第一篇：中國古代數(shù)學的成就

中國古代數(shù)學的成就

中國是世界文明古國之一。數(shù)學是中國古代科學中一門重要學科，其發(fā)展源遠流長，成就輝煌，其中包括圓周率、割圓術、十進位制計數(shù)法、算經(jīng)十書、勾股定理、楊輝三角和剁積術、珠算等。我想就著這幾項談談我國古代數(shù)學的成就。

一：圓周率。古今中外，許多人致力于圓周率的研究與計算。為了計算出圓周率的越來越好的近似值，一代代的數(shù)學家為這個神秘的數(shù)貢獻了無數(shù)的時間與心血。十九世紀前，圓周率的計算進展相當緩慢。中國古算書《周髀算經(jīng)》中有“徑一而周三”的記載，認為圓周率是常數(shù)。

我國數(shù)學家劉徽在注釋《九章算術》時只用圓內(nèi)接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確到兩位小數(shù)的π值，他的方法被后人稱為割圓術。他用割圓術一直算到圓內(nèi)接正192邊形，得出π≈根號10。

漢朝時，張衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的開方。雖然這個值不太準確，但它簡單易理解，所以也在亞洲風行了一陣。王蕃發(fā)現(xiàn)了另一個圓周率值，這就是3.156，但沒有人知道他是如何求出來的

南北朝時代著名數(shù)學家祖沖之進一步得出精確到小數(shù)點后7位的π值，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數(shù)值，密率355/113和約率22/7。他的輝煌成就比歐洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲不知道是祖沖之先知道密率的，將密率錯誤的稱之為安托尼斯率。

二、割圓術。3世紀中期，魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，所謂割圓術，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周長的方法。中國古代從先秦時期開始，一直是取“周三徑一”（即圓周周長與直徑的比率為三比一）的數(shù)值來進行有關圓的計算。但用這個數(shù)值進行計算的結果，往往誤差很大。正如劉徽所說，用“周三徑一”計算出來的圓周長，實際上不是圓的周長而是圓內(nèi)接正六邊形的周長，其數(shù)值要比實際的圓周長小得多。東漢的張衡不滿足于這個結果，他從研究圓與它的外切正方形的關系著手得到圓周率。這個數(shù)值比“周三徑一”要好些，但劉徽認為其計算出來的圓周長必然要大于實際的圓周長，也不精確。劉徽以極限思想為指導，提出用“割圓術”來求圓周率，既大膽創(chuàng)新，又嚴密論證，從而為圓周率的計算指出了一條科學的道路。三、十進位制計數(shù)法。十進位制記數(shù)法在我國原始社會就已經(jīng)形成，完成于奴隸社會初期的商代，到商代已發(fā)展為完整的十進制系統(tǒng)，并且有了“十”、“百”、“千”、“萬”等專用的大數(shù)名稱。1899年從河南安陽發(fā)掘出來的象形文字，是大約3000多年前的殷代甲骨文。其中載有許多數(shù)字記錄，最大的數(shù)目字是3萬。如有一片甲骨上刻著“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人?！?八日辛亥那天的戰(zhàn)爭中，消滅了敵方2656人)。這段文字說明我國在公元前1600年，已經(jīng)采用了十進位值制記數(shù)法。這種記數(shù)法中，沒有形成零的概念和零號，但由于引入了幾個表示數(shù)位的特殊的數(shù)字如

十、百、千、萬等．能確切地表示出任何自然數(shù)，因而也是相當成功的十進位值制記數(shù)法，歷代稍有變革，但基本框架則一直延用至今。

四、《算經(jīng)十書》?！端憬?jīng)十書》是指漢、唐一千多年間的十部著名的數(shù)學著作，他們曾經(jīng)是隋唐時代國子監(jiān)算學科的教科書。十部書的名稱是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《五經(jīng)算術》、《輯古算經(jīng)》、《綴術》。其中闡明“蓋天說”的《周髀算經(jīng)》，被人們認為是流傳下來的中國最古老的既談天體又談數(shù)學的天文歷著作。其中提到大禹治水時所應用的數(shù)學知識，成為現(xiàn)存文獻中提到最早使用勾股定理的例子。

五、勾股定理。勾股定理勾股定理是余弦定理的一個特例。這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”），法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”。他們發(fā)現(xiàn)勾股定理的時間都比我國晚，我國是最早發(fā)現(xiàn)這一幾何寶藏的國家。

六、楊輝三角和剁積術。揚輝對籌算乘除捷算法進行了總結和發(fā)展，創(chuàng)“縱橫圖”之名．繼沈括“隙積術”之后，關于高階等差級數(shù)的研究創(chuàng)“垛積術”。

七、珠算。珠算是以算盤為工具進行數(shù)字計算的一種方法。“珠算”一詞﹐最早見于漢代徐岳撰的《數(shù)術記遺》，其中有云:“珠算﹐控帶四時﹐經(jīng)緯三才?！北敝苷琨[為此作注﹐大意是﹕把木板刻為三部分﹐上下兩部分是停游珠用的﹐中間一部分是作定位用的。每位各有五顆珠﹐上面一顆珠與下面四顆珠用顏色來區(qū)別。上面一珠當五﹐下面四顆﹐每珠當一?？梢姰敃r“珠算”與現(xiàn)今通行的珠算有所不同。中國珠算﹐從明代以來﹐極為盛行﹐先后傳到日本﹑朝鮮﹑東南亞各國﹐近年在美洲也漸流行。由于算盤不但是一種極簡便的計算工具﹐而且具有獨特的教育職能﹐所以到現(xiàn)在仍盛行不衰。

中國古代數(shù)學憑借這些輝煌成就在16世紀左右都處于領先地位，是名副其實的數(shù)學強國。這些數(shù)學成就對中華民族以及世界文明都做出了重大的貢獻，是值得炎黃子孫珍視的驕傲。希望中國的當代數(shù)學家們能夠繼承古代數(shù)學家的精神，樹立促進中國數(shù)學發(fā)展的長遠目標，不懈努力，爭取使中國在世界上早日成為數(shù)學大國。

