盒中有多少塊奶糖?

【分析與解】 我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍．

八盒糖總塊數(shù)為9+17+24+28+30+31+33+44=216．

從216減去5的倍數(shù)，所得差的個(gè)位數(shù)字只能是1或6．

觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有個(gè)位數(shù)字是6的，只有一個(gè)個(gè)位數(shù)字是1的數(shù)31．

因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖．

15．在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線．第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份；第三種將木棍分成15等份．如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段?

【分析與解】 10，12，15的最小公倍數(shù)[10，12，15]=60，把這根木棍的1作為一個(gè)長(zhǎng)度單位，這60樣，木棍10等份的每一等份長(zhǎng)6個(gè)單位；12等份的每等份長(zhǎng)5個(gè)單位；15等份的每等份長(zhǎng)4單位．

不計(jì)木棍的兩個(gè)端點(diǎn)，木棍的內(nèi)部等分點(diǎn)數(shù)分別是9，11，14(相應(yīng)于10，12，15等份)，共計(jì)34個(gè)．

由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等份的等分點(diǎn)在30單位處相重，必須從34中減1．

又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等份的等分點(diǎn)在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2．

同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等份的等分點(diǎn)在12，24，36，48單位處相重，必須再減去4．

由于這些相重點(diǎn)各不相同，所以從34個(gè)內(nèi)分點(diǎn)中減去1，再減去2，再減去4，得27個(gè)刻度點(diǎn)．沿這些刻度點(diǎn)把木棍鋸成28段．

第二篇：小學(xué)奧數(shù)三年級(jí)第5講平均數(shù)

第7講

平均數(shù)

一組數(shù)的和除以這組數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為這組數(shù)的平均數(shù)。

例1、5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的中間一個(gè)數(shù)是45，這5個(gè)數(shù)的和是多少？

分析5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的第3個(gè)數(shù)是45，第2個(gè)（44）與第4個(gè)（46）相加是兩個(gè)45，第1個(gè)（43）與第5個(gè)（47）相加是兩個(gè)45。

解

和是

45×5=225

隨堂練習(xí)1 計(jì)算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地，奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和等于中間一項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。換句話說(shuō)，奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)就是中間的那個(gè)數(shù)。高斯求和方法的實(shí)質(zhì)就是

和=平均數(shù)×項(xiàng)數(shù)

偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)不是整數(shù)，我們現(xiàn)在尚未學(xué)到。所以先將第一項(xiàng)加最后一項(xiàng)，第二項(xiàng)加倒數(shù)第二項(xiàng)……直至中間兩項(xiàng)相加，這些和都相等。而個(gè)數(shù)是項(xiàng)數(shù)的一半，所以偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和等于中間兩項(xiàng)的和（也即首末兩項(xiàng)的和）乘以項(xiàng)數(shù)除以2.例2、8個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是108，寫(xiě)出這8個(gè)數(shù)。

分析

因?yàn)橹虚g兩個(gè)數(shù)相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中間兩項(xiàng)的和可以求出來(lái)。

解 中間兩項(xiàng)的和是108÷（8÷2）=27 又

27=13+14 所以中間兩項(xiàng)是13、14.這8個(gè)數(shù)是10、11、12、13、14、15、16、17.（由13往前數(shù)4個(gè)數(shù)到10，由14往后數(shù)4個(gè)數(shù)到17）答：這8個(gè)連續(xù)的自然數(shù)是10、11、12、13、14、15、16、17.隨堂練習(xí)2 6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是273，這6個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是多少？

例

3、求出以下28個(gè)數(shù)的平均數(shù): 12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.分析與解

這28個(gè)數(shù)的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均數(shù)，但比較麻煩。如果注意到25個(gè)連續(xù)自然數(shù)11、12、13，……，35的平均數(shù)是23（中間一項(xiàng)），那么就比較容易。

因?yàn)?13+16+16+35 =（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）=11+23+23+23 所以原來(lái)的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，原來(lái)28個(gè)數(shù)的平均數(shù)正好是23.隨堂練習(xí)3 求28個(gè)數(shù)：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均數(shù)。

例

4、求數(shù)列 1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53（1）的規(guī)律，并求這組數(shù)的和與平均數(shù)。

分析 數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)的項(xiàng)組成等差數(shù)列（公差是3）1、4、7，……，49、52.（2）數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)的項(xiàng)組成等差數(shù)列（公差也是3）2、5、8，……，50、53.（3）

