第一篇：線性代數(shù) §1.2 n階行列式 習(xí)題與答案

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

§1.2 n階行列式

為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念。為此，先介紹排列的有關(guān)知識(shí)。

㈠排列與逆序：(課本P4)

１、排列的定義：由數(shù)碼1，2，…，n，組成一個(gè)有序數(shù)組i1i2?in，稱為一個(gè)n級(jí)排列。

【例1】1234是一個(gè)4級(jí)排列，3412也是一個(gè)4級(jí)排列，而52341是一個(gè)5級(jí)排列。(課本P4中例)

【例2】由數(shù)碼1，2，3 組成的所有3級(jí)排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個(gè)。

【例3】數(shù)字由小到大的n級(jí)排列1234…n 稱為自然序排列。

２、逆序的定義：在一個(gè)n級(jí)排列i1i2?in中，如果有較大的數(shù)it排在is的前面，則稱it與is構(gòu)成一個(gè)逆序。(課本P4)

【例4】在4 級(jí)排列3412中，31，32，41，42，各構(gòu)成一個(gè)逆序，在5 級(jí)排列34152中，31，32，41，42，52，共構(gòu)成5個(gè)逆序。

3、逆序數(shù)的定義：一個(gè)n級(jí)排列i1i2?in中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為N(i1i2?in)。(課本P4)【例5】排列3412的逆序數(shù)為N(3412)= 4，排列52341的逆序數(shù)為N(52341)= 7，自然序排列的逆序數(shù)為0。

4、奇、偶排列的定義：如果排列i1i2?in的逆序數(shù)N(i1i2?in)是奇數(shù)，第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

則將i1i2?in稱為奇排列；如果排列i1i2?in的逆序數(shù)N(i1i2?in)是偶數(shù)，則將i1i2?in稱為偶排列。(課本P4)

【例6】由于N(3412)= 4，知排列3412是偶排列，由于N(52341)=7，知排列52341是奇排列，由于N(123…n)= 0，知自然排列123…n是偶排列。

【例7】由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級(jí)排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個(gè)，其中，奇排列有132，213，321三個(gè)，偶排列有123，312，231三個(gè)。奇偶排列各占一半。

5、對(duì)換的定義：在一個(gè)n級(jí)排列i1?it?is?in中，如果其中某兩個(gè)數(shù)it與is對(duì)調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個(gè)新的n級(jí)排列i1?is?it?in，這樣的變換稱為一個(gè)對(duì)換，記作(it,is)。(課本P5)

【例8】在排列3412中，將4與2對(duì)換，得到新的排列3214?！纠?】偶排列3412經(jīng)過4與2的對(duì)換后，變成了奇排列3214；

反之，奇排列3214經(jīng)過2與4的對(duì)換后，變成了偶排列3412。定理1.任意一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對(duì)換后，其奇偶性改變。(課本P5)定理的證明見課本P5。

【例10】奇排列132經(jīng)對(duì)換(3，2)得到偶排列123，偶排列312經(jīng)對(duì)換(1，2)得到奇排列321。

定理1.n個(gè)數(shù)碼(n?2)共有n！個(gè)n 級(jí)排列，其中奇、偶排列各占一半。(課本P6)

定理的證明見課本P6。

【例11】由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級(jí)排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個(gè)，其中，奇排列有132，213，321三個(gè)，偶排列有 2 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

123，312，231三個(gè)。

相應(yīng)練習(xí)見課本

【第四版】習(xí)題一(A)中的8大題。

= ㈡ n階行列式的定義：(課本P6)

我們從觀察二階、三階行列式的特征入手，引出n階行列式的定義。二階行列式為a11a21a12a22?a11a22?a12a21，a11三階行列式為a21a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，a31我們可以從二階、三階行列式中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：

(1)二階行列式是2！項(xiàng)的代數(shù)和，三階行列式是3！項(xiàng)的代數(shù)和；(2)二階行列式中每一項(xiàng)是兩個(gè)元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項(xiàng)是三個(gè)元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；

(3)每一項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)是按自然序排列時(shí)，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號(hào)；為奇排列，則取負(fù)號(hào)。

作為二、三階行列式的推廣，我們給出n階行列式的定義。定義1.2 用n個(gè)元素aij（i,j?1,2,?,n）和雙豎線組成的記號(hào) 2 3 第一章

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a11a21?an1a12?a1n

a22?a2n???an2?ann稱為n階行列式。有時(shí)簡(jiǎn)記為aij。(課本P7)

n階行列式的定義包含如下的內(nèi)容：

⑴構(gòu)成：n階行列式的橫排稱為行，縱排稱為列。元素aij的第一個(gè)下標(biāo)i表示這個(gè)元素位于第i行，稱為行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)j表示這個(gè)元素位于第j列，稱為列標(biāo)。(課本P7)

258【例12】三階行列式 A?147有3行3列共32 = 9個(gè)元素。

369其中，第二行元素為 1，4，7；第二列元素為5，4，6，元素7的位置為第2行第3列。

⑵含義：n階行列式是n!個(gè)項(xiàng)的代數(shù)和，其中每一項(xiàng)是取自不同行和不同列的n個(gè)元素的乘積。(課本P8)

由于一個(gè)項(xiàng)中的n個(gè)乘積元素來自不同的行，而乘法滿足交換率，故為方便分析，可以將n個(gè)元素按行碼的自然數(shù)順序排列，再分析列碼的狀態(tài)。

當(dāng)行碼按自然序列排列后，列碼的不同排列即對(duì)應(yīng)不同的項(xiàng)，由于n個(gè)元素共有不同排列n!個(gè)，從而n階行列式中共有n!個(gè)不同的項(xiàng)。【例13】一階行列式│a│= a只有1個(gè)項(xiàng)?！纠?4】三階行列式

a11A?a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 4 第一章

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§1.2 n階行列式

?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，共有3?。?個(gè)不同的項(xiàng)，a11a22a33和a13a21a32的元素都來自不同行且不同列，都可能是A中的一個(gè)項(xiàng)，而a11a21a33中的a11與a21同來自第1列，不是其中的一個(gè)項(xiàng)，a13a21a22中的a21與a22同來自第2行，也不是其中的一個(gè)項(xiàng)，a11a22a33與a22a11a33是同一個(gè)項(xiàng)，a11a23a32與a11a22a33是不同的項(xiàng)。

⑶各項(xiàng)符號(hào)：n階行列式中各項(xiàng)符號(hào)的確定有兩種方法：

①只考察列標(biāo)的排列：若該項(xiàng)中各元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列，則列標(biāo)構(gòu)成的排列為偶排列時(shí)，該項(xiàng)取正號(hào)；為奇排列時(shí)，該項(xiàng)取負(fù)號(hào)。

亦即，將某項(xiàng)中各元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后得到a1i1a2i2?anin，含ai1j1ai2j2?ainjn的項(xiàng)應(yīng)帶符號(hào)為(?1)N(i1i2?in)。

于是n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項(xiàng)為

(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。(課本P7)

【例15】在5階行列式中，a12a23a35a41a54與a12a21a35a43a54這兩項(xiàng)各取什么符號(hào)？

【解】由于該兩項(xiàng)的行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列，故

a12a23a35a41a54應(yīng)取符號(hào)為(?1)N(23514)?(?1)4??1，為正號(hào)，a12a21a35a43a54應(yīng)取符號(hào)為(?1)N(21534)?(?1)3??1，為負(fù)號(hào)。