第二篇：中國古代數(shù)學

引言

中國是四大文明古國之一，也是數(shù)學的發(fā)源地之一，由于地域、文化等特點，中國古代數(shù)學與歐洲數(shù)學存在著巨大的差別.這不僅表現(xiàn)在對理論與計算的偏重上，還表現(xiàn)在數(shù)學與社會關系的處理上.歐洲數(shù)學注重理論的邏輯推演和系統(tǒng)的建立.而與之相對，中國數(shù)學注重算法的研究和知識的現(xiàn)實可用性.這些特點使得中國數(shù)學在很長一段時間里成就位居世界之首.尤其是在古希臘數(shù)學衰落之后，中國數(shù)學取得了許多舉世矚目的成就.當西歐進入黑暗時代時，中國數(shù)學卻在騰飛，許多成就比后來歐洲在文藝復興和文藝復興之后取得的同樣成就早得多.這些成就的取得固然令我們感到驕傲，但到了十四世紀以后中國數(shù)學卻開始走向了衰落.幾百年來，中國人在數(shù)學這片領域上幾乎找不到任何重大的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新.這其中的原因不能不令我們深思.對歷史進行研究能讓我們看到中國古代數(shù)學由興到衰的過程.對產(chǎn)生這種結果的諸多因數(shù)進行分析就能讓我們深刻認識到衰落的真正原因，從而棄其糟粕，取其精華.中國古代數(shù)學究竟取得了那些重要成就？中國古代數(shù)學又是怎樣走向衰落的？為弄清這些問題，首先讓我們來回顧一下中國的數(shù)學發(fā)展史.2 中國古代數(shù)學發(fā)展簡史

數(shù)學在中國的歷史悠久綿長.在殷墟出土的甲骨文中有一些是記錄數(shù)字的文字，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數(shù)字為三萬；司馬遷的史記提到大禹治水使用了規(guī)、矩、準、繩等作圖和測量工具，而且知道“勾三股四弦五”；《易經(jīng)》中還包含有組合數(shù)學與二進制思想.2002年在湖南發(fā)掘的秦代古墓中，考古人員發(fā)現(xiàn)了距今大約2200多年的九九乘法表，與現(xiàn)代小學生使用的乘法口訣“小九九”十分相似.算籌是中國古代的計算工具，它在春秋時期已經(jīng)很普遍；使用算籌進行計算稱為籌算.中國古代數(shù)學的最大特點是建立在籌算基礎之上，這與西方及阿拉伯數(shù)學是明顯不同的.但是，真正意義上的中國古代數(shù)學體系形成于自西漢至南北朝的三、四百年期間.《算數(shù)書》成書于西漢初年，是傳世的中國最早的數(shù)學專著，它是1984年由考古學家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡中發(fā)現(xiàn)的.《周髀算經(jīng)》編纂于西漢末年，它雖然是一本關于“蓋天說”的天文學著作，但是包括兩項數(shù)學成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日.”——這是中國最早關于勾股定理的書面記載）；（2）測太陽高或遠的“陳子測日法”.《九章算術》在中國古代數(shù)學發(fā)展過程中占有非常重要的地位.它經(jīng)過許多人整理而成，大約成書于東漢時期.全書共收集了246個數(shù)學問題并且提供其解法，主要內(nèi)容包括分數(shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關于勾股測量的計算等.在代數(shù)方面，《九章算術》在世界數(shù)學史上最早提出負數(shù)概念及正負數(shù)加減法法則；現(xiàn)在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同.注重實際應用是《九章算術》的一個顯著特點.該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過這些地區(qū)遠至歐洲.《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數(shù)學體系的正式形成.中國古代數(shù)學在三國及兩晉時期側(cè)重于理論研究，其中以趙爽與劉徽為主要代表人物.趙爽是三國時期吳人，在中國歷史上他是最早對數(shù)學定理和公式進行證明的數(shù)學家之一，其學術成就體現(xiàn)于對《周髀算經(jīng)》的闡釋.在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實這已經(jīng)體現(xiàn)“割補原理”的方法.用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數(shù)學的一大貢獻.三國時期魏人劉徽則注釋了《九章算術》，其著作

