第一篇：線性代數(shù)習(xí)題及解答
線性代數(shù)習(xí)題一
說(shuō)明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||?||表示向量?的長(zhǎng)度，?T表示向量?的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。
a11a12a133a113a123a131．設(shè)行列式a21a22a23=2，則?a31?a32?a33=（）
a31a32a33a21?a31a22?a32a23?a33A．-6 B．-3 C．3
D．6 2．設(shè)矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（）A．E+A-1 B．E-A C．E+A
D．E-A-
13．設(shè)矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（）
A．??A?A-1??B?可逆，且其逆為????B-1? B．????A?B?不可逆 ?C．??A??B-1?D．??B?可逆，且其逆為???A-1? ??A??A-1??B?可逆，且其逆為???B-1? ?4．設(shè)?1，?2，…，?k是n維列向量，則?1，?2，…，?k線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是A．向量組?1，?2，…，?k中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)
B．存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量組?1，?2，…，?k中存在一個(gè)向量不能由其余向量線性表示 D．向量組?1，?2，…，?k中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示
5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,則???=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T
D．（2，-6，-5，-1）T
6．實(shí)數(shù)向量空間V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（）A．1
B．2）
（C．3 D．4 7．設(shè)?是非齊次線性方程組Ax=b的解，?是其導(dǎo)出組Ax=0的解，則以下結(jié)論正確的是
（）
A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解 8．設(shè)三階方陣A的特征值分別為A．2,4,C．
B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解
11，3，則A-1的特征值為（）24B．1 3111， 24311，3 241D．2,4,3 9．設(shè)矩陣A=2?1，則與矩陣A相似的矩陣是（）
1A．?1?123
01B．102
?2C．
D．
?21
10．以下關(guān)于正定矩陣敘述正確的是（）A．正定矩陣的乘積一定是正定矩陣 C．正定矩陣的行列式一定大于零
二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）
請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無(wú)分。
11．設(shè)det(A)=-1，det(B)=2，且A，B為同階方陣，則det((AB))=__________．
3B．正定矩陣的行列式一定小于零 D．正定矩陣的差一定是正定矩陣
112．設(shè)3階矩陣A=42t?23，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=__________． 1-13?1k13．設(shè)方陣A滿足A=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A=__________． 14．實(shí)向量空間R的維數(shù)是__________．
15．設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎(chǔ)解系中含解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________． 16．非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________． n17．設(shè)?是齊次線性方程組Ax=0的解，而?是非齊次線性方程組Ax=b的解，則A(3??2?)=__________． 18．設(shè)方陣A有一個(gè)特征值為8，則det（-8E+A）=__________．
19．設(shè)P為n階正交矩陣，x是n維單位長(zhǎng)的列向量，則||Px||=__________．
20．二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正慣性指數(shù)是__________．
三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）
222121．計(jì)算行列式142?12?6142． ?1?1?4121222．設(shè)矩陣A=35，且矩陣B滿足ABA=4A+BA，求矩陣B．
-1-1-123．設(shè)向量組?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量通過(guò)極大線性無(wú)關(guān)組表示出來(lái)．
?124．設(shè)三階矩陣A=?24533，求矩陣A的特征值和特征向量． ?4?225．求下列齊次線性方程組的通解．
?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026．求矩陣A=3010360?110110的秩．
?1
2四、證明題（本大題共1小題，6分）
a1127．設(shè)三階矩陣A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，證明： a33a31?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?線性無(wú)關(guān)．
?a??a??a??31??32??33?
線性代數(shù)習(xí)題二
說(shuō)明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或T
*
A表示方陣A未選均無(wú)分。
1.設(shè)3階方陣A的行列式為2，則
?12A?()A.-1 B.?14 C.14 D.1 x?2x?1x?22.設(shè)f(x)?2x?22x?12x?2,則方程f(x)?0的根的個(gè)數(shù)為（）
3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2
D.3 3.設(shè)A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若A?B,則必有（A.A?0 B.A?B?0
C.A?0
D.A?B?0
4.設(shè)A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是（）A.(A?B)2?A2?2AB?B2
B.(A?B)(A?B)?A2?B2
C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)D.(AB)2?A2B2
?a1ba1b2a1b3?5.設(shè)A??1?a2b1aa?0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,則矩陣A的秩為（?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1 C.2
D.3 6.設(shè)6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為（）A.0
B.2））C.3 D.4 7.設(shè)向量α=（1，-2，3）與β=（2，k，6）正交，則數(shù)k為（）A.-10 C.3
B.-4 D.10 ?x1?x2?x3?4?8.已知線性方程組?x1?ax2?x3?3無(wú)解，則數(shù)a=()?2x?2ax?42?1A.?C.1 2B.0 D.1 1 29.設(shè)3階方陣A的特征多項(xiàng)式為A.-18 C.6
?E?A?(??2)(??3)2,則A?()
B.-6 D.18 10.若3階實(shí)對(duì)稱矩陣A?(aij)是正定矩陣，則A的3個(gè)特征值可能為（）A.-1，-2，-3 C.-1，2，3
B.-1，-2，3 D.1，2，3
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。
3011.設(shè)行列式D42,其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為_(kāi)_________.?2253?212.設(shè)A??a??a?b?b?,B????,則AB?__________.?a?a?bb?????103???2013.設(shè)A是4×3矩陣且r(A)?2,B?0??,則r(AB)?__________.??103???14.向量組（1，2）,（2，3）（3，4）的秩為_(kāi)_________.15.設(shè)線性無(wú)關(guān)的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關(guān)系為_(kāi)_________.?x1??x2?x3?0?16.設(shè)方程組??x1?x2?x3?0有非零解，且數(shù)??0,則??__________.?x?x??x?03?1217.設(shè)4元線性方程組Ax?b的三個(gè)解α1，α2，α3，已知?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(3,5,7,9)T,r(A)?3.則方程組的通解是__________.18.設(shè)3階方陣A的秩為2，且A2?5A?0,則A的全部特征值為_(kāi)_________.??211??1?????a019.設(shè)矩陣A?0有一個(gè)特征值??2,對(duì)應(yīng)的特征向量為x?2,則數(shù)a=__________.??????413??2?????20.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3)?xTAx,已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為_(kāi)_________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)矩陣A?(?,2?2,3?3),B求
?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均為3維列向量，且A?18,B?2.A?B.?11?1??01??1?1???????22X?10?1122.解矩陣方程0??????.?1?10??43??21???????23.設(shè)向量組α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）問(wèn)p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.T
T
T
T?2x1??x2?x3?1?24.設(shè)3元線性方程組??x1?x2?x3?2, ?4x?5x?5x??123?1（1）確定當(dāng)λ取何值時(shí)，方程組有惟一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解？
（2）當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出該方程組的通解（要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.25.已知2階方陣A的特征值為?1（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型性變換.四、證明題(本題6分)27.設(shè)A是3階反對(duì)稱矩陣，證明
22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的可逆線
1?1及?2??,方陣B?A2.3A?0.習(xí)題一答案
習(xí)題二答案
線性代數(shù)習(xí)題三
說(shuō)明:在本卷中,A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。
1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8
TT
*?1?2.設(shè)矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=()??1??1??1??A.0 B.(1,-1)C.? D.??1???1?1?? ????3.設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣,B為n階反對(duì)稱矩陣,則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA
12?*?-14.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A=??34??,則A=()
??A.?1?4?3?1?1?2?1?12?1?42?????? ? B.C.D.?????34??31?? ???34??212?222????????5.下列矩陣中不是初等矩陣的是()．．?101??001??100???????A.?010? B.?010? C.?030? ?000??100??001???????6.設(shè)A,B均為n階可逆矩陣,則必有()
?100??? D.?010?
?201???A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.設(shè)向量組α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),則()A.α1, α2,β線性無(wú)關(guān) B.β不能由α1, α2線性表示
C.β可由α1, α2線性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2線性表示,且表示法惟一 8.設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2
D.3 ?2x1?x2?x3?0?9.設(shè)齊次線性方程組?x1?x2?x3?0有非零解,則?為()??x?x?x?023?1A.-1 B.0 C.1 D.2 10.設(shè)二次型f(x)=xAx正定,則下列結(jié)論中正確的是()A.對(duì)任意n維列向量x,xAx都大于零 B.f的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式
TT0112的值為_(kāi)________.?12?12.已知A=??23??,則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_(kāi)________.???11??1?3?
3???13.設(shè)矩陣A=?,P=,則AP=_________.?01???24?????14.設(shè)A,B都是3階矩陣,且|A|=2,B=-2E,則|AB|=_________.15.已知向量組α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)線性相關(guān),則數(shù)k=_________.16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個(gè)解,且
-1?1??3?????2???5??1???,?1??3???,則該線性方程組的通解是_________.37?????4??9??????1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣3A必有一個(gè)特征值為_(kāi)________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對(duì)角矩陣為_(kāi)________.???1?2?T
?20.設(shè)矩陣A=?,若二次型f=xAx正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.??2k???
三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.?0?10???1?20?????22.設(shè)矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設(shè)矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣.2-
1?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3經(jīng)可逆線性變換?x2?2y1?2y2?y3所得的標(biāo)準(zhǔn)形.?x?2y3?
3四、證明題(本題6分)27.設(shè)n階矩陣A滿足A=E,證明A的特征值只能是?1.2線性代數(shù)習(xí)題三答案
第二篇：線性代數(shù)題庫(kù)解答
知識(shí)能力層次
一、填空（每題2分）
１．設(shè)方程組有非零解，則
。
2．線性方程組有非零解，則 。
3．方程組有無(wú)窮多解，則
。
4．非齊次線性方程組（為矩陣）有惟一解的的充分必要條件是
____________。
5．設(shè)是階方陣,是齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解向量,
則
。
6．設(shè)為三階方陣，秩，是線性方程組的解，已知
，則線性方程組的通解為
。
7．三元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，已知該方程組的兩個(gè)解分別
為
，，則的全部解可表為
。
8．設(shè)，欲使線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量，
則=
。
9．當(dāng)
時(shí)，線性方程組無(wú)解。
10．方程組=的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)是___
_1______。
11．若5元線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，
則
3
。
12．設(shè)線性方程組有解，則應(yīng)滿足條件。
13．設(shè)齊次線性方程組為，則它的基礎(chǔ)解系中所包含的向量個(gè)數(shù)為
n-1 。
14．設(shè)是非齊次線性方程組的解向量，則是方程組 的
解向量．
15．設(shè)為非齊次線性方程組的一組解，如果也是該方程組的一個(gè)解，則 ?。薄 ?。
16．設(shè)矩陣，則齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為。
17．若方程組有惟一解，則所滿足的條件是。
18．設(shè)n元齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系中線性無(wú)關(guān)的解向量個(gè)數(shù)是n，則為
零矩陣
。
19．設(shè)是階矩陣，如果，則任何 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維向量 都是
的基礎(chǔ)解系。
20．設(shè)n階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為n-1，則線性方程組的通解為
。
二、單項(xiàng)選擇填空題（每題2分）
1．線性方程組
（
A
）
A.