分別求出數(shù)列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均數(shù)。但更為簡(jiǎn)單的辦法是直接運(yùn)用高斯的思想。注意： 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28（4）解 1與53的平均數(shù)是27，也就是1+53可以換成2個(gè)27相加。同樣，2+52,4+50，……，26+28都可以換成27+27.因此（1）的和是27×36=972.從例4可以看出，如果一組數(shù)可以分成許多小組，各小組的平均數(shù)都相等，那么這個(gè)相等的數(shù)就是這組數(shù)的平均數(shù)（例4中，每個(gè)小組2個(gè)數(shù)的和是54，每個(gè)小組的平均數(shù)是27）。

隨堂練習(xí)4 尋找數(shù)列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的規(guī)律，并求這數(shù)列的和。

練習(xí)題：

（1）求1至100內(nèi)能被4整除余1的所有數(shù)的和。

（2）求1至100內(nèi)既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的所有數(shù)的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把這44只乒乓球放到盒子中，每個(gè)盒子中至少要放一個(gè)球，能不能使每個(gè)盒中的球數(shù)都不相同？

（4）影劇院共有25排座位，第一排有20個(gè)座位，以后每排比前一排多2個(gè)座位，問(wèn)：影劇院共有多少個(gè)座位？

（5）時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)時(shí)敲這鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘時(shí)敲1下，問(wèn)：一晝夜該時(shí)鐘總共敲多少下？（6）求所有三位數(shù)的和。

（7）求1至100（包括100在內(nèi)）的所有5的倍數(shù)的和。

（8）50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，試多少次就足夠了？

（9）已知數(shù)列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。這個(gè)數(shù)列的第30項(xiàng)是哪個(gè)數(shù)？到第25項(xiàng)止，這些數(shù)的和是多少？

（10）24個(gè)連續(xù)自然數(shù)12―35，再添上一個(gè)35，一個(gè)13，兩個(gè)16.這28個(gè)數(shù)的平均值是多少？

第三篇：小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)專題之排列組合題一及答案

彭老師數(shù)學(xué)工作室，電話*** 1、7個(gè)人站成一排，若小明不在中間，共有_______________種站法；若小明在兩端，共有_________________種站法。

2、4個(gè)男生2個(gè)女生共6人站成一排合影留念，有________________種不同的排法；要求2個(gè)女生緊挨著有________________種不同的排法；如果要求2個(gè)女生緊挨著排在正中間有____________________種不同的排法。

3、A、B、C、D、E、F、G七位同學(xué)在操場(chǎng)排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)共有________________________種不同的排法。

4、6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A、B兩人必須相鄰，一共有________________________種不同的站法；若A、B兩人不能相鄰，一共有________________________種不同的站法；若A、B、C三人不能相鄰，一共有________________________種不同的站法。

5、10個(gè)相同的球完全分給3個(gè)小朋友，若每個(gè)小朋友至少得1個(gè)，那么共有__________________種分法；若每個(gè)小朋友至少得2個(gè)，那么共有__________________種分法。

6、小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有______________________種不同的吃法。

7、5個(gè)人站成一排，小明不在兩端的排法共有__________________種。

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8、停車(chē)站劃出一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛不同的車(chē)需要停放，若要求剩余的4個(gè)空車(chē)位連在一起，一共有________________________種不同的停車(chē)文案。

9、將3盆同樣的紅花和4盆同樣的黃花擺放在一排，要求3盆紅花互不相鄰，共有____________________種不同的放法。

10、12個(gè)蘋(píng)果分給4個(gè)人，每人至少1個(gè)，則共有____________________種分法。

11、四年級(jí)三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)，整個(gè)活動(dòng)由2個(gè)舞蹈、2個(gè)演唱和3個(gè)小品組成，請(qǐng)問(wèn)如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有____________________種不同的出場(chǎng)順序。

12、0，1，2，3各一次共可以組成____________________個(gè)不同的四位數(shù)。

13、6個(gè)同學(xué)排成一排，其中A、B、C三人必須排在一起，一共有____________________種排法。

14、學(xué)校乒乓球隊(duì)一共有4名男生和3名女生，某次比賽后他們站成一排照相，請(qǐng)問(wèn)如果要求男生不能相鄰，一共有____________________種不同的站法。