《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統(tǒng)地闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學的理論體系與數(shù)學原理，并且多有創(chuàng)造.其發(fā)明的“割圓術”（圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計算奠定了基礎，同時劉徽還算出圓周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”.他設計的“牟合方蓋”的幾何模型為后人尋求球體積公式打下重要基礎.在研究多面體體積過程中，劉徽運用極限方法證明了“陽馬術”.另外，《海島算經(jīng)》也是劉徽編撰的一部數(shù)學論著.南北朝是中國古代數(shù)學的蓬勃發(fā)展時期，計有《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等算學著作問世.祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性.他們著重進行數(shù)學思維和數(shù)學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步.根據(jù)史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數(shù)點后 14世紀中、后葉明王朝建立以后，統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度消減數(shù)學內(nèi)容，于是自此中國古代數(shù)學便開始呈現(xiàn)全面衰退之勢，到了近代已遠遠落后于西方國家的數(shù)學水平.在中國古代數(shù)學幾千年的發(fā)展歷程中，我們不難看出中國古代數(shù)學思想與西方數(shù)學思想的諸多不同點，也就是其獨具特色的一面.接下來讓我們來分析一下中國古代數(shù)學的思想特點.3 中國古代數(shù)學思想特點（1）.（實用性）《九章算術》收集的每個問題都是與生產(chǎn)實踐有聯(lián)系的應用題，以解決問題為目的.從《九章算術》開始，中國古典數(shù)學著作的內(nèi)容，幾乎都與當時社會生活的實際需要有著密切的聯(lián)系.這不僅表現(xiàn)在中國的算學經(jīng)典基本上都遵從問題集解的體例編纂而成，而且它所涉及的內(nèi)容反映了當時社會政治、經(jīng)濟、軍事、文化等方面的某些實際情況和需要，以致史學家們常常把古代數(shù)學典籍作為研究中國古代社會經(jīng)濟生活、典章制度（特別是度量衡制度），以及工程技術（例如土木建筑、地圖測繪）等方面的珍貴史料.而明代中期以后興起的珠算著作，所論則更是直接應用于商業(yè)等方面的計算技術.中國古代數(shù)學典籍具有濃厚的應用數(shù)學色彩，在中國古代數(shù)學發(fā)展的漫長歷史中，應用始終是數(shù)學的主題，而且中國古代數(shù)學的應用領域十分廣泛，著名的十大算經(jīng)清楚地表明了這一點，同時也表明“實用性”又是中國古代數(shù)學合理性的衡量標準.這與古代希臘數(shù)學追求純粹“理性”形成強烈的對照.其實，中國古代數(shù)學一開始就同天文歷法結下了不解之緣.中算史上許多具有世界意義的杰出成就就是來自歷法推算的.例如，舉世聞名的“大衍求一術”（一次同余式組解法）產(chǎn)于歷法上元積年的推算，由于推算日、月、五星行度的需要中算家創(chuàng)立了“招差術”（高次內(nèi)插法）；而由于調(diào)整歷法數(shù)據(jù)的要求，歷算家發(fā)展了分數(shù)近似法.所以，實用性是中國傳統(tǒng)數(shù)學的特點之一.（2）.（算法程序化）中國傳統(tǒng)數(shù)學的實用性，決定了他以解決實際問題和提高計算技術為其主要目標.不管是解決問題的方式還是具體的算法，中國數(shù)學都具有程序性的特點.中國古代的計算工具是算籌，籌算是以算籌為計算工具來記數(shù)，列式和進行各種演算的方法.有人曾經(jīng)將中國傳統(tǒng)數(shù)學與今天的計算技術對比，認為算籌相應于電子計算機可以看作“硬件”，那么中國古代的“算術”可以比做電子計算機計算的程序設計，是一種軟件的思想.這種看法是很有道理的.中國的籌算不用運算符號，無須保留運算的中間過程，只要求通過籌式的逐步變換而最終獲得問題的解答.因此，中國古代數(shù)學著作中的“術”，都是用一套一套的“程序語言”所描寫的程序化算法.各種不同的籌法都有其基本的變換法則和固定的演算程序.中算家善于運用演算的對稱性、循環(huán)性等特點，將演算程序設計得十分簡捷而巧妙.如果說古希臘的數(shù)學家以發(fā)現(xiàn)數(shù)學的定理為目標，那么中算家則以創(chuàng)造精致的算法為已任.這種設計等式、算法之風氣在中算史上長盛不衰，清代李銳所設計的“調(diào)日法術”和“求強弱術”等都可以說是我國古代傳統(tǒng)的遺風.古代數(shù)學大體可以分為兩種不同的類型：一種是長于邏輯推理，一種是發(fā)展計算方法.這也大致代表了西方數(shù)學和東方數(shù)學的不同特色.雖然以算為主的某些特點也為東方的古代印度數(shù)學和中世紀的阿拉伯數(shù)學所具有，但是，中國傳統(tǒng)數(shù)學在這方面更具有典型性.中算對于算具的依賴性和形成一整套程序化的特點尤為突出.例如，印度和阿拉伯在歷史上雖然也使用過土盤等算具，但都是輔助性的，主要還是使用筆算，與中國長期使用的算籌和珠算的情形大不相同，自然也沒有形成像中國這樣一貫的與“硬件”相對應的整套“軟件”.（3）.（模型化）“數(shù)學模型”是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關系，采用形式話數(shù)學語言，概括的近似地表達出來的一種數(shù)學結構.古代的數(shù)學模型當然沒有這樣嚴格，但如果不要求“形式化的數(shù)學語言”，對“數(shù)學結構”也作簡單化的解釋，則仍