無(wú)解
B.
只有0解
C.
有惟一解
D.
有無(wú)窮多解
2．設(shè)方程組，
當(dāng)=（
B
）時(shí)，方程組有非零解。
A.0
B.
±1
C.
2
D.
任意實(shí)數(shù)
3．已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則
（
D
）
A．方程組有無(wú)窮多解
B.
方程組無(wú)解
C.
方程組有惟一解或無(wú)窮多解
D.
方程組可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多解
4.
若齊次線性方程組有非零解，則的值為（
C ?。?/p>
A．
B．
C．
D．
5．當(dāng)（
C
）時(shí)，僅有零解。
A．
B．
C．
D．
6．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是 （
D
）
A．的行向量組線性無(wú)關(guān)
B．的行向量組線性相關(guān)
C．的列向量組線性相關(guān)
D．的列向量組線性無(wú)關(guān)
7．設(shè)A為m×n矩陣，且非齊次線性方程組有惟一解，則必有（ C ?。?/p>
A．m=n B．r
(A)=
m C．r
(A)=n
D．r
(A)<
n
8．若方程組存在基礎(chǔ)解系，則λ等于 ?。ā 。摹 。?/p>
A．2 B．3 C．4
D．5
9.
設(shè)矩陣，，則非齊次線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
10．若，則元線性方程組 ?。?/p>
D
）
A．有無(wú)窮多解
B．有唯一解
C．無(wú)解
D．不一定
11.
設(shè)齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，，是
的解，則下列正確的是
（
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
12．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線性無(wú)關(guān)
B．的行向量組線性相關(guān)
C．的列向量組線性相關(guān)
D．的列向量組線性無(wú)關(guān)
13．設(shè)齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，
，是的解，則下列正確的是 ?。?/p>
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
14．已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則
(
D
)
A．方程組有無(wú)窮多解
B．
方程組無(wú)解
C．方程組有唯一解或無(wú)窮多解
D．方程組可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多解
15．是n元線性方程組有惟一解的 ?。ā 。谩 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無(wú)關(guān)條件
16．已知線性方程組無(wú)解，則 ?。ā 。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
17．為矩陣，是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，則下列結(jié)論正確
的是 ?。?/p>
A
）
A．有無(wú)窮多解，則有非零解
B．有無(wú)窮多解，則僅有零解
C．僅有零解，則有唯一解
D．有非零解，則有無(wú)窮多解
18．設(shè)為矩陣，有解，則 ?。ā 。隆 。?/p>
A．當(dāng)有惟一解時(shí)，
B．當(dāng)有惟一解時(shí)，
C．當(dāng)有無(wú)窮解時(shí),只有零解
D.當(dāng)有無(wú)窮解時(shí)，
19．線性方程組
有解的充分必要條件是 （ ?。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
20．齊次線性方程組，（
Ｃ
）是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
A.
B.
C.
D.
三、判斷題（每題2分）
1．若是的解，則也是它的解。
（
是
）
2．若是齊次線性方程組的解向量的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則
是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
（
是
）
3．若齊次線性方程組有非零解，則線性方程組就一定有解。（
否
）
4．若有無(wú)窮多組解，則有非零解。
（
是
）
5．n線性非齊次方程組只要其系數(shù)矩陣的A秩,就一定有無(wú)窮多組解。
（
否
）
6．齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不是惟一的。
7．是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（
是
）
8．方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量。
（
是
）
9．線性方程組在時(shí)，是有解的。
（
是
）
10．任何齊次線性方程組都有基礎(chǔ)解系。
（
否
）
11．是方程組的一般解。
（
是
）
12．方程組的一般解可表示為。
（
否
）
13．時(shí)，方程組有解。
（
否
）
14．與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系。
（
是
）
15．若是一個(gè)線性方程組的解，那么
（其中）也是它的一個(gè)解。
（
是
）
16．方程組有非零解。
（
否
）
17．方程組與方程組是同解的方程組。
（
是
）
18．用初等變換解，可以對(duì)實(shí)行列等行變換。
（
否
）
19．若是的解，是的解，則是的解。
（
否
）
20．給定方程組，當(dāng)時(shí)，方程組有解。
（
否
）
理解能力層次
一、填空（每題2分）
1．已知方程組有無(wú)窮多解，則
-1
或3
。
2．設(shè)是的解向量，是其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則必線性 無(wú)關(guān) 。
3.
設(shè)四階方陣且，則方程組的
一個(gè)解向量為
。
4.
設(shè)方程組有解，則其增廣矩陣的行列式=
0
。
5．設(shè)，且方程組的解空間的維數(shù)為2，則 1 。
6．設(shè)為n階方陣，方程組有非零解，則必有一個(gè)特征值等于
０
。
7．設(shè)，B是三階矩陣，且，若，則
4
。
8．設(shè)為矩陣，，為是矩陣，的列向量是的解，則的最大數(shù)為 3 。
9．若齊次線性方程組中的系數(shù)矩陣的秩，且的代數(shù)余子式，則該方程組的通解可以表示為。
10．已知四元非齊次線性方程組，是它的三個(gè)解向量，且
，則齊次線性方程組的通解為
_____________。
11．齊次線性方程組有非零解，則應(yīng)滿足條件。
12．已知四元線性方程組的三個(gè)解為，且
，，則方程組的通解是
。
13．已知線性方程組的兩個(gè)解為
則該方程組的全部解為
。
14．設(shè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有三個(gè)解向量，其中矩陣，則
2
。
15．設(shè)四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，且，
，其中是它的的三個(gè)解向量，則方程組的通解為
。
16．設(shè)，，則齊次線性方程組的解空間的一組基為
。
17．已知是非齊次線性方程組線性無(wú)關(guān)的解，矩陣，且，若是方程組的通解，則常數(shù)須滿足關(guān)系式
。
18．設(shè)是實(shí)正交矩陣，且，則線性方程組的解是
。
19．設(shè)矩陣，其中
則線性方程組的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)是
n-1
。
20．設(shè)為階方陣，若齊次線性方程組只有零解，則的解是
只有零解
。
21．設(shè)任意一個(gè)維向量都是方程組的解，則
0
。
22．設(shè)非齊次線性方程組有兩個(gè)解，，則該方程組的通解為
。
23．已知齊次線性方程組有無(wú)窮多解，則
-5或-6
。24．若線性方程組
無(wú)解，則常數(shù)應(yīng)滿足的條件是 .
25．3元非齊次線性方程組有3個(gè)解為，，，則系數(shù)矩陣=
。
26．若向量，都是線性方程組的解，則系數(shù)矩陣
=
。
27．方程組有解的充分必要條件為
。
28．設(shè)元非齊次線性方程組有解，其中為階矩陣，則
0
。
29.
已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線性方程組的通解為
是的極大線性無(wú)關(guān)組
。
30.
設(shè)，，，
其中，則線性方程組的解是。
二、單項(xiàng)選擇填空題（每題2分）
1．齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是
（
C
）
A．的任意兩個(gè)列向量線性相關(guān)
B．的任意兩個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)
C．中必有一列向量是其余列向量的線性組合
D．中任一列向量是其余列向量的線性組合
2．設(shè)矩陣，且，則線性方程組
（
D
）
A．可能無(wú)解；
B．一定無(wú)解；
C．可能有解；
D．一定有解
3．當(dāng)
=（ Ａ ）時(shí)，方程組無(wú)解
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4．為矩陣，秩(A)
=，下列結(jié)論正確的是 （ ?。隆 。?/p>
A．齊次線性方程組僅有零解
B．非齊次線性方程組有無(wú)窮多解
C．中任一個(gè)階子式均不等于零
D．中任意個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)。
5．是個(gè)m方程n個(gè)未知量的齊次線性方程組有非零解的 （ ?。隆 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無(wú)關(guān)條件
6．設(shè)為矩陣，則齊次線性方程組有結(jié)論 ?。ā 。谩 。?/p>
A．時(shí)，方程組僅有零解
B．時(shí)，方程組有非零解，且基礎(chǔ)解系含個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量
C．若有n階子式不為零，則方程組僅有零解
D．若中所有n
-
1階子式不為零，則方程組僅有零解
7．n元線性方程組有惟一解的充分必要條件是 ?。ā 。摹 。?/p>
A．導(dǎo)出組僅有零解
B．為方陣，且時(shí)，
C.
D．的列向量線性無(wú)關(guān)，且可由的列向量線性表示
8．設(shè)為矩陣，，則方程組
(
A
)
A.
當(dāng)時(shí)，有解
B.
當(dāng)時(shí)，有惟一解
C.
當(dāng)時(shí)，有惟一解
D.
當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)解
9．設(shè)為矩陣，且，若的行向量組線性無(wú)關(guān)，則
（
A
）
A、方程組有無(wú)窮多解
B、方程組有唯一解
C、方程組無(wú)解
D、方程組僅有零解
10.
設(shè)矩陣，且，則線性方程組
（
D
）
A．可能無(wú)解；
B．一定無(wú)解；
C．可能有解；
D．一定有解
11．若線性方程組有惟一解，則的值為 （
D
）
A．
B．
C．
D．異于與的數(shù)
12.設(shè)是四元非齊次線性方程組的三個(gè)解向量，且，，(C為任常數(shù))，則線性方程組的通
解是
(
C
)
A.
B.
C.
D.
