第一篇：線性代數(shù)英文試卷(習(xí)題)
ZheJiang University Of Science And Technology Civil Engineering 14 Final Test
Linear Algebra Final Test(15.06)
Cautions:[1]You are allowed to finish this test within 60 minutes.[2]Fill the answer in the question paper in part.1 1.Filling Blanks(45 points)姓名：x[1]figure out the value of the following determinant A=
xyx?yx?yxy?______________
x?yy學(xué)號(hào)：班級(jí)： ?32?T??102??[2]Here are two matrix,A??01?,B???010?????14???T,please find AB=____________,BA=______________.[3]A known matrix B satisfies the following equation,B2-B-2E=0,if B,B+2E are nonsingular,thus(B+2E)-1=___________ [4]Pick up the vectors which are linearly independent__________ ①(-2,1)T,(1,3)T,(2,4)T ②2,x2,x,2x+3
③x+2,x+1,x2-1
④(1,2)T,(-1,1)T
?12?2???[5]A?4t3?.if B is a nonzero 3x3 matrix,AB=0,thus t=________ ??3?11???O?A[6]|A|=|B|=|C|=2,and they’re all 3*3 matrix,find the value of D=2(B)?1C=____________
3[7]Judge whether ?200??253?????A??052?，B??050? have the same eigenvalues______(‘Y’OR’N’),if yes,please find ?004??004????? them=_____________[8]find matrix X,which satisfies the equation
?1?1??21?,X=___________
X??????24??12??50?????[9]find the eigenvectors of A=?18? ,______________________2.Solve problems(55 points)[1]A,B are 3x3 matrix,and they satisfy the equation
AB?2A?B，and
?002???B??040?，findA?E.?200???[2]If ?12?A???，find a matrix U?21?，making U?1AU?? exist.(Tip:?is a diagonal matrix).ZheJiang University Of Science And Technology Civil Engineering 14 Final Test
?2x1?x2?x3?x4?1?3?[3]The equation is?3x1?2x2?x3?3x4?4,find its general solution;
[4]A=?4??x?4x?3x?5x??2?0234?1??04?30000100?find 0??4???1?A?1 and A*.?1??111?????[5]??0is one of eigenvectors of matrixA?m?1?1，?????1??1?1n?????（1）find the eigenvalue α,then figure out the value of m,n；
（2）Judge whether matrix A can be diagonalizable;if yes,please find a matrix diagonal matrix).U,making U?1AU?? exist.(Tip:?is a
?1??1??1??1??1???????????[6]The array of vectors β,α are given,?1?0,?2?m,?3?1 ,?1?1,?2?2.They have the same rank of
???????????1??3??2??0??n???????????matrix,meanwhile,?3is linearly independent with?1,?2，find the value of
m,n.----------------Draft paper Area-------------ZheJiang University Of Science And Technology Civil Engineering 14 Final Test
Answer of Liner Algebra(2015.06)
3.-0.25(A-3E)
4.[4]
5.t=-3 1.Filling blanks(each question with 5 marks)1.2xy(x+y)
?301???50????2.AB???,BA??214?
101???602???6.27/8
7.Y 2,5,4
8.X????0.50?? ???1.51?
9.(-3,1)T,(0,1)T 2.Solve questions(each question with 8-10 marks)1.A-E=2(B-2E)-1(FIND THE EXACT ANSWER BY YOURSELF)
?1??6??0?0??????????015???7??????513.X?α????0???7??β??
?7????7?0?0??4?????9???????0??0?????7??7?2.U=????0.50???
11??
4.?C?1A???O??1O?-1?
A*=|A|xA ?1?B?