然可以應用這個定義.按此定義，數(shù)學模型與現(xiàn)實世界的事物有著不可分割的關系，與之有關的現(xiàn)實事物叫做現(xiàn)實原形，是為解釋原型的問題才建立應用數(shù)學模型的.《九章算術》中大多數(shù)問題都具有一般性解法，是一類問題的模型，同類問題可以按同種方法解出.其實，以問題為中心、以算法為基礎，主要依靠歸納思維建立數(shù)學模型，強調(diào)基本法則及其推廣，是中國傳統(tǒng)數(shù)學思想的精髓之一.中國傳統(tǒng)數(shù)學的實用性，要求數(shù)學研究的結果能對各種實際問題進行分類，對每類問題給出統(tǒng)一的解法；以歸納為主的思維方式和以問題為中心的研究方式，傾向于建立基本問題的結構與解題模式，一般問題則被化歸、分解為基本問題解決.由于中國傳統(tǒng)數(shù)學未能建立起一套抽象的數(shù)學符號系統(tǒng)，對一般原理、法則的敘述一方面是借助文辭，一方面是通過具體問題的解題過程加以演示，使具體問題成為相應的數(shù)學模型.這種模型雖然和現(xiàn)代的數(shù)學模型有一定的區(qū)別，但二者在本質(zhì)上是一樣的.（4）.（寓理于算）由于中國傳統(tǒng)數(shù)學注重解決實際問題，而且因中國人綜合、歸納思維的決定，所以中國傳統(tǒng)數(shù)學不關心數(shù)學理論的形式化，但這并不意味中國傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗層次上而無理論建樹.其實中國數(shù)學的算法中蘊涵著建立這些算法的理論基礎，中國數(shù)學家習慣把數(shù)學概念與方法建立在少數(shù)幾個不證自明、形象直觀的數(shù)學原理之上，如代數(shù)中的“率”的理論，平面幾何中的“出入相補”原理，立體幾何中的“陽馬術”、曲面體理論中的“截面原理”（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等.中國古代數(shù)學的特點雖然在一定的程度上促進了其自身的發(fā)展，但正是因為這其中的某些特點，中國古代數(shù)學走向了低谷.4 中國古代數(shù)學由興轉(zhuǎn)衰的原因分析（1）．獨尊儒術，蔑視邏輯.漢武帝時，“罷黜百家，獨尊儒術”使得當時注重形式邏輯的墨子思想未能得到繼承和發(fā)展.儒家思想講究簡約，而忽視了邏輯思維的過程.這一點從中國古代的典籍中能找到最準確的說明.《周髀算經(jīng)》中雖然給出了勾股定理，但卻沒給出證明.《九章算術》同樣只在給出題目的同時，給出一個結果和計算的程式，對其中的邏輯思維卻沒有去說明.中國古代數(shù)學這種只注重計算形式（即古代數(shù)學家所謂的“術”）與過程，不注重邏輯思維的做法，在很長一段時間里禁錮了中國古代數(shù)學發(fā)展.這種情況的出現(xiàn)當然也有其原因，中國古代傳統(tǒng)數(shù)學主要是在算籌的基礎上發(fā)展起來的，后來發(fā)展到以算盤為工具的計算時代，但是這些工具的使用在另一方面為中國人提供了一種程式化的求解方法，從而忽視了其中的邏輯思維過程.此外，中國傳統(tǒng)數(shù)學講究“寓理于算”.即使高度發(fā)達的宋元數(shù)學也是如此.數(shù)學書是由一系列的數(shù)學問題組成的.你也可以稱它們?yōu)椤傲曨}解集”.數(shù)學理論以‘術”的形式出現(xiàn).早期的“術”只有一個過程，后人就紛紛為它們作注，而這些注釋也很簡約.實際上就是舉例“說明”，至于說明了什么，條件變一下怎么辦，就要讀者自已去總結了，從來不會給你一套系統(tǒng)的理論.這是一種相對原始的做法.但隨著數(shù)學的發(fā)展，這種做法的局限性就表現(xiàn)出來了，它極不利于知識的總結.如果只有很少一點數(shù)學知識，那么，問題還不嚴重，但隨著數(shù)學知識的增長，每個知識點都用一個題目來包裝，而不把它們總結出來就難以從整體上去把握這些知識.這無論對學習數(shù)學還是研究，發(fā)展數(shù)學都是不利的.（2）． 崇尚玄學，迷信數(shù)術，歪曲數(shù)學思想.魏晉時期，儒學雖然受到一定的沖擊，但其統(tǒng)治地位并未受到動搖.老莊學說和儒家學說相反相成便形成了玄學.玄學原本探究的是有關人生的哲學，但后來與數(shù)學混在了一起.古人曾就常常以玄術來解釋數(shù)學問題，使得數(shù)學概念和方法遭到歪曲.張衡是我國著名科學家.當時他雖然已經(jīng)知道圓周率“周一徑三”不準確，但由于他始終相信“周一徑三”來源于“參天兩地”的說法，一直沒深入探究，因而未能將圓周率推算到更精確的地步，這不能不說是一大遺憾.當玄術和數(shù)術充塞數(shù)學時，數(shù)學已經(jīng)明顯存有落后的隱患.（3）． 故步自封，墨守成規(guī)，拒絕數(shù)學符號.中國古代數(shù)學是以漢語描述的，歷來不重視漢字以外的數(shù)學符號，給邏輯思維帶來很大的困難，使我國長期不能形成演繹推理的傳統(tǒng)，嚴重影響了我國數(shù)學的發(fā)展.從明朝開始，中國就走上了閉關鎖國的道路.這種行為與小農(nóng)思想相適應，早在秦代就已經(jīng)出現(xiàn)端倪，建一條長城將自己圍起來，對外面的東西不聞不問.相比之下，西方在度過了中世紀的黑暗時期后，進入了文藝復興時期.歐洲的擴張、航海技術開闊了西方人的眼界，同時也大大推動了數(shù)學的發(fā)展.在18世紀的改革和動蕩中，新出現(xiàn)的資產(chǎn)階級推翻了英、法的君主政治.封建的政治、社會和經(jīng)濟思想被經(jīng)典的自由主義哲學所取代，這種哲學促進了19世紀的工業(yè)革命.社會生產(chǎn)力的提高成了西方數(shù)學發(fā)展的源源不斷的動力.最終，近代的數(shù)學在西方被建立起來，而曾是數(shù)學大國之一的中國，在其中卻無所作為.（4）.此外，中國長期處于封建社會，遲遲未能進入資本主義階段，也是導致中國古代數(shù)學發(fā)展停頓的直接原因.從整體上看，數(shù)學是與所處的社會生產(chǎn)力相適應的.中國社會長期處于封閉的小農(nóng)經(jīng)濟環(huán)境，生產(chǎn)力低下，不僅沒有工業(yè)，商業(yè)也不發(fā)達.整個社會對數(shù)學沒有太高的要求，自然研究數(shù)學的人也就少了.恩格斯說，天文學和力學是推動數(shù)學發(fā)展的動力，而在當時的中國這種動力已趨近枯竭.5 我從中國古代數(shù)學的研究中得到的幾點啟示：

通過對中國古代數(shù)學史及數(shù)學思想史的研究，我們看到了中國古代數(shù)學由興到衰的歷史過程，并分析了其由興到衰的歷史原因.由此，針對中國古代數(shù)學發(fā)展的特殊歷史背景，我對今后數(shù)學發(fā)展方向作出了以下意見：

（1）.繼承并創(chuàng)新中國古代傳統(tǒng)數(shù)學思想的精華.數(shù)學應服務于生產(chǎn)實踐，這是一個不爭的事實.雖然很多理論都是在貫之以“純數(shù)學”，但是，我們應該相信，這些理論只是數(shù)學上的一個過渡，它的引入是為了解決其他的問題而展開的.現(xiàn)代數(shù)學教育中經(jīng)常會引入一些現(xiàn)實中的模型，讓學生用數(shù)學方法加以解決，這就是很好的做法.一方面它讓學生認識到了數(shù)學源于生活，服務于生活的理念；令一方面它有效得鍛煉了學生數(shù)學建模的思想，并從真正意義上讓學生學懂學活了.很多人懷疑中國古代數(shù)學知識已經(jīng)過時，就在一些數(shù)學思想也與現(xiàn)代格格不入.其實這是不正確的.近年來，我國著名數(shù)學家吳文俊同志從中國古代數(shù)學擅長于算，習慣將算法程序化這一做法中得到了啟示，從而研究開辟了機器證明數(shù)學命題的新領域.這就是很好的例子，它說明中國古代數(shù)學思想并沒有過時，要想走出創(chuàng)新和成就的瓶頸，我們就必須認真研究中國古代數(shù)學的歷史和世界數(shù)學的現(xiàn)狀，并有效得將二者進行結合.（2）.數(shù)學研究應沿著注重邏輯思維的過程以及理論體系的建立這一路線發(fā)展，雖然當今數(shù)學發(fā)展已經(jīng)相當完備，但仍有大量的問題有待我們?nèi)ヅ鉀Q.就比如：如何將數(shù)學的各個分支用一中簡約的數(shù)學思想統(tǒng)一起來？這個難題有許許多多的數(shù)學工作者在為之奮斗，并取得了一的成績，群論的建立就是其中優(yōu)秀的范例.難以想像，如果對數(shù)學的理論體系沒有一定的了解，并且不注重邏輯思維的過程，而又試圖解決這一問題是多么困難的事.（3）.數(shù)學研究要以一種科學的態(tài)度去對待.就比如馬克思主義辯證思想，只要我們的數(shù)學研究秉承著這樣一種思想，就不會走太多的彎路，更不會走上歧途.中國古代數(shù)學是與玄術并行發(fā)展的，這難免阻礙了數(shù)學的發(fā)展.而由于中國文化的特點，這種思想依然對一大批數(shù)學工作著有著較深的影響.我們的數(shù)學要發(fā)展和創(chuàng)新就不能不摒棄一切有礙數(shù)學發(fā)展的因素.（4）.我們的每個理論研究者都應密切關注國內(nèi)國外的學術動態(tài)，吸收一切有用的、正確的、外來的文化與知識，而不能做一個閉門造車的數(shù)學工作者.數(shù)學發(fā)展至今，很多