15、15個(gè)蘋(píng)果分給4個(gè)人，每人至少2個(gè)，則共有____________________種分法。

彭老師數(shù)學(xué)工作室，電話***

第四篇：奧數(shù)之火柴棍問(wèn)題(一)

奧數(shù)專題之火柴棍問(wèn)題(一)

主講：殷老師 2011-2-9

火柴除了可作火種外，人們常用它來(lái)擺圖形、算式，做出許多有趣的游戲。它不受場(chǎng)地和時(shí)間的限制，只要有幾根火柴(或幾根長(zhǎng)短一樣的細(xì)小木棍)就可以進(jìn)行?；鸩裼螒蛟⒅R(shí)、技巧于游戲之中，啟迪你的智慧，開(kāi)闊你的思路，豐富你的課余生活。

火柴問(wèn)題大體分為兩種：一種是擺圖形和變換圖形；一種是變換算式。

這一講我們先介紹變換圖形的游戲。1.擺圖形游戲

游戲1用8根火柴棍可以擺成一個(gè)正方形?，F(xiàn)添兩根，即用10根火柴能擺出與這個(gè)正方形同樣大小的圖形嗎？

分析與解：8根火柴擺一個(gè)正方形，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個(gè)小正方形(如右圖)。因此，只要用10根火柴擺出有四個(gè)同樣大小的小正方形的圖形即可。下面的四個(gè)圖形都符合題意。

游戲2用8根火柴棍擺出八個(gè)大小一樣的三角形和兩個(gè)一樣大小的正方形。

分析與解：4根火柴可擺出一個(gè)正方形，另4根火柴又可擺出一個(gè)同樣大小的正方形。把這兩個(gè)正方形如右圖所示交叉放在一起，就形成八個(gè)相同的三角形。

2.移動(dòng)火柴，變換圖形游戲

游戲3右圖是用10根火柴棍擺成的一座房子。請(qǐng)移動(dòng)2根火柴，使房子改變方向。

解：如左下圖所示，除虛線表示的2根火柴外，其余火柴是左、右對(duì)稱的，所以改變房子的方向與這些火柴無(wú)關(guān)，應(yīng)移動(dòng)虛線表示的2根火柴(見(jiàn)右下圖)。

游戲4在左下圖中移動(dòng)4根火柴棍，使圖形成為只有三個(gè)正方形的圖形。

解：因?yàn)橹荒芤苿?dòng)4根火柴，所以圖中較長(zhǎng)的邊(3根或4根火柴的邊)都不能動(dòng)。把圖中最里面的4根火柴移補(bǔ)到右上圖的相關(guān)位置上即可。

游戲5在左下圖中移動(dòng)4根火柴棍，使它變成3個(gè)三角形，并且這3個(gè)三角形的面積之和與原來(lái)的六邊形面積相同。

解：原圖中有6個(gè)三角形，變化后剩下3個(gè)三角形，這3個(gè)三角形與原來(lái)的6個(gè)三角形的面積相同，必然有一個(gè)三角形的面積要增大。如右上圖所示，移動(dòng)虛線表示的4根火柴。圖中下面的大三角形面積等于小三角形面積的4倍。

3.去掉火柴，變換圖形游戲

游戲6在左下圖中去掉盡量少的火柴棍，使得圖中不存在任何正方形。

解：拿掉的火柴應(yīng)能盡量多的“破壞”正方形。如右上圖，拿掉虛線處的4根火柴即可。拿法不唯一。

游戲7 在左下圖中，去掉4根火柴棍，使它變成兩個(gè)完全相同的圖形組合。

分析與解：左上圖的面積等于七個(gè)邊長(zhǎng)為1根火柴棍的小正方形的面積之和。要達(dá)到規(guī)定要求，必須去掉一個(gè)小正方形。剩下的部分劃分成兩個(gè)面積等于三個(gè)小正方形面積的圖形。去掉右上圖中虛線所示的火柴棍即可。

課后練習(xí)