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②綜合考察行標(biāo)與列標(biāo)的排列：若該項(xiàng)中各元素的行標(biāo)構(gòu)成的排列的逆序數(shù)為S，列標(biāo)構(gòu)成的排列的逆序數(shù)為T，則S+T為偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)取正號(hào)；S+T為為奇數(shù)時(shí)，該項(xiàng)取負(fù)號(hào)。

亦即，含ai1j1ai2j2?ainjn的項(xiàng)應(yīng)帶符號(hào)為(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。

于是n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項(xiàng)為

(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn。(課本P10)

顯見，①為②的特例。

【例16】在5階行列式中，含a32a23a15a41a54或含a12a41a55a24a33的兩項(xiàng)各取什么符號(hào)？

【解】由于該兩項(xiàng)的行標(biāo)未按自然數(shù)順序排列，故

含a32a23a15a41a54的項(xiàng)應(yīng)取符號(hào)為

(?1)N(32145)?N(23514)?(?1)3?4??1，為負(fù)號(hào)，含a12a41a55a24a33的項(xiàng)應(yīng)取符號(hào)為

(?1)N(14523)?N(21543)?(?1)4?4??1，為正號(hào)。

⑷ n階行列式的展開式：(課本P10)

n階行列式的展開式有兩種表達(dá)方式，一種較為簡(jiǎn)單，是將各項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列形式的表達(dá)式，另一種是各項(xiàng)元素任意排列的表達(dá)式。具體分別敘述如下：

①各項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列時(shí)：

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§1.2 n階行列式

a11a21?an1其中，(?1)這里，a12?a1na22?a2n???an2?annN(i1i2?in)?1?i1,i2,?,in?n?(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。

a1i1a2i2?anin稱為n階行列式的一般項(xiàng)。

?為連加號(hào)，表示對(duì)該符號(hào)下的所有項(xiàng)求和。

于是，n階行列式展開后是n!個(gè)項(xiàng)的和，各項(xiàng)都含兩個(gè)因素：

1》n個(gè)來自不同行和不同列的元素的乘積，2》將一個(gè)項(xiàng)的n個(gè)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，該項(xiàng)的符號(hào)由列標(biāo)的排列數(shù)的奇偶性確定為(?1)②一般情況下：

N(i1i2?in)。

a11a21?an1a11?a1na22?a2n???an2?ann?j1j2?jn遍取所有n級(jí)排列?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

?i1i2?in遍取所有n級(jí)排列j1j2?jn?(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn

其中，(?1)的普通形式。N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn是n階行列式的一般項(xiàng)于是，n階行列式展開后是n!個(gè)項(xiàng)的和，各項(xiàng)都含兩個(gè)因素：

1》n個(gè)來自不同行和不同列的元素的積。

2》一個(gè)項(xiàng)的符號(hào)由行標(biāo)的排列數(shù)與列標(biāo)的排列數(shù)的和的奇偶性確定為(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。

【例17】求4階行列式中帶負(fù)號(hào)且包含因子a11和a23的所有項(xiàng)。

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§1.2 n階行列式

【解】4階行列式中，當(dāng)行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，包含因子a11和a23的項(xiàng)為(?1)a11a23a3ia4j其中，i,j可以分別是2，4之一。

由于2，4兩個(gè)數(shù)可以產(chǎn)生兩個(gè)不同的排列24和42，所以，4階行列式中包含因子a11和a23的所有項(xiàng)可以為(?1)N(1324)Na11a23a32a44或(?1)N(1342)a11a23a34a42兩項(xiàng)，但題目要求的是帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)，而因?yàn)镹(1324)?1為奇數(shù)，N(1342)?2為偶數(shù)，故4階行列式中帶負(fù)號(hào)且包含因子a11和a23的所有項(xiàng)只有一個(gè)，為(?1)N(1324)a11a23a32a44??a11a23a32a44。

【例18】判斷a14a23a31a42，a11a23a32a44，a11a24a33a44以及a31a24a43a12是a11否為四階行列式D?a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44中的一項(xiàng)？ a21a31a41【解】①a14a23a31a42的行標(biāo)為1234，這4個(gè)元素來自不同的行，列標(biāo)為4312，這4個(gè)元素來自不同的列。由于行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列，其符號(hào)應(yīng)為(?1)N(4312)?(?1)5??1，故a14a23a31a42不是4階行列式中的一項(xiàng)；

②a11a23a32a44的行標(biāo)為1234，這4個(gè)元素來自不同的行，列標(biāo)為1324，這4個(gè)元素來自不同的列。由于行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列，其符號(hào)應(yīng)為(?1)N(1324)?(?1)1??1，故a11a23a32a44不是4階行列式中的一項(xiàng)；

③a11a24a33a44的行標(biāo)為1234，這4個(gè)元素來自不同的行，列標(biāo)為1434，這4個(gè)元素中a24和a44都來自相同的第4列。故a11a24a33a44不是4 8 第一章

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§1.2 n階行列式

階行列式中的一項(xiàng)；

④a31a24a43a12的行標(biāo)為3241，這4個(gè)元素來自不同的行，列標(biāo)為1432，這4個(gè)元素來自不同的列。其符號(hào)應(yīng)為(?1)故a31a24a43a12不是4階行列式中的一項(xiàng)；

N(3241)?N(1432)?(?1)4?3??1，)【例19】若(?1N(i432k)?N(521j4)ai5a42a3ja21a4k是五階行列式aij的一項(xiàng)，則j,j,k應(yīng)為何值？此時(shí)該項(xiàng)的符號(hào)是什么？（課本P11例2）

【解】①由于行列式定義規(guī)定每一項(xiàng)的元素來自不同行不同列，故五階行列式的項(xiàng)中，行標(biāo)和列標(biāo)都只能是1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字的排列，從而，該項(xiàng)的列標(biāo)52j14中的j只能是3，該項(xiàng)的行標(biāo)i432k中的i和k只能從1和5中選擇，于是i?1,k?5或i?5,k?1，綜合起來，應(yīng)得兩組答案：i?1,j?3,k?5或i?5,j?3,k?1。

②當(dāng)i?1,j?3,k?5時(shí)，該項(xiàng)的符號(hào)是

(?1)N(14325)?N(52314)?(?1)3?6??1，即?a15a42a33a21a54是五階行列式aij的一項(xiàng)；

當(dāng)i?5,j?3,k?1時(shí)，該項(xiàng)的符號(hào)是

(?1)N(54321)?N(52314)?(?1)10?6??1，即a55a42a33a21a14是五階行列式aij的一項(xiàng)。

a【例20】計(jì)算行列式

b0h0e000f0。00gcd 9 第一章

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§1.2 n階行列式

【解】由于該4階行列式的各項(xiàng)中，只要含有一個(gè)0元素，該項(xiàng)就為0，所以，要計(jì)算該4階行列式，只須找到其由不同行不同列的4個(gè)非0元素相乘的所有項(xiàng)。

考慮到來自不同行及不同列的要求，該4階行列式不為0的項(xiàng)，使行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，只有含adfh及含bdfg的兩個(gè)，而含adfh的項(xiàng)，其符號(hào)為(?1)N(1342)?(?1)2??1，知該項(xiàng)為adfh，?(?1)3??1，知該項(xiàng)為含bdfg的項(xiàng)，其符號(hào)為(?1)N(2341)?bdfg，a從而，b0h0e000f***11?adfh?bdfg。00gcd【例21】用行列式定義計(jì)算。（課本P11）