13．設(shè)矩陣，齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式，則這個(gè)方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)都是
（
A
）
A．
B．
C．
D．
14.設(shè)向量組中是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則向量組
(
D
)
也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系
A.
B.
C.
D.
15．設(shè)為矩陣，
，是非齊次方程組的三個(gè)不同的解，則正確的結(jié)論是
(
D
)
A.
線性相關(guān)
B.
是的基礎(chǔ)解系
C.
的任何線性組合是的解
D.
當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)，則是的通解,,其中是滿足的任何數(shù)
16．要使都是線性方程組的解，只要系數(shù)矩陣A為
(
B
)
A.
B.
C.
D.
17．設(shè)為矩陣，若有解，是其兩個(gè)特解，的基礎(chǔ)解系是，則
(
B
)
A.
的通解是
B.
的通解是
C.
的通解是
D.
的通解是
上述四項(xiàng)中均為任意常數(shù)
18．已知是齊次方程的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系也可以是 (
B
)
A．
B．
C．
D．
19．齊次線性方程組
的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則
(
C
)
A．
B．
C．
D．
20．已知，，，
，則齊次線性方程組
的通解為
（
Ｂ
）
A．
B．
C．
D．
三、判斷題（每題2分）
1．齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足的條件是。（
否
）
2．若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩小于n，則方程組有無(wú)窮多解。（
否
）
3．設(shè)為n階方陣，且，是的兩個(gè)不同的解向量，則的通解為?！ 。?/p>
否
）
4．設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式
，則這個(gè)方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)都是1。
（
是
）
5．設(shè)為矩陣，若非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則時(shí)，
方程組有解。
（
是
）
6．設(shè)A，B都是n階非零矩陣，且，則的秩都小于n。
（
是
）
7．設(shè)A為n階奇導(dǎo)方陣，A中有一個(gè)元素的代數(shù)余子式，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為n
?！ 。?/p>
否
）
8．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是的行向量組線性無(wú)關(guān)。
（
否
）
9．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是的列向量組線性無(wú)關(guān)。
（
是
）
10．設(shè)為階方陣，，且是的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則是的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！ 。?/p>
是
）
11．設(shè)為線性無(wú)關(guān)的n維列向量，，則非齊次線性方程組有惟一解?！ 。?/p>
是
）
12．設(shè)是的基礎(chǔ)解系，則為的通解。
（
否
）
13．已知為非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，為對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，則（其中）是
的通解?！ 。?/p>
是
）
14．設(shè)4階方陣的秩是3，且每行元素的和為零，則方程組的基礎(chǔ)解系為
。 ?。?/p>
是
）
15．設(shè)為的基礎(chǔ)解系，為一n維列向量，若，則可由線性表示。 （
是
）
16．給定方程組，則對(duì)任意的，方程組均有解，且有無(wú)窮多解?！ 。?/p>
是
）
17．設(shè)為矩陣，為維列向量，則當(dāng)方程組有解時(shí)，加入一個(gè)方程
后方程組也有解。 ?。?/p>
否
）
18．設(shè)為矩陣，為維列向量，則當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)，加入一個(gè)方程
后方程組也無(wú)解?！ 。?/p>
是
）
19．設(shè)線性方程組，當(dāng)時(shí)，方程組僅有零解。
（
否
）
20．設(shè)為矩陣，非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩，則方程組有解。 ?。?/p>
是
）
簡(jiǎn)單應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題5分）
1．求線性方程組
的一般解．
解：
因?yàn)橄禂?shù)矩陣
……3分
所以一般解為：，
其中，是自由未知量。
…….……5分
2．求線性方程組的一般解。
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
…………3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）。
…………5分
3．當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有非零解？并求一般解．
解：
因?yàn)樵鰪V矩陣
………3分
所以當(dāng)=
-2時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解，且一般解為：
是自由未知量)
…………5
4．當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組
有解？并求一般解．
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
……3分
當(dāng)=3時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解，且一般解為：
是自由未知量)。
…………5分
5．求線性方程組的一般解。
解：
因?yàn)橄禂?shù)矩陣
……3分
所以一般解為
（其中，是自由未知量）。
.......................……5分
6．設(shè)齊次線性方程組
問(wèn)取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解.
解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣
A
=
……3分
所以當(dāng)l
=
5時(shí)，方程組有非零解.
且一般解為：
（其中是自由未知量）。
.......................……5分
7．設(shè)線性方程組
，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.
解
因?yàn)?/p>
.......................……3分
所以
r(A)
=
2，r()
=
3.
又因?yàn)閞(A)
<
r()，所以方程組無(wú)解。
.......................……5分
8．求下列線性方程組的一般解。
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
.......................……3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）
.......................……5分
9．設(shè)線性方程組討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程組無(wú)解，有惟一解，有無(wú)窮多解。
.......................……3分
所以當(dāng)且時(shí)，方程組無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；
當(dāng)且時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。.
......................……5分
10．當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組
有解？并求一般解.
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
................…3分
所以當(dāng)=0時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解，且一般解為：
是自由未知量〕。
......................……5分
11．已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為
問(wèn)取何值時(shí)，方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組的一般解。
解：當(dāng)=3時(shí)，，方程組有解.
當(dāng)=3時(shí)，..............…3分
一般解為，
其中,
為自由未知量。
.....................……5分
12．當(dāng)為何值時(shí)，方程組有解，并求其通解。
解：
..............…3分
當(dāng)，同解方程組為令，
令
....................……5分
13.
設(shè)線性方程組為，問(wèn)：、取何值時(shí)，方程組無(wú)解、
有惟一解、有無(wú)窮多解？
在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。
解：
..............…2分
當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解
當(dāng)，時(shí)，方程組無(wú)解
當(dāng)，時(shí)，=＝2<3，方程組有無(wú)窮多組解,
其通解為，為任意常數(shù)。
....................……5分
14.線性方程組為
，問(wèn),各取何值時(shí)，線性方程組無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。
解：
..............…3分
當(dāng)2時(shí)，方程組有唯一解
當(dāng)2，1時(shí)，方程組無(wú)解
當(dāng)2，1時(shí)，＝2<3，方程組有無(wú)窮多組解,其通解為
(為任意常數(shù))。
....................……5分
15．已知是齊次線性方程組的一個(gè)解，試求方程組的一個(gè)包含的基礎(chǔ)解系。
解：，，..............…2分
令，得方程組的兩個(gè)解為：，，
從而所求基礎(chǔ)解系即為和。
..............…5分
16．求解線性方程組。
解
：將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即
， ..............…3分
因?yàn)?/p>
，r(`A)
=
r(A)
=
3，所以，方程組有解．
一般解為:
(x4是自由未知量)。
..............…5分
17．設(shè)線性方程組
試問(wèn)c為何值時(shí)，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。
解：因?yàn)?/p>
..............…2分
所以當(dāng)c
=
0時(shí)，方程組有解．且
..............…3分
所以，原方程組的一般解為：
（x3是自由未知量）。
..............…5分
18．試討論a取什么值時(shí)，線性方程組有解，并求出解。
解：
..............…3分
當(dāng)時(shí)，方程組有解，解為
..............…5分
19．試討論a取什么值時(shí)，線性方程組有解，并求出解。
..............…3分
當(dāng)時(shí)，方程組有解，解為
..............…5分
20．設(shè)為４階矩陣，且，試問(wèn)的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)。
解：，，又因?yàn)椋措A矩陣，故中至少有一個(gè)３階子式不為０，則中至少有一個(gè)非零元素，則，
..............…2分
又，所以，
..............…4分
從而有，故的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為4-1=3個(gè)。..............…5分
二、證明題（每題5分）
1.
設(shè)是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：也是
的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
證明：是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，都是的解，且線性無(wú)關(guān)，從而都是的解，…………….2分
設(shè)
即
由線性無(wú)關(guān)，得，，
僅有零解，
從而線性無(wú)關(guān)，
也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！?5分
2．證明方程組有解的充要條件是。
證明：……3分
方程組有解，即，即…………5分
3．設(shè)n階矩陣可逆，
證明：線性方程組
無(wú)解。
證明：線性方程組的系數(shù)矩陣為，因?yàn)榫仃?，所以?/p>
…………….2分
又因?yàn)樵摲匠探M的增廣矩陣為，而是可逆的，，
…………….4分
從而系數(shù)矩陣的秩<增廣矩陣的秩，所以非齊次線性方程組無(wú)解。………….5分
4．設(shè)實(shí)數(shù)域上的線性方程組，證明：
（1）如果，則方程組有惟一解；
（2）如果則方程組無(wú)解；
（3）如果則方程組有無(wú)窮多解。
證明：（1）令，，
因?yàn)?，，從而方程組有惟一解，由克萊姆法則得其解為：
；
（2），從而方程組無(wú)解；
（3），從而方程組有無(wú)窮多解。………….5分
5．
證明：含有n個(gè)未知量n+1個(gè)方程的線性方程組
若有解，則行列式
證明：易知方程組的系數(shù)矩陣為矩陣，所以，又因?yàn)樵摲驱R次線性方程組有解，所以必須滿足關(guān)系式：增廣矩陣的秩，而增廣矩陣為階方陣，且，。
………….5分
6．設(shè)是矩陣，是矩陣，證明線性方程組，當(dāng)時(shí)，必有非零解。
證明：是矩陣，是矩陣，且
，，
，由，得，
而是，所以當(dāng)時(shí)，必有非零解。
……………….5分
7．已知行列式，證明方程組無(wú)解。
證明：由題設(shè)知方程組的增廣矩陣的秩，
……………….2分
而系數(shù)矩陣是矩陣，，
……………….4分
故，方程組無(wú)解。
……………….5分
8．設(shè)是階矩陣，若存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，
且，證明：向量組是線性無(wú)關(guān)的。
證明：設(shè)有常數(shù)，使得，
上式左乘，，得，………….3分
以此類推，分別左第乘，得，
故向量組線性無(wú)關(guān)。
……………….5分
9．設(shè)是矩陣，，且有惟一解，證明：為可逆矩陣，且的解為。
證明：有惟一解，僅有零解，故，
即為可逆矩陣，
……………….3分
于是由，得，所以。
……………….5分
10．設(shè)是矩陣，且,若滿足,證明:。
證明：設(shè)，其中為維列向量，，
，故線性無(wú)關(guān)，
由于，即=，
……………….3分
所以，由于線性無(wú)關(guān)，
故，所以。
……………….5分
綜合應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題8分）
1.設(shè)線性方程組，
討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有惟一解？有無(wú)窮多解？（不必求解）
解：……5分
當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；
當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解
………….……8分
2.設(shè)線性方程組，
討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？（不必求解）
解：……5分
當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；
當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解
………….……8分
3.設(shè)線性方程組，
討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？（不必求解）
解：因?yàn)閷?duì)線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
所以，當(dāng)時(shí)，，方程組有唯一解。……………..5分
而當(dāng)時(shí)，由上面的結(jié)果可知：
所以，當(dāng)且時(shí)，，方程組無(wú)解；
當(dāng)且時(shí)，，方程組有無(wú)窮多解?！?8分
4.