5.[1]Eigenvalue is 2,m=n=1 6.M=2,n=1
[2]U consists of 3 eigenvectors whose eigenvalue are 1.2.-2
第二篇：線性代數(shù)試卷
廈門理工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院20 第 學(xué)期期末試卷
線性代數(shù)（考試時(shí)間：120分鐘）
專業(yè) 姓名 層次形式 成績(jī)
一、選擇題（每小題4分，共16分）1.A，B為三階方陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E則().22?1?1?1(A)X?(A?B);(B)X?(A?B)(A?B)(C)X?(A?B)(A?B)(D)以上答案都不對(duì).2.?1?1；
A、B、C為n階方陣，且AB?C,A、B、C的列向量組分別為?1,?2,???,?n；?1,?2,???,?n(A)；
?1,?2,???,?n.若
?1,?2,???,?n線性相關(guān)，則().?1,?2,???,?n線性相關(guān);(B)
?1,?2,???,?n線性相關(guān)；
(C)（A）與(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.設(shè)A,B為三階矩陣，且r(A?3A?2E)?3，若r(B)?2則r(AB?B)?().(A)1 ；(B)2；
(C)3；(D)無(wú)法判斷． ???A??2?2?3??34.設(shè)三階矩陣
???????B???2????2???，?3?，其中?,?,?2,?3均為三維行向量，已知A?18，2B?2，則A?B?().(A)1 ；(B)2；
(C)3；(D)4.二、填空題（每小題4分，共16分）
?En?1?0AB?OB為n階非零矩陣，5.設(shè)A、，且A的階梯形為?1D?a1111b1111c1111n0??0?，則矩陣B的秩=.6.已知，則此行列式的所有代數(shù)余子式之和i,j?1?Aij?.1
?1A???0Tx?(1,1)?7.已知是1??a??的一個(gè)特征向量，則a?.8.為已知A是3階方陣，?1,?2,?3是三維線性無(wú)關(guān)的向量.若A?1??1??2，A?2??2??3，A?3??1??3，則A的行列式等于.三、計(jì)算下列各題（每小題7分，共28分）
01D?1?1101?11110?11??????111?01111?10.9.計(jì)算n階行列式
10.若二次型
1f(x1,x2,x3)?2x1?8x2?x3?2ax1x2222正定，求a的取值范圍.411.已知??(1,1,1),??(1,0,1)，且A???.求A.TTT
?2?A?0??2? 0301??1??0B?0????02??0?100??0?0??
12.已知矩陣X滿足AX?2B?BA?2X，求X．
四、解答下列各題（每小題14分，共28分）
?2x1?3x2?3x3?a?x1?x2?x3?1??3x?4x2?(a?2)x3?a?1x?2x?ax?12313.求a使方程組?1與?1有公共解，并求公共解.14.已知二次型
f(x1,x2,x3)?XAX?x1?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)??(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經(jīng)正交變換所得的標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出相應(yīng)的正交矩陣.3
五.解答下列各題（每小題4分，共12分）
15.設(shè)?1,?2,???,?t是線性方程組Ax?O的基礎(chǔ)解系，向量?滿足A??b?O.證明?1,?2,???,?t,?線性無(wú)關(guān).16.已知A是n階方陣且可對(duì)角化，問(wèn)B?A?A?E可否對(duì)角化？證明你的結(jié)論.2 T17.已知A為n階矩陣.證明方程組Ax?O與AAx?O的解相同.
第三篇：線性代數(shù)試卷
線性代數(shù)試題
請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上。
說(shuō)明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。
選擇題部分
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）
在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯(cuò)涂、多涂或未涂均無(wú)分。1．設(shè)行列式A.－3 C.1 2．設(shè)4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設(shè)A為2階可逆矩陣，若A?1??B.2 D.4 a1a2b1acab?c?1，11??2，則111? b2a2c2a2b2?c2B.－1 D.3 ??1?3?A.??