【解】用aij表示行列式中第i行第j列元素，由于該4階行列式的各項(xiàng)中，只要含有一個(gè)0元素，該項(xiàng)就為0，所以，要計(jì)算該4階行列式，只須找到其不為0的所有項(xiàng)。而要得到非0項(xiàng)，項(xiàng)中各元素必須非0！

【解法一】第一行若取a12，這樣第二行無論取a21還是a23，第三行都必然取到0，這樣無法得到非0項(xiàng)；

第一行若取a14，這樣第二行無論取a21還是a23，第三行都必然取a32，10 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

這時(shí)，當(dāng)?shù)诙腥21時(shí)，取完第三行后得到a14a21a32，第四行可取a43，當(dāng)?shù)诙腥23時(shí)，取完第三行后得到a14a23a32，第四行必然取到0，綜上知，該行列式中僅有含a14a21a32a43的一項(xiàng)非0，該項(xiàng)符號(hào)為(?1)N(4123)?(?1)3??1，于是，由于a14?a21?a32?a43?1，得

***1【解法二】由于第三行只有一個(gè)非零元，故可以從它入手，按不同行不同列的原則去確定展開式中的項(xiàng)的構(gòu)成：

取定a32后，第一行就只能取a14了，從而第四行也就只能取a43了，于是，最后確定第二行只能取a21了。于是確定展開式中僅有一個(gè)非零項(xiàng)，它由a14，a21，a32，a43構(gòu)成，而含這四個(gè)元素的項(xiàng)的符號(hào)由逆序數(shù)N(4123)?3確定，為負(fù)號(hào)，??1。

0101即知，101001000011??1。

【例22】計(jì)算上、下三角形行列式和對(duì)角形行列式。

【補(bǔ)充定義】上三角形行列式就是主對(duì)角線下方元素全為0的行列式，下三角形行列式就是主對(duì)角線上方元素全為0的行列式，對(duì)角形行列式就是主對(duì) 11 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

角線以外元素全為0的行列式?！窘狻肯扔?jì)算上三角形行列式的值：

a1100?0a12a220?0a13?a1na23?a2na33?a3n ???0?ann要得到其非零項(xiàng)，第一列元素只能取a11，這時(shí)，第二列元素只能取a22，從而，第三列元素只能取a33，…，最后，第n列元素只能取ann，于a110是，0a12a220?0a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22a33?ann。???0?ann?0結(jié)論：上三角形行列式的值等于其主對(duì)角線上元素的相乘積。同樣道理，下三角形行列式和對(duì)角形行列式的值都等于其主對(duì)角線上元素的相乘積。

a11a21a31?an1a1100?00a22a32?an20a220?000??000?a11a22a33?ann，a33????an3?ann00??000?a11a22a33?ann。

a33?0????ann結(jié)論是：上三角形、下三角形、對(duì)角形行列式的計(jì)算結(jié)果，都是主對(duì)角 12 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

線上元素的相乘積。

相應(yīng)練習(xí)見課本

【第四版】課本習(xí)題一(A)中的⒏⒐⒑⒒12.大題。

第二篇：線性代數(shù)習(xí)題答案

習(xí)題 三（A類）

1.設(shè)α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.設(shè)3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判別下列向量組的線性相關(guān)性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關(guān)；（2）線性相關(guān)；（3）線性無關(guān)；（4）線性相關(guān).5.設(shè)α１,α２,α3線性無關(guān)，證明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也線性無關(guān).證明：設(shè)

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，即

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.由?1,?2,?3線性無關(guān)，有

?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3線性無關(guān).6.問a為何值時(shí)，向量組

?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a)

'''線性相關(guān)，并將?3用?1,?2線性表示.13?1223?7(5?a),當(dāng)a=5時(shí)，?3?a117解：A?23?1?17?2.7.作一個(gè)以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關(guān), 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個(gè)行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，?1?10）線性無關(guān)，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個(gè)行向量.所以方陣可為??1??10?10010000??0?.0??1?

8.設(shè)?1,?2,?,?s的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng)?1,?2,?,?r線性表出.證明：?1,?2,?,?r為?1,?2,?,?s的一個(gè)極大線性無關(guān)組.【證明】若

?1,?2,?,?r

(1)線性相關(guān)，且不妨設(shè)

?1,?2,?,?t(t

(2)是(1)的一個(gè)極大無關(guān)組，則顯然（2）是?1,?2,?,?s的一個(gè)極大無關(guān)組，這與?1,?2,?,?s的秩為r矛盾，故?1,?2,?,?r必線性無關(guān)且為?1,?2,?,?s的一個(gè)極大無關(guān)組.9.求向量組?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.【解】把?1,?2,?3按列排成矩陣A，并對(duì)其施行初等變換.?1?1A???1??k11k11??1??20????01???1??01??1??010????0k?10???1?k1?k??011??1??010????0k?10???01?k??011k?1001??0? 1??0?當(dāng)k=1時(shí)，?1,?2,?3的秩為2,?1,?3為其一極大無關(guān)組.當(dāng)k≠1時(shí)，?1,?2,?3線性無關(guān)，秩為3，極大無關(guān)組為其本身.10.確定向量?3?(2,a,b),使向量組?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3與向量組?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3線性表出.【解】由于

?0?A?(?1,?2,?3)?1???1?1?B?(?1,?2,?3)?1???01211111??1??0?0????1???02??1??a?0???b???01102?100???1;?0??2??,b?a?2??

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

?0?c?(?1,?2,?3,?3)?1???112110?12??1??a?0???b???0210010?? ,2?b?a?2??a要使?3可由?1,?2,?3線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時(shí)滿足題設(shè)要求，即?3=(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個(gè)極大線性無關(guān)組.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣Α，應(yīng)用初等行變換將Α化為最簡(jiǎn)形矩陣B，則 11??1 0 ??1 4 1???1 4 1??1 4 1?9?????5?????0 1 ?2 ?1 ?30 ?9 ?55????????A??9???0 1 ??B

?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5?9?0 0 0???????0 0 0?????0 0 0??3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??????0 0 0?5可知：R（?。?R（B）=2，B的第1，2列線性無關(guān)，由于Α的列向量組與B的對(duì)應(yīng)的列向量有相同的線性組合關(guān)系，故與B對(duì)應(yīng)的Α的第1，2列線性無關(guān)，即α1,α2是該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.（2）同理，? 6 1 1 7??0-11 55 7??1 2-9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10-11 55 7??????? 1 2-9 0???1 2-9 0???0-8 40 1?????????1 3-6 ?10 5-15-10 5-15-1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2-9 0?7?0 1-5-?11?45?0 0 0-11??240 0 10 ?11??0 0 0 0????1 2-9 0??1 0 0 0???????0 1-5 00 1 0 0????????0 0 10 0???0 0 1 0??B?????0 0 0 10 0 0 1??????0 0 0 0??0 0 0 0?????????

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4個(gè)列向量線性無關(guān),即α1,α2,α3,α4是該向量組的極大無關(guān)組.(3)同理，?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0-4-4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取線性無關(guān)組α1,α3,α5為該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.12.求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成Α,應(yīng)用初等行變換化為最簡(jiǎn)形式.3??1 0 1?1-1 5-1????1-1 5-1??1-1 5-1?2????7??????1 1-2 30 2-7 47??????0 1-2 2???0 1-2??B, A?????3-1 8 1??0 2-7 4?2?0 0 0 0???????0 0 0 0?????0 0 0 0??1 3-9 7??0 4-14 8 ??0 0 0 0?????可知,α1,α2為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.?x1?x2?5?37?x1?x2??2設(shè)α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2??

