第一篇：線性代數(shù) 第一單元(行列式)試卷(專升本)

第1題 標準答案：D 1-3-1 計算行列式

，結(jié)果＝（）。

A、60

B、70

C、80

D、90

第2題 標準答案：C 1-1-1 排列32145的逆序數(shù)是（）。

A、1

B、2

C、3

D、4

第3題 標準答案：B 1-2-1 已知3階行列式

計算：

的值，結(jié)果＝（）。

A、10 B、20

C、30

D、40

第二篇：線性代數(shù)教案-第三章 行列式及其應(yīng)用

第三章行列式及其應(yīng)用

本在線性代數(shù)應(yīng)用于幾何、分析等領(lǐng)域時,行列式理論起著重要的作用,線性代數(shù)范疇的矩陣理論的進一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理論以及它的一些作用.一、教學(xué)目標與基本要求

（一）知識

1n階行列式的定義及性質(zhì)

現(xiàn)將這些性質(zhì)作為公理體系來定義n階行列式.設(shè)A?[aij]是任意一個n階方陣,用Ai記其第i行元素為分量的n元向量,即

2,?,n, Ai?(ai1,ai2,?,ain),i?1,并稱其為行向量.有序向量組{A1,?,An}所定義的實值函數(shù)d(A1,?,An)被稱為n階行列式函數(shù),如果它滿足下列公理: 公理1 對每行具有齊性,即對任意實數(shù)t,有

?,n.d(?,tAk,?)?td(?,Ak,?),k?1,公理2 對每行都具加性.即對任意n元向量B,有

d(?,Ak?B,?)?d(?,Ak,?)?d(?,Ak?1,B,Ak?1,?), k?1,?,n.公理3若任意相鄰兩行相等,則行列式為零.即若Ak?Ak?1(k?1,?,n?1),則d(A1,?,An)?0.公理4 對于R中常用基{e1,?,en},有 nd(e1,?,en)?1.當{A1,?,An}取定,則稱d(A1,?,An)為一個n階行列式.有時也簡稱為n階行列式函數(shù)為n階行列式.n行列式常被記為detA,|A|,或

a11a21?an1a12a22??a1n?a2n?.an2?ann公理4意味著,對于n階單位方陣E,有 detE?|E|?1.前兩個公理意味著,行列式函數(shù)是它每一行的線性函數(shù),即對任意一行(如第1行)而言,若t1,?,tp是任意p個實數(shù),B1,?,Bp是任意p個n元向量(p是任意正整數(shù)),有

d(?tkBk, A2,?,An)??tkd(Bk,A2,?,An)

k?1k?1pp定理3.1.1滿足公理1,2,3的行列式函數(shù)d(A1,?,An)具有以下性質(zhì):(1)若行列式某一行為零,則此行列式為零.(2)對調(diào)行列式任意兩行,則行列式變號.(3)若行列式任意兩行相等,則此行列式為零.(4)若向量組{A1,?,An}是相關(guān)的,則行列式d(A1,?,An)?0.(5)把行列式某行乘以數(shù)加到另一行去,行列式值不改變.行列式的計算

例3.2.2設(shè)A是形如下式的n階對角方陣

?a11?0?????00a22?00??0??(a?0,i?j)

??ij??ann??則detA?a11a22?ann.由該例可得到: 例3.2.3設(shè)A是形如下式的n階上三角方陣

?a11??0??????0a12a22?0?a1n???a2n??(主對角線下方各元素為零)????ann??則detA?a11a22?ann.定理3.2.1 設(shè)d是滿足行列式公理1～4的n階行列式函數(shù),f是滿足行列式公理1～3的n階行列式函數(shù),則對任意選定的n元向量A1,?,An及R中常用基{e1,?,en},有

nf(A1,?,An)?d(A1,?,An)f(e1,?,en).(3.2.2)若f還滿足行列式公理4,則有

f(A1,?,An)?d(A1,?,An).?1定理3.2.2 若A是一個非奇異方陣(即A存在),則detA?0,且

detA?1?1 detA定理3.2.3 設(shè)A1,?,An是n個n元向量.該向量獨立的充要條件是d(A1,?,An)?0.本節(jié)最后,討論分塊對角方陣的行列式的簡便算法.定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分塊對角方陣成立著

?AO?det???detAdetB ??OB??本定理可以推廣到一般情形:若C是一個具有對角子塊A1,?,An的分塊對角方陣,即

?A1????C????????OA2?O??????, ????An??則detC?(detA1)(detA2)?(detAn).行列式的展開公式

定義3.3.1給定n階方陣A?[akj](n≥2).去掉其元素akj所在的第k行和第j列后,余下元素按原來位置構(gòu)成的n?1階方陣,被稱為元素akj的余子陣,記為Akj.而稱detAkj為akj的余子式.定理3.3.1對任意n階方陣A?[akj](n≥2),有