1.用9根火柴棍擺出一個(gè)圖形，使它含有五個(gè)等邊三角形。

2.用9根火柴棍擺出一個(gè)圖形，使它含有三個(gè)正方形和七個(gè)長(zhǎng)方形(不含正方形)。

3.在左下圖中移動(dòng)3根火柴棍，使“井”字形變成“品”字形圖形。

4.右上圖是用24根火柴棍擺出的兩個(gè)正方形。

(1)請(qǐng)你移動(dòng)4根，把它變成三個(gè)正方形；

(2)再移動(dòng)8根，把(1)中所得圖形變成九個(gè)完全相同的正方形；

(3)在(2)中所得圖形上拿走8根火柴，使它變成五個(gè)完全相同的正方形。

5.用13根火柴棍擺成含有6個(gè)、7個(gè)和8個(gè)等邊三角形的圖形。各給出一種擺法。

6.右圖中共有13個(gè)三角形，從中拿掉盡量少的火柴棍，使得圖中沒(méi)有三角形。

第五篇：小奧 127 奧數(shù) 一年級(jí) 教案 第10講 自然數(shù)串趣題

從1開(kāi)始，l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、1 1、12??連起來(lái)成一串，像一串糖葫蘆，我們把這樣的一串?dāng)?shù)叫作自然數(shù)串(也叫自然數(shù)列)，其中的每一個(gè)數(shù)都叫作自然數(shù)。自然數(shù)串的特點(diǎn)是：

①?gòu)?開(kāi)始，1是頭；

②在相鄰的兩個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大1；

③后面的數(shù)要多大有多大，也就是說(shuō)，自然數(shù)串是有頭無(wú)尾的。

在自然數(shù)串中，如果寫(xiě)到某一個(gè)數(shù)為止，就叫做有限自然數(shù)串，也簡(jiǎn)稱自然數(shù)串。

這一講的題目，都是與(有限)自然數(shù)串有關(guān)的。

【例1】如下頁(yè)圖所示。一份學(xué)習(xí)材料放在桌上，一陣風(fēng)把材料吹落了一地。小軍揀起來(lái)一看，糟糕，少了兩張。根據(jù)下面揀到的材料的頁(yè)碼，你能說(shuō)出少了哪幾頁(yè)嗎?

解：一張材料的正反兩面用兩個(gè)自然數(shù)作頁(yè)碼，這兩個(gè)自然數(shù)是相鄰的。仔細(xì)觀察找到的材料的頁(yè)碼，根據(jù)自然數(shù)串的特點(diǎn)，可知少了的兩張紙的頁(yè)碼是（7、8)和（13、14)。

【例2】從1連續(xù)地寫(xiě)到100，“0”出現(xiàn)了多少次? 解：“0”出現(xiàn)了1 1次。因?yàn)閺?到100含有“0”的自然數(shù)是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。數(shù)一數(shù)，這些自然數(shù)中共有11個(gè)“0”。

【例3】把1，2，3，4，5，??28，29，30這三十個(gè)數(shù)，從左往右依次排列起來(lái)，成為一個(gè)數(shù)，你知道這個(gè)數(shù)共有多少個(gè)數(shù)字嗎？

解：把這個(gè)數(shù)寫(xiě)出一部分來(lái)看看：

***131415??282930

下面，分段計(jì)算這個(gè)數(shù)共包含有多少個(gè)數(shù)字： 1至9共有9個(gè)數(shù)字；

10至19共有10個(gè)自然數(shù)，每個(gè)都由兩個(gè)數(shù)字組成，這一段共有2×10=20個(gè)數(shù)字。20至29這一段也有10個(gè)自然數(shù)，共有20個(gè)數(shù)字。30這個(gè)數(shù)由兩個(gè)數(shù)字組成。所以這個(gè)數(shù)所包含的數(shù)字總數(shù)是： 9+20+20+2=51(個(gè))。

【例4】小青每年都和家長(zhǎng)一起參加植樹(shù)節(jié)勞動(dòng)。七歲那年，他種了第一棵樹(shù)，以后每年都比前一年多種一棵?，F(xiàn)在他已經(jīng)長(zhǎng)到15歲了，連續(xù)地種了九年樹(shù)。請(qǐng)你算一算，這九年中小青一共種了多少棵樹(shù)? 解：先把小青每年種幾棵樹(shù)寫(xiě)出來(lái)

再把每年種樹(shù)的棵樹(shù)加起來(lái) 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(棵)。

【例5】如下圖所示。商店的貨架上堆放著一堆火腿腸。你能很快地算出它的總數(shù)有多少根嗎?