22?3x1?x2?8?x?3x??9?12?x1?x2??1??x1?x2?3設(shè)α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2

?3x1?x2?1?x?3x?7?12所以a3?32a1?72a2,a4?a1?2a2.?1 1 1 4-3??1 1 1 4-3??1 0 2 1-2???????1-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1????????B(2)同理, A???2 1 3 5-5??0-1 1-3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0??????可知, α

1、α2可作為Α的一個(gè)極大線性無關(guān)組，令α3=x1α1+x2α?x1?x2?1可得：?即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, x?x?3?12?x1?x2?4可得：?即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, ?x1?x2??2?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αx?x??1?122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.設(shè)向量組?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能經(jīng)?1,?2,?,?s線性表出.證明?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s等價(jià).【解】設(shè)向量組

?1,?2,?,?m

(1)與向量組

?1,?2,?,?s

(2)的極大線性無關(guān)組分別為

?1,?2,?,?r

(3)和

?1,?2,?,?r

(4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即

r?i??aj?1ij?j(i?1,2,?,r).因（4）線性無關(guān)，故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價(jià)，再由它們分別同（1），（2）等價(jià)，所以（1）和（2）等價(jià).14.設(shè)向量組α1,α2,…,αs的秩為r1,向量組β1,β2,…,βt的秩為r2,向量組α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩為r3,試證:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.證明：設(shè)αs1,…，?Sr1為α1,α2,…，αs的一個(gè)極大線性無關(guān)組, βt1,βt2,…,?t為β1，r2β2,…,βt的一個(gè)極大線性無關(guān)組.μ1，…，?r為α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3個(gè)極大線性無關(guān)組，則α

s1，…，?S和βt1，…，β

r1tr2

可分別由μ1，…，?r線性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2線性表示及線性無關(guān)性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量組α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡(jiǎn)形式： ?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,從而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩陣的行向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.?25?75(1)??75??***42043??1??1320?；

(2)??2134???48??11201213025?141???1?.3???1???1????2【解】(1)矩陣的行向量組??的一個(gè)極大無關(guān)組為?1,?2,?3;

??3?????4???1????2(2)矩陣的行向量組??的一個(gè)極大無關(guān)組為?1,?2,?4.??3?????4?17.集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否構(gòu)成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設(shè)??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)則

????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).因?yàn)?/p>

(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空間.18.試證：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把?1,?2,?3排成矩陣A=(?1,?2,?3),則

1A?1010101??2?0, 1所以?1,?2,?3線性無關(guān)，故?1,?2,?3是R3的一個(gè)基，因而?1,?2,?3生成的向量空間恰為R3.19.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因?yàn)榫仃?/p>

A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01112343411214??1??50????06???4??01?1023?2041?1114??1???30????02???4??01?1003?2001?1104???3 ?,2??0?∴?1,?2,?4是一組基，其維數(shù)是3維的.20.設(shè)?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),證明: L(?1,?2)?L(?1,?2).【解】因?yàn)榫仃?/p>

A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010112?1330??1??10????0?1????1??01?1002?3000??1 ?,0??0?由此知向量組?1,?2與向量組?1,?2的秩都是2，并且向量組?1,?2可由向量組?1,?2線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價(jià)，從而?1,?2也可由?1,?2線性表出.所以

L(?1,?2)?L(?1,?2).21.在R3中求一個(gè)向量?，使它在下面兩個(gè)基

(1)?1?(1,0,1),(2)?1?(0,?1,1),?2?(?1,0,0)?2?(1,?1,0)?3?(0,1,1)?3?(1,0,1)

下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)?在兩組基下的坐標(biāo)均為(x1,x2,x3)，即

?x1??x1???????(?1,?2,?3)x2?(?1,?2,?3)x2,???????x3???x3???1?0???1?1000??x1??0????1x2??1????1????1?x3???1?101??x1????0x2???1????x3??

即

?1?1???0?210?1??x1????x?0, 1??2?0????x3??求該齊次線性方程組得通解

x1?k,x2?2k,x3??3k

(k為任意實(shí)數(shù))故

??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).22.驗(yàn)證?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)為R3的一個(gè)基，并把?1?(5,0,7), ?2?(?9,?8,?13)用這個(gè)基線性表示.【解】設(shè)

A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2)，又設(shè)

?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3, 即

?x11?(?1,?2)?(?1,?2,?3)x21???x31x12??x22, ?x32??記作

B=AX.則

?1?(A?B)??1???0?1?0???***?2507?9??r2?r1???8????13???1?0???0233?1?0???0342010557001?9?r2?r3????17?r?2?r3??13??23?13???3??2???9??作初等行變換??13???????4??

因有A?E,故?1,?2,?3為R3的一個(gè)基，且

?2?(?1,?2)?(?1,?2,?3)3????13???3, ??2??即

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.（B類）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.設(shè)向量組α1,α2,α3線性相關(guān),向量組α2,α3,α4線性無關(guān),問:(1)α1能否由α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.(2)α4能否由α1,α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.解：(1)由向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，知向量組α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4線性無關(guān)，所以α2, α3線性無關(guān)，故α2, α3是α1, α2, α3的極大線性無關(guān)組，所以α1能由α2, α3線性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3線性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的極大線性無關(guān)組,所以α4可由α2，α3線性表示.與α2，α3，α4線性無關(guān)矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1線性相關(guān),但其中任意

n個(gè)向量都線性無關(guān),證明:必存在n+1個(gè)全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.證明:因?yàn)棣?，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1線性相關(guān)，所以存在不全為零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，則k2α2+…+kn+1αn個(gè)向量都性線無關(guān)，則k2=…=kn+1=0,矛盾.從k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1個(gè)全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.設(shè)A是n×m矩陣,B是m×n矩陣,其中n＜m,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關(guān).證明：由第2章知識(shí)知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小結(jié)所給矩陣秩的性質(zhì)，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關(guān).