設(shè)線性方程組，
討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？（不必求解）
解：對(duì)線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，
…………………
5分
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有唯一解；
當(dāng)且時(shí)，因?yàn)椋苑匠探M無(wú)解；
當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解?！?8分
5.
當(dāng)，為何值時(shí)，線性方程組
有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解？（不必求出解）
解：對(duì)方程組系數(shù)的增廣矩陣施行初等行變換：
…….5分
由階梯形矩陣可見(jiàn)：
(1)當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)方程組有唯一解;
(2)當(dāng)且時(shí)，，，故此時(shí)方程組無(wú)解;
(3)當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)方程組有無(wú)窮多解.…….8分
6當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組
有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解？在有解時(shí)，求出方程的通解。
解：
設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換
=
…….…….4分
當(dāng)a=－3時(shí)，
方程組無(wú)解。
當(dāng)a－3且a2時(shí)，
方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為
，
則方程組的解為。
…….…….6分
當(dāng)a=2時(shí)，
方程組有無(wú)窮多個(gè)解。此時(shí)梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為
則方程組的解為 ?。╟為任意常數(shù)）?！ ?…….8分
7.
求線性方程組的全部解(用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).解：
….……5分
全部解為：…8分
8.
的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：5分
全部解為：
………8分
9．求線性方程組的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換得：
，
…………………………5分
令自由未知量，，得方程組的一個(gè)特解：，
令分別?。海?，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：
；
所以，方程組的全部解為：
（其中、為任意常數(shù)）?！?分
10.
求線性方程組的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：對(duì)線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，…………..5分
令自由未知量，，，得到一個(gè)特解
，
再取分別為，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：
，
所以方程組的全部解為
，（為任意常數(shù)）….8分
11.
用基礎(chǔ)解系表示線性方程組的全部解。
解：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為，對(duì)其增廣矩陣作初等變換，得：
………………..
5分
原方程組同解于，取得方程組一個(gè)特解。
導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣可化為，
導(dǎo)出組與方程組同解，
取，得基礎(chǔ)解系：。
故原方程組的全部解為:，（為任意系數(shù)）……..8分12．已知方程組(Ⅰ)
的解都是方程組
(Ⅱ)
的解，試確定。
解：=，
于是得方程組(Ⅰ)的全部解：
，…………..3分
將代入(Ⅱ)的導(dǎo)出組得，
將代入(Ⅱ)得，
解此四式得。
…………..8分
13．已知非齊次線性方程組
有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，
(1)證明此方程組的系數(shù)矩陣的秩為2.
(2)求的值和方程組的通解.
解:(1)
設(shè)a1,a2,a3是方程組的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,則a2-a1,a3-a1是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.于是的基礎(chǔ)解系中解的個(gè)數(shù)不少于2,即,從而,
又因?yàn)榈男邢蛄渴莾蓛删€性無(wú)關(guān)的,所以,
兩個(gè)不等式說(shuō)明.
(2)對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換:
…………..3分
由,得出,代入后繼續(xù)作初等行變換:
…………..5分
得同解方程組,
得到方程組的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,
c1,c2為任常數(shù).
…………..8分
14．設(shè),.討論為何值時(shí),方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解?
并在有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解.
解：經(jīng)計(jì)算
因此方程組有唯一解
…..……..2分
時(shí)，對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因
，即時(shí)無(wú)解。
…..……..5分
時(shí)，同樣對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因，所以時(shí)有無(wú)窮多解。等價(jià)方程組為:
得通解為：，（為任意系數(shù)）
…..……..8分
15．已知線性方程組
，試討論：
(1)取何值時(shí)，方程組無(wú)解；
(2)取何值時(shí),方程有唯一解，并求出其解；
(3)取何值時(shí),方程有無(wú)窮多解，并求出其通解。
解：
(1)時(shí)，
，無(wú)解；
…..……..2分
(2)時(shí)，，唯一解
.……..5分
(3)時(shí)，，無(wú)窮多解,
通解。
…..……..8分
16．已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無(wú)關(guān),如果,求方程組的通解。
解：令，則由
得，
將代入上式，整理后得，
由線性無(wú)關(guān)，知，
…..……..5分
解此方程組得，其中k為任意常數(shù)。
…..……..8分17．已知線性方程組解：，討論取何值時(shí)，方程無(wú)解；有惟一解；有無(wú)窮多解（不必求解）。
解：
…..……..4分
由于方程有解0，1，
故得時(shí)有惟一解；
時(shí)有無(wú)窮多解；
時(shí)無(wú)解。
…..……..8分
18．設(shè)線性方程組為：，試討論下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)取什么值時(shí)，線性方程組有唯一解？
（2）當(dāng)取什么值時(shí)，線性方程組無(wú)解？
（3）當(dāng)取什么值時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求其解．（要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解）。
解
：線性方程組的系數(shù)行列式為
…..……..2
（1）當(dāng)，即且時(shí)，線性方程組有唯一解；
…..……..4分
（2）當(dāng)時(shí)，，線性方程組無(wú)解；….…..
6分
（3）當(dāng)時(shí)
線性方程組有無(wú)窮多解，且其通解為。
…..……..8分
19．設(shè)線性方程組，已知是該方程組的一個(gè)解，求方程組的全部解。
解：將代入方程組中得，
…..……..2分
…..……..4分
當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，此時(shí)
，
方程組的全部解為：（c為任常數(shù)），
…..……..6分
當(dāng)時(shí)，，于是，故方程組有無(wú)窮多解，
全部解為：。
…..……..8分
20．求一齊次線性方程組，使，構(gòu)成它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
解：顯然，所求的方程組是一個(gè)5元線性方程組，且，
另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程組的解，且該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為，故只要求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則以為系數(shù)矩陣的方程組即滿足要求，為此對(duì)矩陣施行初等行變換，得
，
…..…….
4分
由此得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：，
…..…….
6分
故所求的線性方程組為，即。
…..…….
8分
二、證明題（每題8分）
1．已知三階矩陣且的每一個(gè)列向量都是方程組的解，
求
(1)的值；(2)證明。
(1)解：由得中至少有一非零列向量，
的每一個(gè)列向量都是方程組的解，所給齊次方程組有非零解，則它的行列式
，。
………………..
4分
(2)證明：（反證法）若設(shè)，則可逆，因此由題意
與矛盾，所以。
………………..
8分
2．已知方程組，若互不相等，證明方程組無(wú)解。
證明：由于增廣矩陣的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，
故，
……....…4分
則,而系數(shù)矩陣為矩陣,，，方程組無(wú)解…8分
3．設(shè)有兩個(gè)n元齊次線性方程組，。證明：
（1）若的解都是的解，則；
（2）若與同解，則。
證明：（1）由條件知的解空間是的解空間的子空間，因此的解空間的維數(shù)不大于的解空間的維數(shù)，即，于是；
…………….4分
（2）由條件知的解空間與的解空間是同一空間，因而該空間的維數(shù)為
，由此即得。
…………….8分
4．已知非齊次線性方程組
有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，
（1）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；
（2）求的值及方程組的通解。
解：（1）設(shè)是非齊次方程組三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，
令，則是其導(dǎo)出組的兩個(gè)解
設(shè)即
因線性無(wú)關(guān)，所以必有，
即由此得線性無(wú)關(guān)，
因?yàn)閷?dǎo)出組至少有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，所以其基礎(chǔ)解系至少包含兩個(gè)解，故，由此得；
另一方面，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣
存在2階不等于零的子式，
所以，，綜上所述，即得。
…………….4分
（2）因非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，
由（1）得,故增廣矩陣
的秩也為2，
用初等行變換把上述矩陣化為階梯形
由此得?????，即
利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組
即
由此得通解為
：，其中為自由未知數(shù)。
…………….8分
5．設(shè)方程組(1)
及方程組(2)，
其中，證明：方程組(1)有惟一解的充要條件是方程組(2)有惟一解。
證明：記方程組(1)和方程組(2)的系數(shù)矩陣分別為，并令，
則有，即有，于是，若方程組(1)有惟一解，則，即，從而，所以方程組(2)有惟一解?！ ?４分
反之若方程組(2)有惟一解，則，即可逆，所以，若，則，從而由的定義知，因此，矛盾，故，所以方程組(1)有惟一解。
…………….8分
發(fā)展應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題10分）
1．設(shè)有兩個(gè)四元齊次方程組(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
（1）線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系；
（2）求方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。
解：（1）．方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣，
則得(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為：和；..............…3分
（2）．由（1）的結(jié)果，方程組(Ⅰ)的一般解為：,
若兩個(gè)方程組有公共解，將上式代入方程組(Ⅱ)中，必有，得，
所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解為：
?！ ?.............…10分
2．已知非齊次線性方程組，
；
（1）
求解方程組，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；
（2）
同解，求的值。
解：（1）設(shè)組（I）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，對(duì)作初等行變換，得：
，
因，故（I）有無(wú)窮多解，
且通解為，為任意常數(shù)?！?5分
（2）將通解代入組（II）第一個(gè)方程，得到：
，即，
由得任意性，得。
將通解代入組（II）第二、三個(gè)方程，分別得到。
因此，。
…….…………10分
3．設(shè)非齊次線性方程組有3個(gè)解向量，，求此線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，并求其通解。其中為常數(shù)。
解：設(shè)所給方程為，由題設(shè)可知是的3個(gè)解，因此
，是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故，
又中有2階子式，因此，
所以，
…………….5分
由于，所以，是的基礎(chǔ)解系，因此可得線性方程組
的通解為：
（其中為任意常數(shù)）。
…….…………10分
4．設(shè)四元線性齊次方程組，又已知某線性齊次方程組的通解為
，
（1）求線性方程組的基礎(chǔ)解系；
（2）問(wèn)線性方程組，是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解，若沒(méi)有，則加以證明。
解：（1）的系數(shù)矩陣為
通解為。
…….…………4分
（2）將的通解代入中，則有，得，當(dāng)時(shí)，則向量滿足方程組，，
故方程組，有非零的公共解，所有非零公共解是。
…….…………10分
5．
已知齊次線性方程組
其中
試討論和b滿足何種關(guān)系時(shí)，
(1)
方程組僅有零解；
(2)
方程組有非零解.