?2?5???5?3?C.?? ??21?A.r=m時(shí)，Ax=0必有非零解 C.r ?，則A= ?25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設(shè)A為m×n矩陣，A的秩為r，則 B.r=n時(shí)，Ax=0必有非零解 D.r 2225．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為 ?1?A.?0??8??1?C.?0??4? 0?8??212? 123??0?4??26? 63???1?B.?0?0??1?D.??4?0?0?8??212? 03???40??26? 63??═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2 非選擇題部分 注意事項(xiàng)： 用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫(xiě)在答題紙上，不能答在試題卷上。 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______． 7．設(shè)A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=?8．設(shè)矩陣A=??12??，則A=______.?34?a12??a11a12??a11，B=???，且r(A)=1，則r（B）=______.?a21a22??a11?a21a12?a22?9．設(shè)向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，則β－2α=________． 10．設(shè)向量α=(3，－4)T，則α的長(zhǎng)度||α||=______． 11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T線性無(wú)關(guān)，則數(shù)k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____． ?122???100?????13．已知矩陣A=?212?與對(duì)角矩陣D=?0?10?相似，則數(shù)a=______ ?221??00a?????14．設(shè)3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______． 22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______． ?x2?tx 3三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分） a?b?c16．計(jì)算行列式D=2a2a2b2cb?a?c2b.2cc?a?b17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βαT=3，A=αTβ，求(1)數(shù)k的值；(2)A10． ?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=?231?，B=?00?，求矩陣X，使得AX=B.?340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出． ?2x?3y?z?0?20．設(shè)線性方程組?2x?y?z?1，問(wèn)： ?x?y??z?1?═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值時(shí)，方程組無(wú)解？ (2)λ取何值時(shí)，方程組有解？此時(shí)求出方程組的解． ?001???21．求矩陣A=?010?的全部特征值與特征向量． ?100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的可逆線性變換． 四、證明題（本題7分） 23．設(shè)向量組α1，α2線性無(wú)關(guān)，且β=clα1+c2α2，證明：當(dāng)cl+c2≠1時(shí)，向量組β－α1,β－α2線性無(wú)關(guān)． ═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 浙江大學(xué)2008-2009學(xué)年秋冬學(xué)期 《線性代數(shù)I》課程期末考試試卷及參考答案 ?2x1?1．解線性方程組?x1?x?1?5x2?2x2?4x2?4x3?x3?6x3?x4?x4?2x4?x5?x5?x5??3?5。?10解：略。 2．線性變換T:?2??2的定義是 T(x,y)?(3x?y,x?3y).設(shè)B?{(1,1),(1,?1)},B??{(2,4),(3,1)}。（a）證明B,B?是?2的兩組基。 （b）給出T關(guān)于基B的矩陣表示A和T關(guān)于基B?的矩陣表示A?。（c）求矩陣Q使A??Q?1AQ。 （a）證明：先證明B線性無(wú)關(guān)（略）。因?yàn)锽所含的向量個(gè)數(shù)?2?dim?2，所以B是?2的一組基。B?類似可證。 （b）解：由定義即可（略）。 （c）解：矩陣Q是基B到基B?的過(guò)渡矩陣，由定義求之即可。 ?00???103．設(shè)矩陣A??0?1?????00?n?2。解： 0?a1??0?0a2?0?0a3?。求行列式A?tI，其中I是n階單位陣，?????0??1an??0t?1A?tI?0?0000t?0000?0??0?000?ta1a2a3??1t?an?10??1t?an0?000?tn?antn?1???a2t?a1tn?1?antn?2???a3t?a2tn?2?antn?3???a4t?a3?t2?ant?an?1t?anRn?1?tRn?100?Rn?2?tRn?10?10???R1?tR2?00?00? 