解：從上向下數(shù)，每層的火腿腸的根數(shù)組成一個(gè)自然數(shù)串，1，2，3，4，5，6，7，8，9 方法1：利用湊十法求和

方法2：用兩串?dāng)?shù)“頭尾相加”法求和

和=90÷2=45

這種自然數(shù)串的求和方法很巧妙，很重要，希望同學(xué)們能學(xué)會(huì)它。

【例6】把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、1 1、12、13、14、15、16填人正方形的方格中，使每一橫行、豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加得數(shù)都是34。

解（1)把這16個(gè)數(shù)依次排成如下四行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16(2)把帶箭頭的線的兩端的數(shù)互換

(3)互換后，把16個(gè)數(shù)填到正方形的空格里你會(huì)發(fā)現(xiàn)每一橫行、豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加的和都等于34。

如果你仔細(xì)觀察的話，還可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖中的奇妙的性質(zhì)：不但每一橫行、每一豎行和每一斜行的四個(gè)數(shù)相加之和都等于34，而且

①四個(gè)角上的四個(gè)小正方形里的四個(gè)數(shù)之和都是34；

②中間的一個(gè)小正方形里的四個(gè)數(shù)之和也是34；

③大正方形四個(gè)角上的四個(gè)數(shù)相加之和也是34。

真是不可思議!人們給它起了個(gè)有趣的名字——幻方。見(jiàn)右圖。

【例7】如果全體自然數(shù)如下 表排列，請(qǐng)問(wèn)

①數(shù)20在哪個(gè)字母下面? ②數(shù)27在哪個(gè)字母下面? ③數(shù)70在哪個(gè)字母下面? ④數(shù)71在哪個(gè)字母下面? 解：仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)排列的規(guī)律：開(kāi)頭的七個(gè)數(shù)1，2，3，4，5，6，7分別排在A，B，c，D，E，F(xiàn)，G的下面以后每加七個(gè)數(shù)就又從頭排起，如1+7=8，1+7+7=15，則8和15都和1那樣，排在字母A的下面利用這個(gè)規(guī)律，就能求出哪個(gè)數(shù)在哪個(gè)字母下面。

①20=6+7+7，可見(jiàn)20和6排在同一個(gè)字母下，即在字母F下面；

②27=20+7=6+7+7+7。

可見(jiàn)27也是排在字母F的下面； ③

可見(jiàn)70排在字母G下面；

④71=1+70，可見(jiàn)71和1都排在字母A的下面。

1．小明從1寫(xiě)到100，他共寫(xiě)了多少個(gè)數(shù)字“9”?

2．把1到12這十二個(gè)數(shù)每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組，要求每組的兩個(gè)數(shù)之和都相等，怎么分?和是多少? 3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)編三個(gè)算式，一個(gè)加法、一個(gè)減法、一個(gè)乘法，每個(gè)數(shù)只許用一次。

4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字，寫(xiě)成三個(gè)三位數(shù)，使它們的和等于1953。5．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字，寫(xiě)成三個(gè)三位數(shù)，使它們的和等于1989。6．一只老貓捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠。老貓自言自語(yǔ)地說(shuō)：“我要分三批吃它們。不過(guò)吃以前叫它們站好隊(duì)，我從頭一個(gè)開(kāi)始吃，隔一個(gè)吃掉一個(gè)，也就是：我第一次吃掉站在第1，3，5，7，9，11號(hào)位置的小老鼠；剩下的叫它們不許動(dòng)，第二次還是從頭一個(gè)吃起，隔一個(gè)吃一個(gè)；第三次也是照這個(gè)辦法吃。但把最后剩下的一個(gè)放了?！边@話被聰明的小白鼠聽(tīng)見(jiàn)了，于是它站在了某個(gè)號(hào)的位置上，最后沒(méi)有被吃掉。

小朋友，你知道小白鼠站的是第幾號(hào)位置嗎? 7．所有自然數(shù)都按下表排列，問(wèn)：(1)21排在第幾列的下面?(2)30排在第幾列的下面?