在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
解：
方程組的系數(shù)行列式
=，
…….…………4分
（1）當(dāng)時(shí)且時(shí)，r
(A)=
n，方程組僅有零解；
…….…………6分
（2）當(dāng)b=0
時(shí)，原方程組的同解方程組為：，
由可知，不全為零.
不妨設(shè)，
得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為
，，,
當(dāng)時(shí)，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為
由此得原方程組的同解方程組為:，，
.
原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：。
…….…………10分
6．設(shè),
,
,
,
試討論當(dāng)為何值時(shí),
(1)不能由線性表示；
(2)可由唯一地線性表示,
并求出表示式；
(3)可由線性表示,
但表示式不唯一,
并求出表示式。
解：設(shè)有數(shù)使得
(*)
記.
對(duì)矩陣施以初等行變換,
有
…….…………2分
(1)當(dāng)時(shí),
有
.
可知,故方程組(*)無(wú)解,
不能由線性表示；
…….…………4分
(2)當(dāng),
且時(shí),
有
,方程組(*)有唯一解：,
,
．
此時(shí)可由唯一地線性表示,
其表示式為：；……………7分
(3)當(dāng)時(shí),
對(duì)矩陣施以初等行變換,
有
，
,方程組(*)有無(wú)窮多解,其全部解為:
,
,
，
其中為任意常數(shù)．
可由線性表示,
但表示式不唯一, 其表示式為：
。
…….…………10分
7．設(shè)有齊次線性方程組
試問(wèn)取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解
解：方程組的系數(shù)行列式為
當(dāng)，即或時(shí)，方程組有非零解
…….…………4分
當(dāng)時(shí)，
故方程組的同解方程組為：
由此得基礎(chǔ)解系為，
于是方程組的通解為：，其中為任意常數(shù)
.…7分
當(dāng)時(shí)，
故方程組的同解方程組為：
，由此得基礎(chǔ)解系為
于是方程組的通解為：，其中k為任意常數(shù)。
…….…………10分
8．已知3階矩陣的第一行是不全為零，矩陣B＝（k為常數(shù)），且，求線性方程組的通解
解：（1）如果，則,由知，因此，
所以的通解是：，其中為任常數(shù)；
…….……5分
（2）如果k
=9，則,那么，或2
若,則的通解是，其中t為任常數(shù)，
若,對(duì)，設(shè)，
則方程組的通解是，其中為任常數(shù)。
…….…………10分
9．已知線性方程組
（Ⅰ）
的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，，，，試寫出線性方程組（Ⅱ）的通解。
解：方程組（Ⅰ），（Ⅱ）的系數(shù)矩陣分別記為，則由題設(shè)可知，于是，可見(jiàn)的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量為（Ⅱ）的n個(gè)解向量，
由于的秩為n，故（Ⅱ）的解空間維數(shù)為，…….…………5分
又的秩為2n與（Ⅰ）的解空間維數(shù)之差，即為n，故的n個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成（Ⅱ）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是得到（Ⅱ）的通解：
，
其中為任意常數(shù)。
…….…………10分
10．求以為解向量的齊次線性方程組。
解：因?yàn)椋?/p>
所以的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是，
…….…………3分
作矩陣，
易得線性的基礎(chǔ)解系由決定，
取自由未知量得一基礎(chǔ)解系為，6分
于是所求方程組的系數(shù)矩陣為，
所求的齊次線性方程組為。
…….…………10分
二、證明題（每題10分）
1．已知平面上三條不同直線的方程分別為
試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為。
證明：必要性：
設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組
有惟一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，
于是，由于
但根據(jù)題設(shè)，故；
………….5分
充分性：
由，則從必要性的證明可知，，故秩()<
3
由于
故秩(A)=2，于是，秩(A)=
秩()=2,
因此方程組（*）有惟一解，即三直線交于一點(diǎn)。
………….10分
2．設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明：線性無(wú)關(guān)。
證明：（反證法）假設(shè)線性相關(guān)，則必存在一組不全為零的數(shù)，使，
即有，
設(shè)，則，否則由上式知線性相關(guān)，因而與基礎(chǔ)解系矛盾。所以， ………….5分
于是有，從而與是非齊次線性方程組的一個(gè)解矛盾，因此所給向量組是線性無(wú)關(guān)的?！ ?10分
3．設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，向量滿足，證明：向量組線性無(wú)關(guān)。
證明：設(shè)數(shù)，使，
即
…………….3分
假設(shè)，則可由線性表示，
即是方程的解，與題設(shè)矛盾，
因此，，
…………….7分
然后由線性無(wú)關(guān)，得，
所以向量組線性無(wú)關(guān)。
…………….10分
4．設(shè)為實(shí)矩陣，是維實(shí)列向量，證明：
（1）秩；
（2）非齊次線性方程組有解。
證明：（１）先證與是同解方程組，
因?yàn)槿羰堑慕猓?，則，
所以的解都是的解，
當(dāng)是的解時(shí)，即，由，
可知，故的解都是的解，
因此與是同解方程組，
由此，可知它們的基礎(chǔ)解系含個(gè)解，故秩；….5分
（2）由可知
，
因此，故非齊次線性方程組有解?！?10分
5．證明：方程組（其中均為整數(shù)）只有零解。
證明：方程組的系數(shù)行列式為，
若令，則由于均為整數(shù)，得也均為整數(shù)
為整數(shù)，，所以方程組有惟一解，即只有零解?！ ?10分
第三篇：高等數(shù)學(xué)(二)第一分冊(cè)線性代數(shù)P23習(xí)題解答
P.23 §1.1 習(xí)題解答
1、求下列行列式中元素a12，a31，a33的余子式及代數(shù)余子式：
2?103?11001751（ⅱ）（?。?
?1?1?1解：M4212??1?A2424212?(?1)1??1?1???1?1
M?1031?12
A?1)3?1?10?1031?(12?12
M2?133?41
A?(?1)3?32?12?13341?412、用定義計(jì)算行列式：
123（?。?1
2231123解：312?12?232?331 231312123??5?2?21?18
23?31001?2115 解：M12?2?31
01?211 A12??2?31
01?2?107
M31?015 01?2?107
A31?015 01?23?17
M33?105 00?23?17
A33?105 00?21?12（ⅱ）03?1 ?22?41?12解：03?1 ?22??3?10?102?4??2?4?2?232?0
1210210300?1300?1?1212212?1?1000210021?1210021?110000 ?1（ⅲ）1?100
1?1解：1?1001?201?301?0?120?12?(?2?1)?2?1?3?2?(?1)??3?2?6?1?0 10***30***405132（ⅳ）405100?12
10解：405100?12?0?12?002?200?1?10?8?2?4??6
3、用定義計(jì)算下列行列式，再按第二列或第三列展開(kāi)，比較所得到的值是否相同
?123213?12503211403（?。?1
2（ⅱ）11
1（ⅲ）
0?11100101223???(?1)?1?0 解：（?。?12??1112?11121?1
（ⅱ）111?11001213?12341?1
?12540（ⅲ）***?1??41?1??(31?113?42013?201?1)
??(3?4?4?6?2)?14
4、用定義計(jì)算下列行列式
13?2281（?。?3?96
（ⅱ）057 1175001aa2a31aa2（ⅲ）bb2b3
（ⅳ）1bb2
cc2c31cc213?2解：（?。?3?96??96?33?2?113?2??87?87?0?011757575?96281
（ⅱ）057?257?10 00101aa2a33
（ⅲ）bb2b3?ab2ba32a3c2c3c2c3?ba2c2c3?cab2b3
c
?a(b2c3?c2b3)?b(a2c3?a3c2)?c(a2b3?a3b2)
?abc(a?b)(b?c)(c?a)
1aa22
（ⅳ）1bb2?bba2aa2cc2?acc2?bb2
1cc2
?(bc2?b2c)?(ac2?a2c)?(ab2?a2b)
?(a?b)(b?c)(c?a)
第四篇：線性代數(shù)習(xí)題答案
習(xí)題 三（A類）
1.設(shè)α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)
2.設(shè)3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)
=(1,2,3,4)3.（1）×
（2）×
（3）√
（4）×
（5）×
4.判別下列向量組的線性相關(guān)性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無(wú)關(guān)；（2）線性相關(guān)；（3）線性無(wú)關(guān)；（4）線性相關(guān).5.設(shè)α１,α２,α3線性無(wú)關(guān)，證明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也線性無(wú)關(guān).證明：設(shè)
k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，即
(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.由?1,?2,?3線性無(wú)關(guān)，有
?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3線性無(wú)關(guān).6.問(wèn)a為何值時(shí)，向量組
?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a)
'''線性相關(guān)，并將?3用?1,?2線性表示.13?1223?7(5?a),當(dāng)a=5時(shí)，?3?a117解：A?23?1?17?2.7.作一個(gè)以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無(wú)關(guān), 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個(gè)行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，?1?10）線性無(wú)關(guān)，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個(gè)行向量.所以方陣可為??1??10?10010000??0?.0??1?