0?00??1?tn?antn?1???a2t?a14．令V為由全部在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)的實(shí)函數(shù)構(gòu)成的集合，即 V?{f:[0,1]??|f連續(xù)}（a）給出V的向量加法和數(shù)乘法使V成為線性空間。（b）證明(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內(nèi)積。 01（a）解：對(duì)?f,g?V,????，定義 f?g:[0,1]??f(x)?g(x)，??f:x?[0,1]?x??(f(x))驗(yàn)證上面定義的加法和數(shù)乘法使V成為線性空間。（b）證明：對(duì)?f,g,h?V,????，有 (f,g)??f(x)g(x)dx??g(x)f(x)dx?(g,f);0011(?f,g)???f(x)g(x)dx???f(x)g(x)dx??(f,g);0011(f?g,h)??(f(x)?g(x))h(x)dx??f(x)h(x)dx??g(x)h(x)dx?(f,h)?(g,h);000111(f,f)??f2(x)dx?001所以(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內(nèi)積。 015．設(shè)映射D:?[x]5??[x]5用D(f)?f?來(lái)定義，其中f?是f的導(dǎo)數(shù)。（a）證明D是線性變換。 （b）給出D的核，他的一組基和維數(shù)。（c）給出D的像，他的一組基和維數(shù)。（a）證明：對(duì) ?f?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4,g?b0?b1x?b2x2?b3x3?b4x4??[x]5,????，有 D(f?g)?D((a0?b0)?(a1?b1)x?(a2?b2)x2?(a3?b3)x3?(a4?b4)x4)?(a1?b1)?2(a2?b2)x?3(a3?b3)x2?4(a4?b4)x3?D(f)?D(g),D(?f)?D(?a0??a1x??a2x??a3x??a4x)??a1?2?a2x?3?a3x2?4?a4x3??D(f)所以D是線性變換。 234 （b）D的核kerD??，f?1是他的一組基，他的維數(shù)dimkerD?1。（c）D的像ImD??[x]4，1,x,x2,x3是他的一組基，他的維數(shù)dimImD?4。 ?112???6．判斷實(shí)矩陣A???121?是否可對(duì)角化。若A可對(duì)角化，求矩陣Q使Q?1AQ?013???是對(duì)角矩陣D，并給出矩陣Q?1和D。解：略。 27．實(shí)二次型f:?2??的定義是f(x1,x2)?2x12?5x2?4x1x2。 （a）給出對(duì)應(yīng)于f的實(shí)對(duì)稱矩陣A。 （b）給出A在相合（即合同）意義下的標(biāo)準(zhǔn)形（或規(guī)范形）。 （c）給出f的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)，并判斷f是否正定或者負(fù)定。解：略。 8．設(shè)?,?是線性變換T:V?V的兩個(gè)互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量。如果av?bw是T的特征向量，證明a?0或者b?0。證明：因?yàn)閍v?bw是T的特征向量，所以存在T的特征值?使得T(av?bw)??(av?bw)。因?yàn)関和w分別是屬于?和?的特征向量，所以?av??bw?T(av?bw)?aT(v)?bT(w)?a?v?b?w，即a(???)v?b(???)w?0。因?yàn)?,?是線性變換T:V?V的兩個(gè)互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以v,w線性無(wú)關(guān)。所以a(???)?0,b(???)?0。 如果a?0，則有???。因?yàn)?,?互異，所以????0，進(jìn)而b?0。所以有a?0或者b?0。 9．證明或舉反例否定下面命題。 V)?dim(W，)則任何線性映射（a）若有限維線性空間V,W滿足dim(T:V?W都不是同構(gòu)。 答：正確。因?yàn)門:V?W是同構(gòu)?dim(V)?dim(W)。 （b）若方陣A,B有相同的特征多項(xiàng)式，則A和B是相似的。 ?10?答：錯(cuò)誤。例如A???,B?E2，則他們的特征多項(xiàng)式相同，均為 11??f(?)?(??1)2，但A和B不相似，因?yàn)锳不可對(duì)角化。 （c）若可逆方陣A相合于方陣B，則他們的逆矩陣A?1,B?1也是相合的。 答：正確。這是因?yàn)椋喝艨赡娣疥嘇相合于方陣B，則存在可逆矩陣CT?1使得B?CTAC，進(jìn)而B(niǎo)?1?(CTAC)?1?C?1A?1(C)?C?1A?1(C?1)T，即A?1,B?1相合。 （d）實(shí)正交矩陣一定可對(duì)角化。 ?cos?答：錯(cuò)誤。比如A???sin??sin???的特征多項(xiàng)式為cos??f(?)??2?2?cos??1，所以沒(méi)有實(shí)特征根，當(dāng)然也不能對(duì)角化。 線 性 代 數(shù) 習(xí) 題 冊(cè) 江蘇師范大學(xué)科文學(xué)院 第一章矩陣 重點(diǎn)掌握：矩陣的運(yùn)算；行列式的計(jì)算；元素的代數(shù)余子式和伴隨矩陣的定義；可逆矩陣的性質(zhì)和逆矩陣的求法；矩陣秩的求法等。 