8．一個(gè)排版工人給一本1至50頁(yè)的書(shū)排頁(yè)碼，如果書(shū)的頁(yè)碼的每一個(gè)數(shù)字都用不同的鉛字塊，問(wèn)他一共要用多少鉛字塊? 9．把1至16這十六個(gè)自然數(shù)巧妙地填入正方形的十六空格里，可以做成有趣的幻方。右圖是個(gè)未完成的幻方，當(dāng)它被填滿時(shí)，它的每行、每列和每條對(duì)角線上四個(gè)數(shù)字的和都相等。請(qǐng)你繼續(xù)把這個(gè)幻方完成。

1．解：小明共寫(xiě)了20個(gè)數(shù)字“9”。

因?yàn)閺?到100的數(shù)中有18個(gè)數(shù)含有一個(gè)數(shù)字“9”，它們是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98。

另外自然數(shù)99含有兩個(gè)數(shù)字9。

2．解：自然數(shù)串有一個(gè)特點(diǎn)，相鄰的兩個(gè)數(shù)中，后一個(gè)比前一個(gè)大1，因此可以進(jìn)行如下的搭配分組：

最小的數(shù)1和最大的數(shù)12成一組(1，12)；

次小的數(shù)2和次大的數(shù)11成一組(2，11)；

中間的兩個(gè)數(shù)6和7成一組(6，7)；

各組兩個(gè)數(shù)相加之和都是13。

3．解：從受限制最強(qiáng)的乘法算式人手，在這九個(gè)數(shù)中兩個(gè)數(shù)相乘的積等于另一個(gè)數(shù)而不發(fā)生重復(fù)數(shù)字出現(xiàn)的，只有2×3=6和2×4=8；經(jīng)試驗(yàn)，可選用2×3=6，則剩下的六個(gè)數(shù)可組成兩個(gè)等式1+7=8和4+5=9。再經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q就可以列出滿足題目要求的算式(答案不惟一)。1+7=8 9-4=5 2×3=6。

4．解：分拆1953=1800+140+13 再分拆13=9+3+1 作為三個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字； 14=8+4+2 作為三個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字； 18=7+6+5 作為三個(gè)數(shù)的百位上的數(shù)字；

于是，得到的三個(gè)數(shù)是789，643，521，注意：此題答案不惟一，同學(xué)們還可以試著寫(xiě)出符合題目要求的其他三個(gè)數(shù)。5．解：思路與第4題相同，分拆1989=1800+180+9 再分拆18=8+6+4 作為三個(gè)數(shù)的百位上的數(shù)字； 18=9+7+2 作為三個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)字； 9=1+3+5 作為三個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字；

于是，得到的三個(gè)數(shù)是891，673，425，符合題意。

6．解：按貓吃老鼠的過(guò)程順序進(jìn)行思考； 老鼠站好隊(duì)，可見(jiàn)聰明的小白鼠如果站在第8號(hào)位置上就可以不被吃掉。

7．解：方法1：把下圖的自然數(shù)繼續(xù)寫(xiě)下去，一直寫(xiě)到21為止，就可以知道：21在第二列，30在第三列。

方法2：仔細(xì)觀察表中自然數(shù)的排列，可以發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過(guò)7個(gè)數(shù)字就又會(huì)重新從第一列開(kāi)始，完全重復(fù)前面的排列情況，由此，可以找到一個(gè)通過(guò)計(jì)算找出某個(gè)自然數(shù)在第 幾列的方法： 30-7-7-7-7=2 這就是說(shuō)30和2在同一列即在第三列。8．解：分段計(jì)算：

從1至9頁(yè)，共9頁(yè)，每頁(yè)用一個(gè)鉛字塊共有1×9=9(塊)；

從10至19頁(yè)，共10頁(yè)，每頁(yè)用兩個(gè)鉛字塊共用2 ×10=20(塊)；

從20至29頁(yè)，共10頁(yè)，每頁(yè)用兩個(gè)鉛字塊共用2×10=20(塊)；

從30至39頁(yè)，共10頁(yè)，每頁(yè)用兩個(gè)鉛字塊共用2×10=20(塊)； 從40至49頁(yè)，共10頁(yè)，每頁(yè)用兩個(gè)鉛字塊共用2×10=20(塊)； 第50頁(yè)，共1頁(yè)(但為兩位數(shù))用兩個(gè)鉛字塊，所以50頁(yè)書(shū)共用9+20+20+20+20+2=91(塊)(鉛字)。

9．解：見(jiàn)右圖，仔細(xì)觀察可看出有一條對(duì)角線上的四個(gè)數(shù)都給出來(lái)了。這四個(gè)數(shù)相加之和是12+9+5+8=34由此可求第3行第一列空 格中的數(shù)是10；即5+16+3=24，34-24=10。第4行第三列上空格中的數(shù)是2，即

7+9+16=32。34—32=2。

接著可繼續(xù)求出其他空格中數(shù)。