分支都已經(jīng)發(fā)展地相當完備了，一個研究者倘若對世界數(shù)學在本領域的現(xiàn)狀缺乏了解的情況下開展研究工作，必定會走彎路.多元化的信息時代為我們提供了便捷的世界文化知識交流渠道.網(wǎng)絡就是很好的例子，我們可以充分地加以應用，從而共同推動數(shù)學的發(fā)展.（5）.建立健全的國家發(fā)展體制.只有在一種迫切的發(fā)展動力下，才能激發(fā)人的潛力，從而創(chuàng)造出成績.當代中國經(jīng)濟發(fā)展迅猛，生產(chǎn)力不斷發(fā)展壯大.這種狀況對我們的每個數(shù)學工作者提供了良好的契機，只要我們的數(shù)學工作者將目光更多地投入到生產(chǎn)實踐中去，讓科學服務于生產(chǎn)實踐，就能有所成就，有所創(chuàng)新.6 結束語

中國傳統(tǒng)數(shù)學思想具有顯著的民族性特征.我國傳統(tǒng)數(shù)學是沿著注重從實踐經(jīng)驗中產(chǎn)生和發(fā)展數(shù)學的思維方式發(fā)展數(shù)學的，擅長于算，運算主要以算籌作為工具.但同時卻又在邏輯思維上存有欠缺.這與西方許多國家發(fā)展數(shù)學的道路是不同的.中國傳統(tǒng)數(shù)學思想有著自已的淵源和模式，有其長，也有其短.在初等數(shù)學領域之內(nèi)，正是這種傳統(tǒng)數(shù)學思想把我國數(shù)學推向世界的最高峰.許多國家與我國相比，望塵莫及.好的傳統(tǒng)我們應當學會繼承和發(fā)展.我們應當好好研究中國古代數(shù)學的獨特之處，并將其加以應用，以指導當代的數(shù)學研究工作.對于落后不利于數(shù)學發(fā)展的思想我們又要學會放棄，就比如中國古代數(shù)學曾一度故步自封，這是極其不利于其自身發(fā)展的做法.我們要從中吸取教訓，努力加強中西文化交流，盡可能多得吸取西方數(shù)學的精華與長處.這樣我們的數(shù)學才能在真正意義上走想成熟.繼承和發(fā)展中國傳統(tǒng)數(shù)學思想，“純粹的”民族傳統(tǒng)是不行的，要面向世界，面向現(xiàn)代化.我們應該恰當調(diào)節(jié)數(shù)學和環(huán)境的關系，為數(shù)學提供源源不斷的動力機制.并建立一套完善的理論體系，把應用廣泛地拓展開來.另一方面我們要提高數(shù)學抽象結構，加強其內(nèi)在聯(lián)系，注重分析，全面把握，只有這樣才是真正意義上認識了我國古代數(shù)學思想中體現(xiàn)出來的優(yōu)與劣，我們的數(shù)學也才能擁有一片光明的前景.致謝:本論文的順利完成主要得益于張正才教授和李圣國老師的辛勤指導和幫助.在此表示感謝！

參考文獻

文獻資料

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第三篇：中國古代數(shù)學專著

讓更多的孩子得到更好的教育

中國古代數(shù)學專著——《九章算術》

《九章算術》是中國古代數(shù)學專著，承先秦數(shù)學發(fā)展的源流，進入漢朝后又經(jīng)許多學者的刪補才最后成書，這大約是公元一世紀的下半葉。它的出現(xiàn)，標志著中國古代數(shù)學體系的形成。

后世的數(shù)學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數(shù)學知識的。唐宋兩代都由國家明令規(guī)定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學書。

《九章算術》共收有 246個數(shù)學問題，分為九章。分別是：方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。

《九章算術》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分數(shù)運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。

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第四篇：數(shù)學史論文‘’論中國古代數(shù)學的特點‘’

論中國古代數(shù)學的特點

摘要：世界上各種文化都會深深的打上地理環(huán)境的烙印，數(shù)學也不例外。數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展是通過數(shù)學家個人來實現(xiàn)的, 因此數(shù)學的發(fā)展就不能不受到不同地域、不同哲學思想等方面的影響, 形成具有民族或時代特點的數(shù)學。中國古代數(shù)學與西方數(shù)學都是世界數(shù)學史上兩顆璀璨的明珠，都有著各自的特點，但是毋庸置疑都為世界數(shù)學的發(fā)展做出了突出貢獻，促進了數(shù)學的發(fā)展。

關鍵詞：中國古代數(shù)學、實用性、西方數(shù)學、共同發(fā)展

數(shù)學，作為人類文明的重要組成部門，有著非常悠久的歷史，與其他文化一樣，數(shù)學科學也是幾千年來人類智慧的結晶。從遠古時期的結繩記事、屈指計數(shù)到借助于現(xiàn)代點電子計算機進行計算、證明與科學管理，從利用規(guī)矩等工具進行的勾股測量等具體操作到抽象的公理化體系的產(chǎn)生??

中國是一個有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國, 數(shù)學是中國古代最為發(fā)達的學科之一，據(jù)出土的文物考證, 在中國數(shù)概念的形成不晚于7000 年前, 數(shù)概念的產(chǎn)生標志著中國數(shù)學的起源。此后, 在古代中國智慧的結晶——十進制記數(shù)法的推動下, 中國數(shù)學經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮: 分別是兩漢時期、魏晉南北朝時期和宋元時期, 其中宋元時期達到了中國傳統(tǒng)數(shù)學的頂峰,誕生了劉徽、賈憲、沈括、祖沖之父子等數(shù)學家。在秦漢時期也出現(xiàn)了《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《數(shù)書九章》、《緝古算經(jīng)》和《五經(jīng)算術》等數(shù)學著作, 其中《九章算術》代表中國傳統(tǒng)數(shù)學的最高成就, 它的完成標志著中國數(shù)學體系的建立。以《九章算術》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學具有以下兩個特點:

1、以計算為中心。

演算在中國傳統(tǒng)數(shù)學里占有重要的地位, 幾乎每一部中國古代數(shù)學著作都是以“問題—解答”的形式存在。以計算為主的中國傳統(tǒng)數(shù)學, 還導致了算籌和算盤等計算工具的發(fā)明。但中國傳統(tǒng)數(shù)學把計算發(fā)展到淋漓盡致的地步, 不僅有精妙的迭代和高超的技巧, 還從中歸納出分數(shù)四則運算理論、比例計算理論、正負數(shù)運算理論、方程理論、勾股理論、割圓術、體積理論、同余理論等舉世公認的成就。另外, 它的計算方法往往從一整類問題中概括出來, 具有一般性, 對現(xiàn)在的數(shù)學機器證明具有參考價值。、社會性

以帝王君主為主的政治體制對中國傳統(tǒng)數(shù)學的影響。首先，中國是一個相對來說比較安定的國家，各地文化差異不大，沒有刺激文化發(fā)展的因素；其次，中國是一個專制型非常強的國家，哪怕有著“百家爭鳴”的景象但是也沒維持多久，而且在這樣的嚴苛制度下，人民的思想相對鈍化，沒有學術意識，只能聽從帝王的話，這也是影響中國古代數(shù)學的一大原因；最后，在古代大多數(shù)文化人便是朝中的官員，在這種制度下，他們有著絕對的權威，下面的人也只能言聽計從，這也導致了中國古代數(shù)學的形式較為單一。

3、實用性強。

首先，中國文明史大河背景下的農(nóng)耕文明，農(nóng)業(yè)經(jīng)濟成為發(fā)展的關鍵，農(nóng)業(yè)的發(fā)展離不開統(tǒng)籌和規(guī)劃，學術要為這些現(xiàn)實服務，于是造就了中國傳統(tǒng)數(shù)學的實用性；其次，儒家思想在中國古代有著領導性的地位，它重視實用, 追求功利性。如中國古代數(shù)學家在著書立說時, 或多或少都會談到數(shù)學的實用價值。社會實踐成了衡量數(shù)學好壞的標準, 如果數(shù)學適合生活需要, 能夠解決實際問題就是好數(shù)學, 會得到發(fā)展,否則得不到重視甚至被拋棄。這種思想幾千年來一直以來都影響著中國古代的數(shù)學家。這也導致了中國古代數(shù)學具有濃厚的實用性。

如春秋時期齊國的官書《考工記》，它展現(xiàn)的就是當時手工生產(chǎn)設計的規(guī)范、制作工藝等問題，其中就涉及到了眾多數(shù)學知識，但是該書的目的是為了使群眾更好更熟練的運用其技能，制作出精良的工藝品，還有現(xiàn)在人們?nèi)债a(chǎn)生活中所不可或缺的十進位值制、干支紀日法、天文歷法等等。這些無一不體現(xiàn)了中國古代數(shù)學的實用性。

而西方數(shù)學誕生了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯等數(shù)學巨匠, 也出現(xiàn)了《幾何原本》、《圓的度量》、《論球和圓柱》、《圓錐曲線論》和《數(shù)學匯編》等對后來影響深遠的數(shù)學著作,在西方人的世界里數(shù)學是是純粹的、抽象的、在邏輯上互相聯(lián)系的, 并且它們之間的內(nèi)在聯(lián)系被揭示出來之后才有價值。亞里士多德崇尚推理和證明, 并把數(shù)學推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化, 創(chuàng)立了獨立的邏輯學, 其中的基本邏輯原理矛盾律和排中律成為數(shù)學中間接證明的核心。這些哲學思想使西方傳統(tǒng)數(shù)學走上了理性的道路；另外, 西方的數(shù)學家大多是一些哲學家和學者, 他們研究數(shù)學是為了追求真理或探索自然, 基本上不會考慮數(shù)學的應用性, 因此西方傳統(tǒng)數(shù)學基本上都是純數(shù)學, 抽象度高、應用性低。

從上面分析可以看出中國傳統(tǒng)數(shù)學以算法為中心、以解決社會實際問題為目的, 優(yōu)點是實踐性強, 缺點是缺乏概念的科學建設和命題的邏輯證明;西方傳統(tǒng)數(shù)學以邏輯證明為重點, 強調(diào)演繹推理, 但脫離了社會實踐。分析從前、感受現(xiàn)在，我們也能發(fā)現(xiàn)，任何一種單一的數(shù)學模式都不是現(xiàn)今人類數(shù)學的唯一發(fā)展模式。中國古代數(shù)學和西方數(shù)學作為世界數(shù)學史上兩顆璀璨的明珠，都有著各自的特點，但是毋庸置疑都為世界數(shù)學的發(fā)展做出了突出貢獻，促進了數(shù)學的發(fā)展。

數(shù)學是一門博大精深的科學，生活中處處都有數(shù)學思想的體現(xiàn)，將數(shù)學應用于生活，能為我們解決很多問題。只有深刻了解數(shù)學的歷史，才能學好數(shù)學，將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化從而運用到生活中。中國古代數(shù)學和西方數(shù)學的歷史尤為重要。通過兩種數(shù)學歷史的對比，我們對數(shù)學有了更深的了解，對數(shù)學的熱情度也大大提升！參考文獻：

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6、百度百科

第五篇：《中國古代數(shù)學中的算法案例》教案

《中國古代數(shù)學中的算法案例》教案

一、教案背景

1，面向?qū)W生：高中

2，學科：數(shù)學

3，課時：1 4，學生課前準備：通過閱讀課本找出中國古代數(shù)學中的算法案例，結合案例，了解一下中國古代主要的數(shù)學家和數(shù)學著作。

二、教學課題 １． 知識與技能目標：

（１）了解中國古代數(shù)學中求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術的算法；

（２）通過對“更相減損之術”及“割圓術”的學習，更好的理解將要解決的問題“算法化”的思維方法，并注意理解推導“割圓術”的操作步驟。２． 過程與方法目標：

（１）改變解決問題的思路，要將抽象的數(shù)學思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏輯思維能力；（２）學會借助實例分析，探究數(shù)學問題。３． 情感與價值目標：

（１）通過學生的主動參與，師生，生生的合作交流，提高學生興趣，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)探索精神；（２）體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻，增強愛國主義情懷。

三、教材分析

本節(jié)為為高中數(shù)學人教B版必修三中第一章第三節(jié)課，本節(jié)課的重點是理解書中介紹的中國古代的三個問題的算法，難點是為算法編寫程序。