8.設(shè)?1,?2,?,?s的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng)?1,?2,?,?r線性表出.證明：?1,?2,?,?r為?1,?2,?,?s的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.【證明】若
?1,?2,?,?r
(1)線性相關(guān)，且不妨設(shè)
?1,?2,?,?t(t (2)是(1)的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則顯然（2）是?1,?2,?,?s的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，這與?1,?2,?,?s的秩為r矛盾，故?1,?2,?,?r必線性無(wú)關(guān)且為?1,?2,?,?s的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.9.求向量組?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.【解】把?1,?2,?3按列排成矩陣A，并對(duì)其施行初等變換.?1?1A???1??k11k11??1??20????01???1??01??1??010????0k?10???1?k1?k??011??1??010????0k?10???01?k??011k?1001??0? 1??0?當(dāng)k=1時(shí)，?1,?2,?3的秩為2,?1,?3為其一極大無(wú)關(guān)組.當(dāng)k≠1時(shí)，?1,?2,?3線性無(wú)關(guān)，秩為3，極大無(wú)關(guān)組為其本身.10.確定向量?3?(2,a,b),使向量組?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3與向量組?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3線性表出.【解】由于 ?0?A?(?1,?2,?3)?1???1?1?B?(?1,?2,?3)?1???01211111??1??0?0????1???02??1??a?0???b???01102?100???1;?0??2??,b?a?2?? 而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又 ?0?c?(?1,?2,?3,?3)?1???112110?12??1??a?0???b???0210010?? ,2?b?a?2??a要使?3可由?1,?2,?3線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時(shí)滿足題設(shè)要求，即?3=(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)； (3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣Α，應(yīng)用初等行變換將Α化為最簡(jiǎn)形矩陣B，則 11??1 0 ??1 4 1???1 4 1??1 4 1?9?????5?????0 1 ?2 ?1 ?30 ?9 ?55????????A??9???0 1 ??B ?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5?9?0 0 0???????0 0 0?????0 0 0??3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??????0 0 0?5可知：R（?。?R（B）=2，B的第1，2列線性無(wú)關(guān)，由于Α的列向量組與B的對(duì)應(yīng)的列向量有相同的線性組合關(guān)系，故與B對(duì)應(yīng)的Α的第1，2列線性無(wú)關(guān)，即α1,α2是該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.（2）同理，? 6 1 1 7??0-11 55 7??1 2-9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10-11 55 7??????? 1 2-9 0???1 2-9 0???0-8 40 1?????????1 3-6 ?10 5-15-10 5-15-1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2-9 0?7?0 1-5-?11?45?0 0 0-11??240 0 10 ?11??0 0 0 0????1 2-9 0??1 0 0 0???????0 1-5 00 1 0 0????????0 0 10 0???0 0 1 0??B?????0 0 0 10 0 0 1??????0 0 0 0??0 0 0 0????????? 可知R(Α)=R(B)=4,Α的4個(gè)列向量線性無(wú)關(guān),即α1,α2,α3,α4是該向量組的極大無(wú)關(guān)組.(3)同理，?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0-4-4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取線性無(wú)關(guān)組α1,α3,α5為該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.12.求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用此極大無(wú)關(guān)組線性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成Α,應(yīng)用初等行變換化為最簡(jiǎn)形式.3??1 0 1?1-1 5-1????1-1 5-1??1-1 5-1?2????7??????1 1-2 30 2-7 47??????0 1-2 2???0 1-2??B, A?????3-1 8 1??0 2-7 4?2?0 0 0 0???????0 0 0 0?????0 0 0 0??1 3-9 7??0 4-14 8 ??0 0 0 0?????可知,α1,α2為向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.?x1?x2?5?37?x1?x2??2設(shè)α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2?? 22?3x1?x2?8?x?3x??9?12?x1?x2??1??x1?x2?3設(shè)α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2 ?3x1?x2?1?x?3x?7?12所以a3?32a1?72a2,a4?a1?2a2.?1 1 1 4-3??1 1 1 4-3??1 0 2 1-2???????1-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1????????B(2)同理, A???2 1 3 5-5??0-1 1-3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0??????可知, α 1、α2可作為Α的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，令α3=x1α1+x2α?x1?x2?1可得：?即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, x?x?3?12?x1?x2?4可得：?即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, ?x1?x2??2?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αx?x??1?122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.設(shè)向量組?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能經(jīng)?1,?2,?,?s線性表出.證明?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s等價(jià).【解】設(shè)向量組 ?1,?2,?,?m (1)與向量組 ?1,?2,?,?s (2)的極大線性無(wú)關(guān)組分別為 ?1,?2,?,?r (3)和 ?1,?2,?,?r (4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即 r?i??aj?1ij?j(i?1,2,?,r).因（4）線性無(wú)關(guān)，故（3）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價(jià)，再由它們分別同（1），（2）等價(jià)，所以（1）和（2）等價(jià).14.設(shè)向量組α1,α2,…,αs的秩為r1,向量組β1,β2,…,βt的秩為r2,向量組α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩為r3,試證: max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.證明：設(shè)αs1,…，?Sr1為α1,α2,…，αs的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組, βt1,βt2,…,?t為β1，r2β2,…,βt的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.μ1，…，?r為α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一 3個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，則α s1，…，?S和βt1，…，β r1tr2 可分別由μ1，…，?r線性表示，所 3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r可由α 3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2線性表示及線性無(wú)關(guān)性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量組α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡(jiǎn)形式： ?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,從而1+3a=0，即a=- 13.16.求下列矩陣的行向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.?25?75(1)??75??***42043??1??1320?； (2)??2134???48??11201213025?141???1?.3???1???1????2【解】(1)矩陣的行向量組??的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為?1,?2,?3; ??3?????4???1????2(2)矩陣的行向量組??的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為?1,?2,?4.??3?????4?17.集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否構(gòu)成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設(shè)??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)則 ????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).因?yàn)?/p> (x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空間.18.試證：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把?1,?2,?3排成矩陣A=(?1,?2,?3),則 1A?1010101??2?0, 1所以?1,?2,?3線性無(wú)關(guān)，故?1,?2,?3是R3的一個(gè)基，因而?1,?2,?3生成的向量空間恰為R3.19.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因?yàn)榫仃?/p> A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01112343411214??1??50????06???4??01?1023?2041?1114??1???30????02???4??01?1003?2001?1104???3 ?,2??0?∴?1,?2,?4是一組基，其維數(shù)是3維的.20.設(shè)?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),證明: L(?1,?2)?L(?1,?2).【解】因?yàn)榫仃?/p> A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010112?1330??1??10????0?1????1??01?1002?3000??1 ?,0??0?由此知向量組?1,?2與向量組?1,?2的秩都是2，并且向量組?1,?2可由向量組?1,?2線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價(jià)，從而?1,?2也可由?1,?2線性表出.所以 L(?1,?2)?L(?1,?2).21.在R3中求一個(gè)向量?，使它在下面兩個(gè)基 (1)?1?(1,0,1),(2)?1?(0,?1,1),?2?(?1,0,0)?2?(1,?1,0)?3?(0,1,1)?3?(1,0,1) 下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)?在兩組基下的坐標(biāo)均為(x1,x2,x3)，即 ?x1??x1???????(?1,?2,?3)x2?(?1,?2,?3)x2,???????x3???x3???1?0???1?1000??x1??0????1x2??1????1????1?x3???1?101??x1????0x2???1????x3?? 即 ?1?1???0?210?1??x1????x?0, 1??2?0????x3??求該齊次線性方程組得通解 x1?k,x2?2k,x3??3k (k為任意實(shí)數(shù))故 ??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).22.驗(yàn)證?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)為R3的一個(gè)基，并把?1?(5,0,7), ?2?(?9,?8,?13)用這個(gè)基線性表示.【解】設(shè) A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2)，又設(shè) ?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3, 即 ?x11?