第三篇：線性代數(shù)習(xí)題答案

綜合練習(xí)一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er?2,s?5,t?8或r?5,s?8,t?2或r?8,s?2,t?5.01Fi?2,j?1.01G?12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序數(shù)為k2;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),排列為偶排列,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),排列為奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)?(aa1222a13a1411?a22?a33?a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x?18.01Nf?(x)g?(x)s?(x).01O?1.f??(x)g??(x)s??(x)02AB、D.02B?3.02C6.02Dx?0,?1,?2.02E(?1)n?1(n?1)xn.02F(12?13?????1)n!.02G(?1)n(n?1)2nn?1(n?1)n.2.02H(?1)n?1(na?x)xn?1.02I(?1)n[(??1)n??n].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa?0,b?0.4403G?1,?3.03Ha?bii03If(x)?2x2?3x?1.i?1i?1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1?a?a2)(1?a)3.04Bn?1.04Cx1x2...xn?1(1?a1x1?a2x2?...?anxn).04Dx1x2...xn[1?a(1x?1?...?1.1x2xn)]04E(x?1)n..49.04F1?(?1)a1?(?1)2a2an1?...?(?1)anan?1...a2a1?n04G?(n?1)?當(dāng)a??,??n?1??n?1?????當(dāng)a??.05A0.05B?1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H?9,18.06An!(n?1)!(n?2)!...2!1!.06B?(cos?).4ij1i?cos?j07A(1?x)2(10?x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E?2.08Fa?0且b??b/4.08Gf(x)?2x2?3x?1.08H甲、乙、丙三種化肥各需3千克,5千克,15千克.綜合練習(xí)二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a?2n).01N(A?B)(A?B).01S(2)A2?49(A2?E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(?1)n?1n?1k2(n?1)!.(2)(?1)n?1n!(k?1,2,?,n).01V兩年后在崗職工668人,培訓(xùn)人員334人.01W即晴天概率為146256,陰天的概率為6248256,下雨天的概率為256.?xn?x4??260?01X??1??y???023/2??1/200????xn?.???y?n?1??n??y?????zn?1?????01/40?????zn???4??236??z???22?4???01?2102A498?22?42??.02B2n?1??02??42???01?21??.02C???2?22???02?42???22?2??.??1nn(n?1)???2.4n?14n00?02D?2???01n??.02E?n?1n?1?42.400??????001???002nn.2n?1??.?0002n??.50.?100?02FA?????200??6?1?.由于A5?A.?1???1000?03A(1)(?1)n?11(2)???1200??n!A.?0?230?.?00?34??(3)?A?6E.(4)12(E?B).(5)B??(E?2A)?1.?10103BB????5?10??E.03D?1??211??.03C(2)A2?A??5(A?2E).03EA?1?1(A?3E).(A?4E)?1110?6(A?E).03FB?1??114(5A2?3A?E).03G(EA?BA)?1?B(E?AB)?1B?1.03HB?1?110(A2?3A?4E).03I(E?AB)?1?E?A(E?BA)?1B.??1000?1/21/200??03NA?1???????0??03O1?122??????21?2??.??1/2?1/61/39?1/8?5/24?1/121/4????2?21????00?201?00?34??03P??0??0012?3?????3?1000?????52000??03Q?(A1?A2A?41A3)?1?A?11A2(A4?A3A?11A2)?1????A?1?1?1(A?4A3(A1?A2A4A3)4?A3A?11A2)?1?.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)?1/3;(6)576;(7)3.04B10804F??5?2?1??220??????101??.04G??A??0A(b??TA?1?)???,05AD.05C2.05D當(dāng)a?1且b?2,r(A)?4;當(dāng)a?1且b?2時(shí),r(A)?2;.51.當(dāng)a?1,b?2或a?1,b?2時(shí),r(A)?3.05E當(dāng)c??1,并且a??1或b?0時(shí),r(A)?1;當(dāng)c??1,a??1且b?0時(shí),r(A)?3;當(dāng)c??1,但a??1或b?0時(shí),r(A)?3;當(dāng)c??1,a??1且b?0時(shí),r(A)?2.05F當(dāng)a?b?0時(shí),r(A)?0;當(dāng)a?b?0時(shí),r(A)?1;當(dāng)a?b,且a?(n?1)b?0時(shí),r(A)?n?1;當(dāng)a?b,且a?(n?1)b?0時(shí),r(A)?n.05G11?n.05Hr[(A*)*]???n,如果r(A)?n,?0,如果r(A)?n.??1111???1010?05K??11?1?1???05L??010?4??1?11?1??.??1?1?11???0010???.?0002????2?400???1100?05M???2?200???05N???1220??0022??.???00?12???0?233??.?00?34??05OA.?02?111?06A?1??321???.06B???202??.?030???5?2?2??31?1?06C??4?3?2?06D????22?.3???19/21?3/2?.?21?112???300?1?06E??????020??.06F???21????001????.?1?21??01?21???0?30?06G???00?3??????300?.?.52.綜合訓(xùn)練三01AC.01BB.01CB.01Dt?1.01Ea?2b.01F(1)當(dāng)t?5時(shí),?1,?2,?3線性相關(guān);(2)當(dāng)t?5時(shí),?1,?2,?3線性無關(guān);(3)?3???1?2?2.01G(1)當(dāng)a?1時(shí),?1,?2,?3線性相關(guān);(2)當(dāng)b?2且a?1時(shí),?可由?i唯一的表出:????1?2?2;當(dāng)b?2且a?1時(shí),?可由?i線性表出:??(?2t?1)?1?(t?2)?2?t?3,其中t是任意常數(shù).02AB.02BC.02C B.02D D.02E t?5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)當(dāng)a??2時(shí),?不能用?1,?2,?3線性表出;(2)當(dāng)a??2且a?1時(shí),?有唯一的表達(dá)式:???a?11(a?1a?2??a?2?)212?a?2?3;當(dāng)a?1時(shí),??(1?k?l)?1?k?2?l?3,?k,l.02J(1)若??0且???3,?可由?1,?2,?3唯一線性表示;(2)若??0,?可由?1,?2,?3線性表示,但不唯一;(3)若???3,?不能由?1,?2,?3線性表示.02K(1)當(dāng)b?2時(shí),?不能由?1,?2,?3線性表出;(2)當(dāng)b?2,a?1時(shí),?可唯一表示為????1?2?2;當(dāng)b?2,a?1時(shí),?可表示為???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3()k為任意常數(shù).02L(1)當(dāng)a??1,b?0時(shí),?不能表示成?1,?2,?3,?4的線性組合;(2)當(dāng)a??1時(shí),?有唯一表示式:???2ba?1?a?b?1b1?a?1?2?a?1?3?0.?402M(1)當(dāng)a??4時(shí),?可由?1,?2,?3唯一線性表出..53.(2)當(dāng)a??4時(shí),?不能由?1,?2,?3線性表示.(3)當(dāng)a??4且3b?c?1時(shí),?可由?1,?2,?3線性表出,但不唯一:??t?1?(2t?b?1)?2?(2b?1)?3(t為任意常數(shù)).02N不等價(jià).03AD.03B1.03C?n.03D(1)R(?1,?2,?3,?4)?2;向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為?2,?4;?1?2(?2??4),?3??2?3?4;(2)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為?1,?3,?5;?2??1?3?5,?4??1??3??5;(3)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為?1,?2,?3;?4??1??2??3,?5??1??2?0.?3.03ER(?1,?2,?3,?4,?5)?3.03Fa?15,b?5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct?1.??x1y11?04D4.04E矩陣?xy??221??????的秩小于3.??xny?n1???1????14????2???22?04F(1)C??????3?,(C?R);(2)k1????7???0??k?0?12?,(k1,k2?R);??2???0?15???????2????3/2????3/4?(3)C??????1??3/2??C2??1???7/4??0?,(C1,C2?R).??0?????1??04G(1)無解;(2)(1/2,2,?1/2,0)T?k(1/2,0,?1/2,1)T,其中k為任意常數(shù);(3)(514,?3314,0,7)T?k(?1,?1,2,0)T.(k為任意常數(shù));.54.(4)C131(?7,177,1,0,0)T?C(10191112?7,7,0,1,0)T?C3(7,?7,0,0,1)T?(2,?3,0,0,0)T,(C1,C2,C3?R).04H(1)?1,?2,?3是所給方程組的基礎(chǔ)解系.(2)?1,?2,?3不是所給方程組的基礎(chǔ)解系.?1?04I當(dāng)??1時(shí),有解,解為????1????k??1??2??,其中k為任意常數(shù).?0????1??04J(1)當(dāng)??1且???45時(shí),方程組有唯一解;?1?當(dāng)??1時(shí),其通解為????1????k?0??1??,其中k?0???為任意實(shí)數(shù);?1??當(dāng)???45時(shí),原方程組無解;(2)當(dāng)???2且??1時(shí),方程組唯一解;當(dāng)???2時(shí),方程組無解;當(dāng)??1時(shí),方程組有無窮多組解.全部解為???2??????1???k??1???1?0??k???0?12?????0???0?1?,其中k1,k2是任意常數(shù).?04K(1)當(dāng)a?0時(shí),方程組無解;??x1?2/a,當(dāng)a?0,b?3時(shí),方程組有唯一解:???x2?1,??x3?0;???x1?2/a,當(dāng)a?0,b?3時(shí),方程組有無窮多解:???x2?1?3t,(t?R).?2??x3?t.(2)當(dāng)a?0或a?0時(shí)b?4,方程組無解;方程組不可能有唯一解;當(dāng)a?0且b?4時(shí),方程組有無窮多解.通解是.55.(6,?4,0,0,0)T?k1(?2,1,1,0,0)T?k2(?2,1,0,1,0)T?k3(?6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意實(shí)數(shù).(3)當(dāng)a??1,b?36時(shí),方程組無解;當(dāng)a??1,a?6時(shí),方程組有唯一解,x(b?36)a?1,x??12?(a?4)(b?36)1?6?2a?1,xb?3623?0,x4?a?1;當(dāng)a??1,b?36時(shí),方程組有無窮多解,通解為(6,?12,0,0)T?k(?2,5,0,1)T.k為任意常數(shù);當(dāng)a?6時(shí),方程組有無窮多解,通解是(1(114?2b),?1(12?2b),0,1(b?T77736))?k(?2,1,1,0)T.04L(1)當(dāng)a?b,b?c,c?a時(shí),方程組僅有零解x1?x2?x3?0.