一、逆矩陣 對(duì)于記作，若有． 為可逆矩陣 ； 滿足，則稱 為可逆矩陣，且 為的逆矩陣，運(yùn)算律：（1）對(duì)于可逆為可逆矩陣． 可逆, 且，有 ． ．，?。?）可逆，可逆，且． 對(duì)于（3）對(duì)于，取與，取都可逆，有 可逆，且，有 ． ． ． （4）對(duì)于可逆，取 可逆, 且，有 ． ． （5）（6）可逆與都可逆 ． ． 二、矩陣的初等變換 初等變換 行變換 列變換 ① 對(duì)調(diào) ② 數(shù)乘 , 記作 ③ 倍加 經(jīng)過(guò)初等變換得到初等矩陣： ． （1） （2） （3）定理 設(shè)（1）對(duì)（2）對(duì)是 矩陣，則 進(jìn)行一次行初等變換，相當(dāng)于用一個(gè)階的初等矩陣左乘；.進(jìn)行一次列初等變換，相當(dāng)于用一個(gè)階的初等矩陣右乘求逆矩陣的初等變換法： （都是初等矩陣） 由此可得：對(duì)（矩陣的位置）成為 施行“初等行變換”，當(dāng)前列 時(shí)，則后 列（的位置）為 ． 三、矩陣的秩 1、子式：在中, 選取行與 列, 位于交叉處的 個(gè)數(shù)按照原來(lái)的 的一個(gè)階子式, 記作 個(gè)． ． 相對(duì)位置構(gòu)成階行列式, 稱為 對(duì)于給定的, 不同的2、矩陣的秩：在中，若 ； 階子式總共有(1)有某個(gè)階子式(2)所有的 稱 階子式 （如果有，或者 階子式的話）． ． 階梯矩陣.的秩為，記作定理 任意一個(gè)矩陣，均可以經(jīng)過(guò)一系列行初等變換化為定理 初等變換不改變矩陣的秩.定理 階矩陣可逆 .典型習(xí)題練習(xí) ＊1設(shè)是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與 等價(jià)的矩陣是（） A． B． C． D． 2．設(shè)3階陣A．0 B．1 C． 2＊3如果A 4設(shè)階方陣D．3，則的秩為（） 可逆，則下列結(jié)論正確的是（） ； C ； D 的行向量線性相關(guān)。； B 是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與等價(jià)的矩陣是____________。＊5設(shè)為三階方陣，且，則____________。 ＊6設(shè)為三階方陣，的行列式 ____________。，則 ___________。＊7．已知三階方陣8．設(shè)矩設(shè)矩陣，矩陣，則矩陣的秩=____________。 9．設(shè)矩陣＊10設(shè)n階可逆矩陣，矩陣 滿足，則矩陣，則的秩=____________。 =____________。 11．3階矩陣，則的秩為_(kāi)___________。 12矩陣，則行列式=____________。 13＊14已知三階方陣 。的行列式，則。 15已知矩陣，則=____________。 ＊16設(shè)矩陣，則的特征值為_(kāi)___________。 17計(jì)算行列式 ＊18計(jì)算行列式 ＊19計(jì)算行列式。 20計(jì)算行列式 ＊21設(shè) ，求。 ＊22設(shè)，求。 ＊23設(shè)，求。 ＊24設(shè)，求。 ＊25設(shè) 26已知 ＊27證明：如果矩陣 階矩陣滿足，求 ,求證：可逆，并求的逆。 是可逆對(duì)稱矩陣，則也是對(duì)稱矩陣。 第二章線性方程組 重點(diǎn)掌握：向量組間的線性關(guān)系：線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)；向量組極大無(wú)關(guān)組和秩的求法，線性方程組基礎(chǔ)解系的求法等。 一、線性方程組 一、克拉姆（Cramer）法則 定理（克拉姆法則）如果含有個(gè)方程的元線性方程組 （1）的系數(shù)行列式 則方程組（1）有唯一解，并且 其中是將系數(shù)行列式的第列元 元線性方程組 換成常數(shù)項(xiàng) 后得到的行列式.定理 如果如果含有個(gè)方程的的系數(shù)行列式，則方程組（2）僅有零解.二、解線性方程組的消元法 定理（1）（2）若, 有解有解時(shí)，若 ；，則有唯一解； 個(gè)自由未知量．，則有無(wú)窮多組解，此時(shí)，一般解中有定理(1) 僅有零解 ； (2) 由于對(duì)推論 如果矩陣 有非零解[即有無(wú)窮多個(gè)解]有，由此得到 ． 元齊次線性方程組 必有非零解.中，方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)，即，則方程組特別地，對(duì)于含有個(gè)方程的元齊次線性方程組 由定理2.2和定理2.4可以得到 定理 齊次線性方程組 有非零解 ． 三、向量及其線性運(yùn)算 1．向量的線性組合 設(shè)維向量，及（為正整數(shù)），若有數(shù)組，稱為的線性組合，或稱 可由向量組 線性表示． 使得 2．線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 對(duì)維向量組，若有數(shù)組 則稱向量組 線性相關(guān)，否則稱為線性無(wú)關(guān)．，僅當(dāng)數(shù)組 稱向量組向量組線性無(wú)關(guān)，否則稱為線性相關(guān)． 線性相關(guān) 元齊次線性方程組 全為0時(shí)，才有 不全為0，使得 線性無(wú)關(guān)：對(duì)維向量組 （1） 有非零解.向量組特別地，當(dāng)向量組 線性無(wú)關(guān) 元齊次線性方程組（1）僅有零解.