求最大公約數(shù)的更相減損之術

教材對這個算法編好了程序，可讓學生通過執(zhí)行程序來學習體會此算法，注意讓學生自主解釋此算法的有窮性。歐幾里得的輾轉(zhuǎn)相除法也是求最大公約數(shù)的有效算法，在實際問題中和抽象代數(shù)理論上都有重要應用，它的程序可參看本小節(jié)中的探索與研究，可鼓勵學生自主編寫程序。

割圓術

可以啟發(fā)學生自己編寫算法，和Scilab程序，試驗證明，學生對此非常感興趣 秦九韶算法

一方面，這個算法是目前仍在廣泛使用（很多文獻中稱之為霍納法）；另一方面，秦九韶算法給我們提供了一個比較算法優(yōu)劣的機會，一般地說，在中學生的程度上比較分析算法的優(yōu)劣不是容易的事，所以要利用這個機會讓學生對算法的優(yōu)劣性有所體會。

四、教學方法

通過典型實例，使學生經(jīng)歷算法設計的全過程，在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯結構，學會有條理地思考問題、表達算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。

五、教學過程

說明如何導入該課程，主要教學點的設計，知識拓展等。

1、課前任務：

請同學們自己查一些資料或者上網(wǎng)搜索一些中國古代的數(shù)學家以及其主要成就： 【百度知道】中國古代數(shù)學家

（提前認識一下中國古代的數(shù)學成就，激勵同學們需要繼續(xù)努力）

2、課上探討：

同學們是否知道，我們在小學、初中學到的算術、代數(shù)，從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程組以及方程的求根方法，都是我國古代數(shù)學家最先創(chuàng)造的，有的比其他國家早幾百年甚至上千年，我們?nèi)嗣裨陂L期的生活、生產(chǎn)和勞動過程中，創(chuàng)造了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、正負數(shù)及其計算，以及無限逼近任意實數(shù)的方法，在代數(shù)學、幾何學方面，我國在宋、元之前也都處于世界前列，更為重要的是我國古代數(shù)學的發(fā)展有著自己鮮明的特色，走著與西方完全不同的道路，在今天看來這條道路仍然有很大的優(yōu)越性。這條道路的一個重要特色就是“寓理于算”，也就是本節(jié)中所講的要把解決問題“算法化”。下面我們舉一些我國古代數(shù)學中算法的例子，讓同學們更進一步體會“算法”的概念，看一看中國古代數(shù)學家的偉大成就和顯著特色。

下面就中國古代的數(shù)學成就，結合算法的知識，主要了解一下下面三個方面的內(nèi)容：求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法、割圓術和秦九韶算法。

一、求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法：更相減損之術

我們知道，如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則b稱為a的一個約數(shù)，一個整數(shù)可能有好幾個約數(shù)。例如，12能被1,2,3,4,6,12整除，這6個數(shù)都是12的約數(shù)。16的有1,2,4,8,16這5個約數(shù)。我們看到2和4，既是12的約數(shù)，又是16的約數(shù)，2和4叫做12和16的公約數(shù)，公約數(shù)2和4中，4最大，4稱作12和16的最大公約數(shù)。如何找到一種算法，對任意兩個正整數(shù)都能求出它們的最大公約數(shù)呢？下面給出我國古代數(shù)學家的一個算法，這個算法被稱做“更相減損之術”。

【百度百科】更相減損之術

http://baike.baidu.com/view/1431259.htm（了解更相減損之術的出處，開拓知識容量）

我們以求16,12這兩個數(shù)的最大公約數(shù)為例加以說明。用兩個數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即16-12=4，用差數(shù)4和最小的數(shù)12構成新的一對數(shù)，對這一對數(shù)再用大數(shù)減小數(shù)，以同樣的操作一直做下去，知道產(chǎn)生一對相等的數(shù)，這個數(shù)就是最大公約數(shù)。整個操作如下： 4是12和16的最大公約數(shù)。

這種算法的道理何在？不難看出，對任意兩個數(shù)，每次操作后所得的兩個數(shù)與前兩數(shù)具有相同的最大公約數(shù)，而兩數(shù)的值逐漸減少，經(jīng)過有限步地操作后，總能得到相等的兩個數(shù)，即求得兩數(shù)的最大公約數(shù)。例1：求78和36的最大公約數(shù)。解：

這種算法，只做簡單的減法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是機械的運算，據(jù)此很容易編出程序，在計算機上運算，把這個算法與我們下面探索與研究中介紹的歐幾里德算法比較，看看這個算法的優(yōu)越性。下面是我們用Scilab編出的程序，供大家參考。實際上，你可用你在信息技術課上學到的任一種程序設計語言編出程序，從中體會一下這個算法的優(yōu)越性。為了方便敘述，我們稱這種算法為“等值算法” 用等值算法求最大公約數(shù)的程序： a=input(“please give the first number”);b=input(“please give the second number”);while a<>b

if a>b

a=a-b

else

b=b-a

end end print(%io2(2),a,b)

把這個程序保存成文件，可隨時調(diào)入Scilab界面運行，求任意兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)。課后任務：

【百度百科】九章算術

【百度百科】劉徽

【百度百科】輾轉(zhuǎn)相除法

（增加知識容量）

二、割圓術

我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽，他在注《九章算術》中采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的算法計算圓周率，用劉徽自己的原話就是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！彼乃枷牒髞碛值玫阶鏇_之的推進和發(fā)展，計算出圓周率的近似值在世界上很長時間里處于領先地位。

劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個算出這些圓內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐漸遞增的數(shù)值，來一步一步地逼近圓面積，最后求出圓周率的近似值?？梢韵胂笤诋敃r需要付出多么艱辛的勞動，現(xiàn)在讓我們用劉徽的思想，使用計算機求圓周率的近似值，計算機最大的特點是運算速度快，只要我們將運算規(guī)律告訴計算機，計算機會迅速得到所求的答案。

我們先對單位圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形??的面積之間的關系進行分析，找出它們之間的遞增規(guī)律。