(?1,?2)?(?1,?2,?3)x21???x31x12??x22, ?x32??記作 B=AX.則 ?1?(A?B)??1???0?1?0???***?2507?9??r2?r1???8????13???1?0???0233?1?0???0342010557001?9?r2?r3????17?r?2?r3??13??23?13???3??2???9??作初等行變換??13???????4?? 因有A?E,故?1,?2,?3為R3的一個(gè)基，且 ?2?(?1,?2)?(?1,?2,?3)3????13???3, ??2??即 ?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.（B類） 1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0 7.設(shè)向量組α1,α2,α3線性相關(guān),向量組α2,α3,α4線性無(wú)關(guān),問(wèn):(1)α1能否由α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.(2)α4能否由α1,α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.解：(1)由向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，知向量組α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4線性無(wú)關(guān)，所以α2, α3線性無(wú)關(guān)，故α2, α3是α1, α2, α3的極大線性無(wú)關(guān)組，所以α1能由α2, α3線性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3線性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的極大線性無(wú)關(guān)組,所以α4可由α2，α3線性表示.與α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1線性相關(guān),但其中任意 n個(gè)向量都線性無(wú)關(guān),證明:必存在n+1個(gè)全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使 k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.證明:因?yàn)棣?，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0 n+1=0，由任意 n+1線性相關(guān)，所以存在不全為零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，則k2α2+…+kn+1αn個(gè)向量都性線無(wú)關(guān)，則k2=…=kn+1=0,矛盾.從k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1個(gè)全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.設(shè)A是n×m矩陣,B是m×n矩陣,其中n＜m,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無(wú)關(guān).證明：由第2章知識(shí)知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小結(jié)所給矩陣秩的性質(zhì)，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無(wú)關(guān). 綜合練習(xí)一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er?2,s?5,t?8或r?5,s?8,t?2或r?8,s?2,t?5.01Fi?2,j?1.01G?12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序數(shù)為k2;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),排列為偶排列,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),排列為奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)?(aa1222a13a1411?a22?a33?a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x?18.01Nf?(x)g?(x)s?(x).01O?1.f??(x)g??(x)s??(x)02AB、D.02B?3.02C6.02Dx?0,?1,?2.02E(?1)n?1(n?1)xn.02F(12?13?????1)n!.02G(?1)n(n?1)2nn?1(n?1)n.2.02H(?1)n?1(na?x)xn?1.02I(?1)n[(??1)n??n].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa?0,b?0.4403G?1,?3.03Ha?bii03If(x)?2x2?3x?1.i?1i?1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1?a?a2)(1?a)3.04Bn?1.04Cx1x2...xn?1(1?a1x1?a2x2?...?anxn).04Dx1x2...xn[1?a(1x?1?...?1.1x2xn)]04E(x?1)n..49.04F1?(?1)a1?(?1)2a2an1?...?(?1)anan?1...a2a1?n04G?(n?1)?當(dāng)a??,??n?1??n?1?????當(dāng)a??.05A0.05B?1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H?9,18.06An!(n?1)!(n?2)!...2!1!.06B?(cos?).4ij1i?cos?j07A(1?x)2(10?x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E?2.08Fa?0且b??b/4.08Gf(x)?2x2?3x?1.08H甲、乙、丙三種化肥各需3千克,5千克,15千克.綜合練習(xí)二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a?2n).01N(A?B)(A?B).01S(2)A2?49(A2?E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(?1)n?1n?1k2(n?1)!.(2)(?1)n?1n!(k?1,2,?,n).01V兩年后在崗職工668人,培訓(xùn)人員334人.01W即晴天概率為146256,陰天的概率為6248256,下雨天的概率為256.?xn?x4??260?01X??1??y???023/2??1/200????xn?.???y?n?1??n??y?????zn?1?????01/40?????zn???4??236??z???22?4???01?2102A498?22?42??.02B2n?1??02??42???01?21??.02C???2?22???02?42???22?2??.??1nn(n?1)???2.4n?14n00?02D?2???01n??.02E?n?1n?1?42.400??????001???002nn.2n?1??.?0002n??.50.?100?02FA?????200??6?1?.由于A5?A.?1???1000?03A(1)(?1)n?11(2)???1200??n!A.?0?230?.?00?34??(3)?A?6E.(4)12(E?B).(5)B??(E?2A)?1.?10103BB????5?10??E.03D?1??211??.03C(2)A2?A??5(A?2E).03EA?1?1(A?3E).(A?4E)?1110?6(A?E).03FB?1??114(5A2?3A?E).03G(EA?BA)?1?B(E?AB)?1B?1.03HB?1?110(A2?3A?4E).03I(E?AB)?1?E?A(E?BA)?1B.??1000?1/21/200??03NA?1???????0??03O1?122??????21?2??.??1/2?1/61/39?1/8?5/24?1/121/4????2?21????00?201?00?34??03P??0??0012?3?????3?1000?????52000??03Q?(A1?A2A?41A3)?1?A?11A2(A4?A3A?11A2)?1????A?1?1?1(A?4A3(A1?A2A4A3)4?A3A?11A2)?1?.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)?1/3;(6)576;(7)3.04B10804F??5?2?1??220??????101??.04G??A??0A(b??TA?1?)???,05AD.05C2.05D當(dāng)a?1且b?2,r(A)?4;當(dāng)a?1且b?2時(shí),r(A)?2;.51.當(dāng)a?1,b?2或a?1,b?2時(shí),r(A)?3.05E當(dāng)c??1,并且a??1或b?0時(shí),r(A)?1;當(dāng)c??1,a??1且b?0時(shí),r(A)?3;當(dāng)c??1,但a??1或b?0時(shí),r(A)?3;當(dāng)c??1,a??1且b?0時(shí),r(A)?2.05F當(dāng)a?b?0時(shí),r(A)?0;當(dāng)a?b?0時(shí),r(A)?1;當(dāng)a?b,且a?(n?1)b?0時(shí),r(A)?n?1;當(dāng)a?b,且a?(n?1)b?0時(shí),r(A)?n.05G11?n.05Hr[(A*)*]???n,如果r(A)?n,?0,如果r(A)?n.??1111???1010?05K??11?1?1???05L??010?4??1?11?1??.??1?1?11???0010???.?0002????2?400???1100?05M???2?200???05N???1220??0022??.???00?12???0?233??.?00?34??05OA.?02?111?06A?1??321???.06B???202??.?030???5?2?2??31?1?06C??4?3?2?06D????22?.3???19/21?3/2?.?21?112???300?1?06E??????020??.06F???21????001????.?1?21??01?21???0?30?06G???00?3??????300?.?.52.綜合訓(xùn)練三01AC.01BB.01CB.01Dt?1.01Ea?2b.01F(1)當(dāng)t?5時(shí),?1,?2,?3線性相關(guān);(2)當(dāng)t?5時(shí),?1,?2,?3線性無(wú)關(guān);(3)?3???1?2?2.01G(1)當(dāng)a?1時(shí),?1,?2,?3線性相關(guān);(2)當(dāng)b?2且a?1時(shí),?可由?i唯一的表出:????1?2?2;當(dāng)b?2且a?1時(shí),?可由?i線性表出:??(?2t?1)?1?(t?2)?2?t?3,其中t是任意常數(shù).02AB.02BC.02C B.02D D.02E t?5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)當(dāng)a??2時(shí),?不能用?1,?2,?3線性表出;(2)當(dāng)a??2且a?1時(shí),?有唯一的表達(dá)式:???a?11(a?1a?2??a?2?)212?a?2?3;當(dāng)a?1時(shí),??(1?k?l)?1?k?2?l?3,?k,l.02J(1)若??0且???3,?可由?1,?2,?3唯一線性表示;(2)若??0,?可由?1,?2,?3線性表示,但不唯一;(3)若???3,?不能由?1,?2,?3線性表示.02K(1)當(dāng)b?2時(shí),?不能由?1,?2,?3線性表出;(2)當(dāng)b?2,a?1時(shí),?可唯一表示為????1?2?2;當(dāng)b?2,a?1時(shí),?可表示為???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3()k為任意常數(shù).02L(1)當(dāng)a??1,b?0時(shí),?不能表示成?1,?2,?3,?4的線性組合;(2)當(dāng)a??1時(shí),?有唯一表示式:???2ba?1?a?b?1b1?a?1?2?a?1?3?0.?402M(1)當(dāng)a??4時(shí),?可由?1,?2,?3唯一線性表出..53.(2)當(dāng)a??4時(shí),?不能由?1,?2,?3線性表示.(3)當(dāng)a??4且3b?c?1時(shí),?可由?1,?2,?3線性表出,但不唯一:??t?1?(2t?b?1)?2?(2b?1)?3(t為任意常數(shù)).02N不等價(jià).03AD.03B1.03C?n.03D(1)R(?1,?2,?3,?4)?2;向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為?2,?4;?1?2(?2??4),?3??2?3?4;(2)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為?1,?3,?5;?2??1?3?5,?4??1??3??5;(3)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為?1,?2,?3;?4??1??2??3,?5??1??2?0.?3.03ER(?1,?2,?3,?4,?5)?3.03Fa?15,b?5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct?1.??x1y11?04D4.04E矩陣?xy??221??????的秩小于3.??xny?n1???1????14????2???22?04F(1)C??????3?,(C?R);(2)k1????7???0??k?0?12?,(k1,k2?R);??2???0?15???????2????3/2????3/4?(3)C??????1??3/2??C2??1???7/4??0?,(C1,C2?R).??0?????1??04G(1)無(wú)解;(2)(1/2,2,?1/2,0)T?k(1/2,0,?1/2,1)T,其中k為任意常數(shù);(3)(514,?3314,0,7)T?k(?1,?1,2,0)T.(k為任意常數(shù));.54.(4)C131(?7,177,1,0,0)T?C(10191112?7,7,0,1,0)T?C3(7,?7,0,0,1)T?(2,?3,0,0,0)T,(C1,C2,C3?R).04H(1)?1,?2,?3是所給方程組的基礎(chǔ)解系.(2)?1,?2,?3不是所給方程組的基礎(chǔ)解系.?1?04I當(dāng)??1時(shí),有解,解為????1????k??1??2??,其中k為任意常數(shù).?0????1??04J(1)當(dāng)??1且???45時(shí),方程組有唯一解;?1?當(dāng)??1時(shí),其通解為????1????k?0??1??,其中k?0???為任意實(shí)數(shù);?1??