時(shí)，由定理2.5可推出： 線性相關(guān) 方程組（1）的系數(shù)行列式 向量組 線性無(wú)關(guān) 方程組（1）的系數(shù)行列式 四、向量組的秩 極大線性無(wú)關(guān)組：設(shè)向量組為（1）在（2）在都可以表為則稱的秩，記作：秩中有個(gè)向量中有，若 線性無(wú)關(guān)； 個(gè)向量的話）．[即 中每一個(gè)向量 個(gè)向量線性相關(guān)（如果有的線性組合] 為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱為極大無(wú)關(guān)組，稱為向量組 ．[即極大無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)] 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 設(shè) (1)(2)當(dāng)（1）（2）時(shí)，有 線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)線性無(wú)關(guān) ； ． ； ． 五、線性方程組解的結(jié)構(gòu) 1、齊次線性方程組 不妨設(shè)的基礎(chǔ)解系 的一般解為 () 依次令 可求得 因?yàn)椋?）（2）所以，?，線性無(wú)關(guān)，是解空間的一個(gè)基，稱為齊次方程組 解的結(jié)構(gòu) 的一個(gè)基礎(chǔ)解系． 2、非齊次線性方程組設(shè) 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 的特解為，一般解為，則有 () 六、若標(biāo)準(zhǔn)正交基 為向量空間，的一個(gè)基，（1）正交化：取，，為正交向量組（兩兩正交），且與向量組（2）單位化，取 等價(jià)． 則向量組為的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基． 典型習(xí)題練習(xí) ＊1．設(shè)向量組 線性相關(guān)，則向量組中（） A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合 ＊2．下列結(jié)論不正確的是（）A 如果B 如果，?，?，則，?，線性相關(guān)； 線性相關(guān)，則其中某個(gè)向量是其它向量的線性組合； C 向量組的任何一個(gè)向量可由它的極大無(wú)關(guān)組線性表示； D 如果一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則它的任何一個(gè)部分向量組也線性無(wú)關(guān)。 ＊3．設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān)，則向量組（）A．均不為零向量 B．任意兩個(gè)向量不成比例 C．任意s-1個(gè)向量線性無(wú)關(guān) D．任意一個(gè)向量均不能由其余s-1個(gè)向量線性表示 ＊4.設(shè)向量，則下列向量是單位向量的是（） A． B． C． D． 5．設(shè)為3階非奇異矩陣，則齊次線性方程組：的解為_(kāi)________________.＊6．設(shè)是一個(gè)4維向量組，若已知 可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為_(kāi)___________。 5．如果＊7．若有非零解，則=____________。 元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，則它的基礎(chǔ)解系含解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________。 8.已知向量組 ＊9．已知向量組，的秩為2，則數(shù)____________.，,（1）求向量組的秩；（2）求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。 ＊10已知向量組，,（1）求向量組的秩；（2）求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。 ＊11試確定 的值，使齊次方程組有非零解，并求方程組的解。 ＊12已知向量組 ,判斷，是否可以表示為其余向量的線性組合。若可以，求其表示式。 ＊13已知向量組 ,14．證明：包含零向量的向量組一定線性相關(guān)。，判別向量組是否線性相關(guān)。如果現(xiàn)行相關(guān)，將其中一個(gè)向量表為其余向量的線性組合。 第四章 矩陣的特征值和特征向量 重點(diǎn)掌握：矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算；矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)；相似矩陣矩陣對(duì)角化問(wèn)題等。 一、特征值與特征向量 對(duì)階矩陣稱為，若有數(shù) 和 維列向量 滿足，則稱數(shù) 為的特征值，非零向量的屬于特征值的特征向量． 說(shuō)明： 1、特征向量 2、階方陣值，即滿足方程，特征值問(wèn)題是對(duì)方陣而言的． 的特征值，就是使齊次線性方程組的都是矩陣的特征值． 有非零解的 3、稱以記 4、設(shè)（1）（2）特征方程： 有非零解 ． 或者 為未知數(shù)的一元次方程，它是階方陣的為的特征方程． 的特征多項(xiàng)式． 