(2)當(dāng)a?b?c時(shí),方程組有無窮多組解,全部解為k1(1,?1,0)T(k1為任意常數(shù)).當(dāng)a?c?b時(shí),方程組有無窮多組解,全部解為k2(1,0,?1)T(k2為任意常數(shù)).當(dāng)b?c?a時(shí),方程組有無窮多組解,全部解為k3(0,1,?1)T(k3為任意常數(shù)).當(dāng)a?b?c時(shí),方程組有無窮多組解,全部解為k4(?1,1,0)T?k5(?1,0,1)T(k4,k5為任意常數(shù)).??2????104M(1)方程組有無窮多組解,通解為??4???????1??k?(k為任意常數(shù)?5?0????2?).?1??(2)當(dāng)m?2,n?4,t?6時(shí),方程組(I),(II)同解.04Na?2,t?4.04O非零公共解為t(?1,1,1,1)T.(t為任意常數(shù))04P原來至少要有3121個(gè)桃子,最后還剩下1020個(gè)桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G??1.05H1..56.05I(1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T,其中k是任意實(shí)數(shù).05J(?3,2,0)T?k(?1,1,1)T.(k為任意常數(shù))05K通解為(?9,1,2,11)T?k1(?10,6,?11,11)T?k2(8,4,?11,?11)T05L3m?2n.05M?2.??1/2??0?05N通解為?1/2???1????k???,其中k為任意常數(shù).?0??1????1??1???05O(1)?1可由?2,?3,?4線性表出.(2)?4不能用?1,?2,?3線性表出.?x1??k2t,06A(2)通解是??x2?k2,其中t是任意實(shí)數(shù).??x3?t,06B通解是(a8,4,?2,1)T1?2a2?4a3,a2?2a3,a3,0)T?k(?,其中k是任意實(shí)數(shù).06E方程組的唯一解為(ATA)?1ATb.06L(II)的通解為c1(a11,a12,...,a1,2n)T?c2(a21,a22,...,a2,2n)T?...?cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn為任意常數(shù).綜合練習(xí)四??1/2???1/6????1/(23)?01A?45.01B?1???1/2???2????1/6????;?3??1/(23)??.?0?;?0???2/6??0???1/(23)??3/2??02A(1)?1?0,?2?2,?3?3,???1/2??k???1?0對(duì)應(yīng)特征向量為1??1/2??,?1??.57.??1???1?2?2對(duì)應(yīng)特征向量為k2???,?0???1???3對(duì)應(yīng)特征向量為k??33?1?.??1??(2)?1?8,?2??3??1,?2??1?8對(duì)應(yīng)特向量為k1???1??,其中k1為任意非零常數(shù).?2???1???2??3??1對(duì)應(yīng)特征向量為k2???0?1???k3???2??,其中k2,k3是不全為??1????0??零的實(shí)數(shù).?(3)??1????0??1??2??3?2全部特征向量為k1?2???k2?0?,(k1,k2不全為零).?0????1??02BA的特征值是1,2,2a?1,?a?2??2??1?對(duì)應(yīng)的特征向量依次是k??????1?3??,k2?2?,k3?1?.(k1,k2,k3全不為0).?0????1????a?1??02CA的特征值??2(二重)及??0,??2對(duì)應(yīng)特征向量為k1(0,1,0)T?k2(1,0,1)T.??0對(duì)應(yīng)特征向量為k3(1,0,?1)T.02D(1)當(dāng)b?0時(shí),A的特征值為?1??2????n?a,則任一非零向量均為其特征向量.(2)當(dāng)b?0時(shí),A的特征值為?1??2????n?1?a?b,?n?a?(n?1)b當(dāng)?1????n?1?a?b對(duì)應(yīng)特征向量為??1?1????1??1k1??0??0??0??????k2??1???kn?1??0??????0?,?0???????1??.58.??1???a?(n?1)b對(duì)應(yīng)特征向量為k?1??nn??,(kn?0).?????1??02Ea?2,b??3,c?2,?0?1.??2n?2?1??1?02F1??12n?2??1??2n2?3n?1??????.???1?1?2n?2???02GA與B特征值相同但不相似.?02Ha?7,b??2,P???1?5??11??22?02I?1???10?2??.?0?.1????013??02Ja??1,b?8,c??10.02K(1)|?E?A|??4?a34??a23??a2??a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k?(2)?2i(i?1,2,?,n);i(i?1,2,?,n);(3)?ki?i(i?1,2,?,n);(4)?i(i?1,2,?,n);(5)1?(i?1,2,?,n);(6)|A|1,2,?,n);i?(i?i(7)f(?i),(i?1,2,?,n).03E?|A|???2??1.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全為零.??0對(duì)應(yīng)特征向量為k1?1?k1?1?...?kn?1?n?1(k1,k2,...,k3不全為零的任意常數(shù)).03L3,2,?2.03M(1)P?1AP全部特征值是?1,??12,?,?n.P?i是P?1AP的屬于?i的特征向量..59.(2)(P?1AP)T全部特征值是??11,?2,?,?n.PT?i是(PAP)T的屬于?i的特征向量.03P??1(n?1重),??3,??1對(duì)應(yīng)特征向量為k1(?y2,y1,0,?,0)T?k2(?y3,0,y1,?,0)T???kn?1(?yn,0,0,?,y1)T,k1,k2,?,kn?1不全為0,??3對(duì)應(yīng)特征向量為kn(x1,x2,?,xn)T,kn?0.??04AD.04B?54?6??3?33??.??7?68??04C(1)a??3,b?0,???1.(2)A不能相似于對(duì)角陣.?4?04D當(dāng)a?1時(shí),A?1?116?114???.?44?2??當(dāng)a?11???14?1022?2時(shí),A?30??10?55???.?22519???13?25?04E(1)?3?k(1,0,1)T(2)A?1??6??2102?.(k);?為任意非零常數(shù)?5213????011?04F??1/20?1/2??000?04G???.?10?1???1/20?1/2????.?1?10???111?04H??111??.04IA?P?P?1?P(2E)P?1?2E.??111????54?04J?6??3?33???.?7?68??04OA的特征值是2與1(n?1重)..60.X1?(1,1,?,1)T是A屬于??2的特征向量,X2?(?1,1,0,?,0)T,X3?(?1,0,1,?,0)T,?,Xn?(?1,0,0,?,1)TA屬于??1的特征向量.??1?1?1??1??2n2n2n??A?1????11?1??1??2n2n2n??????.??????12n?112n?1?2n??05A0.05BA能對(duì)角化.05CA能對(duì)角化.???1??1?05D(1)??1???2?(2)???;?1??;(3)???3????1??1????;??2???1????(4)???1?(5)A?2?.??;不能對(duì)角化;(6)?2??0?????4???05E令P???212??100???,則????1??1????.?011????0??21?005F(1)T?1???2?40?3??212??,T?1AT???010???1?22?????00?2?.????1?11??263??(2)T???1?11???1??3??3???263?,TAT??.????011??6???63????111???236?05GP???12???0??0??36?,P?1AP??1??.??111????4???236??.61.??221???5353??05HQ???142???5353?,QTAQ??2???2???.??7??05?2????353??05Ia??1,b??3.A能對(duì)角化.05J?0??1,a??3,b?0.A不能相似于對(duì)角陣.??1????1????05Kx?y?0.05L?111??111??.05MA~???????111???1?.??0????????????9?05N????1?05PA~B.?0?.??001?05Q(1)x?0,y??2;(2)P???210??.???11?1??06An!.06B?6.06C?(2n?3)！.06Dk(k?2)2.06FO.06EE.?3n?13n?106G(1)??(2)6n?1???3?1??2?3n?12?3n?1???;??93??;???(3)?100??1?3n?1?2?3n1?3n??.??1?3n?2?2?3n2?3n??06Hx100?5100?1.06Ix5100?3?2100?13.n06Ja?1?n??5?6??3??,nlim??an??5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是綜合練習(xí)五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.??00101F??010??.01Gy2?1?y22?y23.100???01H(1)f?z21?z22,相應(yīng)的線性變換為z?Py?(P?1112P1)x.P1????010???,P?1002??013??,?001?????001????x1??(2)z2?z22???11?1/2??z1?12?z3.相應(yīng)的線性變換??x2????x3???1?1?2????z2??.?001/2????z3???100(3)f??12y222?2y3相應(yīng)的線性變換x????????110???1/21/21??y,??x1?01I??x?1??21?2????y1???2?01Jc?3,4y21?9y22.???3??122??y2?x3??2?21????y?3??111???263?01Ka??2,b??3.x?Cy,C????111???263?,???21??0??63?01Lf(x)?x2221,x2,x31?2x2?x3?2x1x2?2x2x3?4x1x3.切平面方程為2x1?x2?x3?1.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(?2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)??2;(2)???1.??101??22??411?02I????0,P???010??02NB?1??3???141?????11?.?114?.??0?22??.63.綜合練習(xí)六01A(1)V1是向量空間.(2)V2是向量空間.01B(1)W1不是子空間.(2)W2是子空間.dimW2?2.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一組基.(3)W3是子空間,dimW3?2.(?1,1,0),(2,0,1)是W3的一組基.(4)W4不是子空間.(5)W5不是子空間.01CW1?W2是V的子空間,W1?W2不一定是V的子空間.T02B??511??4,14,?4,?4??.?02C坐標(biāo)變換公式為?x1??1?1?1??x1???x1???21?2??x1???x2??????102????x?2??或??x???????3??2???00?1??x2?x??0?10????x?3????x?3????11?1????x3???在所給定的兩組基下具有相同坐標(biāo)的全部向量為k??3????2??,k??3?為任意實(shí)數(shù).?T02D(1)(3,4,4)T;(2)??11?2,?5,13?2??.?02E(???5/21/2??1,?2)?(?1,?2,?3)????3/23/2??.?5/25/2??02F??(1,?2,?2)T時(shí),?坐標(biāo)乘積的極大值是18.?002G(1)A?1??100???1100????0?110??.?10?11??(2)所求非零向量??0??1?0??2?0??3?k?4?k?4(k為非零任意常數(shù)).02H(1)??111???011??;(2)??001??1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,?3?(0,0,1)T;(3)A???1?1????.02I(1,1,?,1).??3??.64.a11?a12??03A?a21?a22?a11?a12?a31?a32??a2203C(1)??a12?a?32a21a11a31a23?a13??;a33??a12a22?a12a32a13?a23?a13??.a33???0?11??03B??020?.?2?10????a11?a21(2)??k?a?31ka12a22ka32a13?a23??;k?a33???a11?a21a11?a12?a21?a22(3)??a21?a31a21?a22?a31?a32?aa31?a32?31a11?a12?a13?a21?a22?a23?a21?a22?a23?a31?a32?a33???a31?a32?a33?.65.