【百度圖片】劉徽割圓的弧田圖

如上圖所示，假設圓的半徑為1，面積為S，圓內(nèi)接正n邊形面積為，邊長為，邊心距為，根據(jù)勾股定理。

正2n邊形的面積為正n邊形的面積 再加上n個等腰三角形的面積和，即 ①

正2n邊形的邊長為。

劉徽割圓術還注意到，如果在內(nèi)接n邊形的每一邊上，做一高為CD的矩形，就可得到

這樣我們就不僅可計算出圓周率的不足近似值，還可計算出圓周率的過剩近似值。

正六邊形的面積開始計算，即n=6，則正六邊形的面積。用上面的公式①重復計算，就可得到正十二邊形、正二十四邊形??的面積。因為圓的半徑為1，所以隨著n的增大，的值不斷趨近于圓周率，這樣不斷計算下去，就可以得到越來越精密的圓周率近似值。下面我們根據(jù)劉徽割圓術的算法思想，用Scilsb語言寫出求 的不足近似值程序： n=6 x=1 s=6*sqrt(3)/4 for i=1:1:5

h=sqrt(1-(x/2)^2)

s=s+n*x*(1-h)/2

n=2*n

x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2)end print(%io(2),n,s)

運行程序，當邊數(shù)為192時，就可以得到劉徽求的的圓周率的近似值3.14，當邊數(shù)為24576時，就得到了祖沖之計算的結果3.1415926.由于是用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓，因而得到的圓周率總是小于 的實際值。作為練習，請同學們編出程序求 作為 的過剩近似值。課后任務

【百度文庫】祖沖之和圓周率 http://wenku.baidu.com/view/f5e8cfc789eb172ded63b7c7.html

三、秦九韶算法

【百度百科】秦九韶http://baike.baidu.com/view/18635.htm

已知一個一元n次多項式函數(shù)，當，我們可按順序一項一項地計算，然后相加，求得。下面看看我們宋代（約13世紀）大數(shù)學家秦九韶是如何計算多項式函數(shù)值的。

讓我們以5次多項式函數(shù)為例加以說明。設

首先，我們把這個多項式一步一步的進行改寫：

上面的分層計算，只用了小括號，計算時，首先計算最內(nèi)層的括號，然后由內(nèi)向外逐層計算，知道最外層的一個括號，然后加上常數(shù)項。

這種算法與直接算法比較，有什么有什么優(yōu)越性呢？首先，這種算法一共做了5次乘法，5次加法，與直接計算相比較大大節(jié)省了乘法的次數(shù)，是計算量減少，并且邏輯結構簡單。

對任意一元n次多項式，類似的敘述如下：

上面的方法，現(xiàn)在大家稱它為秦九韶方法。直到今天，這種算法仍是世界上多項式求值的最先進的算法。

這種方法的計算量僅為：乘法n次，加法n次。我們看看其他算法的計算量。

用直接求和法，直接計算多項式 各項的值，然后把他們相加?？芍朔ǖ拇螖?shù)為，加法次數(shù)為n。

逐項求和在直接求和法的基礎上做了改進，先把多項式寫成 的形式，這樣多項式的每一含x的冪的項都是 與 的乘積（k=1,2,3，??，n），在計算

項時把 的值保存在變量c中，求 項時只須計算，同時把 的值存入c中，繼續(xù)下一項的運算，然后把這n+1項的值相加。

容易看出逐項求和法所用乘法的次數(shù)為2n-1，加法次數(shù)為n，當 時，通過上面的比較，我們可看到秦九韶算法比其他算法優(yōu)越得多。

3、課堂小結：

本節(jié)主要學習了中國古代的三個算法問題：更相減損之術求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)、割圓術求圓周率和秦九韶求一元n次多項式的值，重點在于這三種方法的應用，難點就是如何去編制算法語言，主要以了解為主。

4、當堂練習：

⑴.下面各組關于最大公約數(shù)的說法中不正確的是（C）

A.80與36的最大公約數(shù)是4

B.294與84的最大公約數(shù)是42 C.85與357的最大公約數(shù)是34

D.228與741的最大公約數(shù)是57 ⑵.我國數(shù)學家劉徽采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的計算方法來求圓周率，其算法的特點為（C）A.運算速率快

B.能計算出 的精確值

C.“內(nèi)外夾逼”

D.無限次地分割 ⑶.用秦九韶算法求多項式 的值時，應把 變形為（D）A.B.C.D.⑷.用更相減損之術求81與135的最大公約數(shù)時，要進行

次減法運算。

5、課后作業(yè)

⑴.145與232的最大公約數(shù)是（）A.145

B.19

C.29

D.32 ⑵.用秦九韶算法計算多項式 在 時的值時，的值為（）A.-845

B.220

C.-57

D.34 ⑶.用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓，因而得到的圓周率總是（）的實際值 A.大于等于

B.小于等于

C.等于

D.小于

⑷.已知一個5次多項式，用秦九韶算法求當 時，多項式的值，可把多項式寫成如下的形式

。⑸求兩個數(shù)51與85的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)。

⑹（創(chuàng)新應用）

《孫子算經(jīng)》有這樣一道題目：“今有百鹿入城，家取一鹿不盡，又三家共一鹿適盡，問城中家?guī)缀?？”你能設計一個程序解決這個問題嗎？

六、教學反思

算法是中國古代數(shù)學的優(yōu)良傳統(tǒng).《九章算術》及其劉徽開創(chuàng)了中國傳統(tǒng)數(shù)學構造性和機械化的算法模式.中國傳統(tǒng)數(shù)學以算為主、以術為法的算法體系,同古希臘以《幾何原本》為代表的邏輯演繹和公理化體系異其旨趣,在數(shù)學歷史發(fā)展的進程中爭雄媲美,交相輝映.吳文俊先生提出,數(shù)學機械化思想貫穿于中國傳統(tǒng)數(shù)學,數(shù)學機械化思想是我國古代數(shù)學的精髓.他分析了中國傳統(tǒng)數(shù)學的光輝成就在數(shù)學科學進步歷程中的地位和作用.明確指出,源于西方的公理化思想和源于中國的機械化思想,對于數(shù)學的發(fā)展都發(fā)揮了巨大作用,理應兼收并蓄.現(xiàn)代計算機科學是算法的科學,它所需的數(shù)學方法,與《九章算術》中傳統(tǒng)的方法體系若合符節(jié).吳文俊先生正是吸取了中國古代數(shù)學的思想精華,創(chuàng)立幾何定理的機器證明方法,用現(xiàn)代的算法理論,煥發(fā)了中國古代數(shù)學的算法傳統(tǒng),開創(chuàng)了數(shù)學機械化的新紀元。

通過學習本節(jié)課，一方面了解中國古代數(shù)學的重要成就，另一方面，提高同學們學習的積極性，知道學習算法對平常的學習生活有總打的作用。