當(dāng)???45時(shí),原方程組無(wú)解;(2)當(dāng)???2且??1時(shí),方程組唯一解;當(dāng)???2時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)??1時(shí),方程組有無(wú)窮多組解.全部解為???2??????1???k??1???1?0??k???0?12?????0???0?1?,其中k1,k2是任意常數(shù).?04K(1)當(dāng)a?0時(shí),方程組無(wú)解;??x1?2/a,當(dāng)a?0,b?3時(shí),方程組有唯一解:???x2?1,??x3?0;???x1?2/a,當(dāng)a?0,b?3時(shí),方程組有無(wú)窮多解:???x2?1?3t,(t?R).?2??x3?t.(2)當(dāng)a?0或a?0時(shí)b?4,方程組無(wú)解;方程組不可能有唯一解;當(dāng)a?0且b?4時(shí),方程組有無(wú)窮多解.通解是.55.(6,?4,0,0,0)T?k1(?2,1,1,0,0)T?k2(?2,1,0,1,0)T?k3(?6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意實(shí)數(shù).(3)當(dāng)a??1,b?36時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)a??1,a?6時(shí),方程組有唯一解,x(b?36)a?1,x??12?(a?4)(b?36)1?6?2a?1,xb?3623?0,x4?a?1;當(dāng)a??1,b?36時(shí),方程組有無(wú)窮多解,通解為(6,?12,0,0)T?k(?2,5,0,1)T.k為任意常數(shù);當(dāng)a?6時(shí),方程組有無(wú)窮多解,通解是(1(114?2b),?1(12?2b),0,1(b?T77736))?k(?2,1,1,0)T.04L(1)當(dāng)a?b,b?c,c?a時(shí),方程組僅有零解x1?x2?x3?0.(2)當(dāng)a?b?c時(shí),方程組有無(wú)窮多組解,全部解為k1(1,?1,0)T(k1為任意常數(shù)).當(dāng)a?c?b時(shí),方程組有無(wú)窮多組解,全部解為k2(1,0,?1)T(k2為任意常數(shù)).當(dāng)b?c?a時(shí),方程組有無(wú)窮多組解,全部解為k3(0,1,?1)T(k3為任意常數(shù)).當(dāng)a?b?c時(shí),方程組有無(wú)窮多組解,全部解為k4(?1,1,0)T?k5(?1,0,1)T(k4,k5為任意常數(shù)).??2????104M(1)方程組有無(wú)窮多組解,通解為??4???????1??k?(k為任意常數(shù)?5?0????2?).?1??(2)當(dāng)m?2,n?4,t?6時(shí),方程組(I),(II)同解.04Na?2,t?4.04O非零公共解為t(?1,1,1,1)T.(t為任意常數(shù))04P原來(lái)至少要有3121個(gè)桃子,最后還剩下1020個(gè)桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G??1.05H1..56.05I(1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T,其中k是任意實(shí)數(shù).05J(?3,2,0)T?k(?1,1,1)T.(k為任意常數(shù))05K通解為(?9,1,2,11)T?k1(?10,6,?11,11)T?k2(8,4,?11,?11)T05L3m?2n.05M?2.??1/2??0?05N通解為?1/2???1????k???,其中k為任意常數(shù).?0??1????1??1???05O(1)?1可由?2,?3,?4線性表出.(2)?4不能用?1,?2,?3線性表出.?x1??k2t,06A(2)通解是??x2?k2,其中t是任意實(shí)數(shù).??x3?t,06B通解是(a8,4,?2,1)T1?2a2?4a3,a2?2a3,a3,0)T?k(?,其中k是任意實(shí)數(shù).06E方程組的唯一解為(ATA)?1ATb.06L(II)的通解為c1(a11,a12,...,a1,2n)T?c2(a21,a22,...,a2,2n)T?...?cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn為任意常數(shù).綜合練習(xí)四??1/2???1/6????1/(23)?01A?45.01B?1???1/2???2????1/6????;?3??1/(23)??.?0?;?0???2/6??0???1/(23)??3/2??02A(1)?1?0,?2?2,?3?3,???1/2??k???1?0對(duì)應(yīng)特征向量為1??1/2??,?1??.57.??1???1?2?2對(duì)應(yīng)特征向量為k2???,?0???1???3對(duì)應(yīng)特征向量為k??33?1?.??1??(2)?1?8,?2??3??1,?2??1?8對(duì)應(yīng)特向量為k1???1??,其中k1為任意非零常數(shù).?2???1???2??3??1對(duì)應(yīng)特征向量為k2???0?1???k3???2??,其中k2,k3是不全為??1????0??零的實(shí)數(shù).?(3)??1????0??1??2??3?2全部特征向量為k1?2???k2?0?,(k1,k2不全為零).?0????1??02BA的特征值是1,2,2a?1,?a?2??2??1?對(duì)應(yīng)的特征向量依次是k??????1?3??,k2?2?,k3?1?.(k1,k2,k3全不為0).?0????1????a?1??02CA的特征值??2(二重)及??0,??2對(duì)應(yīng)特征向量為k1(0,1,0)T?k2(1,0,1)T.??0對(duì)應(yīng)特征向量為k3(1,0,?1)T.02D(1)當(dāng)b?0時(shí),A的特征值為?1??2????n?a,則任一非零向量均為其特征向量.(2)當(dāng)b?0時(shí),A的特征值為?1??2????n?1?a?b,?n?a?(n?1)b當(dāng)?1????n?1?a?b對(duì)應(yīng)特征向量為??1?1????1??1k1??0??0??0??????k2??1???kn?1??0??????0?,?0???????1??.58.??1???a?(n?1)b對(duì)應(yīng)特征向量為k?1??nn??,(kn?0).?????1??02Ea?2,b??3,c?2,?0?1.??2n?2?1??1?02F1??12n?2??1??2n2?3n?1??????.???1?1?2n?2???02GA與B特征值相同但不相似.?02Ha?7,b??2,P???1?5??11??22?02I?1???10?2??.?0?.1????013??02Ja??1,b?8,c??10.02K(1)|?E?A|??4?a34??a23??a2??a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k?(2)?2i(i?1,2,?,n);i(i?1,2,?,n);(3)?ki?i(i?1,2,?,n);(4)?i(i?1,2,?,n);(5)1?(i?1,2,?,n);(6)|A|1,2,?,n);i?(i?i(7)f(?i),(i?1,2,?,n).03E?|A|???2??1.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全為零.??0對(duì)應(yīng)特征向量為k1?1?k1?1?...?kn?1?n?1(k1,k2,...,k3不全為零的任意常數(shù)).03L3,2,?2.03M(1)P?1AP全部特征值是?1,??12,?,?n.P?i是P?1AP的屬于?i的特征向量..59.(2)(P?1AP)T全部特征值是??11,?2,?,?n.PT?i是(PAP)T的屬于?i的特征向量.03P??1(n?1重),??3,??1對(duì)應(yīng)特征向量為k1(?y2,y1,0,?,0)T?k2(?y3,0,y1,?,0)T???kn?1(?yn,0,0,?,y1)T,k1,k2,?,kn?1不全為0,??3對(duì)應(yīng)特征向量為kn(x1,x2,?,xn)T,kn?0.??04AD.04B?54?6??3?33??.??7?68??04C(1)a??3,b?0,???1.(2)A不能相似于對(duì)角陣.?4?04D當(dāng)a?1時(shí),A?1?116?114???.?44?2??當(dāng)a?11???14?1022?2時(shí),A?30??10?55???.?22519???13?25?04E(1)?3?k(1,0,1)T(2)A?1??6??2102?.(k);?為任意非零常數(shù)?5213????011?04F??1/20?1/2??000?04G???.?10?1???1/20?1/2????.?1?10???111?04H??111??.04IA?P?P?1?P(2E)P?1?2E.??111????54?04J?6??3?33???.?7?68??04OA的特征值是2與1(n?1重)..60.X1?(1,1,?,1)T是A屬于??2的特征向量,X2?(?1,1,0,?,0)T,X3?(?1,0,1,?,0)T,?,Xn?(?1,0,0,?,1)TA屬于??1的特征向量.??1?1?1??1??2n2n2n??A?1????11?1??1??2n2n2n??????.??????12n?112n?1?2n??05A0.05BA能對(duì)角化.05CA能對(duì)角化.???1??1?05D(1)??1???2?(2)???;?1??;(3)???3????1??1????;??2???1????(4)???1?(5)A?2?.??;不能對(duì)角化;(6)?2??0?????4???05E令P???212??100???,則????1??1????.?011????0??21?005F(1)T?1???2?40?3??212??,T?1AT???010???1?22?????00?2?.????1?11??263??(2)T???1?11???1??3??3???263?,TAT??.????011??6???63????111???236?05GP???12???0??0??36?,P?1AP??1??.??111????4???236??.61.??221???5353??05HQ???142???5353?,QTAQ??2???2???.??7??05?2????353??05Ia??1,b??3.A能對(duì)角化.05J?0??1,a??3,b?0.A不能相似于對(duì)角陣.??1????1????05Kx?y?0.05L?111??111??.05MA~???????111???1?.??0????????????9?05N????1?05PA~B.?0?.??001?05Q(1)x?0,y??2;(2)P???210??.???11?1??06An!.06B?6.06C?(2n?3)！.06Dk(k?2)2.06FO.06EE.?3n?13n?106G(1)??(2)6n?1???3?1??2?3n?12?3n?1???;??93??;???(3)?100??1?3n?1?2?3n1?3n??.??1?3n?2?2?3n2?3n??06Hx100?5100?1.06Ix5100?3?2100?13.n06Ja?1?n??5?6??3??,nlim??an??5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是綜合練習(xí)五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.??00101F??010??.01Gy2?1?y22?y23.100???01H(1)f?z21?z22,相應(yīng)的線性變換為z?Py?(P?1112P1)x.P1????010???,P?1002??013??,?001?????001????x1??(2)z2?z22???11?1/2??z1?12?z3.相應(yīng)的線性變換??x2????x3???1?1?2????z2??.?001/2????z3???100(3)f??12y222?2y3相應(yīng)的線性變換x????????110???1/21/21??y,??x1?01I??x?1??21?2????y1???2?01Jc?3,4y21?9y22.???3??122??y2?x3??2?21????y?3??111???263?01Ka??2,b??3.x?Cy,C????111???263?,???21??0??63?01Lf(x)?x2221,x2,x31?2x2?x3?2x1x2?2x2x3?4x1x3.切平面方程為2x1?x2?x3?1.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(?2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)??2;(2)???1.??101??22??411?02I????0,P???010??02NB?1??3???141?????11?.?114?.??0?22??.63.綜合練習(xí)六01A(1)V1是向量空間.(2)V2是向量空間.01B(1)W1不是子空間.(2)W2是子空間.dimW2?2.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一組基.(3)W3是子空間,dimW3?2.(?1,1,0),(2,0,1)是W3的一組基.(4)W4不是子空間.(5)W5不是子空間.01CW1?W2是V的子空間,W1?W2不一定是V的子空間.T02B??511??4,14,?4,?4??.?02C坐標(biāo)變換公式為?x1??1?1?1??x1???x1???21?2??x1???x2??????102????x?2??或??x???????3??2???00?1??x2?x??0?10????x?3????x?3????11?1????x3???在所給定的兩組基下具有相同坐標(biāo)的全部向量為k??3????2??,k??3?為任意實(shí)數(shù).?T02D(1)(3,4,4)T;(2)??11?2,?5,13?2??.?02E(???5/21/2??1,?2)?(?1,?2,?3)????3/23/2??.?5/25/2??02F??(1,?2,?2)T時(shí),?坐標(biāo)乘積的極大值是18.?002G(1)A?1??100???1100????0?110??.?10?11??(2)所求非零向量??0??1?0??2?0??3?k?4?k?4(k為非零任意常數(shù)).02H(1)??111???011??;(2)??001??1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,?3?(0,0,1)T;(3)A???1?1????.02I(1,1,?,1).??3??.64.a11?a12??03A?a21?a22?a11?a12?a31?a32??a2203C(1)??a12?a?32a21a11a31a23?a13??;a33??a12a22?a12a32a13?a23?a13??.a33???0?11??03B??020?.?2?10????a11?a21(2)??k?a?31ka12a22ka32a13?a23??;k?a33???a11?a21a11?a12?a21?a22(3)??a21?a31a21?a22?a31?a32?aa31?a32?31a11?a12?a13?a21?a22?a23?a21?a22?a23?a31?a32?a33???a31?a32?a33?.65.第五篇：線性代數(shù)習(xí)題答案
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