第四篇：線性代數(shù)教案-第三章 行列式及其應(yīng)用

第三章行列式及其應(yīng)用

本在線性代數(shù)應(yīng)用于幾何、分析等領(lǐng)域時(shí),行列式理論起著重要的作用,線性代數(shù)范疇的矩陣?yán)碚摰倪M(jìn)一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理論以及它的一些作用.一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求

（一）知識(shí)

1n階行列式的定義及性質(zhì)

現(xiàn)將這些性質(zhì)作為公理體系來定義n階行列式.設(shè)A?[aij]是任意一個(gè)n階方陣,用Ai記其第i行元素為分量的n元向量,即

2,?,n, Ai?(ai1,ai2,?,ain),i?1,并稱其為行向量.有序向量組{A1,?,An}所定義的實(shí)值函數(shù)d(A1,?,An)被稱為n階行列式函數(shù),如果它滿足下列公理: 公理1 對(duì)每行具有齊性,即對(duì)任意實(shí)數(shù)t,有

?,n.d(?,tAk,?)?td(?,Ak,?),k?1,公理2 對(duì)每行都具加性.即對(duì)任意n元向量B,有

d(?,Ak?B,?)?d(?,Ak,?)?d(?,Ak?1,B,Ak?1,?), k?1,?,n.公理3若任意相鄰兩行相等,則行列式為零.即若Ak?Ak?1(k?1,?,n?1),則d(A1,?,An)?0.公理4 對(duì)于R中常用基{e1,?,en},有 nd(e1,?,en)?1.當(dāng){A1,?,An}取定,則稱d(A1,?,An)為一個(gè)n階行列式.有時(shí)也簡(jiǎn)稱為n階行列式函數(shù)為n階行列式.n行列式常被記為detA,|A|,或

a11a21?an1a12a22??a1n?a2n?.an2?ann公理4意味著,對(duì)于n階單位方陣E,有 detE?|E|?1.前兩個(gè)公理意味著,行列式函數(shù)是它每一行的線性函數(shù),即對(duì)任意一行(如第1行)而言,若t1,?,tp是任意p個(gè)實(shí)數(shù),B1,?,Bp是任意p個(gè)n元向量(p是任意正整數(shù)),有

d(?tkBk, A2,?,An)??tkd(Bk,A2,?,An)

k?1k?1pp定理3.1.1滿足公理1,2,3的行列式函數(shù)d(A1,?,An)具有以下性質(zhì):(1)若行列式某一行為零,則此行列式為零.(2)對(duì)調(diào)行列式任意兩行,則行列式變號(hào).(3)若行列式任意兩行相等,則此行列式為零.(4)若向量組{A1,?,An}是相關(guān)的,則行列式d(A1,?,An)?0.(5)把行列式某行乘以數(shù)加到另一行去,行列式值不改變.行列式的計(jì)算