次多項(xiàng)式，稱其為方陣的特征值為，則有 ； 特征矩陣： 或者 特征多項(xiàng)式：特征值和特征向量的性質(zhì) 定理 設(shè)是階矩陣，則 與 有相同的特征值． 定理 階矩陣定理 設(shè)可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零． 的互異特征值為 線性無(wú)關(guān)．，與之對(duì)應(yīng)的特征向量依次為，則向量組注意： 1、屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的． 2、屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量． 3、矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值． 定理 設(shè)無(wú)關(guān)的特征向量為的互異特征值為，重?cái)?shù)依次為，則向量組 線性無(wú)關(guān)． 定理 設(shè)（1）（2） ． 0是的特征值． , 則 ； ． 的特征值 ；，則，對(duì)應(yīng)的線性推論 一元多項(xiàng)式：矩陣多項(xiàng)式：定理 設(shè)(1)(2)[注] 一般結(jié)論：若 為的全體特征值為 ． ,則的全體特征值 二、相似矩陣及其性質(zhì) 對(duì)于或稱是階方陣和，若有可逆矩陣 ．，使得，則稱矩陣 與 相似，的相似矩陣，記作相似矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)1 與 [ 與 有相同的特征多項(xiàng)式]； 的特征值相同． 推論 若階方陣與對(duì)角形矩陣 相似，則性質(zhì)2 即是的個(gè)特征值． （． 為正整數(shù)）． 性質(zhì)3 [相似矩陣一定等價(jià)，顯然有相等的秩；反之不然] 性質(zhì)4 單位矩陣的相似矩陣就是其本身． 性質(zhì)5 性質(zhì)6 性質(zhì)7 若，且 與 可逆 ． 即相似矩陣或都可逆或都不可逆．當(dāng)它們都可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似． 相似對(duì)角化 若方陣對(duì)能夠與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，稱，若可找到可逆矩陣，使 可對(duì)角化． 為對(duì)角矩陣，這就稱為把方陣階方陣對(duì)角化． 定理 階方陣推論 如果似．[其中[注] 可對(duì)角化的有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量． ]互不相等，則 ．] 的特征值． 可對(duì)角化．，重?cái)?shù)依次為，有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量． 的每一個(gè) 重特征值，則 可對(duì) 與對(duì)角陣 相階矩陣個(gè)特征值[的主對(duì)角線的元依次為的主對(duì)角元素為有個(gè)互異特征值的全體互異特征值為推論1 推論2 設(shè)角化的充要條件是，對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值定理 階矩陣特征矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于 ． 的秩為定理 也可以敘述為：階矩陣重特征值，齊次線性方程組 與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于的基礎(chǔ)解系中恰含有的每一個(gè) 個(gè)向量． 三、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 1．實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì) 定理 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)．[即 ] 定理 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交． 2、正交矩陣 實(shí)矩陣（1）（2）滿足是正交矩陣是正交矩陣 時(shí)，稱為正交矩陣． ． ． （3）即 是正交矩陣，的列向量組是兩兩正交的單位向量． （4）是正交矩陣，即的行向量組是兩兩正交的單位向量． 定理 [設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣]是以的存在正交矩陣，使得 [即]．其中即，設(shè)為 個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣．，使得 成為對(duì)角矩陣． 一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣，若 是推論 設(shè)特征向量． 的重特征值, 則對(duì)應(yīng)于特征值 3、實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法——利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法 根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為： ① 求② 由的特征值；，求出的特征向量； ③ 將特征向量正交化； ④ 將特征向量單位化． 典型習(xí)題練習(xí) 1.已知矩陣A．C．2．設(shè) B． D．