??(?1)k?jdetAkj,k?1,?,n.(3.3.2)detAkj從而有

n?,n.(3.3.3)detA??akj(?1)k?jdetAkj,k?1,j?1此式被稱為行列式按第k行的展開式.定義3.3.2對行列式detA而言,稱(?1)k?jdetAkj為元素akj的代數(shù)余子式,記為cofakj.下面將利用數(shù)學(xué)歸納法來證明n階行列式函數(shù)的存在性,從而在理論上確立了n階行列式函數(shù)的存在唯一性.與此同時,可得到行列式按列展開的公式.定理3.3.2設(shè)n?1階行列式函數(shù)存在.對任意n階方陣A?[akj],定義函數(shù)

f(A1,?,An)??(?1)k?1ak1detAk1,(3.3.4)k?1n則它是n階行列式函數(shù)

定理3.3.3對任意n階方陣A?[akj],有

?(?1)j?1nni?j i?k?detA,(3.3.6)akjdetAij?? 0, i?k? i?k?detA,i?j(3.3.7)(?1)adetA???jkji i?kj?1? 0,定理3.3.4對任意n階方陣A?[akj],有

detA?detAT.4 伴隨陣及方陣的逆

定義3.4.1給定n階方陣A?[aij],稱n階方陣[cofaij]為A的伴隨陣,記為

TA*.據(jù)此定義知: A的伴隨陣A*位于第j行第i列的元素,就是A的元素aij的代數(shù)余子式

cofaij?(?1)i?jdetAij.定理3.4.1對任意n階方陣A?[aij](n≥2),有

AA*?(detA)E.?1又:若detA?0,則A存在,且有

A?1?1A*.detA?1定理3.4.2對任意n階方陣A而言,A存在得充分必要條件是detA?0.當detA?0,就有

A?1?11A*,detA?1? detAdetA5

矩 陣 的 秩

定義3.5.1在一個m?n矩陣A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于這些行列交叉處的元素按原來位置構(gòu)成的k階行列式,被稱為矩陣A的k階子式.A中不為零的子式.A中不為零的子式的最高階數(shù),被稱為矩陣A的秩,記為R(A).若A沒有不為零的子式(等價的說法是: A是零矩陣),則認為其秩為零.推論 若A有一個r階子式不為零,而所有r?1階子式全為零,則R(A)?r.定理3.5.1初等變換不改變矩陣的秩.等價的說法是:若A～B(即A與B等價),則R(A)?R(B).若A是n階方陣且R(A)?n,則稱A為滿秩方陣.顯然,下列命題等價:(1)A是滿秩方陣.(2)detA?0.(3)A是可逆的(非奇異的).克萊姆法則

定理3.6.1對于含有n個未知量x1,?,xn的n個線性代數(shù)方程構(gòu)成的方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2(3.6.1)?? ? ? ? ???an1x1?an2x2???annxn?bn,(或?qū)憺?aj?1nij?,n.)xj?bi,i?1,如果其系數(shù)方陣A?[aij]是非奇異的(即detA?0),則它是唯一解.這里cofakj是方陣A的元素akj的代數(shù)余子式.式(3.6.2)表示的線性代數(shù)方程組(3.6.1)的解亦可表示為

xj?detCjdetA,j?1,?,n.(3.6.3)這里方陣Cj是A中第j列換為列陣b所成的n階方陣.讀者容易驗證(3.6.3)式右端與(3.6.2)式右端相等.二本章重點及難點

1、理解用公理定義行列式概念中的數(shù)學(xué)原理

2、利用公理4進行行列式計算

3、方陣的行列式及方陣可逆之間的關(guān)系

4、矩陣的秩

5、利用伴隨陣求解方陣的逆

6、克萊母法則

三：本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬

１． ２． 若第四個公理改變,行列式的值如何改變 當克萊母法則法則的相關(guān)條件改變又如何? 四：思考題和習題

1(3)(4)

3(1)5(2)

7(3)

10(2)15 16(2)

五、教學(xué)方式（手段）

本章主要采用講授新課的方式。

第三篇：線性代數(shù)教案 第一節(jié)：低階行列式

《線性代數(shù)》教案

第一章：行列式 本章重點：行列式的計算及其性質(zhì)的應(yīng)用

本章難點：行列式的幾條性質(zhì)的證明及利用這些性質(zhì)計算行列式 基本要求：

1． 會用對角線法則計算2階行列式和3階行列式 2． 了解n階行列式的概念

3． 了解行列式的性質(zhì)并掌握4階行列式的計算，會計算簡單的n階行列式 4． 了解克萊姆法則

第四篇：線性代數(shù)試卷

廈門理工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院20 第 學(xué)期期末試卷

線性代數(shù)（考試時間：120分鐘）

專業(yè) 姓名 層次形式 成績

一、選擇題（每小題4分，共16分）1.A，B為三階方陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E則().22?1?1?1(A)X?(A?B);(B)X?(A?B)(A?B)(C)X?(A?B)(A?B)(D)以上答案都不對.2.?1?1；