例3.2.2設(shè)A是形如下式的n階對(duì)角方陣

?a11?0?????00a22?00??0??(a?0,i?j)

??ij??ann??則detA?a11a22?ann.由該例可得到: 例3.2.3設(shè)A是形如下式的n階上三角方陣

?a11??0??????0a12a22?0?a1n???a2n??(主對(duì)角線下方各元素為零)????ann??則detA?a11a22?ann.定理3.2.1 設(shè)d是滿足行列式公理1～4的n階行列式函數(shù),f是滿足行列式公理1～3的n階行列式函數(shù),則對(duì)任意選定的n元向量A1,?,An及R中常用基{e1,?,en},有

nf(A1,?,An)?d(A1,?,An)f(e1,?,en).(3.2.2)若f還滿足行列式公理4,則有

f(A1,?,An)?d(A1,?,An).?1定理3.2.2 若A是一個(gè)非奇異方陣(即A存在),則detA?0,且

detA?1?1 detA定理3.2.3 設(shè)A1,?,An是n個(gè)n元向量.該向量獨(dú)立的充要條件是d(A1,?,An)?0.本節(jié)最后,討論分塊對(duì)角方陣的行列式的簡(jiǎn)便算法.定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分塊對(duì)角方陣成立著

?AO?det???detAdetB ??OB??本定理可以推廣到一般情形:若C是一個(gè)具有對(duì)角子塊A1,?,An的分塊對(duì)角方陣,即

?A1????C????????OA2?O??????, ????An??則detC?(detA1)(detA2)?(detAn).行列式的展開公式

定義3.3.1給定n階方陣A?[akj](n≥2).去掉其元素akj所在的第k行和第j列后,余下元素按原來位置構(gòu)成的n?1階方陣,被稱為元素akj的余子陣,記為Akj.而稱detAkj為akj的余子式.定理3.3.1對(duì)任意n階方陣A?[akj](n≥2),有

??(?1)k?jdetAkj,k?1,?,n.(3.3.2)detAkj從而有

n?,n.(3.3.3)detA??akj(?1)k?jdetAkj,k?1,j?1此式被稱為行列式按第k行的展開式.定義3.3.2對(duì)行列式detA而言,稱(?1)k?jdetAkj為元素akj的代數(shù)余子式,記為cofakj.下面將利用數(shù)學(xué)歸納法來證明n階行列式函數(shù)的存在性,從而在理論上確立了n階行列式函數(shù)的存在唯一性.與此同時(shí),可得到行列式按列展開的公式.定理3.3.2設(shè)n?1階行列式函數(shù)存在.對(duì)任意n階方陣A?[akj],定義函數(shù)

f(A1,?,An)??(?1)k?1ak1detAk1,(3.3.4)k?1n則它是n階行列式函數(shù)

定理3.3.3對(duì)任意n階方陣A?[akj],有

?(?1)j?1nni?j i?k?detA,(3.3.6)akjdetAij?? 0, i?k? i?k?detA,i?j(3.3.7)(?1)adetA???jkji i?kj?1? 0,定理3.3.4對(duì)任意n階方陣A?[akj],有

detA?detAT.4 伴隨陣及方陣的逆

定義3.4.1給定n階方陣A?[aij],稱n階方陣[cofaij]為A的伴隨陣,記為

TA*.據(jù)此定義知: A的伴隨陣A*位于第j行第i列的元素,就是A的元素aij的代數(shù)余子式

cofaij?(?1)i?jdetAij.定理3.4.1對(duì)任意n階方陣A?[aij](n≥2),有

AA*?(detA)E.?1又:若detA?0,則A存在,且有

A?1?1A*.detA?1定理3.4.2對(duì)任意n階方陣A而言,A存在得充分必要條件是detA?0.當(dāng)detA?0,就有

A?1?11A*,detA?1? detAdetA5

矩 陣 的 秩

定義3.5.1在一個(gè)m?n矩陣A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于這些行列交叉處的元素按原來位置構(gòu)成的k階行列式,被稱為矩陣A的k階子式.A中不為零的子式.A中不為零的子式的最高階數(shù),被稱為矩陣A的秩,記為R(A).若A沒有不為零的子式(等價(jià)的說法是: A是零矩陣),則認(rèn)為其秩為零.推論 若A有一個(gè)r階子式不為零,而所有r?1階子式全為零,則R(A)?r.定理3.5.1初等變換不改變矩陣的秩.等價(jià)的說法是:若A～B(即A與B等價(jià)),則R(A)?R(B).若A是n階方陣且R(A)?n,則稱A為滿秩方陣.顯然,下列命題等價(jià):(1)A是滿秩方陣.(2)detA?0.(3)A是可逆的(非奇異的).克萊姆法則

定理3.6.1對(duì)于含有n個(gè)未知量x1,?,xn的n個(gè)線性代數(shù)方程構(gòu)成的方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2(3.6.1)?? ? ? ? ???an1x1?an2x2???annxn?bn,(或?qū)憺?aj?1nij?,n.)xj?bi,i?1,如果其系數(shù)方陣A?[aij]是非奇異的(即detA?0),則它是唯一解.這里cofakj是方陣A的元素akj的代數(shù)余子式.式(3.6.2)表示的線性代數(shù)方程組(3.6.1)的解亦可表示為

xj?detCjdetA,j?1,?,n.(3.6.3)這里方陣Cj是A中第j列換為列陣b所成的n階方陣.讀者容易驗(yàn)證(3.6.3)式右端與(3.6.2)式右端相等.二本章重點(diǎn)及難點(diǎn)

1、理解用公理定義行列式概念中的數(shù)學(xué)原理

2、利用公理4進(jìn)行行列式計(jì)算

3、方陣的行列式及方陣可逆之間的關(guān)系

4、矩陣的秩

5、利用伴隨陣求解方陣的逆

6、克萊母法則

三：本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬

１． ２． 若第四個(gè)公理改變,行列式的值如何改變 當(dāng)克萊母法則法則的相關(guān)條件改變又如何? 四：思考題和習(xí)題

1(3)(4)

3(1)5(2)

7(3)

10(2)15 16(2)

五、教學(xué)方式（手段）

本章主要采用講授新課的方式。

第五篇：線性代數(shù)教案 第一節(jié)：低階行列式

《線性代數(shù)》教案

第一章：行列式 本章重點(diǎn)：行列式的計(jì)算及其性質(zhì)的應(yīng)用

本章難點(diǎn)：行列式的幾條性質(zhì)的證明及利用這些性質(zhì)計(jì)算行列式 基本要求：

1． 會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算2階行列式和3階行列式 2． 了解n階行列式的概念

3． 了解行列式的性質(zhì)并掌握4階行列式的計(jì)算，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式 4． 了解克萊姆法則