與對(duì)角矩陣，則 相似，則（） 為3階矩陣，且必有一個(gè)特征值為（） A． B． C． D． ＊3．設(shè)矩陣A．1 C．3 B．2 D．4，則的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（） ＊4.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，則 __________。 5．已知為矩陣的重特征值，則的另一特征值為_(kāi)___________。 ＊6．已知三階方陣7．已知3階矩陣的特征值為的特征值為，則且矩陣 與 ________。相似，則 _________.＊8求矩陣的全部特征值及對(duì)應(yīng)的全部特征向量。 ＊9．求矩陣的全部特征值及對(duì)應(yīng)的全部特征向量。 ＊10設(shè)矩陣 ＊11設(shè)矩陣，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣。，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣。 ＊12矩陣 13證明：如果矩陣 與，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣。 相似，則 與相似 14：證明：如果矩陣 與相似，則 =。 第四章 二次型 重點(diǎn)掌握：二次型及其矩陣；矩陣的合同的性質(zhì)；二次型標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范型的求法；二次型正，負(fù)慣性指數(shù)和秩的計(jì)算等。一、二次型的矩陣表示 含有個(gè)變量 稱為元二次型，簡(jiǎn)稱為二次型． ：稱：稱只含有平方項(xiàng)的二次型 稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）． 1．矩陣表示：令，則，于是 為實(shí)二次型（本章只討論實(shí)二次型）為復(fù)二次型 的二次齊次多項(xiàng)式 其中，．即，（2） 其中為對(duì)稱矩陣，因?yàn)椋ǎ?/p> 2、標(biāo)準(zhǔn)形： 對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形． 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣為 3、合同矩陣： 對(duì)于同于．記為定理 ∽∽為對(duì)稱矩陣，若有可逆矩陣． ． 為可逆矩陣，若，即 與 合同，則 亦為 使得, 則稱矩陣 與 合同，或 合定理 設(shè)對(duì)稱矩陣． 二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 1．正交變換法 說(shuō)明： 1、二次型經(jīng)可逆變換 2、要使二次型經(jīng)可逆變換 后，其秩不變，但的矩陣由 變?yōu)?/p> ； 變成標(biāo)準(zhǔn)形，就是要使 也就是要使稱為對(duì)角矩陣．，總有正交矩陣，使 由于對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱矩陣此結(jié)論應(yīng)用于二次型，有，即．把定理 任給二次型準(zhǔn)形 （），總有正交變換，使化為標(biāo) 其中是的矩陣的特征值． 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：、將二次型表成矩陣形式、求出 的所有特征值，求出； ；，記 ；、求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量、將特征向量； 正交化，單位化，得、作正交變換 2、配方法，則得的標(biāo)準(zhǔn)形． 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變． 問(wèn)題：有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？ 問(wèn)題的回答是肯定的．下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法． 拉格朗日配方法的步驟：、若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形；、若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是，則先作可逆線性變換 （且化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方． 定理 對(duì)于實(shí)二次型 定理 對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣, 存在可逆矩陣, 使得 , 存在可逆變換）, 使得 3、初等變換法 求可逆矩陣 可逆, 使得 ：（是初等矩陣） 典型習(xí)題練習(xí) 1設(shè)2元二次型 正定，則矩陣 可取為（） A． B． C．2 二次型A．1 B．2 C．3 D．4 D． 的秩為（）若3階實(shí)對(duì)稱矩陣 是正定矩陣，則的正慣性指數(shù)為_(kāi)_________。＊4實(shí)二次型的正慣性指數(shù)=__________。 ＊5矩陣 對(duì)應(yīng)的二次型 __________。第四篇：線性代數(shù) 試卷
第五篇：線性代數(shù)習(xí)題冊(cè)
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