A、B、C為n階方陣，且AB?C,A、B、C的列向量組分別為?1,?2,???,?n；?1,?2,???,?n(A)；

?1,?2,???,?n.若

?1,?2,???,?n線性相關(guān)，則().?1,?2,???,?n線性相關(guān);(B)

?1,?2,???,?n線性相關(guān)；

(C)（A）與(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.設(shè)A,B為三階矩陣，且r(A?3A?2E)?3，若r(B)?2則r(AB?B)?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)無法判斷． ???A??2?2?3??34.設(shè)三階矩陣

???????B???2????2???，?3?，其中?,?,?2,?3均為三維行向量，已知A?18，2B?2，則A?B?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空題（每小題4分，共16分）

?En?1?0AB?OB為n階非零矩陣，5.設(shè)A、，且A的階梯形為?1D?a1111b1111c1111n0??0?，則矩陣B的秩=.6.已知，則此行列式的所有代數(shù)余子式之和i,j?1?Aij?.1

?1A???0Tx?(1,1)?7.已知是1??a??的一個特征向量，則a?.8.為已知A是3階方陣，?1,?2,?3是三維線性無關(guān)的向量.若A?1??1??2，A?2??2??3，A?3??1??3，則A的行列式等于.三、計算下列各題（每小題7分，共28分）

01D?1?1101?11110?11??????111?01111?10.9.計算n階行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)?2x1?8x2?x3?2ax1x2222正定，求a的取值范圍.411.已知??(1,1,1),??(1,0,1)，且A???.求A.TTT

?2?A?0??2? 0301??1??0B?0????02??0?100??0?0??

12.已知矩陣X滿足AX?2B?BA?2X，求X．

四、解答下列各題（每小題14分，共28分）

?2x1?3x2?3x3?a?x1?x2?x3?1??3x?4x2?(a?2)x3?a?1x?2x?ax?12313.求a使方程組?1與?1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)?XAX?x1?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)??(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經(jīng)正交變換所得的標準型，并寫出相應(yīng)的正交矩陣.3

五.解答下列各題（每小題4分，共12分）

15.設(shè)?1,?2,???,?t是線性方程組Ax?O的基礎(chǔ)解系，向量?滿足A??b?O.證明?1,?2,???,?t,?線性無關(guān).16.已知A是n階方陣且可對角化，問B?A?A?E可否對角化？證明你的結(jié)論.2 T17.已知A為n階矩陣.證明方程組Ax?O與AAx?O的解相同.

第五篇：線性代數(shù)試卷

線性代數(shù)試題

請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

選擇題部分

一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯涂、多涂或未涂均無分。1．設(shè)行列式A.－3 C.1 2．設(shè)4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設(shè)A為2階可逆矩陣，若A?1??B.2 D.4 a1a2b1acab?c?1，11??2，則111? b2a2c2a2b2?c2B.－1 D.3 ??1?3?A.??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.r=m時，Ax=0必有非零解 C.r

?，則A= ?25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設(shè)A為m×n矩陣，A的秩為r，則

B.r=n時，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.?0??8??1?C.?0??4? 0?8??212? 123??0?4??26? 63???1?B.?0?0??1?D.??4?0?0?8??212? 03???40??26? 63??═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非選擇題部分

注意事項：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

7．設(shè)A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=?8．設(shè)矩陣A=??12??，則A=______.?34?a12??a11a12??a11，B=???，且r(A)=1，則r（B）=______.?a21a22??a11?a21a12?a22?9．設(shè)向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，則β－2α=________． 10．設(shè)向量α=(3，－4)T，則α的長度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T線性無關(guān)，則數(shù)k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)為______．

?122???100?????13．已知矩陣A=?212?與對角矩陣D=?0?10?相似，則數(shù)a=______ ?221??00a?????14．設(shè)3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，則實數(shù)t的取值范圍是______． ?x2?tx

3三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

a?b?c16．計算行列式D=2a2a2b2cb?a?c2b.2cc?a?b17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βαT=3，A=αTβ，求(1)數(shù)k的值；(2)A10． ?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=?231?，B=?00?，求矩陣X，使得AX=B.?340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關(guān)組線性表出．

?2x?3y?z?0?20．設(shè)線性方程組?2x?y?z?1，問：

?x?y??z?1?═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值時，方程組無解？

(2)λ取何值時，方程組有解？此時求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=?010?的全部特征值與特征向量．

?100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標準形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設(shè)向量組α1，α2線性無關(guān)，且β=clα1+c2α2，證明：當cl+c2≠1時，向量組β－α1,β－α2線性無關(guān)．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════